Интерактивный плакат "Всё о треугольниках"
Электронный образовательный ресурс
Автор: Степанова Марина Анатольевна, учитель математики, МОУ "Майская гимназия Белгородского района Белгородской области", пос. Майский Белгородского района Белгородской области
В раздел основное общее образование
Интерактивный
плакат
для
уроков
обобщения
и
Интерактивный
плакат
для
уроков
обобщения
и
систематизации
знаний
систематизации
знаний
Выполнила
Степанова
Марина
Анатольевна
,
Выполнила
Степанова
Марина
Анатольевна
,
учитель
математики
МОУ
«
Майская
гимназия
учитель
математики
МОУ
«
Майская
гимназия
Белгородского
района
Белгородской
области»
Белгородского
района
Белгородской
области»
Высшая
квалификационная
категория
,
Высшая
квалификационная
категория
,
«
Почётный
работник
общего
образования
РФ»
«
Почётный
работник
общего
образования
РФ»
Площадь треугольника Проверь себя! Теоремы Замечательные точки треугольника Определения Признаки равенства треугольников Это интересно! Виды треугольников Треугольник
Треугольник Треугольник • Треугольник - простейшая Треугольник - простейшая плоская фигура. Три вершины и плоская фигура. Три вершины и три стороны. Изучение три стороны. Изучение треугольника породило науку – треугольника породило науку – тригонометрию. Эта наука тригонометрию. Эта наука возникла из практических возникла из практических потребностей при измерении потребностей при измерении земельных участков, составлении земельных участков, составлении карт на местности, карт на местности, конструировании машин и конструировании машин и механизмов. механизмов.
Равносторонний Равнобедренный Разносторонний Определи тип треугольника
Остроугольный Узнает очень просто Меня любой дошкольник Я тупо-,прямо-,остро- Угольный треугольник ! Тупоугольный Прямоугольный
Медианой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны (основанием медианы). Высотой треугольника, проведённой из данной вершины, называется перпендикуляр, опущенный из этой вершины на противоположную сторону или её продолжение. Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называют отрезок, соединяющий эту вершину с точкой на противоположной стороне и делящий угол при данной вершине пополам. Отрезок, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне, называется чевианой . Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника.
Медиана треугольника Медиана треугольника EA = 4,11см DE = 4,11см
E
A
B
D
• Отрезок соединяющий вершину треугольника Отрезок соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника. называется медианой треугольника. • Любой треугольник имеет Любой треугольник имеет три медианы три медианы
Высота треугольника Высота треугольника • Перпендикуляр Перпендикуляр проведенный из проведенный из вершины треугольника вершины треугольника к прямой, содержащей к прямой, содержащей противоположную. противоположную. Сторону, называется Сторону, называется высотой треугольника высотой треугольника • Любой треугольник Любой треугольник имеет три высоты имеет три высоты
QT высота
T
Q
O
P
Биссектриса треугольника Биссектриса треугольника • Отрезок биссектрисы Отрезок биссектрисы угла треугольника, угла треугольника, соединяющий вершину соединяющий вершину треугольника с точкой треугольника с точкой противоположной противоположной стороны, называется стороны, называется биссектрисой биссектрисой треугольника треугольника • Любой треугольник Любой треугольник имеет три биссектрисы имеет три биссектрисы ZWX = 42,57 VWZ = 42,57
Z
W
V
X
Свойство медиан, биссектрис и Свойство медиан, биссектрис и высот треугольников. высот треугольников.
В треугольнике медианы
пересекаются в одной точке
G
F
E
C
A
B
D
В треугольнике высоты
пересекаются в одной
точке
S
T
U
R
Q
O
P
В треугольнике биссектрисы
пересекаются в оюной точке
B
1
Z
A
1
Y
W
V
X
Теорема о сумме углов треугольника
Теорема синусов
, где R — радиус окружности, описанной вокруг треугольника. Из теоремы следует, что если a < b < c, то α < β < γ.
Теорема косинусов
Является обобщением теоремы Пифагора.
Теорема тангенсов
Может ли в треугольнике быть два тупых угла Почему? Да Нет Может ли в треугольнике быть два прямых угла? Почему? Может ли в треугольнике быть один прямой угол и один тупой? Почему? Да Да Нет Нет
ПРОВЕРЬ СЕБЯ ПРОВЕРЬ СЕБЯ 65 y Ответ ы выбер и х Задача № 1 Найди неизвестные углы. При выборе правильного ответа получишь приз 60 25 65 50 Ошибочка! Что-то не так!
Теорема Теорема : : Сумма углов треугольника равна 180 Сумма углов треугольника равна 180 0 0 Дано : А А А В АВС треугольник угол1,угол2,угол3 Доказать: Угол1+угол2+угол3=180 0 1 2 3 4 5 Доказательство: 1.Проведем через точку В прямую а параллельно АС. Отметим на Чертеже углы 4 и 5. 2.Угол 5+угол2+угол4=180 0 (как развернутый угол) 3.Угол 4=углу3(как внутренние накрестлежащие при параллельных а и АС и секущей ВС) угол 5=углу1(как внутренние накрестлежащие при параллельных а и АВ и секущей АВ) 4.Угол 1+угол 2+угол 3=180 0 что и требовалось доказать. С а
Следствия из теоремы: В равностороннем треугольнике углы равны В равностороннем треугольнике углы равны 60 60 0 0 В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90 0 В прямоугольном равнобедренном треугольнике острые углы равны по 45 0
Первое упоминание о треугольнике и его Первое упоминание о треугольнике и его свойствах мы находим в египетских папирусах свойствах мы находим в египетских папирусах • Которым более Которым более 4000лет.Через 2000лет 4000лет.Через 2000лет в древней Греции в древней Греции
Открытия в геометрии Открытия в геометрии треугольника есть и в нашем треугольника есть и в нашем веке веке • Так, в 1904 году американский математик Ф.Морли доказал , Так, в 1904 году американский математик Ф.Морли доказал , что если из каждой вершины треугольника провести лучи, что если из каждой вершины треугольника провести лучи, делящие соответствующий угол на три равные делящие соответствующий угол на три равные части(трисектрисы угла,) то точки пересечения смежных части(трисектрисы угла,) то точки пересечения смежных трисектрис углов являются вершинами равностороннего трисектрис углов являются вершинами равностороннего треугольника. Доказательство этого утверждения было под силу треугольника. Доказательство этого утверждения было под силу и древнегреческим математикам , но они прошли мимо этого и древнегреческим математикам , но они прошли мимо этого факта, видимо, потому, что тогда было принято рассматривать факта, видимо, потому, что тогда было принято рассматривать лишь построения при помощи циркуля и линейки, а с помощью лишь построения при помощи циркуля и линейки, а с помощью этих инструментов такое деление сделать не возможно. этих инструментов такое деление сделать не возможно.
А вот и сами три признака А вот и сами три признака 1 признак 1 признак • Если две стороны и угол между ними одного Если две стороны и угол между ними одного треугольника, соответственно равны двум треугольника, соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого сторонам и углу между ними другого треугольника , то такие треугольники равны. треугольника , то такие треугольники равны.
D
1
C
1
E
1
D
1
C
1
E
1
2-й признак 2-й признак • Если сторона и два прилежащих угла одного Если сторона и два прилежащих угла одного треугольника соответственно равны стороне треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим углам другого и двум прилежащим углам другого треугольника , то такие треугольники равны. треугольника , то такие треугольники равны.
G
1
B
F
1
H
1
C
A
3-й признак 3-й признак • Если три стороны одного треугольника Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого соответственно равны трем сторонам другого треугольника . То такие треугольники равны. треугольника . То такие треугольники равны.
j
J
1
I
1
K
1
C
B
А.В.Погорелов. Геометрия 7-11 Е.Е.Семенов. Изучаем геометрию. В.Г .Житомирский, Л.Н. Шеврин. Путешествие по стране геометрии. А.П.Ершова, В.В. Голобородько, А.С.Ершова. Контрольные И самостоятельные работы по геометрии. 7-9 классы.
Площадь треугольника Проверь себя! Теоремы Замечательные точки треугольника Определения Признаки равенства треугольников Это интересно! Виды треугольников Треугольник
Треугольник Треугольник • Треугольник - простейшая Треугольник - простейшая плоская фигура. Три вершины и плоская фигура. Три вершины и три стороны. Изучение три стороны. Изучение треугольника породило науку – треугольника породило науку – тригонометрию. Эта наука тригонометрию. Эта наука возникла из практических возникла из практических потребностей при измерении потребностей при измерении земельных участков, составлении земельных участков, составлении карт на местности, карт на местности, конструировании машин и конструировании машин и механизмов. механизмов.
Равносторонний Равнобедренный Разносторонний Определи тип треугольника
Остроугольный Узнает очень просто Меня любой дошкольник Я тупо-,прямо-,остро- Угольный треугольник ! Тупоугольный Прямоугольный
Медианой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны (основанием медианы). Высотой треугольника, проведённой из данной вершины, называется перпендикуляр, опущенный из этой вершины на противоположную сторону или её продолжение. Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называют отрезок, соединяющий эту вершину с точкой на противоположной стороне и делящий угол при данной вершине пополам. Отрезок, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне, называется чевианой . Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника.
Медиана треугольника Медиана треугольника EA = 4,11см DE = 4,11см
E
A
B
D
• Отрезок соединяющий вершину треугольника Отрезок соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника. называется медианой треугольника. • Любой треугольник имеет Любой треугольник имеет три медианы три медианы
Высота треугольника Высота треугольника • Перпендикуляр Перпендикуляр проведенный из проведенный из вершины треугольника вершины треугольника к прямой, содержащей к прямой, содержащей противоположную. противоположную. Сторону, называется Сторону, называется высотой треугольника высотой треугольника • Любой треугольник Любой треугольник имеет три высоты имеет три высоты
QT высота
T
Q
O
P
Биссектриса треугольника Биссектриса треугольника • Отрезок биссектрисы Отрезок биссектрисы угла треугольника, угла треугольника, соединяющий вершину соединяющий вершину треугольника с точкой треугольника с точкой противоположной противоположной стороны, называется стороны, называется биссектрисой биссектрисой треугольника треугольника • Любой треугольник Любой треугольник имеет три биссектрисы имеет три биссектрисы ZWX = 42,57 VWZ = 42,57
Z
W
V
X
Свойство медиан, биссектрис и Свойство медиан, биссектрис и высот треугольников. высот треугольников.
В треугольнике медианы
пересекаются в одной точке
G
F
E
C
A
B
D
В треугольнике высоты
пересекаются в одной
точке
S
T
U
R
Q
O
P
В треугольнике биссектрисы
пересекаются в оюной точке
B
1
Z
A
1
Y
W
V
X
Теорема о сумме углов треугольника
Теорема синусов
, где R — радиус окружности, описанной вокруг треугольника. Из теоремы следует, что если a < b < c, то α < β < γ.
Теорема косинусов
Является обобщением теоремы Пифагора.
Теорема тангенсов
Может ли в треугольнике быть два тупых угла Почему? Да Нет Может ли в треугольнике быть два прямых угла? Почему? Может ли в треугольнике быть один прямой угол и один тупой? Почему? Да Да Нет Нет
ПРОВЕРЬ СЕБЯ ПРОВЕРЬ СЕБЯ 65 y Ответ ы выбер и х Задача № 1 Найди неизвестные углы. При выборе правильного ответа получишь приз 60 25 65 50 Ошибочка! Что-то не так!
Теорема Теорема : : Сумма углов треугольника равна 180 Сумма углов треугольника равна 180 0 0 Дано : А А А В АВС треугольник угол1,угол2,угол3 Доказать: Угол1+угол2+угол3=180 0 1 2 3 4 5 Доказательство: 1.Проведем через точку В прямую а параллельно АС. Отметим на Чертеже углы 4 и 5. 2.Угол 5+угол2+угол4=180 0 (как развернутый угол) 3.Угол 4=углу3(как внутренние накрестлежащие при параллельных а и АС и секущей ВС) угол 5=углу1(как внутренние накрестлежащие при параллельных а и АВ и секущей АВ) 4.Угол 1+угол 2+угол 3=180 0 что и требовалось доказать. С а
Следствия из теоремы: В равностороннем треугольнике углы равны В равностороннем треугольнике углы равны 60 60 0 0 В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90 0 В прямоугольном равнобедренном треугольнике острые углы равны по 45 0
Первое упоминание о треугольнике и его Первое упоминание о треугольнике и его свойствах мы находим в египетских папирусах свойствах мы находим в египетских папирусах • Которым более Которым более 4000лет.Через 2000лет 4000лет.Через 2000лет в древней Греции в древней Греции
Открытия в геометрии Открытия в геометрии треугольника есть и в нашем треугольника есть и в нашем веке веке • Так, в 1904 году американский математик Ф.Морли доказал , Так, в 1904 году американский математик Ф.Морли доказал , что если из каждой вершины треугольника провести лучи, что если из каждой вершины треугольника провести лучи, делящие соответствующий угол на три равные делящие соответствующий угол на три равные части(трисектрисы угла,) то точки пересечения смежных части(трисектрисы угла,) то точки пересечения смежных трисектрис углов являются вершинами равностороннего трисектрис углов являются вершинами равностороннего треугольника. Доказательство этого утверждения было под силу треугольника. Доказательство этого утверждения было под силу и древнегреческим математикам , но они прошли мимо этого и древнегреческим математикам , но они прошли мимо этого факта, видимо, потому, что тогда было принято рассматривать факта, видимо, потому, что тогда было принято рассматривать лишь построения при помощи циркуля и линейки, а с помощью лишь построения при помощи циркуля и линейки, а с помощью этих инструментов такое деление сделать не возможно. этих инструментов такое деление сделать не возможно.
А вот и сами три признака А вот и сами три признака 1 признак 1 признак • Если две стороны и угол между ними одного Если две стороны и угол между ними одного треугольника, соответственно равны двум треугольника, соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого сторонам и углу между ними другого треугольника , то такие треугольники равны. треугольника , то такие треугольники равны.
D
1
C
1
E
1
D
1
C
1
E
1
2-й признак 2-й признак • Если сторона и два прилежащих угла одного Если сторона и два прилежащих угла одного треугольника соответственно равны стороне треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим углам другого и двум прилежащим углам другого треугольника , то такие треугольники равны. треугольника , то такие треугольники равны.
G
1
B
F
1
H
1
C
A
3-й признак 3-й признак • Если три стороны одного треугольника Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого соответственно равны трем сторонам другого треугольника . То такие треугольники равны. треугольника . То такие треугольники равны.
j
J
1
I
1
K
1
C
B
А.В.Погорелов. Геометрия 7-11 Е.Е.Семенов. Изучаем геометрию. В.Г .Житомирский, Л.Н. Шеврин. Путешествие по стране геометрии. А.П.Ершова, В.В. Голобородько, А.С.Ершова. Контрольные И самостоятельные работы по геометрии. 7-9 классы.
В раздел основное общее образование