"Системы линейных уравнений в решении алгебраических задач"
Конспект урока
Автор: Баланова Людмила Николаевна, учитель математики, МБОУ "Луховицкая средняя общеобразовательная школа № 2", г. Луховицы, Московская область
В раздел основное общее образование
Открытый урок в 7 классе
по теме:
« Системы линейных уравнений
в решении алгебраических
задач».
МОУ ЛСОШ № 2
г. Луховицы
Учитель: Л. Н. Баланова
Предварительная подготовка к уроку:
учащиеся должны знать следующие темы: «Уравнение и его корни», «Линейное уравнение с одной переменной», «Решение задач с помощью систем уравнений», владеть навыками решения уравнения.
Цели урока:
образовательная:
отработка навыков решения систем линейных уравнений;
воспитательная:
воспитание чувства ответственности, формирование творческих способностей, математической культуры, навыков самоконтроля;
развивающая:
развитие внимания, логического мышления, познавательного интереса к предмету.
Оборудование:
написанные на доске примеры для устной работы, дифференцированная самостоятельная работа на 4 варианта, компьютер, мультимедийный проектор; индивидуальные доски для маркеров; карточки с заданиями, учебники.
Тип урока:
сдвоенный урок применения и совершенствования знаний.
Ход урока.
I. Повторение алгоритма решения задач с помощью систем
уравнений.
На экран через граф-проектор проецируется информация: « Петя Веников составил алгоритм решения задач с помощью систем уравнений, но допусти ряд ошибок. Найдите их , если видите.»
Алгоритм Пети Венникова:
1)Обозначают некоторые неизвестные буквы
числами.
2)Решают
получившуюся систему.
3)Истолковывают результат в соответствии
с условиями системы.
( Учащиеся находят ошибки и исправляют их: в 1): неизвестные числа буквами; в 2): пропущен шаг, в котором, используя условие задачи, составляют систему уравнений; в 3): в соответствии с условиями задачи.)
II. Проверка домашней задачи.
Текст
:
«В клетке находятся фазаны и кролики. У всех животных 35 голов и 94 ноги. Сколько в клетке кроликов и сколько фазанов?» Перед учащимися ставилась проблема решить эту задачу 2 способами: арифметическим и с помощью системы. Пока один ученик записывает на доске решение задачи с помощью системы, с остальными проверяется арифметическое решение задачи.
Арифметическое решение:
1. ( 94- 35∙2 ) : 2 = 12 - кроликов; 2. 35- 12 = 23 - фазанов. Ответ: 12 кроликов и 23 фазана.
С помощью системы:
Пусть x- количество фазанов, а y- кроликов. Известно ,что всего голов- 35. Значит, x + y =35. Тогда 2x- ноги всех фазанов, а 4y- ноги всех кроликов. По условию задачи 2x + 4y = 94. Составим и решим систему уравнений: 94 4 2 35 y x y x ; 94 4 ) 35 ( 2 35 y y y x ; 94 4 2 70 35 y y y x ; 24 2 35 y y x ; 12 35 y y x ; 12 23 y x ; 23-фазана и 12 кроликов. Ответ: 12кроликов и 23 фазана.
Ш. Устная работа.
(Задания заранее написаны на доске.) При решении задачи были допущены ошибки. Найдите их и составьте систему уравнений по условию задачи правильно.
Задача № 1.
Туристы отправились в путешествие. Сначала они решили плыть по реке и сели на пароход, который проплыл 240 км. На это он потратил 2 часа, плывя против течения, и 3 часа – по течению. Туристы решили определить, какова скорость парохода по течению и против, если известно, что за 2 часа по течению он проходит на 35 км меньше, чем за 3 часа против течения. Через проектор на доску проецируется решение задачи с ошибками: Пусть x км/ч – скорость парохода против течения, а y км/ч – скорость по течению. По условию задачи пароход проплыл 240 км за 2 часа против течения и за 3 часа - по течению. Отсюда: 2х + 3y = 240. Известно, что за 2 часа по течению он проходит на 35 км меньше, чем за 3 часа против течения. Отсюда: 2y – 3х = 35.
Составим и решим систему уравнений: 35 3 2 240 3 2 x y y x ; 105 9 6 480 6 4 x y y x ; 35 3 2 375 13 x y x ; 35 28 3 2 28 y x ; 119 2 28 y x ; 60 28 y x Учащиеся должны найти ошибки: 1) Ошибка в составлении системы: x км/ч – скорость парохода против течения; у км/ч – по течению. Второе уравнение системы должно иметь вид: 3х – 2у = 35. 2) Ошибка при решении системы: при делении 375 на 13 получается дробное число, но в системе его округлять нельзя. Так же как нельзя округлять и значение параметра у.
Правильно составленная система:
35 2 3 240 3 2 y x y x ( Класс получает задание решить её дома к следующему занятию.)
Решение:
35 2 3 240 3 2 y x y x ; 105 6 9 480 6 4 y x y x ; 105 2 3 585 13 y x x ; 105 2 45 3 45 y x ; 100 2 45 y x ; 50 45 y x ; 45 км / ч – скорость парохода против течения, 50 км / ч – по течению.
Ответ : 45 км / ч ; 50 км / ч
Задача № 2.
(Устный разбор с последующим решением.) Можно ли разменять сторублёвую купюру пятирублёвыми и десятирублёвыми монетами так, чтобы всех монет было десять? Учащиеся объясняют ход решения : обозначим за
х
– пятирублёвые монеты, а за
у-
десятирублёвые. Получим: х + у = 10 . Составим второе уравнение: так как с помощью таких монет надо разменять сто рублей, то должно выполняться равенство: 5х + 10у = 100.
Составим и решим систему уравнений: 100 10 5 10 y x y x ; 100 10 ) 10 ( 5 10 y y y x ; 100 10 5 50 10 y y y x ; 50 5 10 y y x ; 10 10 y y x ; 10 10 10 y x ; 10 0 y x . Вывод: так как х и у являются количеством монет, то х не должно равняться нулю, так как 0 N . Значит указанным способом невозможно разложить 100 - рублёвую купюру.
Ответ: нет.
IV. Задачный марафон.
Задача № 1.
Решите систему уравнений и ответьте на вопрос: может ли она удовлетворять условию задачи? Не забудьте, что такому условию чаще всего удовлетворяют натуральные или конечные десятичные числа. Предлагаемая система: 5 1 15 5 2 y x x y Решение: 5 1 15 5 2 y x x y ; ; 15 75 2 3 15 ; ) 3 15 ( 5 2 3 15 ; 5 2 3 15 y y y x y y y x x y y x
17 7 4 17 13 1 ; 17 75 17 75 3 15 ; 75 17 3 15 ; 75 15 2 3 15 y x y x y y x y y y x При решении системы получили дробные числа, которые не могут удовлетворять условию «хорошей» задачи.
Ответ: нет.
Задача № 2 .
Найдите точку пересечения графиков функций у = 2х - 6 и у = х – 3. ( Класс решает задачу самостоятельно, 4 уч-ся на индивидуальных досках для маркеров, 2 уч-ся на листах в клетку с последующей проверкой на экране через сканер).
Решение:
Чтобы найти точку пересечения графиков функций, необходимо составить и решить систему уравнений с двумя неизвестными:
0 3 ; 3 3 ; 3 6 2 3 ; 3 6 2 y x x y x x y x x x y x y
Ответ: (0; 3).
Задача № 3 .
Основание равнобедренного треугольника на 5 см больше его боковой стороны. Найдите стороны треугольника, если известно, что его периметр равен 50 см.
Решение:
Пусть х см – длина боковой стороны треугольника, а у см- основания. Известно, что основание больше боковой стороны на 5 см, т.е. у = х + 5. Так как треугольник равнобедренный, то боковые стороны у него равны. Составим и решим систему: 50 5 2 5 ; 50 2 5 x x x y y x x y ; 20 15 ; 45 3 5 y x x x y 15см – боковая сторона треугольника, 20 см – его основание.
Ответ: 15см, 15см и 20 см.
Творческая задача.
Сформулируйте задачу про движение, условию которой будет удовлетворят сле- дующая система: x y y x 5 640 6 4 . У одних учащиеся действующим лицом задачи была машина, у других – поезд, мотоцикл, скутер и т.д. Но все единодушно решили, что расстояние в
600 км
было пройдено в два этапа:
4х
км и
6у
км. Сначала ( например, машина ) ехала
4ч
., потом
6ч
. Известно, что
у – х = 5.
Отсюда учащиеся сделали вывод, что скорость машины на втором участке была больше на 5 км, чем на первом. В итоге получилась следующая задача, которая удовлетворяет приведённой системе: « Машина прошла расстояние в 600 км в два этапа. Сначала она ехала 4часа с некоторой скоростью, а затем ещё 6 часов, увеличив скорость на 5 км/ч. Определите скорость машины на каждом этапе движения»
Задание, подготовленное на карточках (одна на парту).
Найдите в квадрате ответы к задаче:
Решение:
обозначим одно число за Х; а второе - за У. Составим и решим систему по условию задачи:
3
5
-5
2
У
6
-3
-1
-2
-2
1
-3
7
Х
4
0
-1
3
5 7 ; 14 2 2 ; 12 2 2 ; 2 12 ; 6 ) ( 3 24 ) ( 2 y x x x y x x x y y x y x y x y x В первом квадрате это число 7, во втором – 5.
Ответ: 7 и 5.
( Выставление оценок за задачный марафон, выяснение и обобщение того, что удалось учащимся, а над чем ещё надо поработать).
V. Домашнее задание. Комментарии и объяснения к нему.
( Выдаются каждому на индивидуальных листах только тексты задач).
Задача № 1 .
Сколько лет яблоне и вишне, если 6 лет назад возраст яблони был в 5 раз больше возраста вишни, а 2 года назад – в 2 раза?
Решение:
Пусть х- возраст яблони, а у- возраст вишни. Составим и решим систему:
36 3 2 2 ; 40 5 8 2 2 2 2 ; 4 2 2 40 5 8 ; ) 2 ( 2 2 ) 8 ( 5 8 y y x y y y x y x y x y x y x ; 10 2 2 y y x ; . 10 18 ; 10 2 20 y x y x 18 лет яблоне и 10 лет вишне.
Ответ: 18 лет и 10 лет.
Задача № 2 .
При каком значении k прямая y = kx-3 пересекается с прямыми y = 2x-5 и y = x+2?
Решение:
чтобы найти k составим и решим систему из трёх уравнений:
9 7 7 5 1 ; 9 7 12 7 ; 9 7 3 7 9 ; 2 7 7 3 ; 5 2 2 2 3 ; 2 5 2 2 3 ; 2 5 2 3 y x k y x k y x k y x kx y x x x y kx y x x x y kx y x y x y kx y Т.о., k = 7 5 1 и уравнение прямой имеет вид 3 7 5 1 x y .
Ответ: k =
7 5 1
.
Задача № 3 .
Решить правильный вариант классной задачи № 1.
Решение:
50 45 ; 100 2 45 ; 35 2 45 3 45 ; 35 2 3 585 13 ; 105 6 9 480 6 4 ; 35 2 3 240 3 2 y x y x y x y x x y x y x y x y x Значит, скорость парохода против течения- 45 км / ч, а по течению- 50 км / ч.
Ответ: 45 км / ч; 50 км / ч.
VI. Дифференцированная самостоятельная работа на 4 варианта.
( Выполняется с последующей проверкой через проектор).
1 вариант.
В гостинице 25 номеров. Есть 4-х местные и 2-х местные номера. Сколько каких номеров, если известно, что всего в гостинице могут разместиться 70 человек?
Решение
:
пусть х номеров 4-х местных, а у - 2-х местных. Составим и решим систему:
15 10 ; 15 25 ; 30 2 25 ; 70 2 4 100 25 ; 70 ) 25 ( 4 25 ; 70 2 4 25 y x y y x y y x y y y x y y x y x y x Значит, в гостинице 10 номеров 4-х местных и 15 - 2-х местных.
Ответ: 10 и 15.
2 вариант.
Для класса купили 30 билетов в театр стоимостью по 10 рублей и по 15 рублей. За все билеты заплатили 390 рублей. Сколько билетов купили по 10 руб. и по 15 руб.?
Решение
:
пусть купили х билетов по 10 руб. и у билетов по 15 руб. Составим и решим систему:
12 18 ; 120 10 18 ; 390 18 15 10 18 ; 390 15 10 90 5 ; 390 15 10 300 10 10 ; 390 15 10 30 x y x y x y y x y y x y x y x y x Т.о., купили 18 билетов по 10 рублей и 12 билетов по 15 рублей.
Ответ: 18 и 12.
3 вариант.
Даны два числа. Если к первому прибавить половину второго, то получится 65, а если из второго вычесть третью часть первого, то получится первое число. Найдите эти числа.
Решение
:
обозначим за х – первое число, а за у – второе число. Составим и решим систему:
5 , 32 75 , 48 ; 5 , 32 5 , 1 5 , 32 ; 130 4 5 , 1 ; 130 5 , 1 2 5 , 1 ; 2 3 130 2 ; 3 3 130 2 ; 3 1 65 5 , 0 y x x y y y x y y y x x y y x x x y y x x x y y x 48,75 – первое число, 32,5 – второе число.
Ответ: 48,75 и 32,5 .
4 вариант.
(для наиболее подготовленных уч-ся)
Если из первого числа вычесть четверть второго числа, получится 129, а если увеличить второе число в 5 раз и отнять от него половину первого числа, то получится первое число. Найдите эти числа.
Решение
:
обозначим за х – первое число, за у – второе число. Составим и решим систему:
37 31 41 37 17 139 ; 37 17 139 3 , 0 516 7 , 3 3 , 0 ; 516 3 , 0 4 3 , 0 ; 3 , 0 516 4 ; 3 10 516 4 ; 2 10 516 4 ; 5 , 0 5 129 25 , 0 y x x x y x x y x x x y x y y x x y y x x x y y x x x y y x . 37 31 41 , 37 17 139 число второе число первое
Ответ:
. 37 31 41 37 17 139 и
VII. Подведение итогов урока.
Рефлексия занятия, выставление оценок.
Комментарий учителя.
В целом учащиеся достаточно хорошо усвоили алгоритм решения задач на составление систем линейных уравнений. В решении систем отдают предпочтение методу подстановки, хотя многие хорошо владеют и способом сложения. Устная работа показала, что учащиеся ориентируются в условии задач, без труда вводят переменные и многие верно составляют уравнения к системе. Справились с творческой, геометрической задачами, с интересом разменивали 100-рублёвую купюру. В задачном марафоне оспаривался результат задачи № 1. Почему дробные числа не могут быть решениями задачи? В принципе, дети правы – это показали ответы к самостоятельной работе В-3; 4. Поэтому пришлось наложить дополнительное условие «хорошей» задачи.
В раздел основное общее образование