Педразвитие - публикация педагога на тему Комплект контрольно-оценочных средств по программе учебной дисциплины БД.04. МАТЕМАТИКА

"Комплект контрольно-оценочных средств по программе учебной дисциплины БД.04. МАТЕМАТИКА"

методические рекомендации

Автор: Виткалова Ирина Павловна, преподаватель математики, ГБПОУ ВО "Россошанский колледж мясной и молочной промышленности", город Россошь, Воронежская область

В раздел среднее профессиональное образование

Департамент образования, науки и молодежной политики Воронежской области Государственное образовательное бюджетное учреждение среднего профессионального образования Воронежской области «Россошанский колледж мясной и молочной промышленности»
Комплект

контрольно-оценочных средств

по программе учебной дисциплины
БД.04. МАТЕМАТИКА основной профессиональной образовательной программы Специальности : 19.02.08 Технология мяса и мясных продуктов; 19.02.07 Технология молока и молочных продуктов; 38.02.01 Экономика и бухгалтерский учёт (по отраслям); 19.02.10 Технология продукции общественного питания; 15.02.01 Монтаж и техническая эксплуатация промышленного оборудования (по отраслям); 15.02.06 Монтаж и техническая эксплуатация холодильно-компрессорных машин и установок (по отраслям); 09.02.04 Информационные системы (по отраслям). Базовая подготовка Очная форма обучения Россошь, 2015 год
РАССМОТРЕНА ПЦК ___________________ дисциплин Протокол №___ от «____»_______20___г Председатель _____________/_______________/
Разработчик:
ГОБУ СПО ВО «РКММП» преподаватель И. П. Виткалова (место работы) (занимаемая должность) (инициалы, фамилия) УТВЕРЖДЕНА Методическим советом Протокол №____ от «_____»___________20__г Председатель _____________/_____________/

Содержание
I. Паспорт комплекта контрольно-оценочных средств.......................................3 1.1. Область применения....................................................................................3 1.2. Система контроля и оценки освоения программы учебной дисциплины ..............................................................................................................................3 Формы итоговой аттестации по ППССЗ при освоении учебной дисциплины:.....................................................................................................3 1.2.1. Организация контроля и оценки освоения программы ОП..............3 2. Комплект материалов для оценки освоенных умений и усвоенных знаний по дисциплине БД.04. МАТЕМАТИКА...............................................................3
Задания для экзаменующихся
............................................................................7

I. Паспорт комплекта контрольно-оценочных средств

1.1. Область применения
Комплект контрольно-оценочных средств предназначен для проверки результатов освоения профессиональной дисциплины БД.04.МАТЕМАТИКА основной профессиональной образовательной программы по специальностям: 19.02.08 Технология мяса и мясных продуктов; 19.02.07 Технология молока и молочных продуктов; 38.02.01 Экономика и бухгалтерский учёт (по отраслям); 19.02.10 Технология продукции общественного питания; 15.02.01 Монтаж и техническая эксплуатация промышленного оборудования (по отраслям); 15.02.06 Монтаж и техническая эксплуатация холодильно-компрессорных машин и установок (по отраслям); 09.02.04 Информационные системы (по отраслям) - базовой подготовки. В результате освоения дисциплины обучающийся должен уметь:  выполнять арифметические действия, сочетая устные и письменные приемы, применение вычислительных устройств; находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые выражения;  находить значения корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; пользоваться приближенной оценкой при практических расчетах;  выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций;
использовать приобретенные знания и умения в практической

деятельности и повседневной жизни:
 для практических расчетов по формулам, включая формулы, содержащие степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции, используя при необходимости справочные материалы и простейшие вычислительные устройства;  вычислять значение функции по заданному значению аргумента при различных способах задания функции;  определять основные свойства числовых функций, иллюстрировать их на графиках;  строить графики изученных функций, иллюстрировать по графику свойства элементарных функций;  использовать понятие функции для описания и анализа зависимостей величин;
использовать приобретенные знания и умения в практической

деятельности и повседневной жизни:
 находить производные элементарных функций;  использовать производную для изучения свойств функций и построения графиков;
 применять производную для проведения приближенных вычислений, решать задачи прикладного характера на нахождение наибольшего и наименьшего значения;  вычислять в простейших случаях площади и объемы с использованием определенного интеграла;
использовать приобретенные знания и умения в практической

деятельности и повседневной жизни
для
:
 решения прикладных задач, в том числе социально-экономических и физических, на наибольшие и наименьшие значения, на нахождение скорости и ускорения;  решать рациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения, сводящиеся к линейным и квадратным, а также аналогичные неравенства и системы;  использовать графический метод решения уравнений и неравенств;  изображать на координатной плоскости решения уравнений, неравенств и систем с двумя неизвестными;  составлять и решать уравнения и неравенства, связывающие неизвестные величины в текстовых (в том числе прикладных) задач;
использовать приобретенные знания и умения в практической

деятельности и повседневной жизни:
 решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием известных формул;  вычислять в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов;
использовать приобретенные знания и умения в практической

деятельности и повседневной жизни:
 жизни для анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков;  для анализа информации статистического характера;  распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями;  описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении;  анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве;  изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять чертежи по условиям задач;  строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды;  решать планиметрические и стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);  использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;  проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;
использовать приобретенные знания и умения в практической

деятельности и повседневной жизни:

 для исследования (моделирования) несложных практических ситуаций на основе изученных формул и свойств фигур;  вычисления объемов и площадей поверхностей пространственных тел при решении практических задач, используя при необходимости справочники и вычислительные устройства. В результате освоения дисциплины обучающийся должен знать:  Значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;  Значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии;  Универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности;  Вероятностный характер различных процессов окружающего мира.
1.2.Комплект контрольно-оценочных средств позволяет оценивать:
1.1.Освоение умения и усвоенные знания:
Результаты обучения

(освоенные умения, усвоенные знания)

Формы и методы контроля и оценки

результатов обучения

1

2

Умения:
выполнять несложные действия над комплексными числами; Оценка результатов по решению вычисления комплексных чисел. Контроль выполнения индивидуальных домашних заданий. строить графики элементарных функций и проводить преобразование графиков, используя изученные методы; Оценка результатов по решению задач на построение графиков элементарных функций. Контроль выполнения индивидуальных домашних заданий
.
решать иррациональные и тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения и неравенства; Оценка результатов по решению уравнений и неравенств. Контроль выполнения индивидуальных домашних заданий решать системы уравнений изученными методами; находить несложные пределы функций в точке и на бесконечности; применять аппарат математического анализа к решению задач; решать простейшие дифференциальные уравнения; решать задачи на вероятность событий; Оценка результатов по решению вычисления пределов. Контроль выполнения индивидуальных домашних заданий. вычислять значения геометрических величин (длин, площадей, объемов), используя изученные формулы, а также аппарат алгебры, анализа и тригонометрии; Оценка результатов по решению задач на вычисление значений геометрических величин. Контроль выполнения индивидуальных домашних заданий. применять основные методы геометрии (проектирования, преобразований, векторный, координатный) к решению геометрических задач; Оценка результатов по решению геометрических задач на применение основных методов геометрии. Контроль выполнения индивидуальных домашних заданий.
Знания:

основные функции, их графики и свойства; Опрос, тестирование. Изложение основных свойств функции. принципы начал дифференциального и интегрального исчислений; Опрос, тестирование. Изложение основ интегрального и дифференциального исчисления. этапы решения прикладных задач средствами математики; Опрос, тестирование. Изложение основных математических методов решения прикладных задач. определение предела и основные свойства; Опрос, тестирование. Изложение основных видов неопределенности. алгоритмы решения тригонометрических, показательных, логарифмических уравнений и неравенств; Опрос, тестирование. Изложение алгоритма решения уравнений и неравенств. основные понятия и методы математического анализа, линейной алгебры; Опрос, тестирование. Изложение основных понятий и методов математического анализа. основные понятия комбинаторики; Опрос, тестирование. Изложение основных понятий комбинаторики. роль и место математики в современном мире при освоении профессиональных дисциплин и в сфере профессиональной деятельности; Опрос, тестирование. Изложение основных положений математики, влияющих на освоение профессиональной деятельности и образовательной программы. Итоговый контроль – экзамен (1 и 2 семестр).
1.2. Система

контроля

и

оценки

освоения

программы

учебной

дисциплины
Система контроля и оценки освоения программы учебной дисциплины БД.04. МАТЕМАТИКА включает текущий контроль и промежуточную аттестацию. Текущий контроль оценивает сформированность элементов компетенций (умений, знаний) по одной определенной теме (разделу) в процессе ее изучения. Текущий контроль проводится преподавателем в процессе проведения практических работ и теоретических занятий, тестирования, а также выполнения обучающимися индивидуальных заданий. Формы текущего контроля знаний: - устный опрос; - письменный опрос (математический диктант); - тестирование; -выполнение практических работ, - выполнение контрольных работ. Промежуточная аттестация оценивает результаты учебной деятельности (уровень освоения учебного материала и степень сформированности компетенций) за первый курс учебной дисциплины. Форма экзамена устная. При проведении экзамена уровень подготовки обучающихся оценивается в баллах: 5 (отлично), 4 (хорошо), 3 (удовлетворительно), 2 (неудовлетворительно).
1.2.1. Организация контроля и оценки освоения программы учебной

дисциплины
Итоговый контроль освоения умения и усвоенных знаний дисциплины БД.04. МАТЕМАТИКА осуществляется на экзамене (I и II семестры). Условием допуска к экзамену является положительная текущая аттестация по всем практическим работам учебной дисциплины, индивидуальным
заданиям, ключевым теоретическим вопросам дисциплины (проверка выполняется текущим контролем). Экзамен содержит теоретические вопросы и практическую часть.

2. Комплект материалов

для оценки освоенных умений и усвоенных знаний

по дисциплине БД.04. МАТЕМАТИКА

1.

Устный опрос.
Устный опрос – контроль, проводимый после изучения материала в виде ответов на вопросы, позволяет не только проконтролировать знание темы урока, но и развивать навыки свободного общения, правильной устной речи. За правильный ответ ставится положительная оценка.
Тема 1. Повторение

Тема 1.1 Развитие понятия о числе
1.Множество действительных чисел. 2. Целые и рациональные числа. Действительные числа. Приближенные вычисления. Действия над действительными числами. Сравнение действительных чисел. Числовая прямая.
Тема 1.2 Корни и степени
1. Формулы сокращенного умножения. Применение ФСУ в вычислениях. Решение упражнений. Корни натуральной степени и их свойства. 2. Степени с рациональным показателем. Свойства. Решение упражнений. 3. Преобразование алгебраических выражение с использованием ФСУ и свойств степени.
Тема 1.3 Уравнения и неравенства.
1. Равносильность уравнений. Решение линейных уравнений. Квадратные уравнения. Разложение на множители. Изображение на плоскости. 2. Линейные неравенства. Представление решения неравенства на числовой прямой. Квадратные неравенства. Методы решения. Использование свойств графика функции при решении неравенств 3. Системы уравнений. Основные способы решения. Графическое решение систем уравнений. Введение новых неизвестных.
Тема 2. Комплексные числа.
1. Действия над комплексными числами в алгебраической форме. 2. Решение квадратных уравнений с D < 0 .
Тема 3. Функции, их свойства и графики.
1. Числовая функция, область определения, множество значений. 2. Свойства функции: чётность, нечетность, периодичность, ограниченность, монотонность, экстремум функции. 3. График функции. Простейшие преобразования графиков функций.
Тема 4. Показательная, логарифмическая функции.
1. Логарифмы и их свойства. Основное логарифмическое тождество. Формула перехода от логарифмов с одним основанием к логарифмам с другим основанием. 2. Вычисление логарифмов с произвольным основанием. Логарифмирование и потенцирование выражений. 3. Показательная функция, её свойства и график. 4. Логарифмическая функция, её свойства и график. 5. Решение показательных уравнений и неравенств. 6. Решение логарифмических уравнений и неравенств.
Тема 5. Тригонометрические функции
1. Тригонометрические функции числового аргумента и их простейшие свойства.
2. Функция y = sinx, её свойства и график. 3. Функция у = соsx, её свойства и график. 4. Функция y = tgx, её свойства и график. 5. Зависимость между тригонометрическими функциями одного аргумента. Формулы приведения. 6. Теоремы сложения и следствия из них. 7. Решение уравнений sinx = 0, cosx = 0, tgx = 0, sinx = 1, cosx = 1, sinx = – 1, cosx = – 1.
Тема 6. Математический анализ.

Тема 6.1 Теория пределов
1. Понятие предела функции в точке. Свойства пределов функций. 2. Понятие о бесконечно малых и бесконечно больших функциях. Предел функции на бесконечности. Неопределенность 0/0.
Тема 6.2 Производные.
1. Задача, приводящая к понятию производной, физический смысл производной. Нахождение производной функции по определению. 2. Геометрический смысл производной. Алгоритм отыскания уравнений касательной и нормали к данной кривой. 3. Формулы дифференцирования: константы, аргумента, степени, суммы, произведения, частного. 4. Понятие сложной функции. Дифференцирование сложной функции. 5. Дифференцирование логарифмических и показательных функций. 6. Дифференцирование тригонометрических функций. 7. Дифференцирование обратных тригонометрических функций.
Тема 6.3 Интеграл.
1. Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства. 2. Интегрирование элементарных функций. Табличные интегралы. 3. Метод подстановки в неопределённом интеграле. 4. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла. Определённый интеграл и его геометрический смысл. 5. Свойства определенного интеграла. 6. Формула Ньютона-Лейбница.
Тема 7. Комбинаторика, теория вероятностей и статистика
1. Перестановки, размещения и сочетания. Решение примеров с применением комбинаторных формул. Формула бинома Ньютона. 2. Основные понятия и определения вероятности. Сложение и умножение вероятностей.
Тема 8. Геометрия

Тема 8.1Векторы и координаты на плоскости и в пространстве.
1. Скалярные и векторные величины. Векторы. Линейные операции над векторами. 2. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам на плоскости, по трём некомпланарным векторам в пространстве. 3. Скалярное произведение векторов и его свойства. Угол между векторами. 4. Деление отрезка в данном отношении. 5. Уравнения прямой на плоскости: с нормальным вектором, с направляющим вектором, параметрические уравнения прямой. 6. Уравнения прямой, проходящей через данную точку с заданным угловым коэффициентом, проходящей через две данные точки.
7. Общее уравнение прямой и его исследование, уравнение прямой в отрезках. 8. Угол между прямыми, условия параллельности и перпендикулярности прямых.
Тема 8.2 Прямые и плоскости в пространстве
1. Прямая и плоскость в пространстве. Признак параллельности прямой и плоскости. Обратная теорема. 2. Две плоскости в пространстве. Признак параллельности двух плоскостей. 3. Перпендикуляр и наклонные к плоскости. Угол прямой с плоскостью. 4. Перпендикулярность прямой и плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. 5. Теорема о трёх перпендикулярах. 6. Двугранный угол, линейный угол двугранного угла. Понятие о многогранном угле. Теорема о плоском угле трёхгранного угла. 7. Перпендикулярность плоскостей. Признак перпендикулярности плоскостей. Обратная теорема .
Тема 8.3 Многогранники
1. Многогранники, призма, параллелепипед. Свойства граней и диагоналей параллелепипеда. 2. Пирамида, усечённая пирамида. Свойства параллельных сечений пирамиды. 3. Цилиндрическая и коническая поверхности, тела вращения. 4. Сечения цилиндра и конуса. 5. Площадь поверхности призмы. Объём параллелепипеда и призмы. 6. Объём пирамиды, усечённой пирамиды. 7. Площадь поверхности пирамиды, усечённой пирамиды.
Тема 8.4Тела вращения и измерения.
1. Сфера и шар. Сечения шара плоскостью. Части сферы и шара. Плоскость, касательная к сфере, понятие о сферическом треугольнике. Вписанная в многогранник и описанная около многогранника сфера, определение её радиуса 2. Объём цилиндра, конуса, усечённого конуса. 3. Объём шара и его частей. 4. Площадь поверхности цилиндра. конуса, усечённого конуса. 5. Площадь сферы и её частей.
2.

Математический диктант (письменный опрос).
a)
Инструкция к заданию
: подготовить ответы на предложенные задания и ответить письменно. b)
Время на выполнение: 10-20
мин(в зависимости от задания).
1.

Знаки тригонометрических функций

1.
Определить знак числа sin α , если: α = π 6 ;
α = 3 π 4 ; α = 4 π 3 ; α = 11 π 6 .
2.
Определить знак числа cos α , если: α = π 4 ; α = 2 π 3 ; α = 7 π 6 ; α = 5 π 3 .
3.
Определить знак числа t g α , если: α = π 3 ; α = 5 π 6 ; α = 5 π 4 ; α = 7 π 4 ; Критерии оценки: за двенадцать правильно написанных формул оценка – отлично; за десять или девять правильно написанных формул оценка – хорошо; за шесть или восемь правильно написанных формул оценка – удовлетворительно; менее пяти написанных формул оценка – неудовлетворительно.
2.

Предел в точке
Вычислить:
lim x→ 2 ( 3 x 2 − 2 x ) lim x→ 5 7 x − 5 10 + 2 x lim x → 4 x 2 − 2 x x − 3 lim x→ 2 5 x 2 − 2 x + 4 ( x − 1 ) ∙ ( x + 1 ) lim x→ 0 √ x 2 + 2 2 − √ x Критерии оценки: за пять правильно написанных формул оценка – отлично; за четыре правильно написанных формул оценка – хорошо; за три правильно написанных формул оценка – удовлетворительно; менее трех написанных формул оценка – неудовлетворительно.
3. Дифференциальное исчисление

3.1
Найти производную функции: 7 x (¿¿ 6 ) ∕ ¿ , x 3 x 4 x ( 14 x + 2 ) (¿ ¿ 1 2 ) ∕ (¿¿− 2 ) ∕ , ( 3 √ x ) ∕ , ¿ ( ¿ ¿ 1 3 ) ∕ , ¿ (¿¿ 16 ) ∕ , ¿ ¿ , ( 7 x 3 + 1 4 x 4 + 2 x 2 − 57 ) ∕ , ( x − 7 x + 3 ) ∕ Критерии оценки: за восемь правильно написанных производных оценка – отлично; за семь или шесть правильно написанных производных оценка – хорошо; за пять или четыре правильно написанных производных оценка – удовлетворительно; менее трех написанных производных оценка – неудовлетворительно.
3.2 Чему равны:
 Производная частного  Производная линейной функции y = kx + b
 Производная y = x n  Производная y = c  Производная y = x 5 − 2 x 2 Критерии оценки: за пять правильно написанных формул оценка – отлично; за четыре правильно написанных формул оценка – хорошо; за три правильно написанных формул оценка – удовлетворительно; менее трех написанных формул оценка – неудовлетворительно.
4. Интегральное исчисление
1. ∫ x n dx ; 2. ∫ cos xdx ; 3. ∫ e x dx 4. ∫ dx cos 2 x ; 5. ∫ dx ; 6. ∫ 4 √ x dx ; 7. ∫ cos 7 xdx ; 8. ∫ x 2 − 1 x + 1 dx . Критерии оценки: за восемь правильно написанных формул оценка – отлично; за шесть или семь правильно написанных формул оценка – хорошо; за четыре или пять правильно написанных формул оценка – удовлетворительно; менее четырех написанных формул оценка – неудовлетворительно.
3.Тестирование.

Цели тестов:
проверить уровень усвоения студентами основных тем 1курса математики :
 действия с логарифмами;  решение логарифмических, показательных и тригонометрических уравнений;  решение логарифмических и показательных неравенств;  нахождение производной с применением правил дифференцирования;  нахождение первообразной и интегралов;  решение текстовых задач;  вычислительные навыки. Инструктаж по выполнению тестов: В каждом варианте содержится по два задания, в каждом из которых 4 варианта ответов. Внизу заданий находится таблица ответов. Необходимо поставить галочку напротив каждого задания одного из выбранных Вами ответов. Решение задания записать напротив правильного ответа. Для записи ответов студентам рекомендуется следующий бланк : Предлагаемые тесты рассчитаны на 10-15 мин. Я сознательно не указываю точное время проведения конкретного теста, оставляя тем самым преподавателям дифференцировать подход к своим студентам.
Тема: Тригонометрия

1.Единицы измерения углов

Вариант 1
1. Найдите радианную меру угла, равного − 96° . 1) − 16 π 15 2) − 8 π 15 3) − 0,6 π 4) − 0,3 π № 1 2 3 4 1 2
2. Найдите градусную меру угла, радианная мера которого равна 3 π 10 . 1) 108 ° 2) ( 1 1200 ) ° 3) ( 1 600 ) ° 4) 54 ° Выберите один из правильных ответов и отметьте его в таблице.
Вариант 2
1. Найдите радианную меру угла, равного 900 ° . 1) 5 π 2) 2,5 π 3) 9 π 4) 4,5 π 2. Найдите градусную меру угла, радианная мера которого равна − 1,8 π 1) ( − 1 100 ) ° 2) ( − 1 200 ) ° 3) − 324 ° 4) − 628 ° Выберите один из правильных ответов и отметьте его в таблице. № 1 2 3 4 1 2 № 1 2 3 4 1 2

Вариант 3
1. Найдите радианную меру угла, равного − 102 ° . 1) − 17 π 15 2) − 30 π 17 3) − 2 π 3 4) − 17 π 30 2. Найдите градусную меру угла, радианная мера которого равна − 7 π 10 . 1) − 126 ° 2) ( − 7 1800 ) ° 3) − 252 ° 4) − 68 ° Выберите один из правильных ответов и отметьте его в таблице
Вариант 4
1. Найдите радианную меру угла, равного 630 ° . 1) 1,5 π № 1 2 3 4 1 2
2) 2 π 7 3) 3,5 π 4) 1,75 π 2. Найдите градусную меру угла, радианная мера которого равна 5 π 18 1) ( 5 3240 ) ° 2) 50 ° 3) 100 ° 4) 25 ° Выберите один из правильных ответов и отметьте его в таблице
2.Определение знаков

Вариант 1
1. Определить знак выражения sin 290 ° ∙ cos 70 ° ∙ t g 100° 1) +¿ 2) −¿ 3) Определить знак невозможно 2. В какой четверти находится точка, соответствующая числу − 10 π 7 . 1) I 2) II 3) III 4) IV Выберите один из правильных ответов и отметьте его в таблице. № 1 2 3 4 1 2

Вариант 2
1. Определить знак выражения sin 110° ∙ cos 280 ° ∙ t g 130° 1) +¿ 2) −¿ 3) Определить знак невозможно 2. В какой четверти находится точка, соответствующая числу 25 π 6 . 1) I 2) II 3) III 4) IV Выберите один из правильных ответов и отметьте его в таблице.
Вариант 3
1. Определить знак выражения sin 140° ∙ cos 230 ° ∙ t g 195° 1) +¿ 2) −¿ 3) Определить знак невозможно № 1 2 3 4 1 2 № 1 2 3 4 1 2
2. В какой четверти находится точка, соответствующая числу − 21 π 8 . 1) I 2) II 3) III 4) IV Выберите один из правильных ответов и отметьте его в таблице.
Вариант 4
1. Определить знак выражения sin 285° ∙ cos 80 ° ∙ t g 340 ° 1) +¿ 2) −¿ 3) Определить знак невозможно 2. В какой четверти находится точка, соответствующая числу 61 π 16 . 1) I 2) II 3) III 4) IV Выберите один из правильных ответов и отметьте его в таблице. № 1 2 3 4 1 2 № 1 2 3 4 1 2

3.Формулы сложения

Вариант 1
1. Вычислить: sin ( α + β ) если cos α = 12 13 ,sin β = − 4 5 , 0° < α < 90 ° ,180 ° < β < 270 ° 1) − 1 5 2) − 63 65 3) − 11 5 4) − 49 65 2. Вычислите значение выражения cos 6 π 5 cos 7 π 10 + sin 6 π 5 sin 7 π 10 1) 1 2) cos π 10 3) − sin π 10 4) 0 Выберите один из правильных ответов и отметьте его в таблице.
Вариант 2
1. Вычислить: cos ( α − β ) если cos α = 1 3 , sin β = − 2 3 , 3 π 2 < α < 2 π , π < β < 3 π 2 1) − 1 3 2) 7 9 № 1 2 3 4 1 2
3) 4 √ 2 − √ 5 9 4) 4 √ 2 + √ 5 9 2. Вычислите значение выражения sin 10° cos 20 ° + cos 10 ° sin 20° 1) cos 10 ° 2) 1 2 3) − sin 10 ° 4) √ 3 2 Выберите один из правильных ответов и отметьте его в таблице.
Вариант 3
1. Вычислить: sin ( α − β ) если cos β = − 3 5 ,sin α = − 3 4 , π < α < 3 π 2 , π 2 < β < π 1) 9 + 4 √ 7 20 2) 9 − 4 √ 7 20 3) 11 20 4) − 7 20 2. Вычислите значение выражения 1+ cos π 5 cos 2 π 15 − sin π 5 sin 2 π 15 1) 0 № 1 2 3 4 1 2
2) 1+ cos π 15 3) 1,5 4) 2 + √ 3 2 Выберите один из правильных ответов и отметьте его в таблице.
Вариант 4
1. Вычислить: cos ( α + β ) если cos β = 2 3 , sin α = − 5 13 ,0 ° < β < 90 ° ,180 ° < α < 270° 1) − 7 13 2) 5 √ 5 + 24 39 3) − 11 39 4) 5 √ 5 − 24 39 2. Вычислите значение выражения sin π 18 cos 2 π 9 − sin 2 π 9 cos π 18 1) − 1 2 2) sin 5 π 18 3) − √ 3 2 4) √ 2 2 Выберите один из правильных ответов и отметьте его в таблице.
4.Тригонометрические

уравнения

Вариант 1
1. Решите уравнение: sin x =− 1 № 1 2 3 4 1 2 № 1 2 3 4 1 2
1) − π 2 + 2 πn , n ∈ Z 2) нет решений 3) 3 π 2 + 2 πn , n ∈ Z 4) 2 πn , n ∈ Z 2. Решите уравнении: cos x = − 1 2 1) π 3 + πn , n ∈ Z 2) нет решений 3) ± 2 π 3 + 2 πn , n ∈ Z 4) (− 1 ) n ∙ π 3 + πn , n ∈ Z Выберите один из правильных ответов и отметьте его в таблице.
Вариант 2
1. Решите уравнение: cos x = 3 1) нет решений 2) (− 1 ) n ∙arccos 3 + πn , n ∈ Z 3) ± arccos3 + πn , n ∈ Z 4) ± arccos3 + 2 πn ,n ∈ Z 2. Решите уравнении: sin x = √ 2 2 1) π 4 + πn , n ∈ Z 2) нет решений № 1 2 3 4 1 2
3) ± π 4 + 2 πn , n ∈ Z 4) (− 1 ) n ∙ π 4 + πn , n ∈ Z Выберите один из правильных ответов и отметьте его в таблице.
Вариант 3
1. Решите уравнение: cos x = 1 1) нет решений 2) π 2 + 2 πn , n ∈ Z 3) πn , n ∈ Z 4) 2 πn , n ∈ Z 2. Решите уравнении: tg x = 0 1) πn , n ∈ Z 2) π 2 + πn , n ∈ Z 3) нет решений 4) π 2 + 2 πn , n ∈ Z Выберите один из правильных ответов и отметьте его в таблице. № 1 2 3 4 1 2 № 1 2 3 4 1 2

Вариант 4
1. Решите уравнение: sin x =− 1 ,5 1) нет решений 2) (− 1 ) n + 1 ∙ ar csin1 ,5 + πn ,n ∈ Z 3) ± arc sin 1,5 + 2 πn ,n ∈ Z 4) (− 1 ) n + 1 ∙ ar csin1 ,5 + 2 πn , n ∈ Z 2. Решите уравнении: tg x = − √ 3 3 1) − π 3 + πn , n ∈ Z 2) − π 6 + πn , n ∈ Z 3) ± π 6 + πn , n ∈ Z 4) нет решений Выберите один из правильных ответов и отметьте его в таблице.
Тема: Логарифмы

1.Логарифмы и их свойства

Вариант 1
1. Вычислить: log 3 81 1) 3 2) − 2 № 1 2 3 4 1 2
3) − 3 4) 4 2. Вычислить: log 15 25 + log 15 9 1) 3 2) 2 3) 1 4) 0 Выберите один из правильных ответов и отметьте его в таблице.
Вариант 2
1. Вычислить: log 9 1 81 1) 2 2) − 2 3) 3 4) − 3 2. Вычислить: log 12 48 + log 12 3 1) 3 2) 1 3) 2 4) 0 Выберите один из правильных ответов и отметьте его в таблице. № 1 2 3 4 1 2 № 1 2 3 4 1 2

Вариант 3
1. Вычислить: log 999 1 1) 3 2) 2 3) 1 4) 0 2. Вычислить: log 11 484 − log 11 4 1) 3 2) 2 3) 0 4) 1 Выберите один из правильных ответов и отметьте его в таблице.
Вариант 4
1. Вычислить: log 0,25 4 1) − 3 2) 2 3) − 1 4) 0 № 1 2 3 4 1 2
2. Вычислить: log 11 605 − log 11 5 1) 2 2) 3 3) 0 4) 1 Выберите один из правильных ответов и отметьте его в таблице.
2.Логарифмические уравнения

Вариант 1
1. Решить уравнение: log 2 x = 3 1) 3 2) 5 3) 6 4) 8 2. Решить уравнение: log 1 2 ( 3 x + 1 ) =− 2 1) 3 2) 2 3) 1 4) 0 № 1 2 3 4 1 2
Выберите один из правильных ответов и отметьте его в таблице.
Вариант 2
1. Решить уравнение: log 6 x =− 2 1) 1 6 2) 1 36 3) 6 4) 36 2. Решить уравнение: log 1 4 ( 2 x + 1 ) =− 1 1) 3 2) 2, 5 3) 1,5 4) 4 Выберите один из правильных ответов и отметьте его в таблице.
Вариант 3
1. Решить уравнение: log 7 x =− 2 № 1 2 3 4 1 2 № 1 2 3 4 1 2
1) 1 49 2) 1 7 3) 7 4) 49 2. Решить уравнение: log 1 5 ( 4 x − 1 ) =− 1 1) 3 2) 2,5 3) 1,5 4) 4 Выберите один из правильных ответов и отметьте его в таблице.
Вариант 4
1. Решить уравнение: log 3 x = 2 1) 9 2) 7 3) 6 4) 8 2. Решить уравнение: log 1 3 ( 4 x + 1 ) =− 2 1) 3 2) 2 3) 1 № 1 2 3 4 1 2
4) 0 Выберите один из правильных ответов и отметьте его в таблице.
3.Логарифмические неравенства

Вариант 1
1. Решить неравенство: log 0,3 x ≤ 2 1) 0,09 ; + ∞ [ ¿ 2) − ∞ ; 0,09 ] ¿ 3) 0 ; 0,09 ¿ ¿ 4) [ 0 ; 0,09 ] 2. Решить уравнение: log 3 ( 2 x + 1 ) < 3 1) ( − ∞; − 1 2 ) 2) ( − 1 2 ; + ∞ ) 3) ( − 1 2 ; 13 ) 4) ( 13 ; + ∞ ) Выберите один из правильных ответов и отметьте его в таблице. № 1 2 3 4 1 2

Вариант 2
1. Решить неравенство: log 2 x > 2 1) ( 4 ; + ∞ ) 2) − ∞ ; 4 ] ¿ 3) 0 ; 4 ¿ ¿ 4) [ 0 ; 4 ] 2. Решить уравнение: log 0,2 ( x + 2 ) ≥ − 1 1) ( − ∞ ; − 2 ) 2) ( − 2 ; + ∞ ) 3) ( − 2 ; 3 ) 4) − 2 ; 3 ] ¿ Выберите один из правильных ответов и отметьте его в таблице.
Вариант 3
1. Решить неравенство: log 5 x ← 1 № 1 2 3 4 1 2 № 1 2 3 4 1 2
1) ( 0 ; + ∞ ) 2) − ∞ ; 1 5 ] ¿ 3) ( 0 ; 1 5 ) 4) [ 0 ; 1 5 ] 2. Решить уравнение: log 0,3 ( 4 x + 2 ) ≥ − 1 1) ( − ∞; − 1 2 ) 2) ( − 2 ; 1 3 ) 3) ( 1 3 ; + ∞ ) 4) − 1 2 ; 1 3 ] ¿ Выберите один из правильных ответов и отметьте его в таблице.
Вариант 4
1. Решить неравенство: log 5 x ← 1 1) ( 0 ; + ∞ ) 2) − ∞ ; 0 ] ¿ 3) ( 0; 5 ) № 1 2 3 4 1 2
4) [ 0 ; 5 ] 2. Решить уравнение: log 5 ( 4 x + 1 ) < 2 1) ( − ∞; − 1 4 ) 2) ( − 1 4 ; 6 ) 3) ( 6 ; + ∞ ) 4) − 1 4 ; 6 ] ¿ Выберите один из правильных ответов и отметьте его в таблице.
Тема: Показательные уравнения и неравенства.

1.Показательные уравнения

Вариант 1
3. Решить уравнение: 1 3 x = 9 5) 3 6) − 2 7) − 3 8) 4 4. Решить уравнение: 2 2 x − 7 = 8 5) 3 6) 4 7) 5 8) 6 № 1 2 3 4 1 2
Выберите один из правильных ответов и отметьте его в таблице.
Вариант 2
1. Решить уравнение: 1 2 x = 8 1) 3 2) − 2 3) − 3 4) 4 2. Решить уравнение: 3 2 x + 1 = 27 1) 4 1) 3 2) 2 3) 1 Выберите один из правильных ответов и отметьте его в таблице.
Вариант 3
1. Решить уравнение: 1 4 x = 64 1) 3 № 1 2 3 4 1 2 № 1 2 3 4 1 2
2) − 4 3) − 3 4) 4 2. Решить уравнение: 5 3 x − 4 = 25 1) 4 2) 3 3) 2 4) 1 Выберите один из правильных ответов и отметьте его в таблице.
Вариант 4
1. Решить уравнение: 1 5 x = 125 1) − 3 2) − 2 3) 3 4) 4 2. Решить уравнение: 6 3 x − 4 = 36 1) 1 2) 4 3) 3 4) 2 № 1 2 3 4 1 2
Выберите один из правильных ответов и отметьте его в таблице.
2.Показательные неравенства

Вариант 1
1. Решить неравенство: 2 x < 1 8 1) (− ∞; + ∞ ) 2) (− 3; + ∞ ) 3) (− ∞; − 3 ) 4) ( 0 ; − 3 ) 2. Решить уравнение: 1 2 3 x − 5 ≥ 4 1) (− ∞; + ∞ ) 2) (− ∞;1 ) 3) − ∞ ; 1 ] ¿ 4) ( 1; + ∞ ) Выберите один из правильных ответов и отметьте его в таблице.
Вариант 2
1. Решить неравенство: 1 3 x ≥ 9 № 1 2 3 4 1 2 № 1 2 3 4 1 2
1) (− ∞; + ∞ ) 2) (− 2; + ∞ ) 3) − ∞ ; − 2 ] ¿ 4) ( 0 ; − 2 ) 2. Решить уравнение: 3 x + 1 < 1 27 1) (− ∞; + ∞ ) 2) (− ∞; − 4 ) 3) − ∞ ; − 4 ] ¿ 4) (− 4 ; + ∞ ) Выберите один из правильных ответов и отметьте его в таблице.
Вариант 3
1. Решить неравенство: 4 x < 8 1) (− ∞; + ∞ ) 2) ( 1,5 ; + ∞ ) 3) (− ∞ ; 1,5 ) 4) ( 0 ; 1,5 ) 2. Решить уравнение: 1 3 2 x + 5 ≤ 9 1) (− ∞; + ∞ ) № 1 2 3 4 1 2
2) (− ∞ ; 3,5 ) 3) − ∞ ; − 3,5 ] ¿ 4) [ − 3,5 ; + ∞ ¿ Выберите один из правильных ответов и отметьте его в таблице.
Вариант 4
1. Решить неравенство: 1 4 x ≥ 2 1) (− ∞; + ∞ ) 2) (− ∞ ; 0,5 ) 3) − 0,5; 1 ] ¿ 4) − ∞ ; 0,5 ] ¿ 2. Решить уравнение: 4 2 x − 1 > 1 2 1) (− ∞; + ∞ ) 2) (− ∞ ; 0,25 ) 3) − ∞ ; 0,25 ] ¿ 4) ( 0,25 ; + ∞ ) Выберите один из правильных ответов и отметьте его в таблице. № 1 2 3 4 1 2 № 1 2 3 4 1 2

Тема: Производная и интегралы

1.Правила вычисления производной

Вариант 1
Найдите производные функций: 1. f ( x )= x 2 ( 2 − x ) 1) ´ f ( x )= 3 x 2 − 4 x 2) ´ f ( x )= 4 x − 1 3) ´ f ( x )= 4 x − 3 x 2 4) ´ f ( x )= 3 x 2 2. f ( x )= x ∙ ( x 2 − 3 ) 1 + x 1) ´ f ( x )= 2 x 3 + 3 x 2 − 3 ( 1 + x ) 2 2) ´ f ( x )= 3 x 2 − 3 ( 1 + x ) 2 3) ´ f ( x )= 4 x 3 + 3 x 2 − 6 x − 3 ( 1 + x ) 2 4) ´ f ( x )= − x 4 + 3 x 3 + 6 x 2 − 3 ( 1 + x ) 2 5) Выберите один из правильных ответов и отметьте его в таблице. 6) 7) 8) 9)
10)

11)Вариант 2
12) Найдите производные функций: 1. f ( x )= x 2 ( 1 − 2 x ) 1) ´ f ( x )= x − 4 x 2 2) ´ f ( x )= 2 x − 6 x 2 3) ´ f ( x )= 2 x + 6 x 2 4) ´ f ( x )= 4 x − 6 x 2 2. f ( x ) = x ∙ ( x 2 + 4 ) 2 + x 16) 1) № 2) 1 3) 2 4) 3 5) 4 6) 1 7) 8) 9) 10) 11) 2 12) 13) 14) 15)
1) ´ f ( x )= 4 x 3 + 6 x 2 + 8 x + 8 ( 2 + x ) 2 2) ´ f ( x )= − x 3 + 2 x 2 ( 2 + x ) 2 3) ´ f ( x )= 3 x 2 + 4 ( 2 + x ) 2 4) ´ f ( x )= 2 x 3 + 6 x 2 + 8 ( 2 + x ) 2 3. Выберите один из правильных ответов и отметьте его в таблице. 4. 5. 6. 7.
8.
9. 10. 11. 12. 13.
14. Вариант 3
15.Найдите производные функций: 1. 2 − x f ( x )= x ∙ (¿¿ 2 ) ¿ 1) ´ f ( x )=− 3 x 2) ´ f ( x )= 2 − 3 x 2 3) ´ f ( x )= 4 x + x 2 4) ´ f ( x )= 4 − 2 x 2 2. f ( x )= x ∙ ( x 2 − 4 ) 2 + x 1) ´ f ( x )= 2 x 3 + 6 x 2 − 8 ( 2 + x ) 2 2) ´ f ( x )= 3 x 2 − 4 ( 2 + x ) 2 3) ´ f ( x )= 4 x 3 + 6 x 2 − 8 x + 2 ( 2 + x ) 2 4) ´ f ( x )= − x 4 + 3 x 3 + 6 x 2 − 4 ( 2 + x ) 2 3. Выберите один из правильных ответов и отметьте его в таблице. 4. 5. 6. 16. 16. 1. № 2. 1 3. 2 4. 3 5. 4 6. 1 7. 8. 9. 10. 11. 2 12. 13. 14. 15. 1. № 2. 1 3. 2 4. 3 5. 4 6. 1 7. 8. 9. 10. 11. 2 12. 13. 14. 15.
7.
8.

9.

10.

11.

12.Вариант 4
13.Найдите производные функций: 1. f ( x )= x 2 ( 1 + 3 x ) 1) ´ f ( x )= 2 x + 9 x 2 2) ´ f ( x )= 2 + 9 x 2 3) ´ f ( x )= 4 x + 6 x 2 4) ´ f ( x )= 4 x + 2 x 2 2. f ( x )= x ∙ ( x 2 − 2 ) 3 + x 1) ´ f ( x )= 4 x 3 + 9 x 2 − 4 x − 6 ( 3 + x ) 2 2) ´ f ( x )= 3 x 2 − 2 ( 3 + x ) 2 3) ´ f ( x )= 2 x 3 + 9 x 2 − 6 ( 3 + x ) 2 4) ´ f ( x )= − x 4 + 3 x 3 + 6 x 2 − 2 ( 3 + x ) 2 3. Выберите один из правильных ответов и отметьте его в таблице. 4. 5. 6.
7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.2.Механический смысл производной

14.Вариант 1
15.Материальная точка движется по прямой по закону s ( t ) = 2t 3 − 16 t . Найдите ее скорость в момент времени t=2. 1) 24 2) 8 3) 15 4) 16 5) Выберите один из правильных ответов и отметьте его в таблице. 6) 7) 8)
9)
16. 1. № 2. 1 3. 2 4. 3 5. 4 6. 1 7. 8. 9. 10. 11. 2 12. 13. 14. 15. 11) 1) № 2) 1 3) 2 4) 3 5) 4 6) 1 7) 8) 9) 10)

10)

Вариант 2
11) Материальная точка движется по прямой по закону v ( t ) = 12 t − 3t 3 . Найдите ее ускорение в момент времени t=1. 1) 5 2) 7 3) 3 4) 9 5) Выберите один из правильных ответов и отметьте его в таблице. 6) 7) 8)
9)

10)

Вариант 3
11) Материальная точка массой 3 кг движется прямолинейно по закону s ( t ) = 17 t − 2t 2 + 1 3 t 3 , где s – путь в метрах, t – время в секундах. Найдите силу, действующую на нее в момент t=3c. 1) 294 2) 306 3) 194 4) 208 5) Выберите один из правильных ответов и отметьте его в таблице. 6) 7) 8) 9)
10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

Вариант 4
24) Материальная точка массой 4 кг движется прямолинейно по закону s ( t ) = 4 t + t 2 − 1 6 t 3 , где s – путь в метрах, t – время в секундах. Найдите силу, действующую на нее в момент t=2c 1) 36 2) 6 3) 4 4) 72 11) 1) № 2) 1 3) 2 4) 3 5) 4 6) 1 7) 8) 9) 10) 11) 1) № 2) 1 3) 2 4) 3 5) 4 6) 1 7) 8) 9) 10)
5) Выберите один из правильных ответов и отметьте его в таблице. 6) 7) 8)
9)

10)

Вариант 5
11) По прямой движутся две материальные точки по законам 12) s 1 ( t ) = t 2 − 6 t + 2и s 2 ( t ) = 3 − 2t 2 . В какой момент времени скорости точек будут равны? 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) Выберите один из правильных ответов и отметьте его в таблице. 6) 7) 8)
9)

10)

Вариант 6
11) По прямой движутся две материальные точки по законам 12) s 1 ( t ) = 2t 2 − 1и s 2 ( t ) = t 2 + 6 t + 5 . В какой момент времени скорости точек будут равны? 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) Выберите один из правильных ответов и отметьте его в таблице. 6) 7) 8) 11) 11) 1) № 2) 1 3) 2 4) 3 5) 4 6) 1 7) 8) 9) 10) 1) № 2) 1 3) 2 4) 3 5) 4 6) 1 7) 8) 9) 10) 11) 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)
9) 10)
11)3.Возрастание и убывание функции

12)

Вариант 1
13) Найдите промежутки убывания функции: 14) y = x 2 ∙ ( x + 6 ) 1) ( − ∞ ; − 4 ] , [ 0; + ∞ ) 2) [ − 4 ; 0 ] 3) [ − 2; 0 ] 4) ( − ∞ ; − 2 ] , [ 0 ; + ∞ ) 15) 16) Выберите один из правильных ответов и отметьте его в таблице. 17) 18) 19) 20)
21)

22)

23)

24)

Вариант 2
25) Найдите промежутки возрастания функции: 26) y = 12 x 2 − 2 x 3 1) ( − ∞; − 2 ] , [ 0; + ∞ ) 2) [ − 2; 0 ] 3) ( − ∞; 0 ] , [ 4 ; + ∞ ) 4) [ 0 ; 4 ] 27) 28) Выберите один из правильных ответов и отметьте его в таблице. 29) 30) 31) 32)
33)

34)
22) 12) № 13) 1 14) 2 15) 3 16) 4 17) 1 18) 19) 20) 21) 33) 23) № 24) 1 25) 2 26) 3 27) 4 28) 1 29) 30) 31) 32)

35)

36)

37)

38)

39)

40)

41)

42)

43)

44)

45)

46)

47)

Вариант 3
48) Найдите промежутки убывания функции: 49) y = x 2 ∙ ( x − 12 ) 1) ( − ∞ ; − 4 ] , [ 0; + ∞ ) 2) [ − 4 ; 0 ] 3) ( − ∞; 0 ] , [ 8 ; + ∞ ) 4) [ − 8 ; 0 ] 50) 51) Выберите один из правильных ответов и отметьте его в таблице. 52) 53) 54) 55)
56)

57)

58)

59)

Вариант 4
60) Найдите промежутки возрастания функции: 61) y = 6 x 2 − 2 x 3 1) [ 0 ; 2 ] 2) ( − ∞; 0 ] , [ 2 ; + ∞ ) 3) [ − 2; 0 ] 4) ( − ∞ ; − 2 ] , [ 0 ; + ∞ ) 62) 44) 34) № 35) 1 36) 2 37) 3 38) 4 39) 1 40) 41) 42) 43)
63) Выберите один из правильных ответов и отметьте его в таблице. 64) 65) 66) 67)
68)
69) 70) 71) 72) 73) 74) 75) 76) 77) 78) 79) 80) 81) 82) 83) 84) 85)
86)

Интегралы

87)

Вариант 1
3. Вычислить интеграл: ∫ 0 1 ( x − 2 ) dx 5) − 1,2 6) 1 7) −¿ 1,5 8) 1,7 4. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми x = 1и x = 2 , графиком функции y = x 2 и осью Ox . 5) 2,5 6) 2 1 3 7) 2 1 5 8) 2 55) 45) № 46) 1 47) 2 48) 3 49) 4 50) 1 51) 52) 53) 54)
88) Выберите один из правильных ответов и отметьте его в таблице. 89) 90) 91) 92)
93)

94)

95)

96)

97)

98)

Вариант 2
1. Вычислить интеграл: ∫ 0 1 ( 2 x − 2 ) dx 1) 1 2) −¿ 1 3) 2 4) − 2 2. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми x = 2и x = 3 , графиком функции y = x 2 и осью Ox . 1) 3,5 2) 6 1 3 3) 6 1 5 4) 2 99) Выберите один из правильных ответов и отметьте его в таблице. 100) 101) 102) 103) 104) 105) 106)
107)

Вариант 3
1. Вычислить интеграл: ∫ − 1 1 ( x 2 − x ) dx 71) 56) № 57) 1 58) 2 59) 3 60) 4 61) 1 62) 63) 64) 65) 66) 2 67) 68) 69) 70) 87) 72) № 73) 1 74) 2 75) 3 76) 4 77) 1 78) 79) 80) 81) 82) 2 83) 84) 85) 86)
1) 2 3 2) 1 2 3) -2 4) 1 3 2. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми x = 0 и x = 2 , графиком функции y = x 2 − 2 x + 2 и осью Ox . 1) 7 2) 8 3 3) 1 3 4) 4 108) Выберите один из правильных ответов и отметьте его в таблице. 109) 110) 111) 112) 113) 114)
115)

Вариант 4
1. Вычислить интеграл: ∫ − 1 1 ( x 3 − x 2 ) dx 1) − 2 3 2) 1 4 3) 2 4) − 1 3 103) 88) № 89) 1 90) 2 91) 3 92) 4 93) 1 94) 95) 96) 97) 98) 2 99) 100) 101) 102)
2. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми x = 1и x = 3 , графиком функции y = 6 x − x 2 и осью Ox . 1) 28 3 2) 46 3 3) 9 4) 18 116) Выберите один из правильных ответов и отметьте его в таблице. 117) 118) 119) 120) 121)
122)

4.Практическая работа №1

123)

ТЕМА: Применение свойств степеней с различным

показателем
124)
Цель занятия:
обобщить и систематизировать знания по теме “Степень с рациональным показателем”; проконтролировать уровень усвоения материала; ликвидировать пробелы в знаниях и умениях; формировать навыки самоконтроля. 125)
Умения и навыки, которые должны приобрести обучаемые на

занятии:
применять свойства степеней с различным показателем. 126)
Наглядные пособия, оборудование:
плакаты с формулами свойств арифметических корней и степеней с рациональным показателем; дидактические карточки с заданиями (3 варианта)
127)

Повторение теоретических основ:
1. Понятие степени с натуральным показателем 128) Схема 1 119) 104) № 105) 1 106) 2 107) 3 108) 4 109) 1 110) 111) 112) 113) 114) 2 115) 116) 117) 118)
129) 2. Арифметический корень n-й степени (определение). 3. Основные свойства. 130)  для и . Это важнейшее свойство, которое позволяет переходить от корней к рациональным степеням. После такого перехода можно пользоваться всеми свойствами степеней. 131)  для , и . 132)  для , и . 133)  для , и . 134)  для , и . 135)  для , и . 136)  для и . 137)  для и . 138)  для любого числа а и нечетного числа 139)
4. Степень с рациональным показателем. (определение). 140) 141) Если a > 0, то считают 142) = , 143) – несократимая дробь. 144) 145) 5. Основные свойства степени с рациональным показателем 1. a n ⋅ a m = a n + m 2. a n ÷ a m = a n − m 3. ( a n ) m = a nm 4. ( a ⋅ b ) n = a n ⋅ b n 5. ( a b ) n = a n b n 6. a 0 = 1
146)
7. a − n = 1 a n

147)
Практика :
студенты самостоятельно выполняют расчеты по выданным дидактическим карточкам- заданиям (4 варианта)
148)

Приложение:
дидактические карточки с вариантами заданий (4 варианта)
149)

Литература, необходимая для проведения работы:
1. Ш. А. Алимов. Алгебра и начала анализа. 17 изд. – М.: Просвещение, 2011. 2. А. Н. Колмогоров. Алгебра и начала анализа.1 изд.- М.:Просвещение,2011. 3. Ю. В. Кириченко. Репетитор по математике.- Харьков: Фолио, 1997. 150)
151) Вариант 1 1. Запишите обыкновенные дроби в виде десятичных дробей (конечных или бесконечных). a) 3 4 b) 5 2 c) 7 3 2. Запишите периодическую десятичную дробь 0,2(54) 152) в виде обыкновенной. 3. Вычислите: a) 5 + 3 √ − 64 b) 4 √ 2∙ 4 √ 8 c) 3 √ 54 3 √ 2 4. Вычислите: a) 81 1 4 ∙32 2 5 b) ( 27 ∙3 − 4 ¿ ¿ 2 c) 243 ¿ ¿ 5 ∙ ( 125 ) 1 3 − 2 ∙ ¿ 153) 154) Вариант 2 1. Запишите обыкновенные дроби в виде десятичных дробей (конечных или бесконечных). a) 1 4
b) 7 2 c) 5 3 2. Запишите периодическую десятичную дробь 0,4(45) 155) в виде обыкновенной. 3. Вычислите: a) 4 + 3 √ − 27 b) 3 √ 4 ∙ 3 √ 16 c) 4 √ 162 4 √ 2 4. Вычислите: 156) a) ( 125 ) 1 3 −( 64 ) 2 3 b) 7 − 7 ∙ 7 − 8 7 − 18 c) 2 − 3 ¿ ¿ 16 ∙ ¿ 157) 158) 159) Вариант 3 1. Запишите обыкновенные дроби в виде десятичных дробей (конечных или бесконечных). a) 3 25 b) 9 8 c) 3 11 2. Запишите периодическую десятичную дробь 0,16(8)
160) в виде обыкновенной. 3. Вычислите: a) 6 + 3 √ − 125 b) 5 √ 4 ∙ 5 √ 8 c) 4 √ 80 4 √ 5 161) 4. Вычислите 162) a) 6 − 4 ∙6 − 9 6 − 12 163) b) ( 27 ∙64 ¿ ¿ 1 3 164) c) 1 ( 5 ∙ 4 ) − 2 − 1 ( 2∙ 10 ) − 2 165) Вариант 4 1. Запишите обыкновенные дроби в виде десятичных дробей (конечных или бесконечных). a) 3 20 b) 11 8 c) 4 11 2. Запишите периодическую десятичную дробь 0,18(6) 166) в виде обыкновенной. 3. Вычислите: a) 7 + 3 √ − 216 b) 4 √ 3∙ 4 √ 27 c) 5 √ 128 5 √ 4 4. Вычислите
a) ( 625 ) 1 4 −( 32 ) 2 5 b) 10 (¿¿ 8 ) 2 ∙ 100 − 6 ¿ c) 243 ¿ ¿ 5 ∙ ( 343 ) 1 3 − 3 ∙ ¿
167)

168)

169)

Практическая работа №2

170)

ТЕМА: Преобразование алгебраических выражений с

использованием ФСУ и свойств степени.
171)
Цель занятия:
совершенствовать навыки тождественных преобразований рациональных выражений; учить умению сосредотачиваться на учебной деятельности и предупреждать ошибки. 172)
Умения и навыки, которые должны приобрести обучаемые на

занятии:
уметь рационально применять формулы сокращенного умножения и свойства степени для преобразования алгебраических выражений 173)
Наглядные пособия, оборудование:
приложение с ФСУ и свойствами степени , дидактические карточки с заданиями (4 варианта)
174)

Повторение теоретических основ:
175)
Формулы разложения на множители

176)

177) где - корни квадратного трехчлена 178) 179) 180) (свойства степени см. в практической работе №1) 181) 182)
Практика :
студенты самостоятельно выполняют расчеты по выданным дидактическим карточкам- заданиям (4 варианта)
183)

Приложение:
дидактические карточки с вариантами заданий (4 варианта)
184)

185)

Литература, необходимая для проведения работы:
1. Ш. А. Алимов. Алгебра и начала анализа. 17 изд. – М.: Просвещение, 2011. 2. А. Н. Колмогоров. Алгебра и начала анализа.1 изд.- М.:Просвещение,2011. 3. Ю. В. Кириченко. Репетитор по математике.- Харьков: Фолио, 1997. 186) 187) 188) 189) 190) 191) 192) 193) 194) 195) 196) 197) 198) 199) 200) 201) 202) 203) 204) 205) 206) 207) 208) 209) 210) 211) 212) 213) 214) 215)
216) 217) 218) 219) 220) 221) 222) 223) 224) 225) 226) 227) 228) 229) 230) 231) 232) 233) 234) 235) Вариант 1 236) 1. Разложить многочлен на сомножители : 237) a 2 − 3 b − 3 a + ab 2. Вычислите значение многочлена x 2 − 2 xy + y 2 238) при x=14 11 12 , y=8 11 12 3. Упростите выражение: 239) 2 a a + 1 + ( 3 ( a − 1 ) 2 − 3 a 2 − 1 ) : 3 a 2 − 2 a + 1 4. Найдите значение выражения 240) x 3 + y 3 x 2 − xy + y 2 − x 3 − y 3 x 2 + xy + y 2 , 241) при y=-0,25 242) 243) 244) 245) 246) Вариант 2 247)
1. Разложить многочлен на сомножители : 248) x 3 − x y 2 + x 2 y − y 3 2. Вычислите значение многочлена x 2 + 2 xy + y 2 249) при x=15 12 13 , y= -9 12 13 3. Упростите выражение: 250) ( 2 b 2 − 4 − 2 b 2 + 4 b + 4 ) : 2 ( b + 2 ) 2 − 2 b b − 2 4. Найдите значение выражения 251) x 3 − y 3 x 2 + xy + y 2 + x 3 + y 3 x 2 − xy + y 2 , 252) при x= 0,35 253) 254) 255) 256) 257) 258) 259) Вариант 3 260) 1. Разложить многочлен на сомножители : 261) 2 a 2 + 3 a − 2 ab − 3 b 2. Вычислите значение многочлена x 2 − 4 xy + 4 y 2 262) при x=14 16 17 , y=5 8 17 3. Упростите выражение: 263) ( a − 4 a − 9 a − 2 ) : ( 2 a − 2 a a − 2 ) 4. Найдите значение выражения 264) 8 x 3 + y 3 4 x 2 − 2 xy + y 2 + 8 x 3 − y 3 4 x 2 + 2 xy + y 2 , 265) при x = -0,5 266) 267)
268) 269) 270) Вариант 4 271) 1. Разложить многочлен на сомножители : 272) 3 x + x y 2 − x 2 y − 3 y 2. Вычислите значение многочлена x 2 + 6 xy + 9 y 2 273) при x=17 11 14 , y= -4 11 42 3. Упростите выражение: 274) ( 3 x − 3 x x − 4 ) : ( x − 6 x − 25 x − 4 ) 4. Найдите значение выражения 275) 27 x 3 + y 3 9 x 2 − 3 xy + y 2 − 27 x 3 − y 3 9 x 2 + 3 xy + y 2 , 276) при y=0,5 277) 278) 279) 280) 281) 282) 283) 284)
285)

Практическая работа №3

286)

ТЕМА: Решение упражнений на разложение.
287)
Цель занятия:
систематизировать знания; выработать умения выбирать рациональным способом решения квадратных уравнений; расширить и углубить представления студентов о решении уравнений; организовать поисковую деятельность студентов при решении квадратных равнений. 288)
Умения и навыки, которые должны приобрести обучаемые на

занятии:
уметь анализировать, сравнивать, обобщать, классифицировать, строить умозаключения, делать выводы. 289)
Наглядные пособия, оборудование:
приложение основных понятий при решении квадратных уравнений , дидактические карточки с заданиями (3 варианта)

290)

Повторение теоретических основ:
291)
Решение квадратных уравнений. Дискриминант. Формула

дискриминанта. Теорема Виета.
292) Квадратным уравнением называется уравнение вида 293) , 294) где 295) x - переменная, 296) a,b,c - постоянные (числовые) коэффициенты. 297) В
общем случае
решение квадратных уравнений сводится к нахождению дискриминанта: 298)
299)

Формула

дискриминанта:

300)
301) О корнях квадратного уравнения можно судить по знаку дискриминанта (D) :  D>0 - уравнение имеет 2 различных вещественных корня  D=0 - уравнение имеет 2 совпадающих вещественных корня  D<0 - уравнение имеет 2 мнимых корня (для непродвинутых пользователей - корней не имеет) 302) В общем случае корни уравнения равны: 303) . 304) Очевидно, в случае с нулевым дискриминантом, оба корня равны 305) . 306) Если коэффициент при х четный, то имеет смысл вычислять не дискриминант, а четверть дискриминанта: 307) 308) В таком случае корни уравнения вычисляются по формуле:
309) 310)
Теорема Виета.
311) Приведенным квадратным уравнением называется уравнение вида 312) , 313) то есть квадратное уравнение с единичным коэффициентом при старшем члене. 314) В этом случае целесообразно применять теорему Виета, которая позволяет получить относительно корней уравнения следующую систему уравнений: 315) . 316) Следует заметить, что любое квадратное уравнение может стать приведенным, если его поделить на коэффициент при старшем члене, то есть при х 2 . 317)
Биквадратные уравнения
318) Биквадратным называется уравнение вида ax 4 +bx 2 +c=0 319) Биквадратное уравнение решается методом замены переменной, а именно - положив x 2 = y, придем к квадратному уравнению: 320) ay 2 +by+c=0. 321)
Практика :
студенты самостоятельно выполняют расчеты по выданным дидактическим карточкам- заданиям (3 варианта)
322)

Приложение:
дидактические карточки с вариантами заданий (3 варианта)
323)

Литература, необходимая для проведения работы:
1. Ш. А. Алимов. Алгебра и начала анализа. 17 изд. – М.: Просвещение, 2011. 2. А. Н. Колмогоров. Алгебра и начала анализа.1 изд.- М.:Просвещение,2011. 3. Ю. В. Кириченко. Репетитор по математике.- Харьков: Фолио, 1997. 324) 325)
326) 327) 328) 329) 330) 331) 332) 333) 334) 335) 336) 337) 338) 339) 340) 341) 342) 343) 344) 345) 346) 347) 348) 349) 350) 351) 352) 353) 354) 355) 356) 357) 358) 359) 360) 361) 362) 363) Вариант 1 364) Решите уравнения: 1. 10 x 2 + 5 x = 0 2. 2 x 2 − 14 = 0 3. 2 x 2 + 3 x − 5 = 0 4. x 2 − 7 x − 8 = 0
5. x 4 − 7 x 2 + 12 = 0 365) Вариант 2 366) Решите уравнения: 1. 25 −¿ 10 0 x 2 = 0 2. 12 x 2 + 3 x = 0 3. 3 x 2 + 5 x − 2 = 0 4. x 2 − 8 x + 7 = 0 5. x 4 − 2 x 2 − 8 = 0 367) Вариант 3 368) Решите уравнения: 1. 3 x 2 − 6 = 0 2. x 2 + 6 x = 0 3. 2 x 2 − 7 x + 3 = 0 4. x 2 − 6 x − 16 = 0 5. x 4 − 8 x 2 − 9 = 0 369) Вариант 4 370) Решите уравнения: 1. 4 x 2 − x = 0 2. 3 x 2 − 75 = 0 3. 2 x 2 − 5 x + 3 = 0 4. x 2 + 2 x − 15 = 0 5. x 4 − 11 x 2 + 18 = 0 371) 372) 373) 374)
375) 376) 377) 378)
379)

Практическая работа №4

380)

ТЕМА: Решение неравенств.
381)
Цель занятия:
обобщить и систематизировать знания по теме «неравенства»; обеспечить закрепление алгоритма решения линейных, квадратных неравенств и метод интервалов для решения строгих и нестрогих рациональных неравенств; ознакомить студентов с приёмами решения иррациональных неравенств; 382)
Умения и навыки, которые должны приобрести обучаемые на

занятии:
уметь анализировать, сравнивать, обобщать, классифицировать, строить умозаключения, делать выводы. 383)
Наглядные пособия, оборудование:
приложение основных понятий при решении неравенств , дидактические карточки с заданиями (3 варианта)
384)

Повторение теоретических основ:

385)

Рациональные неравенства
386)
Неравенство –
это два числа или выражения, соединенные одним из знаков:  > (больше),  < (меньше),  ≤ (меньше или равно),  ≥ (больше или равно),  ≠ (не равно). 387)
Линейное неравенство
– это неравенство вида
ax + b > 0 (или ax

+ b < 0)
, где
а
и
b
– любые числа, причем
а
≠
0
. 388)
Решением неравенства
с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство. Например,
х + 5 < 17.
Подставив вместо
х
значение
1
, получим
1+ 5 <

17, 6 < 17 –
верное числовое неравенство. Значит,
х = 1 –
решение данного неравенства.
389)
Решить неравенство
– это значит найти все его решения или доказать, что решений нет.
390)

Свойства числовых неравенств:

1.

Если а > b и b > c, то а > с.

2.

Если а > b, то а + с > b + с.

3.

Если а > b и m > 0, то аm > bm;

Если а > b и m < 0 , то am < bm.

4.

Если а > b и с > d, то a + c > b + d.

5.

Если а > b и с > d, то ac > bd, где а, b, c, d – положительные числа.

6.

Если а > b, а и b – неотрицательные числа, то aⁿ > bⁿ , n – любое

натуральное число.

391)

392)

Алгоритм решения линейных

неравенств

393)
394)
Пример:
решить неравенство
5(х – 3) > 2х - 3
395) 1. Раскрыть скобки: 396)
5х – 15 >

2х - 3
397) 2. Перенести все слагаемые с х влево, а числа вправо, меняя при этом знак на противоположный: 398)
5х – 2х >

-3 + 15
399) 3. Привести подобные слагаемые: 400)
3х > 12
401) 4. Разделить обе части неравенства на число, стоящее перед
х
(если это число положительное, то знак неравенства не меняется; если это число отрицательное, то знак неравенства меняется на противоположный): 402)
3х > 12 : 3

х > 4
403) 5. Перейти от аналитической модели
х >

4
к геометрической модели: 404) 405) 6. Указать множество решений данного неравенства, записав ответ: 406)
Ответ: (4;

+∞)

407)
Определение:
Неравенство, левая часть которого есть многочлен второй степени, а правая – нуль, называется
неравенством второй

степени(или квадратным неравенством).
408) Все квадратные неравенства могут быть приведены к одному из следующих видов: 409) 1) ах 2 + bx + c > 0; 2) ах 2 + bx + c < 0; 3) ах 2 + bx + c > 0; 4) ах 2 + bx + c < 0. 410)
Алгоритм

решения

квадратных

неравенств
411)
Пример:
решить неравенство 412) 5х 2 +9х-2<0 413) 414) 1.Приведите неравенство к виду 415) 416) 2.Рассмотрим функцию 417) y=5х 2 +9х-2 418) 3. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. 419) 4. 5х 2 +9х-2=0 420) х 1 =-2; х 2 = 1 5 421) 422) 423) 424) Ответ: х Є (-2; 1 5 ) 425) ax 2 +bx+c>0 (ax 2 +bx+c<0) 427) 2. Рассмотрите функцию 429) y=ax 2 +bx+c 431) 3. Определите направление ветвей 433) 4. Найдите точки пересечения параболы 434) с осью абсцисс (для них y=0; х 1 и х 2 найдите, 435) решая уравнение ax 2 +bx+c=0) 437) 5. Схематически постройте график функции y=ax 2 +bx+c 439) 6. Выделите часть параболы, для которой y>0 (y<0) 441) 442) 7.На оси абсцисс выделите те значения х, для которых y>0 (y<0)
444) 8.Запишите ответ в виде промежутков 446)
447)

Метод интервалов.
448) Идея метода: Знак произведения или частного определяется знаком сомножителей. 449)
Пример 1:
[1] 1. Найдём нули числителя: , , . 2. Найдём нули знаменателя: . 3. Наносим найденные нули на числовую ось. Т.к. неравенство строгое, то все нули изображаем выколотыми точками, которые разбивают числовую ось на интервалы: 450)
451)

Иррациональные неравенства
452) При решении иррациональных неравенств используются те же приёмы, что и при решении иррациональных уравнений:  возведение обеих частей неравенства в одну и ту же степень;  введение новых (вспомогательных) переменных и др. 453) Обычный способ решения таких неравенств заключается в сведении их к иррациональным неравенствам (не содержащим корней) . Освободиться от корней иногда удаётся путём возведения обеих частей неравенства в степень. При этом, в силу того, что проверка полученных решений подстановкой затруднена, необходимо следить за тем, чтобы при преобразовании неравенств каждый раз получалось неравенство, равносильное данному. 454) При решении иррациональных неравенств следует помнить, что при возведении обеих частей неравенства в нечётную степень всегда получается неравенство, равносильное исходному неравенству. Если же обе части неравенства возводят в чётную степень, то полученное неравенство будет равносильно исходному и иметь тот же смысл лишь в случае, если обе части исходного неравенства неотрицательны. 455)
Пример 1.
Решить неравенство <1.
456)
Решение.
457) Обе части неравенства неотрицательны, можно возводить в квадрат, значит, 458) 459) 460) 461) 462) 463) Ответ: 464)
Практика :
студенты самостоятельно выполняют расчеты по выданным дидактическим карточкам- заданиям (2 варианта)
465)

Приложение:
дидактические карточки с вариантами заданий (2 варианта)
466)

Литература, необходимая для проведения работы:
1. Ш. А. Алимов. Алгебра и начала анализа. 17 изд. – М.: Просвещение, 2011. 2. А. Н. Колмогоров. Алгебра и начала анализа.1 изд.- М.:Просвещение,2011. 3. Ю. В. Кириченко. Репетитор по математике.- Харьков: Фолио, 1997. 467) 468) 469) 470) 471) 472) 473) 474) 475) 476) 477) 478) 479) 480) 481) Вариант 1 482) 483) 1. Найти решение неравенств с одним неизвестным: 484) а) 2( х + 3 ¿ ¿ 2 ¿ 3 ( 4 х + 5 ) + 11
485) б) 2,5(х+4)-16 ≤ 2(5х-1)+6 486) в) | 5 х − 2 | ≤ 3 487) 2.Решить неравенство с помощью метода интервалов: 488) х − 2 ( х − 3 ) ( х − 5 ) < 0 489) 3. Решить неравенство: 490) √ х 2 − 4 х + 4 ≥ 4 491) 492) Вариант 2 493) 494) 1.Найти решение неравенств с одним неизвестным: 495) а) 8(2х-1)+5 ¿ 7 ( 2 х + 1 ) 496) б) 4х(х+1) ≤ ( х − 1 ) 2 + 8 497) в) | 3 х − 1 | < 4 498) 499) 2. Решить неравенство с помощью метода интервалов: 500) ( х − 1 ) ( х − 2 ) ( х − 3 ) > 0 501) 3.Решить неравенство: 502) √ х 2 − 6 х + 9 > 3 503) 504)
505) 506) Вариант 3 507) 508) 1. Найти решение неравенств с одним неизвестным: 509) а) 5 x − 2 ( x − 4 ) ≥ 9 x + 23 510) б) 5 ( x + 4 )< 2 ( 4 x − 5 ) 511) в) | 5 х + 2 | ≤ 4 512) 2.Решить неравенство с помощью метода интервалов: 513) х − 1 ( х − 4 ) ( х − 5 ) ≤0 514) 3. Решить неравенство: 515) √ 2 х 2 + 3 х − 2 > 0 516) Вариант 4 517) 518) 1. Найти решение неравенств с одним неизвестным: 519) а) 6 x − 3 ( x − 1 ) ≤ 2 + 5 x 520) б) 3 ( 3 x − 1 )> 2 ( 5 x − 7 ) 521) в) | 2 х + 1 | ≥ 5 522) 2.Решить неравенство с помощью метода интервалов: 523) ( х − 1 ) ( х − 4 ) ( х − 5 ) ≥0 524) 3. Решить неравенство: 525) √ 2 + x − х 2 >− 1 526)
527) 528) 529) 530) 531) 532) 533) 534) 535) 536) 537) 538) 539) 540) 541) 542) 543) 544) 545) 546) 547) 548) 549) 550) 551) 552) 553) 554) 555) 556) 557) 558) 559) 560) 561) 562) 563) 564) 565) 566) 567) 568) 569) 570)
571)

Практическая работа №5

572)

ТЕМА: Решение систем с двумя переменными.

573)
Цель занятия:
Обобщить знания, умения и навыки студентов по способам решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными и применять эти знания при решении; развивать логическое мышление учащихся; вырабатывать умение сравнивать, делать выводы, делать самопроверку. 574)
Умения и навыки, которые должны приобрести обучаемые на

занятии:
Уметь правильно выбирать и применять способы решения систем уравнений на уровне обязательных результатов обучения и уровне возможностей. 575)
Наглядные пособия, оборудование:
приложение основных понятий при решении систем уравнений , дидактические карточки с заданиями (3 варианта)
576)

Повторение теоретических основ:

577)
578)
Системой линейных уравнений
с 2 переменными называется… запись 579) 580) Где а 1, а 2, в 1, в 2, с 1, с 2, - заданные числа, а х и у - неизвестные
581)
582)
Система уравнений — это условие, состоящее в

одновременном выполнении нескольких уравнений относительно

нескольких переменных. Решением системы уравнений называется

упорядоченный набор чисел (значений переменных), при

подстановке которых вместо переменных каждое из уравнений

обращается в верное равенство.

583)

584)

Способы решения систем уравнений

585)
 Графический способ.  Способ подстановки.  Способ алгебраического сложения.  Способ выведения новой переменной.  Способ разложения на множители . 586)
587)

Методические рекомендации по решению систем уравнений

588)

1.

Графический способ

589) Строятся графики обоих уравнений, находятся точки пересечения графиков.
2.

Способ подстановки
590) Выражают из одного уравнения одну переменную через другую 591) Подставляют полученное выражение в другое уравнение 592) Решают полученное уравнение с одной переменной 593) Находят значение второй переменной 594) Записывают ответ
3.

Способ сложения
595) Умножают обе части одного или обоих уравнений на какое-либо число так, что при последующем сложении какие-то слагаемые взаимно уничтожить 596) Складывают почленно полученные уравнения 597) Решают полученное уравнение с одной переменной 598) Находят значения другой переменной
4.

Если одно или оба уравнения однородные
599) Проверяют, является ли решением системы уравнений пара чисел (0;0) 600) Делят каждое слагаемое одного уравнения на большую степень одной из переменных 601) Вводят новую переменную 602) Решают уравнение относительно новой переменной 603) Выражают одну переменную через другую 604) Решают новое уравнение с одной переменной 605) Находят значение второй переменной 606)
5.

Введение новой переменной
607) Вводится новая переменная t, получается дробно-рациональное уравнение относительно t. Решая полученное уравнение, находят значения t, и выражают либо х, либо у через вторую переменную. Подставляя полученное выражение во второе уравнение, решают уравнение с одной переменной.
6.

Разложение на множители
608) Применяя способ группировки, раскладывают выражение на множители. Произведение двух множителей равно 0, когда хотя бы один из множителей равен 0. Выражают одну переменную через другую, подставляют полученные выражения во второе уравнение и получают уравнение с одной переменной
609)

Пример типового расчета:
610) (выполняется всей группой вместе с преподавателем)
611)

Способ подстановки
612) П р и м е р . Решить систему уравнений: 613)
614) Из первого уравнения выразим х через коэффициенты и y : 615) 616) x = ( 2y + 4 ) / 3 . 617) 618) Подставляем это выражение во второе уравнение и находим y : 619) 620) ( 2y + 4 ) / 3 + 3y = 5 , откуда y = 1 . 621) 622) Теперь находим х, подставляя найденное значение вместо y в 623) выражение для х: x = ( 2 · 1 + 4 ) / 3, откуда x = 2 . 624) Ответ: (2;1) 625) 626)
627)

Способ алгебраического сложения
628) 629) П р и м е р . Решить систему уравнений: 630) 631) методом сложения или вычитания. 632) Умножаем первое уравнение на –1, второе – на 3 и складываем их: 633) 634) отсюда y = 1. Подставляем это значение во второе уравнение 635) (а в первое можно?): 3x + 9 = 15, отсюда x = 2. 636) Ответ: (2;1)
637)

638)

Графический способ

 х+у=12 (1)  х-у=2 (2)  у=-х+12 (1)  -у=-х+2 / *(-1) (2)  у=-х+12 (1)  у=х-2 (2)  (1)  x  0  6  y  12  6  (2)  x  0  6  y  -2  4  х=7  y=5  Ответ: (7;5) 1. Строим в координатной плоскости графики каждого уравнения системы (2 прямые).  Координаты любой точки (1) прямой являются решениями (1) уравнения. Координаты любой точки (2) прямой являются решениями (2) уравнения. 2. Отыскиваем точку пересечения графиков. Записываем ее координаты.  Координаты точки пересечения двух прямых удовлетворяют (1) и (2) уравнению, т. е. являются решениями системы. 3. Делаем вывод о числе решения системы.  Так как графики пересекаются в одной точке, то система имеет единственное решение. 4. Записываем ответ. 639)
Практика :
студенты самостоятельно выполняют расчеты по выданным дидактическим карточкам- заданиям (4 варианта) 640)
641)

Приложение:
дидактические карточки с вариантами заданий (4 варианта)
642)

643)

Литература, необходимая для проведения работы:
1. Ш. А. Алимов. Алгебра и начала анализа. 17 изд. – М.: Просвещение, 2011. 2. А. Н. Колмогоров. Алгебра и начала анализа.1 изд.- М.:Просвещение,2011. 3. Ю. В. Кириченко. Репетитор по математике.- Харьков: Фолио, 1997. 644) 645) 646) 647) 648) 649) 650) 651) 652) 653) 654) 655)
656) 657) 658) Вариант 1 1. Решить системы уравнений: 659) 660) а) { 3 х − 4 y = 2 2 х + y = 5 661) 662) б) { х + y = 1 х 2 + y 2 = 25 663) 664) в) { х 3 + у 3 = 28 х + y = 4 665) 2. Решить систему уравнений графическим способом: 666) 667) { х + 2 y =− 2 2 х + 4 y = 8 668) 669) 670) 671) Вариант 2 672) 1. Решить системы уравнений: 673) 674) а) { 3 х − 2 y = 17 2 х + 3 y = 7 675) 676) б) { х + y = 10 х 2 − y 2 = 40 677) 678) в) { х 2 − х y + у 2 = 7 y + х = 5 679) 2. Решить систему уравнений графическим способом: 680) 681) { х − y =− 1 х + y = 2 682) 683) 684)
685) 686) 687) 688) 689) 690) 691) 692) 693) 694) Вариант 3 695) 1. Решить системы уравнений: 696) а) { 4 х − 5 y =− 1 7 х − 2 y = 5 697) 698) б) { х 2 − y 2 = 8 х − у = 4 699) 700) в) { х y + х 2 = 10 х y + y 2 = 15 701) 2. Решить систему уравнений графическим способом: 702) 703) { y − х 2 = 0 х − y + 2 = 0 704) 705) Вариант 4 706) 1. Решить системы уравнений: 707) а) { 2 х − 5 y =− 21 3 х + 4 y = 3 708) 709) б) { х 2 + y 2 = 74 х + у = 12 710) 711) в) { 1 x + 1 y = 1 х + y = 4 712) 2. Решить систему уравнений графическим способом: 713)
714) { y + x 2 = 9 y + 9 = x 2 715) 716) 717) 718) 719) 720) 721) 722) 723) 724) 725) 726) 727)
728)

Практическая работа №6

729)

Тема: Действия над комплексными числами.
730)
Цель занятия:
закрепить навыки выполнения действий над комплексными числами; научиться решать квадратные уравнения с отрицательным дискриминантом. 731)
Умение и навыки, которые должны приобрести обучаемые

на занятии:
выполнять действия над комплексными числами в разных формах записи, решать квадратные уравнения при Д ¿ 0 , находить сопряженные корни. 732)
Наглядные пособия, оборудование:
плакат «Формы записи комплексного числа»; микрокалькулятор; дидактические карточки с заданиями. 733)
734)

Повторение теоретических основ:

1.

Алгебраическая форма записи комплексного числа.

2.

Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

3.

Извлечение корней из комплексных чисел. Квадратное уравнение с

комплексными корнями.
735)
Основные определения и операции во множестве комплексных

чисел
. 736)
Комплексными числами
называются числа вида
а+bi
, где
а
и
b
– действительные числа,
i
- мнимая единица, при чем
737)

i 2 =− 1 738) Равенство комплексных чисел. Два комплексных числа и считаются равными тогда и только тогда, когда равны отдельно их вещественные части и коэффициенты при мнимой единице, т.е.
, если . Для неравных комплексных чисел понятия “больше” и “меньше” не устанавливаются. 739) Два комплексных числа и называются сопряженными. Комплексные числа вида и называются противоположными. 740) Т.к. выражение напоминает многочлен первой степени (только не является переменной), то операции над комплексными числами производятся по тем же правилам, что и над многочленами, причем, когда появляется , его заменяют на . 741) 742) Т.е. при вычислении встретятся только четыре случая: 743) 744) Сложение. Суммой двух комплексных чисел и называется комплексное число , т.е. . 745) Вычитание. . 746) Умножение. Произведением комплексных чисел и называется комплексное число , 747) т.е. . 748) Деление. Частное двух комплексных чисел можно найти, умножая числитель и знаменатель на комплексное число, сопряженное знаменателю, и выделяя в полученном результате действительную и мнимую части, т.е. 749)
750)

Примеры типового расчета:
751) (выполняется всей группой вместе с преподавателем) 752) Пример 1. Найти сумму чисел и . 753) Решение: по правилу сложения комплексных чисел имеем:
754) . 755) Пример 2. Найти произведение чисел и . 756) Решение: по правилу умножения комплексных чисел имеем: 757) . 758) Пример 3. Найти частное от деления чисел и . 759) Решение: . 760) Пример 4. Решить квадратное уравнение 761) Вычислим дискриминант: 762) Дискриминант отрицателен, и в действительных числах уравнение решения не имеет. Но корень можно извлечь в комплексных числах! 763) По известным школьным формулам получаем два корня: – сопряженные комплексные корни 764) Таким образом, уравнение имеет два сопряженных комплексных корня: и 765)
Практика:
студенты самостоятельно выполняют расчеты по дидактическим карточкам-заданиям (4 варианта). 766) 767)
Приложение:
дидактические карточки с заданиями в 4 варианта. 768)
769)

Литература, необходимая для проведения работы:

770)
1. Г.Н.Яковлев и др. Алгебра и начало анализа, частьII – Москва, Высшая школа, 1987. 2. А.А. Дадаян Математика – Москва, Форум – Инфра – М., 2005. 3. Н.В.Богомолов. Практические занятия по математике. – Москва, Высшая школа, 1990.
771)

772)

773)

774)

775)

776)

777)

778)

779)

780)

781)

782)

783)

784)

785)

786)

787)

788)

789)

790)

791)

792)

793)

794)

795)

796)

797)

798)

Вариант 1
1. Вычислить: a) ( 0,3 + 0,2i ) +( 0,2 − 0,1i ) b) ( 0,5 + 0,2i ) −( 1 − 0,1 i ) c) ( 0,5 + 0,2i ) ( 1 − 0,1 i ) d) 0,3 + 0,2i 0,5 + 0,2i 2. Решить уравнение: x 2 − 6 x + 13 = 0
799)

800)

Вариант 2
1. Вычислить: a) ( 0,3 − 0,2 i ) +( 0,2 + 0,1i ) b) ( 0,5 − 0,2 i ) −( 1 + 0,1 i )
c) ( 0,5 − 0,2 i ) ( 1 + 0,1 i ) d) 0,3 − 0,2 i 0,5 − 0,2 i 2. Решить уравнение: x 2 − 4 x + 20 = 0
801)

802)

803)

Вариант 3
1. Вычислить: a) ( 0,8 − 0,7 i ) +( 0,6 + 0,5i ) b) ( 0,5 − 0,6 i ) −( 0 ,8 + 0,9i ) c) ( 0,8 − 0,7 i ) ( 0,8 + 0,9 i ) d) 0,6 − 0,5 i 0,8 − 0,7 i 2. Решить уравнение: x 2 − 4 x + 5 = 0
804)

805)

Вариант4
1. Вычислить: a) ( − 0,8 + 0,7i ) +( 0,6 + 0,5 i ) b) ( 0,5 − 0,6 i ) −(− 0 , 8 − 0,9i ) c) ( − 0,8 − 0,7 i ) (− 0,8 + 0,9 i ) d) 0,6 + 0,5 i 0,8 − 0,7 i 2. Решить уравнение: x 2 − 2 x + 5 = 0 806)
807)

808)

809)

810)

Практическая работа №7

811)

ТЕМА: Показательная функция. Решение

показательных уравнений и неравенств. Системы

уравнений и неравенств.
812)
Цель занятия:
Формировать умение строить графики показательных функций , если или ; развить умение читать графики функций, выделяя их свойства . Отработать навыки решения показательных уравнений и неравенств основными методами. Обобщить знания, умения и навыки студентов по способам решения систем показательных уравнений и применять эти знания при решении. развивать логическое мышление, память, познавательный интерес; вырабатывать умение анализировать. 813)
Умения и навыки, которые должны приобрести обучаемые на

занятии:
Уметь строить графики показательных функций, выделяя их свойства; правильно выбирать и применять основные методы решения показательных уравнений, неравенств и систем. 814)
Наглядные пособия, оборудование:
приложение основных понятий при решении уравнений, неравенств и систем ; дидактические карточки с заданиями (3 варианта)
815)

Повторение теоретических основ:
816)
Определение
.
Функция
вида называется
показательной функцией
. 817)
y = a

x

, a > 1
818)
y = a

x

, 0< a < 1
819) 820)
821)

822)

823)

Свойства показательной функции

824) Свойства показательной функции 825)
y = a

x

, a

> 1
826)
y = a

x

, 0<

a < 1
1. Область определения функции 827) 828) 2. Область значений функции 829) 830) 3.Промежут ки сравнения с единицей 831) при x > 0, a x
>
1 832) при x > 0, 0< a x < 1 834) при x < 0, 0< a x < 1 835) при x < 0, a x
>
1 836) 4. Чётность, нечётность. 837) Функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида). 838) 5.Монотонн ость. 839) монотонн о возрастает на
R
840) монотонн о убывает на
R
841) 6. Экстремумы. 842) Показательная функция экстремумов не имеет. 843) 7.Асимптота 844) Ось O x является горизонтальной асимптотой. 845) 8. При любых действительных значениях xи y; 846) 847)
848) Уравнения, содержащие неизвестную переменную в показателе степени, называются показательными
849) . 850)
Рассмотрим решение показательных неравенств вида

, где b – некоторое рациональное число.
Если a>1, то показательная функция монотонно возрастает и определена при всех х. Для возрастающей функции большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Тогда неравенство равносильно неравенству . Если 0<a<1, то показательная функция монотонно убывает и определена при всех х. Для убывающей функции большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Тогда неравенство равносильно неравенству 1. Рассмотрите приведенные ниже примеры решения показательных неравенств вида . 851) Пример 1. Решим неравенство 852) Запишем неравенство в виде . Т. к. , то показательная функция возрастает. Поэтому данное неравенство равносильно неравенству . Ответ: .
853) Пример 2. Решим неравенство 1 2 х > √ 8 854) Запишем неравенство в виде 1 2 х > 2 3 2 или 1 2 х > 1 2 − 3 2 855) Т. к. , то показательная функция убывает. Поэтому данное неравенство равносильно неравенству х ¿− 3 2 . Ответ: ( − ∞; − 3 2 ). 856)
Практика :
студенты самостоятельно выполняют расчеты по выданным дидактическим карточкам- заданиям (3 варианта) 857)
858)

Приложение:
дидактические карточки с вариантами заданий (3 варианта)
859)

860)

Литература, необходимая для проведения работы:
1. Ш. А. Алимов. Алгебра и начала анализа. 17 изд. – М.: Просвещение, 2011. 2. А. Н. Колмогоров. Алгебра и начала анализа.1 изд.- М.:Просвещение,2011. 3. Ю. В. Кириченко. Репетитор по математике.- Харьков: Фолио, 1997. 861) 862) 863) 864) 865) 866) 867) 868) 869) 870) 871) 872) 873) 874) 875) 876) 877) 878)
879) 880) 881) 882) 883) 884) 885) 886) 887) 888) Вариант №1 1. Перечислите свойства функции и постройте ее график. 889) 890) y = 4 х 891) 2. Решить уравнения. 892) 893) а) 3 х + 1 = 27 х − 1 б) 2 х + 2 х + 3 = 144 894) 895) 3. Решить неравенства. 896) 897) а) 3 х − 2 > 9 б) ( 1 5 ) 2 x 2 − 3 x ≥ 5 898) 899) 4. Решить систему уравнений 900) 901) { 3 2 у − х = 1 81 3 х − у + 2 = 27 902) 903) 904) 905) 906) 907) 908) 909) 910)
911) 912) 913) 914) 915) 916) 917) 918) 919) 920) 921) 922) Вариант №2 1. Перечислите свойства функции и постройте ее график. 923) 924) y = 0,7 х 925) 2. Решить уравнения. 926) 927) а) 0,2 2 х − 5 = 1 б) 3 х + 4 ∙3 х + 1 = 13 928) 929) 3. Решить неравенства. 930) 931) а) 5 2 х < 1 25 б) ( 1 2 ) x 2 + x − 2 < 2 2 x − 1 932) 933) 4. Решить систему уравнений 934) 935) { 1 5 4 х − у = 25 7 9 х − у = √ 7 936) 937) 938) 939) 940) 941)
942) 943) 944) 945) 946) 947) 948) 949) 950) 951) 952) 953) 954) 955) 956) Вариант №3 1. Перечислите свойства функции и постройте ее график. 957) 958) y = 2,5 х 959) 2. Решить уравнения. 960) 961) а) 27 х = 1 9 б) 4 ∙ 2 х − 2 х + 1 − 32 = 0 962) 963) 3. Решить неравенства. 964) 965) а) ( 1 3 ) х > 1 81 б) 2 x + 2 + 2 x + 5 < 9 966) 967) 4. Решить систему уравнений 968) 969) { 4 х + у = 128 5 3 х − 2 у − 3 = 1 970) 971) 972)
973) 974) 975) 976) 977) 978) 979) 980) 981) 982) 983) 984) 985) 986) 987) 988) 989) 990) 991) 992) Вариант №4 1. Перечислите свойства функции и постройте ее график. 993) 994) y = 1 4 x 995) 2. Решить уравнения. 996) 997) а) 0,3 5 − 2 х = 0, 09 б) 25 x + 4 ∙5 x − 5 = 0 998) 999) 3. Решить неравенства. 1000) 1001) а) 1 6 x < 216 б) ( 0,4 ) 9 − x 2 ≤ 1 1002) 1003) 4. Решить систему уравнений
1004) 1005) { x + y = 1 5 x − 2 y = 1 25 1006) 1007) 1008) 1009) 1010) 1011) 1012) 1013) 1014) 1015) 1016) 1017) 1018) 1019) 1020) 1021) 1022) 1023) 1024) 1025) 1026) Вариант №5 1. Перечислите свойства функции и постройте ее график. 1027) 1028) у= 1 6 x 1029) 2. Решить уравнения. 1030) 1031) а) 1 3 ¿ ¿ ¿ б) 2 2 x + 1 − 9∙ 2 x + 4 = 0 1032) 1033) 3. Решить неравенства. 1034) а) ( 1 2 ) 3 x − 5 ≥ 4 б) 5 2 x − 6 ∙ 5 x + 5 > 0 1035)
4. Решить систему уравнений 1036) 1037) { 0,5 3 x ∙ 0,5 y = 0,5 2 3 x ∙2 − y = 32 1038) 1039) 1040) 1041) 1042) 1043) 1044) 1045) 1046) 1047) 1048) 1049) 1050) 1051) 1052) 1053) 1054) 1055) 1056) 1057) 1058) 1059) 1060) Вариант №6 1. Перечислите свойства функции и постройте ее график. 1061) 1062) у= 6 x 1063) 2. Решить уравнения. 1064) 1065) а) 5 x + 2 + 5 x = 130 б) 3 2 x + 1 − 28∙ 3 x + 9 = 0 1066) 1067) 3. Решить неравенства.
1068) а) 0,5 5 x + 3 > 4 б) 4 2 x − 5 ∙ 4 x + 4 < 0 1069) 4. Решить систему уравнений 1070) 1071) { 2 y − x + 4 = 0 5 x − y + 2 = 125 1072) 1073) 1074) 1075) 1076) 1077) 1078) 1079) 1080) 1081) 1082) 1083) 1084) 1085) 1086) 1087) 1088) 1089) 1090) 1091) 1092) 1093) 1094) 1095) 1096) 1097)
1098)

Практическая работа №8

1099)

ТЕМА: Логарифм и его свойства.
1100)
Цель занятия:
уметь применять определение логарифма и основное логарифмическое тождество при решении заданий; научиться
применять свойства логарифмов при решении заданий; закрепить вычислительные навыки; формировать самостоятельность мышления, мыслительных операций: сравнение, анализ, синтез, обобщение, аналогия. 1101)
Умения и навыки, которые должны приобрести обучаемые на

занятии:
Уметь правильно выбирать и применять основные логарифмические свойства. 1102)
Наглядные пособия, оборудование:
приложение основных понятий при решении логарифмических выражений , дидактические карточки с заданиями (4 варианта)
1103)

Повторение теоретических основ:
1104)
Логарифмом положительного числа b по основанию a, где

a>0, a ≠ 1 называется показатель степени, в которую надо возвести

a, чтобы получить число b.
1105) 1) log 10 100 = 2, т.к. 10 2 = 100 (определение логарифма и свойства степени), 2) log 5 5 3 = 3, т.к. 5 3 = 5 3 (…), 3) log 4 = –1, т.к. 4 –1 = (…).
1106)Основное логарифмическое тождество
1107)В записи b=a t число a является основанием степени, t - показателем, b - степенью. Число t - это показатель степени, в которую надо возвести основание a, чтобы получить число b. Следовательно, t - это логарифм числа b по основанию a:
t=log

a

b.
Подставляя в равенстве t=log a b выражение b в виде степени, получим еще одно тождество: 1108)
log

a

a

t

=t.
1109) Можно сказать, что формулы a t =b и t=log a b равносильны, выражают одну и ту же связь между числами a, b и t (при a>0, a 1, b>0). Число t - произвольно, никаких ограничений на показатель степени не накладывается. Подставляя в равенство a t =b запись числа t в виде логарифма, получаем равенство, называемое
основным логарифмическим тождеством
:
=b .
1110) 1) (3 2 ) log 3 7 = (3 log 3 7 ) 2 = 7 2 = 49 (степень степени, основное логарифмическое тожество, определение степени), 2) 7 2 log 7 3 = (7 log 7 3 ) 2 = 3 2 = 9 (…),
3) 10 3 log 10 5 = (10 log 10 5 ) 3 = 5 3 = 125 (…), 4) 0,1 2 log 0,1 10 = (0,1 log 0,1 10 ) 2 = 10 2 = 100 (…).
1111)

Свойства логарифма
1112) a>0, b>0, a , c>0 1113) 1. 1114) 2. 1115) 3. 1116) 4. , (c 1117) 5. 1118) 6. 1119) 7. 1120)
Практика :
студенты самостоятельно выполняют расчеты по выданным дидактическим карточкам- заданиям (4 варианта)
1121)

Приложение:
дидактические карточки с вариантами заданий (4 варианта)
1122)

Литература, необходимая для проведения работы:
1. Ш. А. Алимов. Алгебра и начала анализа. 17 изд. – М.: Просвещение, 2011. 2. А. Н. Колмогоров. Алгебра и начала анализа.1 изд.- М.:Просвещение,2011. 3. Ю. В. Кириченко. Репетитор по математике.- Харьков: Фолио, 1997. 1123) 1124) 1125) 1126) 1127) 1128) 1129) 1130) 1131) 1132) 1133) Вариант №1
1. Вычислите: 1134) а) log 2 8 б) log 9 1 81 в) log 0,2 5 1135) 1136) г) log 99 1 д) lg 10000 1137) 2. Вычислите: 1138) а) log 12 48 + log 12 3 1139) 1140) б) log 11 484 − log 11 4 1141) 1142) в) 2 log 2 5 1143) 1144) г) log 3 125 log 3 5 1145) 3. Вычислите: 1146) 4 log 1 2 3 − 2 3 log 1 2 27 − 2 log 1 2 6 1147) 1148) 1149) 1150) 1151) 1152) Вариант 2 1153) 1154) 1.Вычислите: 1155) а) log 3 27 б) log 2 1 4 в) log 0,5 2 1156) 1157) г) log 98 1 д) lg 0,001 1158) 2. Вычислите: 1159) а) log 12 16 + log 12 9 1160) 1161) б) log 11 363 − log 11 3 1162) 1163) в) 7 log 7 24 1164)
1165) г) log 5 64 log 5 4 1166) 3. Вычислите : 1167) 2 3 lg 0,001 + lg 3 √ 1000 − 3 5 lg √ 10000 1168) 1169) 1170) 1171) 1172) Вариант 3 1173) 1. Вычислите: 1174) а) log 3 81 б) log 6 1 √ 6 в) log 0,25 4 1175) 1176) г) log 999 1 д) lg 100 3 1177) 2. Вычислите: 1178) а) log 15 25 + log 15 9 1179) 1180) б) log 11 605 − log 11 5 1181) 1182) в) 2 log 2 25 1183) 1184) г) log 4 216 log 4 6 1185) 1186) 3. Вычислите: 1187) ( log 7 2 + 1 log 5 7 ¿ ×lg 7 1188) 1189) 1190) 1191) 1192) 1193) 1194) 1195) 1196) Вариант 4 1197) 1.Вычислите:
1198) а) log 2 32 б) log 5 1 √ 5 в) log 0,5 16 1199) 1200) г) log 988 1 д) lg 0,01 3 1201) 1202) 2.Вычислите: 1203) а) log 14 49 + log 14 4 1204) 1205) б) log 13 338 − log 13 2 1206) 1207) в) 5 log 5 26 1208) 1209) г) log 7 243 log 7 3 1210) 1211) 3. Вычислите: 1212) log 1 3 9× log 2 1 8 ÷7 2 log 49 2
1213)

Практическая работа №9

1214)

ТЕМА: Решение логарифмических уравнений и

неравенств

1215)

Цель занятия
: систематизировать виды логарифмических выражений; познакомить с основными приемами решения логарифмических уравнений, систем уравнений, неравенств. 1216)
Умения и навыки, которые должны приобрести обучаемые на

занятии:
Знать вид простейших логарифмических уравнений и неравенств, основные приемы решения логарифмических уравнений и неравенств; уметь решать простейшие логарифмические уравнения и неравенства, применять основные приемы при решении уравнений. 1217)
Наглядные пособия, оборудование:
приложение основных понятий при решении уравнений, неравенств и систем ; дидактические карточки с заданиями (6 вариантов)
1218)

Повторение теоретических основ:
1219)
Логарифмические уравнения
1220) Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется
логарифмическим уравнением
.
1221) Простейшие логарифмические уравнения имеют вид: 1. 2. 1222)
Пример 1.
Решить уравнения: 1223) a) log 2 x = 3, b) log 3 x = -1, c) 1224)
Решение.
Используя утверждение 1, получим a) x = 2 3 или x = 8; b) x = 3 -1 или x = 1 / 3 ; c) или x = 1. 1225)
Решение логарифмических неравенств
1226) Решение логарифмических неравенств, сводится к решению: 1. простейших неравенств вида . В каждом из этих случаев нужно различать, каким числом является а, так как от этого зависит характер монотонности логарифмической функции. Если , то функция возрастает, а если , - убывает. Поэтому приходится рассматривать различные простейшие неравенства. 2. или неравенств вида 1. ; 2. ;
1227)

Пример типового расчета
1228) Решите уравнение: 1229) 1230)
Решение.
Вновь начнем решение с определения области допустимых значений уравнения. Она определяется следующей системой неравенств:
1231) 1232) Воспользовавшись правилом сложения логарифмов, переходим к равносильному в области допустимых значений уравнению: 1233) 1234) Основания логарифмов одинаковы, поэтому в области допустимых значений можно перейти к следующему квадратному уравнению: 1235) 1236) 1237) Первый корень не входит в область допустимых значений уравнения, второй — входит. 1238)
Ответ:
x = -1. 1239) Решить неравенство 1240)
Решение.
1241) По определению логарифма, область допустимых значений: 1242) 1243) Решение данного неравенства найдем с помощью метода интервалов, для этого левую часть разложим на множители. Решим квадратное уравнение . 1244) 1245) 1246)
1247) Таким образом, получили корни . Значит, левую часть неравенства можно представить в виде: 1248) 1249) Отметим нули каждого множителя (а это будут значения ) на числовой прямой и определим знаки неравенства в полученных интервалах: 1250) 1251) Учитывая знак неравенства, определим ОДЗ: 1252) 1253) ОДЗ определили, теперь приступим к решению исходного логарифмического неравенства: 1254) 1255) Представим правую часть неравенства как логарифм по основанию 2: 1256) 1257) Перейдем от неравенства относительно логарифмов к неравенству для подлогарифмических функций: так как основание логарифма больше единицы ( 2 > 1 ), то знак неравенства не изменится (Подробнее читайте в статье: логарифмические неравенства): 1258) 1259) 1260) 1261) Приравняем к нулю левую часть неравенства и решим полученное квадратное уравнение . 1262)
1263) 1264) 1265) Таким образом, получили корни . Отметим точки на числовой оси и определим знаки неравенства в полученных интервалах. 1266) 1267) Учитывая, что нас интересуют все значения , при которых данное неравенство принимает положительные значения, то получаем следующие интервалы: . Это ответ, так как данные интервалы полностью принадлежат ОДЗ. 1268)
Ответ.
1269) 1270)
Практика :
студенты самостоятельно выполняют расчеты по выданным дидактическим карточкам- заданиям (6 вариантов)
1271)

Приложение:
дидактические карточки с вариантами заданий (6 вариантов)
1272)

Литература, необходимая для проведения работы:
1. Ш. А. Алимов. Алгебра и начала анализа. 17 изд. – М.: Просвещение, 2011. 2. А. Н. Колмогоров. Алгебра и начала анализа.1 изд.- М.:Просвещение,2011. 3. Ю. В. Кириченко. Репетитор по математике.- Харьков: Фолио, 1997. 1273) 1274) 1275) 1276) Вариант 1 1. Решить уравнения: 1277) log 1 3 ( x + 1 ) = 1 1278) log 7 ( x − 1 ) =2
1279) log 5 x 2 = 4 1280) log 3 ( x + 1 )+ log 3 ( x − 1 ) =1 2. Решить неравенства: 1281) log 2 ( 8 − x )< 1 1282) log 1 3 ( x + 1 ) ≥ log 1 3 ( 3 − x ) 3. Решить систему уравнений: 1283) { log 4 x − log 4 y = 0 x 2 − 5 y 2 + 4 = 0 1284) 1285) Вариант 2 1. Решить уравнения: 1286) log 1 5 ( x + 1 ) = 1 1287) log 7 ( x − 1 ) =-2 1288) log 5 ( x − 3 ) 2 = 4 1289) log 4 ( x + 3 )+ log 4 ( x − 3 ) =2 1290) 2.Решить неравенства: 1291) log 3 ( 2 x + 1 )< 3 1292) log 1 2 ( 3 x − 2 )< log 1 2 7 1293) 3.Решить систему уравнений: 1294) { log 1 3 ( x + y ) = 2 log 3 ( x − y ) = 2 1295) Вариант 3 1. Решить уравнения: 1296) log 1 3 ( x + 1 ) = 2 1297) log 7 ( x − 1 ) =1 1298) log 5 x 2 =− 2 1299) log 3 ( x + 4 )+ log 3 ( x − 4 ) =2 2. Решить неравенства: 1300) log 3 ( x − 2 )< 2
1301) log 0, 5 ( 2 x − 4 ) ≥ log 0, 5 ( x + 1 ) 1302) 3.Решить систему уравнений: 1303) { log 2 ( 3 x − y ) = 1 log 5 ( 5 x + y ) = 2 1304) Вариант 4 1. Решить уравнения: 1305) log 1 3 ( x − 1 ) =− 1 1306) log 5 ( x + 1 ) =2 1307) log 3 ( x + 3 ) 2 = 4 1308) log 2 ( x + 1 )+ log 2 ( x − 1 ) =3 2. Решить неравенства: 1309) log 1 3 ( x + 1 ) ≤1 1310) log 3 ( x + 1 ) + log 3 ( x − 1 )> 1 3. Решить систему уравнений: 1311) { x + y = 34 log 2 x + log 2 y = 6 1312) Вариант 5 1. Решить уравнения: 1313) log 1 5 ( x + 1 ) = 1 1314) log 4 ( x − 1 ) =2 1315) log 5 x 3 = 6 1316) log 5 ( x + 2 )+ log 5 ( x − 2 ) =1 2. Решить неравенства: 1317) log 1 5 ( x + 1 ) ≤1 1318) log 4 ( x + 3 ) + log 4 ( x − 3 )> 2 3. Решить систему уравнений: 1319) { lg ( x − 4 y ) = 0 lg 2 x + lg y = 1 1320) Вариант 6 1. Решить уравнения:
1321) log 1 3 ( x + 1 ) =− 2 1322) log 5 ( x − 31 ) =2 1323) log 5 x 3 = 3 1324) log 3 ( x + 4 )+ log 3 ( x − 4 ) =2 2. Решить неравенства: 1325) log 1 3 ( x − 1 ) ≤ − 1 1326) log 2 ( x + 1 ) + log 2 ( x − 1 )> 3 3. Решить систему уравнений: 1327) { log 4 ( x + y ) = 2 log 3 x + log 3 y = 2 + log 3 7
1328)

1329)

1330)

1331)

1332)

1333)

1334)

1335)

1336)

1337)

1338)

1339)

1340)

1341)

1342)

1343)

1344)

1345)

1346)

1347)

1348)

1349)

1350)

1351)

Практическая работа №10

1352)

ТЕМА: Вычисление значений тригонометрических

функций.
1353)
Цель занятия:
усвоить определение угла в один радиан, запомнить формулы перехода от градусной меры угла к радианной и от радианной к градусной; обобщить и закрепить понятия синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла и правильно определять их знаки; уметь применять основные тригонометрические тождества при выполнении заданий. 1354)
Умения и навыки, которые должны приобрести обучаемые на

занятии:
применять основные понятия тригонометрических функций. 1355)
Наглядные пособия, оборудование:
таблицы тригонометрических значений; дидактические карточки с заданиями (4 варианта)
1356)

Повторение теоретических основ:

1.

Радианная и градусная меры углов.
1357)
Центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу

окружности, называется углом в 1 радиан.
1358)
Градусная мера угла в 1 радиан равна:

1359) Так как дуга длиной
π
R (полуокружность), стягивает центральный угол в 180
°
, то дуга длиной R, стягивает угол в
π
раз меньший, т.е. 1360) 1361) И наоборот 1362) 1363) Так как
π = 3,14, то 1 рад = 57,3°
1364) Если угол содержит a радиан, то его градусная мера равна 1365) 1366) И наоборот 1367) 1368) Обычно при обозначении меры угла в радианах наименование «рад» опускают. 1369) Например, 360° = 2π рад, пишут 360° = 2π 1370) В таблице указаны наиболее часто встречающиеся
углы в

градусной и радианной мере.
1371) 1372) 1373)1374)1375)1376)1377) 1378)1379)1380)1381)1382)1383)1384) 1385) 1386) 1387)1388)1389)1390)1391) 1392)1393)1394)1395) 1396) 1397)1398)
2.

Определение синуса, косинуса и тангенса угла.

1399)

Синус.
 Синусом угла α называется ордината точки, полученной поворотом точки (1;0) на угол α (обозначается sin α).
1400)

Косинус.

1401) Косинусом угла α называется абсцисса точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол α (обозначается cos α).
1402)

Тангенс.
 Тангенс угла α называется отношение синуса угла α к его косинусу (обозначается tg α).
1403)

Котангенс.
 Котангенсом угла α называется отношение косинуса угла α к его синусу (обозначается ctg α)
3.

Знаки синуса, косинуса и тангенса.
1404)
Знаки тригонометрических функций
1405)
1406)

4.

Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того

же угла.
1407)
Основные тригонометрические тождества

1408)

1409)

1410)

1411)
1412)
Практика :
студенты самостоятельно выполняют расчеты по выданным дидактическим карточкам- заданиям (4 варианта)
1413)

Приложение:
дидактические карточки с вариантами заданий (4 варианта)
1414)

Литература, необходимая для проведения работы:
1. Ш. А. Алимов. Алгебра и начала анализа. 17 изд. – М.: Просвещение, 2011.
2. А. Н. Колмогоров. Алгебра и начала анализа.1 изд.- М.:Просвещение,2011. 3. Ю. В. Кириченко. Репетитор по математике.- Харьков: Фолио, 1997. 1415) 1416) 1417) 1418) 1419) 1420) 1421) 1422) 1423) 1424) 1425) 1426) 1427) 1428) 1429) 1430) 1431) 1432) 1433) 1434) 1435) 1436) 1437) 1438) 1439) 1440) 1441) 1442) 1443) 1444) 1445) 1446) 1447) 1448)
1449)

Вариант 1
1450) 1. Величина угла α выражена в градусах, выразите ее в радианах, если: 1) α = 180 °
2) α = 30 ° 2. Величина угла α выражена в радианах, выразите ее в градусах, если: 1) α = π 3 2) α = 2 π 3 3. Определите знак числа sin α , если : 1) α = π 4 2) α = 2 π 3 3) α = 7 π 6 4) α = 5 π 3 4. Вычислите sin α , t g α , сt g α , если cos α = - 5 13 , π 2 < α < π 5. Вычислите: 4 +¿ 2 cos π 3 sin π 6 + 3 t g 2 π 4 + ctg π 4 ¿ 1451) 1452) 1453) 1454) 1455) 1456) 1457) 1458) 1459) 1460) 1461)
1462) 1463) 1464) 1465) 1466) 1467)
1468)

Вариант 2
1469) 1. Величина угла α выражена в градусах, выразите ее в радианах, если: 1) α = 90 ° 2) α = 270 ° 2. Величина угла α выражена в радианах, выразите ее в градусах, если: 1) α = π 6 2) α = 5 π 6 3. Определите знак числа cos α , если : 1) α = π 3 2) α = 5 π 6 3) α = 5 π 4 4) α = 7 π 4 4. Вычислите cos α ,t g α , сt g α , если sin α = - 4 5 , π < α < 3 π 2
5. Вычислите: 2 +¿ 6 cos π 3 sin π 6 + 5 сt g 2 π 4 + tg π 4 ¿ 1470) 1471) 1472) 1473) 1474) 1475) 1476) 1477) 1478) 1479) 1480) 1481) 1482) 1483) 1484) 1485) 1486)
1487)

Вариант 3
1488) 1. Величина угла α выражена в градусах, выразите ее в радианах, если: 1) α = 60 ° 2) α = 120 ° 2. Величина угла α выражена в радианах, выразите ее в градусах, если: 1) α = π 4 2) α = 3 π 4 3. Определите знак числа t g α , если :
1) α = π 6 2) α = 3 π 4 3) α = 4 π 3 4) α = 11 π 6 1489) 4. Вычислите sin α , cos α ,t g α , если ct g α = - 5 12 , π 2 < α < π 5. Вычислите: : 5 π 4 −¿ 5 cos π 4 − 10 ctg π 4 ❑ sin π 4 + 3 t g ¿ 1490) 1491) 1492) 1493) 1494) 1495) 1496) 1497) 1498) 1499) 1500) 1501) 1502) 1503) 1504) 1505)
1506)

Вариант 4
1507) 1. Величина угла α выражена в градусах, выразите ее в радианах, если: 1) α = 45 °
2) α = 135 ° 2. Величина угла α выражена в радианах, выразите ее в градусах, если: 1) α = π 2 2) α = 3 π 2 3. Определите знак числа ct g α , если : 1) α = 5 π 4 2) α = π 4 3) α = 3 π 4 4) α = 7 π 4 1508) 4. Вычислите sin α , cos α , ct g α , если t g α = - 8 15 , 3 π 2 < α < 2 π 5. Вычислите: (2 t g π 6 − t g π 3 ) ÷ cos π 6 1509) 1510) 1511) 1512) 1513) 1514) 1515) 1516) 1517) 1518) 1519) 1520) 1521) 1522)
1523) 1524) 1525) 1526) 1527)
1528)

Практическая работа №11

1529)

ТЕМА: Преобразование тригонометрических

выражений.
1530)
Цель занятия:
обеспечить в ходе урока закрепление следующих основных понятий: синус, косинус, тангенс и котангенс; закрепить умение выполнять тождественные преобразования тригонометрических выражений, применяя основные тригонометрические тождества, формулы сложения. 1531)
Умения и навыки, которые должны приобрести обучаемые на

занятии:
уметь видеть и правильно применять основные тригонометрические тождества, формулы сложения. 1532)
Наглядные пособия, оборудование:
таблицы тригонометрических значений; дидактические карточки с заданиями (4 варианта);таблицы основных тригонометрических тождеств и формул сложения.
1533)

Повторение теоретических основ:

1534)

Связь между тригонометрическими функциями одного и того

же аргумента
; ; ;
1535)
Тригонометрические функции суммы и разности углов
1536)
Практика :
студенты самостоятельно выполняют расчеты по выданным дидактическим карточкам- заданиям (4 варианта)
1537)

Приложение:
дидактические карточки с вариантами заданий (4 варианта).
1538)

Литература, необходимая для проведения работы:
1. Ш. А. Алимов. Алгебра и начала анализа. 17 изд. – М.: Просвещение, 2011. 2. А. Н. Колмогоров. Алгебра и начала анализа.1 изд.- М.:Просвещение,2011. 3. Ю. В. Кириченко. Репетитор по математике.- Харьков: Фолио, 1997. 1539) 1540) 1541) 1542) 1543) 1544) 1545) 1546) 1547) 1548) 1549) 1550) 1551) 1552) 1553) 1554) 1555) 1556) 1557)
1558) 1559) 1560) 1561) 1562) 1563) 1564) 1565) 1566) 1567) 1568)
1569)

Вариант 1
1. Вычислите: a) cos 54 ° cos 6 ° − sin 54 ° sin 6 ° b) cos 3 π 10 cos π 20 + sin π 20 sin 3 π 10 2. Упростите выражение: 1570) cos ( α + 2 β ) sin ( α − 2 β )+ sin ( α + 2 β ) cos ( α − 2 β ) 3. Докажите тождество: 1571) cos х + t g х ∗ sin х = 1 cos х 4. Вычислите 1572) t g ( α + β ) и t g ( α − β ) , если t g α = 1 2 , tg β = 1 4 1573) 1574) 1575) 1576) 1577) 1578) 1579) 1580) 1581)
1582)

Вариант 2
1. Вычислите: a) cos 72 ° cos 42° + sin 72 ° sin 42°
b) cos π 5 cos 2 π 15 − sin 2 π 15 sin π 5 2. Упростите выражение: 1583) sin ( 3 х + 2 у ) cos ( х + 2 у ) − sin ( х + 2 у ) cos ( 3 х + 2 у ) 3. Докажите тождество: 1584) х + sin 2 х ∗ cos 2 х =¿ cos 2 х cos 4 ¿ 4. Вычислите 1585) t g ( α + β ) и t g ( α − β ) , если t g α = 1 3 , tg β = 1 6 1586) 1587) 1588) 1589) 1590) 1591) 1592) 1593)
1594)

Вариант 3
1. Вычислите: a) sin 28 ° cos 17 ° + sin 17 ° cos 28 ° b) sin 2 π 5 cos 7 π 30 − cos 2 π 5 sin 7 π 30 2. Упростите выражение: 1595) cos ( 3 х − 2 у ) cos ( х − 2 у )+ sin ( 3 х − 2 у ) sin ( х − 2 у ) 3. Докажите тождество: 1596) 1 - sin α ∗ сt g α ∗ cos α = sin 2 α 4. Вычислите 1597) t g ( α + β ) и t g ( α − β ) , если t g α = 1 2 , tg β = 1 5 1598) 1599) 1600)
1601) 1602) 1603) 1604)
1605)

Вариант 4
1. Вычислите: a) sin 111° cos 21 ° − sin 21° cos 111 ° b) sin π 7 cos 4 π 21 + sin 4 π 21 cos π 7 2. Упростите выражение: 1606) cos ( 5 х − 2 у ) cos ( х − 2 у )+ sin ( 5 х − 2 у ) sin ( х − 2 у ) 3. Докажите тождество: 1607) 1 − cos 2 х 1 − sin 2 х + х ∗¿ сt g х = 1 cos 2 х t g ¿ 4. Вычислите 1608) t g ( α + β ) и t g ( α − β ) , если t g α = 1 3 , tg β = 1 5 1609) 1610) 1611) 1612) 1613) 1614) 1615) 1616) 1617) 1618) 1619)
1620)

Практическая работа №12

1621)

ТЕМА: Применение основных тригонометрических

формул
1622)
Цель занятия:
повторить основные формулы тригонометрии(формулы приведения, двойного и половинного угла; формулы преобразования суммы(разности) в произведение и наоборот произведения в сумму(разность)); закрепить их знания в ходе выполнения упражнений.
1623)
Умения и навыки, которые должны приобрести обучаемые на

занятии:
уметь видеть и правильно применять основные тригонометрические формулы. 1624)
Наглядные пособия, оборудование:
таблицы тригонометрических значений; дидактические карточки с заданиями (4 варианта);таблицы основных тригонометрических формул.
1625)

Повторение теоретических основ:
1626)
Формулы приведения
1627) 1628)
Преобразование суммы тригонометрических функций
1629) 1630) 1631) 1632) 1633)
Преобразование произведения тригонометрических функций

в сумму
1634) 1635) 1636)
1637)
Тригонометрические функции двойного аргумента
1638) 1639) 1640) 1641)
Тригонометрические функции половинного аргумента
1642) (выбор знака зависит от того, в какой четверти находится угол ) 1643) 1644) 1645)
Практика :
студенты самостоятельно выполняют расчеты по выданным дидактическим карточкам- заданиям (4 варианта)
1646)

Приложение:
дидактические карточки с вариантами заданий (4 варианта).
1647)

Литература, необходимая для проведения работы:
1. Ш. А. Алимов. Алгебра и начала анализа. 17 изд. – М.: Просвещение, 2011. 2. А. Н. Колмогоров. Алгебра и начала анализа.1 изд.- М.:Просвещение,2011. 3. Ю. В. Кириченко. Репетитор по математике.- Харьков: Фолио, 1997. 1648) 1649) 1650) 1651) 1652) 1653) 1654) 1655) 1656) 1657) 1658) 1659) 1660) 1661) Вариант 1
1. Упростите выражение и вычислите: 1662) 3 sin ( π 2 − α ) − 2cos ( π − α ) 2 sin ( π + α ) − 3 cos ( 3 π 2 − α ) , если t g α = 5 2. Запишите в виде произведения: a) sin 70° + sin 50 ° b) cos 70 ° − cos 50 ° 3. Вычислите sin 2 α и cos 2 α , если sin α = 0,6 и π 2 < α < π . 4. Вычислите t g 2 α , если t g α = 1 5 5. Запишите в виде суммы или разности: 1663) sin 33° cos 27 ° 1664) 1665) 1666) 1667) 1668) 1669) Вариант 2 1. Упростите выражение и вычислите: 1670) 3 cos ( π 2 + α ) + 2 sin ( π − α ) 2 cos ( π + α )− 3 sin ( 3 π 2 + α ) , если t g α = 4 2. Запишите в виде произведения: 1671) а ¿ sin 80 ° − sin 40 ° 1672) b ¿ cos 80 ° − cos 40 ° 3. Вычислите sin 2 α и cos 2 α , если cos α ¿ 0,8и 3 π 2 < α < 2 π . 4. Вычислите t g 2 α , если t g α = 1 3 5. Запишите в виде суммы или разности:
1673) cos 37 ° cos 23 ° 1674) 1675) 1676) 1677) 1678) 1679) 1680) 1681) 1682) 1683) 1684) Вариант 3 1. Упростите выражение и вычислите: 1685) 2 sin ( 3 π 2 − α ) − 3 cos ( π − α ) 3 sin ( π + α ) − 2 cos ( 3 π 2 + α ) , если сt g α = 5 2. Запишите в виде произведения: a) cos 110 ° + cos 50 ° b) sin 110° + sin 50 ° 3. Вычислите sin 2 α и cos 2 α , если sin α = − 5 13 и π < α < 3 π 2 . 4. Вычислите t g 2 α , если t g α = 1 8 5. Запишите в виде суммы или разности: 1686) sin 26 ° sin 54 ° 1687) 1688) 1689) 1690) 1691) Вариант 4 1. Упростите выражение и вычислите: 1692) 2 sin ( 3 π 2 + α ) − 3cos ( π + α ) 3 sin ( π − α ) − 2 cos ( π 2 − α ) , если сt g α = 4
2. Запишите в виде произведения: a) sin 130° − sin 10° b) cos 130 ° + cos 10 ° 3. Вычислите sin 2 α и cos 2 α , если cos α = − 5 13 , π < α < 3 π 2 . 4. Вычислите t g 2 α , если t g α = 1 6 5. Запишите в виде суммы или разности: 1693) sin 32° cos 13 ° 1694) 1695) 1696) 1697) 1698) 1699) 1700) 1701) 1702) 1703)
1704)

Практическая работа №13

1705)

ТЕМА: Решение тригонометрических уравнений
1706)
Цель занятия:
обеспечить обобщение и систематизацию материала темы; повторить и расширить сведения о тригонометрических уравнениях и методах их решения ; создать условия контроля усвоения знаний и умений; способствовать формированию умений применять приемы: сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти. 1707)
Умения и навыки, которые должны приобрести обучаемые на

занятии:
уметь видеть и правильно применять основные методы решения тригонометрических уравнений. 1708)
Наглядные пособия, оборудование:
таблицы тригонометрических значений; дидактические карточки с заданиями (4 варианта);таблицы основных тригонометрических формул.
1709)

Повторение теоретических основ:

1710)

Обратные тригонометрические функции
1711) 1712) 1713)
1714)
1715)
Методы решения тригонометрических уравнений.
Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. 1716) 1. Алгебраический метод. Этот метод нам хорошо известен из алгебры 1717) ( метод замены переменной и подстановки ).
1718) 1719) 2. Разложение на множители. Этот метод рассмотрим на примерах. 1720) 1721) П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 . 1722) 1723) Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево: 1724) 1725) sin x + cos x – 1 = 0 , 1726) 1727) преобразуем и разложим на множители выражение в 1728) левой части уравнения: 1729) 1730) П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1. 1731) 1732) Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 , 1733) 1734) sin x · cos x – sin 2 x = 0 , 1735) 1736) sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,
1737) 1738) П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2x – cos 8x + cos 6x = 1. 1739) Р е ш е н и е . cos 2x + cos 6x = 1 + cos 8x , 1740) 1741) 2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x , 1742) 1743) cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 , 1744) 1745) cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 , 1746) 1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 , 1747) 1748) 1749) Приведение к однородному уравнению. Уравнение называется однородным относительно sin и cos, если все его члены одной и той же степени относительно sin и cos одного и того же угла. Чтобы решить однородное уравнение, надо: 1750) 1751) а) перенести все его члены в левую часть; 1752) б) вынести все общие множители за скобки; 1753) в) приравнять все множители и скобки нулю; 1754) г) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на 1755) cos ( или sin ) в старшей степени; 1756) д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan . 1757) 1758) П р и м е р . Решить уравнение: 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2. 1759) 1760) Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x , 1761) 1762) sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 , 1763) 1764) tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 , 1765)
1766) корни этого уравнения: y 1 = -1, y 2 = -3, отсюда 1767) 1) tan x = –1, 2) tan x = –3, 1768) 1769)
Практика :
студенты самостоятельно выполняют расчеты по выданным дидактическим карточкам- заданиям (4 варианта)
1770)

Приложение:
дидактические карточки с вариантами заданий (4 варианта).
1771)

Литература, необходимая для проведения работы:
1. Ш. А. Алимов. Алгебра и начала анализа. 17 изд. – М.: Просвещение, 2011. 2. А. Н. Колмогоров. Алгебра и начала анализа.1 изд.- М.:Просвещение,2011. 3. Ю. В. Кириченко. Репетитор по математике.- Харьков: Фолио, 1997. 1772) 1773) 1774) 1775) 1776) 1777) 1778) 1779) 1780) 1781) 1782) 1783) 1784) 1785)
1786)

Вариант 1
1787) 1.Решить уравнения: a) sin х = 1 b) cos х = − √ 2 2 c) sin х = 1 2 d) cos х = √ 3 2
e) t g х =− 1 f) сt g х = √ 3 g) t g х = − √ 3 3 1788) 2. sin 2 х + 3 sin х − 4 = 0 1789) 3. sin 2 х ∗ cos х − cos 2 х ∗ sin х = 0 1790) 1791) 1792) 1793) 1794) 1795)
1796)

Вариант 3
1797) 1. Решить уравнения: a) sin х =− 1 b) cos х = √ 2 2 c) sin х = − 1 2 d) cos х = − √ 3 2 e) t g х = 1 f) сt g х =− √ 3 g) t g х = √ 3 3 1798) 2. cos 2 х − 3 cos х − 4 = 0 1799) 3. √ 3cos х + sin х = 0
1800)

1801)

1802)

1803)

1804)

1805)

1806)

Вариант 2
1807) 1. Решить уравнения: a) cos х = 1 b) sin х = − √ 2 2 c) cos х = 1 2 d) sin х = √ 3 2 e) сt g х = − 1 f) t g х = √ 3 g) сt g х = − √ 3 3 1808) 2. cos 2 х + 4 cos х + 3 = 0 1809) 3. 2 cos 2 х − sin х + 1 = 0 1810) 1811) 1812) 1813) 1814) 1815)
1816)

Вариант 4
1817) 1. Решить уравнения: a) cos х =− 1 b) sin х = √ 2 2 c) cos х = − 1 2 d) sin х = − √ 3 2 e) сt g х = 1
f) t g х = −¿ √ 3 g) сt g х = √ 3 3 1818) 2. sin 2 х − 5 sin х − 6 = 0 1819) 3. cos 3 х − cos 5 х = sin 4 х 1820) 1821) 1822) 1823)
1824)

Практическая работа №14

1825)

ТЕМА: : Вычисление предела функции. Раскрытие

неопределенностей.
1826)
Цель занятия:
закрепить навыки вычисления пределов функции, применения теорем о пределах функции; раскрытия различных видов неопределенностей. 1827)
Умения и навыки, которые должны приобрести обучаемые

на занятии:
применять теоремы о пределах и правила раскрытия неопределенностей типа 0 0 ; ∞ ∞ ; применять замечательные пределы. 1828)
Наглядные пособия, оборудование
: плакат с формулами теорем о пределах функции в точке; микрокалькулятор; дидактические карточки с заданиями 1829) (4 вариантов).
1830)

Повторение теоретических основ:

1831)

Определение
1832) Конечное число A называется
пределом функции f(x) в точке x

0
, если для любого положительного числа ε можно указать такое положительное δ = δ(ε), что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству 0 < |x − x 0 | < δ, соответствующие значения функции удовлетворяют неравенству |f(x) − A| < ε. Для обозначения такого предела используют символику: 1833) При решении задач полезно помнить следующие основные свойства пределов функций: 1. Если функция имеет конечный предел, то он единственный.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела 3. Предел суммы (или разности) функций равен сумме (или разности) их пределов, если оба предела являются конечными 4. Предел произведения функций равен произведению их пределов, если оба предела являются конечными 5. Предел отношения функций равен отношению их пределов, если оба предела являются конечными и знаменатель не обращается в нуль 1834)
Вычисление пределов
1835)
1.
Найти предел функции 1836)
Решение:
1837) Имеем неопределенность вида 1838) 1839) Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель x + 2, который при x → -2 не равен нулю. В результате неопределенность будет раскрыта. 1840)
2
. Найти предел функции 1841)
Решение:
1842) Имеем неопределенность вида 1843) 1844) Для ее раскрытия умножим числитель и знаменатель на выражение сопряженное числителю, разложим выражение, стоящее в
знаменателе, на множители по формуле разности кубов и сократим числитель и знаменатель на общий множитель x - 4, который при x → 4 не равен нулю. В результате неопределенность будет раскрыта. 1845)
3
. Найти предел функции 1846)
Решение:
1847) Имеем неопределенность вида 1848)
1849)
Для ее раскрытия можно либо разделить числитель и знаменатель на наибольшую степень переменной x и учитывая, что величина обратная бесконечно большой величине есть бесконечно малая величина, раскроем исходную неопределенность, либо вынести переменную в наибольшей степени в числители и знаменатели дроби и сократить на наибольшую степень. 1850) 1851)
Практика
: студенты самостоятельно выполняют расчеты по выданным 1852) дидактическим карточкам – заданиям (4 варианта). 1853) 1854)
Приложение:
дидактические карточки с вариантами заданий 1855)

(4 варианта). 1856)
1857)

Литература, необходимая для проведения работы:
1. Ш. А. Алимов. Алгебра и начала анализа. 17 изд. – М.: Просвещение, 2011. 2. А. Н. Колмогоров. Алгебра и начала анализа.1 изд.- М.:Просвещение,2011. 3. Ю. В. Кириченко. Репетитор по математике.- Харьков: Фолио, 1997. 1858)
1859) 1860) 1861) 1862) 1863) 1864) 1865) 1866) 1867) 1868) 1869) 1870) 1871) 1872) 1873) 1874) 1875) 1876) 1877) 1878) 1879) 1880) 1881) 1882)
1883)

Вариант 1

1884)

Вычислить предел функции:

1885)
1886) 1. lim ⁡ х → − 1 ( х 3 + 5 х 2 + 6 х + 1 ) 1887) 1888) 2. lim ⁡ х → − 1 х 3 + 1 х 2 − 1 1889) 1890) 3. lim х →3 х 2 − 2 х − 3 х 2 − 9 1891) 1892) 4. lim х →∞ 4 х 2 х 2 − 1 1893) 5. lim ⁡ х→ 0 1 − √ х + 1 х 1894) 6. lim х → 1 5 х 2 − 3 х − 2 х 2 ∗ 6 х + 1 1895) 1896) 1897)
1898) 1899) 1900) 1901) 1902)
1903)

Вариант 2

1904)

Вычислить предел функции:

1905)
1906) 1. lim ⁡ х→ 1 ( 3 х 2 + 2 х + 1 ) 1907) 1908) 2. lim ⁡ х → − 5 х 2 − 25 х + 5 1909) 1910) 3. lim х → − 2 2 х + х 2 х 2 + 5 х + 6 1911) 1912) 4. lim х → ∞ х 2 − 3 х х 2 − 8 х 1913) 5. lim ⁡ х→ 2 х − 2 √ х + 2 − 2 1914) 6. lim х → 0 7 х 2 − 4 х + 3 3 х 2 + х − 5 1915) 1916) 1917)
1918)

Вариант 3

1919)

Вычислить предел функции:

1920)
1921) 1. lim ⁡ х → − 2 ( х 2 − 4 х + 5 ) 1922) 1923) 2. lim ⁡ х →3 х 3 − 27 х − 3 1924) 1925) 3. lim х →1 х 2 − 1 х 2 + 6 х − 7 1926) 1927) 4. lim х →∞ 1 + 2 х + х 3 10 х 3 + х 2 − 80 1928) 5. lim ⁡ х→ 6 6 − х 3 − √ х + 3
1929) 6. lim х → 3 3 х 2 − 2 х + 5 4 х − 2
1930)

1931)

1932)

1933)

1934)

1935)

1936)

1937)

1938)

1939)

Вариант 4

1940)

Вычислить предел функции:

1941)
1942) 1. lim ⁡ х→ 0 ( 6 х 4 − 8 х + 5 ) 1943) 1944) х х 3 + 1 2 (¿¿ 2 − 1 ) 2. lim ⁡ х → − 1 ¿ 1945) 1946) 3. lim х →2 х 2 − 4 х 2 + 5 х − 14 1947) 1948) 4. lim х →∞ х 3 − 3 х 2 + 11 х 2 − 1 + 3 х 3 1949) 5. lim ⁡ х→ 5 5 − х 3 − √ 2 х − 1 1950) 6. lim х → 2 х 3 − 3 х − 2 4 х 2 + х + 1 1951) 1952)
1953)

Практическая работа №15

1954)

ТЕМА: Производная и ее применение
1955)
Цель занятия:
закрепление, систематизация и обобщение понятия производной, правил дифференцирования, геометрического и механического смысла производной; проверка и контроль знаний по данной теме; развитие умений работать самостоятельно.
1956)
Умения и навыки, которые должны

приобрести обучаемые на занятии:
студенты должны знать -определение производной, формулы производных, простейшие правила вычисления производных ; правила нахождения производных суммы, произведения и частного, сложной функции; геометрический и механический смысл производной: наглядные образы касательной к графику функции и производной функции, метод нахождения производной, определение углового коэффициента касательной, уравнение касательной к графику функции; умение сравнивать значения функций в окрестности точки, записывать уравнение касательной к графику функции в заданной точке. 1957)
Наглядные пособия, оборудование:
плакат с таблицей производных; плакат с правилами дифференцирования и формулами углового коэффициента и уравнения касательной к графику функции; дидактические карточки с заданиями (6 вариантов)
1958)

Повторение теоретических основ:
1959)
Определение производной:
Пусть функция f (x) определена на некотором промежутке, х- точка этого промежутка и число h ≠ 0, такое что х+h также принадлежит данному промежутку. Тогда предел разностного отношения f ( x + h ) − f ( x ) h при h → 0(если этот предел существует) называется производной функции f(x) в точке х . 1960) Операция нахождения производной называется дифференцированием. 1961)
Обозначение производной.
Если y=f (x), то производная по переменной x обозначается так: 1962)
1963)
1964) Производные функций вычисляются с применением следующих теорем: 1965) 1966)
ТЕОРЕМА 1.
Производная от константы равна нулю.
1967)
ТЕОРЕМА 2.
Константу можно вынести за знак производной, то есть 1968) 1969)
ТЕОРЕМА 3.
Производная суммы любого числа функций равна сумме производных этих функций. Для трех функций, например, имеем: 1970) 1971)
ТЕОРЕМА 4.
Производная произведения двух функций равна 1972) 1973)
ТЕОРЕМА 5.
Производная частного двух функций равна 1974) 1975)
ТЕОРЕМА 6.
Пусть y=F(u), где u=j(x), тогда 1976) 1977) Комментарий. Эта теорема о производной сложной функции. 1978) Ниже приводится таблица производных элементарных функций: 1979) 1980) 1981) 1982) 1983) a (¿¿ x ) ' = a x ∗ lna ¿ 1984)
1985) ( kx + b ) sin ¿ ' = k cos ( kx + b ) ¿ 1986) 1987) ( cos ( kx + b )) ' =− k sin ( kx + b ) 1988) 1989) 1990) 1991) 1992) 1993) 1994) 1995) 1996) (ln (kx+b))'= k kx + b 1997) l og (¿¿ а х ) ' =¿ ¿ 1 х ∗ lna 1998)
1999)

Геометрический смысл производной

2000) 2001) 2002) Геометрический смысл производной. На графике функции выбирается абсцисса x 0 и вычисляется соответствующая ордината f(x 0 ). В окрестности точки x 0 выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая ( линия C 5 ). Расстояние Δx = x — x 0 устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную (постепенно темнеющие линии C 5 — C 1 ). Тангенс угла α наклона этой касательной — и есть производная в точке x 0 .
2003)

2004)

Механический смысл производной. Мгновенная скорость.

Ускорение
2005) Напомним, как определялась скорость движения в курсе физики. Рассмотрим самый простой случай: материальная точка движется по координатной прямой, причем задан закон движения, т. е. координата х этой точки есть известная функция х(t) времени t. За промежуток времени от t 0 ) до t 0 ) + Δt перемещение точки равно х (t 0 ) + Δt) — х (t 0 )) = Δх, а ее средняя скорость такова: При Δt<0 формула (1) также верна: перемещение равно х (t 0 ))—x (t 0 )+Δt) = —Δх, а продолжительность промежутка времени равна -Δt. Обычно характер движения бывает таким, что при малых Δt средняя скорость практически не меняется, т. е. движение с большой степенью точности можно считать равномерным (см. пример п. 13). Другими словами, значение средней скорости при Δt→0 стремится к некоторому вполне определенному значению, которое и называют
мгновенной

скоростью v (t

0

)
материальной точки в момент времени to. Итак, 2006) при 2007)
Но по определению производной 2008) при 2009) Поэтому считают, что мгновенная скорость v (t) определена (только) для любой дифференцируемой функции x(t), при этом 2010) 2011) Коротко говорят:
производная от координаты по времени есть

скорость
. В этом состоит
механический смысл производной
. Мгновенная скорость может принимать как положительные, так и отрицательные значения и, конечно, значение 0. Если скорость на каком-либо промежутке времени (t 1 ; t 2 ) положительна, то точка движется в положительном направлении, т. е. координата растет с течением времени, а если v (t) отрицательна, то координата х (t) убывает. Аналогичное положение и с ускорением движения. Скорость движения точки есть функция от времени t. А производная этой функции называется ускорением движения: 2012) 2013) Коротко говорят:
производная от скорости по времени есть

ускорение
. 2014)
2015)
2016)
Практика :
студенты самостоятельно выполняют расчеты по выданным дидактическим карточкам- заданиям (4 варианта)
2017)

Приложение:
дидактические карточки с вариантами заданий (4 варианта)
2018)

Литература, необходимая для проведения работы:
1. Ш. А. Алимов. Алгебра и начала анализа. 17 изд. – М.: Просвещение, 2011. 2. А. Н. Колмогоров. Алгебра и начала анализа.1 изд.- М.:Просвещение,2011. 3. Ю. В. Кириченко. Репетитор по математике.- Харьков: Фолио, 1997. 2019) 2020) 2021) 2022)
2023) 2024) 2025) 2026) 2027) 2028) 2029) 2030) 2031) Вариант 1 1. Найти производную функции 2 х 4 − х 3 + 3 х + 4 . 2032) 2. Найти значение производной функции f(x)= х , х 0 =¿ 2. е 4 х − 4 + 2 ln ¿ 2033) 2034) 3. Составить уравнение касательной к графику функции f(x)= х 2 − 4 х в точке с абсциссой 0 =¿ 1. х ¿ 2035) 4. Найти кинетическую энергию тела через 4 с после начала движения, если его масса 25 кг, а закон движения имеет вид S= 3 t 2 − 1 . 2036) 2037) 5. Найти производную функции ( 4 − 3 х ) 7 . 2038) 2039) 2040) 2041) 2042) 2043) 2044) 2045) 2046) 2047) 2048) 2049) 2050) Вариант 2 2051) 1. Найти производную функции х 4 − 8 х 2 + 3
2052) 2. Найти значение производной функции f(x)= 2 √ х − 1 3 ln х 2053) в точке х 0 = 9 . 2054) 3. Составить уравнение касательной к графику функции 2055) f(x)= 2 х 2 − 12 х + 20 в точке с абсциссой 0 =¿ 4. х ¿ 2056) 4. Материальная точка движется по закону S= 2t 3 − 6 t 2 + 4 t . Найти её ускорение в конце 3-ей секунды. 2057) 5. Найти производную функции 2 х 3 − 8 4 √ х . 2058) 2059) 2060) 2061) 2062) Вариант 3 1. Найти производную функции 1 12 х 4 − 5 6 х 3 + 2 х 2 2063) 2. Найти значение производной функции f(x)= х sin 2 х 2064) в точке х 0 = π . 2065) 3. Составить уравнение касательной к графику функции 2066) f(x)= х 2 + 4 х + 5 в точке с абсциссой 0 =¿− 3. х ¿ 2067) 4. Скорость тела, движущегося прямолинейно, определяется законом 2068) V= 2t 3 − 3 (м/с). Какое ускорение будет иметь тело через 3с после начала движения? 2069) 5. Найти производную функции 6 3 √ х + 1 х 2 . 2070)
2071) 2072) 2073) 2074) 2075) 2076) 2077) 2078) 2079) 2080) Вариант 4 2081) 1. Найти производную функции 3 х − 7 2 х + 9 2082) 2. Найти значение производной функции f(x)= х cos 2 х 2083) в точке х 0 = π 2 . 2084) 3. Составить уравнение касательной к графику функции 2085) f(x)= х 3 − 3 х + 6 в точке с абсциссой 0 =¿− 2. х ¿ 2086) 4. Точка движется прямолинейно по закону S ¿ 2 3 t 3 + 1 2 t 2 − t . В какой момент времени её скорость окажется равной нулю. 2087) 5. Найти производную функции 1 √ 1 − 4 х . 2088) 2089) 2090) 2091)
2092)

Практическая работа №16

2093)

ТЕМА: Применение производной к построению

графиков функций
2094)
Цель занятия:
обобщить знания, закрепить умения студентов применять производную к исследованию функций ; способствовать
формированию навыков исследования функций; способствовать развитию навыков самостоятельной работы; развивать у студентов логическое мышление, математическую речь, память, творческие способности ; воспитывать внимание, аккуратность, интерес к предмету. 2095)
Умения и навыки, которые должны приобрести обучаемые на

занятии:
студенты должны знать определение критической (стационарной) точки, признаки возрастания и убывания функции и признаки максимума и минимума функции, алгоритмы нахождения промежутков монотонности и точек экстремума функции; должны применяет изученный материал при непосредственном нахождении промежутков монотонности и точек экстремума функций. 2096)
Наглядные пособия, оборудование:
плакат с таблицей производных; плакат с правилами дифференцирования и формулами углового коэффициента и уравнения касательной к графику функции; дидактические карточки с заданиями (4 варианта)
2097)

Повторение теоретических основ:

2098)
2099)
План исследования функции.
Для построения графика функции нужно: 2100) 2101) 1) область определения функции, 2102) 2) производная функции, 2103) 3) стационарные точки 2104) 4) промежутки возрастания и убывания, 2105) 5) точки экстремума и значения функции в этих точках, 2106) * 6) иногда для более точного построения графика находят точки его пересечения с осями координат, 2107) 7) таблица с результатами исследования, 2108) 8) построить график функции.
2109)

2110)
2111)
П р и м е р . Исследовать функцию y=x

3

+6x

2

+9x и построить

график.
y=x 3 +6x+9x 1) D(y)=R 2) Найдем производную функции:
y ' =(x 3 +6x 2 +9x)'=3x 2 +12x+9 2112) 3) Определим критические (стационарные) точки: y'=0, т.е. 3x 2 +12x+9=0 сократим на 3 x 2 +4x+3=0 D=b 2 -4ac D=16-12=4 D>0, уравнение имеет 2 корня. x 1,2 =(-b±√D)/2a, x 1 =(-4+2)/2 , x 2 =(-4-2)/2 x 1 =-1 x 2 =-3 4) ) Обозначим критические точки на координатной прямой и определим знак функции: -3 -1 + - + f(x) возрастает: (- ∞; − 3 ) и (-1;+ ∞ ) 2113) f(x) убывает: (-3;-1) 2114) 5) Найдем x min и x max : x min =-1 x max =-3 y min =y(-1)=-1+6-9=-4 y max =y(-3)=-27+54-27=0 2115) 6) Найдем точки пересечения с осями: Oy: x=0, y=0 (0;0) – точка пересечения с осью y.
Ox: y=0, x 3 +6x 2 +9x=0 x(x 2 +6x+9)=0 x=0 или x 2 +6x+9=0 D=b 2 -4ac D=36-36=0 D=0, уравнение имеет один корень. x=(-b+D)/2a x=-6+0/2 x=-3 (0;0) и (-3;0) – точки пересечения с осью х. 2116) 7) 2117) 2118) 2119) 2120) 2121) 2122) 2123) 2124) 2125) 2126) 2127) 2128) 2129) 2130) 2131) 2132) 2133) 2134) 2135) 2136) 2137) 8) Построим график функции:
2138)
Практика :
студенты самостоятельно выполняют расчеты по выданным дидактическим карточкам- заданиям (4 варианта)
2139)

Приложение:
дидактические карточки с вариантами заданий (4 варианта)
2140)

Литература, необходимая для проведения работы:
1. Ш. А. Алимов. Алгебра и начала анализа. 17 изд. – М.: Просвещение, 2011. 2. А. Н. Колмогоров. Алгебра и начала анализа.1 изд.- М.:Просвещение,2011. 3. Ю. В. Кириченко. Репетитор по математике.- Харьков: Фолио, 1997. 2141) 2142) 2143) 2144) 2145) 2146) 2147) 2148) 2149) 2150) 2151) 2152) 2153) 2154) 2155) 2156) 2157) 2158)
2159) 2160)
2161)

Вариант 1
1. Найти интервалы возрастания и убывания функции: 2162) y = 6 x − 2 x 3 2. Найти точки экстремума функции: 2163) y = x 3 + 3 x 3. Исследовать функцию и построить ее график: 2164) y = 2 x 4 − x 2 + 1 4. Функция y = x + 4 x непрерывна на отрезке [ 1 ; 5 ] . Найти ее наибольшее и наименьшее значения. 2165) 2166) 2167) 2168) 2169) 2170) 2171) 2172) 2173) 2174) 2175) 2176) 2177)
2178)

Вариант 2
1. Найти интервалы возрастания и убывания функции: 2179) y = 2 x 3 − 15 x 2 + 36 x − 270 2. Найти точки экстремума функции: 2180) y = 2 3 x 3 − x 2 − 4 x + 1 3. Исследовать функцию и построить ее график: 2181) y = x 3 − 3 x
4. Функция y = x 4 − 2 x 2 + 3 непрерывна на отрезке [ − 4 ; 3 ] . Найти ее наибольшее и наименьшее значения. 2182) 2183) 2184) 2185) 2186) 2187)
2188)

Вариант 3
1. Найти интервалы возрастания и убывания функции: 2189) y = x 3 − 3 x 2 + 7 2. Найти точки экстремума функции: 2190) y = 3 + x 2 − 6 x 3. Исследовать функцию и построить ее график: 2191) y = x 2 − 4 x − 5 4. Функция y = x 4 − 8 x 2 + 5 непрерывна на отрезке [ − 3 ; 2 ] . Найти ее наибольшее и наименьшее значения. 2192) 2193) 2194) 2195) 2196) 2197) 2198) 2199) 2200) 2201) 2202)
2203)

Вариант 4
1. Найти интервалы возрастания и убывания функции: 2204) y = x − x 3 2. Найти точки экстремума функции: 2205) y = 1 4 x 4 + x 3 + x 2 + 4 3. Исследовать функцию и построить ее график:
2206) y = 1 3 x 3 − x 4. Функция y = x 4 − 8 x 2 + 3 непрерывна на отрезке [ − 2; 2 ] . Найти ее наибольшее и наименьшее значения. 2207) 2208) 2209) 2210) 2211) 2212) 2213)
2214)

Практическая работа №17

2215)

ТЕМА: Вычисление неопределенных интегралов
2216)
Цель занятия:
обобщить и систематизировать знания студентов при изучении основных формул интегрирования; продолжать формировать умения и навыки применения интегрирования функций; закрепить приемы и способы вычисления неопределенных интегралов, используя таблицу; развивать навыки сравнения при решении неопределенных интегралов одним из способов вычисления; воспитывать такие качества характера, как настойчивость в достижении цели. 2217)
Умения и навыки, которые должны приобрести обучаемые на

занятии:
2218) в результате овладения содержанием раздела «неопределенные интегралы» студенты должны знать: определение понятия «неопределенный интеграл»; свойства неопределенного интеграла; методы вычисления неопределенного интеграла; уметь: применять известные методы вычисления неопределенных интегралов; 2219)
Наглядные пособия, оборудование:
плакат с таблицей интегралов; плакат с основными свойствами интегрирования; дидактические карточки с заданиями (4 варианта)
2220)

Повторение теоретических основ:
2221)
2222)

Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) в

промежутке a < x < b, если в любой точке этого промежутка ее

производная равна f (x):

2223)

F’ (x) = ƒ (x) => dƒ (x) = ƒ (x) dx, a< x < b

2224)

Отыскание первообразной функции по заданной её

производной f(x) или по дифференциалу ƒ (x) dx есть действие,

обратное дифференцированию, - интегрирование.

2225)

Совокупность первообразных для функций f(x) или для

дифференциала (x) dx называется неопределённым интегралом и

обозначается символом S ƒ (x) dx. Таким образом,

2226)

S ƒ (x) dx= F(x)+C если d[ F(x)+C]= ƒ(x)dx

2227)

F(x)- подынтегральная функция;

2228)

F(x)dx- подынтегральное выражение;

2229)

С- произвольная постоянная.

2230)

2231)

Основные свойства неопределенного интеграла:
1) Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная постоянная: 2232) ∫ dF ( x ) = F ( x ) + C . 2) Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции: 2233) f ( x ) dx =¿ f ( x ) dx d ∫ ¿ , ( ∫ f ( x ) dx ) ' = f ( x ) dx . 3) Неопределенный интеграл алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов этих функций: 2234) ∫ ( f ( x ) + g ( x ) ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx ; 4) Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак неопределенного интеграла: 2235) ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx . 5) Если f ( x ) dx =¿ F ( x ) + C ∫ ¿ и u = φ ( x ) – любая известная функция, имеющая непрерывную производную, то 2236) f ( u ) du =¿ F ( u ) + C ∫ ¿ .
2237)

Основные формулы интегрирования (таблица интегралов):
1) ∫ dx = x + C ; 2) ∫ x n dx = x n + 1 n + 1 + C , (n ≠ − 1 ); 3) ∫ dx x = ln | x | + C ; 4) ∫ a x dx = a x ln a + C ;
5) e x dx =¿ e x + C ∫ ¿ ; ∫ e kx + b dx = 1 k e kx + b + C 6) ∫ sin x dx =− cos x + C ; ∫ sin ( kx + b ) dx = − 1 k cos ( kx + b ) 7) ∫ cos x dx = sin x + C ; ∫ cos ( kx + b ) dx = 1 k sin ( kx + b ) 8) ∫ dx co s 2 x = tgx + C ; 9) ∫ dx si n 2 x =− ctgx + C ;
2238)

Методы интегрирования
2239) Наиболее важными методами интегрирования являются: 1) метод непосредственного интегрирования (метод разложения), 2) метод подстановки (метод введения новой переменной), 3) метод интегрирования по частям.
2240)
2241)
I. Метод непосредственного интегрирования
2242) Задача нахождения неопределенных интегралов от многих функций решается методом сведения их к одному из табличных интегралов. 2243) Пример . Найти неопределенный интеграл: ∫cos(7x-3)dx 2244) ∫cos(7x-3)= ∫cos(7x-3)d(7x-3)= sin(7x-3)+C 2245)
II. Метод подстановки (интегрирование заменой

переменной)
2246) Алгоритм вычисления неопределенного интеграла методом подстановки: 1. Определяют, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл (предварительно преобразовав подынтегральное выражение, если нужно). 2. Определяют, какую часть подынтегральной функции заменить новой переменной, и записывают эту замену. 3. Находят дифференциалы обеих частей записи и выражают дифференциал старой переменной (или выражение, содержащее этот дифференциал) через дифференциал новой переменной.
4. Производят замену под интегралом. 5. Находят полученный интеграл. 6. В результате производят обратную замену, т.е. переходят к старой переменной. Результат полезно проверять дифференцированием. 2247)
Пример:
∫ ( 2 x 3 + 1 ) 4 xdx 2248) 2249) Введем подстановку: 2250) 2251) Дифференцируя это равенство, имеем: 2252) Выразив отсюда x 2 dx , получим: x 2 dx = dt 6 . Подставив в данный интеграл вместо 2 x 3 + 1 и x 2 dx их выражения, получим: 2253) 2254) 2 x 3 ¿ ¿ ∫ ¿ ) 4 x 2 dx = ∫ t 4 ∙ dt 6 = 1 6 ∫ t 4 dt = 1 6 ∙ t 4 + 1 4 + 1 + C = 1 6 ∙ t 5 5 + C = t 5 30 + C = ( 2 x 3 + 1 ) 5 30 + C . 2255) 2256) 2257)
III. Метод интегрирования по частям

2258)
∫ udu = uv − ∫ vdu 2259) Если подынтегральная функция представляет собой произведение либо тригонометрической функции на алгебраическую, либо показательной на алгебраическую, то за u следует принимать алгебраическую функцию.
2260) Пример.

2261)
u = x dv = e x dx du = dx v = e x ¿ rli ¿ ¿  ¿ |¿|¿ хе х dx =¿ ¿ ∫ ¿ ¿
2262) Пример.

2263)

2264)
2265)
Практика :
студенты самостоятельно выполняют расчеты по выданным дидактическим карточкам- заданиям (4 варианта)
2266)

Приложение:
дидактические карточки с вариантами заданий (4 варианта)
2267)

Литература, необходимая для проведения работы:
1. Ш. А. Алимов. Алгебра и начала анализа. 17 изд. – М.: Просвещение, 2011. 2. А. Н. Колмогоров. Алгебра и начала анализа.1 изд.- М.:Просвещение,2011. 3. Ю. В. Кириченко. Репетитор по математике.- Харьков: Фолио, 1997. 2268) 2269) 2270) 2271) 2272) 2273) 2274) 2275) 2276) 2277) 2278) 2279) 2280) 2281) 2282) 2283) 2284) 2285) 2286) 2287) 2288) 2289) 2290) 2291) 2292) 2293) 2294)
2295) 2296) 2297) 2298)
2299)

Вариант 1
1. Найти неопределенный интеграл: 2300) ∫ ( 8 x 4 − 2 cos 2 x + 4 x + e x ) dx 2. Найти интеграл и проверить результат дифференцированием: 2301) ∫ x 3 + x 2 − x x dx 3. Найти неопределенный интеграл способом подстановки: 2302) ∫ 3 xdx ( 3 x 2 − 1 ) 3 2303) 2304) 2305) 2306) 2307) 2308) 2309) 2310) 2311) 2312) 2313)
2314)

Вариант 2
1. Найти неопределенный интеграл: 2315) ∫ ( 5 x 2 + 1 8 x − 1 3 sin x 3 + 2 x ) dx 2. Найти интеграл и проверить результат дифференцированием: 2316) ∫ x 3 − 3 x 2 − 2 x 3 x dx 3. Найти неопределенный интеграл способом подстановки: 2317) ∫ 4 x 3 dx ( 7 − x 4 ) 3
2318) 2319) 2320) 2321) 2322) 2323) 2324)
2325)

Вариант 3
1. Найти неопределенный интеграл: 2326) ∫ ( x 2 6 − 3 x + 4 cos 2 x − 3 x ) dx 2. Найти интеграл и проверить результат дифференцированием: 2327) ∫ 4 x 4 + 2 x 3 − 4 x 2 2 x 2 dx 3. Найти неопределенный интеграл способом подстановки: 2328) ∫ x 2 √ 1 + 2 x 3 dx 2329) 2330) 2331) 2332) 2333) 2334) 2335) 2336) 2337)
2338)

Вариант 4
1. Найти неопределенный интеграл: 2339) ∫ ( 3 √ x 2 + 1 3 x − 2 sin 2 x − 4 x ) dx 2. Найти интеграл и проверить результат дифференцированием: 2340) ∫ 3 x 4 − 2 x 3 + x 2 5 x 3 dx 3. Найти неопределенный интеграл способом подстановки: 2341) ∫ √ cos x sin x dx
2342) 2343) 2344) 2345) 2346) 2347) 2348) 2349) 2350) 2351)
2352)

Практическая работа № 18.

2353)

ТЕМА: Решение задач прикладного характера с

применением определенного интеграла.
2354)
Цель занятия
: закрепить навыки применения определенного интеграла при решении задач прикладного характера. 2355)
Умение и навыки, которые должны приобрести обучаемые на

занятии:
решать задачи на вычисление работы переменной силы; пути, пройденного телом при неравномерном движении; находить площади фигур с помощью определенного интеграла. 2356)
Наглядные пособия, оборудование
: плакаты с формулами интегрирования; микрокалькулятор; дидактические карточки с заданиями.
2357)

Повторение теоретических основ:
2358)
Криволинейная трапеция
Пусть на отрезке [а; b] оси Ох задана непрерывная функция f, не меняющая на нем знака. Фигуру, ограниченную графиком этой функции, отрезком [а; b] и прямыми х = а и х = b (рис. 1), называют
криволинейной трапецией
.
2359)
2360)

2361)

Площадь криволинейной трапеции

.

2362)

S=F(b)-F(a).

2363)

Алгоритм нахождения площади криволинейной

трапеции

1.

Построить графики линий.

2.

Определить криволинейную трапецию.

3.

Выделить функцию f , ограничивающую трапецию.

4.

Определить отрезок [a; b] оси Ох.

5.

Найти одну из первообразных функции f .

6.

Используя формулу , вычислить площадь.
2364)
Пример:
Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = 4 - х 2 и у = 0 2365)
Решение:
2366) 1. Построим криволинейную трапецию: 2367) у = 4 - х 2 - квадратичная функция, график – парабола, ветви направлены вниз. у = 0 - ось абсцисс. 2368) 2. Найдём [а;b]:
2369) 4-х 2 = 0; х 2 = 4 х = -2 или х = 2, т. е. а = -2 b = 2 2370) 3. Найдём площадь криволинейной трапеции по формуле:
S =

F(b) – F(а)
2371)
2372)

1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПУТИ, ПРОЙДЕННОГО ТОЧКОЙ
2373) Путь, пройденный точкой при неравномерном движении по прямой с переменной скоростью за промежуток времени от до вычисляется по формуле . 2374) Примеры: 1. Скорость движения точки м/с. 2375) Найти путь, пройденный точкой за 4-ю секунду. 2376) Решение: согласно условию, . Следовательно, 2377) 2. Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью м/с, второе — со скоростью v = (4t+5) м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 5 с? 2378) Решение: очевидно, что искомая величина есть разность расстояний, пройденных первым и вторым телом за 5 с: 2379) 2380) 3. Тело брошено с поверхности земли вертикально вверх со скоростью и = (39,2—9,8^) м/с. Найти наибольшую высоту подъема тела. 2381) Решение: тело достигнет наибольшей высоты подъема в такой момент времени t, когда v = 0, т.е. 39,2—9,8t = 0, откуда I = 4 с. По формуле (1) на ходим 2382)

2383)

2. ВЫЧИСЛЕНИЕ РАБОТЫ СИЛЫ
2384) Работа, произведенная переменной силой f(х) при перемещении по оси Ох материальной точки от х = а до х=b, находится по формуле При решении задач на вычисление работы силы часто используется закон Г у к а: F=kx, (3) где F — сила Н; х—абсолютное удлинение пружины, м, вызванное силой F, а k —коэффициент пропорциональности, Н/м. 2385) Пример: 2386) 1. Пружина в спокойном состоянии имеет длину 0,2 м. Сила в 50 Н растягивает пружину на 0,01 м. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть ее от 0,22 до 0,32 м? 2387) Решение: используя равенство (3), имеем 50=0,01k, т. е. kК = 5000 Н/м. Находим пределы интегрирования: а = 0,22 — 0,2 = 0,02 (м), b=0,32— 0,2 = 0,12(м). Теперь по формуле (2) получим 2388) 2389) 2390)
Практика
: студенты выполняют расчеты по выдаваемым дидактическим карточкам с заданиями – 4 варианта. 2391) 2392)
Приложение
: дидактические карточки с заданиями (4 варианта). 2393) 2394)
2395)

Литература необходимая для проведения работы:
2396) 1. Ш. А. Алимов. Алгебра и начала анализа. 17 изд. – М.: Просвещение, 2011. 2. А. Н. Колмогоров. Алгебра и начала анализа.1 изд.- М.:Просвещение,2011. 3. Ю. В. Кириченко. Репетитор по математике.- Харьков: Фолио, 1997. 2397) 2398) 2399)
2400)

Вариант-1

2401)
2402) 1. Вычислить определённый интеграл:
2403) ∫ − 1 1 ( 2 x − 3 x 2 ) dx 2404)
2.
Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением v=3t²2t1,м/c. Вычислить путь, пройденный точкой за 5 секунд после начала движения. 2405)
3.
Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными уравнениями: 2406)
а)
y=x²2x+2; x=1; x=2, y=0 . 2407)
б)
2xx² = у; y=0.
2408)

Вариант-2
2409) 2410)
1.
Вычислить определённый интеграл: 2411) 5 x (¿ ¿ 4 − 8 x 3 ) dx ∫ 0 1 ¿ 2412)
2.
Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением v=24t6t²¸ м/с. Вычислить путь, пройденный точкой от начала движения до ее остановки. 2413)
3.
Найти площадь фигуры, ограниченный кривыми, заданными уравнениями: 2414)
а)
y= x²2x+1; 2x2=у.
2415)

б)
y= x², y= 3x. 2416)
Вариант-3
2417)
1.
Вычислить определённый интеграл: 2418) ∫ − 1 2 ( 6 x 3 − 5 x ) dx 2419)
2.
Скорость точки, движущийся прямолинейно, задана уравнением 2420) v=18t-6t² , м/с. Вычислить путь , пройденный точкой за 2 секунду. 2421)
3
. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: 2422)
а)
y= -x²+6х-5 и y=0; 2423)
б)
y=x² и y=2х+3;
2424)

2425)

Вариант-4
1.
1.
Вычислить определённый интеграл: 2426) ∫ 1 4 ( 2 x − √ x ) dx 2427)
2.
Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением 2428) v=6t²-4t-10, м /с. Вычислить путь, пройденный точкой за 4с от начала 2429) движения. 2430)
3.
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
2431)
а)
y= -x²+9 и y=0; 2432)
б)
y= x²-2x+3 и y=x+3. 2433) 2434) 2435)
2436)

Практическая работа № 19.

2437)

ТЕМА: Подсчет числа сочетаний, размещений и

перестановок. Бином Ньютона.
2438)
Цель занятия
: - закрепить знания, полученные при изучении предмета теории вероятностей и математической статистики; понятия -радикал, перестановки, размещения и сочетания; научить применять таблицу биномиальных коэффициентов при разложении биномов. 2439)
Умение и навыки, которые должны приобрести обучаемые на

занятии:
решать задачи на подсчет числа сочетаний, перестановок и размещений; уметь находить коэффициенты при использовании формулы Бинома Ньютона. 2440)
Наглядные пособия, оборудование
: таблицы биномиальных коэффициентов; микрокалькулятор; дидактические карточки с заданиями.
2441)

Повторение теоретических основ:
2442)
Комбинаторика
– раздел математики, в котором исследуется, сколько всевозможных комбинаций (вариантов), подчиненных тем или иным условиям их образования, можно составить из элементов данного множества. 2443) В разделе математики, который называется
комбинаторикой
решаются некоторые задачи, связанные с рассмотрением множеств и составлением различных комбинаций из элементов этих множеств. 2444) Например: 2445) Если взять 10 различных цифр 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 и составлять из них комбинации, то будем получать различные числа, например, 2446) 354,543,678, 5896,45 и т.д. 2447) Мы видим, что некоторые из таких комбинаций отличаются только порядком цифр (например, 345 и 543), другие, входящими в них цифрами (например, 678 и 545), третьи различаются числом цифр(5896,45 и 543). 2448) Таким образом, полученные комбинации удовлетворяют различным условиям. В зависимости от правил составления можно выделить три комбинации:
перестановки, размещения, сочетания.
Однако сначала познакомимся с понятием факториал.
2449)

Произведение всех натуральных чисел от 1 до n

включительно называют n-факториалом и пишут n!
2450) Например : 5!= 1∙ 2 ∙3 ∙ 4 ∙ 5 = 120
2451)
Правило суммы.
Если элемент первого типа можно выбрать k 1 способами, элемент второго типа – k 2 способами, …, элемент s-ого типа – k s способами, то один элемент можно выбрать k 1 + k 2 + … + k s способами. 2452)
Правило произведения.
Если элемент первого типа можно выбрать k 1 способами, элемент второго типа – k 2 способами, …, элемент s-ого типа – k s способами, то выбрать по одному элементу каждого типа можно k 1 × k 2 × … × k s способами. 2453) Пример 1. В мешке 6 груш, 4 яблока, 3 киви и 7 мандаринов. Сколькими способами можно выбрать один фрукт? 2454) Решение. По правилу суммы: 6 + 4 + 3 + 7 = 20 способами. 2455) Определение 1. Размещениями без повторений называют упорядоченные k-элементные подмножества n-элементного множества, содержащие различные элементы. Их количество обозначают символом А m n (буква А от французского слова arrangement – размещение). 2456) Определение 2. Размещениями с повторениями называют всевозможные упорядоченные k-элементные подмножества n- элементного множества. Их количество обозначают символом А m n
.
2457)
Теорема 1
.Число размещений без повторений (с повторениями) вычисляется по формуле А m n
=
m ( m − 1 )( m − 2 ) …… n 2458) Пример 2. В непрозрачном мешке шесть фишек пронумерованных числами 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Перемешав фишки извлекают по одной четыре и выкладывают в ряд. Получившееся число записывают, фишки возвращают в мешок и процедуру повторяют. Сколько чисел может получиться? 2459) Решение. Элементы различные и располагаются упорядоченно (цифры четырехзначного числа), следовательно, общее число чисел равно = 6!/(6 – 4)! = 6 × 5 × 4 × 3 = 360. 2460) Определение 3. Перестановками из n элементов без повторений называют размещения без повторений из n элементов по n. Их количество обозначают Р n (буква Р от французского слова permutation – перестановка). 2461) Определение 4. Перестановками с повторениями состава (k 1 , k 2 , …, k n ) из элементов а 1 , а 2 , …, а n называют упорядоченные множества из k = k 1 + k 2 + … + k n элементов, в каждое из которых элемент а 1 входит k 1 раз, элемент а 2 – k 2 раз, …, элемент а n – k n раз. Их количество обозначают Р (k 1 , k 2 , …, k n ).

2462)
Р n
= n(n-1)(n-2)……3*2*1
2463) Или с помощью факториала P n
=n!
2464) Пример 3. Сколько чисел можно получить, переставляя цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6? 2465) Решение. Р 6 = 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 чисел. 2466) Определение 5. Сочетаниями из n элементов по m без повторений называют неупорядоченные n-элементные подмножества m- элементного множества, содержащие различные элементы. Их количество обозначают С m n (буква С от французского слова combination – комбинация). 2467) Определение 6. Сочетаниями из n-элементов по n называют всевозможные неупорядоченные m-элементные подмножества m- элементного множества. Их количество обозначают С m n 2468)
Теорема 2
.Число сочетаний без повторений (с повторениями) вычисляется по формуле : С m n = А m n P n 2469)

Пример 4. Сколькими способами можно составить команду из пяти человек для соревнования по плаванию, если имеются восемь пловцов? 2470) Решение. способами.
2471)

Бином Ньютона - формула.
2472)
Формула бинома Ньютона
для натуральных n имеет вид , где -
биномиальные

коэффициенты
, представляющие из себя сочетания из n по k, k=0,1,2, …,n, а "!" – это знак факториала). 2473) Выражение, которое находится в правой части формулы бинома Ньютона, называют
разложением
выражения (a+b) n , а выражение называют
(k+1)-ым членом разложения
, k=0,1,2,…,n.

2474)

Коэффициенты бинома Ньютона, свойства биномиальных

коэффициентов, треугольник Паскаля.

2475)

Треугольник Паскаля.
2476) Треугольник Паскаля чаще встречается в виде значений коэффициентов бинома Ньютона для натуральных n: 2477) Боковые стороны треугольника Паскаля состоят из единиц. Внутри треугольника Паскаля стоят числа, получающиеся сложением двух соответствующих чисел над ним. Например, значение десять (выделено красным) получено как сумма четверки и шестерки (выделены голубым). Это правило справедливо для всех внутренних чисел, составляющих треугольник Паскаля, и объясняется свойствами коэффициентов бинома Ньютона.
2478)

Свойства биномиальных коэффициентов.
2479) Для коэффициентов бинома Ньютона справедливы следующие свойства:  коэффициенты, равноудаленные от начала и конца разложения, равны между собой , p=0,1,2,…,n;  ;  сумма биномиальных коэффициентов равна числу 2, возведенному в степень, равную показателю степени бинома Ньютона: ;  сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах.
2480) Пример типового расчета

2481) 2482)
Практика
: студенты выполняют расчеты по выдаваемым дидактическим карточкам с заданиями – 4 варианта. 2483)
Приложение
: дидактические карточки с заданиями (4 варианта).
2484)

Литература необходимая для проведения работы:
1. Ш. А. Алимов. Алгебра и начала анализа. 17 изд. – М.: Просвещение, 2011. 2. А. Н. Колмогоров. Алгебра и начала анализа.1 изд.- М.:Просвещение,2011. 2485) 2486) 2487) 2488) 2489) 2490) 2491) 2492) 2493) 2494) 2495) 2496) Вариант 1 2497) 1. Найти значение выражения: 2498) А 20 2 * С 18 2 2. Записать разложение бинома: 2499) ( х + 3 ) 6 3. Сколькими способами можно составить график очередности дежурства (по одному человеку в день) в студенческой столовой среди семи студентов на семь дней. 2500) 2501) 2502) 2503) 2504) 2505) 2506)
2507) 2508) Вариант 2 2509) 1. Найти значение выражения: 2510) А 12 4 ∗ 7 ! А 11 9 2. Записать разложение бинома: 2511) ( 3 а + 1 ) 5 3. В классе 20 студентов. Сколькими способами можно сделать назначение: старосты, физорга, казначея и культорга. 2512) 2513) 2514) 2515) 2516) 2517) 2518) 2519) 2520) 2521) Вариант 3 2522) 1. Найти значение выражения: 2523) С 8 3 ∗ Р 6 А 7 4 2. Записать разложение бинома: 2524) ( а + 1 2 ) 6 3. Сколькими способами можно обозначить данный вектор, используя буквы A,B,C,D,E,F? 2525) 2526)
2527) 2528) 2529) 2530) 2531) 2532) Вариант 4 2533) 1. Найти значение выражения: 2534) Р 5 ( С 11 5 − С 11 4 ) А 12 5 2. Записать разложение бинома: 2535) ( х − 1 3 ) 7 2536) Сколько существует способов выбора троих ученых из числа девяти сотрудников кафедры?
2537)

2538)

2539)

2540)

2541)

2542)

2543)

2544)

2545)

2546)

2547)

2548)

2549)

2550)

2551)

5.Контрольные работы.

2552)

5.1 Контрольная работа №1.
2553) Вариант 1 1. Вычислите: log 3 6 + log 3 18 − log 3 4 2. Решите уравнения: a) 2 3 x − 5 = 16 b) 5 x − 1 + 5 x = 150 c) log x 64 = 6
d) log 2 ( 4 x + 5 )= log 2 ( 9 − 2 x ) 3. Решите неравенства: a) 5 − x > 625 b) 1 3 5 x 2 + 8 x − 4 ≤1 c) log 3 ( 7 − 4 x ) ≤ 3 4. Решить систему уравнений: 2554) { log 2 x + log 2 y = 5 3 x − y = 20 2555) 2556) 2557) 2558) Вариант 2 1. Вычислите: log 5 75 − log 5 9 + log 5 15 2. Решите уравнения: e) 3 2 x + 7 = 243 f) 6 x − 2 − 6 x − 1 =− 180 g) log x 1000 = 3 h) log 5 ( 3 x − 4 )= log 5 ( 12 − 5 x ) 3. Решите неравенства: a) 3 x > 1 243 b) 7 x 2 − 2 x − 8 x + 6 ≥1 c) log 1 5 ( 3 x + 4 ) ≥ − 2 4. Решить систему уравнений:
2559) { log 6 x + log 6 y = 2 x − y =− 5 2560) 2561) 2562) 2563) Вариант 3 1. Вычислите: log 6 108 + log 6 12 − 1 2. Решите уравнения: a) 4 3 − x = 1 64 b) 2 2 x − 3 + 2 2 x + 1 = 136 c) log x 0 ,5 = 1 8 d) log 1 3 ( x 2 + 3 x − 9 ) =− 2 3. Решите неравенства: a) √ 6 x ≥216 b) 7 x 2 − x + 3 ≤ ( 1 7 ) 5 x c) log 0,5 ( 1 − 3 x ) ≥ − 2 4. Решить систему уравнений: 2564) { 2 x ∙ 2 − y = 1 128 log 3 x + log 3 y = 2 + log 3 2 2565) 2566) 2567) 2568) Вариант 4 1. Вычислите: lg 20 + lg 2 − lg 0,04 2. Решите уравнения:
a) 5 4 − 3 x = 125 b) 3 3 x − 1 − 3 3 x + 2 =− 234 c) log x 2 = − 1 2 d) log 0 ,5 ( x 2 − 4 x + 20 ) =− 5 3. Решите неравенства: a) √ 2 − x ≤ 128 b) 5 x 2 − 3 x − 2 6 − x ≥ 0,2 c) log 1 3 ( 2 x + 5 ) ≥ − 2 4. Решить систему уравнений: 2569) { 3 x ∙ ( 1 3 ) y = 243 log 2 x + log 2 y = 3 + log 2 3 2570) 2571) Критерии оценки: 2572) за четыре правильно решенных заданий оценка – отлично; 2573) за три правильно решенных заданий оценка – хорошо; 2574) за два правильно решенных заданий оценка – удовлетворительно; 2575) менее двух решенных заданий оценка – неудовлетворительно.
2576)

2577) 5.2Контрольная работа №2.
2578) Вариант 1 1. Найдите производную функции: 2579) а) y = x 5 − 2 √ x 2580) б) y = x 2 − 1 x 2 + 1 2581) в) y = e x + sin 5 x − 3 ln x
2. Составьте уравнение касательной к графику функции y = x 2 + 2 x в точке его с абсциссой x 0 =− 2. 3. Построить график функции y = x 3 − 3 x 2 + 4 4. Найти наименьшее и наибольшее значения функции 2582) y = 2 x 3 − 9 x 2 + 12 x − 2 на отрезке [ 0 ; 3 ] 5. Материальная точка движется по прямой по закону s ( t ) = 16 t − 2t 3 . Найдите ее скорость в момент времени t=2. 6. Найти пределы: a) lim x → − 1 ( 1 − x 2 x 2 − 2 x − 3 ) b) lim x → ∞ ( 3 x 5 − x 2 x 2 − 2 x 5 − 3 ) 2583) Вариант 2 2584) 1. Найдите производную функции: 2585) а) y = 2 x 3 − x 2 2 +4 2586) б) y = x 2 + 3 x x − 1 2587) в) y = 3 e x − sin 2 x + 4 x 2. Составьте уравнение касательной к графику функции y = x 2 − 2 x в точке его с абсциссой x 0 = 2. 3. Построить график функции y = x 3 − 4 x 2 + 3 4. Найти наименьшее и наибольшее значения функции y = x − 1 3 x 3 на отрезке [ − 2; 0 ] 5. Материальная точка движется по прямой по закону 2588) s ( t ) = 4 t 3 + 5 t 2 + 4 . Найдите ее скорость в момент времени t=3. 6. Найти пределы:
a) lim x → − 3 ( 9 − x 2 x 2 + 2 x − 3 ) b) lim x → ∞ ( 3 x 5 − x 7 x 2 − 2 x 5 − 3 ) 2589) Вариант 3 1. Найдите производную функции: 2590) а) y = 3 x 3 + x 3 3 − 6 √ x 2591) б) y = x 2 − 6 x x + 2 2592) в) y = e 2 x − 5 − cos 2 x + 5 ln x 2. Составьте уравнение касательной к графику функции y = 5 x − 3 + e x − 1 в точке его с абсциссой x 0 = 1. 3. Построить график функции y = x 3 − 3 x 4. Найти наименьшее и наибольшее значения функции y = 1 3 x 3 − 4 x на отрезке [ 0 ; 3 ] 5. Материальная точка движется по прямой по закону s ( t ) = − 1 3 t 3 + 2t 2 + 5t . Найдите ее ускорение в момент времени t=5. 6. Найти пределы: a) lim x → − 2 ( 4 − x 2 x 2 + x − 2 ) b) lim x → ∞ ( 3 x 5 − x 2 x 7 − 2 x 5 − 3 x ) 2593) Вариант 4 1. Найдите производную функции: 2594) а) y = 7 4 √ x − 3 x + 1 5 x 5
2595) б) y = x 2 + 1 x 3 − x 2596) в) y = ln ( 4 x − 3 )+ 5 cos x − 3 x 2. Составьте уравнение касательной к графику функции y = 2 x + 5 − e x + 3 в точке его с абсциссой x 0 =− 3. 3. Построить график функции y = x 4 − 8 x 2 4. Найти наименьшее и наибольшее значения функции y = 2 x 3 − 9 x 2 на отрезке [ 1 ; 4 ] 5. Материальная точка движется по прямой по закону s ( t ) = 1 4 t 4 + t 2 . Найдите ее ускорение в момент времени t=5. 6. Найти пределы: a) lim x→ 2 ( x 2 − 4 x 2 − 2 x ) b) lim x → ∞ ( x 2 − 5 x + 8 2 x 3 − x + 1 ) 2597) Критерии оценки: 2598) за шесть правильно решенных заданий оценка – отлично; 2599) за пять правильно решенных заданий оценка – хорошо; 2600) за четыре-три правильно решенных заданий оценка – удовлетворительно; 2601) менее трех решенных заданий оценка – неудовлетворительно. 2602)
2603)

5.3Контрольная работа №3.
2604) Вариант 1 1. Для функции y = 6 x 2 − 4 x + 1 найдите ту первообразную, график которой проходит через точку А (1;-3). 2. Найдите неопределенный интеграл: 2605) ∫ ( 9 x 2 − 2 √ x + 1 5 sin 5 x ) dx 3. Вычислите определенный интеграл:
2606) ∫ − 1 2 ( 3 x 2 − 2 x + 1 ) dx 4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: 2607) y = x 2 − 6 x + 5, x = 0 , x = 1 , y = 0 5. Скорость движения точки изменяется по закону V ( t ) = 3t 2 + 2 t + 1 (м/с). Найти путь S, пройденный точкой за 10 с от начала движения. 2608) Вариант 2 1. Для функции y = 2 x 2 − 2 x − 5 найдите ту первообразную, график которой проходит через точку А (2;-1). 2. Найдите неопределенный интеграл: 2609) ∫ ( 15 x 4 + 2 x 2 − 1 3 cos 3 x ) dx 3. Вычислите определенный интеграл: 2610) ∫ − 2 1 (− 3 x 2 − 4 x + 2 ) dx 4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: 2611) y =− x 2 + 6 x − 5, x = 1 , x = 3 , y = 0 5. Скорость движения точки изменяется по закону V ( t ) = 9 t 2 − 8t (м/с). Найти путь S, пройденный точкой за четвертую секунду. 2612) Вариант 3 1. Для функции y = 5 x 3 − 2 x + 1 4 найдите ту первообразную, график которой проходит через точку А (1;10). 2. Найдите неопределенный интеграл: 2613) x −¿ 8 x 3 + 1 2sin ¿ ¿ ¿ ∫ ¿ 3. Вычислите определенный интеграл:
2614) x (¿ ¿ 2 − 1 x 2 ) dx ∫ 1 3 ¿ 4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: 2615) y = 1 − x 2 и осью Оx. 5. Найдите объем тела, полученного от вращения кривой y = 3 √ x , в пределах от а=0 , b=4. 2616) Вариант 4 1. Для функции y =( x − 2 ) 2 найдите ту первообразную, график которой проходит через точку А (0;2). 2. Найдите неопределенный интеграл: 2617) ∫ ( 12 x 5 + 3 cos x − 2 x ) dx 3. Вычислите определенный интеграл: 2618) ∫ 1 4 ( 3 + 4 √ x ) dx 4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: 2619) y = x 2 − x , y = 3 x 5. Какую работу надо затратить на сжатие пружины на 4 см, если, известно, что сила в 2Н сжимает эту пружину на 1 см.
2620)
2621) Критерии оценки: 2622) за пять правильно решенных заданий оценка – отлично; 2623) за четыре правильно решенных заданий оценка – хорошо; 2624) за три правильно решенных заданий оценка – удовлетворительно; 2625) менее трех решенных заданий оценка – неудовлетворительно. 2626)
2627)

Контрольно-оценочные материалы для аттестации по

учебной дисциплине

2628)
Оценка освоения дисциплины предусматривает
экзамен (I и II

семестр)

2629)

Вопросы к экзамену. (I семестр)

1. Комплексные числа. Алгебраическая форма записи. Действия над комплексными числами. 2. Формулы сокращенного умножения. 3. Числовая функция, область определения, множество значений. 4. Целые и рациональные числа. 5. Получение всех корней квадратного уравнения при отрицательном дискриминанте. 6. Свойства арифметического корня n-й степени. 7. Квадратные неравенства. 8. Тригонометрические тождества. 9. Синус, косинус и тангенс двойного угла. 10.Синус, косинус и тангенс угла α и – α . 11.Поворот точки вокруг начала координат. 12.Знаки синуса ,косинуса и тангенса. 13.Формулы приведения. 14.Решение неравенств с модулем. 15.Зависимость между тригонометрическими функциями одного аргумента. 16.Иррациональные уравнения. 17.Формулы сложения синуса , косинуса и тангенса двух углов. 18.Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов. 19.Тригонометрические уравнения вида cos x = a . 20.Градусное и радианное измерение углов и связь между ними. 21. Уравнение вида t g x = а 22.Определения и соотношения тригонометрических функций. 23.Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму.
24.Использование метода интервалов при решении неравенств. 25.Биквадратные уравнения: 26.Показательная функция, ее свойства и график. 27.Системы показательных уравнений. 28.Решение показательных уравнений. 29.Системы показательных неравенств: 30.Решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета. 31.Показательные неравенства. 32.Решение простейших показательных уравнений. 33.Иррациональные неравенства. 34.Степень с рациональным и действительным показателями. Свойства. 35.Способы решения систем уравнений. 36.Способы задания функции. 37.Пропорции. Проценты. 38.Равносильные уравнения и неравенства. 39.Тригонометрические уравнения вида sin x ¿ a 40.Линейные неравенства. 41.Решение линейного и квадратного уравнений. 42.Основные методы решения тригонометрических уравнений. 43.Длина дуги. Площадь кругового сектора. 44.График функции. Какая функция задана и что является ее графиком? 45.Преобразование алгебраических выражений с использованием ФСУ и свойств степени. 46.Иррациональные уравнения. 47.Формула перехода от одного основания логарифма к другому. 48.Синус, косинус и тангенс половинного угла. 49.Решение логарифмических уравнений. 50.Десятичные и натуральные логарифмы.
51.Логарифмическая функция, ее свойства и график. 52.Определение логарифма. Основные свойства логарифмов. 53.Понятие предела функции в точке. 54.Основные теоремы о пределах. 55.Предел функции. Неопределенность вида 0 0 . 56.Предел функции. Неопределенность вида ∞ ∞ . 2630)
2631)

Вопросы к экзамену (II семестр)
1. Понятие производной. Производная степенной функции. 2. Геометрический смысл производной. 3. Механический смысл производной. 4. Уравнение касательной. 5. Правила дифференцирования. 6. Производная суммы, разности, произведения и частного. 7. Таблица производных. 8. Производные элементарных функций. 9. Производная сложной функции. 10.Схема исследования функции. 11.Применение производной к построению графиков функций. 12.Приложение производной к исследованию функции. Стационарные точки. 13.Возрастание и убывание функции. 14.Экстремумы функции. 15.Применение производной для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции. 16.Первообразная. Правила нахождения первообразной. 17.Таблица первообразных.
18.Основные свойства неопределенного интеграла. 19.Интегрирование элементарных функций. 20.Табличные интегралы. 21.Метод подстановки в неопределенном интеграле. 22.Интегрирование функций методом замены переменных. 23.Определенный интеграл и его геометрический смысл. 24.Криволинейная трапеция. Вычисление площади криволинейной трапеции. 25.Формула Ньютона-Лейбница. 26.Физические приложения определенного интеграла. 27.Метод подстановки в определенном интеграле. 28.Вычисление площади с помощью определенного интеграла. 29.Комбинаторика. Правило произведения. Перестановки. 30.Комбинаторика. Правило произведения. Размещения. 31.Комбинаторика. Правило произведения. Сочетания. 32.Бином Ньютона. 33.Треугольник Паскаля. Свойства биномиальных коэффициентов. 34.Нахождение биномиальных коэффициентов с помощью треугольника Паскаля. 35.Векторные величины. Понятие вектора. Сумма и разность векторов. Свойства суммы векторов. 36.Длина вектора, расстояние между точками на плоскости. 37.Умножение вектора на число. 38.Скалярное произведение векторов. Угол между векторами. 39.Прямоугольная система координат. 40.Декартова система координат. 41.Деление отрезка в данном отношении. 42.Действия над векторами, заданными своими координатами.
43.Уравнение прямой в плоскости. Угловой коэффициент. Уравнение прямой, проходящей через 2 точки. Параметрическое уравнение в отрезках. 44.Взаимное расположение прямых на плоскости и в пространстве. 45.Аксиомы стереометрии и простейшие следствия из них. Взаимное расположение прямой и плоскости. 46.Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между прямыми. 47.Параллельность плоскостей. Свойства. 48.Перпендикулярность прямой и плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. 49.Перпендикуляр и наклонная. Угол между прямой и плоскостью. Теорема о трех перпендикулярах. 50.Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей. Признак перпендикулярности. 51.Пирамида. Правильная пирамида. Тетраэдр. Сечение пирамиды. Вычисление площадей и объема. 52.Поверхность вращения. Цилиндр. Сечение цилиндра плоскостью. Вычисление площадей и объема. 53.Поверхность вращения. Конус. Сечение конуса плоскостью. Вычисление площадей и объема. 54.Шар и сфера. Взаимное расположение плоскости и шара. Касательная плоскость к сфере. 55.Вычисление площади сегмента, поверхности. Вычисление объема. 56.Параллелепипед. Призма. Вычисление Площадей поверхностей.
2632)

Практикум к экзамену (I семестр)
2633) 1.Вычислить: z=(2+3i) ∙ (3-i) +(2-i) ÷ (1-3i) 2634) 2.Упростить выражение: x 2 − 2 xy 3 ∙ y x 2 − 4 y 2 2635) 2636) 3.Записать число 27 11 в виде бесконечной десятичной дроби. 2637)
2638) 4.Найти область определения функции: у = √ x − 3 x + 3 2639) 2640) 5.Представить бесконечную периодическую десятичную дробь 0,2(18) в виде обыкновенной. 2641) 2642) 6.Решить уравнение: 9 x − 8 ∙3 x = 9 2643) 7.Решить уравнение: x 2 − 8 x + 20 = 0 2644) 2645) 8.Вычислить: 5 √ √ 1024 2646) 9.Решить уравнение: log 3 ( 2 x 2 + x )= log 3 6 − log 3 2 2647) 10.Решить неравенство: 2648) 5 x 2 + 9 x − 2 < 0 2649) 11.Доказать тождество: 2650) ( sin 2 α − cos 2 α ) 2 + 2 cos 2 α ∙ sin 2 α = sin 4 α + cos 4 α 2651) 12.Решить неравенство: − 5 x + 9 2 ≥ 6 2652) 13.Решить неравенство: ( x − 2 ) 2 3 x + 1 > 0 2653) 2654) 14.Решить уравнение: x 4 − 11 x 2 + 18 = 0 2655) 15.Сколько процентов составляет 46,6 от 11,65? 2656) 16.Исследовать функцию y= 2 x и построить ее график. 2657) 17.Решить систему уравнений: 2658) { x + y = 1 2 x − y = 8 2659) 18.Решить неравенство: x 2 − 9 x 2 − 4 < 0 2660) 19.Решить уравнение: 2661) ( 3 7 ) 3 x + 1 = ( 7 3 ) 5 x − 1 2662) 2663) 20.Решить систему: { 5 2 x + 1 > 625 11 6 x 2 − 10 x = 11 9 x − 15
2664) 21.Упростить выражение: cos 3 α + sin 2 α ∙ cos α ctg α 2665) 22.Решить уравнение: x 2 − 2 x − 3 = 0 2666) 23.Вычислить cos 2 α , если cos α = 0,3 2667) 24.Решить неравенство: 2668) 0,4 2 x + 1 > 0,16 2669) 25.Упростить выражение: cos ( − α ) + sin (− α ) cos 2 α − sin 2 α 2670) 2671) 26.Решить неравенство: 2672) 3 2 − x < 27 2673) 27.Упростить выражение: ( 3 √ 625 − 3 √ 5 ) : 3 √ 5 2674) 28.На единичной окружности построить точку, полученную поворотом точки Р(1;0) на угол -225 ° 2675) 29.Определить знаки sin α cos α t g α , если: π < α < 3 π 2 2676) 30.Решить уравнение: 2677) 3 ∙5 x + 3 + 2∙ 5 x + 1 = 77 2678) 2679) 31.Упростить выражение: 3 π 2 − α tg (¿) sin ( π − α ) + cos ( π 2 + α ) + сt g ( π − α ) ¿ 2680) 32.Решить неравенство: | x − 2 | < 7 2681) 2682) 33.Решить систему неравенств: 2683) { x 2 + x − 2 ≤ 0 3 x + 5 > 2 x + 4 2684) 2685) 34.Вычислить sin α , t g α , если cos α = − 3 5 и π 2 < α < π 2686) 2687) 35.Решить уравнение: √ 2 x + 7 = x + 2
2688) 36.Решить систему уравнений: 2689) { x 3 + y 3 = 7 x 3 ∙ y 3 =− 8 2690) 37.Вычислить cos 75 ° с помощью формул сложения. 2691) 38.Решить уравнение: 3 ∙9 x = 81 2692) 39.Упростить выражение: ( 2 + 1 b ) : 8 b 2 + 8 b + 2 b 2 − 4 b ∙ 2b + 1 b 2693) 40.Упростить: sin 5 y + sin y 2694) 41.Решить неравенство: √ 5 − x < 4 2695) 42.Решить уравнение: 3 x 2 + 4 x − 4 = 0 2696) 43.Сократить дробь: √ a − √ b a 1 4 − b 1 4 2697) 44.Решить систему уравнений: { xy = 16 x y = 4 2698) 45.Решить неравенство: √ 3 x + 1 ≤ x + 1 2699) 46.Вычислить: log 12 36 + log 12 4 2700) 47. Решить уравнение: cos x = − 1 2 2701) 48.Найти 2,5 % от 3,2. 2702) 49.Найти число, 175% которого составляют 78,75. 2703) 50.Равносильны ли следующие уравнения: 2704) 1 5 ∙ ( 2 x − 1 ) = 1 и 3 x − 1 8 = 1 2705) 51.Решить уравнение: 2706) 2 sin x + √ 2 = 0 2707) 52.Решить уравнение: sin x = 1 2 2708) 53.Запишите в других единицах измерения углы: 2709) 225 ° , − 315 ° , 6 π 5 , − 2 π 3 ,165 ° , − 225 ° , 5 π 6 , − 5 π 3 2710) 54.Найти число, если 42% его составляют 12,6. 2711) 55. Решить уравнение : t g x = ❑ √ 3
2712) 56.Решить неравенство: 3 x + 1 − 2 ( 3 + x ) < 4 x + 1 2713) 57.Найти неизвестный член пропорции: 2714) 10 : 1 8 = x : 1 1 4 2715) 58.Решить уравнение: 2 x − 1 x + 7 = 3 x + 4 x − 1 2716) 59.Исследовать функцию y= log 2 x и построить ее график. 2717) 60.Решить неравенство: 2718) 5 x − 7 6 − x + 2 7 ≥ 2 2719) 2720) 61.Решить систему уравнений: 2721) { x 2 + x ∙ y + y 2 = 13 x + y = 4 2722) 62.Решить уравнение: log 1 2 ( 7 − 8 x ) =− 2 2723) 63. Решить уравнение: x 4 − 11 x 2 + 30 = 0 2724) 64. а ( ¿ ¿ ❑ √ 3 − 1 ) ❑ √ 3 + 1 а ❑ √ 5 − 3 ∙ а 4 − ❑ √ 5 Упростить выражение : ¿ 2725) 65.Найти значение выражения: 3 sin π 6 + 2cos π 6 − t g π 3 2726) 66.Решить уравнение: 2 x 2 − 5 x + 6,5 = √ 2 2727) 67.Вычислить: 1 2 ¿ ¿ 4 30 ∙ ¿ 10 √ ¿ 2728) 68.Вычислить: lg 4 + lg 25 2729) 69.Решить уравнение: 3 x − 16 12 + 1 = x + 6 4 − x + 3 6 2730) 70.Вычислить: 7 36 ∙ 9 + 8 ∙ 11 32 + 9 10 ∙ 5 18 2731) 71.Найти неизвестный член пропорции: x : 0,75 = 9 1 2 : 14 1 4
2732) 72.Выполнить действия: ( 5 a a + 1 − 3 a a 2 + 2a + 1 ) : 5 a + 2 a 2 − 1 + a − 1 a + 1 2733) 73.Решить уравнение: x = 2 − √ 2 x − 5 2734) 74.Вычислить: 8 arc cos √ 2 2 + 6 arctg √ 3 2735) 75Выразить данный логарифм через логарифм с основанием 7: log 3 7 2736) 76.Вычислить cos α 2 , если cos α =− 0,02и 0 < α < π 2737) 77. Решить неравенство: 5 x + 4 x − 3 < 4 2738) 78.Найти радианную меру угла, который соответствует дуге окружности длиной 3 см, если радиус окружности равен 1,5 см. 2739) 79.Решить уравнение: log 1 2 ( 7 − 8 x ) =− 2 2740) 80.Решить уравнение: lg ( x 2 − 2 ) = lg x 2741) 81.Сравните значения функции y=f(x)= x 2 − 4 x при x=5 и x=-5. 2742) 82.Вычислить предел : lim x → √ 3 x 2 + 5 x 2 − 1 2743) 83.Решить систему уравнений: 2744) { 4 x + y = 128 5 3 x − 2 y − 3 = 1 2745) 84. Вычислить предел : lim ⁡ x→ 5 x 2 − 25 x 2 − 6 x + 5 2746) 85.Решить уравнение: 2747) ( t g x − 1 ) ∙ ( tg x + √ 3 ) = 0 2748) 86.Решить неравенство: 2749) lg ( 2 x − 3 )> lg ( x + 1 ) 2750) 87.Вычислить предел: lim x → ∞ 2 x 2 − 3 x − 5 1 + x + 3 x 2 2751) 88. Построить график функции: y = 4 x − x 2 2752) 89.Решить уравнение: cos 2 x − sin x =0
2753)

Практикум к экзамену (II семестр)

1. Для функции f ( x ) = x 3 − 6 x 2 − 2 x + 3 найти ту первообразную, график которой проходит через точку М(3;-1). 2. Сколькими способами можно рассадить четверых детей на четырех стульях в столовой детского сада? 3. Найти производную функции: y = x 3 x 2 + 5 4. Построить график функции: x 3 − 2 x 2 + x 5. Найти интегралы: x е 3 x + x 3 + 2 x + 2 x + 3 sin ¿ ¿ ¿ ∫ ¿ 6. Записать разложение бинома: 2754) ( y + 1 ) 10 7. Найти интеграл: ∫ √ x + 1 dx 8. Пусть ´ x = ´ m + ´ n , ´ y = ´ m −´ n . Выразите через ´ mи ´ n векторы ´ 2 x − ´ 2 y . 9. Решить задачу: Сколькими способами можно поставить рядом на полке 4 различные книги? 10.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 2755) y = 2 x 2 , x = 2, x = 4 и построить чертеж. 11.Найти координаты вектора ´ AB , если А (-1; 1) и В (3; 5). 12.Найти производную функции: y = 3 sin 2 x ∙ cos x 13.Материальная точка движется со скоростью V(t)=t+2 t 2 −¿ Найти путь, пройденный точкой за вторую секунду. 14.Найти производную функции: y = 2 sin x − 5 cos 2 x 15.Найти значение выражения: A 7 4 P 5 16.Найти угловой коэффициент касательной к графику функции y = x 3 в точке с абсциссой x 0 = 1 17.Найти координаты точки К, если М(7;4); N(-3;9) и 2756) | М K | : | KN | = 2: 3 18.Вычислить: ∫ 2 4 dx x 2
19.Сколькими способами можно обозначить данный вектор, используя буквы A, B, C, D, E, F? 20.Скорость тела, движущегося прямолинейно, определяется законом V= 2t 3 − 3 (м/с). Какое ускорение будет иметь тело через 3с после 2757) начала движения? 21.Вычислить интеграл: ∫ 1 3 ( x 2 − 2 x ) dx 22.Вычислить: ∫ 1 2 ( 2 x + 1 ) 3 dx 23.Составить уравнение касательной к параболе y= x 2 − 4 x в точке x 0 = 1 24.Найти длину вектора ⃗ с = 3 ⃗ a − 0,5 ⃗ b , если ⃗ a =( 5 ; − 3 ) , ⃗ b = ( − 6 ; 4 ) . 25.Вычислить f ¿ (9), если f ( x ) = 1 √ x 26.Найти все первообразные функции: y = 1 2 x 27.Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = x 2 + x − 6 и осью Ox. 28.Найти производную функции: y= x 3 x 2 + 1 29.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: 2758) y = x 2 , y = 2 − x 30.Найти значение выражения: A 6 3 P 4 31.Найти производную функции: y= 3 x sin x 32.Упростить выражение: ´ FK + ´ MQ + ´ KP + ´ AM + ´ QK + ´ PF 33.Сколько можно составить телефонных номеров из 6 цифр каждый, так чтобы все цифры были различны? 34.. Покупатель из имеющихся в питомнике 10 саженцев хочет выбрать 2. Сколькими способами он может это сделать? 35.Найти стационарные е точки функции y= 2 x 3 − 15 x 2 + 36 x 36.Вычислить интеграл: ∫ − 2 2 ( 3 − x ) dx
37.Найти производную функции: y = x 3 + x 2 + 16 x 38. Найти интеграл и проверить результат дифференцированием: ∫ x 3 + x 2 − x x dx 39. Найти сумму и разность векторов a → и b → , 2759) если a → = ( − 2; 2 ) и b → =( 1; 3 ) 40.Отрезок АВ задан точками А(2;3), В(10;11). Найти координаты точки С, если известно что | AC | : | CB | =3:5. 41.Найти интеграл: ∫ 1 2 ( 2 x + 1 ) 4 dx 42.Найти промежутки возрастания и убывания функции: 43.y= x 3 − 3 x 2 44.Найти производную функции: y= √ 2 x 2 − 7 45.Найти длину вектора ⃗ АВ , если А(5;2), В(8;-2). 46.Найти значение выражения: ( C 11 7 10 − C 7 2 5 ) ∙ P 5 A 6 4 47.Записать разложение бинома: 2760) ( 2 y − 3 x ) 6 48. Найти интеграл: ∫ 3 xdx ( 3 x 2 − 1 ) 3 49.Найти точки экстремума функции: 2761) y= x 4 − 4 x 3 50.Найти промежутки возрастания и убывания функции: y = x 3 − 6 x 2 + 9 51.Вычислить интеграл: ∫ 0 1 ( 5 x 4 − 8 x 3 ) dx 52.Найти значение выражения: 2762) A 12 4 ∙7 ! A 11 9 53.Даны точки: А(3;5); В(-3;3) и С(5;-8). 2763) Найти длины векторов: ⃗ AB , ⃗ BC , ⃗ AC 54.Записать разложение бинома:
2764) ( y − 1 ) 10 55.Найти производную функции: 3 x + 2 √ x − e x 56. Даны векторы ⃗ а =(-2;4), ⃗ b =(3;1) и ⃗ с (4;-1). Найти: ⃗ 2 а + ⃗ 3 b − ⃗ 5 c 57. Найти площадь фигуры ограниченной линиями: 2765) y= 4 x − x 2 и y = 4 − x 58.Сколькими способами для участия в конференции из 9 членов научного общества можно выбрать троих студентов? 59.Вычислить интеграл: ∫ 0 3 √ x + 1 dx 60.Найти точки экстремума функции y= x 4 − 8 x 2 + 3 61.Вычислить: ( С 11 7 10 - С 7 2 5 ¿ ∙ Р 5 А 6 4 62.Функция f(x)= x 3 + 3 x непрерывна на отрезке [ 1 2 ; 2 ] . Найти наименьшее и наибольшее значения. 63.Записать разложение бинома: ( 3 x + 2 ) 4 64.Скорость в момент времени t равна V(t)= t 3 + 2 t 2 . Найти путь, пройденный точкой за первые две секунды. 65. Построить график функции y = x 3 − 3 x 2 + 4 66.Найти координаты векторов ⃗ BA , ⃗ BC , ⃗ С A , если А(0;-1),В(-3;0), 2766) С(0;0). 67.Для функции f(x) = 2-2x найти первообразную, график которой 2767) проходит через точку М(2;3).
68.Найти производную функции: y = 6 3 √ x + 1 x 2 69.Найти интеграл: ∫ ( 3 x + 4 ) 3 dx 70.Дан отрезок АВ и координаты точек А(-3;-5)и С(3;-2). Найдите координаты точки В, если известно, что точка С делит отрезок АВ на равные две части. 71.Вычислить: ∫ x ∙ sin x dx 72.Радиус основания цилиндра равен 7, высота равна 10. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на . 73.Найти значение производной функции 2768)f(x)= √ x + 1 x + 1 в точке x 0 = 1 74.Площадь большого круга шара равна 1. Найдите площадь поверхности шара. 75.Из колоды карт наугад вынимают одну карту и рассматривают два события: А- вынута карта пиковой масти, В- вынут король. Описать события А+В, АВ. 76.Найти интеграл и проверить результат дифференцированием: 2769) ∫ x 3 + x 2 − x x dx 77.В ящике лежат 9 шаров, из которых 2 белых, 3 красных и 4 зеленых. Наугад берется один шар. Какова вероятность того, что этот шар цветной? 78.Длина окружности основания конуса равна 5, образующая равна 8. Найдите площадь боковой поверхности конуса. 79.Найти значение производной функции: 2770) f(x)= х , х 0 =¿ 2. е 4 х − 4 + 2 ln ¿ 80.Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 4 и 6. Ее объем равен 48. Найдите высоту этой пирамиды. 81.Найти медиану выборки значений случайной величины: 2771) 5, 9, 1, 4, 5, -2, 0. 82.Найти неопределенный интеграл способом подстановки: 2772) ∫ x 2 ∙ √ 1 + 2 x 3 dx 83.Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 3, а высота — 10. 84.Вероятность попадания в цель при одном выстреле первым орудием равна 0,8, а вторым орудием-0,7. Найти вероятность попадания в цель хотя бы одним орудием, после того как они оба, стреляя по цели, сделали по одному выстрелу.
85.Составить уравнение касательной к графику функции a. f(x)= х 2 − 4 х в точке с абсциссой 0 =¿ 1. х ¿ 86.Во время стрельбы по мишени было сделано 25 выстрелов и зарегистрировано 15 попаданий. Какова относительная частота попадания по мишени в данной серии выстрелов? 87.Найти скалярное произведение векторов ⃗ а =(3;5) и ⃗ b =(-2;7) 88.Построить график функции: у = x 3 − 3 x 89.Найти ´ ´ f ( x ) ,если f(x) = x 5 + 2 x 3 − x 2 + 2 90.Заданы два вектора, такие, что | а ⃗ | =5 и | b ⃗ | =3, а угол между ними 45 ° . Найти ( ⃗ a + ⃗ b ) 2 91.Скорость движения тела V =( 18 t − 3 t 2 ) м/c. Найти путь, пройденный телом от начала движения до его остановки. 2773) 2774)

В раздел среднее профессиональное образование