"Очерки по истории математики"
учебное пособие
Автор: Сафонова Ольга Александровна, преподаватель, Железнодорожный техникум Нижегородского филиала МИИТ, город Нижний Новгород, Нижегородская область
В раздел среднее профессиональное образование
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО
ТРАНСПОРТА
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
"МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ
СООБЩЕНИЯ» (МГУПС (МИИТ))
НИЖЕГОРОДСКИЙ ФИЛИАЛ МИИТ
Учебное пособие
по теме
: Очерки по истории математики
по дисциплине
: Математика: алгебра и начала математического анализа Работу составила: преподаватель высшей квалификационной категории Сафонова О.А. Нижний Новгород 2016 г.
ОДОБРЕНО Цикловой комиссией общеобразовательных дисциплин Протокол № От «____»____________2016 г. Председатель комиссии ________________ Захарова Н.А. Учебное пособие. Нижегородский Филиал МИИТ Н.Новгород, 2016 г. - 36 стр. Составитель: преподаватель Сафонова О.А. Настоящее учебное пособие представляет собой исторический материал по основным темам базового курса математики: уравнения, логарифмы и степенные функции, тригонометрия, дифференциальное и интегральное исчисление. Введение исторического материала предлагается осуществлять в виде дополнительных сообщений на уроках математики. Связь современной математики с ее историей позволит заинтересовать студентов младших курсов и облегчит понимание материала. Материал, изложенный в данной работе, может быть также использован как основа для докладов на студенческих конференциях, математических викторинах и других тематических внеклассных мероприятиях. 2
Тема: Уравнения
Уравнения первой степени
Решение задач методом составления уравнения зародилась давно. Еще 4000 лет назад в Древнем Египте решали задачи способом, который очень напоминает составление уравнения. Недостатком всей математики древних было отсутствие единой математической символики. Этот недостаток затруднял действия, мешал их наглядности. Поэтому и условие, и решение любой задачи проводилось полностью в словесной форме. Правда, у древних египтян были некоторые условные сокращения. Лучшим свидетельством развития математики в Древнем Египте является папирус Ринда, представляющий собой сборник 87 простейших арифметических, геометрических и алгебраических задач. Неизвестное, как полагают, египтяне называли «куча». Так, в этом папирусе уравнение 2 3 x + x 2 + x 7 + x = 33 записано в такой форме: «куча, 2 3 ее , 1 2 ее и 1 7 ее составляют 33 ».
Математический папирус Ринда, написанный Ахмесом
Отсутствие единой формы записи уравнений задерживало создание общих правил их решения. Первым, кто дал наиболее полное изложение способов решения уравнений, был узбекский ученый Мухаммад ибн Муса аль - Хорезми. Свою книгу об исчислении алгебры и аль-мукабалы («Китаб мухтасаб аль-джабр и ва-ль-мукабала») он целиком посвятил составлению уравнений по условиям задачи и решению этих уравнений. 3
Абу Абдаллах (или Абу Джафар) Мухаммад ибн Муса ал
Хорезм
и (783 - 850)
Абу Абдаллах (или Абу Джафар) Мухаммад ибн Муса ал Хорезми - среднеазиатский математик
,
астроном
,
историк
,
географ
-
один из крупнейших ученых средневековья
.
Из дошедшей до наших дней обрывочной информации известно, что Мухаммад аль-Хорезми родился в окрестностях Бухары в деревне Рамл в конце 8 века. В некоторых источниках того времени, к его имени добавляют определение «ал-маджуси» («маг»), из чего можно сделать вывод, что предками ученого вероятнее всего были зороастрийские маги и жрецы, представители высшей касты древнего духовенства. Из имеющихся сведений следует, что в 809 году ал-Хорезми служил при дворе хорезмшаха аль-Мамуна, а в 819 г., сопровождая просвещенного правителя, ставшего к тому времени халифом, перебрался в Багдад – столицу арабского халифата, где и прожил в предместье Каттраббула до конца жизни. В Багдаде ученый по указу халифа аль-Мамуна берет на себя бразды правления знаменитым в те годы «Домом Мудрости», который позже назовут «Академией аль-Мамуна». По сути, «Дом Мудрости» действительно был Академией Наук. Там работали многие ученые из различных регионов Средней Азии и арабского Востока, в их распоряжении была богатейшая библиотека старинных рукописей, а так же большая, специально построенная обсерватория. Именно в стенах этого храма науки были написаны основные. 4
Доподлинно известно, что ученый был автором 20 научных трудов, 9 из которых оформились в полноценные фолианты: «Книга об индийском счете», «Краткая книга об исчислении алгебры и алмукабалы», «Астрономические таблицы» (зидж), «Книга о построении астролябии», «Книга картины Земли», «Книга о действиях с помощью астролябии», «Книга о солнечных часах», «Книга истории», «Трактат об определении эры евреев и их праздниках». Однако, до наших дней дошло всего 7 книг. Чаще всего это переводы его работ на латынь, реже, комментарии к научным трудам аль-Бируни арабских ученых, и уж совсем мало уцелевших оригинальных рукописей. Трудно переоценить значение этих работ для развития научной мысли средневековья. Например, его труды по арифметике, изложенные в «Книге об индийском счете» привели к грандиозным последствиям в науке вообще и древней математике в частности. И хотя оригинальный текст документа утерян, сохранилась копия XII века, переведенная на латинский язык, из которой становится ясно, что в этом труде гениальный ученый впервые дал систематизированное изложение арифметики, как науки, основанной на десятичной системе исчисления. В первое время алгебру понимали как науку об уравнениях, впоследствии же этот взгляд несколько изменился. Около 2500 лет назад в Греции уже умели довольно хорошо решать уравнения с одним неизвестным и систему уравнений с несколькими неизвестными. Независимо от греков этими приемами овладели и китайцы, и индийцы. Вот несколько старинных задач.
Задача в стихах из «Греческой Антологии»:
- Скажи мне, знаменитый Пифагор, сколько учеников посещают твою школу и слушают твои беседы? - Вот сколько, - ответил философ, - половина изучает математику, четверть - музыку, седьмая часть пребывает в молчании и, кроме того есть еще три женщины.
Древняя китайская задача
В клетке находится неизвестное число фазанов и кроликов. Известно только, что вся клетка содержит 35 голов 94 ноги. Требуется узнать число фазанов и число кроликов.
Древняя индусская задача
Два лица имеют равные капиталы, причем каждый состоит из известного числа вещей одинаковой ценности и известного числа монет. Но как число вещей, так и суммы денег у каждого различны. Какова ценность вещи? 5
Квадратные уравнения
Геометрические задачи о квадратах, прямоугольниках, треугольниках и других фигурах привели к развитию теории квадратных уравнений. Уже в 2000 г. до н. э. в Вавилоне умели решать уравнения вида x 2 + x = 3 4 . Пример реальной задачи, которая приводит к этому уравнению. Можно сформулировать так: «Если площадь прямоугольника равна 1, а периметр равен 4, найти стороны прямоугольника…» На найденных в Сузах табличках, например, сравниваются площади и квадраты длин сторон 3-, 4-, 5-, 6-, и 7- сторонних правильных многоугольников. Примерно в 628 г. до н. э. индийский математик Брахмагупта решил уравнение x 2 − 10 x =− 9 , описав также метод решения такого рода уравнений.
Уравнения третьей степени
В общем случае задача об уравнениях третьей степени была решена лишь в эпоху Возрождения. В ХVI в. итальянский математик – самоучка Никколо Фонтана, известный под именем Тарталья, получил общие формулы решения такого рода задач и даже описал это решение в стихах. Тарталья рассказал о своем достижении Джероламо Кардано, другому итальянскому математику, который обещал не разглашать открытие, но опубликовал решение под собственным именем, вызвав серьезный скандал в научный кругах.
Никколо Тарталья (1499 - 1557)
Крупнейший математик эпохи Возрождения Никколо Тарталья 6
прославился блестящей победой на математическом диспуте в 1535 году. В тот день за 2 часа он решил 30 уравнений вида x 3 + mx 2 = n и x 3 + ax = b (до этого считалось, что такие уравнения невозможно решить общей формулой). «Я приложил все свое рвение, усердие и уменье, чтобы найти правило для решения кубических уравнений, и, благодаря благосклонной судьбе, мне удалось это сделать за 8 дней до поединка». Все же, думается, главная победа Тартальи состояла в ином. В том, что заикающийся мальчишка, который не мог учиться в школе из-за отсутствия денег, который рос без отца, погибшего при обороне родного города Брешиа, самостоятельно изучил математику, итальянский, латынь, греческий. В том, что самоучка Тарталья вырвался из цепких лап нищеты и безграмотности. Когда на заборах, камнях и даже могильных плитах кладбища Никколо царапал формулы, сосредоточенно вычисляя что-то, прохожие посмеивались и даже крутили пальцем у виска — совсем, мол, спятил парень. Насмешки улетучились, когда «этот парень» сначала стал учителем арифметики, затем преподавателем математики в университетах Вероны и Венеции. Инженеры венецианского арсенала высоко ценили Тарталью как специалиста в вопросах баллистики (он показал, что наибольшая дальность полета снаряда достигается при угле 45° наклона ствола орудия). Так что Тарталья выиграл свой главный поединок, сотворив себя сам. Пусть по сей день ведутся жесточайшие споры: кто автор формулы Кардано? Сам ли Кардано? Или Тарталья, поведавший ее Кардано в зашифрованном виде? А может быть, профессор Болонского университета Сципион дель Ферро? (Есть серьезные основания так полагать!..) Не беда, что свой последний математический диспут заикающийся немолодой Тарталья проиграл юному красноречивому ученику Кардано. Так или иначе, именно Тарталья вместе с Кардано и тем самым его учеником Феррари проложили главную тропу на пути, по которому в дальнейшем стала развиваться алгебра!..
Уравнения четвертой степени
Ученик Кардано, математик Лодовико Феррари (1522 – 1565), получил общие формулы для корней уравнений четвертой степени, основанные на формулах решений уравнений второй и третьей степени.
Уравнения высших степеней
После получения формул для решения уравнений вплоть до четвертой степени с использованием арифметических операций и корней казалось возможным описать общее решение уравнений любой степени n. Паоло Руффини (1765 – 1822) из итальянского города Валентано вывел правило, носящее теперь его имя и позволяющее проверить, является ли 7
число решением полиномиального уравнения. Годы спустя, используя результаты своих предшественников, таких как Эйлер, Лагранж и Руффини, норвежский математик Нильс Хенрик Абель (1802 – 1829) и французский математик Эварист Галуа (1811 – 1832) доказали, что, начиная со степени n=5, невозможно найти арифметические формулы для решений уравнений в общем случае.
Тема: Логарифмы
Логарифмы были придуманы для ускорения и упрощения вычислений. Бурное развитие науки, техники и мореплавания в эпоху Возрождения, быстрое развитие астрономии, уточнение астрономических наблюдений и усложнение арифметических выкладок требовали новых способов вычислений, которые позволили бы сделать их доступными более широкому кругу людей. К концу XVI в. астрономы пользовались 10-значными таблицами тригонометрических функций. Вычисления с 10-значными числами отнимали много времени и не всякому были под силу. Нужен был способ ускорить вычисления. Этим способом явились логарифмы. Логарифмы были изобретены одновременно и независимо друг от друга шотландским ученым Джоном Непером и швейцарцем Йостом Бюрги . Первым опубликовал работу Непер в 1614г., теория логарифмов была дана в достаточно полном объеме. Бюрги работал над таблицами одновременно с Непером, но долгое время держал их в секрете и опубликовал лишь в 1620г.
Джон Непер (1550 - 1617) Йост Бюрги (1552 - 1632)
Джон Непер родился в 1550г. в замке Мерчистон близ Эдинбурга в Шотландии. Он был сыном аристократа Арчибальда Непера, и жизнь его проходила в очень комфортных условиях. Джон изучал теологию в Сент- Эндрюсском университете. Его интерес к математике проявился во время долгого путешествия по Европе. Возвратившись в Шотландию, он два года посвятил строительству замка в Гартнесс. Непер много времени проводил в 8
этом замке, именно в этот период погрузившись в таинственные занятия математикой. Когда Непер изредка появлялся на публике, он был одет во все черное и носил на плече черного петуха. Его эксцентричность принесла ему репутацию чародея, которая только подтверждалась демонстрацией его математических навыков. Непер интересовался нумерологией и астрологией. Второе увлечение привело его к исследованию свойств геометрических фигур на сферической поверхности, и в результате он получил важные соотношения для сферических треугольников. Тем не менее для Непера один вопрос был намного важнее всех остальных. В те дни численные расчеты были очень утомительными. Непер изобрел устройство для быстрого умножения и деления, состоящее из стержней с квадратным сечением и доски для умножения. Устройство Непера, предшественник логарифмической линейки, использовался в Шотландии более 100 лет.
Одна из первых моделей счета Непера, известных как «костяшки
Непера», применявшихся для быстрого умножения и деления
Непер позднее усовершенствовал этот инструмент, заменив стержни карточками. Которые позволяли умножать большие числа. Эти карточки были прообразом знаменитых перфокарт, которые появились более чем четыре века спустя вместе с первыми компьютерами IBM. Однако важнейшим достижением Непера с точки зрения математики являются логарифмы – гениальный способ вычислений, который он опубликовал в 1614г. под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов». Непер был заинтересован в упрощении вычислений в сферической тригонометрии и впервые применил логарифмы для тригонометрических функций. Его метод был «кинематическим», то есть он рассматривал два отрезка, пробегаемых с разной скоростью. Слово «логарифм», впервые использованное самим Непером, означает «числа отношений» в смысле отношений между разными отрезками. Непер работал с логарифмами по основанию 10 7 . Что было не особенно 9
практично. Кроме того ему не удалось установить, что логарифм числа 1 равен нулю. Генри Бригс заведующий кафедрой геометрии Оксфордского университета, заинтересовался логарифмами Непера, написал ему и предложил встретиться. Летом 1615 г. Бригс прехал к Неперу в Замок Мерчистон, где они обсудили возможность использования числа 10 в качестве основания логарифма и соотношение lg 1 = 0 . Непер, который был болен в то время, отказался составлять новую версию своих логарифмических таблиц. Через два года Непер умер, и Бригс сформулировал определение десятичных логарифмов, так называемых «логарифмов Бригса».
Генри Бригс (1561 - 1632)
Первые таблицы на русском языке были изданы в 1703 г. при участии замечательного педагога XVIII в. Леонтия Филипповича Магницкого.
Леонтий Филиппович Магницкий — русский математик, педагог. Преподаватель
математики в Школе математических и навигацких наук в Москве, автор первого в
России учебного справочника по математике.
В развитие теории логарифмов большое значение имели работы Леонарда Эйлера (1707 – 1783). Он детально исследовал логарифмическую функцию при действительном и комплексном аргументе. Он первым стал рассматривать логарифмирование как действие, обратное возведению в степень, он ввел в употребление термины «основание логарифма» и «мантисса». 10
Тема: Обобщение понятия о показателе степени
Понятие степени
Понятие степени является одним из самых важных в современной математике. Трудно найти область математики, которая сумела бы обойтись без применения степеней. До XVI в. на нахождение корня и степени смотрели, как на два совершенно независимых действия. Но в XVI в. фламандский ученый Симон Стевин предложил понимать n √ a как степень числа ,, a » c дробным показателем, т.е. n √ a = a 1 n Это дало возможность смотреть на корень как на дробную степень числа, дало возможность выражать степень в виде корня, а корень в виде степени.
Симон Стевин (1548 - 1620)
Подробности о жизни Стевина до нас не дошли. Он начинал как купец из Брюгге, участвовал в голландской революции. Не установлены точные даты его рождения и смерти, неясно даже, в каком городе он умер (то ли Гаага, то ли Лейден). Известно, что он много путешествовал по торговым делам, затем некоторое время был личным советником принца Морица 11
Оранского. Симон Стевин стал известен прежде всего своей книгой «Десятая» изданной на фламандском и французском языках в 1585 г. Именно после неё в Европе началось широкое использование десятичных дробей. Он же доказал закон равновесия тела на наклонной плоскости, исходя из невозможности вечного двигателя. Стевин сформулировал правило векторного сложения сил — правда, только для частного случая перпендикулярных сил. Помимо всего перечисленного, Стевин писал труды по механике, геометрии, изобрёл двойную бухгалтерскую регистрацию (дебет/кредит).
Нулевой показатель
Степени с дробными показателями впервые встречаются в сочинении французского математика XIV в. Николая Оресма ,,Aлгоризм пропорций”. В этом сочинении он обнаруживает правильное понимание сущности дробного показателя, дает правила действия с ними, пользуется специальным обозначением для степеней. Например, число 4 1 1 2 он записывает так : [ 1 P 1 2 ] 4.
Николай Орем (род. около 1323г. - умер в 1382)
Николай Орем, или Николай Орезмский — французский философ, натурфилософ, математик, механик, астроном, теолог. Его научные труды 12
оказали влияние на Николая Кузанского, Коперника, Галилея и Декарта. В 1348 г. Николай Орем впервые упоминается в документах Парижского университета в качестве члена нормандской университетской корпорации и магистра факультета искусств. В пятидесятых годах, вплоть до 1361 года, он преподает в Наваррской коллегии. К нему благосклонно относилась королевская семья, Николай Орем стал воспитателем дофина, будущего короля Франции Карла V. К его трудам относятся: «Вычисление пропорций». В этой работе он впервые использовал степени с дробными показателями и фактически вплотную подошёл к идее логарифмов. В «Вопросах по геометрии Евклида» помимо геометрических вопросов, Орем исследует бесконечные ряды и прогрессии, приводит остроумное доказательство расходимости гармонического ряда. «Трактат о конфигурации» качеств содержит первые примеры геометрической фигуры, имеющей бесконечную протяжённость, но тем не менее конечную площадь. Через 100 лет ученый Шюке независимо от Оресма также приходит к мысли о дробных показателях. В одном из своих сочинений Шюке(1484) впервые пользуетя нулевым и отрицательным показателем.
Страница из рукописи «Науки о числах»
Никола Шюке
(
1445-около 1488) французский математик, оказавший влияние на развитие алгебры. Наиболее известен вводом в общее употребление названий больших чисел: биллион, триллион. Детали жизни Шюке неизвестны, не удалось выяснить даже точные годы его жизни. Родился он в Париже, получил в Парижском университете учёной степени бакалавра медицины. В начале 1470-х годов уехал в Италию, где начал писать трактат по геометрии. Около 1480 года переселился в Лион, где работал преподавателем математики и переписчиком книг. Известно, что он также переводил на французский язык латинские сочинения, в частности, «Трактат о сфере» Николая Орема. В 1484 году Шюке написал 13
обстоятельный алгебраический трактат «Наука о числах в трёх частях». Кроме общей арифметики и правил вычисления корней, трактат содержит учение об уравнениях и сборник задач. В этом же трактате Шюке уверенно использовал в промежуточных вычислениях отрицательные числа, свойствами и техникой операций с которыми он вполне овладел. Но первым кто сознательно принимал a 0 = 1, был узбекский ученый XV в. Гиясседдин ал-Каши
Гияс-ад-дин Джамшид ибн Масуд аль-Каши (1380 - 1429
)
Гияс-ад-дин Джамшид ибн Масуд аль-Каши - один из крупнейших математиков и астрономов XV века, сотрудник Улугбека, один из руководителей Самаркандской обсерватории. Опубликовал первое систематическое изложение теории десятичных дробей. Родился в Иране. Нашёл покровителя в лице царственного принца и учёного Улугбека (1393– 1449), внука тюркского завоевателя Тамерлана (Тимура). Когда Улугбек построил обсерваторию в Самарканде (1428), он собрал там группу учёных математиков и астрономов, и аль-Каши оказался в их числе. В трактате «Об окружности» число Пи он вычислил с точностью до 16 десятичного знака после запятой (ни один математик не достиг такой точности вплоть до конца XVI в.). В трактате «Ключ арифметики» впервые систематически изложил теорию десятичных дробей: вводит понятие десятичные дроби (о которых он узнал от китайцев), формулирует основные правила действия с ними и приводит способы перевода шестидесятеричных дробей, которыми пользовались в его время, в десятичные и обратно. 14
После Шюке немецкий математик Михаил Штифель уже широко пользуется дробными, нулевыми и отрицательными показателями
Михаил Штифель (1486 - 1567)
Штифель вырос в богатой семье. Он учился в Виттенбергском университете, где получил звание магистра. В 1511 году Штифель постригся в монахи, проживал в августинском Эсслингенском монастыре. Вскоре началась Реформация, и Штифель стал на сторону Лютера. Его поэма вызвала скандал, и Штифель вынужден был бежать во Франкфурт- на-Майне. В этот период Штифель занялся нумерологическим исследованием Библии. С 1535 по 1547 год Штифель был протестантским пастором в Хольцдорфе. К этому периоду относятся его главные труды в области математики. Штифель оставил заметный след в развитии алгебры. В его главном труде Arithmetica integra (Нюрнберг, 1544) он дал содержательную теорию отрицательных чисел, возведения в степень, различных прогрессий и других последовательностей. Штифель впервые использовал понятия «корень» и «показатель степени» причём подробно анализировал и целые, и дробные показатели. Опубликовал правило образования биномиальных коэффициентов и составил их таблицы до 18-й 15
степени. Штифель переработал книгу алгебраиста Кристофа Рудольфа, и использованные там современные обозначения арифметических операций с этого момента укоренились в математике (1553). В этой же книге он впервые высказал идею, которая позже легла в основу теории логарифмов, и поэтому считается одним из их изобретателей: сопоставить геометрическую и арифметическую прогрессии, благодаря чему трудоёмкое умножение на второй шкале можно заменить простым сложением на первой. Штифель, однако, не опубликовал никаких расчётных таблиц для реализации своей идеи, и слава первооткрывателя логарифмов досталась Неперу.
Тема: Тригонометрия
Слово «тригонометрия» составилось из двух греческих слов: «тригон»– треугольник и «мейтран»– измерять. В буквальном смысле «тригонометрия» означает «измерение треугольников». Как и всякая наука, тригонометрия возникла из потребностей жизни. Развитие мореплавания требовало умения определять положение корабля в открытом море по солнцу и звездам. Повседневная жизнь становилась немыслима без календаря. Все это привело к необходимости развивать астрономию – науку о движении небесных светил, а развитие астрономии было не мыслимо без развития тригонометрии. Астрономия, а вместе с ней и тригонометрия возникли и развивались у народов с развитой торговлей с сельским хозяйством: у вавилонян, греков, индийцев, китайцев. Зародилась она много веков назад. Указывается, что в одной китайской рукописи, написанной около 2637 г. до н.э., имеются сведения по астрономии и применяются вычисления тригонометрического характера. Вавилоняне уже в начале третьего тысячелетия до н.э. имели календарь с делением года на 12 месяцев. Значит, они умели определять положение солнца и звезд на небесном своде, т. е. владели кое – какими познаниями тригонометрического характера. Большое значение для развития тригонометрии в ранний период ее развития имели труды греческих ученых. В середине II в. до н. э. греческий астроном и математик Гиппарх из Никеи составил первые таблицы, выражающие длину хорды для различных центральных углов в круге постоянного радиуса. Таблицы Гиппарха были долгое время основным руководством для вычисления углов. К сожелению, до нас они не дошли (12 книг). Об этих таблицах мы знаем из сочинений другого греческого ученого Клавдия Птолемея, жившего во II в. в. э. 16
.
Гиппарх Никейский (ок. 190 до н. э. - ок. 120 до н. э.)
Гиппарх Никейский
-
древнегреческий астроном, механик, географ и математик II века до н. э., часто называемый величайшим астрономом античности. Главной заслугой Гиппарха считается то, что он привнёс в греческие геометрические модели движения небесных тел предсказательную точность астрономии Древнего Вавилона. Гиппарх родился в Никее (в настоящее время Изник, Турция). Большую часть жизни проработал на острове Родос, где он, вероятно, и скончался. Его первое и последнее астрономические наблюдения датируются, соответственно, 162 и 127 гг. до н. э. Предполагается, что он был в контакте с астрономами Александрии и Вавилона, но неизвестно, посещал ли он эти научные центры лично. Основными источниками информации о его трудах являются «Математическое собрание» Паппа, «География» Страбона и «Альмагест» Птолемея; последний оставил следующую характеристику Гиппарха: «муж трудолюбец и поклонник истины». Из собственных сочинений Гиппарха до нас дошло только одно — «Комментарий к феноменам Евдокса и Арата» в трёх книгах. В трактате содержится критический комментарий к описаниям положений звёзд и созвездий на небе в популярной астрономической поэме Арата, основанной на наблюдениях Евдокса. Кроме того, в сочинении приводится множество численных данных о восходах и заходах многих звёзд и отдельные их координаты. Исследование этих сведений показывает их тесную связь со звёздным каталогом в «Альмагесте» Птолемея. 17
Клавдий Птолемей (ок. 100 - ок. 170 до н. э.)
Клавдий Птолемей - позднеэллинистический астроном, астролог, математик, механик, оптик, теоретик музыки и географ, жил и работал в Александрии Египетской (достоверно — в период 127—151 гг.), где проводил астрономические наблюдения. Автор классической античной монографии «Альмагест», которая стала итогом развития античной небесной механики и содержала практически полное собрание астрономических знаний Греции и Ближнего Востока того времени. Оставил глубокий след и в других областях науки — в оптике, географии, математике, а также в астрологии. Клавдий Птолемей — одна из крупнейших фигур эллинизма. В астрономии Птолемею не было равных на протяжении целого тысячелетия. История довольно странным образом обошлась с личностью и трудами Птолемея. О его жизни и деятельности нет никаких упоминаний у современных ему авторов. В исторических работах первых веков нашей эры Клавдий Птолемей иногда связывался с династией Птолемеев, но современные историки полагают это ошибкой. Главным источником сведений о жизни Птолемея являются его собственные работы, которые выстраиваются в хронологической последовательности по перекрестным ссылкам. Отрывочные биографические сведения позднеантичных и византийских авторов не являются надежными, хотя сообщение Феодора Мелитениота (XIV в.) о происхождении Птолемея из Птолемаиды Гермиевой в Верхнем Египте заслуживает внимания. Широкая эрудиция Птолемея и активное использование работ предшественников, вероятно, обусловлено активным использованием им ресурсов Александрийской библиотеки. Птолемей составил таблицу хорд через полградуса от 0 до 180 0 . Свою таблицу он составлял в шестидесятеричной системе счисления. Длину радиуса он принимал за 60 единиц, длину хорды выражал в целых единицах, шестидесятых долях единиц, которые он называл partes minutae primae, т. е. 18
первые малые доли и в шестидесятых долях минуты, которые он называл dartes minute secunde, т. е. вторые малые доли. Отсюда и произошли наши названия – минуты и секунды.
Тригонометрия в Индии и Средней Азии
Греческие ученые составляли таблицы хорд. Мы с вами сейчас вместо этого пользуемся таблицами половин хорд (линий синусов). Использование половины хорды было предложено учеными Индии. Это был важный шаг в развитии тригонометрии. Индийцы составили таблицы весьма большой степени точности. По тому времени это были самые точные в мире таблицы. В трудах индийских ученых тригонометрия не стала самостоятельной наукой, зато техника тригонометрических вычислений в Индии получила очень большое развитие. Свои тригонометрические вычисления они ограничивали решением прямоугольных треугольников. В IX- XV вв. на развитие тригонометрии большое влияние оказали народы, населявшие территории теперешних наших среднеазиатских республик, Закавказья, Ирана, Афганистана и Сирии. Ал – Хорезми уточнил индийские таблицы тригонометрических величин, было введено понятие линии тангенса.
Ал – Хорезми (ок. 783 - ок. 850)
19
Аб-ль-Вефа (10 июня 940 - 998)
Аб-ль-Вефа составил таблицы синусов через каждые 10 ' . В своих вычислениях он пользовался величинами, обратными синусу и косинусу, т. е. тем, что мы теперь называем секансом и косекансом. Венцом достижений среднеазиатских ученых в области прямолинейной тригонометрии можно считать отделение тригонометрии от астрономии, выделение ее в самостоятельное науку. Главная заслуга в этом принадлежит азербайджанскому ученому Насирэддину Туси. 20
Насирэддину Туси(1201 – 1274)
Насирэддину Туси - персидский математик, механик и астроном XIII века, ученик Камал ад-Дина ибн Юниса, чрезвычайно разносторонний учёный, автор сочинений по философии, географии, музыке, оптике, медицине, минералогии. Был знатоком греческой науки, комментировал труды Евклида, Архимеда, Автолика, Феодосия, Менелая, Аполлония, Аристарха, Гипсикла, Птолемея. Насир ад-Дин Туси родился в городе Тус области Хорасан в 1201 году. Там же в раннем возрасте он начал учёбу, изучив Коран, хадисы, шиитскую юриспруденцию, логику, философию, математику, медицину и астрономию. Позже продолжил обучение астрономии и математике в Мосуле у Камал ад-Дина ибн Юниса. Первый период деятельности ат-Туси связан с Кухистаном, где ему покровительствовал наместник халифа. Позже учёный впал в немилость и с 1235 года жил в крепости Аламут, резиденции главы государства исмаилитов-низаритов. Ат-Туси возглавлял промонгольскую партию и был причастен к сдаче Аламута монголам в 1256 году. Царевич, а впоследствии ильхан, Хулагу осыпал ат-Туси милостями и сделал своим придворным астрологом. В 1258 году ат-Туси участвовал в походе Хулагу на Багдад и вёл переговоры с халифом о капитуляции. В течение многих лет ат-Туси был советником Хулагу по финансовым вопросам; он разработал проект налоговой реформы, осуществлённый одним из преемников ильхана. Среди математических трудов Туси особенно значителен «Трактат о полном четырёхстороннике» В его труде « Шаклун – Гита»мы впервые встречаем доказательство теоремы синусов и теоремы тангенсов. У него имеются понятия: «синус дуги “ (то что мы называем линией синуса), «косинус дуги»( синус дуги, дополнительной до четверти окружности) и понятия, соответствующие нашим «тангенс дуги», «секанс дуги», «косеканс дуги”. В составлении тригонометрических таблиц выдающихся успехов достиг узбекский ученый в г. Самарканде ал - Каши. Он вычислил таблицы синусов до одной миллиардной.
Тригонометрия в Европе
В развитии тригонометрии в Европе большая заслуга принадлежит английскому ученому, архиепископу Ф. Брадвардину. Он был первым европейским ученым, оставивший после себя рукописный труд по тригонометрии. Он открыл и ввел в употреблении тангенс под названием « прямой тени”. 21
Томас Брадвардин (1290 — 1349)
Томас Брадвардин - философ, математик и механик, старший представитель группы oксфордских калькуляторов из Мертон-колледжа, членом которого он был с 1323. В 1349 был выбран архиепископом Кентерберийским и в этом же году умер от чумы. В трактате «О пропорциях скоростей при движении») Брадвардин сформулировал гипотетический закон, связывающий скорость движения тела, движущую силу и сопротивление среды. Брадвардину принадлежат также трактаты «О теоретической геометрии», «О теоретической арифметике», «О квадратуре круга», «Искусство памяти». Немецкий математик Иоганн Мюллер первый из европейских ученых дал стройное изложение тригонометрии, вычислил очень точные таблицы синусов и тангенсов.
Иоганн Мюллер (1436 - 1476
) 22
Йоганн Мюллер родился в городе Кёнигсберге в Баварии. Уже в 11 лет он стал студентом Лейпцигского университета. Весной 1450 года в 14 лет он перешёл в Венский университет. В 15 лет после окончания факультета свободных искусств Региомонтан стал бакалавром. С 1453 года слушал лекции по математике и астрономии Георга Пурбаха, с которым впоследствии сотрудничал до скоропостижной смерти последнего в 1461 году. В 1457 году Региомонтан становится магистром и сам приступает к чтению лекций. В этом же году он приступает к систематическим астрономическим наблюдениям. Основным математическим трудом Региомонтана было сочинение «О всех видах треугольников» (1462—1464). Это был первый труд в Европе, в котором тригонометрия рассматривалась как самостоятельная дисциплина. В печатном виде это сочинение было опубликовано в 1533 году. Первая книга этого сочинения посвящена решению плоских треугольников. Во второй книге вводится теорема синусов для плоских треугольников и рассматривается ряд задач о плоских треугольниках, приводящих к квадратным уравнениям. Третья книга излагает основы сферической геометрии. Её содержание в значительной мере совпадает со «Сферикой» Менелая и с аналогичными работами арабоязычных авторов. Центральной теоремой четвёртой книги является сферическая теорема синусов. В пятой книге доказывается теорема, эквивалентная сферической теореме косинусов. Две последние книги в основном опираются на работы математиков стран ислама, таких как ал- Баттани и ат-Туси. Другим важным математическим трудом Региомонтана были составленные им семизначные таблицы синусов с шагом 1′ и таблицы тангенсов. Трудами нескольких поколений ученых тригонометрия стала самостоятельной наукой. Следующий, завершающий этап в развитии тригонометрии связан с именем Леонардо Эйлера.
Леонард Эйлер (1707 – 1783)
23
Леонард Эйлер - швейцарский, немецкий и российский математик и механик, внёсший фундаментальный вклад в развитие этих наук (а также физики, астрономии и ряда прикладных наук) [4] . Эйлер — автор более чем 850 работ) по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и другим областям. Он глубоко изучал медицину, химию, ботанику, воздухоплавание, теорию музыки, множество европейских и древних языков. Академик Петербургской, Берлинской, Туринской, Лиссабонской и Базельской академий наук, иностранный член Парижской академии наук Почти полжизни провёл в России, где внёс существенный вклад в становление российской науки. В 1726 году он был приглашён работать в Санкт- Петербург, куда переехал годом позже. С 1726 по 1741, а также с 1766 года был академиком Петербургской академии наук (будучи сначала адъюнктом, а с 1731 года — профессором); в 1741—1766 годах работал в Берлине (оставаясь одновременно почётным членом Петербургской академии). Уже через год пребывания в России он хорошо знал русский язык и часть своих сочинений (особенно учебники) публиковал на русском. Первые русские академики-математики (С. К. Котельников) и астрономы (С. Я. Румовский) были учениками Эйлера. Некоторые из его потомков до сих пор живут в России. Леонард Эйлер родился в 1707 году в семье базельского пастора Пауля Эйлера, друга семьи Бернулли, и Маргариты Эйлер, урождённой Брукер. Вскоре после рождения Леонарда семья переехала в селение Рихен (в часе ходьбы от Базеля), куда Пауль Эйлер был назначен пастором; там и прошли первые годы детства мальчика. Начальное обучение Леонард получил дома под руководством отца (тот в своё время учился математике у Якоба Бернулли Пастор готовил старшего сына к духовной карьере, однако занимался с ним и математикой — как в качестве развлечения, так и для развития логического мышления, и Леонард рано проявил математические способности. Эйлер активно трудился до последних дней. В сентябре 1783 года 76-летний учёный стал ощущать головные боли и слабость. Его похоронили на Смоленском лютеранском кладбище в Петербурге.
Заслуги Эйлера в тригонометрии.
До Эйлера каждая формула выводилась из чертежа и все рассуждения проводились словесно. Эйлер вывел все тригонометрические формулы из нескольких основных; при этом ему удалось получить несколько неизвестных ранее формул. Эйлер разработал тригонометрию как науку о тригонометрических функциях, предложил рассматривать тригонометрические функции как числа, выражающие отношение соответствующих тригонометрических линий к радиусу. Это одна из главных его заслуг в тригонометрии. Она позволила под аргументом тригонометрических функций понимать не только углы и дуги, как это понимали раньше, но и любые отвлеченные числа. Эйлер 24
упорядочил вопрос о знаках тригонометрических функций в различных четвертях, ввел единообразное обозначение сторон треугольника буквами a,b,c и противолежащих углов A,B,C установил формулу, связывающую показательную функцию с тригонометрической. В трудах Эйлера тригонометрия приняла современный вид. На основании работ Эйлера были составлены учебники тригонометрии, излагающие ее в строгой научной последовательности. Одним из первых учебников на русском языке был учебник тригонометрии академика Головина, изданный в 1789г.
Название тригонометрических функций
Название тригонометрических функций сложились исторически на протяжении ряда веков. а) Слово «синус» индийского происхождения. Полную хорду индийцы называли « джива», т.е. тетива лука. Позднее при переводах с индийского на арабский и с арабского на латинский язык подлинный смысл слова был искажен. б) Понятие «косинус дуги», «тангенс дуги», «котангенс дуги» и другие впервые встречаются в книге « Шаклул Гита» знаменитого азербайджанского ученого Насирэддина Туси. У него встречаются только соответствующие понятия, современных же терминов он не употребляет. Термины «косинус», «котангес» и др. появились в XI-XVII вв. в) Сирийский ученый ал-Баттани первым пришел к выводу, что острый угол в прямоугольном треугольнике можно определить отношением одного катета к другому г) Слово « тангенс» (касающийся) взято из латинского языка, в Европе введено Томасом Финком в 1583г. Он же первым ввел термин « секанс». Термины « котангес», «косеканс» произошли аналогичным с косинусом образом
Тема: Дифференциальное и интегральное исчисление
25
Анализ бесконечно малых наиболее мощное и эффективное средство изучения природы, когда-либо созданное математиками. Эта дисциплина зародилась в древности и развивалась очень долго. С III века до н.э., когда Архимед впервые использовал бесконечно малые величины для вычисления площади, до эпохи Ньютона и Лейбница, которые придали окончательный вид анализу бесконечно малых, прошло почти две тысячи лет. Но лишь спустя еще полтора столетия Коши и Вейерштрасс «приручили» бесконечно малые величины, найдя им логическое объяснение. В III веке до н.э. Архимед разработал методы нахождения площадей и объемов, а также методы определения касательных и наибольших и наименьших значений величин, которые он применил для решения проблем статики, гидростатики и теории равновесия плавающих тел. Методы Архимеда легли в основу дифференциального и интегрального исчислений, созданных в XVII веке.
Архимед
Этот замечательный ученый был уроженцем Сиракуз (южная часть Сицилии), сыном астронома и математика Фидия. Для усовершенствования своих знаний он совершил поездку в Александрию, где некоторое время работал в сотрудничестве с другими крупнейшими математиками. Возвратившись в Сиракузы, Архимед продолжал усиленные научные занятия. В последний период жизни он принял деятельное участие в обороне родного города от римских завоевателей, руководя постройкой сложных технических сооружений и изобретая орудия военного характера. Во время 26
штурма и взятия Сиракуз Архимед был убит, а его библиотека и инструменты разграблены.
Таким в глазах известного итальянского художника Доменико Фетти был
увлеченный своей работой Архимед
Сочинения Архимеда написаны преимущественно в виде писем. До нас дошли десять сравнительно крупных и несколько более мелких сочинений математического характера. Сохранившиеся математические сочинения Архимеда можно разделить на три группы. Сочинения первой группы посвящены в основном доказательству теорем о площадях и объемах криволинейных фигур или тел. Сюда относятся трактаты «О шаре и цилиндре», «Об измерении круга», «О коноидах и сфероидах», «О спиралях» и «О квадратуре параболы». Вторую группу составляют работы по геометрическому анализу статических и гидростатических задач. К третьей группе можно отнести различные математические работы: «О методе механического доказательства теорем», «Исчисление песчинок», «Задача о быках». При доказательстве теорем о площадях фигур и объемах тел, ограниченных кривыми линиями или поверхностями, Архимед постоянно использует метод, известный как «метод исчерпывания». Изобрел его, вероятно, Евдокс (расцвет деятельности ок. 370 до н.э.) – по крайней мере, так считал сам Архимед. К этому методу время от времени прибегает и Евклид в XII книге Начал. Доказательство с помощью метода исчерпывания, в сущности, представляет собой косвенное доказательство от противного. 27
Иначе говоря, утверждение «А равно В» считается истинным в том случае, когда принятие противоположного утверждения, «А не равно В», ведет к противоречию. Основная идея метода исчерпывания заключается в том, что в фигуру, площадь или объем которой требуется найти, вписывают (или вокруг нее описывают, либо же вписывают и описывают одновременно) правильные фигуры. Площадь или объем вписанных или описанных фигур увеличивают или уменьшают до тех пор, пока разность между площадью или объемом, которые требуется найти, и площадью или объемом вписанной фигуры не становится меньше заданной величины. Пользуясь различными вариантами метода исчерпывания, Архимед смог доказать различные теоремы, эквивалентные в современной записи соотношениям S = 4pr 2 для площади поверхности шара, V = 4/3pr 3 для его объема, теореме о том, что площадь сегмента параболы равна 4/3 площади треугольника, имеющего те же основание и высоту, что и сегмент, а также многие другие интересные теоремы. В начале XVII в. большие успехи сделала механика земных и небесных тел, и в связи с этим возникли проблемы изучения зависимостей одних величин от других, проблемы определения скоростей, ускорений, площадей криволинейных фигур, центров тяжести и т. д. Для решения этих проблем в математике не было готового аналитического аппарата. Ученые начали искать пути изучения переменных величин в математике, используя творения античных математиков. Их освоение сыграло решающую роль в создании анализа бесконечно малых. В период 1608—1660 гг. над развитием методов определения объемов, площадей, центров тяжестей, касательных, экстремумов, скоростей, ускорений работали такие крупные ученые: И. Кеплер, Б. Кавальери, Э. Торричелли, П. Ферма, Б. Паскаль, Дж. Валлис, И. Барроу и др. В 60—80-е годы XVII в. И. Ньютон (с 1665 г.) и Г. Лейбниц (с 1673 г.) независимо друг от друга создали дифференциальное и интегральное исчисления и ввели в математику важнейший аналитический аппарат для представления и изучения функций — степенные ряды. Ньютон распространил формулу возведения бинома в степень на случай, когда показатель есть любое рациональное число. В 1687 г. вышла в свет книга И. Ньютона «Математические начала натуральной философии», в которой было дано математическое построение основ классической механики земных и небесных тел. 28
Иссак Ньютон (1643 – 1727)
Ньютон - величайший ученый в истории человечества. Он родился под Рождество 1642 года - в самом начале Английской революции. Как только она закончилась, 18-летний Исаак поступил в Тринити колледж знаменитого Кембриджского университета. Здесь он узнал, что в физике и математике тоже происходит революция. Ньютон включился в нее - и вскоре стал главою партии победителей. Научную революцию начал Декарт. Он показал, как задать любую точку на плоскости или в пространстве набором чисел. После этого любое движение физического тела можно описать набором числовых функций. Оставалось придумать исчисление этих функций - наподобие арифметики чисел или того исчисления плоских фигур, которое развил Пифагор. Декарт научился свободно работать с многочленами от одной или двух переменных; в итоге ему покорились все плоские кривые, заданные многочленами. Но многие важные кривые (например, синусоиду или экспоненту) нельзя задать с помощью многочленов. Как их исчислять? Ньютон первый понял, как это можно сделать. Любую функцию с гладким графиком нужно представить в виде степенного ряда - то есть, бесконечно длинного многочлена с числовыми коэффициентами! Например, синус и логарифм разлагаются так: 29
С помощью степенных рядов нетрудно вычислить производную или интеграл от любой функции. (Ньютон называл эти операции нахождением флюксии по флюенте, или обратно). Владея этими двумя действиями в мире функций, можно решить любое дифференциальное уравнение - а значит, понять любой процесс в физическом мире. Каждый шаг Ньютона на этом пути порождал новую теорему или обнаруживал новый закон природы, сразу попадающий в учебники. Например, операции дифференцирования и интегрирования функций оказались взаимно обратными. Сейчас этот факт называют теоремой Ньютона - Лейбница и постоянно используют при составлении таблиц интегралов. Без этой теоремы жизнь студентов первокурсников была бы намного тяжелее! Другой пример: законы Кеплера, описывающие движение планет вокруг Солнца. Ньютон попытался вывести из них свойства сил, которые связывают планеты с Солнцем. Так получился закон всемирного тяготения: сила притяжения между телами прямо пропорциональна их массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между телами. Одновременно получился третий закон Ньютона (равенство действующей и противодействующей сил), а также правило векторного сложения сил, действующих на одно тело. Второй закон Ньютона (прямая пропорция между ускорением тела и силой, действующей на него) был найден Ньютоном в ходе опытов с телами, скользящими по наклонной плоскости. Только первый закон Ньютона (принцип инерции) не был его изобретением: этот факт открыл еще Галилей, а прежде его угадали средневековые богословы (например, Жан Буридан из Сорбонны). Интересно, что открытие всех этих законов заняло у Ньютона всего полтора года. В 1665 году он уехал из Кембриджа в деревню, спасаясь от эпидемии чумы. Осенью 1667 года Исаак Ньютон вернулся в Тринити колледж с готовой математической теорией движения любых тел во Вселенной. Через два года учитель Ньютона - Исаак Барроу - уступил своему питомцу кафедру математики, а сам занялся богословием. Так 27летний профессор стал "королем физиков и математиков". Королевская должность оказалась тяжкой и хлопотной. Не так уж трудно сделать открытие, если ты гений. Куда труднее убедить окружающих в своей правоте - особенно если ты не силен в ораторском искусстве (так было с Ньютоном), и если в ученом мире действует закон: "Ничего на словах". "Nullis in verba" - таков был девиз английского Королевского Общества, первой академии наук в Европе. К счастью, руки Ньютона работали не хуже, чем его голова. Для проверки своих теорий астрономическими наблюдениями он изобрел первый зеркальный телескоп и сам построил его. Чтобы проверить предсказание о сплюснутости земного шара у полюсов и его расширении возле экватора, понадобилось сравнить ход маятниковых часов в Европе и в Южной Америке. Это сделали французские астрономы - а часы с маятником изобрел Христиан Гюйгенс, президент Парижской академии наук, глубоко чтимый Ньютоном. Превращение фонтана открытий в строгую и всеобъемлющую книгу заняло у Ньютона 20 лет. 30
Только в 1687 году вышел из печати его главный труд: "Математические принципы философии природы". Это был первый учебник новой физики. Многие читатели жаловались, что книга написана тяжело: Ньютон убрал те "лесенки", по которым он сам поднялся к своим открытиям. Другие утверждали, что многие теоремы Ньютона был открыты раньше другими учеными. Сам Ньютон не умел спорить и ненавидел это занятие (а также всех, кто пытался втянуть его в ученый спор). Он и смолоду не был общителен - а после 40 лет стал настоящим отшельником. Только постоянные размышления о науке в любой обстановке (вплоть до заседаний парламента) позволяли Ньютону сохранить вкус к жизни. Итак, создана новая математика (исчисление флюксий и флюент) и новая физика (исчисление сил и движений), Что делать дальше? Ньютон решил разобраться в свойствах света - самой неуловимой вещи в природе. В 1704 году вышла из печати "Оптика" Ньютона; но полного решения главной проблемы в ней не было. Из чего состоит свет: из волн (как считал Гюйгенс), или из частиц (как думал Демокрит)? Ньютону была ближе вторая точка зрения. Но доказать ее опытами или расчетами он не мог, и был от этого в тихом бешенстве. Неужели надвигается старость? Никто не мог подсказать Ньютону, что споры о природе света продлятся еще 200 лет, и только новая революция в математике позволит объединить свойства волны и частицы в одном объекте. Последние 40 лет своей долгой жизни Ньютон провел, размышляя о тех явлениях, которые не удается объяснить с помощью тяготения. Почему электрические заряды бывают двух сортов? Почему одинаковые заряды отталкиваются друг от друга? Связано ли взаимодействие зарядов со взаимодействием магнитов или с притяжением масс? Какая сущность передает все эти силы от тела к телу через пустоту? Может ли свет быть такой сущностью? Ни одну из этих догадок Ньютон не сумел облечь в строгую математическую форму. А высказывать гипотезы, не подкрепленные математикой, он считал ниже своего достоинства. Лишь услышав о какой-либо новой математической задаче, непосильной его современникам, Ньютон брался за нее - и обычно решал за несколько дней или часов. Порою из такой работы вырастала новая наука. Так, задача о брахистохроне (кривой наибыстрейшего спуска) породила вариационное исчисление. Классификация кривых третьего порядка положила начало алгебраической геометрии. Нелюдимый характер Ньютона всю жизнь мешал ему сотрудничать с другими учеными. Так, Ньютон не придал должного значения закону сохранения импульса, который открыл его старший коллега и почитатель - Джон Валлис. Лейбница Ньютон считал слабым математиком и нечестным человеком: поэтому он не обратил внимания на угаданный Лейбницем закон сохранения механической энергии. А ведь это были новые аксиомы физики - дополнительные к тем закономерностям движений, которые выявил Ньютон! Только в конце 18 века Лагранж и другие математики осознали роль законов сохранения в 31
физической науке; еще веком позже эти законы были связаны с математической теорией групп. Кажется, лишь однажды резкий нрав Ньютона пошел на пользу ученому сообществу Англии. В 1687 году самовластный король Яков 2 попытался ущемить привилегии Кембриджского университета. Группа профессоров во главе с Ньютоном воспротивилась этому. Вскоре король лишился престола, а Ньютон был избран членом английского парламента. Там он просидел пять лет, не произнеся ни одной речи: политические споры казались ему чепухой, по сравнению с научной работой. Однако позднее Ньютон принял от умного и тактичного короля Вильяма 3 пост директора Монетного двора - и (к удивлению многих) проявил себя в этой роли инициативным и удачливым администратором, грозой фальшивомонетчиков. Одновременно Ньютон стал президентом Королевского Общества. Ньютон был похоронен в Вестминстерском аббатстве с почти королевским почестями. Надпись на его могиле гласит: "Порадуйтесь, что на Земле жило такое украшение рода человеческого!"
Статуя Ньютона в Тринити-колледже
Независимо от Исаака Ньютона открытие анализа бесконечно малых совершил немецкий ученый Готфрид Вильгельм Лейбниц. Лейбниц внес вклад в самые разные области науки и это доказывает, что он был «одним из величайших дарований западной цивилизации» (энциклопедия Британника). Лейбниц хотел знать все и обо всем, будь то философия, физика, математика или другие области – постройка гидравлических прессов, дренаж шахт с помощью ветряных мельниц, геология и изготовление тканей из льна. В стремлении понять все и высказать обо всем свое собственное мнение прослеживается центральная идея – поиск универсального языка, который 32
должен быть символьным, четким и однозначным. Именно его версия анализа бесконечно малых полна превосходных обозначений. Математический вариант characteristica universalis позволил упорядочить множество результатов, связанных с квадратурами, касательными, максимумами и минимумами, центрами тяжести и т.д. В статье, написанной Лейбницем в конце жизни, он признает, что в конечном итоге его вкладом в математический анализ стало создание языка, позволившего найти единообразное решение множества задач, которые раньше решались разными способами.
Готфрид Фридрих Лейбниц (1646 – 1716)
Готфрид Вильгельм Лейбниц родился в Лейпциге 1 июля 1646г. Отец его, Фридрих Лейбниц, - довольно известный юрист и профессор этики Лейпцигского университета. Отец очень рано обратил внимание на способности сына и старался развить в нем любознательность, часто рассказывая ему маленькие эпизоды из истории. Эти рассказы, по словам самого Лейбница, глубоко запали в душу и были самым сильным впечатлением его раннего детства. Отец, предсказав сыну известность в будущем и "свершение вещей чудесных", не дожил до исполнения своего пророчества и умер, когда мальчику было семь лет. Мать Лейбница, Катерина Шлукке, умная и практичная женщина, заботясь об образовании сына, отдала его в одну из лучших Лейпцигских школ. В школьные годы (да и всю жизнь) Лейбницу доставляло большое наслаждение чтение всякого рода исторических романов. Сначала мать 33
даже опасалась его увлечения. Но затем по настоянию друзей семьи предоставила в распоряжение сына библиотеку отца, бывшую до того под замком. Библиотека состояла большей частью из сочинений на латинском и греческом языках. Но это не смутило мальчика. Пришлось самостоятельно изучить сначала латынь, а затем греческий язык. Причем латынь он изучил без словаря, по надписям к иллюстрациям книги Тита Ливия. Так он познакомился с трудами Ливия и Вергилия, Цицерона и Квинтилиана, Геродота и Платона. Натура Лейбница отличалась такой жаждой новизны, что он не мог остановиться окончательно на какой-либо одной стороне умственной деятельности. Тогдашняя сухая школьная логика привлекала его не менее поэзии. В этой скучной науке Лейбниц сумел найти для себя немало интересного. Под покровом схоластических формул Лейбниц сумел увидеть такое, что скрывалось от его учителя. В четырнадцатилетнем возрасте он стал вдумываться в истинную задачу логики как классификации элементов человеческого мышления. Первые попытки к реформе школьной логики он пытался соединить с различными идеями, вроде создания понятной всем народам "азбуки мыслей", выражающей абстрактные понятия в форме усовершенствованных иероглифов. "Две вещи,- писал впоследствии Лейбниц в "Краткой биографии",- принесли мне огромную пользу, хотя обыкновенно они приносят вред. Во-первых, я был, собственно говоря, самоучкой; во-вторых, во всякой науке, как только я приобретал в ней первые понятия, я всегда искал новое часто потому, что не успевал достаточно усвоить обыкновенное". Пятнадцатилетним юношей Лейбниц стал студентом Лейпцигского университета. По своей подготовке он значительно превосходил многих студентов старшего возраста. Официально Лейбниц считался на юридическом факультете, но специальный круг юридических наук далеко не удовлетворял его. Кроме лекций по юриспруденции, он усердно посещал и многие другие, в особенности по философии и математике, изучая Кардано, Кеплера, Галилея и Декарта. Увлечение философией Декарта поставило Лейбница перед необходимостью основательно изучить математику. Лейпцигский университет в этом отношении не мог предложить что-либо ценное, так как в нем математика изучалась схоластически. И семнадцатилетний Лейбниц переехал в Иену, где в университете преподавал способный и знающий математик Вейгель. Он познакомил Лейбница с основами алгебраического анализа. Лейбниц попытался творчески применить свои математические знания к юриспруденции и философии. Особенно занимала его теория сочетаний. Через год Лейбниц снова возвращается в Лейпциг и занимается 34
исключительно правом. В восемнадцатилетнем возрасте Лейбниц блистательно выдержал экзамен на степень магистра, а через два года - на степень доктора права. Защита прошла так блистательно, что одновременно с присвоением степени доктора ему предложили профессуру, но Лейбниц отклонил лестное предложение и уехал из Лейпцига. Он работает одно время юристом в Майнце, с увлечением проводит химические опыты в Нюрнберге, появляется с дипломатическим поручением в Париже. Здесь он, познакомившись с Гюйгенсом, попадает под его благотворное влияние, усердно занимается математикой. Математический гений вспыхнул внезапно и с невероятной силой. Он изучает труды Декарта, Ферма, Паскаля, Валлиса и других. Радость открывания неизвестного прорывается у него непроизвольно. "Чудно видеть, что входишь в новый род исчисления",- писал Лейбниц в 1675 году. А в 1676 году он окончательно подошел к открытию дифференциального и интегрального исчисления. К началу 1700 годов слава Лейбница гремела по всей Европе. Не было ученого, не было монарха, который бы не считал для себя честью переписку или даже беседу с Лейбницем. Им интересуется Петр I, а к нему, в свою очередь, давно присматривается Лейбниц. В восемнадцатом веке еще господствовал миф о "просвещенном монархе". Лейбниц верил этому мифу и "примеривался" к Петру I-не тот ли этот самодержец, который своей волей осуществит мечты Лейбница о таком "просвещенном монархе"? Они несколько раз встречались, много беседовали, обсуждали проекты организации Академии наук в Петербурге и развития научных исследований в России. К образу Лейбница не раз обращались поэты и писатели. Последние годы жизни Лейбница прошли в одиночестве. К нему теперь уже никто не ездил: ни ученые, ни монархи. Подагра приковала его к постели. Как-то один сердобольный друг предложил ему для облегчения болей выпить какой-то настой, изготовленный им. Лейбниц выпил и сразу же почувствовал жестокие боли в животе, а через час умер. На следующий день вечером похоронная колесница, гремя по скользкой мостовой (шел дождь), везла обитый черным бархатом гроб на другой конец города, в Нейштадтскую церковь. Похоронную процессию составлял один человек- секретарь Лейбница, семенивший за дрогами, в длиннополом плаще, с зонтом. Через несколько лет в каменном полу церкви была установлена надгробная плита. Во время второй мировой войны бомба, сброшенная с английского самолета, угодила прямо в Нейштадтскую церковь. Когда руины были разобраны, обнаружилась могильная плита, расколотая на 35
части. Церковь потом восстановили, в правом приделе на возвышении воздвигли новую гробницу с надписью: "Ossa Leibnitii"-"Кости Лейбница".
Памятник Готфриду Вильгельму Лейбницу в Лейпциге
Математические достижения Лейбница обширны. В 1666г. Он опубликовал свою первую математическую работу "Размышление о комбинаторном искусстве". Сконструированная им счетная машина выполняла не только сложение и вычитание, как это было у Б. Паскаля, но и умножение, деление, возведение в степень и извлечение квадратного и кубического корней. Свыше 40 лет Лейбниц посвятил усовершенствованию своего произведения. Лейбниц заложил также основы символической логики. Разработанные им логика классов и исчисление высказываний в алгебраической форме лежат в основе современной математической логики. Исследовал свойства некоторых кривых (в частности, цепной линии), занимался разложением функций в ряды, ввел понятие определителя и выдвинул некоторые идеи, касающиеся теории определителей; впоследствии их развивал А. Вандермонд, О. Коши, К. Гаусс и окончательно разработал К. Якоби. Изучение работ Б. Паскаля и собственные исследования привели Лейбница в 1673-1674гг. к идее характеристического треугольника, который теперь используется при введении понятий производной и дифференциала в каждом учебнике дифференциального исчисления. Лейбниц сделал и дальнейший шаг в создании нового исчисления - установил зависимость между прямой и обратной задачах о касательных. Через год он пришел к 36
выводу, что из "обратного метода касательных выходит квадратура всех фигур". В октябре 1675г. Лейбниц уже пользуется обозначением Sl для суммы бесконечно малых и операцию, противоположную суммированию, обозначает, подписывает букву d под переменной(x/d), а затем рядом с ней dx. Знак интеграла в современной форме впервые встречается в работе Лейбница "О скрытой геометрии…" (1686г). Лейбниц решил проблему касательных с помощью дифференциального исчисления, сформулировал правила дифференцирования произведения, степени, неявной функции. Эти результаты Лейбниц опубликовал только в 1684г. в статье "Новый метод максимум и минимумов", впервые назвав свой алгоритм дифференциальным исчисление. В 1693г. Лейбниц опубликовал первые образцы интегрирования дифференциальных уравнений с помощью бесконечных рядов. Лейбниц ввел много математических терминов, которые теперь прочно вошли в научную практику: функция, дифференциал, дифференциальное исчисление, дифференциальное уравнение, алгоритм, абсцисса, ордината, координата, а также знаки дифференциала, интеграла, логическую символику. Литература 37
1. Г. Вилейтнер История математики от Декарта досередины ХIХ столетия, 1960 2. К.А. Малыгин Элементы историзма в преподавании математики в средней школе, 1958 3. Антонио Дуран Истина в пределе. Анализ бесконечно малых, 2014 4. Г.Г. Цейтен История математики в ХVI и ХVII вв., 1938 38
В раздел среднее профессиональное образование