ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ № 13 «ПИРАМИДА».

1. В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S биссектрисы треугольни-

ка ABC пересекаются в точке O. Площадь треугольника ABC равна 2; объем пирамиды

равен 6. Найдите длину отрезка OS.

2. В правильной четырехугольной пирамиде

точка

– центр основания,

–

вершина,

Найдите длину отрезка

.

3. В правильной четырехугольной пирамиде

точка

– центр основания,

–

вершина,

,

. Найдите боковое ребро

.

4. В правильной четырехугольной пирамиде

точка

— центр основания,

—

вершина,

,

. Найдите длину отрезка

.

5. В правильной треугольной пирамиде SABC точка M – середина ребра AB, S – вершина.

Известно, что BC = 3, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 45. Найдите

длину отрезка SM.

6. В правильной треугольной пирамиде SABC точка L — середина ребра AC, S —

вершина. Известно, что BC = 6, а SL = 5. Найдите площадь боковой поверхности

пирамиды.

7.

Объем

параллелепипеда

равен

9.

Найдите

объем

треугольной

пирамиды

.

8. Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить

в два раза?

9. Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в четыре раза?

10. Объем правильной четырехугольной пирамиды

равен 12. Точка

– середина

ребра

. Найдите объем треугольной пирамиды

.

11. От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида

плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найди-

те объем отсеченной треугольной пирамиды.

12. Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его

ребра увеличить в два раза?

13. Ребра тетраэдра равны 1. Найдите площадь сечения, проходящего через середины

четырех его ребер.

14.

равен 12. Найдите объем треугольной пирамиды

.

15.

Объем

куба

равен

12.

Найдите

объем

четырехугольной

пирамиды,

основанием

которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

16.

Найдите

объем

параллелепипеда

,

если

объем

треугольной

пирамиды

равен 3.

17. В правильной треугольной пирамиде

— середина ребра

,

— вершина.

Известно, что

, а

. Найдите площадь боковой поверхности.

18. В правильной треугольной пирамиде

— середина ребра

,

— вершина.

Известно, что

, а площадь боковой поверхности равна

. Найдите длину отрез-

ка

.

19.

В

правильной

треугольной

пирамиде

точка

—

середина

ребра

,

—

вершина. Известно, что

, а площадь боковой поверхности равна 3. Найдите длину

отрезка

20.

В

правильной

треугольной

пирамиде

медианы

основания

пересекаются

в

точке

. Площадь треугольника

равна

,

. Найдите объем пирамиды.

ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ № 13 «КОНУС».

1. Найдите объем V конуса, образующая которого равна 2 и наклонена к плоскости основания

под углом 30. В ответе укажите



V

.

2. Высота конуса равна 6, образующая равна 10. Найдите его объем, деленный на π.

3.Диаметр основания конуса равен 6, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите

объем конуса, деленный на π.

4. Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника ABC вокруг

катета, равного 6. Найдите его объем, деленный на π.

5. Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 4 и вы-

сотой 6. Найдите его объем, деленный на π.

6. Длина окружности основания конуса равна 3, образующая равна 2. Найдите площадь боковой

поверхности конуса.

7 . Высота конуса равна 6, образующая равна 10. Найдите площадь его полной поверхности,

деленную на π.

8. Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади основания. Найдите угол

между образующей конуса и плоскостью основания. Ответ дайте в градусах.

9 . Радиус основания конуса равен 3, высота равна 4. Найдите площадь полной поверхности

конуса, деленную на π.

10. Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите



V

.

11. Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите



V

.

12. Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите



V

.

13. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 28.

Найдите объем конуса.

14. Площадь основания конуса равна 16π, высота — 6. Найдите площадь осевого сечения

конуса.

15. Площадь основания конуса равна 18. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса,

делит его высоту на отрезки длиной 3 и 6, считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса

этой плоскостью.

16. Высота конуса равна 8, а длина образующей — 10. Найдите площадь осевого сечения этого

конуса.

17. Диаметр основания конуса равен 12, а длина образующей — 10. Найдите площадь осевого

сечения этого конуса.

1 8 . Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу

основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна

2

3

.

Найдите площадь боковой

поверхности конуса.

19. Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в 5 раз?

20. Во сколько раз уменьшится объём конуса, если его высоту уменьшить в 8 раз, а радиус

основания оставить прежним?

21. Высота конуса равна 12, а диаметр основания равен 10. Найдите образующую конуса.

22. Высота конуса равна 4, а диаметр основания равен 6. Найдите образующую конуса.

23. Объём конуса равен 50π, а его высота равна 6. Найдите радиус основания конуса.

24. Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны, соответственно, 2

и 4, а второго — 6 и 8. Во сколько раз площадь боковой поверхности второго конуса больше

площади боковой поверхности первого?

25. Объём конуса равен 96π, а его высота равна 8. Найдите радиус основания конуса.

26. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает

2

1

высоты. Объём сосуда

1600 мл. Чему равен объём налитой жидкости? Ответ дайте в миллилитрах.

ТЕСТ (ЗАДАНИЕ № 13 «ПИРАМИДА»)

1.

В правильной четырехугольной пирамиде

точка

– центр основания,

–

вершина,

,

. Найдите боковое ребро

.

___________________________________________________________________

2.

В

п р авильной

четырехугольной

пирамиде

точка

−

центр

основания,

−

вершина,

,

Найдите длину отрезка

______________________________________________________________________

3.

В правильной треугольной пирамиде SABC точка K – середина ребра BC, S – вершина. Известно,

что SK = 4, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 54. Найдите длину ребра AC.

__________________________________________________________________________

4 .

Объем треугольной пирамиды

, являющейся частью правильной шестиугольной пирами-

ды

, равен 1. Найдите объем шестиугольной пирамиды.

5 .

Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все его ребра увеличить в 3 раза?

___________________________________________________________________________

6 .

Во сколько раз увеличится площадь поверхности пирамиды, если все ее ребра увеличить в 2

раза?

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

7.

В

правильной

треугольной

пирамиде

медианы

основания

пересекаются

в

точке

.

Площадь треугольника

равна 3, объем пирамиды равен 1. Найдите длину отрезка

_______________________________________________________________________________________________

8.

В правильной треугольной пирамиде

медианы основания пересекаются в точке

. Объем

пирамиды равен

,

. Найдите площадь треугольника

.

ТЕСТ (ЗАДАНИЕ № 13 «КОНУС»)

1. Высота конуса равна 4, а диаметр основания — 6. Найдите образующую конуса.

_____________________________________________________________________________

2. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает

2

1

высоты. Объём жидко-

сти равен 70 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить

сосуд?

_____________________________________________________________________________

3. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает

2

1

высоты. Объём жидко-

сти

равен

90

мл.

Сколько

миллилитров

жидкости

нужно

долить,

чтобы

наполнить

сосуд

доверху?

________________________________________________________________________

4. Диаметр основания конуса равен 108, а длина образующей — 90. Найдите высоту конуса.

__________________________________________________________________________

5.

Объем

конуса

равен

16.

Через

середину

высоты

параллельно

основанию

конуса

проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите

объем меньшего конуса.

_________________________________________________________________________

6. Длина окружности основания конуса равна 6, образующая равна 2. Найдите площадь бо-

ковой поверхности конуса.

__________________________________________________________________________

7. Высота конуса равна 12, образующая равна 15. Найдите его объем, деленный на



.

__________________________________________________________________________

8. Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 3 и

высотой 13. Найдите его объем, деленный на π.

_________________________________________________________________________

9. Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в 5 раз?

_________________________________________________________________________

10. Найдите объем V конуса, образующая которого равна 2 и наклонена к плоскости

основания под углом 30

о

. В ответе укажите



V

.

Тема "ПИРАМИДА"

№

ОТВЕТЫ

ОТВЕТЫ (ТЕСТ)

1

9

17

2

5

12

3

17

9

4

16

6

5

10

9

6

45

4

7

1,5

1

8

8

3

9

4

10

3

11

3

12

4

13

0,25

14

2

15

2

16

3

17

3

18

2

19

1

20

1

Тема "КОНУС"

№

ОТВЕТЫ

ОТВЕТЫ (ТЕСТ)

1

1

5

2

128

490

3

9

630

4

72

72

5

16

2

6

3

6

7

144

324

8

60

19,5

9

24

5

10

87,75

1

11

243

12

216

13

7

14

24

15

2

16

48

17

48

18

3

19

5

20

8

21

13

22

5

23

5

24

6

25

6

26

200