Раннее изучение геометрии через пропедевтические курсы «Наглядная геометрия» и «Стереометрия»
Любовь Николаевна Руденко, учитель математики, отличник народного просвещения,
МОУ «Средняя общеобразовательная школа №33» г. Череповца
Школьный курс геометрии всегда был и остается одним из проблемных в методике преподавания математики. Однако в программе по математике изучению геометрических фигур уделяется, на мой взгляд, мало внимания. Это приводит к сложностям при изучении геометрии в 7, 10 классах, когда начинается обучение систематических курсов планиметрии и стереометрии. Важной проблемой является слабое развитие пространственного воображения у учащихся основной школы, неумение доказательно оперировать с пространственными фигурами, отсутствие преемственности при изучении геометрии между начальной и средней школой.
Выход из положения можно найти, изучая курс геометрии двукратно: один раз на интуитивном уровне и второй раз на строгом логическом. Я предлагаю изучать геометрию с 5 класса, используя пропедевтические курсы «Наглядная геометрия» для 5-6 классов и «Стереометрия» для учащихся 7-9 классов, опираясь на базовый уровень начального математического образования, и определенный уровень развития у школьников логического мышления и пространственного воображения. Структурное отличие занятий геометрией от таковых в начальной школе, на мой взгляд, должно состоять в объединении геометрического материала в отдельный предмет. При этом важно так мотивировать изучение геометрии, чтобы оно не превращалось в игру, а вызывало интерес учащихся, главным образом, за счет тщательного подбора доступных для детей форм деятельности: рисования, конструирования, решения разнообразных задач. Изучение курса геометрии на интуитивном уровне может стать хорошей подготовкой к систематическому курсу в результате создания образов геометрических фигур и «открытия» некоторых их свойств путём конструирования и рисования, а также знакомства с терминологией и основами геометрического языка
Основной целью раннего изучения геометрии является развитие умственных способностей, образного мышления и пространственного воображения учащихся, расширение творческого потенциала детей через обращение к их жизненному опыту, создание положительной мотивации обучения.
Задачи:
- разработка программы раннего изучения геометрии;
- формирование представлений о геометрических фигурах и их свойствах одновременно на плоскости и в пространстве;
- осуществление преемственности между начальной и основной школой при изучении геометрического материала.
Ожидаемые результаты:
-создание возможности опережающего обучения геометрии;
- развитие пространственного мышления;
-повышение эффективности обучения за счет увеличения времени на решение более сложных задач;
- развитие наблюдательности, рефлексии учебных действий;
- устойчивый интерес к геометрии, высокие результаты обучения, успешность при обучении математике, физике, черчению.
Научная новизна. Разработка содержания, структуры и методических особенностей пропедевтических курсов геометрии для 5-6 классов и стереометрии для 7-9 классов.
Курсы «Наглядная геометрия» для учащихся 10-11 лет и «Стереометрия» в 7-9 классах предоставляют большие возможности для пропедевтики геометрии и стереометрии в среднем и старшем звеньях, развивают пространственное мышление учащихся, обеспечивающее ориентацию в пространстве (умение «читать» изображения фигур), оказывают помощь в изучении стереометрии путем применения планиметрических теорем для пространственных объектов. Основными задачами этих двух курсов является подготовка учащихся к изучению школьного курса геометрии и стереометрии, развитие умения эффективно усваивать знания и овладевать разнообразными видами деятельности. Предложенная схема построения непрерывного геометрического образования в средней школе позволит педагогам добиться более высокого уровня геометрического развития учащихся через систематически проводимую пропедевтику.
В ходе проведенной диагностики выявлено, что учащиеся основной школы, которые изучали курсы, обладают устойчивыми геометрическими умениями и навыками, узнают предложенные объемные объекты по чертежу, правильно изображают данные фигуры, умеют решать задачи практического характера. Выпускники 11 класса показывают грамотное владение теоретическим материалом и практическими умениями. Анализ городских контрольных работ по геометрии подтверждает, что школьники, изучавшие курсы, лучше выполнили задания, проверяющие логическое мышление.
Таким образом, приведенные результаты говорят об эффективной реализации инновационной программы: учащиеся показывают самостоятельность суждений, опираясь на ранее приобретенные знания и умения, могут вычленять главное в изучаемом материале, подтверждают благоприятное влияние курсов «Наглядная геометрия» и «Стереометрия» на развитие логического мышления, пространственных представлений, познавательных интересов.
Сценарий мастер - класса по теме «Симметрия
вокруг нас» (презентация).
Цель выступления.
Формирование отношения к геометрии, как к части общечеловеческой культуры, понимание ее значимости в жизни.
Задачи:
1.Показать возможность диалога в системе обучения геометрии, направленного на совместное конструирование деятельности по личностному развитию учащихся с учетом мотивации, готовности к саморазвитию
2.Поделиться опытом одновременного изучения плоскостных и пространственных фигур, опираясь на жизненный опыт школьников.
Сценарий мастер - класса.
Все, чем богат мир, доступно нашему глазу. Но вот вопрос, а умеем ли мы
видеть его красоту и мудрость? Боюсь,
что нет. Мир сияет вокруг нас тысячами красок, он готов раскрыть нам множество
тайн. А мы- мы видим лишь малую долю этих сокровищ. Давайте совершим прогулку в
глубину лесной чащи. Вот на наши руки упал с дерева обыкновенный листок. Форма его не случайна, она строго закономерна.
Листок как бы склеен из двух более или менее одинаковых половинок. Одна из
половинок расположена зеркально относительно другой. А плоскость, разделяющая
листик на 2 зеркальные части называется «плоскостью симметрии».Вот по тропинке
ползет гусеница. Пронеслась красавица бабочка с яркой расцветкой. Они тоже
состоят из двух одинаковых половинок
Даже узор на крыльях бабочки подчиняется такой геометрии. И выглянувший из травы жучок, и промелькнувшая мошка- все подчиняется «симметрии листка», да и нас мысленно можно разделить на 2 зеркально равные половины. Ботаники и зоологи называют такую симметрию - «билатеральной» (в переводе с латинского – «дважды боковой)», математики - симметрией относительно оси. Вот из травы выглядывает ромашка. Разглядим ее. Имеет ли такое «цветочное солнышко» плоскость симметрии? Конечно. Вдоль каждого лепестка можно провести плоскость симметрии. И все плоскости симметрии пересекаются в центре цветка (центре симметрии), сходна геометрия подсолнечника, василька, колокольчика. Такая симметрия у ботаников называется «лучевой» или «радиальной». Т. о. ромашка является центрально- симметричной фигурой и имеет много осей симметрии. Давайте сформулируем в упрощенном и схематичном виде общий закон, повсеместно проявляющийся в природе.
Все, что растет или движется по вертикали, т.е. вверх или вниз относительно земной поверхности, подчиняется радиально- лучевой симметрии в виде веера пересекающихся плоскостей симметрии. Все, что растет и движется горизонтально или наклонно по отношению к земной поверхности, подчиняется билатеральной симметрии («симметрия листка»- 1 плоскость симметрии). Может быть, мы открыли универсальный закон, охватывающий все живое? Теорией симметрии занимался Пьер Кюри, не только как геометр, но и как физик. Принцип симметрии Пьера Кюри утверждает следующее:
Симметрия среды как бы накладывается на симметрию тела, образующегося в этой среде. Получившаяся в результате форма тела сохраняет только те элементы своей собственной симметрии, которые совпадают с наложенными на него элементами симметрии среды.
В стихах К.Я. Ваншенкина содержится протест против принципа симметрии.
Ты качаешь головою, говоришь с улыбкой ты:
«Симметрично все живое: люди, звери и цветы»
Это так, но между прочим, вот береза
И на ней ветви к северу - короче,
К югу – ярче и пышней. Не последняя забава-
Бьется полное огня, сердце слева.
Ну, а справа нет же сердца у меня?»
Оказывается, воздействие природной симметрии сказывается преимущественно на внешней форме, учитывая при этом влияние всех факторов: ветра, солнечного освещения, силы земного тяготения, сила вращения Земли, воздушные и водные потоки т. д. Этому закону послушны не только цветы, животные, легкоподвижные жидкости, но и твердые неподатливые камни. Форма кристаллов поражает своей симметричностью. По выражению великого русского кристаллографа Е. С. Федорова, фигуры кристаллов «блещут своей симметрией». Перед вами очертания снежной кристаллической звездочки, которая имеет 6 осей симметрии. А вот шкатулка. Попробуйте отгадать, какие 5 знаменитых геометрических тел находятся в ней? Посмотрите, перед вами додекаэдр. Раскопки в Монте Лоффа показали, что это была любимая игрушка детей 2500 лет назад. Да и в наши дни это излюбленная побрякушка для взрослых, которые делают из нее календари, брелки для ключей. Вот куб (гектаздр) и правильная пирамида (тетрэдр) тоже верой служат и большим и малым людям. Это детские кубики и пирамидка, их используют в строительстве и живописи. Но совсем другой правильный многогранник – икосаэдр - хранится в Египетском зале Британского музея, и удивленный посетитель может узнать, что это - игральная кость династии Птоломеев. А вот «пространственный ромб» (октаэдр) от древних времен до наших дней служит светильником, хотя его «начинка» прошла путь от скоротечной плошки до почти вечной йодной лампы.
И вне сомнения, вы с большим интересом посмотрите на рисунок гравюры Эсхера «Звезды» на котором среди прочих тел легко найдем всю нашу «великолепную пятерку». В заключение хотелось бы предложить 3 вариации на тему симметрии.
Вариация 1. Симметрия и бесконечные тела.
Существуют ли на земной поверхности в окружающей нас природе бесконечные тела? И «да» и «нет». Любое природное образование имеет более или менее четкие границы. Океаны и моря ограничены берегами, реки - истоками и устьями, горы - подошвами и вершинами. С другой стороны в описании природы упоминаются «бездонные глубины», «безграничные степи», «бескрайние пустыни».
И нет конца! Мелькают версты, круги.
Непонятная ширь без конца …
Путь степной - без конца, без исхода.
А. Блок
Действительно, следует принимать во внимание относительные размеры сравниваемых величин. Рассмотрим наглядный пример, древесный ствол с первого взгляда напоминает цилиндрическое тело. На самом деле он является очень вытянутым острым конусом, внизу дерево толще, чем вверху. Оказывается, все элементы симметрии встречаются и на бесконечных предметах, они тоже имеют простые и сложные (инверсионные) оси, плоскости и центры симметрии. Кроме этого, в бесконечной симметрии встречаются еще три типа специфических элементов симметрии:
1. Трансляция.
2. Плоскость скользящего отражения.
3. Винтовая ось.
А существуют ли тела, обладающие бесконечным числом осей симметрии?
Конечно. Пример, планета Земля обладает шаровой симметрией.
Только ли на земной поверхности царит универсальный принцип симметрии?
Конечно, нет.
С симметрией связана шаровая форма других космических тел, т. е. повсюду должны проявляться те же типы симметрии.
Вариация 2. Инверсия.
Симметрию можно выполнять и относительно окружности. Пусть ω – окружность
с центром О и радиусом R., а М- точка на
плоскости, где лежит эта окружность. Назовем точку N симметричной точке М
относительно окружности, если она лежит на луче ОМ и выполняется
равенство: ОМ · ОN
= R2
Если М- внутри
окружности ω, то N
– вне ее, и наоборот. При этом, чем ближе М к центру О, тем
дальше точка N
от центра. А чем ближе М к окружности,
тем ближе к ω и N. Преобразование, при
котором каждую точку заменяют на симметричную ей относительно окружности
ω, называют инверсией (от латинского inversion -
переворачивание, обращение) относительно
окружности ω. Точки окружности неподвижны при инверсии, О -
называется центром инверсии, - R -радиусом инверсии,
ω - базисной окружностью. Для построения точки, инверсной данной, при М,
лежащей внутри окружности, восстанавливаем перпендикуляр к лучу ОМ до
пересечения с окружностью в точке А,
а затем проводим касательную к
окружности ω в точке А. Эта касательная пересечет луч в искомой
точке N. Для
точек, расположенных вне окружности, построение проводят в обратном порядке. Данный
способ построения принят за геометрическое определение инверсии.
Вариация 3. Симметрия и красота.
«Симметрия… есть идея, с помощью которой человек веками пытался объяснить и создать порядок, красоту и совершенство» Эти слова принадлежат известному математику Герману Вейлю. Греки отождествляли симметрию с красотой. Вспомним архитектурные памятники. Древним храмам, башням средневековых замков, современным зданиям симметрия придает гармоничную законченность. Посмотрите на изумительную стройность греческих ваз. Искусство орнамента содержит в неявном виде наиболее древнюю часть известной нам высшей математики» Герман Вейль. Остановим свой взор на узорах чудесных орнаментов, бордюров, паркетов.
Еще много интересного, нужного осталось не рассказанным, но, я думаю, все увидели волшебную утонченность геометрических фигур, услышали хрустальная музыку, изящную и завершенную, хотя и бесконечную мелодию о геометрии.
В заключение я перефразирую слова Сократа. Все, что мы знаем о геометрии - прекрасно, все остальное, чего мы не знаем, тоже прекрасно.