"Построение графиков дробных функций"
Методическая разработка урока
Автор: Строганова Мзия Иродиевна, учитель математики, МБОУ СОШ № 266, город Снежногорск, Мурманская область
В раздел основное полное образование
Строганова Мзия Иродиевна, учитель математики и информатики и ИКТ,
МБОУ СОШ № 266 ЗАТО Александровск, г Снежногорск, Мурманская область
Построение графиков дробных функций
Цель урока:
Рассмотреть способы нахождения асимптот дробных функций и построение графиков дробных функций.
Тип урока:
комбинированный урок комплексного применения знаний и различных способов деятельности.
Задачи:
1.
Образовательные: обобщение и систематизация знаний и умений по теме.
2.
Развивающие: развитие мышления, внимания, навыков сотрудничества.
3.
Воспитательные: формировать личность, открытую для общения и сотрудничества, толерантность, коммуникативные умения.
Методы:
информационный; наглядно-иллюстративный; лабораторно-практический.
Требования к ЗУН учащихся
(на начало занятия)
:
1. Учащиеся должны знать: основные понятия по теме; область определения функций; способы упрощения дробей; правила преобразования графиков функций; 2. Учащиеся должны уметь: преобразовывать алгебраические выражения; строить графики;
Программно-дидактическое обеспечение:
персональные компьютеры с ОС Windows; мультимедийный проектор; интерактивная доска; презентация к уроку (на компьютере учителя); раздаточный материал (План выполнения лабораторно-практической работы): Лабораторно-практическая работа в Excel на компьютерах обучающихся
План урока:
1. Формулирование и постановка задачи; 2. Подготовка к восприятию нового материала; 3. Нахождение асимптот для построения графиков функций; 4. Лабораторно-практическая работа на ПК; 5. Подведение итогов работы
Ход урока:
СЛАЙД 1
СЛАЙД 2
1)
Формулирование и постановка задачи:
Посмотрите на функции. Они заданы очень похожими формулами
3 2 1 2 х х у и 3 2 1 2 х х у Разницу в поведении этих двух функций можно, конечно, обнаружить и по формулам. Давайте найдем область определения каждой функции. Вспомним, что такое область определения функции.
Областью определения функции y=f(x)
(выражения f(x) ) называют множество всех значений x, при которых функция (выражение) имеет смысл. Область определения функции y=f(x) обозначается как
D(y)
или
D(f(x))
. Так как каждая функция – дробь, в знаменателе которой находится переменная х, то мы должны исключить все значения х, при которых знаменатель обращается в ноль. 1) х 2 -2х+3≠0 D=4-12=-8 D<0, значит нет таких х, при которых знаменатель обращается в ноль. Вопрос: Что же это значит для функции? Ответ: Это означает, что данная функция непрерывна. 2) х 2 -2х+3≠0 3) D=4+12=16; х 1 ≠1; х 2 ≠-3. Мы нашли значения х, которые необходимо исключить, так как при этих значения знаменатель обращается в ноль. Вопрос: Что же это значит для функции? Ответ: Это означает, что данная функция разрывна. Точки разрыва 1 и -3. Верно.. Далее мы должны были бы выяснить поведение функций на области определения, промежутки возрастания, убывания и многое еще, чтоб узнать все различия данных функций. СЛАЙД 3 Но если посмотреть на графики функций , эта разница сразу бросится в глаза. Посмотрите, данная функция имеет горизонтальную асимптоту. Это прямая у=0 3 2 1 2 х х у 3 2 1 2 х х у
А вторая функция имеет вертикальные асимптоты. Это прямые х=-3 и х=1 Всегда, когда нужно выяснить общий характер поведения функции, обнаружить ее особенности, именно график в силу своей наглядности является незаменимым средством.
СЛАЙД 4
Гипотеза исследования: График любой дробно-рациональной функции имеет два вида
асимптот: вертикальную и горизонтальную
и по виду функциональной зависимости можно определить их количество и вид. Значит нам нужен метод, который поможет узнать как выглядит график функции. Поэтому целью сегодняшнего урока и является рассмотрение одного из таких методов.
СЛАЙД 4
Цель нашего урока: Рассмотреть способы нахождения асимптот дробных функций и
построение графиков дробных функций.
СЛАЙД 6
2)
Подготовка к восприятию нового материала:
Дано: функция , где g(x ) и h(x) многочлены степени m и n соответственно. Найти: нули функции; область определения; корни уравнения g(x )=0;
Повторение необходимых определений
СЛАЙД 7
Дробно-линейная функция
Алгебраическая дробь, в которой показатели степеней старших членов числителя и знаменателя равны 1, является частным случаем дробно-рациональной функции и называется
дробно-
линейной
.
СЛАЙД 8
Определение дробно-рациональной функции
•
Дробно-рациональная функция
- это такая алгебраическая дробь, у которой числитель и знаменатель представляют собой многочлены некоторой степени. • Если степень старшего члена числителя меньше степени старшего члена знаменателя, то такая рациональная алгебраическая дробь называется
правильной
. • Если степень старшего члена числителя больше степени старшего члена знаменателя, то такая рациональная дробь называется
неправильной
и делением числителя на знаменатель можно ее представить в виде суммы целого многочлена и рациональной правильной дроби.
СЛАЙД 9 Определение асимптоты
) ( ) ( ... ... 1 1 1 0 1 1 1 0 x Q x P a x a x a x b a x a x a x a y m m m m n n n n ) ( ) ( ) ( x h x g x f ; d cx b ах у
Асимптотой
кривой называется прямая, к которой приближаются как угодно близко точки кривой по мере их удаления в бесконечность. [Алгебра. 9 класс: учебник для общеобразовательных учреждений / [Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк,К.И. Нешков, С.Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - М.: Просвещение,2009. – 271с.] Сначала рассмотрим более простую функцию, а именно
3)
Нахождение асимптот для построения графиков функций
Метод ПЕРВЫЙ
СЛАЙД 10
(слайд почти пустой, для работы с интерактивной доской)
Задание 1
Рассмотрим функцию х=0 – вертикальная асимптота; Может данная функция имеет еще асимптоты??? Для это мы будем использовать один очень простой прием. Выразим переменную х через переменную И ясно, что у≠0, то есть у=0 – горизонтальная асимптота А теперь посмотрите как выглядит график функции.
СЛАЙД 11
Вывод:
график обратно пропорциональной зависимости имеет две асимптоты: х = 0 – вертикальная асимптота и у = 0 – горизонтальная асимптота.
СЛАЙД 12
Задание 2 Найти асимптоты функции
х=5 - вертикальная асимптота; у= 0 – горизонтальная асимптота Посмотрим как выглядит график функции.
СЛАЙД 13
СЛАЙД 14
Задание 3 Найти асимптоты функции
х=0 – вертикальная асимптота; у=2 – горизонтальная асимптота
СЛАЙД 15
СЛАЙД 16
Задание 4 Найти асимптоты функции
; 0 ; 12 ) ( x х х у . 0 ; 12 ) ( y у у х 5 12 ) ( х х у ; 0 ; 5 12 ) ( у у у у х ; 5 ; 5 12 ) ( х х х у 2 2 12 ) ( у у у х 0 2 12 ) ( х х х х у 2 12 ) ( х х у 2 5 12 ) ( х х у ; 5 2 2 ) ( х х х у ; 2 5 12 ) ( х х у ; 5 х
х=5 - вертикальная асимптота; у= 2 – горизонтальная асимптота
СЛАЙД 17
Метод ВТОРОЙ
СЛАЙД 18
Задание 5 Найти асимптоты функции
1) Найдем вертикальную асимптоту. Функция не определена там, где 2х+2=0, т.е. при х= –1.
х= –1 - вертикальная асимптота
2) Чтобы найти горизонтальную асимптоту, надо узнать, к чему приближаются значения функций, когда аргумент возрастает (по модулю), вторые слагаемые в числителе и знаменателе дроби относительно малы. Поэтому
Горизонтальная асимптота – прямая у=1,5
3) Определим точки пересечения нашей гиперболы с осями координат. При х=0 имеем у=2,5. Функция равна нулю, когда 3х+5=0, т.е. при х=-5/3. Отметив на чертеже точки (-5/3; 0) и (0; 2,5) и проведя найденные горизонтальную и вертикальную асимптоты, построим график
СЛАЙД 19
СЛАЙД 20
Вывод:
График дробно-линейной функции имеет две асимптоты: вертикальную x = А и горизонтальную y = В. Чтобы найти значение А, надо знаменатель приравнять к нулю и решить полученное линейное уравнение. Найти значение В, можно тремя способами: 1) надо числитель разделить на знаменатель. При делении получается const(В) + остаток; В= const; 2) надо х выразить через у, знаменатель полученной дроби приравнять к нулю и решить полученное уравнение; 3) Надо числитель и знаменатель разделить на х и определить к какому числу стремится у при стремлении х к ±∞. 2 ; 2 2 5 ) ( у у у у х
СЛАЙД 21
Применим все три способа, для нахождения горизонтальной асимптоты графика функции График функции увидим слайде
СЛАЙД 22
СЛАЙД 23
Асимптоты гиперболы можно найти по формулам: Теперь же рассмотрим
Дробно – рациональная функция и асимптоты ее графика
СЛАЙД 24
СЛАЙД 25
х=0 - вертикальная асимптота; у= 0 – горизонтальная асимптота
СЛАЙД 26
1 2 3 4 ) ( х х х у ; 2 ; 2 ; ) 2 ( 2 3 ) ( ) 2 ; 2 1 ; 2 1 ; 2 1 2 5 ) ( 1 2 3 4 ) ( ) 1 асимптота ьная горизонтал у у у у у х асимптота ая вертикальн х х х х у х х х у асимптота ьная горизонтал у что получили у а х и х х х х у 2 , ; 2 ; ; 0 ; 1 2 3 4 ) ( ) 3 0 ; 0 ; 1 ) ( ; 0 ; 1 ) ( 2 y у у у х х х х у
СЛАЙД 27
Задание 2
х= -3 - вертикальная асимптота; у= 0 – горизонтальная асимптота так как дробь всегда положительна, то у>0 при всех х из области определения
СЛАЙД 28
СЛАЙД 29
Задание 3
х=-3 - вертикальная асимптота; у= -5 – горизонтальная асимптота
СЛАЙД 30
0 ; 3 ; ) 3 ( 1 ) ( 2 у х х х у 5 ; ; 9 6 1 44 30 5 ) ( ; 9 6 44 30 5 ) ( ; 5 ; 3 ; 5 ) 3 ( 1 ) ( 2 2 2 2 2 у х х х х х х у х х х х х у y х х х у
4)
ЛАБОРАТОРНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА:
изобразите в тетради схематично графики функций, и постройте их с помощью Excel
16 4 4 3 3 2 3 2 3 ) ( x x x x x x x f
СЛАЙД 31
Лабораторная работа
«Построение и оформление графиков дробных функций»
Цель работы:
отработка основных навыков в среде MS Excel: • Понятие табуляции функции в табличном процессоре на заданном интервале; • Правила ввода формул; • Построение графика для заданной функции.
СЛАЙД 32
Задание:
Создайте таблицу по предлагаемому образцу
СЛАЙД 33
Порядок выполнения работы
• В ячейку D6 введите формулу для соответствующих значений функции. • Скопировать при помощи маркера автозаполнения эту формулу. • Выделив в таблице нужный для построения диапазон ячеек, построить с помощью Мастера диаграмм график функции • Отформатировать область графика по собственному усмотрению, используя различные цвета заливки, границ, размеры шрифта. • Повторить данные действия для функции: • Сохраните все файлы под своим именем на рабочем столе. • Покажите результаты вашей работы учителю для проверки.
5)
Подведение итогов работы
Итак, работа подходит к концу. Подведём итоги полученных результатов и интенсивности работы. Таким образом, используя все полученные ранее знания, выбирая, тот или иной способ мы научились находить асимптоты дробно-линейных и дробно-рациональных функций и строить их графики.
Домашнее задание.
Применяя все методы найти асимптоты функций и построить их графики x x x y 3 9 3 4 2
1) 2 4 х х у 2) 2 ) 2 ( 4 х х у
Спасибо. Урок окончен.
Построение графиков дробных функций
Цель урока:
Рассмотреть способы нахождения асимптот дробных функций и построение графиков дробных функций.
Тип урока:
комбинированный урок комплексного применения знаний и различных способов деятельности.
Задачи:
1.
Образовательные: обобщение и систематизация знаний и умений по теме.
2.
Развивающие: развитие мышления, внимания, навыков сотрудничества.
3.
Воспитательные: формировать личность, открытую для общения и сотрудничества, толерантность, коммуникативные умения.
Методы:
информационный; наглядно-иллюстративный; лабораторно-практический.
Требования к ЗУН учащихся
(на начало занятия)
:
1. Учащиеся должны знать: основные понятия по теме; область определения функций; способы упрощения дробей; правила преобразования графиков функций; 2. Учащиеся должны уметь: преобразовывать алгебраические выражения; строить графики;
Программно-дидактическое обеспечение:
персональные компьютеры с ОС Windows; мультимедийный проектор; интерактивная доска; презентация к уроку (на компьютере учителя); раздаточный материал (План выполнения лабораторно-практической работы): Лабораторно-практическая работа в Excel на компьютерах обучающихся
План урока:
1. Формулирование и постановка задачи; 2. Подготовка к восприятию нового материала; 3. Нахождение асимптот для построения графиков функций; 4. Лабораторно-практическая работа на ПК; 5. Подведение итогов работы
Ход урока:
СЛАЙД 1
СЛАЙД 2
1)
Формулирование и постановка задачи:
Посмотрите на функции. Они заданы очень похожими формулами
3 2 1 2 х х у и 3 2 1 2 х х у Разницу в поведении этих двух функций можно, конечно, обнаружить и по формулам. Давайте найдем область определения каждой функции. Вспомним, что такое область определения функции.
Областью определения функции y=f(x)
(выражения f(x) ) называют множество всех значений x, при которых функция (выражение) имеет смысл. Область определения функции y=f(x) обозначается как
D(y)
или
D(f(x))
. Так как каждая функция – дробь, в знаменателе которой находится переменная х, то мы должны исключить все значения х, при которых знаменатель обращается в ноль. 1) х 2 -2х+3≠0 D=4-12=-8 D<0, значит нет таких х, при которых знаменатель обращается в ноль. Вопрос: Что же это значит для функции? Ответ: Это означает, что данная функция непрерывна. 2) х 2 -2х+3≠0 3) D=4+12=16; х 1 ≠1; х 2 ≠-3. Мы нашли значения х, которые необходимо исключить, так как при этих значения знаменатель обращается в ноль. Вопрос: Что же это значит для функции? Ответ: Это означает, что данная функция разрывна. Точки разрыва 1 и -3. Верно.. Далее мы должны были бы выяснить поведение функций на области определения, промежутки возрастания, убывания и многое еще, чтоб узнать все различия данных функций. СЛАЙД 3 Но если посмотреть на графики функций , эта разница сразу бросится в глаза. Посмотрите, данная функция имеет горизонтальную асимптоту. Это прямая у=0 3 2 1 2 х х у 3 2 1 2 х х у
А вторая функция имеет вертикальные асимптоты. Это прямые х=-3 и х=1 Всегда, когда нужно выяснить общий характер поведения функции, обнаружить ее особенности, именно график в силу своей наглядности является незаменимым средством.
СЛАЙД 4
Гипотеза исследования: График любой дробно-рациональной функции имеет два вида
асимптот: вертикальную и горизонтальную
и по виду функциональной зависимости можно определить их количество и вид. Значит нам нужен метод, который поможет узнать как выглядит график функции. Поэтому целью сегодняшнего урока и является рассмотрение одного из таких методов.
СЛАЙД 4
Цель нашего урока: Рассмотреть способы нахождения асимптот дробных функций и
построение графиков дробных функций.
СЛАЙД 6
2)
Подготовка к восприятию нового материала:
Дано: функция , где g(x ) и h(x) многочлены степени m и n соответственно. Найти: нули функции; область определения; корни уравнения g(x )=0;
Повторение необходимых определений
СЛАЙД 7
Дробно-линейная функция
Алгебраическая дробь, в которой показатели степеней старших членов числителя и знаменателя равны 1, является частным случаем дробно-рациональной функции и называется
дробно-
линейной
.
СЛАЙД 8
Определение дробно-рациональной функции
•
Дробно-рациональная функция
- это такая алгебраическая дробь, у которой числитель и знаменатель представляют собой многочлены некоторой степени. • Если степень старшего члена числителя меньше степени старшего члена знаменателя, то такая рациональная алгебраическая дробь называется
правильной
. • Если степень старшего члена числителя больше степени старшего члена знаменателя, то такая рациональная дробь называется
неправильной
и делением числителя на знаменатель можно ее представить в виде суммы целого многочлена и рациональной правильной дроби.
СЛАЙД 9 Определение асимптоты
) ( ) ( ... ... 1 1 1 0 1 1 1 0 x Q x P a x a x a x b a x a x a x a y m m m m n n n n ) ( ) ( ) ( x h x g x f ; d cx b ах у
Асимптотой
кривой называется прямая, к которой приближаются как угодно близко точки кривой по мере их удаления в бесконечность. [Алгебра. 9 класс: учебник для общеобразовательных учреждений / [Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк,К.И. Нешков, С.Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - М.: Просвещение,2009. – 271с.] Сначала рассмотрим более простую функцию, а именно
3)
Нахождение асимптот для построения графиков функций
Метод ПЕРВЫЙ
СЛАЙД 10
(слайд почти пустой, для работы с интерактивной доской)
Задание 1
Рассмотрим функцию х=0 – вертикальная асимптота; Может данная функция имеет еще асимптоты??? Для это мы будем использовать один очень простой прием. Выразим переменную х через переменную И ясно, что у≠0, то есть у=0 – горизонтальная асимптота А теперь посмотрите как выглядит график функции.
СЛАЙД 11
Вывод:
график обратно пропорциональной зависимости имеет две асимптоты: х = 0 – вертикальная асимптота и у = 0 – горизонтальная асимптота.
СЛАЙД 12
Задание 2 Найти асимптоты функции
х=5 - вертикальная асимптота; у= 0 – горизонтальная асимптота Посмотрим как выглядит график функции.
СЛАЙД 13
СЛАЙД 14
Задание 3 Найти асимптоты функции
х=0 – вертикальная асимптота; у=2 – горизонтальная асимптота
СЛАЙД 15
СЛАЙД 16
Задание 4 Найти асимптоты функции
; 0 ; 12 ) ( x х х у . 0 ; 12 ) ( y у у х 5 12 ) ( х х у ; 0 ; 5 12 ) ( у у у у х ; 5 ; 5 12 ) ( х х х у 2 2 12 ) ( у у у х 0 2 12 ) ( х х х х у 2 12 ) ( х х у 2 5 12 ) ( х х у ; 5 2 2 ) ( х х х у ; 2 5 12 ) ( х х у ; 5 х
х=5 - вертикальная асимптота; у= 2 – горизонтальная асимптота
СЛАЙД 17
Метод ВТОРОЙ
СЛАЙД 18
Задание 5 Найти асимптоты функции
1) Найдем вертикальную асимптоту. Функция не определена там, где 2х+2=0, т.е. при х= –1.
х= –1 - вертикальная асимптота
2) Чтобы найти горизонтальную асимптоту, надо узнать, к чему приближаются значения функций, когда аргумент возрастает (по модулю), вторые слагаемые в числителе и знаменателе дроби относительно малы. Поэтому
Горизонтальная асимптота – прямая у=1,5
3) Определим точки пересечения нашей гиперболы с осями координат. При х=0 имеем у=2,5. Функция равна нулю, когда 3х+5=0, т.е. при х=-5/3. Отметив на чертеже точки (-5/3; 0) и (0; 2,5) и проведя найденные горизонтальную и вертикальную асимптоты, построим график
СЛАЙД 19
СЛАЙД 20
Вывод:
График дробно-линейной функции имеет две асимптоты: вертикальную x = А и горизонтальную y = В. Чтобы найти значение А, надо знаменатель приравнять к нулю и решить полученное линейное уравнение. Найти значение В, можно тремя способами: 1) надо числитель разделить на знаменатель. При делении получается const(В) + остаток; В= const; 2) надо х выразить через у, знаменатель полученной дроби приравнять к нулю и решить полученное уравнение; 3) Надо числитель и знаменатель разделить на х и определить к какому числу стремится у при стремлении х к ±∞. 2 ; 2 2 5 ) ( у у у у х
СЛАЙД 21
Применим все три способа, для нахождения горизонтальной асимптоты графика функции График функции увидим слайде
СЛАЙД 22
СЛАЙД 23
Асимптоты гиперболы можно найти по формулам: Теперь же рассмотрим
Дробно – рациональная функция и асимптоты ее графика
СЛАЙД 24
СЛАЙД 25
х=0 - вертикальная асимптота; у= 0 – горизонтальная асимптота
СЛАЙД 26
1 2 3 4 ) ( х х х у ; 2 ; 2 ; ) 2 ( 2 3 ) ( ) 2 ; 2 1 ; 2 1 ; 2 1 2 5 ) ( 1 2 3 4 ) ( ) 1 асимптота ьная горизонтал у у у у у х асимптота ая вертикальн х х х х у х х х у асимптота ьная горизонтал у что получили у а х и х х х х у 2 , ; 2 ; ; 0 ; 1 2 3 4 ) ( ) 3 0 ; 0 ; 1 ) ( ; 0 ; 1 ) ( 2 y у у у х х х х у
СЛАЙД 27
Задание 2
х= -3 - вертикальная асимптота; у= 0 – горизонтальная асимптота так как дробь всегда положительна, то у>0 при всех х из области определения
СЛАЙД 28
СЛАЙД 29
Задание 3
х=-3 - вертикальная асимптота; у= -5 – горизонтальная асимптота
СЛАЙД 30
0 ; 3 ; ) 3 ( 1 ) ( 2 у х х х у 5 ; ; 9 6 1 44 30 5 ) ( ; 9 6 44 30 5 ) ( ; 5 ; 3 ; 5 ) 3 ( 1 ) ( 2 2 2 2 2 у х х х х х х у х х х х х у y х х х у
4)
ЛАБОРАТОРНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА:
изобразите в тетради схематично графики функций, и постройте их с помощью Excel
16 4 4 3 3 2 3 2 3 ) ( x x x x x x x f
СЛАЙД 31
Лабораторная работа
«Построение и оформление графиков дробных функций»
Цель работы:
отработка основных навыков в среде MS Excel: • Понятие табуляции функции в табличном процессоре на заданном интервале; • Правила ввода формул; • Построение графика для заданной функции.
СЛАЙД 32
Задание:
Создайте таблицу по предлагаемому образцу
СЛАЙД 33
Порядок выполнения работы
• В ячейку D6 введите формулу для соответствующих значений функции. • Скопировать при помощи маркера автозаполнения эту формулу. • Выделив в таблице нужный для построения диапазон ячеек, построить с помощью Мастера диаграмм график функции • Отформатировать область графика по собственному усмотрению, используя различные цвета заливки, границ, размеры шрифта. • Повторить данные действия для функции: • Сохраните все файлы под своим именем на рабочем столе. • Покажите результаты вашей работы учителю для проверки.
5)
Подведение итогов работы
Итак, работа подходит к концу. Подведём итоги полученных результатов и интенсивности работы. Таким образом, используя все полученные ранее знания, выбирая, тот или иной способ мы научились находить асимптоты дробно-линейных и дробно-рациональных функций и строить их графики.
Домашнее задание.
Применяя все методы найти асимптоты функций и построить их графики x x x y 3 9 3 4 2
1) 2 4 х х у 2) 2 ) 2 ( 4 х х у
Спасибо. Урок окончен.
В раздел основное полное образование