"Решение уравнений повышенной сложности"
разработка урока алгебры в 9 классе
Автор: Федореева Татьяна Юрьевна, учитель математики, ГБОУ СШ №10 им. В.П. Бармина, Байконур
В раздел основное общее образование
Тема урока:
Решение уравнений повышенной сложности.
Тип урока: урок изучения и первичного закрепления новых знаний. Цели урока: расширить знания об уравнениях и способах их решения; показать на примере нескольких уравнений некоторые приемы и способы решения уравнений повышенной сложности; закрепить знание решения квадратных уравнений и систем линейных уравнений; развивать логическое мышление учащихся.
Ход урока.
I .
Оргмомент.
II .
Актуализация опорных знаний учащихся.
1. Уравнения какого вида называются квадратными? 2. Сколько корней может иметь квадратное уравнение и от чего зависит количество корней? 3. Повторим способы нахождения корней квадратного уравнения: а) по формуле б) по теореме Виета Найдите корни уравнения подбором: х 2 − 7 х + 10 = 0 ; х 2 + 2 х − 15 = 0. в) по сумме коэффициентов Назовите корни уравнения: 3 х 2 − 4 х + 1 = 0 ; 2 х 2 + 9 х + 7 = 0 . г) решение неполных квадратных уравнений Назовите корни неполных квадратных уравнений: х 2 = 4 ; х 2 = 10 ; х 2 =− 1 ; х 2 − 2 х = 0 ;5 х 2 − 3 х = 0. д) выделением квадрата двучлена Решите уравнение, выделив квадрат двучлена: х 2 + 2 х + 1 = 0 ;
х 2 − 4 х + 4 = 0; х 2 + 6 х + 8 = 0. III .
Решение уравнений.
№ 1. При каком значении а корни уравнения х 2 + ( а − 2 ) х + а − 6 = 0 являются противоположными числами? Найдите эти корни. Решение. х 2 + ( а − 2 ) х + а − 6 = 0 Т.к. противоположные корни имеет неполное квадратное уравнение вида х 2 = а , то а − 2 = 0 ; а = 2. х 2 + 2 − 6 = 0 ; х 2 − 4 = 0; х 2 = 4 ; х = ± 2.
Ответ: при а=2 х = ± 2 . - В данном уравнении х – неизвестное число, а – некоторое фиксированное число. В таких случаях говорят, что а является параметром, а уравнение называют уравнением с параметром. № 2. Разность квадратов корней квадратного уравнения х 2 + 2 х + q = 0 равна 12. Найдите q . Решение. х 2 + 2 х + q = 0 Пусть m,n – корни уравнения, тогда m 2 -n 2 = 12. (m-n)(m+n) = 12 По теореме Виета { m + n =− 2, mn = q . ( m − n ) ( − 2 ) = 12 ; m − n =− 6.
{ m + n =− 2, m − n =− 6. Почленно сложим ( затем вычтем ) обе части уравнений и получим m=-4, n=2. q = mn =¿ -8. Ответ: q =− 8. № 3. Решите уравнение х 2 − 2 х + у 2 − 4 у + 5 = 0. Решение. х 2 − 2 х + у 2 − 4 у + 5 = 0 Если у 2 − 4 у + 5 принять за некоторое число, то уравнение можно решать как квадратное. D 1 = (-1) 2 - ( у 2 − 4 у + 5 )= 1 − у 2 + 4 у − 5 = − у 2 + 4 у − 4 =−( у − 2 ) 2 . D 1 = 0 или D 1 < 0, −( у − 2 ) 2 =0; корней нет. у=2. х 2 − 2 х + 2 2 − 4 · 2 + 5 = 0 ; х 2 − 2 х + 1 = 0 ; ( х -1) 2 = 0;
х =1. Ответ: х=1, у=2. IV .
Физкультминутка
. V .
Решение уравнений
(продолжение). № 4. Решите уравнение ( х +1)( х +2)( х +3)( х +4)=120. Решение. ( х +1)( х +2)( х +3)( х +4)=120
Уравнение не является квадратным , но умение решать квадратное уравнение поможет нам решить это уравнение . Перемножим крайние и средние множители в левой части уравнения . ( х 2 +5 х +4)( х 2 +5 х +6)=120 Пусть х 2 +5 х +4= у , тогда х 2 +5 х +6= у +2. у ( у +2)=120; у 2 +2 у -120=0; у 1 =10, у 2 =-12
х 2 +5 х +4=10; или х 2 +5 х +4=-12; х 2 +5 х –6=0; х 2 +5 х +16=0; х 1 =1, х 2 =-6. D=25-4·16=-39<0, корней нет . Ответ: х=1и х=-6. - При решении данного уравнения был использован способ замены( или введения новой переменной). № 5. Решите уравнение х 2 − 6 х + 5 х 2 − 5 х + 4 = 0. Решение. { х 2 − 6 х + 5 = 0 , х 2 − 5 х + 4 ≠ 0 ; { х = 1, х = 5 х ≠1, х ≠ 4. Следовательно, х=5. Ответ: х=5.
VI .
Итоги урока.
Комментирование оценок. VII .
Домашнее задание
: № 1. При каком значении а корни уравнения х 2 + ( а + 1 ) х + а − 8 = 0 являются противоположными числами? Найдите эти корни. № 2. Сумма квадратов корней уравнения х 2 − 3 х + a = 0 равна 65. Найдите a . № 3. Решите уравнение ( х +3)( х +4)( х +5)( х +6)= 24.
Решение уравнений повышенной сложности.
Тип урока: урок изучения и первичного закрепления новых знаний. Цели урока: расширить знания об уравнениях и способах их решения; показать на примере нескольких уравнений некоторые приемы и способы решения уравнений повышенной сложности; закрепить знание решения квадратных уравнений и систем линейных уравнений; развивать логическое мышление учащихся.
Ход урока.
I .
Оргмомент.
II .
Актуализация опорных знаний учащихся.
1. Уравнения какого вида называются квадратными? 2. Сколько корней может иметь квадратное уравнение и от чего зависит количество корней? 3. Повторим способы нахождения корней квадратного уравнения: а) по формуле б) по теореме Виета Найдите корни уравнения подбором: х 2 − 7 х + 10 = 0 ; х 2 + 2 х − 15 = 0. в) по сумме коэффициентов Назовите корни уравнения: 3 х 2 − 4 х + 1 = 0 ; 2 х 2 + 9 х + 7 = 0 . г) решение неполных квадратных уравнений Назовите корни неполных квадратных уравнений: х 2 = 4 ; х 2 = 10 ; х 2 =− 1 ; х 2 − 2 х = 0 ;5 х 2 − 3 х = 0. д) выделением квадрата двучлена Решите уравнение, выделив квадрат двучлена: х 2 + 2 х + 1 = 0 ;
х 2 − 4 х + 4 = 0; х 2 + 6 х + 8 = 0. III .
Решение уравнений.
№ 1. При каком значении а корни уравнения х 2 + ( а − 2 ) х + а − 6 = 0 являются противоположными числами? Найдите эти корни. Решение. х 2 + ( а − 2 ) х + а − 6 = 0 Т.к. противоположные корни имеет неполное квадратное уравнение вида х 2 = а , то а − 2 = 0 ; а = 2. х 2 + 2 − 6 = 0 ; х 2 − 4 = 0; х 2 = 4 ; х = ± 2.
Ответ: при а=2 х = ± 2 . - В данном уравнении х – неизвестное число, а – некоторое фиксированное число. В таких случаях говорят, что а является параметром, а уравнение называют уравнением с параметром. № 2. Разность квадратов корней квадратного уравнения х 2 + 2 х + q = 0 равна 12. Найдите q . Решение. х 2 + 2 х + q = 0 Пусть m,n – корни уравнения, тогда m 2 -n 2 = 12. (m-n)(m+n) = 12 По теореме Виета { m + n =− 2, mn = q . ( m − n ) ( − 2 ) = 12 ; m − n =− 6.
{ m + n =− 2, m − n =− 6. Почленно сложим ( затем вычтем ) обе части уравнений и получим m=-4, n=2. q = mn =¿ -8. Ответ: q =− 8. № 3. Решите уравнение х 2 − 2 х + у 2 − 4 у + 5 = 0. Решение. х 2 − 2 х + у 2 − 4 у + 5 = 0 Если у 2 − 4 у + 5 принять за некоторое число, то уравнение можно решать как квадратное. D 1 = (-1) 2 - ( у 2 − 4 у + 5 )= 1 − у 2 + 4 у − 5 = − у 2 + 4 у − 4 =−( у − 2 ) 2 . D 1 = 0 или D 1 < 0, −( у − 2 ) 2 =0; корней нет. у=2. х 2 − 2 х + 2 2 − 4 · 2 + 5 = 0 ; х 2 − 2 х + 1 = 0 ; ( х -1) 2 = 0;
х =1. Ответ: х=1, у=2. IV .
Физкультминутка
. V .
Решение уравнений
(продолжение). № 4. Решите уравнение ( х +1)( х +2)( х +3)( х +4)=120. Решение. ( х +1)( х +2)( х +3)( х +4)=120
Уравнение не является квадратным , но умение решать квадратное уравнение поможет нам решить это уравнение . Перемножим крайние и средние множители в левой части уравнения . ( х 2 +5 х +4)( х 2 +5 х +6)=120 Пусть х 2 +5 х +4= у , тогда х 2 +5 х +6= у +2. у ( у +2)=120; у 2 +2 у -120=0; у 1 =10, у 2 =-12
х 2 +5 х +4=10; или х 2 +5 х +4=-12; х 2 +5 х –6=0; х 2 +5 х +16=0; х 1 =1, х 2 =-6. D=25-4·16=-39<0, корней нет . Ответ: х=1и х=-6. - При решении данного уравнения был использован способ замены( или введения новой переменной). № 5. Решите уравнение х 2 − 6 х + 5 х 2 − 5 х + 4 = 0. Решение. { х 2 − 6 х + 5 = 0 , х 2 − 5 х + 4 ≠ 0 ; { х = 1, х = 5 х ≠1, х ≠ 4. Следовательно, х=5. Ответ: х=5.
VI .
Итоги урока.
Комментирование оценок. VII .
Домашнее задание
: № 1. При каком значении а корни уравнения х 2 + ( а + 1 ) х + а − 8 = 0 являются противоположными числами? Найдите эти корни. № 2. Сумма квадратов корней уравнения х 2 − 3 х + a = 0 равна 65. Найдите a . № 3. Решите уравнение ( х +3)( х +4)( х +5)( х +6)= 24.
В раздел основное общее образование