Педразвитие | Публикация педагога на тему "Система подготовки и проведения зачётов по геометрии в 7 классе"

"Система подготовки и проведения зачётов по геометрии в 7 классе"

Методическая разработка

Автор: Хасанова Екатерина Ивановна, учитель математики, МАОУ " Миасская средняя общеобразовательная школа № 16", Город Миасс, Челябинская область

В раздел основное общее образование

Управление образования администрации Миасского муниципального округа Муниципальное автономное образовательное учреждение «Миасская общеобразовательная школа № 16»
Автор: Е.И.Хасанова,

учитель математики

МАОУ «МСОШ № 16»

Система подготовки и проведения тематических

зачётов по геометрии в 7 классе
Методическая разработка

г. Миасс, 2015
2
Содержание 1. Введение 3 2. Основная часть. Система организации и проведения тематических зачётов 4 2.1. Цели и задачи зачётной системы 4 2.2. Подготовка к проведению тематического зачёта 4 2.3. Организация и проведение тематического зачета 5 2.4. Результаты апробации организации и проведения тематических зачётов в 7-х классах. 7 2.5. Результаты анкетирования учащихся по организации и проведению тематических зачётов 8 3. Заключение 8 4. Литература 8 5. Приложения 9

1. Введение
Геометрия – наиболее сложный раздел математики. Сложность её заключается в том, во-первых, что для её восприятия необходимо обладать достаточно развитым мышлением: образным, абстрактным, логическим. Во- вторых, наличием большого количества информации для точного запоминания, особенно на начальном этапе, где вводится много определений, формулировок аксиом, теорем. В-третьих, трудностью понимания последовательности шагов в доказательных рассуждениях. В-четвёртых, нестандартностью набора задач даже внутри одной темы, (каждая следующая задача непохожа на предыдущую). Поэтому учителю необходимо на начальном этапе систематического изучения геометрии не только построить чёткую систему обучения, но и такую систему контроля, которая в дальнейшем помогала бы учащимся постигать логику этого трудного предмета. Лично мне в этом помогает зачётная система. И, несмотря на малое количество часов, отводимых на изучение геометрии в 7 классе, в конце каждой темы, перед тем, как провести контрольную работу по теме, я провожу тематический зачёт. На изучение геометрии в 7 классе отводится 68 часов. Если учесть, что в конце учебного года нужно, как минимум, 4 часа отвести на повторение, ещё 4 часа уйдёт на контрольные работы в течение года, на непосредственное изучение предмета остаётся 60 часов, то есть по 15 часов на тему в среднем. Поэтому более одного часа из этого количества ещё и «оторвать» на зачёты я не могу. В связи с этим нужно построить эти уроки так, чтобы по максимуму опросить всех, причём, дать возможность каждому ответить устно теоретическую часть материала. Для этого я создала свою систему подготовки и проведения зачётов в 7 классе.
Актуальность проблемы:
Данный проект должен помочь учителю математики в организации учебно-воспитательного процесса и, в частности, одной из форм проверки знаний и умений, способствующей качественному усвоению знаний по предмету.
Цель проекта:
Разработать и апробировать зачётную систему по геометрии в 7 классе.
Задачи проекта:
1. Изучить материал по организации зачётной системы. 2. Апробировать зачётную систему при обучении геометрии в 7 классе. 3. Разработать методические рекомендации для учителей математики по применению данной зачётной системы.
Гипотеза:
Разработанная система организации и проведения зачётов в 7 классе способствует глубокому «погружению в тему» учащихся и повышению качества обучения.

Срок реализации проекта:
Октябрь 2013 года – октябрь 2015года.
Место организации проекта:
МАОУ «Миасская средняя общеобразовательная школа № 16», 7-е классы.
Ожидаемые результаты:
Осуществление контроля усвоения знаний, умений и навыков учащихся по геометрии на самом высоком уровне их возможностей. Повышение качества успеваемости и достижение каждым индивидуальных успехов.
Методы диагностики:
1. Проведение пробных зачётов. 2. Анализ проведённых зачётов. 3. Экзамен по окончании курса обучения. 4. Анкетирование учеников и родителей
Новизна
Данная методическая разработка предлагает организацию проведения тематического зачёта, включающего всесторонний контроль, в течение одного урока, и в ней представлены подробные разработки всех четырёх зачётов, соответственно тематике курса 7 класса.
2. Система организации и проведения тематических зачётов

2.1 Цели и задачи зачётной системы
Раскрыть способности каждого ученика, дать ему прочные и качественные знания на уровне его возможностей; повысить ответственность учеников за результаты своего обучения; развить у них самостоятельность мышления и способность к самообразованию и саморазвитию– задача современной школы, чему способствует зачётная система.
2.2 Подготовка к проведению тематического зачёта.
Под зачётной системой надо понимать не только организацию и проведение самих уроков-зачётов, но и подготовительную работу, которая начинается с первого урока изучения темы. В начале изучения темы учитель сообщает название темы, цели и задачи её изучения, количество часов, отводимых на изучение, а также способы контроля и, самое главное, какая подготовительная работа будет способствовать хорошему усвоению темы.
С первых дней изучения геометрии детям объясняется значение точного знания теоретического материала геометрии для практического применения. В связи с этим в ходе изучения темы постоянно проводится контроль усвоения теории, который чаще всего проводится в письменном виде в форме опроса, на который отводится максимум 5-8 минут урока. Промежуточная проверка усвоения практического применения теории проводится в форме проведения самостоятельных работ. Чтобы были хорошо усвоены не только базовые задачи, но и ученики могли применять теорию в более сложных ситуациях, в середине срока изучения данной темы учитель выдаёт каждому ученику для домашнего решения в плане подготовки к зачёту 12 задач, которые формулируются в порядке нарастания степени сложности. Почему именно 12 задач? В их число входят 4 элементарные задачи, из которых в дальнейшем можно сформировать 2 варианта І уровня сложности, что можно оценить оценкой «3», каждые следующие 4 задачи соответственно на оценку «4», «5», то есть ІІ и ІІІ уровней сложности. Задачи подбираю такие, чтобы они отображали спектр основных задач темы. В листочках, которые выдаются ученикам, задачи на уровни сложности не делятся, чтобы избежать той ситуации, когда некоторые дети останавливаются только на решении «троечных» задач. Непосредственно на зачёте учащиеся получают задачи с изменёнными данными или незначительным изменением ситуации (Приложения 1 - 4). Вопросы теории формулируются в учебнике в конце темы. По ним учащиеся готовят к зачёту теоретический материал.
2.3 Организация и проведение тематического зачета
Основная цель тематического зачёта: проверить знания, умения и навыки по теме у каждого отдельно взятого учащегося. Причём, очень большое значение на зачёте отводится проверке теории. Поскольку умение решать задачи может быть проверено на контрольной работе, то практическое применение теории при решении задач на зачёте надо, по моему мнению, рассматривать, как определение степени подготовки к выполнению последующей контрольной работы. Поэтому на зачёте ребята имеют возможность решать задачи любого уровня из предлагаемых трёх. Насколько качественно выучены формулировки, как ученик умеет рассуждать, доказывать теоремы, применяя теорию – основная цель тематического зачёта. И это нужно проверять в устной форме. Так как на зачёт можно использовать только один урок практически за 45 минут один учитель осуществить такую проверку не в состоянии и почти нет такой возможности, чтобы привлечь других учителей или учащихся из более старших классов. Тогда я привлекаю к проверке теоретической части зачёта учеников данного или других классов из параллели, которых отбираю по следующим критериям: они должны иметь пятёрки за все письменные опросы по теории, которые проводились во время изучения темы, за устные ответы и самостоятельные работы, (иногда допускаю одну или две четвёрки среди них). Причём для них обязательно проводится инструктаж, указываются некоторые моменты и
возможные ошибки, на которые следует обратить внимание и устная проверка учителем знания ими основных аспектов темы. Эти учащиеся помогают только в проверке теории, они, как и все ученики, на этом уроке решают задачи определённого уровня, (но так, как они претендуют на высокую отметку, то решить должны задачи ІІІ уровня). Они приступают к решению задач после окончания опроса учащихся. Решение задач проверяет сам учитель, и окончательный результат зачёта сообщает на следующем уроке. Только начиная со второго зачёта, я привлекаю учащихся данных классов в качестве экзаменаторов. На первом же зачёте пользуюсь помощью старшеклассников. Чтобы опрос не затянулся надолго и отображал все аспекты темы, ученики-экзаменаторы снабжаются всем необходимым для этого зачёта материалом, разработанным и подготовленным учителем, в частности: 1. билетами; 2. перечнем определений и формулировок данной темы; 3. комплектом готовых чертежей к теоремам темы; 4. образцом оценки ответа учащегося; 5. бланком оценки ответа учащегося. Данные материалы представлены в «Приложениях 2 -5». Пока все ученики класса решают задачи, учитель, играя роль диспетчера, направляет поочерёдно их к «Экзаменаторам», эпизодически прислушиваясь к ответам разных учащихся, и контролирует самостоятельное решение учащимися письменных задач. Ответившие ученики садятся на место и продолжают решать задачи. Ученик вытягивает билет из 5 – 6, в среднем, предлагаемых по теме. На зачёт обычно выношу не более 6 теорем темы. А, кроме того, рассчитываю, что каждый экзаменатор опрашивает не более 5 человек. Каждый билет включает 2 задания. В первом нужно ответить 5 формулировок из данной темы, которые предлагаются «Экзаменатором» из перечня вопросов соответственно номерам, указанным в билете. В бланке оценки ответов за верный ответ ставится «+», за неверный ставится – . Во втором задании называется теорема, которую ученик должен сформулировать и доказать. Чтобы сэкономить время на выполнение чертежа на зачёте, в отличие от экзамена, он должен выбрать нужный рисунок из всех чертежей к данной теме. Эта выборка тоже позволяет судить о знании темы. Естественно, если ученик неверно выбрал чертёж, экзаменатор может ему помочь в этом, но в бланке оценки ответа этот факт отражается, что влияет на оценку в целом. Итак, в бланке ответов за теорему необходимо отметить знаками + и - верно ли сформулирована теорема, верно ли указано, что дано и, что требуется доказать, верно ли выбран чертёж и поставлена оценка, на которую проведены собственно рассуждения по доказательству данного факта. Бланк оценки ответа заполняется экзаменатором открыто в ходе ответа учащимся теоретической части, за решение задач оценка выставляется учителем, причём, за решение задания ІІ и ІІІ уровней может быть выставлена оценка не только «5», но и «3», и «4» с учётом неполноты решения или допущенных неточностей.
Критерии оценки. За зачёт можно поставить две оценки, одну в устной форме – «зачёт» или «незачёт», а в журнал всё-таки выставить в форме оценки, что также нужно озвучить. «Зачёт» выставляется в том случае, если в первом задании отмечено не менее трёх плюсов, во втором задании отмечены положительно не менее трёх компонентов, и в третьем задании решены обе задачи І уровня. Также ставится «зачёт», если в первом задании отмечено не менее трёх плюсов, во втором задании отмечены первые три плюса и решены задачи первого уровня. Применение формы оценки требует от учителя индивидуального подхода. Пятёрка выставляется при условии решения задач высокого уровня, правильном доказательстве теоремы и точном знании определений и формулировок. Получившие оценку «незачёт» имеют возможность пересдачи во внеурочное время.
2.4 Результаты апробация организации и проведения тематических

зачётов в 7-х классах.
Апробация данной системы проходила в 2014-15 учебном году в 7-х классах МАОУ «Миасская средняя общеобразовательная школа № 16». Проведено 4 тематических зачёта, согласно тематике программы: «Начальные геометрические сведения», «Треугольники», «Параллельные прямые», «Соотношения между сторонами и углами треугольника». В заключение изучения курса проведён экзамен. Зачёт по первой теме прошёл не совсем удачно: 50% учащихся сдавали зачёт повторно. Во-первых, как говорится, «первый блин комом». Несмотря на инструкции по проведению зачёта, не все постарались выполнить все задания в объёме, необходимом для оценки по критериям «Зачет». Кто-то не успел решить обе задачи, а просто просидел в ожидании того, когда его вызовут отвечать теорию. Во-вторых, в первой теме обилие формулировок, которые нужно выучить, опираясь на образно-наглядное восприятие, с чем тоже есть проблемы. Многие несерьёзно отнеслись к точности заучивания формулировок, что искажало смысл. Другие и вовсе их не учили просто по традиции, до седьмого класса вообще ничего не требовалось заучивать. Результаты второго зачёта уже лучше: с первого раза сдали 70% учеников. Но, всё-таки, 30% не сдали. В теме «Треугольники» впервые начали доказывать теоремы. Не все сразу смогли вникнуть в суть формулировки, не могли верно указать, что дано и что требуется доказать и, тем более, провести доказательство. А, так как задачи в данной теме в основном тоже были на доказательство, то с решением задач с первого раза справилось 58% учащихся. Зачёты по темам «Параллельные прямые», «Соотношение между сторонами и углами треугольника» сданы лучше, чем первые два. С первого раза справились 82% и 88% соответственно. И, несмотря на то, что не все с первого раза сдали и экзамен (порядка 10% не сдали), который уже индивидуально у каждого принимал учитель, стоит заметить, теорию по критериям «Зачёт», то есть на оценку»3» знают 98% учащихся.

2.5 Результаты анкетирования учащихся по организации и проведению

тематических зачётов.
Для того чтобы выявить, как учащиеся воспринимают такую форму организации тематического зачёта, в конце учебного года было проведено анкетирование учащихся 7в класса. В классе 29 человек, класс средний по успеваемости. Первый зачёт сдавали повторно 10 человек, второй - 7 человек, третий и четвёртый - по 5 человек. Качество сдачи зачётов – 40% -54%. В анкете было предложено 4 вопроса: 1. Помогают ли зачеты по геометрии лучше понимать предмет? 2. Известно ли вам, что и как оценивали в вашем ответе на зачёте? 3. Справедливо ли вам выставлена оценка за зачёт? 4. Смогли ли вы справиться с волнением при сдаче зачёта? Ответ на первый вопрос дали «да» -82% учащихся, «нет» - 2%; остальные – «не знаю». На второй вопрос – «да» ответили - 92%, «нет» -2% На третий вопрос дали ответ «да» - 98%, «не знаю» - 2% . И на последний вопрос ответили «да» - 98%, «нет» – 2%. Нужно ответить, что «нет» отвечали те, кто не сдал зачёт. Можно сделать вывод, что такая форма зачёта стала понятна учащимся, и при сдаче зачёта они чувствовали себя вполне комфортно, если можно так сказать.
3. Заключение
Работа над данным проектом убеждает в том, что такая система организации и проведения тематических зачётов по геометрии позволяет ученикам: 1. привести в систему знания по определённой теме; 2. повысить работоспособность и самостоятельность; 3. достичь вполне определённых собственных успехов; 4. адаптироваться к стрессовым ситуациям. и учителю позволяет: 1. осуществить контроль знаний, умений и навыков по данной теме каждого ученика, затрачивая минимум времени; 2. осуществить индивидуальный подход к учащимся; 3. учитывать уровень подготовленности каждого ученика; 4. повысить интерес учащихся к учёбе; 5. повысить качество знаний по предмету. Используемая литература: 1. Зачёты по математике, Л.О.Денищева , Л.В.Кузнецова , И.А.Лурье и др.- М: Просвещение , 1993. 2. Геометрия, Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.М; Просвещение, 2010. 3. Тесты. Геометрия 7-9, П.И.Алтынов, М; Дрофа, 2005. 4. Тесты по геометрии, Л.И.Звавич, Е.В.Потоскуев, М; Экзамен, 2013. Приложение 1

Материалы к тематическому зачёту № 1

по теме «Начальные геометрические сведения»

1. Задачи для домашней подготовки к зачёту
1. Один из смежных углов в 5 раз меньше другого. Найти эти углы. 2. Отрезки АВ, ВС, СD последовательно отложены на одной прямой. АС = ВD = 18см, ВС = 7см. Найдите АD. 3. Один из углов, образованных при пересечении двух прямых, равен 162°. Найдите остальные углы. 4. Найти смежные углы, если один из них на 32° больше другого. 5. Углы АВD и АВС – смежные, луч ВО – биссектриса угла

АВD. Найдите ﮮОВD, если ﮮАВС = 60°. 6. Найдите смежные углы, если их разность равна 24°. 7. По рисунку найти

ﮮDОК, если ОК – биссектриса

ﮮАОD, а

ﮮDОВ = 108° 8. На рисунке ВС = 5 см, АВ = 20 см, СD = 21 см. Найти АD. 9. Угол АОВ равен 43°. Внутри этого угла проведен луч ОС. Найдите угол между биссектрисами углов АОС и ВОС. 10. Точка А середина отрезка ВС, точка М – середина отрезка АС. Какую часть отрезка ВС составляет отрезок МС? 11. Точка Н лежит на отрезке АВ так, что делит этот отрезок в отношении в отношении АН : НВ = 1 : 4. Найти ВН, если известно, что ВН больше, чем АН на 9см.
12. На прямой отложены последовательно отрезки АВ, ВС, С D. Найти расстояние между серединами отрезков АС и СD.
2. Карточки для самостоятельной работы в классе

Вариант № 1
І уровень 1. Один из смежных углов в 4 раз меньше другого. Найти эти углы. 2. Отрезки АВ, ВС, СD последовательно отложены на одной прямой. АС = ВD = 21см, ВС = 3см. Найдите АD. І І уровень 1. Углы АВD и АВС – смежные, луч ВО – биссектриса угла

АВD. Найдите ﮮОВD, если ﮮАВС = 40°. 2.

По рисунку найти ﮮDОК, если ОК – биссектриса

ﮮАОD, а ﮮDОВ = 128° І І І уровень 1. Точка А середина отрезка ВС, точка М – середина отрезка АС. Какую часть отрезка ВС составляет отрезок МС? 2. Точка Н лежит на отрезке АВ так, что делит этот отрезок в отношении в отношении АН : НВ = 1 : 5. Найти ВН, если известно, что ВН больше, чем АН на 8см.
Вариант 2
І уровень 1. Один из углов, образованных при пересечении двух прямых, равен 62°. Найдите остальные углы.
2. Найти смежные углы, если один из них на 27° больше другого. І І уровень 1. Найдите смежные углы, если их разность равна 44°. 2. На рисунке ВС = 7 см, АВ = 20 см, СD = 21 см. Найти АD. І І І уровень 1. Угол АОВ равен 48°. Внутри этого угла проведен луч ОС. Найдите угол между биссектрисами углов АОС и ВОС. 2. На прямой отложены последовательно отрезки АВ, ВС, С D. Найти расстояние между серединами отрезков АС и СD.
3. Опросный лист № 1.

Определения и формулировки
1) Что такое геометрия? 2) Что такое отрезок? 3) Что такое луч? 4) Какая фигура называется углом? 5) Какой угол называется развёрнутым? 6) Какие фигуры называются равными? 7) Что такое середина отрезка? 8) Какой луч называется биссектрисой угла? 9) Что такое градусная мера угла? 10) Какова величина развёрнутого угла? 11). Какой угол называется прямым? 12) Какой угол называется острым? 13) Какой угол называется тупым? 14). Какие углы называются смежными? 15) Сформулировать свойство смежных углов
16) Какие углы называются вертикальными? 17) Сформулировать свойство вертикальных углов. 18) Какие прямые называются перпендикулярными? 19) Как взаимно располагаются две прямые, перпендикулярные к третьей? 20) Что такое градус? 21) Сформулируй аксиому о прямой.
4. Опросный лист № 2

Практические задания
1) Начерти отрезок. Обозначь его. 2) Начерти луч. Обозначь его. 3) Начерти угол. Обозначь его. 4) Начерти острый угол. 5) Начерти тупой угол. 6) Начерти развёрнутый угол. 7) Начерти прямой угол. 8) Начерти угол. На глаз проведи его биссектрису. 9) Начерти угол и построй с ним смежный угол. 10) Начерти угол и построй ему вертикальный. 11) Начерти прямую и построй, перпендикулярную ей прямую. 12) Начерти острый угол и с помощью транспортира найди его величину. 13) Начерти тупой угол и с помощью транспортира найди его величину.
5. Билеты
Билет № 1 1. Формулировки и определения 1, 4, 8, 13, 20 2. Практические задания 1, 3, 5, 8, 13
Билет № 2 1. Формулировки и определения 2, 5, 9, 14, 19 2. Практические задания 2, 4, 6, 9, 12 Билет № 3 1. Формулировки и определения 3, 6, 7, 14, 19 2. Практические задания 3, 5, 7, 10, 11 Билет № 4 1. Формулировки и определения 4, 7, 10, 11, 15 2. Практические задания 1, 4, 5, 10, 13 Билет № 5 1. Формулировки и определения 5, 8, 11, 16, 19 2. Практические задания 2, 3, 7, 8, 12 Билет № 6 1. Формулировки и определения 1, 3, 8, 13, 15 2. Практические задания 3, 4, 7, 9, 11 Билет № 7 1. Формулировки и определения 2, 7, 9, 12, 16 2. Практические задания 4, 6, 8, 12, 13
6. Бланк оценки ответа учащихся
( смотреть в «Приложении № 5»)
Приложение № 2
Материалы к зачёту № 2

по теме «Треугольники»

1. Задачи для домашней подготовки к зачёту
1. На рисунке МN = МК, а также ﮮ 1 = ﮮ 2 . Доказать, что ∆МNР = ∆МКР и найти РК, если NР = 10 см. 2. Отрезки АС и В D пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Докажите, что треугольник АОВ равен треугольнику СОD. 3. В равнобедренном треугольнике основание в два раза больше боковой стороны. А периметр равен 50 см. Найдите стороны треугольника. 4. По данному рисунку доказать, что ∆ KFH = ∆ЕР H, если KF =

РЕ, KH = HE, ﮮFKM = ﮮPEN N Р М К 1 2 М К H Е N F Р
5. Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого равнобедренного треугольника. 6. В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны. Точки М, Н и К – середины сторон АВ, ВС, АС соответственно. Докажите, что ∆ АМК = ∆СНК. 7. В треугольнике АВС

ﮮВАС =

ﮮВСА, биссектрисы АА 1 и СС 1 пересекаются в точке О. Докажите, что треугольник АОС – равнобедренный. 8. Основание АС равнобедренного треугольника АВС продолжено за вершины А и С. На продолжениях соответственно отложены равные отрезки АD и СЕ. Докажите, что ВD = ВЕ. 9. Отрезки АЕ, ЕК, КВ последовательно отложены на одной прямой , а точки С и D лежат по разные стороны от этой прямой. АЕ = ВК, АС = ВD, СК = DЕ. Докажите, что ∆АСК=∆ ВЕD. 10. В равнобедренном треугольнике АВС ВD – высота, проведенная к основанию. Точки М и Н принадлежат сторонам АВ и ВС соответственно. Луч DВ – биссектриса угла МDН. Докажите, что АМ = НС. 11. На стороне АС ∆АВС выбраны точки D и Е так, что отрезки АD и СЕ равны. Оказалось, что ВD и ВЕ тоже равны. Доказать, что ∆АВС – равнобедренный. 12. На сторонах равностороннего треугольника АВС отложены равные отрезки АD, ВЕ и СF, как показано на рисунке. Точки D, Е, F соединены отрезками. Докажите, что ∆ DЕF – равносторонний.

2. Карточки для самостоятельной работы в классе

Вариант № 1
І уровень 1. Отрезки КМ и Р N пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Докажите, что треугольник КОР равен треугольнику МОN. 2. По данному рисунку доказать, что ∆АВС = ∆Е DС, если АВ =

ЕD, АС = СE, ﮮРАВ = ﮮКЕD І І уровень 1. Докажите, что середины сторон равностороннего треугольника являются вершинами другого равностороннего треугольника. 2. В треугольнике МК N

ﮮКМN =

ﮮКNМ, биссектрисы ММ 1 и NN 1 пересекаются в точке О. Докажите, что треугольник МО N – равнобедренный. І І І уровень 1. Отрезки Е F, FC, CD последовательно отложены на одной прямой, а точки K и P лежат по разные стороны от этой прямой. Е C = FD, EP = ND, СP = FN. Докажите, что ∆EPC=∆ DNF. 2. На стороне MN ∆ MKN выбраны точки Р и Е так, что отрезки MH и EN равны. Оказалось, что KP и KE тоже равны. Доказать, что ∆MKN– равнобедренный. М К H Е N F Р

Вариант № 2
І уровень 1. На рисунке NP = КP, а также ﮮ 1 = ﮮ 2 . Доказать, что ∆МNР = ∆МКР и найти МК, если NМ = 18 см. 2. В равнобедренном треугольнике боковая сторона в три раза больше основания. А периметр равен 40 см. Найдите стороны треугольника. І І уровень 1. На основании АС треугольника АВС отложены точки Е и К так, что АЕ

= КС, ﮮВЕК = ﮮВКЕ. Докажите, что ∆АВС - равнобедренный. 2. В треугольнике МК N стороны МК и К N равны. Точки Е, F и Р– середины сторон МК, К N, М N соответственно. Докажите, что ∆ МЕР = ∆NFР. І І І уровень 1. В равнобедренном треугольнике EFD FK – высота, проведенная к основанию. Точки М и Н принадлежат сторонам EF и FD соответственно. Луч KF – биссектриса угла М KН. Докажите, что ЕМ = НD. 2. На сторонах равностороннего треугольника АВС отложены равные отрезки А D, ВЕ и С F. Точки D, Е, F соединены отрезками. Докажите, что ∆ DЕF – равносторонний. N Р М К 1 2

3. Опросный лист

Определения и формулировки
1) Какая фигура называется треугольником? 2) Сформулировать первый признак равенства треугольников. 3) Сформулировать второй признак равенства треугольников. 4) Сформулировать третий признак равенства треугольников. 1) Сформулировать теорему о перпендикуляре к прямой. 2) Что такое медиана треугольника? 3) Что такое высота треугольника? 4) Что такое биссектриса треугольника? 5) Какой треугольник называется равнобедренным? 10) Как называются стороны равнобедренного треугольника? 11) Сформулировать теорему об углах равнобедренного треугольника. 12) Сформулировать теорему о биссектрисе равнобедренного треугольника 13) Сформулировать теорему о медиане равнобедренного треугольника. 14) Сформулировать теорему о высоте равнобедренного треугольника. 15) Что называется окружностью? 16) Что такое диаметр окружности? 17) Что называется хордой окружности? 19) Что такое радиус? 20) Что такое дуга окружности?
4. Перечень теорем, вынесенных на зачёт
1) Первый признак равенства треугольника (стр. 29) 2) Второй признак равенства треугольника (стр. 38) 3) Третий признак равенства треугольника (стр. 39) 4) Теорема об углах равнобедренного треугольника. (стр.35) 5) Теорема о свойстве углов равнобедренного треугольника. (стр.35) 6) Теорема о биссектрисе равнобедренного треугольника. (стр. 35)

5. Билеты
Билет № 1 1. Формулировки и определения 1, 5, 8, 12, 20 2. Доказать третий признак равенства треугольников. Билет № 2 1. Формулировки и определения 2, 4, 9, 15, 19 2. Доказать теорему о свойствах углов равнобедренного треугольника. Билет № 3 1. Формулировки и определения 3, 5, 7, 13, 19 2. Доказать теорему о биссектрисе равнобедренного треугольника, проведённой к основанию. Билет № 4 1. Формулировки и определения 4, 6, 10, 11, 15 2. Доказать первый признак равенства треугольников. Билет № 5 1. Формулировки и определения 5, 8, 14, 16, 19 2. Доказать теорему о свойстве углов равнобедренного треугольника.
Билет № 6 1. Формулировки и определения 1, 3, 8, 13, 15 2. Доказать второй признак равенства треугольника.
6. Бланк оценки ответа учащихся
( смотреть в «Приложении № 5»)
7. Чертежи к теоремам
(смотреть в «Приложении № 6)
Приложение № 3
Материалы к зачёту № 3

по теме «Параллельные прямые»

1. Задачи для домашней подготовки к зачёту
1. На чертеже а || в. ﮮ 1 = 47 °, ﮮ 2 = 30 °. Найти ﮮ 3 . 2. На чертеже а || в. ﮮ 1 = 47 °, ﮮ 2 = 30 °. Найти ﮮ 3 . 3. На рисунке MN || АС , а ﮮ 2  ﮮ 1 на 30°. Найти ﮮ 2 .
4. На рисунке ﮮ 1 =

ﮮ 2 , ﮮ 2 =

ﮮ 3 . Доказать, что а || в 5. Дано а || в. ﮮ 2 = 65 °. Найти все остальные углы. 6. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты точки М и Н

соответственно. ﮮА = ﮮВМН = 50°, ﮮС = 50°. Найдите угол МНС. 7. Дано А D || ВС,

ﮮАСВ = 50°, АС – биссектриса

ﮮВАD.Найти

ﮮАВС.
8. Внутренние односторонние углы при параллельных прямых равны 46° и 134°. Найти угол, под которым пересекаются биссектрисы этих углов. 9. В треугольнике АВС

ﮮА = 50°,

ﮮС = 80°. Докажите, что биссектриса внешнего угла треугольника при вершине С лежит на прямой, параллельной прямой АВ. 10. Проведены отрезки ВЕ и DF перпендикулярные АС. На рисунке М Q = NP, ﮮ 1 = ﮮ 2 . Доказать, что MN || PQ 11. По данным чертежа доказать, что прямые а и в параллельны. 12. На рисунке АС – биссектриса

ﮮВАD, ВЕ  АС и АЕ = ЕС. Доказать, что АD || ВС.

2. Карточки для самостоятельной работы в классе

Вариант № 1
І уровень 1. На чертеже а || в. ﮮ 1 = 47 °, ﮮ 2 = 30 °. Найти ﮮ 3 . 2. На чертеже а || в. ﮮ 1 = 47 °, ﮮ 2 = 30 °. Найти ﮮ 3 . І І уровень
1. Дано а || в. ﮮ 2 = 65 °. Найти все остальные углы. 2. Дано А D || ВС,

ﮮАСВ = 50°, АС – биссектриса

ﮮВАD.Найти

ﮮАВС. І І І уровень 1. В треугольнике АВС

ﮮА = 50°,

ﮮС = 80°. Докажите, что биссектриса внешнего угла треугольника при вершине С лежит на прямой, параллельной прямой АВ. 2. По данным чертежа доказать, что прямые а и в параллельны.

Вариант № 2
І уровень 1. На чертеже а || в. ﮮ 1 = 47 °, ﮮ 2 = 30 °. Найти ﮮ 3 . 2. На рисунке ﮮ 1 =

ﮮ 2 , ﮮ 2 =

ﮮ 3 . Доказать, что а || в І І уровень 1. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты точки М и Н

соответственно. ﮮА = ﮮВМН = 50°, ﮮС = 50°. Найдите угол МНС. 2. Внутренние односторонние углы при параллельных прямых равны 46° и 134°. Найти угол, под которым пересекаются биссектрисы этих углов. І І І уровень
1. Проведены отрезки ВЕ и DF перпендикулярные АС. На рисунке М Q = NP, ﮮ 1 = ﮮ 2 . Доказать, что MN || PQ 2. На рисунке АС – биссектриса

ﮮВАD, ВЕ  АС и АЕ = ЕС. Доказать, что АD || ВС.
3. Опросный лист

Определения, формулировки и практические задания:
1) Какие прямые называются параллельными? 2) Какие отрезки называются параллельными? 3) Сформулировать первый признак параллельности прямых. 4) Сформулировать второй признак параллельности прямых. 5) Сформулировать третий признак параллельности прямых. 6) Сформулировать признак параллельности прямых для случая, если каждая из двух прямых перпендикулярна третьей. 7) Сформулировать признак параллельности прямых для случая, если каждая из двух прямых параллельна третьей. 8) Какие утверждения называются аксиомами? 9) Сформулировать аксиому параллельных. 10). Какое утверждение называется следствием? 11). Какая теорема называется, теоремой обратной данной? 12). Сформулируйте теорему, обратную первому признаку параллельности прямых.
13). Сформулируйте теорему, обратную второму признаку параллельности прямых. 14). Сформулируйте теорему, обратную третьему признаку параллельности прямых. 15). Сформулируйте теорему о прямой, перпендикулярной к одной из двух параллельных прямых. 16). Сформулируйте теорему о прямой, пересекающей одну из двух параллельных прямых. 17). На рисунке 1 показать пару накрест лежащих углов. Рис. 1 18). На рисунке 1 показать пару соответственных углов. 19). На рисунке 1 показать пару односторонних углов. 20). На рисунке 1 показать пару накрест лежащих углов.
4. Доказательство теорем
1) Доказать первый признак параллельности прямых. 2) Доказать второй признак параллельности прямых. 3) Доказать третий признак параллельности прямых. 4) Доказать признак параллельности прямых для случая когда каждая из двух прямых перпендикулярна третьей. 5) Доказать признак параллельности прямых для случая когда каждая из двух прямых параллельна третьей. 6) Доказать теорему, обратную первому признаку параллельности прямых. 7) Доказать теорему, обратную второму признаку параллельности прямых. 8) Доказать теорему, обратную третьему признаку параллельности прямых.

5. Билеты
Билет № 1 1. Формулировки и определения 2, 5, 8, 13, 20 2. Доказать первый признак параллельности прямых. Билет № 2 1. Формулировки и определения 2, 4, 9, 15, 19 2. Доказать теорему о двух прямых, параллельных третьей. Билет № 3 1. Формулировки и определения 3, 6, 7, 14, 19 2. Доказать теорему, обратную первому признаку параллельности прямых Билет № 4 1. Формулировки и определения 4, 6, 10, 11, 15 2. Доказать теорему о прямой, перпендикулярной к одной из двух параллельных прямых.. Билет № 5 1. Формулировки и определения 5, 8, 14, 16, 19 2. Доказать теорему о прямой, пересекающей одну из двух параллельных прямых.. Билет № 6 1. Формулировки и определения 1, 3, 8, 13, 15 2. Доказать второй признак параллельности прямых.
Билет № 7 1. Формулировки и определения 2, 7, 9, 12, 16 2. Доказать третий признак параллельности прямых.
6. Бланк оценки ответа учащихся
( смотреть в «Приложении № 5»)
7. Чертежи к теоремам
(смотреть в «Приложении № 7) Приложение № 4
Материалы к зачёту № 4

по теме «Соотношения между сторонами и углами

треугольника»

1. Задачи для домашней подготовки к зачёту
1.

В ∆АВС стороны АС и ВС равны. Угол С равен 44°Найти ﮮАDВ. 2. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АВ из угла при

основании проведена биссектриса В D. ﮮАDВ = 63°. Найти угол при вершине равнобедренного треугольника. 3. В ∆АВС стороны АС и ВС равны. Внешний угол при вершине В равен 121°. Найти угол С 4. В треугольнике АВС

ﮮА = 20°, ﮮВ = 100° . На стороне АВ отмечена

точка D так, что ﮮАСD = 40°. Найти углы треугольника ВСD. 5. Точка D на стороне АВ в ∆АВС выбрана так, что А D = АС. Известно,

что ﮮСАВ = 80°, ﮮАСВ = 59°. Найти ﮮDСВ.
6. В равнобедренном треугольнике АВС угол В – тупой. Высота ВD равна 8см. Найдите периметр треугольника АВС, если периметр треугольника АВD равен 24 см. 7. В равнобедренном ∆АВС (АС = ВС) проведены три его биссектрисы.

ﮮОАF =22°. Найти ﮮЕОС. 8. В треугольнике АВС углы А и С равны 20° и 50° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD. 9. Внутри треугольника АВС взята точка М, через которую проведены

прямые, пересекающие стороны АВ и ВС в точках К и Е, ﮮМКА = 140°,

ﮮМЕС = 130°, ﮮА =60°, ﮮС = 80°. Найдите ﮮКМЕ 10. В ∆ АВС проведена биссектриса А

L. ﮮАLС = 112°, а

ﮮАВС = 106°.

Найти ﮮ АСВ 11. На окружности с центром О последовательно взяты точки А, В, С, D, Е

так, что точки А и Е - концы диаметра; ﮮАОС = ﮮСОЕ, ﮮАОВ = 60°,

ﮮDОЕ = 30°. Докажите, что ВD = АС. 12. В треугольнике АВС на высоте ВD отмечена точка О.

ﮮОАD = ﮮОСD. Докажите, что точка О равноудалена от прямых АВ и ВС.
2. Карточки для самостоятельной работы в классе

Вариант № 1
І уровень 1.

В ∆АВС стороны АС и ВС равны. Угол С равен 44°Найти ﮮАDВ. 2. В ∆АВС стороны АС и ВС равны. Внешний угол при вершине В равен 121°. Найти угол С І І уровень 1. Точка D на стороне АВ в ∆АВС выбрана так, что А D = АС. Известно,

что ﮮСАВ = 80°, ﮮАСВ = 59°. Найти ﮮDСВ. 2. В равнобедренном ∆АВС (АС = ВС) проведены три его биссектрисы.

ﮮОАF =22°. Найти ﮮЕОС І І І уровень
1. Внутри треугольника АВС взята точка М, через которую проведены

прямые, пересекающие стороны АВ и ВС в точках К и Е, ﮮМКА = 140°,

ﮮМЕС = 130°, ﮮА =60°, ﮮС = 80°. Найдите ﮮКМЕ 2. На окружности с центром О последовательно взяты точки А, В, С, D, Е

так, что точки А и Е - концы диаметра; ﮮАОС = ﮮСОЕ, ﮮАОВ = 60°,

ﮮDОЕ = 30°. Докажите, что ВD = АС.
Вариант № 2
І уровень 1. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АВ из угла при

основании проведена биссектриса В D. ﮮАDВ = 63°. Найти угол при вершине равнобедренного треугольника. 2. В треугольнике АВС

ﮮА = 20°, ﮮВ = 100° . На стороне АВ отмечена

точка D так, что ﮮАСD = 40°. Найти углы треугольника ВСD. І І уровень 1. В равнобедренном треугольнике АВС угол В – тупой. Высота ВD равна 8см. Найдите периметр треугольника АВС, если периметр треугольника АВD равен 24 см. 2. В треугольнике АВС углы А и С равны 20° и 50° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD. І І І уровень 1. В ∆ АВС проведена биссектриса А

L. ﮮАLС = 112°, а

ﮮАВС = 106°.

Найти ﮮ АСВ 2. В треугольнике АВС на высоте ВD отмечена точка О.

ﮮОАD = ﮮОСD. Докажите, что точка О равноудалена от прямых АВ и ВС.
3. Опросный лист

Определения, формулировки и практические задания:
1) Сформулируй теорему о сумме углов треугольника. 2) Какой угол называется внешним углом треугольника?
3) Сформулируйте теорему о внешнем угле треугольника. 4) Какой треугольник называется остроугольным? 5) Какой треугольник называется тупоугольным? 6) Какой треугольник называется прямоугольным? 7) Как называются стороны прямоугольного треугольника? 8) Что такое катет прямоугольного треугольника? 9) Что такое гипотенуза прямоугольного треугольника? 10).Сформулируйте теорему о соотношениях между сторонами и углами треугольника. 11). Сформулируйте признак равнобедренного треугольника. 12). Сформулируйте теорему называемую неравенством треугольника. 13). Сформулируйте свойство острых углов прямоугольного треугольника. 14). Сформулируйте теорему о свойстве катета, лежащего против Угла в 30°. 15). Сформулируйте теорему о свойстве катета, равного половине гипотенузы. 16). Сформулируйте признаки равенства прямоугольных треугольников. 17). Что такое перпендикуляр к прямой? 18). Что называется расстоянием от точки до прямой? 19). Что называется расстоянием между параллельными прямыми?
4. Список теорем, предлагаемых на зачёте
1) Доказать теорему о сумме углов треугольника. 2) Доказать теорему о внешнем угле треугольника. 3) Доказать теорему о соотношениях между сторонами и углами треугольника. 4) Доказать теорему «неравенство треугольника» 5) Доказать теорему о свойстве катета, лежащего против угла в 30°
6) Доказать теорему о свойстве катета, равного половине гипотенузы. 7) Доказать признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету
5. Билеты
Билет № 1 1. Формулировки и определения 2, 5, 8, 13, 18 2. Доказать теорему о внешнем угле треугольника. Билет № 2 1. Формулировки и определения 2, 4, 9, 15, 19 2. Доказать теорему «неравенство треугольника». Билет № 3 1. Формулировки и определения 3, 6, 7, 14, 19 2. Доказать теорему о соотношениях между сторонами и углами треугольника. Билет № 4 1. Формулировки и определения 4, 6, 10, 11, 15 2. Доказать признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету. Билет № 5 1. Формулировки и определения 5, 8, 14, 16, 19 2. Доказать теорему о сумме углов треугольника.
Билет № 6 1. Формулировки и определения 1, 3, 8, 13, 15 2. Доказать теорему о катете прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°. Билет № 7 1. Формулировки и определения 2, 7, 9, 12, 16 2. Доказать теорему о катете прямоугольного треугольника, равного половине гипотенузы.
6. Бланк оценки ответа учащихся
( смотреть в «Приложении № 5»)
7. Чертежи к теоремам
(смотреть в «Приложении № 8)

Приложение № 5

Оценка ответа учащихся (Образец оценки тематического зачёта № 1)
Фамилия, имя Теория, вопросы Практические задания Задачи (уровня) Оценка 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 І (на 3) ІІ (на 4) ІІІ (на 5) Иванов Александр + + + – – + + + + + + 4
Оценка ответа учащихся (Образец оценки тематических зачётов № 2, 3, 4)
Фамилия, имя Теория, вопросы Доказательство теорем Задачи (уровня) Оценка 1 2 3 4 5 Форму лировка Дано, Док-ть Чертёж Док-во І (на 3) ІІ (на 4) ІІІ (на 5) Иванов Александр + + + – – + + + 3 + 3
Приложение № 6
Чертежи к зачёту № 2

Приложение № 7

Чертежи к зачёту № 3
Приложение № 8

Чертежи к зачёту № 4

Приложение 9
Экзаменационные билеты по геометрии 7 класс
Задачи в билетах по уровню сложности: а). – 1 уровень; б). – 2 уровень; в). – 3 уровень. Билет № 1 1. Теорема о свойстве углов при основании равнобедренного треугольника. 2. Задачи а). Постройте треугольник по высоте и двум отрезкам, на которые высота делит эту сторону. б). Постройте прямоугольный треугольник, у которого один катет равняется данному отрезку, а другой в два раза меньше гипотенузы. в). Постройте треугольник по двум пересекающимся высотам и меньшему из углов, образованных при пересечении этих высот. Билет № 2 1. Теорема о сумме углов треугольника. 2. Задачи:

а(. В треугольнике АВС ﮮА = 20°, ﮮВ = 100° . На стороне АВ отмечена

точка D так, что ﮮАСD = 40°. Найти углы треугольника ВСD.

б(. В треугольнике АВС ﮮА = 100°. Биссектрисы СС 1 и ВВ 1 пересекаются в точке D. Найдите угол ВDС.

в(. На окружности с диаметром АВ взята точка С; ﮮСАВ = 70°. Найдите

ﮮСВА и ﮮАСВ. Билет № 3 1. Теорема о медиане равнобедренного треугольника. 2. Задачи: а). Один из смежных углов в 5 раз меньше другого. Найти эти углы. б). Основание АС равнобедренного треугольника АВС продолжено за вершины А и С. На продолжениях соответственно отложены равные отрезки АD и СЕ. Докажите, что ВD = ВЕ. в). На окружности с центром О последовательно взяты точки А, В, С, D, Е

так, что точки А и Е - концы диаметра; ﮮАОС = ﮮСОЕ, ﮮАОВ = 60°,

ﮮDОЕ = 30°. Докажите, что ВD = АС.
Билет № 4 1. Признаки параллельности прямых (доказательство теоремы для случая накрест лежащих углов). 2.Задачи: а). В равнобедренном треугольнике угол при основании на 27° меньше угла, противолежащего основанию. Найдите углы треугольника. б). В тупоугольном равнобедренном треугольнике один из углов в 4 раза больше другого. Медиана треугольника, проведенная к основанию, равна
а
. Найти боковую сторону. в). Внутри треугольника АВС взята точка М, через которую проведены

прямые, пересекающие стороны АВ и ВС в точках К и Е, ﮮМКА = 140°,

ﮮМЕС = 130°, ﮮА = 60°, ﮮС = 80°. Найдите ﮮКМЕ . Билет № 5 1. Теорема «Неравенство треугольника» 2. Задачи: а). В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны. Точки М, Н и К – середины сторон АВ, ВС, АС соответственно. Докажите, что ∆ АМК = ∆КНС. б). Даны треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 с высотами СD и C 1 D 1;

ﮮВ = ﮮВ 1 = 45°, СD = С 1 D 1 , АВ = А 1 В 1 . Докажите, что ∆АВС =∆ А 1 В 1 С 1. в).На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты точки М и Н. Отрезки

АН и МС пересекаются в точке D; МD = DН, ﮮНАС = ﮮМСА. Можно ли совместить наложением отрезки ВМ и ВН? Билет № 6 1. Теорема о накрест лежащих углах, образованных при пересечении двух прямых третьей. 2. а). Отрезки АВ, ВС, СD последовательно отложены на одной прямой. АС = ВD = 18см, ВС = 7см. Найдите АD. б). Отрезки АЕ, ЕК, КВ последовательно отложены на одной прямой , а точки С и D лежат по разные стороны от этой прямой. АЕ = ВК, АС = ВD, СК = DЕ. Докажите, что ∆АСК =∆ ВЕD. в). На отрезке АВ отмечены точки С и D, так что точка С лежит между точками А и D. Точка М не принадлежит прямой АВ. Медианы ∆ МАС и ∆ МDВ, проведенные из вершины М, равны по 11см. Найдите угол между этими медианами, если АВ = 15см,СD = 7см. Билет № 7 1. Теорема о сумме односторонних углов, образованных при пересечении параллельных прямых третьей.
2.а).На высоте АН равнобедренного треугольника АВС с прямым углом А взята точка О. Докажите, что треугольники АОВ и АОС равны. б). В равнобедренном треугольнике АВС ВD – высота, проведенная к основанию. Точки М и Н принадлежат сторонам АВ и ВС соответственно. Луч DВ – биссектриса угла МDН. Докажите, что АМ = НС.

в(. В треугольнике АВС на высоте ВD отмечена точка О. ﮮОАD = ﮮОСD. Докажите, что точка О равноудалена от прямых АВ и ВС. Билет № 8 1. Признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними. 2. а). Отрезки АВ и СD – диаметры некоторой окружности. Докажите, что прямые АС и ВD – параллельны. б). Точки В и D лежат по разные стороны от прямой АС. Известно, что

АВ|| DС, АD || ВС. Докажите, что ﮮАВС = ﮮАDС, АВ = DС, АD =ВС. в). На биссектрисе ВD равнобедренного треугольника АВС взята точка Е. Через эту точку проведены прямые, параллельные сторонам АВ и ВС и пересекающие основание АС в точках Н и К. Докажите, что АН = КС. -------------------------------------------------------------------------------------------- Билет № 9 1. Построение треугольника по трем сторонам. 2. Задачи: а). Найдите периметр треугольника, если два его угла равны, а две его стороны имеют длины 20см и 10 см.

б(. В треугольнике АВС ﮮВ= 100°, ﮮА= 40°. Точка D принадлежит стороне АС. Причем угол ВDС – тупой. Докажите, что АВ >ВD.

в(. В треугольнике МРК ﮮ М= 30°, ﮮР= 100°. На стороне МР отмечена

точка D так, что ﮮDКР = 20°. Сравните отрезки МD и DР. -------------------------------------------------------------------------------------------- Билет № 10 1.Построение угла, равного данному. 2. Задачи: а).Один из углов, образованных при пересечении двух прямых, равен 162°. Найдите остальные углы. б). Дан треугольник АВС. На продолжении сторон АВ и ВС за вершину

В отмечены точки D и Е соответственно. ﮮDВЕ = 60°, 3 ﮮА = ﮮС. Найти угол, смежный с углом А. в). Отрезки АВ и СD пересекаются в точке О, причем ОА = ОD. На

отрезке АD отмечена точка Р, так что ﮮСОР = ﮮВОР. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника АОD принадлежит отрезку ОР.
Билет № 11 1. Теорема о внешнем угле треугольника. 2. а).В треугольнике АВС АВ =ВС. Точки М и Н – середины сторон АВ и ВС. МD и НЕ перпендикулярны к прямой АС. Докажите, что ∆ АМD =∆СНЕ. б).Даны равносторонние треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 . О и О 1 – соответственно точки пересечения медиан этих треугольников. ОА = О 1 А 1 . Докажите, что ∆АВС =∆А 1 В 1 С 1 . в). На сторонах АВ, ВС, АС отмечены точки С 1 , А 1 , В 1 соответственно, так что отрезки СС 1 , АА 1 , ВВ 1 пересекаются в точке О.На отрезке ОС взята точка С 2 , а на отрезках ОА и ОВ точки А 2 и В 2 соответственно; ОА 1 =ОА 2, ОВ 1 =ОВ 2 , ОС 1 =ОС 2 . Докажите, что ∆АВС и ∆А 1 В 1 С 1 при наложении совместятся. -------------------------------------------------------------------------------------------- Билет № 12 1. Признаки равенства прямоугольных треугольников. (Доказательство одного из них по выбору учащихся)

2. а(. В треугольнике АВС ﮮВАС = ﮮВСА, биссектрисы АА 1 и СС 1 пересекаются в точке О. Докажите, что треугольник АОС – равнобедренный. б). В треугольнике АВС внешние углы при вершинах А и В равны. Докажите, что 2АС >АВ. в). В треугольнике АВС АВ = ВС. Внутри треугольника отмечена точка D

так, что ﮮDАС = ﮮDСА . Докажите, что точка пересечения высот этого треугольника лежит на прямой ВD. Билет № 13 1. Построение биссектрисы угла. 2. Задачи: а). Угол МРК является частью угла МРН, равного 105°. Найдите угол МРК, если известно, что он в 4 раза меньше угла КРН. б). Угол АОВ равен 43°. Внутри этого угла проведен луч ОС. Найдите угол между биссектрисами углов АОС и ВОС. в). На окружности последовательно отмечены точки А, В, С, D. АВ = СD. Докажите, что АС =ВD. -------------------------------------------------------------------------------------------- Билет № 14 1. Деление отрезка пополам. 2. Задачи:
а). Постройте прямоугольный треугольник с углом, равным 30°, по данной гипотенузе. б). Постройте равнобедренный прямоугольный треугольник по данной гипотенузе. в). Постройте равнобедренный треугольник по основанию и углу, который образуют биссектрисы, проведенные к боковым сторонам. Билет № 15 1. Признак равенства треугольников по стороне и двум, прилежащим к ней углам. 2. а). Постройте равнобедренный треугольник по основанию и сумме боковых сторон. б). Постройте равносторонний треугольник, у которого периметр был бы в полтора раза больше периметра данного треугольника. в). Даны отрезки РQ, Р 1 Q 1 , Р 2 Q 2. Постройте равнобедренный треугольник АВС, в котором основание АС равняется РQ, биссектриса АD равняется Р 1 Q 1 , а расстояние от точки D до прямой АВ равняется Р 2 Q 2. -------------------------------------------------------------------------------------------- Билет № 16 1. Построение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной к данной прямой. ( рассмотреть один из случаев по выбору учащихся) 2. а). В окружности с центром О проведены три радиуса ОВ, ОС, ОА.

ﮮАОВ = ﮮВОС. Докажите, что ﮮОАВ = ﮮОСВ. б). ). В окружности с центром О проведены три радиуса ОА, ОВ, ОС, так что ОВ |_ АС и отрезки ОВ и АС пересекаются. Докажите, что АВ = ВС. в).В окружности с центром О проведены две непараллельные равные хорды АВ и СD. Точка М – середина хорды АВ, а Н – середина хорды СD. Докажите, что углы НМО и МНО равны. ------------------------------------------------------------------------------------------------- -- Билет № 17 1. Признак равнобедренного треугольника. 2. а). Углы АВD и АВС – смежные, луч ВО – биссектриса угла АВD.

Найдите ﮮОВD, если ﮮАВС = 60°. б). На сторонах АВ, ВС, АС треугольника АВС взяты точки М, Р, К соответственно, так что лучи КМ и КР являются биссектрисами углов АКВ и

ВКС. Докажите, что ﮮМКЕ = 90°.
в). Дана окружность с центром в точке О и диаметром АВ. Вне окружности взята точка М так, что прямые МА и МВ пересекают окружность в точках С и D соответственно; АС = СD = ВD. Докажите, что АС = ОВ. Билет № 18 1. Признаки параллельности двух прямых ( Доказательство для случая, когда две прямые параллельны третьей) 2. а). На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты точки М и Н

соответственно. ﮮА = ﮮВМН = 50°, ﮮС = 50°. Найдите угол МНС.

б(. В треугольнике АВС ﮮА = 50°, ﮮС = 80°. Докажите, что биссектриса внешнего угла треугольника при вершине С лежит на прямой, параллельной прямой АВ. в). На одной стороне неразвернутого угла взяты точки А и С, на другой В и

D, так что АВ|| СD. Точка М принадлежит отрезку АВ. ﮮМСА = ﮮМСD,

ﮮМDС = ﮮМDВ. Докажите, что АВ = АС + ВD. Билет № 19 1. Свойство смежных углов. а). Разность двух сторон тупоугольного равнобедренного треугольника равна 8см, а его периметр равен 38 см. Найдите стороны треугольника. б). В равнобедренном треугольнике АВС угол В – тупой. Высота ВD равна 8см. Найдите периметр треугольника АВС, если периметр треугольника АВD равен 24 см. в). В треугольнике внешние углы при вершинах А и С равны. Найдите длину биссектрисы ВD, если периметр треугольника АВС равен 36 см, а периметр треугольника АВD равен 24см. -------------------------------------------------------------------------------------------- Билет № 20 1. Свойство вертикальных углов. 2. Задачи: а). Постройте прямоугольный треугольник по катету и прилежащему к нему острому углу. б). Постройте прямоугольный треугольник по катету и противолежащему ему острому углу. в). Постройте прямоугольный треугольник по острому углу и высоте, проведенной из вершины прямого угла.

В раздел основное общее образование