Автор: Гайкович Элеонора Бениаминовна
Должность: учитель математики
Учебное заведение: ГБОУ СОШ №4 с углубленным изучением французского языка имени Жака-Ива Кусто Василеостровского района Санкт- Петербурга
Населённый пункт: Санкт-Петербург
Наименование материала: статья
Тема: "Параметры - это просто!"
Раздел: полное образование
Известно, что задачи с параметром на ЕГЭ для многих выпускников
общеобразовательных школ представляют огромную проблему. Которую
школьники часто и не пытаются решить, а учителя не всегда могут оказать им
квалифицированную помощь. Последнее время появилось очень много
видеороликов с разборами, но представленные методы решения почти всегда
аналитические и ребятам без особых навыков трудны. Я пытаюсь в своей
работе показать как вполне доступными среднему ученику способами решить
некоторые неравенства с параметрами из ЕГЭ.
Задача 1
.
При каких а имеет решения система неравенств:
{
(
a
+
7 x
+
4
)
(
a
−
2 x
+
4
)
≤0
a
+
3 x ≥ x
2
?
Решение:
Решим первое неравенство методом интервалов на координатно-
параметрической плоскости. Горизонтальная ось Ох, вертикальная Оа.
Построим прямые
a
=−
7 x
−
4
и
a
=
2 x
−
4
.
Выделим область решений этого неравенства. Она показана сливовым
цветом. Построим область решений неравенства
a≥ x
2
−
3 x
( синяя) и
выделим область решений системы.
Мы должны выяснить, при каких а система имеет решения.
Прямая касается параболы в точке с абсциссой -2. Это легко доказать.
Ордината этой точки равна 10.Эта число войдет в область ответов.Нижняя
точка «темной » области –это ордината вершины параболы, т.е.
−
9
4
, а
верняя-ордината точки пересечения параболы и прямой
a
=
2 x
−
4
. Это 4.
ОТВЕТ:
[
−
9
4
;
4
]
∪
{
10
}
Задача 2.
При каких a неравенство
не имеет решений на интервале (1;2)?
Решение
:
Решим первое неравенство. На плоскости с осями х и а построим графики
функций
a
=
x
2
+
2 x
и
a
=−
x
Чтобы найти области решений, рассмотрим точку (1;0).неравенство при х=1 и
а=0 верно
Покажем на плоскости решения второго неравенства.
Построим графики функций
и
Выделим области решений, снова проверив точку (1,0). При х=1 и а=0
неравенство верно. Область решений второго неравенства показана розовым
цветом. Мы видим общие области- области решений системы.
По условию, нам надо выяснить, при каких а на интервале (1;2) система не
будет иметь решений.
Самая нижняя точка области из интервала (1;2) имеет абсциссу а(1)=
1
5
−
2
5
=
−
1
5
Самая верхняя точка имеет абсциссу а(2) =4+4=8
ОТВЕТ:
a≤
−
1
5
;
a≥ 8
Задача 3.
При каких а уравнение
x
2
−
10 x
+
a
2
√
(
a
−
x
+
8
) (
a
+
x
−
3
)
=
0
имеет единственное решение на
¿
⌊
2 ; 6
]
¿ ¿
?
Решение:
Уравнение равносильно системе
{
x
2
−
10 x
+
a
2
=
0
(
a
−
x
+
8
) (
a
+
x
−
3
)
>
0
Решим неравенство
(
a
−
x
+
8
) (
a
+
x
−
3
)
>
0
на координатно-параметрической
плоскости методом интервалов.
Выразим а через х и построим прямые
a
=
x
−
8
и
a
=
3
−
x
.
Выясним, какие области дадут нам решения неравенства. Выберем любую
точку. Например, (4;0) и подставим в неравенство
(
a
−
x
+
8
) (
a
+
x
−
3
)
>
0
ее
координаты. При х=4 и а=0 неравенство верно. Область « хорошая».
Рядом-«плохие».Они чередуются, если нет множителей в четных степенях,
как в обычном методе интервалов.
Рассмотрим уравнение
x
2
−
10 x
+
a
2
=¿
0.
Это уравнение окружности
(
x
−
5
)
2
+
a
2
=
25
с центром (5;0) и радиусом,
равным 5.
Нас интересуют дуги, попадающие в область решений неравенства.
Вопрос задачи:
при каких а на отрезке
[
2; 6
]
будет единственное
решение?
Горизонтальная прямая должна пересекать дуги на
отрезке
[
2; 6
]
только
один раз .
Найдем нужные нам значения а.
Прежде всего, а=-5.Это самая нижняя точка.
Если точка лежит на окружности
(
x
−
5
)
2
+
a
2
=
25
и на прямой
a
=
x
−
8
, то ,
решив квадратное уравнение
x
2
−
10 x
+
(
x
−
8
)
2
=
0
, найдем его
отрицательный корень
x
=
13
−
√ 41
2
,при этом а
=
х
−
8
=
−
3
−
√ 41
2
Если точка лежит на окружности
(
x
−
5
)
2
+
a
2
=
25
и на прямой
x
=
6
(
6
−
5
)
2
+
a
2
=25 при этом а отрицательно, то
a
=−
2 √ 6
.
Сравнив значения
−
3
−
√ 41
2
и
−
2√ 6
, поймем, что точка ординатой а=
−
2
√
6
ниже, то есть
aϵ
[
−
2
√
6 ;
−
3
−
√ 41
2
¿
.
Поднимаемся выше . Точка пересечения окружности и прямой
x
=
2
имеет ординату, равную 4, а точка пересечения окружности с прямой
x
=
6 имеет ординату
2 √ 6
и нас еще интересует а=5.
ОТВЕТ:
[
−
2
√
6 ;
−
3
−
√
41
2
¿
∪
(
4 ; 2 √ 6
]
∪
{
−
5 ; 5
}