"Школьные олимпиадные задания по математике 11 класс"
методическая разработка
Автор: Павловская Валентина Сергеевна, учитель математики, МБОУ Красносельская СОШ, с. Красное, Выгоничский район, Брянская область
В раздел основное полное образование
Школьные олимпиадные задания по математике 11 класс.
11.1.
Постройте график функции у = √ tg х ∙ √ ctg х
11.2.
АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 – куб с ребром 2 см. Паук находится в центре грани АВА 1 В 1 . Какую наименьшую длину может иметь путь паука по поверхности куба в вершину С?
11.3
. Найти все решения уравнения: х 2 + 5 у 2 + 4ху + 2у + 1 = 0
11. 4.
Что больше: √ 2010 + √ 2012 или 2 √ 2011 ?
11.5.
На столе белой стороной кверху лежали 100 карточек, у каждой из которых одна сторона белая, а другая черная. Миша перевернул 50 карточек, затем Ваня перевернул 60 карточек, а после этого Петя – 70 карточек. Оказалось, что в результате все 100 карточек лежат черной стороной вверх. Сколько карточек было перевернуто трижды?
11 класс.
Решения.
11.1.
Постройте график функции у = √ tg х ∙ √ ctg х
11.1.
Ответ: у = √ tg х ∙ √ ctg х = √ tg х ∙ ctg х у=1, где х ≠ π 2 ∙ n, n ϵ Z. Учитывая область определения: tg х ≥ 0 ctg х ≥ 0 х ϵ (π n ; π 2 + π n) n ϵ Z, построим график
11.2.
АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 – куб с ребром 2 см. Паук находится в центре грани АВА 1 В 1 . Какую наименьшую длину может иметь путь паука по поверхности куба в вершину С?
11.2
.Ответ: √ 10 см. рис. Кратчайшее расстояние – отрезок СО. По теореме Пифагора находим: √ 3 2 + 1 2 = √ 10
11.3
. Найти все решения уравнения: х 2 + 5 у 2 + 4ху + 2у + 1 = 0
11.3.
Ответ: (2; -1) Преобразуем данное уравнение к виду ( х + 2 у ) 2
+
( у + 1 ) 2
=
0. Сумма квадратов равна нулю в том случае, если квадрат каждого выражения равен нулю. Получаем: ( у + 1 ) 2 = 0 и ( х + 2 у ) 2 = 0 у + 1 =0 х + 2 у = 0 у = - 1 х = - 2 у х = 2 Его решением будет пара (2; -1)
11. 4.
Что больше: √ 2010 + √ 2012 или 2 √ 2011 ?
11. 4.
Ответ:
2 √ 2011 > √ 2010 + √ 2012 : √ 2010 + √ 2012 -2 √ 2011 = ( √ 2012 - √ 2011 ¿ - ( √ 2011 - √ 2010 ) = 1 √ 2012 + √ 2011 - 1 √ 2011 + √ 2010 = √ 2011 + √ 2010 − √ 2012 − √ 2011 ( √ 2012 + √ 2011 )( √ 2011 + √ 2010 ) = √ 2010 − √ 2012 ( √ 2012 + √ 2011 )( √ 2011 + √ 2010 ) <0 . Следовательно 2 √ 2011 > √ 2010 + √ 2012
11.5.
На столе белой стороной кверху лежали 100 карточек, у каждой из которых одна сторона белая, а другая черная. Миша перевернул 50 карточек, затем Ваня перевернул 60 карточек, а после этого Петя – 70 карточек. Оказалось, что в результате все 100 карточек лежат черной стороной вверх. Сколько карточек было перевернуто трижды?
11.5.
Ответ.
40.
Решение.
Так как все карточки в итоге оказались перевернуты, то каждую из них переворачивали либо 1 раз, либо 3 раза. Всего было сделано 180 переворачиваний: 100 из них потребовалось, чтобы перевернуть каждую карточку 1 раз; остальные 80 – чтобы какие-то карточки перевернуть еще по 2 раза. Значит, по 3 раза перевернули 40 карточек.
В раздел основное полное образование