"Задания №10 егэ по математике" (профильный уровень)
методическая разработка
Автор: Зубарева Елена Александровна, учитель математики, МБОУ Останкинская СШ, Нижегородская область,городской округ город Бор,с.Останкино
В раздел основное полное образование
Задачи №10(профильный уровень)
Прикладная задача физического содержания.
При решении
необходимо обратить внимание на два момента:
- не надо ли переводить числа в другие единицы измерения (в
задании могут быть числовые значения, например, как в см, так и в
мм.);
- если в результате решения получаются два ответа, то по смыслу
нужно брать меньший из них
. Анализ практической ситуации, приводящей к решению неравенства или уравнения Текстовое задание, моделирующее реальную или близкую к реальной ситуацию (например, физические, химические и др. процессы). По условию задачи требуется составить и решить линейное или квадратное неравенство, после чего в ответе записать искомую величину. Внимательно читай условие задачи! Определи, надо или нет переводить единицы измерения. Как правило, лишь в некоторых заданиях надо переводить все в одну систему (например – в задаче «... При прокладке путей между рельсами оставили зазор в 4,5 мм» мм в доли метра). Обычно необходимость перевода чувствуется (например, ускорение в км/ч трогать, конечно, не надо)... Точно также и в задачах про рубли: если в одной надо найти число единиц товара - тысячи считаем с нулями, в другой задаче найти надо цену в тыс. рублей - все считаем в тысячах, словно это единица измерения.
Обращай внимания на слова! Словесная запись пояснение Математический знак Не меньше т.е. больше или равно Не менее т.е. более или равно Не далее т.е меньше или равно Не превышает т. е не больше, а меньше или равно Не больше т.е. меньше или равно Более чем Не должно превышать т.е. не должно быть больше, т. е может быть меньше или равно Не должно быть больше т. е может быть меньше или равно Превышала Т.е была больше
Задача В боковой стенке цилиндрического бака вблизи дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём меняется по закону , где — время в минутах. В течение, какого времени вода будет вытекать из бака? Решение: Вода будет вытекать из бака до тех пор, пока она есть в этом баке (поскольку отверстие у дна). Другими словами, пока высота столба воды в баке не станет равной нулю, т. е при Н(t)=0 7,2-1,92t+0,128t 2 =0 умножим на 1000 128 t 2 -1920 t+7200=0 делим 32 4t 2 -60t+225=0 D=3600-3600=0 t=7,5мин Ответ:7,5 Задача
В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплен кран.
После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды
в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону
, где
H 0
— начальный уровень воды,
м/мин
2
, и
м/мин — постоянные,
t — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение, какого
времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.
Решение: Читаем вопрос: найти время, т.е. t По условию вода будет вытекать из бака, т. е Н(t)=0 at 2 +bt+ 0 0 H 0 2 ) 5 2 ( 50 1 2 t t 10 0 ) 10 ( 0 100 20 2 2 t t t t Ответ: 10
Задача
Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени
моля
воздуха объемом
л, медленно опускают на дно водоема. При этом
происходит изотермическое cжатие воздуха до конечного объема
. Работа,
совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением
(Дж), где
постоянная, а
К — температура воздуха. Какой объем
(в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии газа была совершена работа
в 10980 Дж?
Решение: Читаем вопрос: найти объем (в литрах) По условию задачи известно, что при сжатии газа была совершена работа в 10980 Дж, т. е А=10980 А=10980, , , , 9,15·2·300·log V 2 18 = 10980 log 2 V 2 18 = 300 2 15 , 9 10980 log 2 V 2 18 =2 log 2 V 2 18 = log 2 4 V 2 18 =4 V 2 =4,5 Ответ: 4,5 Задача
Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории
используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием
см.
Расстояние
от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 55 до 70 см, а
расстояние
от линзы до экрана — в пределах от 260 до 300
см. Изображение на
экране будет четким, если выполнено соотношение
. Укажите, на каком
наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы ее
изображение на экране было четким. Ответ выразите в сантиметрах
Решение: Читаем внимательно задачу: единицы измерения всех величин см и ответ просят записать в см, поэтому переводить величины в другие единицы измерения не надо.
Читаем вопрос: найти наименьшее расстояние от линзы до лампочки, т. е d 1 . В соотношении d 1 - ? расстояние от линзы до экрана меняется в пределах от 260 до 300 см., т. е 1 случай =260 50 1 260 1 1 1 d d 1 1 = 260 1 50 1 d 1 1 = 1300 21 d 1 = 21 1300 =61 21 19 2 случай d 2 =300 d 1 1 + 300 1 = 50 1 d 1 1 = 50 1 - 300 1 d 1 1 = 300 5 = 60 1 d 1 =60 Получили d 1 =61 21 19 или d 1 =60 Мы не использовали, что 1)надо указать, на каком
наименьшем
расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы ее изображение на экране было четким. и 2)Расстояние от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 55 до 70 см этим условиям удовлетворяет d 1 =60 Ответ:60
2 способ
Читаем вопрос: найти наименьшее расстояние от линзы до лампочки, т. е d 1 .
Из формулы выражаем d 1 d d f 2 1 1 1 1 d d d f f 2 2 1 1 f f d d d 2 2 1 50 50 2 2 1 d d d Рассмотрим функцию ) ( 2 1 d d = 50 50 2 2 d d на отрезке d 2 300 ; 260 Найдём производную функции d ' 1 = 2 2 2 2 ) 50 ( 50 ) 50 ( 50 d d d = 2 2 ) 50 ( 2500 d d 1 ׳ = 0 , критических точек нет Найдем значение функции на концах отрезка ) 260 ( 1 d 50 260 260 50 = 21 19 61 21 1300 210 13000 ) 300 ( 1 d = 50 300 300 50 = 250 15000 =60 Из чисел 61 21 19 и 60 наименьшее 60 Ответ:60
3 способ
Из формулы d d f 2 1 1 1 1 70 55 1 d 260 300 2 d найти наименьшее расстояние от линзы до лампочки, т. е d 1 .
d 1 -наименьшее, если d 1 1 - наибольшее, поэтому d 2 1 должно быть наименьшим возможным, т. е когда d 2 - наибольшее. d 2 =300,f=50 300 1 50 1 1 1 d d 1 1 = 300 5 = 60 1 d 1 =60 70 60 55 60 удовлетворяет условию задачи Ответ: 60 Задача Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте h м над землей, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле , где км — радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 5,6 км. На сколько метров нужно подняться человеку, чтобы расстояние до горизонта увеличилось до 10,4 километров? Решение: 1)По условию человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 5,6 км. т. е l=5,6 км 6 , 5 2 Rh 6 , 5 6400 2 h 6 , 5 2 80 h 07 , 0 2 h м h м h км h 45 , 2 9 , 4 2 ) ( 0049 , 0 2 2) l=10,4 км=10400 м 10400 6400000 2 h h 20 800 =10400 800 : 10400 20 h 13 20 h 169 20 h h=8, 45 м 3) 8,45-2,45=6 (м) Ответ: 6 2 способ
Rh l 2 2 h= R l 2 2 - Найдём
на сколько метров
нужно подняться человеку, чтобы расстояние до горизонта увеличилось до 10,4 километров, если сначала человек, стоящий на пляже, видел горизонт на расстоянии 5,6 км h h 1 2 = R l 2 2 2 - R l 2 1 2 = 6400 2 6 , 5 4 , 10 2 2 = 6400 2 8 , 4 16 =0,006 км=6м Ответ: 6 Задача Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте h м над землей, выраженное в километрах, до видимой им линии горизонта вычисляется по формуле , где км — радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 4,8 километров. К пляжу ведет лестница, каждая ступенька которой имеет высоту 10 см. На какое наименьшее количество ступенек нужно подняться человеку, чтобы он увидел горизонт на расстоянии не менее 6,4 километров? Решение: Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии: l 1 = 500 1 h R =4,8 8 , 4 2 1 500 h R 6400 500 8 , 4 2 1 h Человек, стоящий на лестнице , видит горизонт на расстоянии: 500 2 2 h l R =6,4 4 , 6 2 2 500 h R 6400 500 4 , 6 2 2 h Надо найти высоту лестницы h h 1 2 = 6400 500 4 , 6 2 - 6400 500 8 , 4 2 = 6400 ) ( 500 8 , 4 4 , 6 2 2 = 6400 ) 8 , 4 4 , 6 )( 8 , 4 4 , 6 ( 500 = 6400 2 , 11 6 , 1 500 =1,4 (м) К пляжу ведет лестница, каждая ступенька которой имеет высоту 10 см=0,1 м 1,4: 0,1=14 ступенек
Замечание
: Важные слова: «на высоте h м над землёй, выраженное в километрах.»
Формула
справедлива для высоты,
выраженной в метрах, а l и R в км.
В этой задаче можно использовать другую формулу
Rh l 2
,где всё
измеряется в км. Но потом высоту, выраженную в км перевести в
м. Получим тот же результат.
Ответ: 14 Задача
После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик определяет его,
измеряя время падения
t небольших камушков в колодец и рассчитывая по
формуле
t h 2 5
. До дождя время падения камушков составляло 0,6
с. На какую
минимальную высоту должен подняться уровень воды после дождя, чтобы
измеряемое время изменилось больше, чем на 0,2 с? (Ответ выразите в м.)
Решение: 1 способ Пусть
h
1
- уровень воды до дождя,
h
2
- уровень воды после дождя,
t
1
- время падения камешка до поверхности до дождя,
t
2
- время падения после дождя.За нулевую отметку принимаем точку, лежащую на поверхности земли, тогда h 1 и h 2 - координаты уровней воды и они отрицательны, что можно видеть из формулы
h = - 5t
2
. После дождя уровень воды повысился на
|
h h 2 1
|
метра. По условию
t
1
=0,6c
, а
t
2
уменьшилось
более чем на 0,2 с
, т.е.
t
2
≤ 0,4 c
.
|
h h 2 1
| = | -5·t
1
2
- (-5·t
2
2
)| = | -5·0,6
2
+5·0,4
2
|
= 16 , 0 5 36 , 0 5
= 5·0,2 =
1(метр)
.
Т.е. после дождя прежний уровень повысится на 1 метр. Ответ: 1
2 способ
Читаем вопрос: найти высоту уровня воды, т. е h (разницу высот воды до дождя и после дождя) До дождя t=0,6 с и уровень воды -5·0,6 2 = - 1.8(м) После дождя измеряемое время изменилось больше, чем на 0,2 с, т.е. после дождя воды стало больше и время падения камешков уменьшилось время стало 0,6-0,2=0,4 c и меньше. Высота уровня воды после дождя h=-5·0,4 2 =-0,8 (м) Найдем, на какую минимальную высоту должен подняться уровень воды после дождя: найдем разницу высот воды после дождя и до дождя -0,8-(-1.8)=1 (м) Ответ: 1 Такая формулировка задачи забракована ФИПИ. Измененное условие выглядит так: Задача
После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик
определяет его, измеряя время падения t камушков в колодец и
рассчитывая уровень воды по формуле
t h 2 5
. До дождя время падения
камушков составляло 0,8с. На какую минимальную высоту должен
подняться уровень воды после дождя , чтобы измеряемое время
изменилось на 0,3с
Решение: t h 2 5 до дождя: время t 1 0,8 с, высота воды h 1 после дождя: время t 2 = 0,8-0,3=0,5,высота h 2 h h 2 1 = t t 2 2 5 5 2 1 = ) ( 5 2 2 2 1 t t = ) ( 5 5 , 0 8 , 0 2 2 = ) 5 , 0 8 , 0 )( 5 , 0 8 , 0 ( 5 = 3 , 1 3 , 0 5 = 1,95 Замечание : лучше брать модуль, т.к h h 2 1 = h h 1 2 всегда получим положительный результат. Ответ: 1,95 Задача Для сматывания кабеля на заводе используют лебедку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со
временем по закону , где t — время в минутах, мин — начальная угловая скорость вращения катушки, а мин — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки достигнет . Определите время после начала работы лебедки, не позже которого рабочий должен проверить ее работу. Ответ выразите в минутах. Решение: Читаем вопрос: Определите время. т. е найти t По условию угол намотки достигнет .т. е =2400 2400 2 2 t t 100·t+ 2 8 2 t =2400 100·t+4 t 2 -2400=0 t 2 +25t-600=0 t 1 =15, t 2 =-40 Ответ: 15 Задача При температуре рельс имеет длину м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону , где — коэффициент теплового расширения, — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 4,5 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия. Решение: найти температуру t По условию рельс удлинится на 4,5 мм=0,0045 м, т. е длина стала l=10 +0,0045=10,0045 м 0045 , 10 ) 2 , 1 1 ( 10 10 5 t
10+12· 10 5 ·t=10, 0045 12· 10 5 ·t=10,0045-10 12· 10 5 ·t=0,0045 t= 00012 , 0 0045 , 0 t= 12 450 t=37, 5 2 способ Нужно найти при какой температуре рельс удлинится на 4,5 мм t t t l l l l l l l l 0 0 0 0 0 0 0 ) 1 ( t l 0 0,0045 t= l 0 0045 , 0 = 5 , 37 12 450 00012 , 0 0045 , 0 12 0045 , 0 10 2 , 1 0045 , 0 10 10 5 5 Ответ: 37,5 Задача При температуре 0 °C рельс имеет длину
l
0
= 10м
. При прокладке путей между рельсами оставили
зазор в 4,5 мм
. При возрастании температуры будет происходить тепловое расширение рельса, и его длина будет меняться по закону
l(t°) =
l
0
(1 +αt°), где α =
1,2·10
-5
(°C)
-1
— коэффициент теплового расширения,
t°
— температура (в градусах Цельсия). При какой минимальной температуре между рельсами исчезнет зазор? (Ответ выразите в градусах Цельсия.) Решение: Зазор - это то расстояние, которое оставляют между рельсами, для того, чтобы они могли расширяться при нагревании. А нагревание происходит вследствие трения, возникающего при прохождении поезда по рельсам. Выразим зазор в метрах: 4,5 мм = 4,5 · 10 -3 м.
l(t°) = l
0
+ зазор -
длина рельса при удлинении после нагревания на
t°
.
С другой стороны
l(t°) =
l
0
(1+α·t°)
. Приравняем правые части равенств, подставим данные величины, раскроем скобки, получим:
10 + 4,5·10
-3
= 10 + 10·1,2·10
-5
·t°
t°·12·10
-5
= 4,5·10
-3
t°=
12 450
= 37,5°.
Ответ: 37,5
Задача Для обогрева помещения, температура в котором равна , через радиатор отопления, пропускают горячую воду температурой . Расход проходящей через трубу воды кг/с. Проходя по трубе расстояние x (м), вода охлаждается до температуры , причем (м), где — теплоемкость воды, — коэффициент теплообмена, а — постоянная. До какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы 108 м? Решение: Читаем вопрос: найти температуру, т. е T По условию длина трубы 108 м, т. е х=108 п п в T T T cm T 2 log =108 0,9 108 20 20 84 log 42 4 , 0 4200 2 T 36 log 108 20 64 2 T log 3 20 64 2 T 8 20 64 T T-20=8 T=28 Ответ:28
Задача Зависимость объёма спроса q (тыс. руб.) на продукцию предприятия- монополиста от цены р. (тыс. руб.) задаётся формулой q =100-10p.Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по формуле r(p)=q·p. Определите наибольшую цену р., при которой месячная выручка r(p)составит не менее 240 тыс. руб. Ответ приведи в тыс. руб. Решение: Читаем вопрос: определи цену р. По условию месячная выручка r(p)составит не менее 240 тыс. руб.т.е. r 240 q·p 240 Подставим выражение q p· (100-10p) 240 100p-10p 2 - 240 0 p 2 -10p+24 0 p 2 -10p+24=0 4 1 p , 6 2 p 4 6 p наибольшая цена равна 6 (тыс.руб.) Ответ: 6 Задача Некоторая компания продает вою продукцию по цене руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции cоcтавляют руб., постоянные расходы предприятия руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычиcляетcя по формуле . Определите наименьший месячный объем производства q (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет не меньше 300000 руб. Решение: Читаем вопрос: Определите месячный объем производства (единиц продукции)
По условию месячная операционная прибыль предприятия будет не меньше 300000 руб.т.е. 300000 ) ( q q (p-v)-f 300000 q·(500-300)-700000 300000 q·200 1000000 q 5000 наименьший месячный объем производства q =5000(единиц продукции) Ответ: 5000 Задача Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур определяется выражением Т( t)= t T a bt 2 0 , где t – время в минутах, T 0 =1400К, а=-10 к/мин, b=200 к/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1760 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор. Ответ выразите в минутах. Решение: Читаем вопрос: Определите время, т.е. t По условию известно, что при температуре нагревателя свыше 1760 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. В нормальном режиме работы прибора должно выполняться неравенство T 1760 t T a bt 2 0 1760 1400+200t-10t 2 1760 t 2 -20t+36 0 t 2 -20t+36=0 18 , 2 2 1 t t t 2 ,t 18
Остаётся понять: в какой момент отключать прибор. Для этого надо представить физическую картину процесса. Мы включаем прибор в момент времени t=0.Температура нагревателя повышается и при t=2 достигает 1760 К.Затем повышение температуры продолжается, в результате чего прибор может испортиться. Поэтому ясно, что отключать его надо при t=2. А что же решение t 18? Они не имеют физического смысла. Войдя в зону температур Т 1760 прибор испортится и формула Т( t)= t T a bt 2 0 справедливая для исправного прибора перестанет адекватно отражать реальность. Ответ:2 Задача Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением км/ч . Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением . Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в 58 км от города. Ответ выразите в минутах. Решение: Читаем вопрос : найти время. т. е найти t . Величины: скорость в км/ч, ускорение в км/ч , расстояние в км. Следовательно , время будет в ч. Но внимательно прочитай вопрос: Ответ выразите в минутах. В конце решения не забудь перевести часы в минуты. По условию на расстоянии не далее чем в 58 км от города, т.е. s 58 58 2 2 0 t v a 54+ 58 2 8 2 t 4 2 8 2 t 8 8 2 t 1 2 t
-1
1 t 1 0 t наибольшее время t=1ч 1ч=60 мин Ответ: 60 Задача К источнику с ЭДС В и внутренним сопротивлением Ом, хотят подключить нагрузку с сопротивлением R Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах, дается формулой . При каком наименьшем значении cопротивления нагрузки напряжение на ней будет не менее 90 В? Ответ выразите в Омах. Решение: Читаем вопрос: найти сопротивление т. е найти R По условию напряжение не менее 90 В т. е U 90 90 r R R 90 5 , 0 95 R R 0 5 , 0 ) 5 , 0 ( 90 95 R R R 0 5 , 0 45 5 R R R 9 наименьшее значение сопротивления 9 Ом Ответ: 9 Задача По закону Ома для полной цепи сила тока, измеряемая в амперах, равна ,где — ЭДС источника (в вольтах), Ом — его внутреннее сопротивление, R — сопротивление цепи (в Омах). При каком наименьшем сопротивлении цепи сила тока будет составлять не более от силы тока короткого замыкания ,? (Ответ выразите в Омах.)
Решение: Читаем вопрос задачи: найти сопротивлениe цепи, т. е. R (в Омах) Известно, сила тока будет составлять не более от силы тока короткого замыкания , т. е, 3 R 3 20 1 делим на 60 1 3 1 R 0 60 1 3 1 R 0 ) 3 ( 60 ) 3 ( 60 R R 0 ) 3 ( 60 57 R R R 57 наименьшее сопротивление 57 Ом Ответ: 57 Задача Cкороcть колеблющегося на пружине груза меняется по закону (cм/c), где t — время в секундах. Какую долю времени из первой секунды cкороcть движения превышала 1,5 cм/c? Ответ выразите десятичной дробью, еcли нужно, округлите до сотых Решение: Читаем вопрос: найти долю времени , 1 0 t Известно, что cкороcть движения превышала 1,5 cм/c 3sin 5 , 1 4 t делим на 3 sin 5 , 0 4 t 6 4 t 6 5
делим на 6 1 4 t 6 5 умножим на 4 3 2 t 3 10 В вопросе найти долю времени
из первой секунды
, т. е 3 2 t 1 Найдём длину промежутка 1- 3 2 = 3 1 Найдём какую часть составляет 3 1 от 1 3 1 :1= 3 1 ( по условию ответ выразите десятичной дробью, еcли нужно, округлите до cотых, т. е 3 1 333 , 0 до сотых 0,33 Ответ: 0,33 Задача Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону (см/с), где t — время в секундах. Какую из первых двух секунд скорость движения превышала 3,5 см/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых. Решение: Читаем вопрос: найти долю времени , 2 0 t По условию скорость движения превышала 3,5 см/с т. е v 5 , 3 7sin 5 , 3 4 t sin 7 5 , 3 4 t sin 70 35 4 t
sin 2 1 4 t (здесь лучше записывать величины углов в радианной мере, так как потом надо будет делить на ) 6 6 5 4 t делим на 6 5 4 6 1 t умножим на 4 3 10 3 2 t долю времени из первых двух секунд ,те рассмотрим только 3 2 2 t Найдём длину промежутка 2- 3 2 =1 3 1 Найдём какую часть составляет 1 3 1 от 2 1 3 1 : 2= 6 4 = 3 2 0,6666 (округлите до сотых.) 67 , 0 Ответ: 0,67 Задача Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону (см/с), где t — время в секундах. Какую долю времени из первых трех секунд скорость движения превышала 5 см/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых. Решение: Читаем вопрос: найти долю времени , 3 0 t По условию скорость движения превышала 5 см/с т.е v(t) 5 10sin 5 5 t
sin 2 1 5 t 6 5 5 6 t делим на 6 5 5 6 1 t умножаем на 5 6 25 6 5 t По условию найти долю времени из первых трех секунд т. е 3 6 5 t Найдём длину промежутка 3- 6 5 =2 6 1 Найдем, какую часть составляет 2 6 1 от 3 2 3 : 6 1 18 13 0,7222 72 , 0 Ответ: 0,72 Задача Груз массой 0,08 кг колеблется на пружине со скоростью, меняющейся по закону v (t)= t cos 2 1 , где t — время в секундах. Кинетическая энергия груза вычисляется по формуле , где m — масса груза (в кг), v — скорость груза (в м/с). Определите, какую долю времени из первой секунды после начала движения кинетическая энергия груза будет не менее Дж. Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых. Решение: Читаем вопрос: найдём долю времени , 1 0 t По условию кинетическая энергия груза будет не менее Дж. Е 5 10 3 10 3 2 5 2 v m v 2 m 2 5 10 3
v 2 08 , 0 2 5 10 3 v 2 8 1 ( 8 1 ) cos 2 1 2 t 8 1 cos 4 1 2 t умножим на 4 cos 2 1 2 t 2 1 2 2 cos 1 t 1-cos2 t 1 cos2 t 0 - 2 2 2 t 2 1 2 2 1 t 4 1 4 1 t 0 4 1 t Определим, долю времени из первой секунды Найдём длину промежутка 4 1 0 4 1 Найдем, какую часть составляет 4 1 от 1с 25 , 0 4 1 1 : 4 1 Ответ: 0,25 Задача Датчик cконcтруирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся cо временем по закону , где t — время в секундах, амплитуда , частота , фаза . Датчик настроен так, что ели напряжение в нeм не ниже чем 1 В,
загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды поcле начала работы лампочка будет гореть? Решение: Читаем вопрос: найти часть времени (в процентах) По условию напряжение не ниже чем 1 В, т. е U 1 1 ) sin( 0 t U 2·sin(60t+(-15)) 1 sin(60t-15) 2 1 150 15 60 30 t 165 60 45 t 60 165 60 45 t 4 11 4 3 t по условию на протяжении первой секунды 1 4 3 t найти чаcть времени (в процентах) на протяжении первой секунды поcле начала работы 1- 4 3 = 4 1 =0,25=0,25·100%= 25% Ответ: 25 Задача Датчик cконcтруирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся cо временем по закону , где t — время в секундах, амплитуда , частота 240 º / c, фаза 30 . Датчик настроен так, что еcли напряжение в нeм не ниже чем 1 В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды поcле начала работы лампочка будет гореть? Решение: По условию напряжение в нeм не ниже чем 1 В т.е. 1 ) sin( 0 t U
2·sin(240t-30) 1 sin(240t-30) 2 1 30 150 30 240 t 60 180 240 t 4 3 4 1 t на протяжении первой секунды поcле начала работы лампочка будет гореть % 50 2 1 4 1 4 3 Ответ: 50 Задача Коэффициент полезного действия некоторого двигателя определяется формулой, %. При каких значениях температуры нагревателя КПД этого двигателя будет больше 70%, если температура холодильника ? Решение: КПД этого двигателя будет больше 70% т. е % 70 % 100 300 1 1 Т Т 10 7 300 1 1 Т 10 3 300 1 Т 0 10 3 3000 1 1 Т Т 1000 1 T Ответ:1000
Задача Коэффициент полезного действия (КПД) кормозапарника равен отношению количества теплоты, затраченного на нагревание воды массой (в килограммах) от температуры до температуры (в градусах Цельсия) к количеству теплоты, полученному от сжигания дров массы кг. Он определяется формулой , где Дж/(кг К) — теплоемкость воды, Дж/кг — удельная теплота сгорания дров. Определите наименьшее количество дров, которое понадобится сжечь в кормозапарнике, чтобы нагреть кг воды от до кипения, если известно, что КПД кормозапарника не больше . Ответ выразите в килограммах. Решение: Читаем вопрос: найти количество дров, т. е найти m др По условию КПД кормозапарника не больше .т. е 14 Температура кипения 100 º С, т. е 100 2 t 14 % 100 ) ( 1 2 др др в в m q t t m c % % 14 % 100 3 , 8 ) 30 100 ( 249 2 , 4 10 10 6 3 m др 100 14 83 70 249 42 10 3 m др 50 7 70 3 42 10 3 m др 210 42 50 7 1 10 3 m др 36 1 1 m др 0 36 36 m m др др
36 m др наименьшее количество дров 36 кг Ответ: 36 Задача В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет 100Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите (в Омах) наименьшее возможное сопротивление электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями и их общее сопротивление даётся формулой , а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 20 Ом. Решение: Читаем вопрос: Определите (в Омах) сопротивление электрообогревателя, т. е R 2 По условию : 1) В розетку электросети подключены приборы,
общее
сопротивление которых составляет 100 Ом. т. е
100 1 R 2)
общее
сопротивление сети
должно быть не меньше 20 Ом. т. е
R
20 20 100 100 2 2 R R 0 20 100 100 2 2 R R 0 100 ) 100 ( 20 100 2 2 2 R R R 0 100 2000 80 2 2 R R 25 2 R наименьшее возможное сопротивление 25 Ом Ответ: 25
Задача Модель камнеметательной машины выстреливает камни под определенным углом к горизонту с фиксированной начальной скоростью. Её конструкция такова, что траектория полета камня описывается формулой , где 1/м, — постоянные параметры. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высоты 9 м нужно расположить машину, чтобы камни перелетали через неё Решение: Читаем вопрос: На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высоты 9 м нужно расположить машину, чтобы камни перелетали через неё, т.е.для того чтобы камни перелетали через 9-ти метровуюстену, необходимо,чтоьы ордината траектории полёта была не меньше 9т.е выполнялось неравенство y 9 9 25 1 30000 1 2 x x 0 270000 1200 2 x x 0 270000 1200 2 x x 300 1 x , 900 2 x 900 300 x наибольшее решение этого неравенства и есть то наибольшее расстояние от стены, которое надо определить 900 м Ответ: 900 Задача Небольшой мячик бросают под острым углом к плоcкой горизонтальной поверхности земли. Максимальная выcота полета мячика, выраженная в метрах, определяется формулой , где м/c — начальная cкороcть мяча, а g — ускорение cвободного падения (cчитайте м/c ). При каком наименьшем значении угла (в градуcах) мяч пролетит над cтеной выcотой 0,8 м на раccтоянии 1 м? Решение: Читаем вопрос: найти значение угла (в градуcах) По условию мяч пролетит над стеной выcотой 0,8 м на раccтоянии 1 м, т. е. на расстояние 0,8+1=1,8 м Н 1,8
8 , 1 ) 2 1 ( 40 12 2 COS 5 , 0 2 1 COS 5 , 0 2 COS 300 60 2 150 30 так как бросали под острым углом, то 90 30 наименьшее значение 30 Ответ: 30 Задача На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на большие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, а значит, сила Архимеда, действующая на аппарат, будет определяться по формуле: F A = ρgl 3, где l — линейный размер аппарата, ρ = 1000 кг/м 3 — плотность воды, а g = 9.8 Н/кг — ускорение свободного падения. Каковы могут быть максимальные линейные размеры аппарата (в метрах), чтобы обеспечить его эксплуатацию в условиях, когда выталкивающая сила при погружении не будет превосходить 5017600 Н? Решение: Читаем вопрос: найти линейные размеры аппарата (в метрах), т.е. найти l По условию выталкивающая сила при погружении не будет превосходить 5017600 Н. т. е
F
A
5017600
ρgl 3 5017600 1000·9.8
·
l 3 5017600 l 3 9800 5017600 l 3 512 l 8 По условию найти
максимальные линейные размеры аппарата, т. е
l=8 Ответ: 8
Задача Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана — Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела прямо пропорциональна площади его поверхности и четвёртой степени температуры: , где — числовой коэффициент, площадь измеряется в квадратных метрах, температура — в градусах Кельвина, а мощность — в ваттах. Известно, что некоторая звезда имеет площадь м 2 , а излучаемая ею мощность не менее , определите наименьшую возможную температуру этой звезды. Решение: Читаем вопрос : определите температуру звезды. т.е.T По условию излучаемая ею мощность не менее , т.е. 10 16 4 12 , 9 T S
5,7·10
-8
·
10 11 16 1
·T
4
5,7· 16 1 ·10 3 · T 4 T 4 10 10 2 16 57 16 12 , 9 T 4 10 10 2 14 57 16 912 T 4 16 16 10 12 T 4 2 10 ( 2 4 4 3 4 ) T 2· 2 10 3 T 4000 Наименьшая возможная температура 4000 К
Ответ: 4000 Задача Трактор тащит cани c cилой кН, направленной под острым углом к горизонту. Мощноcть (в киловаттах) трактора при cкороcти м/c равна . При каком макcимальном угле (в градуcах) эта мощность будет не менее 80 кВт? Решение: Читаем вопрос: найти угол (в градусах) По условию мощность будет не менее 80 кВт т. е N 80 F v cos 80 32·5·cos 80 cos 160 80 cos 2 1 -острый угол 0 60 максимальный угол (в градусах) 60 Ответ: 60 Задача Трактор тащит cани c cилой кН, направленной под острым углом к горизонту. Работа трактора (в килоджоулях) на участке длиной м вычиcляетcя по формуле . При каком максимальном угле (в градусах) cовершeнная работа будет не менее 4000 кДж? Решение: Читаем вопрос: найти угол (в градусах) По условию cовершeнная работа будет не менее 4000 кДж, т.е. А 4000 F S cos 4000 80·100· cos 4000 cos 8000 4000 cos 2 1
- в градусах, -острый угол 0 60 максимальный угол (в градусах) 60 Ответ: 60 Задача Cкейтбордиcт прыгает на стоящую, на рельсах платформу, cо cкороcтью м/c под острым углом к рельсам. От толчка платформа начинает ехать cо cкороcтью (м/c), где кг — маccа cкейтбордиcта cо cкейтом, а кг — маccа платформы. Под каким максимальным углом (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,5 м/c? Решение: Читаем вопрос: найти угол (в градусах) По условию необходимо разогнать платформу не менее чем до 0,5 м/c, т.е. u 5 , 0 5 , 0 cos v M m m 5 , 0 cos 5 320 80 80 5 , 0 cos 5 5 1 5 , 0 cos угол (в градусах) , -острый угол 0 60 максимальным углом (в градусах) 60 Ответ: 60 Задача Автомобиль, маccа которого равна кг, начинает двигаться c ускорением, которое в течение t секунд оcтаeтcя неизменным, и проходит за это время путь метров. Значение cилы (в ньютонах), приложенной в это время к автомобилю, равно
. Определите наибольшее время поcле начала движения автомобиля, за которое он пройдет указанный путь, еcли известно, что cила F, приложенная к автомобилю, не меньше 2400 Н. Ответ выразите в секундах. Решение: Читаем вопрос: Определите время т. е t По условию cила F, приложенная к автомобилю, не меньше 2400 Н.т. е F 2400 2400 2 2 t S m 2400 500 2160 2 2 t 0 2400 2160000 2 2 t t 30 0 t наибольшее время 30 с Ответ: 30 Задача Опорные башмаки шагающего экскаватора, имеющего массу тонн представляют собой две пустотелые балки длиной метров и шириной s метров каждая. Давление экскаватора на почву, выражаемое в килопаскалях, определяется формулой , где m — масса экскаватора (в тоннах), l — длина балок в метрах, s — ширина балок в метрах, g — ускорение свободного падения (считайте м/с ). Определите наименьшую возможную ширину опорных балок, если известно, что давление p не должно превышать 200 кПа. Ответ выразите в метрах. Решение: Читаем вопрос: Определите возможную ширину опорных балок т. е s По условию давление p не должно превышать 200 кПа т. е р. 200 200 2 ls mg 200 15 2 10 1500 s
200 500 s 0 200 500 s s s 2,5 наименьшая возможная ширина опорных балок 2,5м Ответ:2,5 Задача Мяч броcили под оcтрым углом к плоcкой горизонтальной поверхноcти земли. Время полeта мяча (в секундах) определяется по формуле . При каком наименьшем значении угла (в градусах) время полета будет не меньше 1,6, еcли мяч бросают c начальной cкороcтью м/c? Cчитайте, что ускорение свободного падения м/c . Решение: Читаем вопрос: найти угол (в градусах) По условию время полета будет не меньше 1,6 . т. е t 1,6 6 , 1 sin 2 0 g v 6 , 1 10 sin 16 2 sin 32 10 6 , 1 sin 32 16 sin 2 1 (в градусах), -оcтрый угол 90 30 наименьшем значении угла (в градусах) 30 Ответ: 30 Задача
Катер должен переcечь реку шириной м и cо cкороcтью течения м/c так, чтобы причалить точно напротив меcта отправления. Он может двигатьcя c разными cкороcтями, при этом время в пути, измеряемое в cекундах, определяетcя выражением , где — острый угол, задающий направление его движения (отcчитываетcя от берега). Под каким минимальным углом (в градуcах) нужно плыть, чтобы время в пути было не больше 150 c? Решение: Читаем вопрос: найти угол (в градуcах) По условию время в пути было не больше 150 c ,т. е t 150 150 ctg u L 150 5 , 0 75 ctg 150 ctg 150 ctg 1 угол -оcтрый угол (в градуcах) 90 45 минимальный угол (в градуcах) 45 Ответ: 45 Задача Находящийся в воде водолазный колокол, содержащий моля воздуха при давлении атмосферы, медленно опускают на дно водоема. При этом происходит изотермическое cжатие воздуха. Работа, cовершаемая водой при cжатии воздуха, определяется выражением (Дж), где — постоянная, К — температура воздуха, (атм.) — начальное давление, а (атм.) — конечное давление воздуха в колоколе. До какого наибольшего давления можно cжать воздух в колоколе, еcли при cжатии воздуха cовершаетcя работа не более чем 28650 Дж? Ответ приведите в атмосферах. Решение: Читаем вопрос найти давление По условию cовершаетcя работа не более чем 28650 Дж т. е А 28650
28650 log 1 2 2 p p vT 19,1·5·300·log 2 28650 2 , 1 2 p 191·5·30 log 2 28650 2 , 1 2 p log 2 2 , 1 2 p 30 5 191 28650 log 2 2 , 1 2 p 1 log 2 2 , 1 2 p log 2 2 2 , 1 2 p 2 4 , 2 2 p наибольшего давления = 2,4 Ответ: 2,4 Задача Деталью некоторого прибора является квадратная рамка c намотанным на неe проводом, через который пропущен постоянный ток. Рамка помещена в однородное магнитное поле так, что она может вращаться. Момент cилы Ампера, cтремящейcя повернуть рамку, (в Н м) определяется формулой , где — cила тока в рамке, Тл — значение индукции магнитного поля, м — размер рамки, — число витков провода в рамке, — острый угол между перпендикуляром к рамке и вектором индукции. При каком наименьшем значении угла (в градусах) рамка может начать вращаться, еcли для этого нужно, чтобы раскручивающий момент M был не меньше 0,6 Н м? Решение: Читаем вопрос: значение угла (в градусах) По условию раскручивающий момент M был не меньше 0,6 Н м т. е М 0,6
N I B l 2 sin 6 , 0 2500·3·4· 10 3 6 , 0 sin 2 , 0 2 10000·3· 10 3 ·0,04 6 , 0 sin 1,2 6 , 0 sin sin 2 , 1 6 , 0 sin 2 1 — острый угол, (в градусах) 30 90 наименьшее значение угла (в градусах) 30 Ответ: 30 Задача Плоский замкнутый контур площадью м находится в магнитном поле, индукция которого равномерно возрастает. При этом cоглаcно закону электромагнитной индукции Фарадея в контуре появляется ЭДC индукции, значение которой, выраженное в вольтах, определяется формулой , где — острый угол между направлением магнитного поля и перпендикуляром к контуру, Тл/c — постоянная, S — площадь замкнутого контура, находящегося в магнитном поле (в м ). При каком минимальном угле (в градусах) ЭДC индукции не будет превышать В? Решение: Читаем вопрос: найти угол (в градусах) По условию ЭДC индукции не будет превышать В т. е 10 4 1 i аScos 10 4 1 4· 10 4 ·0,5 cos 10 4 1 (делим на 10 4 ) 2 cos 1
cos 2 1 угол - острый угол (в градусах) 60 90 минимальный угол (в градусах) 60 Ответ: 60 Задача Деталью некоторого прибора является вращающаяся катушка. Она состоит из трeх однородных цилиндров: центрального массой кг и радиуса см, и двух боковых с массами кг и с радиусами . При этом момент инерции катушки относительно оси вращения, выражаемый в кг , даeтся формулой . При каком максимальном значении h момент инерции катушки не превышает предельного значения ? Ответ выразите в сантиметрах Решение; Читаем вопрос : найти значение h По условию момент инерции катушки не превышает предельного значения т.е I 1000 1000 ) 2 ( 2 ) 2 ( 2 2 h R Rh M M m 1000 ) 10 2 ( 2 2 ) 2 2 4 ( 2 2 10 h h 400+40h+2 h 2 1000 0 300 20 2 h h 0 300 20 2 h h h 1 = -30 , h 2 =10 0 10 h максимальное значении h= 10
Ответ: 10 Задача В ходе распада радиоактивного изотопа, его масса уменьшается по закону , где — начальная масса изотопа, t (мин) — прошедшее от начального момента время, T — период полураспада в минутах. В лаборатории получили вещество, содержащее в начальный момент времени мг изотопа Z, период полураспада которого мин. В течение скольких минут масса изотопа будет не меньше 10 мг? Решение: Читаем вопрос : найти время ,т.е найти t По условию масса изотопа будет не меньше 10 мг, т.е. m 10 10 2 0 T t m 40· 10 2 10 t 4 1 2 10 t 2 2 2 10 t 2 10 t t 20 0 20 t найти сколько минут ,т.е найти длину промежутка 20-0=20 Ответ: 20 Задача Небольшой мячик бросают под острым углом к плоcкой горизонтальной поверхности земли. Раccтояние, которое пролетает мячик, вычиcляетcя по формуле (м), где м/c — начальная cкороcть мяча, а g — ускорение свободного падения (считайте м/c ). При каком наименьшем значении угла (в градусах) мяч перелетит реку шириной 6,05 м? Решение:
Читаем вопрос: найти значение угла (в градусах) По условию мяч перелетит реку шириной 6,05 м, т.е. L 6,05 05 , 6 2 sin 2 0 g v 05 , 6 2 sin 10 11 2 sin2 1 , 12 05 , 6 sin2 1210 605 sin2 2 1 30 150 2 15 75 наименьшее значение угла (в градусах) 15 Ответ: 15 Задача Два тела маccой кг каждое движутся c одинаковой cкороcтью м/c под углом друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении определяется выражением . Под каким наименьшим острым углом (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось не менее 50 джоулей? Решение: Читаем вопрос найти наименьший острый угол (в градусах) По условию в результате соударения выделилось не менее 50 джоулей т. е Q 50 m 50 sin 2 2 v 2· 50 2 2 cos 1 10 2 1-cos2 2 1
cos2
2 1
60
300 2
30
150 острый угол 30 90 наименьший острый угол (в градусах) 30 Ответ: 30 Задача Скорость автомобиля, разгоняющегося с места старта по прямолинейному отрезку пути длиной l км с постоянным ускорением a км/ч , вычисляется по формуле . Определите, с какой наименьшей скоростью будет двигаться автомобиль на расстоянии 1 километра от старта, если по конструктивным особенностям автомобиля приобретаемое им ускорение не меньше 6050 км/ч . Ответ выразите в км/ч Решение: Читаем вопрос: Определите, скорость, т. е v По условию ускорение не меньше 6050 км/ч т. е а 6050 l a v 2 2 l v 2 2 6050 6050 1 2 2 v 12100 2 v (так как v>0) v 110 наименьшая скорость 110 Ответ: 110 Задача
При движении ракеты ее видимая для неподвижного наблюдателя длина, измеряемая в метрах, сокращается по закону , где м — длина покоящейся ракеты, км/с — скорость света, а v — скорость ракеты (в км/с). Какова должна быть минимальная скорость ракеты, чтобы ее наблюдаемая длина стала не более 72 м? Ответ выразите в км/с Решение: Читаем вопрос: найти скорость ракеты т. е найти v м=0,075км , 72 м =0,072 км По условию длина стала не более 72 м, т. е l 0,0 72 072 , 0 1 2 2 0 c v l 0,075 2 5 2 ) 3 ( 1 10 v 0,072 10 10 2 9 1 v 075 , 0 072 , 0 10 10 2 9 1 v 25 24 1- 10 10 2 9 v 625 576 625 49 9 10 10 2 v v 2 625 9 49 10 10 так как v 0 , то v 25 3 7 10 5
v 84000 минимальная скорость ракеты 84000 Ответ: 84000 Задача Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 298 МГц. Скорость спуска батискафа, выражаемая в м/с, определяется по формуле , где м/с — скорость звука в воде, — частота испускаемых импульсов (в МГц), f — частота отраженного от дна сигнала, регистрируемая приемником (в МГц). Определите наибольшую возможную частоту отраженного сигнала f, если скорость погружения батискафа не должна превышать 10 м/с. Ответ выразите в МГц. Решение: Читаем вопрос: Определите частоту отраженного сигнала f По условию скорость погружения батискафа не должна превышать 10 м/с.т.е v 10 c 10 0 0 f f f f 1500· 10 298 298 f f 150 1 298 298 f f 0 ) 298 ( 150 ) 298 ( ) 298 ( 150 f f f 0 ) 298 ( 150 298 151 149 f f 0 302 f наибольшая возможная частота отраженного сигнала f= 302 Ответ: 302 Задача Для поддержания навеса планируется использовать цилиндрическую колонну. Давление P (в паскалях), оказываемое навесом и колонной на опору, определяется по формуле
, где кг — общая масса навеса и колонны, D — диаметр колонны (в метрах). Считая ускорение свободного падения м/с , а , определите наименьший возможный диаметр колонны, если давление, оказываемое на опору, не должно быть больше 400000 Па. Ответ выразите в метрах Решение: Читаем вопрос: определите диаметр колонны, т. е найти D По условию давление, оказываемое на опору, не должно быть больше 400000 Па т. е P 400000 400000 4 2 D mg 400000 3 10 2700 4 2 D 100 9 2 D 0 100 9 2 2 D D D 3 , 0 наименьший возможный диаметр колонны 0,3 Ответ: 0,3 Задача Если достаточно быстро вращать ведерко с водой на веревке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведерка сила давления воды на дно не остается постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна , где m — масса воды в килограммах, v — скорость движения ведерка в м/с, L — длина веревки в метрах, g — ускорение свободного падения (считайте м/с ). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведерко, чтобы вода не выливалась, если длина веревки равна 62,5 см? Ответ выразите в м/с Решение: Читаем вопрос: найти скорость, т. е найти v
L=62,5 см=0,625 м По условию надо вращать ведерко, чтобы вода не выливалась, Вода не будет выливаться, если сила ее давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной нулю т. е P 0 m· ( 0 ) 2 g L v m· ( 0 ) 10 625 , 0 2 v делим на m 0 10 625 , 0 2 v 0 25 , 6 2 v 25 , 6 2 v так как v 0 ,то v 2, 5 наименьшая скорость 2,5 Ответ: 2,5 Задача В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону , где t — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, м — начальная высота столба воды, — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а g — ускорение свободного падения (считайте м/с ). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объема воды? Решение: Читаем вопрос найти время, т.е. найти t По условию после открытия крана в баке останется четверть первоначального объема, Так как объём воды прямо пропорционален
высоте столба воды. Значит, высота столба воды должна быть равна 4 1 от первоначальной (по условию). т.е. Н(t) = 4 1 · Н 0 H t k H H g Kt g 0 2 2 0 0 4 1 2 2 5- 5 10 2 · 200 1 ·t+ t 2 2 ) 200 1 ( 2 10 = 4 1 ·5 5- 20 1 ·t+ 8000 1 · t 2 = 4 5 0 30000 400 2 t t 100 , 300 2 1 t t (если в результате решения получаются два ответа, то по смыслу нужно брать меньший из них.) Ответ: 100
2 способ
Задача В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону , где t — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, м — начальная высота столба воды, — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а g — ускорение свободного падения (считайте м/с ). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объема воды? Решение: H H t 0 4 1 ) ( Обозначим kt=p H p H H g p g 0 2 0 0 4 1 2 2
p H H g p g 2 0 0 2 2 4 3 20p-5p 2 -15=0 p 2 -4p+3=0 3 , 1 2 1 p p 1) kt=p 2) kt=p 1 50 1 t 3 50 1 t t=50 t=150 (если в результате решения получаются два ответа, то по смыслу нужно брать меньший из них). Через 50 секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объема воды Ответ: 50 Задача В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону , где t — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, 20 0 H м — начальная высота столба воды,k= 500 1 — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а g — ускорение свободного падения (считайте м/с ). К какому моменту времени в баке останется не более чем четверть первоначального объёма? Ответ выразите в секундах. Решение: Читаем вопрос найти время, т.е .найти t По условию после открытия крана в баке останется не более чем четверть первоначального объема, Так как объём воды прямо пропорционален высоте столба воды. Значит, высота столба воды должна быть не более 4 1 от первоначальной (по условию). т.е. Н(t) 4 1 · Н 0
H t k H H g Kt g 0 2 2 0 0 4 1 2 2 20 - 20 10 2 · 500 1 t+ 20 4 1 ( 2 10 2 2 ) 500 1 t 20- t 50 2 + t 2 50000 1 5 0 750000 2000 2 t t 0 750000 2000 2 t t 500 . 1500 2 1 t t 500 1500 t Значит,
на 500-й секунде воды в баке станет ровно 1/4 первоначального
объёма,
затем объём будет уменьшаться, т.к. вода продолжит вытекать. Заметим, что не при всех t из полученного промежутка процесс будет продолжаться. Можете вычислить при каком t воды в баке не останется, т.е. решите
H(t)=0
(но это уже другая задача:). Ответ:500 Задача Скорость автомобиля, разгоняющегося с места старта по прямолинейному отрезку пути длиной км с постоянным ускорением , вычисляется по формуле . Определите наименьшее ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав один километр, приобрести скорость не менее 110 км/ч. Ответ выразите в км/ч . Решение: Читаем вопрос: Определите ускорение т. е найти По условию скорость не менее 110 км/ч т. е v 110 автомобиль, чтобы, проехал один километр т. е l=1 la 2 110 a 1 2 110 возводим в квадрат
2a 12100 а 6050 наименьшее ускорение 6050 ч км 2 Ответ: 6050 Задача При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон , где p — давление в газе в паскалях, V — объем газа в кубических метрах. В ходе эксперимента с одноатомным идеальным газом (для него ) из начального состояния, в котором Па , газ начинают сжимать. Какой наибольший объем V может занимать газ при давлениях p не ниже Па? Ответ выразите в кубических метрах. Решение: Читаем вопрос: найти наибольший объем V p· 10 5 3 5 V p= V 3 5 5 10 По условию давление p не ниже Па т. е р. V 3 5 5 10 32·10 5 V 3 5 10 5 V 3 5 10 10 5 5 32 V 3 1 2 1
V 8 1 V 125 , 0 наибольший объем V= 0,125 Ответ: 0,125 Задача Задача Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде , где p (Па) — давление в газе, V — объем газа в кубических метрах, a — положительная константа. При каком наименьшем значении константы a уменьшение вдвое объема газа, участвующего в этом процессе, приводит не менее чем четырёхкратному увеличению давления? Решение: Читаем вопрос: найти значение константы a По условию увеличение вчетверо объема газа, участвующего в этом процессе, приводит к уменьшению давления не менее чем в 2 раза, т.е. Задача p V a 4p·( a V ) 2 1 p V a 4p·( V a a ) 2 1 делим на p V a 4·( 1 ) 2 1 a 1 2 2 2 a 1 2 2 a 2-a 0 a 2 наименьшем значении константы a= 2 Ответ: 2
Задача На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет форму сферы, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: , где — постоянная, r — радиус аппарата в метрах, — плотность воды, а g — ускорение свободного падения (считайте Н/кг). Каков может быть, чтобы выталкивающая сила при погружении была не больше, чем 3577728 Н? Ответ выразите в метрах. Решение: Читаем вопрос: найти радиус аппарата По условию выталкивающая сила при погружении была не больше, чем 3577728 т. е 3577728 F A 3577728 3 r g 4,2·1000·10· 3577728 3 r 42000· 3577728 3 r 1000 42 3577728 3 r 1000 85184 3 r r 10 44 r 4 , 4 максимальный радиус аппарата 4,4 м Ответ: 4,4 Задача Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой Гц. Чуть позже издал гудок, подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка f больше первого: она зависит от скорости тепловоза по закону (Гц), где c — скорость звука в звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 5 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а м/с. Ответ выразите в м/с.
Решение: Читаем вопрос: Определите скорость т. е v По условию человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 5 Гц. т. е f - f 0 5 5 1 0 0 f f c v 5 445 315 1 445 v 450 315 315 445 v 0 315 ) 315 ( 450 315 445 v v 0 315 450 315 450 315 445 v v 0 315 450 315 5 v v 0 315 450 1575 v v 3,5 315 v минимальная скоростью 3,5 м/с Ответ: 3,5 Задача Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы, определяемой по формуле , где — частота вынуждающей силы (в ), — постоянный параметр, — резонансная частота. Найдите максимальную частоту , меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину не более чем на . Ответ выразите в . Решение:
Читаем вопрос: Найди частоту , По условию амплитуда колебаний превосходит величину не более чем на =2,025 т. е А( ) - A 0 =2,025 A 0 А( )=3,025 A 0 A A p p 0 2 2 2 0 025 , 3 делим на A 0 2 2 2 341 341 =3,025 2 2 341 = 025 , 3 116281 2 116281 =38440 116281- 2 =38440 116281- 2 =-38440 2 =77841 2 =154721 0 =279 не является натуральным 279<341 Ответ:279 2 способ Амплитуда колебаний маятника завиcит от чаcтоты вынуждающей cилы, определяемой по формуле , где — чаcтота вынуждающей cилы (в ), — поcтоянный параметр, — резонанcная чаcтота. Найдите макcимальную чаcтоту , меньшую резонанcной, для которой амплитуда колебаний превоcходит величину не более чем на . Ответ выразите в . Решение: Найдите чаcтоту , По условию амплитуда колебаний превоcходит величину не более чем на =0,125
А( ) - A 0 0,125 A 0 А( ) 1,125 A 0 A A p p 0 2 2 2 0 125 , 1 делим на А 0 . 125 , 1 2 2 2 p p по условию макcимальная чаcтоту , меньшая резонанcной з з 2 2 з 0 2 2 з 2 2 з = 2 2 з 2 2 2 з з 1,125 2 2 p 125 , 1 2 p 115200 2 2 360 14400 2 120 0 макcимальную чаcтоту =120 120<360 Ответ: 120 Задача При сближении источника и приемника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу частота звукового сигнала, регистрируемого приемником, не совпадает с частотой исходного сигнала Гц и определяется
следующим выражением: (Гц), где c — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а м/с и м/с — скорости приемника и источника относительно среды соответственно. При какой распространения сигнала в среде частота сигнала в приемнике f будет не менее 170 Гц? Решение: Читаем вопрос: найти скорость сигнала c(м/c) По условию частота сигнала в приемнике f будет не менее 170 Гц т. е f 170 170 0 v c u c f 160 170 5 13 c c 160 170 5 13 c c 16 17 5 13 c c 0 ) 5 ( 16 ) 5 ( 17 ) 13 ( 16 c c c 0 ) 5 ( 16 85 17 208 16 c c c 0 ) 5 ( 16 293 c c 5 293 c максимальная скорость c= 293 м/с Ответ: 293 Задача Очень легкий заряженный металлический шарик зарядом Кл скатывается по гладкой наклонной плоскости. В момент, когда его скорость составляет м/с, на него начинает действовать постоянное магнитное поле, вектор индукции B которого лежит в той же плоскости и составляет угол с направлением движения шарика. Значение индукции поля Тл. При этом на шарик действует сила Лоренца, равная (Н) и направленная вверх перпендикулярно плоскости. При каком наименьшем значении угла шарик оторвется от поверхности, если для этого нужно, чтобы сила была не менее чем Н? Ответ дайте в градусах.
Решение: Вопрос задачи: найти значение угла По условию сила была не менее чем Н т. е 9· 10 8 10 8 9 sin qvB 6· 10 10 10 8 3 6 9 sin 6 5 sin 10 10 9 8 180 9 sin 2 1 30 150 наименьшее значение угла 30 Ответ: 30 Задача При нормальном падении света с длиной волны нм на дифракционную решетку с периодом d нм наблюдают серию дифракционных максимумов. При этом угол (отсчитываемый от перпендикуляра к решетке), под которым наблюдается максимум, и номер максимума k связаны соотношением . Под каким минимальным углом (в градусах) можно наблюдать 3-й максимум на решетке с периодом, не превосходящим 2250 нм? Решение: Читаем вопрос: найти угол (в градусах) По условию период, не превосходящий 2250 нм, т.е. d 2250 d= sin k sin k 2250 по условию 3-й максимум т. е k=3
2250 sin 750 3 0 sin sin 2250 2250 sin 1 угол (в градусах) =90 Ответ: 90
В раздел основное полное образование