"Взаимное расположение прямой и окружности"
методическая разработка урока математики
Автор: Журина Мария Борисовна, учитель математики, МОУ СОШ № 5 имени 63-го Угличского пехотного полка, город Углич, Ярославская область
В раздел основное общее образование
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ОКРУЖНОСТИ
Методическая разработка урока 6 класс, математика УМК « СФЕРЫ» Е. А. Бунимович, Г. В. Дорофеев и др.
Журина Мария Борисовна
, учитель математики Муниципального общеобразовательного учреждения средней общеобразовательной школы № 5 имени 63-го Угличского пехотного полка города Углича Ярославской области Углич, 2016 год 1
Тип урока: Усвоение учащимися новых знаний Технологии: Урок — лаборатория, информационные технологии. Цели урока: Предметные: 1.
Исследовать взаимное расположение прямой и окружности.
2.Ввести понятие касательной к окружности.
3.Рассмотреть задачу на построение касательной к окружности.
Метапредметные:
1.Создание условий для анализа, обобщения результатов исследования.
2.Развитие умения выделять существенные признаки для решения учебных задач.
Личностные:
Формирование умения оценивать себя, работать в группе
. Метод: Исследовательский. Формы познавательной деятельности: Работа в группе. Оборудование: Проектор, электронное приложение к учебнику, тетрадь - тренажер (УМК «Сферы»), раздаточный, материал (модель окружности из бумаги, лист наблюдений). 2
Структура урока:
Организационный момент
Проверка домашнего задания
Актуализация опорных знаний и их коррекция
Формулирование темы урока, целей
Усвоение новых знаний
Первичная проверка понимания изученного
Применение знаний в новой ситуации
Подведение итогов. Рефлексия
Информация о домашнем задании
3
Ход урока Этапы урока Деятельность учителя Деятельность учащихся 1. организационный Приветствует учащихся. Сегодня мы проведем урок геометрии. Это будет не обычный урок, а урок-лаборатория. А что делают в лаборатории? Как вы думаете? Вы будете учиться наблюдать и делать выводы, как настоящие исследователи. Запишите число, классная работа Приветствуют учителя. Настраиваются на работу. Отвечают на вопросы учителя. Записывают число, классная работа 2. Проверка д/з Организует проверку домашнего задания по образцу, обсуждение сложных моментов Проверяют домашнее задание, обсуждают, исправляют ошибки 3. Актуализация знаний Предлагает выполнить тест. Ответы запишите в тетрадь. 1.Сколько общих точек могут иметь две прямые? А) бесконечно много, Б) 1 или 2, В) 2 или 0, Г) 0 или1. 2. С помощью каких инструментов строят перпендикулярные прямые? А) линейка, Б) прямоугольный треугольник, В) транспортир. 3.Чему равен радиус окружности, если ее диаметр равен 36см? А) 72см, Б) 18см, В) 9см, Г) 36 см. . 4.Расстояние от центра окружности, радиус которой равен 10см, до любой ее точки равно: А) 5см, Б) 10см, В) 20см, Г) 1дм. Поменяйтесь тетрадями и проверьте работы. Согласны ли вы с ответами, предложенными на слайде? Отметьте в листе предметных результатов умения, которые необходимо доработать Выполняют тест, делают взаимопроверку, сверяя ответы соседа с ответами на слайде, отмечают в листе предметных результатов умения, которые необходимо доработать 4. Формулирование темы урока, постановка цели Мы вспомнили как располагаются 2 прямые на плоскости, что такое радиус и диаметр окружности, с помощью каких инструментов строят перпендикулярные прямые. А можете вы сказать о каких геометрических фигурах шла речь в тесте? Можете ли вы сказать «Как могут располагаться на плоскости прямая и окружность…Сегодня мы рассмотрим взаимное расположение прямой и окружности-самых важных линий в математике Отвечают на вопросы, формулируют тему, предполагая, что тема «Прямая и окружность», цели урока. 4
Запишите тему урока « ПРЯМАЯ И ОКРУЖНОСТЬ» Что, по вашему, сегодня мы узнаем, чему научимся? (Исследуем взаимное расположение прямой и окружности, введем понятие касательной и научимся ее строить) 5. Усвоение новых знаний В нашей лаборатории мы будем работать в группах. Распределите роли. Задание для групп: Подумайте и обсудите в группе, какие возможны варианты расположения прямой и окружности. Выполните чертежи. Потом мы проверим, все ли варианты вы рассмотрели. Сколько минут вам потребуется на работу? В помощь вам план и Ключевые слова. Прочитайте. Есть ли у вас вопросы? План работы: 1. Возьмите заготовленные вами модели окружности, карандаш, который будет служить моделью прямой, и, прикладывая карандаш к окружности, рассмотрите все возможные случаи их расположения. 2. Сколько общих точек могут иметь прямая и окружность? 3. Сколько возможных вариантов вы заметили? 4. Теперь результаты своих исследований зарисуйте в листах наблюдений, которые лежат у вас на партах. 5. Выполните задания в 1 строке. Ответьте на вопросы во 2-ой и 3- ей строчках. 6. Заполните 4 строку 7. Доложите, что у вас получилось. Доклады командиров 1. Сколько вариантов вы рассмотрели? Дополнения. Несогласие? Демонстрация на моделях (3) Работают в группах по 4 человека, распределяют роли, выполняют задание для групп по плану в выданных листах наблюдений. Командир одной из групп докладывает о результатах, остальные корректируют ответ. Пытаются дать определение касательной к окружности, секущей, сравнивают свое определение с определением в учебнике стр. 86, выделяют ключевые слова, смотрят флеш- демонстрацию. Пытаются ответить на вопрос где в жизни нам встречается касательная, выдвигают гипотезы, используют подсказку на слайде. Вырабатывают критерии, на основании которых будет оцениваться их деятельность, используя листы предметных результатов. Командир одной из групп докладывает о полученных результатах. 5
2. Сколько общих точек у окружности и прямой? (1, 2, ни одной ) 3. От чего зависит количество общих точек? (от расстояния между прямой и центром окружности) 4. В каком случае прямая не имеет общих точек с окружностью? Имеет одну точку? Две? (прямая не имеет общих точек с окружностью, если расстояние от нее до центра окружности больше радиуса. Имеет одну точку, если расстояние равно радиусу и имеет две точки, если расстояние меньше радиуса) 5. Как вы назвали каждую прямую? (секущая, не пересекающая и касательная) 6. Для чего вам предложен 4 чертеж? Итак, с какими новыми терминами вы познакомились? Попробуем дать определение касательной к окружности? Секущей? Ответ: прямая, которая имеет с окружностью одну общую точку, называется касательной к этой окружности. Сравним наше определение и определение данное в учебнике на стр86 А теперь еще раз обратим внимание на взаимное расположение прямой и окружности и посмотрим (Флеш-демонстрацию). Можете ли вы сказать: « Где в жизни мы встречаемся с касательной?» Если на станке затачивать ножи, коньки, то можно увидеть искры, которые летят по касательной, а если машина резко тормозит, то из- под колёс летят камни тоже по касательной. Работа в группах Обратитесь к листу предметных результатов Выработайте критерии, на основании которых будет производиться оценка вашей деятельности именно по данной теме. Что вы должны знать, уметь делать критерии Уметь распознавать различные случаи взаимного расположения прямой и окружности 6
Уметь изображать их с помощью чертежных инструментов Уметь исследовать свойства взаимного расположения прямой и окружности Доложите, что у вас получилось 6. Первичная проверка понимания изученного А сейчас мы поработаем с определением касательной к окружности. Организует выполнение письменных упражнений. Задача №273.из учебника Задача №275 из учебника В таблице даны радиус окружности и расстояние от центра этой окружности до некоторой прямой. Что можно сказать о взаимном расположении прямой и окружности в каждом случае? Проверьте себя, выполнив построения. Условие задачи в виде таблицы записано на доске. Ключевые слова Радиус окружности в см 3 3 3 Расстояние от центра окружности до прямой в см 2 3 4 Мы познакомились с новым математическим объектом- касательной, а как всякий математический объект, касательная должна обладать какими- то свойствами. Давайте выясним, какими же? Хотите вы знать, как построить касательную к окружности, проходящую через данную точку? Одно из свойств поможет нам это сделать поможет ответить на вопрос: как это сделать. Вернемся в нашу лабораторию к листу наблюдений. А поможет вам ваш лист наблюдений.(РАБОТА В ГРУППАХ) Проведите радиус в точку касания. Что можно сказать о радиусе и касательной? Ответ: Касательная перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания прямой и окружности. Попытаемся сформулировать алгоритм построения касательной к окружности (работа в группах) Алгоритм Выполняют письменные упражнения. Один из учеников выполняет на компьютере интерактивные эти же упражнения (Выполнение проецируется на экран) Работа в группах с листами наблюдений (исследование свойства касательной) Выработка алгоритма построения касательной. Доклад о полученных результатах командира одной из групп 7
1. Проведите радиус в точку касания 2. Постройте прямую, перпендикулярную радиусу и проходящую через точку касания. 3. Построенная прямая – касательная к окружности А теперь сравним наш алгоритм и алгоритм, предложенный в учебнике Посмотрим флеш-демонстрацию «Построение касательной» Верно ли мы составили алгоритм? Вернемся к критериям, выработанным в начале изучения темы. Что мы туда добавим? критерии Уметь распознавать различные случаи взаимного расположения прямой и окружности Уметь изображать их с помощью чертежных инструментов Уметь исследовать свойства взаимного расположения прямой и окружности
Уметь строить касательную к окружности по алгоритму
Доложите, что у вас получилось По окончании изучения темы мы с вами оценим нашу деятельность и выделим то, что надо доработать! 7. Применение знаний в новой ситуации У вас на столах задача из серии «осваиваем алгоритмы». Выполните задание, предложенное вам. Через точку A проведите касательную к окружности. Отметьте на окружности точки B, C, D и постройте касательные в этих точках Выполняют задание, один человек работает у доски. 8. Подведение итогов урока. Рефлексия Сегодня вы для себя открыли новое геометрическое понятие -. Какое? касательная к окружности. Историческая справка: Оказывается, такое же определение касательной впервые встречается в учебнике "Элементы геометрии" французского математика Лежандра, написанного в конце 19 века. А то, что касательная Отвечают на вопросы, один из учеников дает историческую справку. Высказывают свое отношение к уроку. Оценивают свою деятельность на уроке 8
перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания, было уж известно греческому ученому Архиту Тарентскому, жившему в 4 веке до н.э. Итак, что же нового вы сегодня узнали на уроке? Ответьте на вопросы: Как располагаются прямая и окружность? Какая прямая называется касательной к окружности? Как ее построить? Сколько касательных можно провести через данную на окружности точку? Сколько всего касательных существует у окружности? Вернитесь к предложенным вами критериям и поставьте знаки (+и-), оценив ваши умения в начале и в конце урока. критерии В начале урока + - В конце урока Знаю, умею + Не знаю, не умею - Уметь распознавать различные случаи взаимного расположения прямой и окружности Уметь изображать их с помощью чертежных инструментов Уметь исследовать свойства взаимного расположения прямой и окружности Уметь строить касательную к 9
окружности по алгоритму Подумайте, все ли вы сегодня поняли на уроке? Все ли вы сделали для того, чтобы усвоить новый материал? Оцените свою работу 9. Домашнее задание Сообщает и комментирует домашнее задание 1) п.17, стр.87 ответить устно на вопросы; 2) выполнить упражнения № 276, 279 3) заполнить таблицу (на карточках). Радиус окружности 2 с м 8,2 см 6,5 см 2,8 см Расстояние от центра окружности до прямой 6 с м 5,32 см 6,5 см 9 см 8 м Вывод о взаимном расположении окружности и прямой Прямая пересекает окружность Прямая касается окружности Прямая не пересекает окружность Слушают комментарии учителя, задают вопросы, записывают в дневники. Приложения 10
1. Лист предметных результатов
ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ
Взаимное расположение двух прямых. Пересекающиеся прямые. Перпендикулярные прямые. РАСПОЗНАВАТЬ случаи взаимного расположения двух прямых. ИЗОБРАЖАТЬ две пересекающиеся прямые, СТРОИТЬ прямую, перпендикулярную данной. . Взаимное расположение двух прямых. Параллельные прямые. РАСПОЗНАВАТЬ случаи взаимного расположения двух прямых на плоскости ИЗОБРАЖАТЬ две параллельные прямые, прямую, параллельную данной, с помощью чертёжных инструментов. АНАЛИЗИРОВАТЬ способ построения параллельных прямых, пошагово заданный рисунками, ВЫПОЛНЯТЬ построения. ФОРМУЛИРОВАТЬ утверждения о взаимном расположении двух прямых, свойствах параллельных прямых.
ОКРУЖНОСТЬ
Взаимное расположение прямой и окружности. Касательная к окружности РАСПОЗНАВАТЬ различные случаи взаимного расположения прямой и окружности, ИЗОБРАЖАТЬ их с помощью чертёжных инструментов. ИСЛЕДОВАТЬ свойства взаимного расположения прямой и окружности, используя эксперимент, наблюдение, намерение, моделирование, в том числе компьютерное моделирование. СТРОИТЬ касательную к окружности. АНАЛИЗИРОВАТЬ способ построения касательной к окружности, пошагово заданный рисунками, ВЫПОЛНЯТЬ построения. КОНСТРУИРОВАТЬ алгоритм построения изображений, содержащих конфигурацию «касательная к окружности», СТРОИТЬ по алгоритму. ФОРМУЛИРОВАТЬ утверждения о взаимном расположении прямой и окружности. 2. Лист наблюдений «ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ОКРУЖНОСТИ» 11
1 Проведите прямую. Рассмотрите все возможные варианты. 2 Сколько общих точек у окружности и прямой? 3 Найдите расстояние от центра окружности до прямой и сравните его с радиусом. 4 Придумайте название для каждой прямой. 3. Слайды 12
13
Литература Математика. Арифметика. Геометрия. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений/ Е.А.Бунимович, Г.В.Дорофеев, С.Б.Суворова и др., «Просвещение» 2015 г. Математика: 6 класс. Электронное приложение к учебнику Е. А. Бунимовича и др. (CDpc) Математика. Арифметика. Геометрия. Задачник-тренажёр. 6 класс: пособие для учащихся общеобразовательных учреждений/ Е.А.Бунимович, Л.В.Кузнецова, С.С.Минаева и др., «Просвещение» 2015 г. Математика. Арифметика. Геометрия. Тетрадь-тренажёр. 6 класс: пособие для учащихся общеобразовательных учреждений/ Е.А.Бунимович, Л.В.Кузнецова, С.С.Минаева и др., «Просвещение» 2015 г. . 14
В раздел основное общее образование