"Понятие многогранника. Призма".
план-конспект урока геометрии
Автор: Олькова Нина Викторовна, преподаватель математики, ГБПОУ "НГК", город Нижний Новгород
В раздел основное полное образование
План-конспект
урока геометрии
Тема урока:
"Понятие многогранника. Призма".
Цель урока:
создание условий для проявления познавательной активности обучающихся.
Задачи урока:
Образовательные:
формирование понятий многогранника и его элементов, выпуклого и невыпуклого многогранника, призмы и её элементов, прямой, наклонной и правильной призмы, площади поверхности призмы.
Развивающие:
формирование умения применять математические знания к решению практических задач; развитие познавательного интереса через исследовательскую деятельность на основе умения делать обобщения по данным, полученным в результате исследования; способствование формированию умений применять приёмы сравнения, переноса знаний в новую ситуацию.
Воспитательные:
содействие воспитанию интереса к математике, активности, мобильности, умения конструктивно общаться.
Тип урока:
комбинированный.
Формы организации урока:
фронтальная, групповая, индивидуальная.
Оборудование:
компьютер, мультимедиа-проектор, компьютерная презентация, модели многогранников, изображения архитектурных сооружений, снежинки. .
Структура и ход урока
Деятельность преподавателя
Деятельность обучающихся
I. Мотивационно-ориентировочная часть
1. Актуализация.
Слово преподавателя: − В курсе стереометрии мы изучаем свойства фигур в пространстве и же рассмотрели взаимное расположение двух прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей. Однако, вы знаете, что в пространстве кроме этих простейших фигур существуют геометрические тела и их поверхности. На партах обучающихся лежат различные многоугольники и модели многогранников, в том числе тетраэдра и параллелепипеда. − Сгруппируйте данные фигуры по какому-либо признаку. Вопросы: − Как называется первая группа фигур? − Как вычисляются площади этих многоугольников? − Какие фигуры из второй группы вам известны? − Назовите основные элементы этих фигур. Выполняется задание по рисунку на
слайде 1
(на слайде изображены тетраэдр и параллелепипед). − Из данных утверждений выберите те, которые относятся: а) к тетраэдру; б) к параллелепипеду: 1. Боковые рёбра пересекаются в точке. 2. Восемь вершин. 3. Боковые грани – параллелограммы. 4. Боковые грани – треугольники. 5. Шесть граней. 6. Двенадцать рёбер. 7. Боковые рёбра параллельны. 8. Можно провести диагональ боковой грани. 9. Можно провести диагональное сечение. 10. Шесть рёбер. Обучающиеся раскладывают фигуры на две группы: многоугольники и многогранники. Обучающиеся отвечают на вопросы: − многоугольники; (записывают формулы на доске) − тетраэдр и параллелепипед; − грани, рёбра, вершины. Обучающиеся выполняют задание.
2. Мотивация.
Слово преподавателя: − Тетраэдр и параллелепипед являются многогранниками. Многие предметы имеют форму многогранников, и для того, чтобы уверенно ориентироваться в окружающей действительности, каждому из нас необходимо знать и понимать то, что существует рядом с нами в этом разнообразном мире.
3. Постановка учебной задачи.
Слово преподавателя: − Как вы думаете, что мы сегодня будем делать на уроке?
4. Планирование решения учебной задачи.
Слово преподавателя: − Да. Во второй группе находятся призма, пирамида, правильные многогранники − и мы будем выяснять, из каких элементов они состоят, где встречаются в жизни и природе, как находить их площади. Записывается тема урока: "Многогранники. Призма". Обучающиеся предполагают, что они будут изучать те фигуры из второй группы тел, которые им не известны. Обучающиеся записывают тему.
II. Ориентационно-познавательная часть
Преподаватель показывает модели различных многогранников и предлагает самостоятельно сформулировать определение. В результате обсуждения преподаватель вместе с обучающимися формулирует определение: "Поверхность, составленная из многогранников и ограничивающая некоторое геометрическое тело, называется многогранником. Тело, ограниченное многогранником, также часто называют многогранником". Слово преподавателя: − Найдите это определение в учебнике и прочитайте его (п.25, с. 58), рассмотрите рисунки. −Все многогранники имеют грани, рёбра, вершины. Что такое грани многогранника? Рёбра многогранника? Вершины многогранника? − Кроме того, существует такое понятие, как диагональ многогранника, т.е. отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани. − − Мы уже выяснили, что тетраэдр не имеет диагоналей, а в параллелепипеде они существуют. Обучающиеся дают определение многогранника. Обучающиеся читают определение. Обучающиеся отвечают на вопросы.
− Какое свойство диагоналей параллелепипеда вы знаете? − Что вы знаете о диагоналях прямоугольного параллелепипеда? − Мир многогранников очень разнообразен. Например, многогранники бывают выпуклые и невыпуклые. Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани. Преподаватель показывает обучающимся модели и просит их определить, выпуклым или невыпуклым является данный многогранник, обращает внимание обучающихся на то, что все грани выпуклого многогранника являются выпуклыми многоугольниками. − Найдите выпуклые и невыпуклые многогранники среди предметов классной обстановки, приведите примеры из жизни. − Каждая вершина многогранника является вершиной нескольких граней. Рассмотрим некоторый выпуклый многогранник и все плоские углы при какой-нибудь его вершине (используется раскладная модель). − Как вы думаете, будет ли сумма всех плоских углов при вершине равна 360°? Преподаватель с помощью развёртки данной модели демонстрирует, что сумма таких плоских углов меньше 360°. − Формы многих многогранников придумал не сам человек, их создала сама природа в виде кристаллов. Кристаллы − природные многогранники. Многие свойства кристаллов, которые изучают физика и химия, объясняются их геометрическим строением. Вот некоторые примеры кристаллов: поверхность кристалла поваренной соли − куб (модель); поверхность кристалла алмаза − октаэдр (модель); поверхность кристалла горного хрусталя напоминает отточенный с двух сторон карандаш (репродукция картины Рериха "Сокровища гор"); исландский шпат имеет форму параллелепипеда (модель). − Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. − Они равны. Обучающиеся записывают схему видов многогранников. Обучающиеся отвечают. Обучающиеся отвечают (доска, книги, спичечный коробок, гайка, гранёный карандаш; парты, стулья и т.д.) Обучающиеся отвечают.
− А такое чудо природы, как снежинка, состоит из множества кристаллов, и её поверхность является так называемым звёздчатым многогранником (рисунки). С древних лет люди пытались описать всевозможные типы снежинок, составлялись даже специальные атласы. Сейчас известны несколько тысяч различных типов снежинок. − Кстати, если рассматривать снежинку под микроскопом, то можно увидеть, что она состоит из кристаллов, поверхности которых называются призмами. Именно с призмой мы сейчас и будем знакомиться. Дальнейшая работа проводится с помощью слайдов. − Рассмотрим два равных многоугольника А 1 А 2 …А n и B 1 B 2 …B n , расположенных в параллельных плоскостях α и β так, что отрезки А 1 B 1 , А 2 B 2 , …, А n B n , соединяющие соответственные вершины многоугольников, параллельны. На
слайде 2
изображена призма А 1 А 2 … А n B 1 B 2 … B n . Вопросы: − Какими многоугольниками являются А 1 А 2 B 2 B 1 ,…, А n А 2 B 2 B n ? Почему, например, А 1 А 2 B 2 B 1 , − параллелограмм? − Сколько параллелограммов на данном рисунке, учитывая, что в параллельных плоскостях лежат n−угольники? − Такой многогранник называется призмой. Попробуйте самостоятельно дать определение призмы, продолжив фразу "Многогранник, составленный из…". Демонстрируется модель изображённой призмы. Преподаватель показывает обучающимся, как изображается призма (как изобразить 5−угольную призму), как обозначается призма: А 1 А 2 …А n B 1 B 2 …B n − n − угольная призма. Беседа с обучающимися: − Назовите основания призмы. Обучающиеся отвечают: − параллелограммами, т.к. А 1 B 1 || А 2 B 2 по свойству 1 0 параллельных плоскостей); − n параллелограммов. Обучающиеся формулируют определение ("…двух равных многоугольников А 1 А 2 …А n и B 1 B 2 … B n , расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов, называется призмой"). Обучающиеся изображают приму в тетрадях и записывают её обозначения. Обучающиеся отвечают: − многоугольники ABCDE и A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 ;
− Назовите рёбра оснований. − Назовите боковые грани. − Назовите боковые рёбра. − Какими являются между собой боковые рёбра? − Призма имеет ещё один элемент, который называется высотой призмы. Попробуйте сформулировать её определение и предположите, как она изображается (с помощью преподавателя). На основании предположений обучающихся об изображении высоты делается вывод, что высот в призме можно провести бесконечно много, но все они равны между собой. − Выпишите все элементы изображённой в ваших тетрадях призмы, изобразите высоту призмы и выпишите её. Далее преподаватель демонстрирует модели различных призм и в ходе демонстрации обращает внимание обучающихся на то, что параллелепипед тоже является призмой и что существуют различные виду призм: прямая, наклонная и правильная. Преподаватель демонстрирует модели прямой, наклонной и правильной призм и обсуждает с обучающимися сходство и различие между ними. Затем демонстрируется
слайд 3
− "Виды призм". Вопросы преподавателя: − С помощью слайда дайте определение прямой призмы, продолжив фразу "Призма называется прямой, если…" − Какими многоугольниками являются её боковые грани? − Чему равна высота прямой призмы? − С помощью слайда дайте определение наклонной призмы, продолжив фразу "Призма называется наклонной, если…" (используются модели) − С помощью слайда дайте определение правильной призмы. (используются модели) − Какими многоугольниками являются её боковые грани? − AB, BB 1 …; − A BB 1 A 1 , BCC 1 B 1 …; − AA 1 , BB 1 …; − равными и параллельными как противоположные стороны параллелограммов, последовательно приложенных друг к другу; − перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания. Изображается одна из высот призмы. Обучающиеся выписывают элементы. Обучающиеся отвечают: − её боковые рёбра перпендикулярны основаниям; − прямоугольниками; − длине бокового ребра; − её боковые рёбра не перпендикулярны основаниям; − прямая призма называется правильной, если её основания − правильные многоугольники;
Почему? (используются модели) − Запишите в тетрадях виды призм. С помощью
слайда 3
и моделей преподаватель вводит понятие прямого, наклонного и правильного параллелепипеда, показывает их изображения, обсуждает с обучающимися возможности более наглядного изображения призм; рассматриваются рисунки в учебнике (с. 59). Далее выполняется задание на узнавание: преподаватель демонстрирует фотографии архитектурных сооружений и предлагает обучающимся выбрать те из них, которые имеют форму призмы. − Любой многогранник, в том числе и призма, − это поверхность, ограничивающее некоторое геометрическое тело, а это значит, что она имеет площадь. Площадь поверхности призмы − это сумма площадей всех её граней, т.е. сумма площадей двух её равных оснований и площадей всех её боковых граней. В свою очередь, сумма площадей всех её боковых граней называется площадью боковой поверхности призмы. Тогда площадь полной поверхности призмы будет выражаться формулой:
S
полн
= S
бок
+ 2S
осн
− Так как основаниями призмы являются многоугольники, то находить их площади мы может по известным формулам, которые мы сегодня вспоминали. − Рассмотрим теперь, как можно найти площадь боковой поверхности призмы и докажем теорему о площади боковой поверхности прямой призмы. Преподаватель с использованием модели формулирует теорему: площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы. Затем демонстрирует
слайд 4
с изображением прямой призмы и делает записи на доске. Доказательство теоремы проводится в форме беседы с обучающимися. Дано: прямая n−угольная призма, а 1 , а 2 , … , а n − длины сторон основания, h − высота призмы. − равными прямоугольниками, т.к. боковые рёбра призмы равны, стороны правильных многоугольников равны. Обучающиеся записывают: "Призмы бывают прямые, наклонные и правильные". Обучающиеся выбирают. Обучающиеся записывают формулу в тетрадь.
Доказать: S бок = P осн ∙ h Доказательство: т.к. все боковые грани прямой призмы − прямоугольники, то S бок = а 1 ∙ h + а 2 ∙ h + … + а n ∙ h = = (а 1 + а 2 + … + а n ) ∙ h = P осн ∙ h. Что и требовалось доказать. Далее с учащимися проводится работа по применению новых знаний. 1. Обучающая самостоятельная работа по карточкам. Карточка выдаётся каждому обучающемуся. Надо достроить призму и выписать количество указанных элементов. 2. − Так как форму прямой призмы имеют многие окружающие нас предметы, то знание этой теоремы и её использование может помочь в некоторых жизненных ситуациях. Например, один зритель программы "Школа Ремонта" задал такой вопрос: как рассчитать, сколько потребуется литров краски на стены в комнате? Ответ прораба: длину каждой стены умножаем на высоту, складываем все суммы, получаем общую сумму стен, включая двери и окна. Чтобы вычислить общую сумму дверей и окон, высоту каждого окна умножаем на ширину, высоту каждой двери в комнате умножаем на ширину, складываем полученные суммы. Из общей площади стен вычитаем площадь дверей и окон и получаем фактическую площадь для покраски. Далее смотрим на упаковке краски расход на квадратный метр и вычисляем необходимое количество краски. − Какие вычисления можно произвести более рационально, учитывая, что комната имеет форму прямой призмы, а чаще − прямоугольного параллелепипеда? 3. Практическая работа. Проводится взаимопроверка путём обмена карточками сидящих за одной партой. Каждый выставляет соседу оценку, карточки сдаются преподавателю. Обучающиеся отвечают (можно измерить длину каждой стены, найти периметр комнаты и умножить его на высоту комнаты).
Практическая работа
Может быть, кто-то из вас помнит, что раньше молоко продавали в пакетах, имеющих форму правильного тетраэдра. Сейчас молоко выпускают в пакетах, имеющих форму прямоугольного параллелепипеда. В чём причина, почему перешли к другой упаковке? Сейчас мы с вами выполним практическую работу и постараемся ответить на этот вопрос. Будем работать в группах по 4 человека. Каждая группа получает пакет (модель правильного тетраэдра или прямоугольного параллелепипеда), а каждый ученик − лист с планом работы и таблицей. Ваша задача − определить количество картона, которое идёт на изготовление тетрапакетов разной формы.
Порядок выполнения работы:
1.
Фронтальная работа:
определение способов вычисления площади полной поверхности каждого пакета. 2.
Групповая работа:
измерить размеры пакет и занести их в таблицу. 3.
Индивидуальная работа:
сделать необходимые вычисления и занести из в таблицу. 4.
Вывод.
1. Вычислим S п.п тетрапакета, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда.
Основание
Высота
Площадь
основания
Периметр
основания
Площадь
боковой
поверхности
Площадь
полной
поверхности
Длина а (см) Ширина в (см) Н (см) S осн. (см²) Р осн . (см) S бок. S п.п. Вывод: на изготовление одного пакета, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, необходимо 458,78 см². 2. Вычислим S п.п тетрапакета, имеющего форму правильного тетраэдра.
Стороны грани
Полупериметр
грани
Площадь одной
грани
Периметр
основания
Площадь полной
поверхности
а (см) в (см) с (см) р = Р/2 (см) S осн. (см²) S грани (см²) S п.п. (см²) Вывод: на изготовление одного пакета, имеющего форму правильного тетраэдра, необходимо 465,84 см². Вместе: Найдём, сколько картона завод экономит на одном пакете (9,06 см²). Если завод выпускает 1000 таких пакетов, то в день он экономит 9060 см² картона. Итак, экономически более выгоден пакет, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда.
III. Рефлексивно-оценочная часть
Слово преподавателя: − Итак, сегодня вы познакомились с различными вилами
многогранников и более подробно рассмотрели один из них − призму; убедились в том, что эти знания расширяют наши представления об окружающем мире, используются в различных жизненных ситуациях. − С какими трудностями вы столкнулись сегодня на уроке? − Какие были ошибки и как их можно предотвратить? − Чему вы научились на уроке? − Пригодятся ли вам в вашей жизни знания по теме "Многогранники"? Преподаватель отмечает наиболее активных обучающихся и выставляет им оценки (по желанию).
Домашнее задание:
Задача: сколько краски потребуется для окраски панелей высотой 2,2 м, если размеры комнаты 6 м на 8 м. Расход краски на 1м − 200 г. П. 27, 30. №219. Индивидуальные задания по выбору: изготовить модели различных видов призм; подготовить презентации по темам "Из истории многогранников", "Многогранники в природе", "Многогранники в архитектуре Нижнего Новгорода"; составить кластеры на темы "Призма", "Параллелепипед". Обучающиеся отвечают на вопросы. Обучающиеся записывают домашнее задание.
В раздел основное полное образование