"Модуль"
рабочая программа
Автор: Минязева Гульнара Ансаровна , учитель математики, МБОУ СОШ, с.Николо-Березовка
В раздел основное общее образование
Модуль.
Рабочая программа.
Пояснительная записка.
Курс по подготовке учащихся 9 классов « Модуль» посвящен систематическому изложению учебного материала, связанного с понятием модуль. В нем рассматриваются различные методы решения уравнений и неравенств с модулями, основанные на определении, свойствах и графической интерпретации. Значительное внимание уделено вопросам приложения модуля к преобразованиям корней. Для курса характерна практическая направленность. Его основное содержание составляют учебные задачи. Изложение практических приемов сопровождается необходимыми теоретическими сведениями. Курс «Модуль» направлен на подготовку учащихся к обучению в классах физико-математического профиля, так как знание приведенного учебного материала будут способствовать более полному и глубокому усвоению таких базовых понятий математики как предел и производная. Кроме того, задания ЕГЭ по математике предполагают умение оперировать с модулем. Таким образом, основная роль элективного курса «Модуль» состоит в подготовке обучающихся к успешному обучению в старших классах физико- математического профиля.
Цели курса:
Помочь повысить уровень понимания и практической подготовки в таких вопросах, как: а)преобразование выражений, содержащих модуль; б)решение уравнений и неравенств, содержащих модуль; Создать в совокупности с основными разделами курса базу для развития способностей обучающихся.
Задачи курса:
Научить учащихся преобразовывать выражения, содержащие модуль; Научить учащихся решать уравнения и неравенства, содержащие модуль; Помочь учащимся оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы.
Учебно-тематический план
№ Тема Количество часов Форма контроля 1 Определение модуля числа и его применение при решении уравнений. 6 Решение контрольных заданий. 2 Метод интервалов решения уравнений и неравенств, содержащих модуль. 10 Решение контрольных заданий. 3 Решение неравенств вида | | а, | | а посредством равносильных переходов. 10 Проверка контрольных заданий для домашней работы. 4 Свойства модуля. Применение свойств модуля при решении уравнений и неравенств. 8 Проверка контрольных заданий для домашней работы. 5 Решение уравнений и неравенств с модулями на координатной прямой. 8 Математический диктант. 6 Модуль и преобразование корней. 8 Решение контрольных заданий. 7 Модуль и иррациональные уравнения. 4 Решение контрольных заданий. 8 Контрольная работа. 2 итого 56
Содержание программы
Тема 1.
Определение модуля числа и его применение при решении
уравнений.(6ч)
Определение модуля, его обозначение на письме. Аналитическая запись определения модуля. Из истории возникновения модуля. Примеры решения уравнений. Тема 2
. Метод интервалов решения уравнений и неравенств, содержащих
модуль.(10ч)
Метод интервалов- алгоритм решения уравнений и неравенств, содержащих знак модуля. Тема 3.
Решение неравенств вида
| |
а,
| |
а посредством равносильных
переходов.(10ч)
Равносильные переходы .Примеры решения различных неравенств, содержащих знак модуля, с помощью равносильных переходов.
Тема 4
. Свойства модуля. Применение свойств модуля при решении
уравнений и неравенств.(8ч)
Основные свойства модуля. Свойства со знаком неравенства. Использование этих свойств при решении уравнений, доказательстве неравенств. Тема 5.
Свойства модуля. Применение свойств модуля при решении
уравнений и неравенств.(8ч)
Использование понятия «расстояния между точками» на координатной прямой, при решении уравнений, неравенств. Тема 6.
Модуль и преобразование корней(8ч)
Понятие модуля при решении заданий, содержащих арифметические корни Примеры упрощения выражений, содержащих арифметические корни. Тема 7 .
Модуль и иррациональные уравнения(4ч).
Использование определения, свойств модуля при решении иррациональных уравнений. Тема8.
Контрольная работа.(2ч)
В результате изучения курса учащиеся должны
уметь
: Точно и грамотно формулировать теоретические положения и излагать собственные рассуждения в ходе решения заданий. Применять изученные алгоритмы для решения соответствующих заданий. Преобразовывать выражения, содержащие модуль. Решать уравнения и неравенства, содержащие модуль.
Возможные критерии оценок.
Оценка «отлично»-
обучающийся демонстрирует сознательное и ответственное отношение, сопровождающееся ярко выраженным интересом к учению; обучающийся освоил теоретический материал курса, получил навыки в его применении при решении конкретных задач; в работе над индивидуальными домашними заданиями обучающийся продемонстрировал умение работать самостоятельно, творчески. Как правило, для получения высокой оценки обучающийся должен показать не только знание теории и владение набором стандартных методов, но и известную сообразительность, математическую культуру.
Оценка «хорошо»-
обучающийся освоил идеи и методы данного курса в такой степени, что может справиться со стандартными заданиями; выполняет домашние задания прилежно (без проявления явных творческих способностей); наблюдаются определенные положительные результаты, свидетельствующие об интеллектуальном росте и о возрастании общих умений обучающийся
Оценка «удовлетворительно»-
обучающийся освоил наиболее простые идеи и методы курса, что позволило ему успешно выполнить простейшие задания.
Литература для учителя.
1. Гайдуков И.И. Абсолютная величина: Пособие для учителей. М.,1968 2. Зильберберг Н.И.Алгебра для углубленного изучения математики. Псков, 1992. 3. Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по решению математических задач: Алгебра. Тригонометрия.М.,1984. 4. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учебное пособие для 10 класса .М.,1989. 5. Мордкович А.Г. Кое-что о радикалах//Квант.1970.№3. 6. Спатару К. Абсолютная величина числа.Кишинев,1966. 7. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Планирование учебного материала для 8 класса с углубленным изучением математики: методическое пособие.-М.,1988. 8. Гусев В.А. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах: книга для учителя.- М.:Просвещение,1984.
Литература для учащихся.
1. Аверьянов Д.И., Алтынов П.И., Математика: большой справочник для школьников и поступающих в вузы.-М.:Дрофа,1999. 2. Виленкин Н.Я. и др. Алгебра .8 класс: учебн. пособие для учащихся и классов с углубленным изучением математики .-М.: Просвещение, 1995. 3. Галицкий М.Л. и др. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: учебн. пособие для учащихся и классов с углубленным изучением математики.-М.: Просвещение 1995. 4. Шабунин М.И. Пособие по математике для поступающих в вузы.-М.: Лаборатория базовых знаний,1999.
Календарно-тематическое планирование курса
№
Тема
Количеств
о часов
Формируемые
умения
Дата
проведени
я
Примечани
я
1 Определение модуля числа и его применение при решении уравнений. 6 Определение модуля, его обозначение на письме. Аналитическая запись определения модуля. Из истории возникновения модуля. Примеры решения уравнений. 2 Метод интервалов решения уравнений и неравенств, содержащих модуль. 10 Метод интервалов- алгоритм решения уравнений и неравенств, содержащих знак модуля. 3 Решение неравенств вида | | а, | | а посредством равносильных переходов. 10 Равносильные переходы .Примеры решения различных неравенств, содержащих знак модуля, с помощью равносильных переходов. 4 Свойства модуля. Применение свойств модуля при решении уравнений и неравенств. 8 Основные свойства модуля. Свойства со знаком неравенства. Использование этих свойств при решении уравнений, доказательств
е неравенств. 5 Решение уравнений и неравенств с модулями на координатной прямой. 8 Использование понятия «расстояния между точками» на координатной прямой, при решении уравнений, неравенств. 6 Модуль и преобразовани е корней. 8 Понятие модуля при решении заданий, содержащих арифметическ ие корни Примеры упрощения выражений, содержащих арифметическ ие корни. 7 Модуль и иррациональн ые уравнения. 4 Использование определения, свойств модуля при решении иррациональны х уравнений. 8 Контрольная работа. 2
Материал для занятий.
1-4 занятие.
Определение модуля числа и его применение при решении уравнений.
Модулем числа называют расстояние от начала отсчета до точки, изображающей это число на координатной прямой. Иногда вместо термина «модуль» используется термин «абсолютная величина» или «абсолютное значение» числа. Обозначается модуль посредством символа | | . В соответствии с приведенным определением | | | | | | Устанавливая связь между модулем числа и самим числом, получим аналитическую запись определения: | | = { Модуль числа может быть определен и как наибольшее из чисел а и –а. Отметим, что термин «модуль» (от лат. modulus- мера) ввел английский математик Р.Котес (1682-1716), а знак модуля немецкий математик К.Вейерштрасс (1815-1897) в 1841г. Пользуясь приведенным определением, можно решать уравнения и неравенства, содержащие модуль. Примеры.
№1. Решить уравнение
| | | |
=4
Исходя из определения модуля, значение выражения | | -2 может быть равным 4 или -4. Иными словами нужно решить два уравнения: | | | | . Решая их, получим | | | | Ответ:-6;6.
№2. Решить уравнение
| | Уравнение имеет решение при условии, что 2х-1 0 и равносильно системе: { [ ( ) решая которую , получим корни: 1; √ . Ответ: 1; √ .
№3. Найти целые корни уравнения
| | Представим данное уравнение в виде | | . Уравнение имеет решение при . и равносильно системе: { [ ( ) { [ Ответ:1.
№4. Решите уравнение
| | | |
.
Используя определение модуля, приходим к выводу, что равенство возможно если значения выражений и равны или противоположны, т.е. данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: [ ( ) Решая совокупность, получим корни данного уравнения: -4;-0,5;2. Ответ: -4;-0,5;2.
№5. Решите уравнение
| |
.
Обозначим выражение =а. Тогда данное уравнение примет вид | | = -а. Исходя из аналитической записи определения модуля, можно сделать вывод, что данное уравнение равносильно неравенству решая которое, получим ответ: ] ] [ [ Упражнения для самостоятельной работы. Решите уравнения: 1. | | =1. 2. | | | | 3. | | | | =4. 4. | | =3х. 5. | | = 6. | | | | 7. | | | | | | 8. | | ( ) (х+1). 9. | | .
5-9 занятия.
Метод интервалов решения уравнений и неравенств, содержащих модуль.
Разберем
алгоритм
решения уравнений, содержащих знак модуля: 1. Чтобы решить данное уравнение, необходимо раскрыть модули. Для этого выделим интервалы, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, принимают только положительные или отрицательные значения. Отыскание таких интервалов основано на теореме: «Если на интервале (а;b) функция f непрерывна и не обращается в нуль, то она на этом интервале сохраняет знак». 2. Чтобы выделить интервалы знакопостоянства, найдем точки, в которых выражения, записанные под модулем, обращаются в нуль. 3. Полученные точки разобьют координатную прямую на искомые интервалы. Определим знаки выражений, стоящих под знаком модуля, на этих интервалах. 4. Учитывая знаки, раскроем модули. В результате получим совокупность систем уравнений и неравенств. Решая которую, получим решение данного уравнения. Использованный прием решения называется методом интервалов. Он применяется и при решении аналогичных неравенсив. Применим данный алгоритм для решения уравнения: | | | | | | | | 1,2. Чтобы выделить интервалы знакопостоянства, найдем точки, в которых выражения, записанные под модулем, обращаются в нуль. х+1=0,х=-1; х=0; х-1=0,х=1; х-2=0,х=2. Это точки:-1;0;1;2. 3. Полученные точки разобьют координатную прямую на искомые интервалы. Определим знаки выражений, стоящих под знаком модуля, на этих интервалах. (- ) -1 (-1;0) 0 (0;1) 1 (1;2) 2 (2;+ ) х+1 - + + + + х - - + + + х-1 - - - + + х-2 - - - - +
4.Учитывая знаки, раскроем модули. В результате получим совокупность систем уравнений и неравенств: [ { ( ) ( ) { ( ) ( ) { ( ) ( ) { ( ) ( ) { ( ) ( ) ( ) Решение совокупности систем и данного уравнения: -2; [ [ . Ответ: -2; [ [ .
Пример. Решите неравенство
| |
+х-2
1. Найдем нули выражения , это х=0, х=3. 2. Разобьем координатную прямую на интервалы и установим знак выражения на каждом интервале: (- ) 0 (0;3) 3 (3;+ ) + - + 3. Раскроем модуль: [{ { ] √ ] Решение второй системы: (0;2- √ ). Решение данного неравенства: (1- √ √ ). Ответ: (1- √ √ ).
Упражнения для самостоятельных работ. Решите уравнения. 1. | | | | | | =4. 2. | | | | | | 3. | | | | | | Докажите тождество: 4. | | | | | | | | 5. | | | | | | | | Решите неравенства: 6. | | | | 7. | | | | | | 8. | |
№10-15 занятия.
Решение неравенств вида
|
х
|
а
|
х
|
а
посредством
равносильных
переходов
Неравенство | | равносильно системе неравенств { Неравенство | | равносильно совокупности неравенств: [ Примеры.
№1.Решите неравенство
|
х
х
|
х
Данное неравенство решено выше методом интервалов, рассмотрим иное решение, посредством равносильных переходов: Данное неравенство равносильно системе неравенств { ( ) решая которые, получим: {
{ √ √ √ √ Ответ: (1- √ √ ).
№2. Решите неравенство
| | | | Используем равносильные переходы, получим совокупность неравенств: [ | | | | [ | | | | [ { ( ) ( ) [ { Система { и неравенство 0 *х не имеют решений. Следовательно, решением совокупности (и данного неравенства) является числовой луч ] ] Ответ: ] ] Упражнения для самостоятельной работы. Решите уравнения. 1. | | 2. | | 3. | | 4. | | 5. | |
№16-20 занятия.
Свойства модуля. Применение свойств модуля при решении уравнений и
неравенств.
Основные свойства модуля: 1) | | | | ( | | | | ).
2) | | (k ) 3) | | | | | | 4) | | | | | | (b ) Свойства со знаком неравенства a) | | b) – | | | | c) | | | | | | | | | | d) | | | | | | | | | | Проиллюстрируем использование этих свойств при решении задач.
№1. Решите уравнение
| | | |
.
Заметим, что | | | | | | = | | . Следовательно, по свойству d) данное уравнение равносильно неравенству ( )(2- ) решением которого является числовой отрезок [ √ ]
№2.Найдите числа х и у такие, что
| | | |
.
По свойству а) данное уравнение равносильно системе { Решая систему, получим: х =
№3. Запишите при помощи знака модуля, что по крайней мере одно из
чисел a, b, c, d отлично от нуля.
Ответ: | | | | | | | |
№4. Дано:
| | | | | | | | Доказательство: | | = | | | ( ) | | ( ) | | | | || | | | .чтд Упражнения для самостоятельной работы.
1. При каких значениях х справедливы равенства: а) | | | | |( ) ( )| ) | ( )| | | | | 2. Решите уравнение | | | | | | 3. Решите уравнение | | | | 4. Решите уравнение | | | | 5. Найти наименьшее значение суммы: а) | | | | ) | | | | .
№21-24занятия.
Решение уравнений и неравенств с модулями на координатной прямой.
При изучении расстояния между двумя точками А( ) и В( ) координатной прямой выводится формула, согласно которой АВ= | | . Используя эту формулу, можно решать уравнения и неравенства вида | | | | | | | | | | | | | | | | Примеры. №
1. Решите уравнения.
a) | | . Переводя запись этого уравнения на «язык расстояний», получим предложение «расстояние от точки с координатой х до точки с координатой 3 равно 1». Значит, решение уравнения сводится к отысканию точек, удаленных от точки с координатой 3 на расстояние 1. Корнями уравнения являются числа 2 и 4. Ответ: 2;4. b) | | Приводя данное уравнение к виду | ( )| используем формулу расстояния: - 1 и - -2. Ответ:-2;1.
№2. Решите неравенства
a)
| | Исходя из геометрических представлений, приходим к выводу, что решениями данного неравенства являются координаты точек, удаленных от точки с координатой 1 на расстояние, меньшее 2. Чтобы изобразить эти точки на координатной прямой, первоначально отметим точки, удаленные от1 на расстояние, равное 2, а затем меньшее 2. Решения данного неравенства составляют числа, принадлежащие интервалу (-1;3). Ответ: (-1;3).
b) | | Предствим данное неравенство в виде | ( ) | . Рассуждения, аналогичные приведенным выше, позволяют получить решения неравенства: (- ) ( ) . Ответ: (- ) ( )
c)
| | Данное неравенство имеет следующий геометрический смысл: расстояние точки с координатой х до точки с координатой -1 меньше ее расстояния до точки с координатой 2. Отметим на прямой точку, равноудаленную от точек с координатами -1 и 2, а затем точки, расположенные к -1 ближе, чем к 2. Решения данного неравенства: (- ). Ответ: (- ). Упражнения для самостоятельной работы. Решите уравнения и неравенства. 1. | | 2. | | 3. | | 4. | | 5. | | 6. | | 7. | | | | 8. | | | | 9. | | | | 10. | | | |
№25-28 занятия.
Модуль и преобразование корней.
Понятие модуля находит применение при оперировании арифметическими корнями. Так как арифметический корень из числа может принимать лишь неотрицательные значения, то при записи этих значений используется модуль. Так например, √ ( ) | | √ √ √ √ √ ( √ ) | √ | √ В общем случае справедливо тождество: √ | | .
Примеры.
№1. Упростите выражение
√ ( ) ( √ √ )
.
При b получим: √ ( ) ( √ √ ) = √ √ √ ( ) √ | | √ { √ √
№2.Вычислите значение выражения:
А=
√ √
при x=
( √ √ )
,где a
.
1) Преобразуем выражение для x= ( √ √ ) √ 2) Вычислим значение корня: √ √ ( ) √ ( ) | | √ 3) Вычислим значение знаменателя: x- √ √ | | √ | | √ . 4) Вычислим значение выражения А: A= | | √ | | √ | | | | { ( ) | | ( ) ( ) | | ( )
Упражнения для самостоятельной работы. Упростите выражение. 1. √ ( ) . 2. √ ( ) . 3. √ √ , 4. √ ( ) ( ) . 5. √ √ √ √ при x=
№29-33 занятия.
Модуль и иррациональные уравнения.
Ситуация, связанная с необходимостью использования модуля, может возникнуть и при решении иррациональных уравнений.
Решите уравнение
√ √
+
√ √ √ Тогда х+1= Данное уравнение примет вид: √ √ | | | | решая которое методом интервалов получим: [ { { { [ { { { [ [
Таким образом, 2 √ . Последнему неравенству удовлетворяют значения х, принадлежащие отрезку [ ] . Ответ: [ ] . Упражнения для самостоятельной работы. При решении уравнений, приведенных ниже для самостоятельной работы, также используется модуль. 1. √ 2. √ + √ 3. √ ( √ ) √ ( √ ) 4. √ √ √ √
№34 занятие.
Контрольная работа.
1. Решите уравнение. а) | | ( ) б) | | | | 2. Решите неравенство. а) | | б) | | 3.Упростите выражение. √ - 4.Решите уравнение. а) √ √ √ √ √
б) √ √ √ √ √ 5.Решите систему уравнений. { √
Литература для учителя.
9. Гайдуков И.И. Абсолютная величина: Пособие для учителей. М.,1968 10. Зильберберг Н.И.Алгебра для углубленного изучения математики. Псков, 1992. 11. Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по решению математических задач: Алгебра. Тригонометрия.М.,1984. 12. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учебное пособие для 10 класса .М.,1989. 13. Мордкович А.Г. Кое-что о радикалах//Квант.1970.№3. 14. Спатару К. Абсолютная величина числа.Кишинев,1966. 15. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Планирование учебного материала для 8 класса с углубленным изучением математики: методическое пособие.-М.,1988. 16. Гусев В.А. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах: книга для учителя.- М.:Просвещение,1984.
Литература для обучающихся.
1. Аверьянов Д.И., Алтынов П.И., Математика: большой справочник для школьников и поступающих в вузы.- М.:Дрофа,1999. 2. Виленкин Н.Я. и др. Алгебра .8 класс: учебн. пособие для учащихся и классов с углубленным изучением математики .-М.: Просвещение, 1995. 3. Галицкий М.Л. и др. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: учебн. пособие для учащихся и классов с углубленным изучением математики.-М.: Просвещение 1995. 4. Шабунин М.И. Пособие по математике для поступающих в вузы.-М.: Лаборатория базовых знаний,1999. Автор-составитель Г.А. Минязева.
В раздел основное общее образование