"Секреты быстрого счёта"
исследовательский проект
Автор: Быркова Галина Александровна, учитель математики, МБОУ СОШ №1, п.Восточный, Свердловская область
Смотреть презентациюВ раздел основное общее образование
Министерство образования РФ
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа №1 п. Восточный
Сосьвинского городского округа
Общеобразовательная область: математика и информатика
Предмет: математика
ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ
Выполнили:
ученицы VII-a класса
Рычкова Любовь
Панюкова Диана
Руководитель:
учитель математики
Быркова Галина Александровна
п. Восточный
2015г.
2
Оглавление
Введение…………………………………………………………………………………. 4 1. Компоненты вычислительной культуры …………..………………………………...5 2. Диагностика навыков быстрого счета учащихся…………………………………….7 3. Упрощённые приёмы устных вычислений………………………………………….10 3.1 Умножение двузначного числа на 11………………………………………………10 3.2 Умножение числа на 111, 1111 и т.д. ……………………………………………...11 3.3 Алгоритмы ускоренных вычислений.…………………………………………….12 3.4 Способы устного возведения в квадрат.…….……………………………………..14 3.5 Интересные способы устных вычислений…………………………………………15 4. Рекомендации для учащихся, желающих научиться быстро считать…………….16 Заключение……………………………………………………………………………….17 Список литературы…………………………………………………………………19
3
Введение
Счёт и вычисления – основа порядка в голове. Иоганн Генрих Песталоцци В повседневной жизни, когда дорога каждая минута, очень важным является умение быстро и рационально произвести вычисления устно, не допустив при этом ошибки и не используя при этом никаких дополнительных средств (калькулятор, ручка и листочек). Школьники сталкиваются с такой проблемой повсеместно: и в школе на уроках, и в домашних условиях, в магазине. В связи с введением обязательного ЕГЭ и ОГЭ по математике возникает необходимость научиться решать быстро и качественно задачи. При этом возрастает роль устных вычислений и вычислений вообще, так как на экзамене не разрешается использовать калькулятор и таблицы. Многие вычислительные операции, которые мы обычно записываем в ходе подробного решения задачи, в рамках теста совершенно не требуют этого. В наш век, век новых технологий и развития компьютерной техники, разговор об устном счете может показаться неуместным, однако и по сей день гибкость ума является предметом гордости людей, а способность, производить в уме вычисления вызывает откровенное удивление.
Актуальность
исследования состоит в том, что в наше время все чаще на помощь ученикам приходят калькуляторы, и все большее количество учеников не может считать устно. А ведь изучение математики развивает логическое мышление, память, гибкость ума, приучает человека к точности, к умению видеть главное, сообщает необходимые сведения для понимания сложных задач, возникающих в различных областях деятельности современного человека. Поэтому в своей работе мы хотим показать, как можно считать быстро и правильно и что процесс выполнения действий может быть не только полезным, но и интересным занятием. Школьникам, которые из урока в урок привыкли производить вычисления на калькуляторе, трудно приходится на ЕГЭ и ОГЭ . Научиться быстро считать не так уж сложно, а учащимся, которым предстоит сдавать ЕГЭ и ГИА по математике,
4 просто необходимо владеть основными приемами быстрого счета. Кроме того, быстрый счет - настоящая гимнастика для ума, приучающая в самых сложных жизненных ситуациях находить в кратчайшее время хорошие и нестандартные решения. Именно поэтому, данную тему мы считаем актуальной и выбрали её для своего проекта. Идеи устного счета не новы, но основательно забыты благодаря развитию современных технологий. Так что новое, это, как говориться, – хорошо забытое старое.
Гипотеза
нашего
исследования
заключается
в
следующем
: существуют специальные способы выполнения действий, которые позволяют свести вычисления к устным.
Объект исследования:
методы и приёмы быстрого счета.
Предмет исследования:
нестандартные приёмы и навыки быстрого счета при подготовке к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
Цель
данной
работы:
изучить некоторые рациональные приемы устных вычислений и научиться применять их при подготовке к ОГЭ и ЕГЭ по математике и в повседневной жизни. Для достижения поставленной цели мы предполагали решение следующих
задач:
Изучить литературу по данной теме. Исследовать, применяют ли школьники приемы быстрого счета. Изучить приемы быстрого счета, которые можно использовать, упрощая вычисления. Составить памятку для учащихся 5-6 классов для применения приемов быстрого счета. Провести мастер-классы «Приемы быстрого счета». Обучение устному счету вносит вклад в развитие интеллектуальных способностей учащихся. Устные вычисления способствуют развитию памяти,
5 создают условия для развития быстроты реакции и формируют стремление к поиску рациональных способов решения, воспитывают умение сосредоточиться, что помогает в изучении других дисциплин.
6
1.
Компоненты вычислительной культуры
Всем известно, какую роль в школьном курсе обучения имеют вычислительные навыки. Ни один пример, ни одну задачу по математике, физике, химии нельзя решить, не обладая навыками элементарных способов вычислений. Счет в уме является самым древним и простым способом вычисления. Ранее он сводился в основном к вычислениям, поэтому за ним закрепилось название «устный счет». Ярким примером тому является картина Николая Богданова- Бельского «Устный счёт. В народной школе С. А. Рачинского». Разработкой приемов быстрого счета занимались многие ученые: Яков Исидорович Перельман, Георгий Берман, Я. Трахтенберг и другие. Необычная история создания целой системы повышения быстроты счета. Она создана была в годы второй мировой войны профессором математики Я. Трахтенбергом. Во время Второй мировой войны Трахтенберг стал узником нацистского концентрационного лагеря. В заключении разработал свою арифметическую систему, так называемый метод Трахтенберга. Без сомнения, занимался он этим, чтобы сохранить рассудок. Позже с помощью своей жены он бежал в Швейцарию, где продолжил разработку этого метода. В 1950 году Трахтенберг основал Математический Институт в
7 Цюрихе, где учились и дети, и взрослые. Его назвали «школой для гениев». Обучающиеся быстро осваивали математику и добивались успехов во всех предметах. Уровень их интеллекта значительно превышал средние показатели. Интенсивная игра чисел улучшала память и внимание. После войны Трахтенберг создал и возглавил Цюрихский математический институт, получивший мировую известность.
2. Диагностика навыков быстрого счета учащихся.
Практика показывает, что многие учащиеся не владеют прочными вычислительными навыками, допускают различные ошибки. То ли думать им лень (зачем загружать себя лишней работой, если есть калькуляторы), то ли в свое время их этому никто не научил. Приемов рациональных вычислений в учебниках практически нет. Сложные формулы и алгоритмы школьной программы все дальше и дальше уводят учеников от простых, понятных навыков устного счета. Как известно, особенно учащиеся старших классов, давно не упражнявшиеся в устном счете, потеряли навык устных вычислений и не имеют возможности сделать простые расчёты без помощи калькулятора, что негативно сказывается как на результатах ЕГЭ, так и на самой успеваемости. Мы попытались выяснить, как обстоят дела с вычислениями среди учащихся нашей школы. Совместно с учителем математики проанализировав результаты экзаменов в форме ЕГЭ по математике в 11 классе 2012г. и в 9 классе 2014 г., мы выявили, что наибольшее количество ошибок учащиеся допускают при выполнении заданий на вычисления и преобразование алгебраических выражений. В 2012 году в тестировании приняли участие 21 ученика, в 2014 году – 18. На диаграммах показано количество ошибок, допущенных учащимися.
8 Анализируя с учителем экзаменационные работы учащихся 9 классов, мы сделали вывод, что многие ребята испытывают трудности в переводе числовой информации из одной формы в другую, например, 20 3 = 0,06, 3 1 0,3, 7 10 -5 = 0,00007; редко используют потенциал преобразования числовых выражений (свойства арифметических действий, основное свойство дроби и прочее). Из всего сказанного следует, что учащиеся недостаточно уверенно владеют вычислительными стратегиями (сочетанием устных, письменных и инструментальных вычислений), пренебрегают промежуточным контролем и проверкой правдоподобия результата. Ошибки в расчетах сбивают с пути, намеченного для достижения результата, а внимание, сосредоточенное на осмыслении хода решения задачи, переносится на преодоление трудностей, связанных с вычислениями. Прежде всего, мы провели проверку знания таблиц сложения, вычитания, умножения и деления (независимо от того, пятый это класс или одиннадцатый). 0 2 4 6 8 В3 В4 В7 В9 В12
ЕГЭ 2012
0 2 4 6 8 10 12 Пример с десятичными дробями Вычисление членов прогрессии Вычисление значения выражения
9 Для диагностики была выбрана группа ребят из каждого класса по 10 человек. Форма проверки – устный счет по карточкам и таблицам. Результаты получились следующими: На диаграмме показано количество ошибок, допущенных учащимися. Для того чтобы выяснить, знают ли учащиеся нашей школы другие способы выполнения арифметических действий, кроме умножения столбиком и деления «уголком» и хотели бы узнать новые способы, был проведен устный опрос среди учащихся 5 – 11 классов. 1 По результатам опроса можно сделать вывод, что в большинстве случаев современные школьники не знают других способов выполнения действий кроме таких как сложение, вычитание, умножение и деление «уголком», так как редко обращаются к материалу, находящемуся за пределами школьной программы. Проводимые исследования показывают, что большое количество учащихся не владеют навыками вычислительной культуры, допускают различные ошибки в вычислениях. Это сказывается на результатах ЕГЭ и ОГЭ по математике. Так нужно ли тратить время на то, чтобы научиться считать быстро, рационально? Этот вопрос обсуждать нет смысла, так как устный счет позволяет сосредоточить внимание, заставляет ученика слушать объяснения своих товарищей, чтобы понять, как выполняются задания, учащиеся не только отрабатывают вычислительные навыки, но и запоминают алгоритмы выполнения простых заданий до автоматизма. Это позволит им выполнять более сложные 1 Смотри приложение 1 0 1 2 3 4 5 4класс 7класс 11класс Выполнили верно Допустили ошибки Решили всё неправильно
10 задания, не затрачивая времени и умственной энергии на то, чтобы вспомнить простое. Проанализировав ситуацию с «устным счётом» у учащихся нашей школы, мы решили сами изучить рациональные способы вычислений, те приёмы устного счёта, которыми не владеем (хотя понимаем, что всё изучить невозможно), и провести мастер – классы «Приемы быстрого счета» для учащихся 5, 7, 9 «Б», 11 классов.
3. Упрощённые приёмы устных вычислений.
3.1. Умножение двузначного числа на 11.
Умножение на 11 числа, сумма цифр которого не превышает 10.
Чтобы умножить на 11 число, сумма цифр которого меньше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр. 72 11 = 7 (7+2) 2 = 792; 35 11 = 3 (3+5) 5 = 385;
Умножение на 11 числа, сумма цифр которого больше 10.
Чтобы умножить на 11 число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить 1, а вторую и последнюю (третью) цифру оставить без изменения. 78 11 = 7 (7+8) 8 = 7(15)8 = 858. 94 11 = 9 (9+4) 4 = 9 (13) 4 = 1034;
Умножение числа на 11(по Трахтенбергу).
2
Разберем на примере: 633 умножить на 11. Ответ пишется под 633 по одной цифре справа налево, как указано в правилах. Первое правило. Напишите последнюю цифру числа 633 в качестве правой цифры результата 2 Катлер Э. Мак-Шейн Р. Система быстрого счёта по Трахтенбергу. — М.: Учпедгиз.- 1998 г.
11 633 11 3 Второе правило. Каждая последующая цифра числа 633 складывается со своим правым соседом и записывается в результат. 3 + 3 будет 6. Перед тройкой записываем результат 6. 633 11 63 Применим правило еще раз: 6 + 3 будет 9. Записываем и эту цифру в результате: 633 11 963 Третье правило. Первая цифра числа 633, то есть 6, становится левой цифрой результата: 633 11 6963 Ответ: 6963.
Умножение числа на 11. (по Берману).
3
Берман вывел, что при умножении на одиннадцать, число нужно умножить на 10 и прибавить само себя, то есть то число, которое мы умножаем. Пример: 110 11 = 110 (10 + 1) = 110 10 + 110 1 = 1100 + 110 =1210 Ответ: 1210. Пример: 123 11 = 123 (10 +1) = 123 10 + 123 1 = 1230 + 123 =1353 Ответ: 1353.
3.2. Умножение числа на 111, 1111, 11111 и т.д.
Умножение
числа
на
111,
1111,
11111
и
т.д.,
зная
правила
умножения двузначного числа на 11
Если сумма цифр первого множителя меньше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа на 2, 3 и т.д. шага, сложить цифры и записать соответствующее 3 Берман Г. Н. Приемы счёта. М.: Физматгиз, 2006 г.
12 количество раз их сумму между раздвинутыми цифрами. Количество шагов всегда меньше количества единиц на 1. Пример: 24 111 = 2 (2 + 4) (2+4) 4 = 2664 (количество шагов – 2) 24 1111 = 2 (2 +4) (2 +4) (2+4) 4 = 26664 (количество шагов – 3) При умножении числа 72 на 111111 цифры 7 и 2 надо раздвинуть на 5 шагов. Эти вычисления можно легко произвести в уме. 72 111111 = 7999992 (количество шагов – 5) Если единиц во втором множителе 7, то шагов будет на один меньше, т.е. 6. Если единиц 8, то шагов будет 7 и т.д. 61х 11111111 = 677777771 Эти вычисления можно легко произвести в уме.
Умножение двузначного числа на 111, 1111, 11111 и т.д., сумма
цифр которого равна 10 или больше 10
Немного сложнее выполнить устное умножение, если сумма цифр первого множителя равна 10 или более 10. Примеры: 48 111 = 4 (4+8) (4+8) 8 = 4 (12) (12) 8 = (4 +1) (2+1) 28 = 5328. В этом случае к первой цифре надо прибавить 1. Получим 5. Далее 2 + 1 = 3. А последние цифры 2 и 8 оставляем без изменения. 56 11111 = 5(5+6)(5+6)(5+6)(5+6)6 = 5(11)(11)(11)(11)6 = 622216 67 1111 = 6(6+7)…7 = 6(13)…7 = 74437
3.3. Алгоритмы ускоренных вычислений.
Умножение на числа близкие к 10, 20,30… справа и слева: 8, 9, 11,
12, 13; 18,19,21,22..
Примеры: 25 12=25 (10+2)=250+50=300; 11 36=36 (10+1)=360+36=396; 27 9=(30-3) 9=270-27=243, 27 9=(10-1)27=270-27=243.
13
Умножение чисел на 101 , 1001 и т.д.
Чтобы любое число умножить на 101, надо к этому числу приписать справа это же число. Примеры: 32 101 = 3232; 47 101 = 4747; 54 101 = 5454; 93 101 = 9393. Интересным свойством обладает число Шехерезады. Оно является произведением простых чисел 7, 11, 13. При умножении числа 1001 на любое трёхзначное число, в ответе получается число, записанное дважды данным трёхзначным числом. Пример. 1001 х 347 = 347 347. На этом свойстве числа 1001 основаны многие математические «фокусы» угадывания чисел. Примеры: 324 1001 = 324 324; 675 1001 = 675 675; 869 1001 = 869 869. Другие примеры: 6478 10001 = 64786478; 846932 1000001 = 846932846932.
Умножение чисел на 37.
Прежде чем научиться устно умножать на 37, надо хорошо знать признак делимости и таблицу умножения на 3. Чтобы устно умножить число на 37, надо это число разделить на 3 и умножить на 111, Примеры: 24 37 = (24:3) 37 3 = 8 111 = 888; 18 37 = 18 : 3 111 = 6 111 = 666.
Умножение трехзначного числа на 999.
Любопытная особенность числа 999 проявляется при умножении на него всякого другого трехзначного числа. Тогда получается шестизначное произведение: первые три цифры его есть умножаемое число, только уменьшенное на единицу, а остальные три цифры (кроме последней) – «дополнения» первых до 9. Например:
14 572 573 999 = 572 427 999
Умножение на 12 (по Трахтенбергу)
При умножении на 12 можно число умножить сначала на 6, а затем на 2. 6, в свою очередь, можно разбить на 2 множителя – это 3 и 2. Пример : 136 12 = 136 6 2 = 816 2 = 1632 или 136 12 = 136 3 2 2 = 408 2 2 = 816 2 = 1632
3.4. Способы устного возведения в квадрат.
Квадрат числа, оканчивающегося на 5
При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 5, нужно отбросить эту цифру 5, умножить полученное число на следующее натуральное число и к полученному результату приписать 25. Пример. Найдем без помощи калькулятора квадрат 95. 1. 9 10 =90 2. к числу 90 приписываем число 25, получаем 9025. Т.е. 95 2 = 9025; Пример. 135 2 → (13 14)→ к полученному результату припишем 25 Умножим устно 13 на 14 способом, описанным выше. 13 14= 17 + 12 182→приписываем 25→18225, т.о. 135 2 =18225. Пример. Аналогично и с десятичными дробями: 7,5 2 =56,25.
Квадрат числа, оканчивающегося на 1.
При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 1, нужно заменить эту единицу на 0, возвести новое число в квадрат и прибавить к этому квадрату исходное число и число, полученное заменой 1 на 0. Пример. 71 2 = ? 71→70→70 2 =4900→4900+70+71=5041=71 2 . При возведении в квадрат часто бывает удобно воспользоваться формулой (а b) 2 =а 2 +b 2 2аb.
15 Пример. 41 2 = (40+1) 2 =1600+1+80=1681.
Возведение в квадрат чисел, состоящих только из 1.
Вот несколько интересных образцов умножения, которые легко запоминаются и могут быть использованы на ОГЭ и ЕГЭ.
11 11 =121 111 111 = 12321 1111 1111 = 1234321 11111 11111 =123454321 111111 111111 = 12345654321 1111111 1 111111 = 1234567654321 11111111 11111111 = 123456787654321 111111111 111111111 = 12345678987654321
3.5. Интересные способы устных вычислений
Чтобы умножить число на 1,5; 15; 150, нужно это число умножить соответственно на 1; 10; 100 и к полученному произведению прибавить его половину. Пример. Найдем произведение чисел 66 и 1,5. 66 1,5 = 66 + (66 / 2) = 99. Чтобы умножить какое-то число на 5; 50; 500, его нужно умножить соответственно на 10; 100; 1 000 и полученное произведение разделить на 2. Число нулей в произведении равно числу цифр в целой части множителя. Пример. Найдем произведение чисел 74 и 50. 74 50 = (74 100) / 2 = 7400 / 2 = 3 700. Чтобы умножить число на 4, его дважды удваивают. Пример. 214 4 = (214 2) 2 = 428 2 = 856 537 4 = (537 2) 2 = 1074 2 = 2148 Чтобы число разделить на 4 , его дважды делят на 2. Пример. 124 : 4 = (124 : 2) : 2 = 62 : 2 = 31 2648 : 4 = (2648 : 2) : 2 = 1324 : 2 = 662
16 Чтобы умножить число на 9, к нему приписывают 0 и отнимают исходное число. Пример. 241 9 = 2410 – 241 = 2169 847 9 = 8470 – 847 = 7623 Чтобы разделить число на 8,надо трижды разделить его на 2. Чтобы умножить число на 25, надо умножить его на 100 и разделить полученное произведение на 4.
4. Некоторые рекомендации для учащихся, желающих научиться быстро
и рационально считать:
Возьмите себе за правило для начала 5-7 или даже менее вычислений в день, но старайтесь выполнять их с улыбкой и неукоснительно! Не увеличивайте нагрузку чаще раза в неделю. Попробуйте сделать эти вычисления фоном для других занятий. При спокойном и положительном эмоциональном фоне скорость и объем вычислений возрастут достаточно быстро сами собой. Для лучшего и плавного привыкания к особенностям нагрузки при устном счете советуем сначала проделать это упражнение так: записываем на бумаге условия конкретного вычисления (скажем, 35*12), глядя на него, производим устный расчет, и записываем итог на бумагу (для возможности проверки). При таком подходе на начальном этапе легче набирать объем вычислений в расчете на день (неделю и т.п.). Важный признак и критерий - завершайте ваши занятия, когда еще сохраняется "аппетит" на их продолжение. Это весьма и весьма способствует созданию здорового психологического настроя в работе. Если вы будете ему следовать, каждый миг занятий сможет стать для вас творчеством, познанием, увлекательной игрой, в которую хочется играть все больше и больше... По окончании вычислений желательно определиться по направленности занятий на следующий день. Эти приемы весьма активно использовал и пропагандировал в своей писательской деятельности Э. Хемингуэй.
17
Заключение
В своей работе мы рассмотрели лишь некоторые нестандартные приёмы устных вычислений, способствующих развитию памяти и повышению математической культуры учащихся. Хочется ещё раз акцентировать внимание на том, что термин «устные вычисления» означает применение рациональных приемов, алгоритмов ускоренных вычислений, важно большую часть вычислительной работы делать без записей или при наименьшем возможном их количестве. На основании исследований мы сделали вывод о том, что знание упрощённых приёмов устных вычислений остаётся необходимым даже при полной механизации всех наиболее трудоёмких вычислительных процессов. Работа, проведенная нами, доказывает, что знание этих приёмов и их применение особенно важно в тех случаях, когда учащийся не имеет в своём распоряжении таблиц или калькулятора. Мы нашли в Интернете подборку различных таблиц для устного счёта по большинству тем школьного курса математики и с большим удовольствием поделимся данным материалом со всеми желающими. Математика – наука интересная и сложная, поэтому нельзя упускать ни одной возможности, чтобы сделать ее более доступной. Возрастание роли математики в современной жизни привело к тому, что для адаптации в современном обществе и активному участию в нем необходимо быть математически грамотным человеком. Как мы видим, быстрый счет это уже не тайна за семью печатями, а научно разработанная система. Раз есть система, значит, ее можно изучать, ей можно следовать, ею можно овладеть. Следовательно, наша гипотеза подтвердилась. Существуют специальные способы выполнения действий, которые позволяют свести вычисления к устным. В процессе исследования была проделана следующая работа: Проведена диагностика навыков быстрого счета учащихся. В результате анализа подобранной литературы найдены и изучены различные рациональные приемы вычислений.
18 Проведены мастер-классы «Приемы быстрого счета» для учащихся 5, 7 «А», 9 «Б», 11 классов. Опытным путем установлено, что знание рациональных приемов способствуют быстроте вычислений. Мы выбрали тему «Секреты быстрого счёта » потому, что хотели бы научиться считать быстро и рационально, не прибегая к использованию калькулятора. В заключение хочется сказать, что изучив некоторые рациональные приемы вычислений и научившись применять их, можно более успешно подготовиться к сдаче ОГЭ и ЕГЭ по математике, а также это необходимо и в повседневной жизни. Как же справедливы слова Иоганна Гёте: «Счёт является, правда, низкой, но уже идеальной деятельностью человека, и с помощью него столь многое осуществляется в обыденной жизни»…
19
Список литературы
1. Балаян.Э.Н.1001 олимпиадная и занимательная задачи по математике. Ростов – на - Дону: Феникс,2005 г. 2. Берман Г. Н. Приемы счёта. М.: Физматгиз, 2006 г. 3. Гольдштейн Д. Н. Техника быстрых вычислений. М.: Учпедгиз, 1948. 4. Коликов А.Ф. Изобретательность в вычислениях. М.: Дрофа, 2003 г. Сорокин А. С. Техника счёта. М.: Знание, 2010 г. 5. Шустеф Ф.М. Материал для внеклассной работы по математике. М.: Мнемозина, 2006 г. 6. Юшкевич А. П. История математики с древнейших времен до начала ХIХ столетия. М.: Наука, 2003г. 7. Перельман Я. И. Быстрый счёт. Л.: Союзпечать, 1989 г. 8. Гончар Д. Р. Устный счёт и память: загадки, приёмы развития, игры. Донецк: Сталкер, 2001 г. 9. Катлер Э. Мак-Шейн Р. Система быстрого счёта по Трахтенбергу. — М.: Учпедгиз.- 1998 г.
20
2
Оглавление
Введение…………………………………………………………………………………. 4 1. Компоненты вычислительной культуры …………..………………………………...5 2. Диагностика навыков быстрого счета учащихся…………………………………….7 3. Упрощённые приёмы устных вычислений………………………………………….10 3.1 Умножение двузначного числа на 11………………………………………………10 3.2 Умножение числа на 111, 1111 и т.д. ……………………………………………...11 3.3 Алгоритмы ускоренных вычислений.…………………………………………….12 3.4 Способы устного возведения в квадрат.…….……………………………………..14 3.5 Интересные способы устных вычислений…………………………………………15 4. Рекомендации для учащихся, желающих научиться быстро считать…………….16 Заключение……………………………………………………………………………….17 Список литературы…………………………………………………………………19
3
Введение
Счёт и вычисления – основа порядка в голове. Иоганн Генрих Песталоцци В повседневной жизни, когда дорога каждая минута, очень важным является умение быстро и рационально произвести вычисления устно, не допустив при этом ошибки и не используя при этом никаких дополнительных средств (калькулятор, ручка и листочек). Школьники сталкиваются с такой проблемой повсеместно: и в школе на уроках, и в домашних условиях, в магазине. В связи с введением обязательного ЕГЭ и ОГЭ по математике возникает необходимость научиться решать быстро и качественно задачи. При этом возрастает роль устных вычислений и вычислений вообще, так как на экзамене не разрешается использовать калькулятор и таблицы. Многие вычислительные операции, которые мы обычно записываем в ходе подробного решения задачи, в рамках теста совершенно не требуют этого. В наш век, век новых технологий и развития компьютерной техники, разговор об устном счете может показаться неуместным, однако и по сей день гибкость ума является предметом гордости людей, а способность, производить в уме вычисления вызывает откровенное удивление.
Актуальность
исследования состоит в том, что в наше время все чаще на помощь ученикам приходят калькуляторы, и все большее количество учеников не может считать устно. А ведь изучение математики развивает логическое мышление, память, гибкость ума, приучает человека к точности, к умению видеть главное, сообщает необходимые сведения для понимания сложных задач, возникающих в различных областях деятельности современного человека. Поэтому в своей работе мы хотим показать, как можно считать быстро и правильно и что процесс выполнения действий может быть не только полезным, но и интересным занятием. Школьникам, которые из урока в урок привыкли производить вычисления на калькуляторе, трудно приходится на ЕГЭ и ОГЭ . Научиться быстро считать не так уж сложно, а учащимся, которым предстоит сдавать ЕГЭ и ГИА по математике,
4 просто необходимо владеть основными приемами быстрого счета. Кроме того, быстрый счет - настоящая гимнастика для ума, приучающая в самых сложных жизненных ситуациях находить в кратчайшее время хорошие и нестандартные решения. Именно поэтому, данную тему мы считаем актуальной и выбрали её для своего проекта. Идеи устного счета не новы, но основательно забыты благодаря развитию современных технологий. Так что новое, это, как говориться, – хорошо забытое старое.
Гипотеза
нашего
исследования
заключается
в
следующем
: существуют специальные способы выполнения действий, которые позволяют свести вычисления к устным.
Объект исследования:
методы и приёмы быстрого счета.
Предмет исследования:
нестандартные приёмы и навыки быстрого счета при подготовке к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
Цель
данной
работы:
изучить некоторые рациональные приемы устных вычислений и научиться применять их при подготовке к ОГЭ и ЕГЭ по математике и в повседневной жизни. Для достижения поставленной цели мы предполагали решение следующих
задач:
Изучить литературу по данной теме. Исследовать, применяют ли школьники приемы быстрого счета. Изучить приемы быстрого счета, которые можно использовать, упрощая вычисления. Составить памятку для учащихся 5-6 классов для применения приемов быстрого счета. Провести мастер-классы «Приемы быстрого счета». Обучение устному счету вносит вклад в развитие интеллектуальных способностей учащихся. Устные вычисления способствуют развитию памяти,
5 создают условия для развития быстроты реакции и формируют стремление к поиску рациональных способов решения, воспитывают умение сосредоточиться, что помогает в изучении других дисциплин.
6
1.
Компоненты вычислительной культуры
Всем известно, какую роль в школьном курсе обучения имеют вычислительные навыки. Ни один пример, ни одну задачу по математике, физике, химии нельзя решить, не обладая навыками элементарных способов вычислений. Счет в уме является самым древним и простым способом вычисления. Ранее он сводился в основном к вычислениям, поэтому за ним закрепилось название «устный счет». Ярким примером тому является картина Николая Богданова- Бельского «Устный счёт. В народной школе С. А. Рачинского». Разработкой приемов быстрого счета занимались многие ученые: Яков Исидорович Перельман, Георгий Берман, Я. Трахтенберг и другие. Необычная история создания целой системы повышения быстроты счета. Она создана была в годы второй мировой войны профессором математики Я. Трахтенбергом. Во время Второй мировой войны Трахтенберг стал узником нацистского концентрационного лагеря. В заключении разработал свою арифметическую систему, так называемый метод Трахтенберга. Без сомнения, занимался он этим, чтобы сохранить рассудок. Позже с помощью своей жены он бежал в Швейцарию, где продолжил разработку этого метода. В 1950 году Трахтенберг основал Математический Институт в
7 Цюрихе, где учились и дети, и взрослые. Его назвали «школой для гениев». Обучающиеся быстро осваивали математику и добивались успехов во всех предметах. Уровень их интеллекта значительно превышал средние показатели. Интенсивная игра чисел улучшала память и внимание. После войны Трахтенберг создал и возглавил Цюрихский математический институт, получивший мировую известность.
2. Диагностика навыков быстрого счета учащихся.
Практика показывает, что многие учащиеся не владеют прочными вычислительными навыками, допускают различные ошибки. То ли думать им лень (зачем загружать себя лишней работой, если есть калькуляторы), то ли в свое время их этому никто не научил. Приемов рациональных вычислений в учебниках практически нет. Сложные формулы и алгоритмы школьной программы все дальше и дальше уводят учеников от простых, понятных навыков устного счета. Как известно, особенно учащиеся старших классов, давно не упражнявшиеся в устном счете, потеряли навык устных вычислений и не имеют возможности сделать простые расчёты без помощи калькулятора, что негативно сказывается как на результатах ЕГЭ, так и на самой успеваемости. Мы попытались выяснить, как обстоят дела с вычислениями среди учащихся нашей школы. Совместно с учителем математики проанализировав результаты экзаменов в форме ЕГЭ по математике в 11 классе 2012г. и в 9 классе 2014 г., мы выявили, что наибольшее количество ошибок учащиеся допускают при выполнении заданий на вычисления и преобразование алгебраических выражений. В 2012 году в тестировании приняли участие 21 ученика, в 2014 году – 18. На диаграммах показано количество ошибок, допущенных учащимися.
8 Анализируя с учителем экзаменационные работы учащихся 9 классов, мы сделали вывод, что многие ребята испытывают трудности в переводе числовой информации из одной формы в другую, например, 20 3 = 0,06, 3 1 0,3, 7 10 -5 = 0,00007; редко используют потенциал преобразования числовых выражений (свойства арифметических действий, основное свойство дроби и прочее). Из всего сказанного следует, что учащиеся недостаточно уверенно владеют вычислительными стратегиями (сочетанием устных, письменных и инструментальных вычислений), пренебрегают промежуточным контролем и проверкой правдоподобия результата. Ошибки в расчетах сбивают с пути, намеченного для достижения результата, а внимание, сосредоточенное на осмыслении хода решения задачи, переносится на преодоление трудностей, связанных с вычислениями. Прежде всего, мы провели проверку знания таблиц сложения, вычитания, умножения и деления (независимо от того, пятый это класс или одиннадцатый). 0 2 4 6 8 В3 В4 В7 В9 В12
ЕГЭ 2012
0 2 4 6 8 10 12 Пример с десятичными дробями Вычисление членов прогрессии Вычисление значения выражения
9 Для диагностики была выбрана группа ребят из каждого класса по 10 человек. Форма проверки – устный счет по карточкам и таблицам. Результаты получились следующими: На диаграмме показано количество ошибок, допущенных учащимися. Для того чтобы выяснить, знают ли учащиеся нашей школы другие способы выполнения арифметических действий, кроме умножения столбиком и деления «уголком» и хотели бы узнать новые способы, был проведен устный опрос среди учащихся 5 – 11 классов. 1 По результатам опроса можно сделать вывод, что в большинстве случаев современные школьники не знают других способов выполнения действий кроме таких как сложение, вычитание, умножение и деление «уголком», так как редко обращаются к материалу, находящемуся за пределами школьной программы. Проводимые исследования показывают, что большое количество учащихся не владеют навыками вычислительной культуры, допускают различные ошибки в вычислениях. Это сказывается на результатах ЕГЭ и ОГЭ по математике. Так нужно ли тратить время на то, чтобы научиться считать быстро, рационально? Этот вопрос обсуждать нет смысла, так как устный счет позволяет сосредоточить внимание, заставляет ученика слушать объяснения своих товарищей, чтобы понять, как выполняются задания, учащиеся не только отрабатывают вычислительные навыки, но и запоминают алгоритмы выполнения простых заданий до автоматизма. Это позволит им выполнять более сложные 1 Смотри приложение 1 0 1 2 3 4 5 4класс 7класс 11класс Выполнили верно Допустили ошибки Решили всё неправильно
10 задания, не затрачивая времени и умственной энергии на то, чтобы вспомнить простое. Проанализировав ситуацию с «устным счётом» у учащихся нашей школы, мы решили сами изучить рациональные способы вычислений, те приёмы устного счёта, которыми не владеем (хотя понимаем, что всё изучить невозможно), и провести мастер – классы «Приемы быстрого счета» для учащихся 5, 7, 9 «Б», 11 классов.
3. Упрощённые приёмы устных вычислений.
3.1. Умножение двузначного числа на 11.
Умножение на 11 числа, сумма цифр которого не превышает 10.
Чтобы умножить на 11 число, сумма цифр которого меньше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр. 72 11 = 7 (7+2) 2 = 792; 35 11 = 3 (3+5) 5 = 385;
Умножение на 11 числа, сумма цифр которого больше 10.
Чтобы умножить на 11 число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить 1, а вторую и последнюю (третью) цифру оставить без изменения. 78 11 = 7 (7+8) 8 = 7(15)8 = 858. 94 11 = 9 (9+4) 4 = 9 (13) 4 = 1034;
Умножение числа на 11(по Трахтенбергу).
2
Разберем на примере: 633 умножить на 11. Ответ пишется под 633 по одной цифре справа налево, как указано в правилах. Первое правило. Напишите последнюю цифру числа 633 в качестве правой цифры результата 2 Катлер Э. Мак-Шейн Р. Система быстрого счёта по Трахтенбергу. — М.: Учпедгиз.- 1998 г.
11 633 11 3 Второе правило. Каждая последующая цифра числа 633 складывается со своим правым соседом и записывается в результат. 3 + 3 будет 6. Перед тройкой записываем результат 6. 633 11 63 Применим правило еще раз: 6 + 3 будет 9. Записываем и эту цифру в результате: 633 11 963 Третье правило. Первая цифра числа 633, то есть 6, становится левой цифрой результата: 633 11 6963 Ответ: 6963.
Умножение числа на 11. (по Берману).
3
Берман вывел, что при умножении на одиннадцать, число нужно умножить на 10 и прибавить само себя, то есть то число, которое мы умножаем. Пример: 110 11 = 110 (10 + 1) = 110 10 + 110 1 = 1100 + 110 =1210 Ответ: 1210. Пример: 123 11 = 123 (10 +1) = 123 10 + 123 1 = 1230 + 123 =1353 Ответ: 1353.
3.2. Умножение числа на 111, 1111, 11111 и т.д.
Умножение
числа
на
111,
1111,
11111
и
т.д.,
зная
правила
умножения двузначного числа на 11
Если сумма цифр первого множителя меньше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа на 2, 3 и т.д. шага, сложить цифры и записать соответствующее 3 Берман Г. Н. Приемы счёта. М.: Физматгиз, 2006 г.
12 количество раз их сумму между раздвинутыми цифрами. Количество шагов всегда меньше количества единиц на 1. Пример: 24 111 = 2 (2 + 4) (2+4) 4 = 2664 (количество шагов – 2) 24 1111 = 2 (2 +4) (2 +4) (2+4) 4 = 26664 (количество шагов – 3) При умножении числа 72 на 111111 цифры 7 и 2 надо раздвинуть на 5 шагов. Эти вычисления можно легко произвести в уме. 72 111111 = 7999992 (количество шагов – 5) Если единиц во втором множителе 7, то шагов будет на один меньше, т.е. 6. Если единиц 8, то шагов будет 7 и т.д. 61х 11111111 = 677777771 Эти вычисления можно легко произвести в уме.
Умножение двузначного числа на 111, 1111, 11111 и т.д., сумма
цифр которого равна 10 или больше 10
Немного сложнее выполнить устное умножение, если сумма цифр первого множителя равна 10 или более 10. Примеры: 48 111 = 4 (4+8) (4+8) 8 = 4 (12) (12) 8 = (4 +1) (2+1) 28 = 5328. В этом случае к первой цифре надо прибавить 1. Получим 5. Далее 2 + 1 = 3. А последние цифры 2 и 8 оставляем без изменения. 56 11111 = 5(5+6)(5+6)(5+6)(5+6)6 = 5(11)(11)(11)(11)6 = 622216 67 1111 = 6(6+7)…7 = 6(13)…7 = 74437
3.3. Алгоритмы ускоренных вычислений.
Умножение на числа близкие к 10, 20,30… справа и слева: 8, 9, 11,
12, 13; 18,19,21,22..
Примеры: 25 12=25 (10+2)=250+50=300; 11 36=36 (10+1)=360+36=396; 27 9=(30-3) 9=270-27=243, 27 9=(10-1)27=270-27=243.
13
Умножение чисел на 101 , 1001 и т.д.
Чтобы любое число умножить на 101, надо к этому числу приписать справа это же число. Примеры: 32 101 = 3232; 47 101 = 4747; 54 101 = 5454; 93 101 = 9393. Интересным свойством обладает число Шехерезады. Оно является произведением простых чисел 7, 11, 13. При умножении числа 1001 на любое трёхзначное число, в ответе получается число, записанное дважды данным трёхзначным числом. Пример. 1001 х 347 = 347 347. На этом свойстве числа 1001 основаны многие математические «фокусы» угадывания чисел. Примеры: 324 1001 = 324 324; 675 1001 = 675 675; 869 1001 = 869 869. Другие примеры: 6478 10001 = 64786478; 846932 1000001 = 846932846932.
Умножение чисел на 37.
Прежде чем научиться устно умножать на 37, надо хорошо знать признак делимости и таблицу умножения на 3. Чтобы устно умножить число на 37, надо это число разделить на 3 и умножить на 111, Примеры: 24 37 = (24:3) 37 3 = 8 111 = 888; 18 37 = 18 : 3 111 = 6 111 = 666.
Умножение трехзначного числа на 999.
Любопытная особенность числа 999 проявляется при умножении на него всякого другого трехзначного числа. Тогда получается шестизначное произведение: первые три цифры его есть умножаемое число, только уменьшенное на единицу, а остальные три цифры (кроме последней) – «дополнения» первых до 9. Например:
14 572 573 999 = 572 427 999
Умножение на 12 (по Трахтенбергу)
При умножении на 12 можно число умножить сначала на 6, а затем на 2. 6, в свою очередь, можно разбить на 2 множителя – это 3 и 2. Пример : 136 12 = 136 6 2 = 816 2 = 1632 или 136 12 = 136 3 2 2 = 408 2 2 = 816 2 = 1632
3.4. Способы устного возведения в квадрат.
Квадрат числа, оканчивающегося на 5
При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 5, нужно отбросить эту цифру 5, умножить полученное число на следующее натуральное число и к полученному результату приписать 25. Пример. Найдем без помощи калькулятора квадрат 95. 1. 9 10 =90 2. к числу 90 приписываем число 25, получаем 9025. Т.е. 95 2 = 9025; Пример. 135 2 → (13 14)→ к полученному результату припишем 25 Умножим устно 13 на 14 способом, описанным выше. 13 14= 17 + 12 182→приписываем 25→18225, т.о. 135 2 =18225. Пример. Аналогично и с десятичными дробями: 7,5 2 =56,25.
Квадрат числа, оканчивающегося на 1.
При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 1, нужно заменить эту единицу на 0, возвести новое число в квадрат и прибавить к этому квадрату исходное число и число, полученное заменой 1 на 0. Пример. 71 2 = ? 71→70→70 2 =4900→4900+70+71=5041=71 2 . При возведении в квадрат часто бывает удобно воспользоваться формулой (а b) 2 =а 2 +b 2 2аb.
15 Пример. 41 2 = (40+1) 2 =1600+1+80=1681.
Возведение в квадрат чисел, состоящих только из 1.
Вот несколько интересных образцов умножения, которые легко запоминаются и могут быть использованы на ОГЭ и ЕГЭ.
11 11 =121 111 111 = 12321 1111 1111 = 1234321 11111 11111 =123454321 111111 111111 = 12345654321 1111111 1 111111 = 1234567654321 11111111 11111111 = 123456787654321 111111111 111111111 = 12345678987654321
3.5. Интересные способы устных вычислений
Чтобы умножить число на 1,5; 15; 150, нужно это число умножить соответственно на 1; 10; 100 и к полученному произведению прибавить его половину. Пример. Найдем произведение чисел 66 и 1,5. 66 1,5 = 66 + (66 / 2) = 99. Чтобы умножить какое-то число на 5; 50; 500, его нужно умножить соответственно на 10; 100; 1 000 и полученное произведение разделить на 2. Число нулей в произведении равно числу цифр в целой части множителя. Пример. Найдем произведение чисел 74 и 50. 74 50 = (74 100) / 2 = 7400 / 2 = 3 700. Чтобы умножить число на 4, его дважды удваивают. Пример. 214 4 = (214 2) 2 = 428 2 = 856 537 4 = (537 2) 2 = 1074 2 = 2148 Чтобы число разделить на 4 , его дважды делят на 2. Пример. 124 : 4 = (124 : 2) : 2 = 62 : 2 = 31 2648 : 4 = (2648 : 2) : 2 = 1324 : 2 = 662
16 Чтобы умножить число на 9, к нему приписывают 0 и отнимают исходное число. Пример. 241 9 = 2410 – 241 = 2169 847 9 = 8470 – 847 = 7623 Чтобы разделить число на 8,надо трижды разделить его на 2. Чтобы умножить число на 25, надо умножить его на 100 и разделить полученное произведение на 4.
4. Некоторые рекомендации для учащихся, желающих научиться быстро
и рационально считать:
Возьмите себе за правило для начала 5-7 или даже менее вычислений в день, но старайтесь выполнять их с улыбкой и неукоснительно! Не увеличивайте нагрузку чаще раза в неделю. Попробуйте сделать эти вычисления фоном для других занятий. При спокойном и положительном эмоциональном фоне скорость и объем вычислений возрастут достаточно быстро сами собой. Для лучшего и плавного привыкания к особенностям нагрузки при устном счете советуем сначала проделать это упражнение так: записываем на бумаге условия конкретного вычисления (скажем, 35*12), глядя на него, производим устный расчет, и записываем итог на бумагу (для возможности проверки). При таком подходе на начальном этапе легче набирать объем вычислений в расчете на день (неделю и т.п.). Важный признак и критерий - завершайте ваши занятия, когда еще сохраняется "аппетит" на их продолжение. Это весьма и весьма способствует созданию здорового психологического настроя в работе. Если вы будете ему следовать, каждый миг занятий сможет стать для вас творчеством, познанием, увлекательной игрой, в которую хочется играть все больше и больше... По окончании вычислений желательно определиться по направленности занятий на следующий день. Эти приемы весьма активно использовал и пропагандировал в своей писательской деятельности Э. Хемингуэй.
17
Заключение
В своей работе мы рассмотрели лишь некоторые нестандартные приёмы устных вычислений, способствующих развитию памяти и повышению математической культуры учащихся. Хочется ещё раз акцентировать внимание на том, что термин «устные вычисления» означает применение рациональных приемов, алгоритмов ускоренных вычислений, важно большую часть вычислительной работы делать без записей или при наименьшем возможном их количестве. На основании исследований мы сделали вывод о том, что знание упрощённых приёмов устных вычислений остаётся необходимым даже при полной механизации всех наиболее трудоёмких вычислительных процессов. Работа, проведенная нами, доказывает, что знание этих приёмов и их применение особенно важно в тех случаях, когда учащийся не имеет в своём распоряжении таблиц или калькулятора. Мы нашли в Интернете подборку различных таблиц для устного счёта по большинству тем школьного курса математики и с большим удовольствием поделимся данным материалом со всеми желающими. Математика – наука интересная и сложная, поэтому нельзя упускать ни одной возможности, чтобы сделать ее более доступной. Возрастание роли математики в современной жизни привело к тому, что для адаптации в современном обществе и активному участию в нем необходимо быть математически грамотным человеком. Как мы видим, быстрый счет это уже не тайна за семью печатями, а научно разработанная система. Раз есть система, значит, ее можно изучать, ей можно следовать, ею можно овладеть. Следовательно, наша гипотеза подтвердилась. Существуют специальные способы выполнения действий, которые позволяют свести вычисления к устным. В процессе исследования была проделана следующая работа: Проведена диагностика навыков быстрого счета учащихся. В результате анализа подобранной литературы найдены и изучены различные рациональные приемы вычислений.
18 Проведены мастер-классы «Приемы быстрого счета» для учащихся 5, 7 «А», 9 «Б», 11 классов. Опытным путем установлено, что знание рациональных приемов способствуют быстроте вычислений. Мы выбрали тему «Секреты быстрого счёта » потому, что хотели бы научиться считать быстро и рационально, не прибегая к использованию калькулятора. В заключение хочется сказать, что изучив некоторые рациональные приемы вычислений и научившись применять их, можно более успешно подготовиться к сдаче ОГЭ и ЕГЭ по математике, а также это необходимо и в повседневной жизни. Как же справедливы слова Иоганна Гёте: «Счёт является, правда, низкой, но уже идеальной деятельностью человека, и с помощью него столь многое осуществляется в обыденной жизни»…
19
Список литературы
1. Балаян.Э.Н.1001 олимпиадная и занимательная задачи по математике. Ростов – на - Дону: Феникс,2005 г. 2. Берман Г. Н. Приемы счёта. М.: Физматгиз, 2006 г. 3. Гольдштейн Д. Н. Техника быстрых вычислений. М.: Учпедгиз, 1948. 4. Коликов А.Ф. Изобретательность в вычислениях. М.: Дрофа, 2003 г. Сорокин А. С. Техника счёта. М.: Знание, 2010 г. 5. Шустеф Ф.М. Материал для внеклассной работы по математике. М.: Мнемозина, 2006 г. 6. Юшкевич А. П. История математики с древнейших времен до начала ХIХ столетия. М.: Наука, 2003г. 7. Перельман Я. И. Быстрый счёт. Л.: Союзпечать, 1989 г. 8. Гончар Д. Р. Устный счёт и память: загадки, приёмы развития, игры. Донецк: Сталкер, 2001 г. 9. Катлер Э. Мак-Шейн Р. Система быстрого счёта по Трахтенбергу. — М.: Учпедгиз.- 1998 г.
20
В раздел основное общее образование