МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ЧЕЛЯБИНСКОЙ ОБЛАСТИ

ГБПОУ «ТРОИЦКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ТЕХНИКУМ»

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА УРОКА

ПО ДИСЦИПЛИНЕ: ЕН.01. МАТЕМАТИКА

ПО ТЕМЕ: «С

ЛУЧАЙНАЯ

ВЕЛИЧИНА

. З

АКОН

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

СЛУЧАЙНОЙ

ВЕЛИЧИНЫ

».

2019г.

Рассмотрено

на

заседании

цикловой

методиче ской

ком и с с и и

общеобразовательных дисциплин.

Протокол № от. «____» _______________

Разработчик: О.В. Орлова, преподаватель математики высшей

квалификационной категории.

2

ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ

Дисциплина: ЕН.01. Математика

Раздел: Основы теории вероятностей и математической статистики.

Тема занятия: Случайная величина. Закон распределения случайной

величины.

Тип учебного занятия: Урок приобретения новых знаний.

3

Цели занятия

в соответствии с уровнями усвоения учебной информации

Учебная (обучающая): I уровень (знакомство)



формирование понятия случайной величины и их видов;



ознакомление с законом распределения случайной величины;

II уровень (воспроизведение)



составление алгоритма закона распределения случайной величины;

III уровень (умения и навыки)



решение задач по составленному алгоритму;



организация самостоятельной работы студентов по выполнению

заданий в микрогруппах;

Развивающая:



формирование умения организовывать собственную деятельность

(ОК2);



формирование умения работать в коллективе и команде, эффективно

общаться с коллегами (ОК 6);



формирование умения брать на себя ответственность за работу членов

команды, результат выполнения заданий (ОК 7);

Воспитательная:



воспитание профессионально важных личностных качеств студентов:

чувства индивидуальной и групповой ответственности,

дисциплинированности.

4

Методы (М), методические приёмы (МП)

в соответствии с уровнями усвоения информации.

I уровень (знакомство)

М: информационно – сообщающий.

МП: словесные: рассказ, беседа, ссылка на предыдущие темы;

наглядные: презентация.

II уровень (воспроизведение)

М: информационно – сообщающий, репродуктивный

МП: беседа, презентация.

Решение типовых задач.

III уровень (умения и навыки)

М: репродуктивный

МП: выполнение практических заданий по алгоритму.

Средства обучения

Материальный объект: мультимедийный проектор.

Знаковая система: электронная презентация.

Карточки - задания для групповой работы.

План темы занятия

1.

Понятие случайной величины

2.

Виды случайных величин

3.

Закон распределения случайной величины.

5

Ход занятия по этапам

Этапы занятия, время

Деятельность преподавателя

Деятельность обучающих

1. Организационный

этап (3 мин)

Задача- создать положительный эмоциональный настрой группы

на работу.



Приветствие



Проверка наличия студентов



Приветствуют

2. Актуализация

знаний (10 мин)

Задача –мотивировать интерес к теме занятия.



Фронтальный опрос по теме «Понятие события и

вероятности события. Комбинаторика», вопросы:

-

основное понятие теории вероятностей

- виды событий

- какое событие называется случайным?

- классическое определение вероятности события

- формула для вычисления числа сочетаний

- свойства числа сочетаний

- формула Бернулли.



Анализирует ответы и логически подводит к теме занятия.



Сообщает тему, план, формулирует цели. (Слайды 1,2)



Отвечают на вопросы устно.



Участвуют в беседе

совместно с преподавателем.



Записывают тему занятия и

план в конспект.

3. Изучение нового

материала (40 мин)

Задача – обеспечить успешное восприятие информации.



Объясняет первый вопрос.



Сопровождает объяснение диалогом с аудиторией и



Слушают воспринимают



Включаются в

6

демонстрацией примеров случайных величин.

(слайды 3,4)



Диктует определение.

самостоятельную

мыслительную деятельность.



Записывают определение в

конспект.

По второму вопросу темы формулирует проблему:



«Чем отличаются рассмотренные примеры случайных

величин?»



Обсуждает совместно со студентами и делает выводы.

(Слайд 5)



Объясняет второй вопрос темы. (Слайд 6)



Формулирует вопрос

: «

Дискретной или непрерывной

является случайная величина», приводит примеры.

(Слайд 7)



Задаёт вопросы, обобщает результаты обсуждения.



Включаются в мыслительную

деятельность, участвуют в

обсуждении.



Записывают в конспект

определения видов

случайных величин.



Отвечают на вопросы,

отстаивают свою точку

зрения.



Приводят свои примеры.

.



Объясняет третий вопрос темы. (Слайд 8)



Объяснение сопровождает рассмотрением формы задания

дискретной случайной величины (Слайды 9,10).



Формулирует задачу на составление закона распределения

дискретной случайной величины. (Слайд 11)



Организует совместное обсуждение этапов решения задачи.



Объясняет решение задачи, сопровождая диалогом с

аудиторией. (Слайды 12,13,14,15)



Делает выводы. Составляет алгоритм решения задачи

совместно со студентами. (Слайд 16)



Слушают, записывают

определение в конспект.



Слушают, воспринимают.



Слушают, записывают

условие в конспект.



Отвечают на вопросы,

высказывают своё мнение,

записывают решение в

конспект.



Совместно с преподавателем

составляют алгоритм и

7

записывают в конспект.

4.

Домашнее задание

(6 мин)



Выдаёт домашнее задание. (слайды 17,18)



Записывают домашнее

задание.

5.

Закрепление (25

мин)

Задача –

активизировать мыслительную деятельность обучающихся

.



Выдаёт упражнения для устного решения: задача1 (слайд-

19), задача 2 (слайд 21).



Проводит обсуждение упражнений и слушает ответы.

(слайды 20,22)



Формирует микрогруппы (4-5 чел.) для самостоятельной

работы.



Выдает задание микрогруппам: составить закон

распределения случайной величины.

Приложение А, (слайды 23,24,25).



Называет критерии оценивания решения задачи (слайд 26)



Организует и направляет работу студентов.



Принимает бланки с решением. Проверяет и оценивает

совместно со студентами, как само решение, так и вклад

каждого участника микрогруппы в совместную работу.



Включаются в мыслительную

деятельность, решают

упражнения и называют

ответы.



Разделяются на микрогруппы



Получают задание,

обсуждают решение задачи и

распределяют между

участниками группы.



Выполняют необходимые

вычисления, делают выводы.

Решение оформляют на

отдельном бланке и сдают

преподавателю.

6.

Подведение

итогов

занятия(6мин )

Задача – оценка результатов обучения.

Анализирует работу микрогрупп. Выставляет оценки.

Рефлексия (слайд 27).

Высказывают мнение о

проведённом занятии.

8

9

Конспект урока

1. Организационный момент

Сообщить тему и цели урока.

2. Актуализация знаний обучающихся

Фронтальная работа с классом – теоретический опрос по вопросам:

- Основное понятие теории вероятностей

- Виды событий

- Какое событие называется случайным?.

- Классическое определение вероятности события

- Формула для вычисления числа сочетаний

- Свойства числа сочетаний

- Формула Бернулли

3. Изучение нового материала

1.

Понятие случайной величины.

Часто в результате испытания происходят события, заключающиеся в том,

что некоторая величина принимает одно из своих возможных значений.

В таких случаях удобно вместо множества событий рассматривать одну

переменную величину (называемую случайной величиной). Случайная

величина обозначается через X, Y, Z, … и т.д.

Случайными величинами называются такие величины, которые в ходе

наблюдений или испытаний могут принимать различные значения. Можно

говорить о том, что их значения зависят от случая.

Пример1. В студенческой группе 25 человек. Пусть величина Х – число

студентов, находящихся в аудитории перед началом занятий. Ее возможными

значениями будут числа 0, 1, 2,…,25.

При каждом испытании (начало занятий) величина Х обязательно примет

10

одно из своих возможных значений, т.е. наступит одно из событий Х = 0, Х =

1, …, Х = 25.

Пример2. Однократное бросание игральной кости. Возможные события

заключаются в том, что на верхней грани выпадает Z: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Пример3.Электрическая лампочка испытывается на длительность горения.

Случайная величина Х –полное время горения электролампочки – может

принимать любое действительное неотрицательное значение.

Пример4. Подбрасывается монета n раз. Возможные результаты: герб выпал

0, 1, 2, …, n раз.

2.

Виды случайных величин.

Среди случайных величин, с которыми приходиться встречаться на практике,

можно выделить два основных типа: дискретные и непрерывные

(дискретный от лат. discretus -раздельный прерывистый).

Cлучайная величина называется дискретной, если множество возможных

значений случайной величины конечно или образуют бесконечную числовую

последовательность, т.е. множество, элементы которого могут быть

пронумерованы.

Случайная величина называется непрерывной если она принимает любое

значение из некоторого промежутка.

Вопрос: Дискретной или непрерывной является случайная величина:

а) число учащихся, отсутствующих в аудитории, (дискретная);

б) расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле, (непрерывная);

в) среднее значение оценки за контрольную работу в классе? (дискретная).

11

К студентам- «Приведите примеры дискретных и непрерывных случайных

величин».

3.

Закон распределения случайной величины.

Очевидно, что для полной характеристики дискретной случайной величины

мало знать ее значения. Необходимо им поставить в соответствие

вероятности.

Законом распределения случайной величины называется соответствие

между всеми возможными значениями дискретной случайной величины и их

вероятностями.

Простейшая формой задания закона распределения дискретной случайной

величины является таблица, в которой перечислены возможные значения

случайной величины (в порядке возрастания) и соответствующие им

вероятности:

Х

х

1

х

2

…

х

n

…

Р

р

1

р

2

…

р

n

…

Такая таблица называется рядом распределения. Допустим, что число

возможных значений случайной величины конечно: х

1

, х

2

, …, х

n

.

При одном испытании случайная величина принимает одно и только одно

постоянное значение. Поэтому события Х = х

i

(i = 1, 2, … , n) образуют

полную группу попарно независимых событий. Следовательно, р

1

+ р

2

+ … +

р

n

= 1.

Можно закон распределения изобразить и графически, откладывая на оси

абсцисс возможные значения случайной величины, а на оси ординат –

соответствующие вероятности. Для большей выразительности полученные

точки соединяются прямолинейными отрезками. Получающая при этом

фигура называется многоугольником (полигоном) распределения.

Многоугольник распределения:

12

Непрерывная случайная величина задается аналитически

Пример. Монету бросают 5 раз . Случайная величина Х – число выпадений

«герба». Составить её закон распределения.

Решение:

1.

При пятикратном бросании монеты «герб» может не появиться ни разу,

либо один раз, либо два раза, либо три раза, либо четыре раза, либо пять раз.

Следовательно, случайная величина Х принимает значения: 0; 1; 2; 3; 4; 5

2.

Найдем вероятности каждого из этих значений:

Если производится серия одинаковых независимых испытаний, то удобно

воспользоваться формулой Бернулли:

P

n

(

m

)

=

C

n

m

∙ p

m

∙ q

n

−

m

(где n-количество испытаний при которых событие А наступит ровно m раз,

р- вероятность наступления события, q=1-р вероятность не наступления

события).

n

=

5, p

=

1

2

, q

=

1

2

Найдём вероятности случайных величин:

13

P

5

(

0

)

=

C

5

0

∙

(

1

2

)

0

∙

(

1

2

)

5

−

0

=

1 ∙ 1∙

1

32

=

1

32

P

5

(

1

)

=

C

5

1

∙

(

1

2

)

1

∙

(

1

2

)

5

−

1

=

5∙

1

2

∙

1

16

=

5

32

P

5

(

2

)

=

C

5

2

∙

(

1

2

)

2

∙

(

1

2

)

5

−

2

=

5 !

(

5

−

2

)

! ∙ 2!

∙

1

4

∙

1

8

=

10

32

P

5

(

3

)

=

C

5

3

∙

(

1

2

)

3

∙

(

1

2

)

5

−

3

=

5 !

(

5

−

3

)

! ∙ 3 !

∙

1

8

∙

1

4

=

10

32

P

5

(

4

)

=

C

5

4

∙

(

1

2

)

4

∙

(

1

2

)

5

−

4

=

5 ∙

1

16

∙

1

2

=

5

32

P

5

(

5

)

=

C

5

5

∙

(

1

2

)

5

∙

(

1

2

)

5

−

5

=

1∙

1

32

∙ 1

=

1

32

3.

Закон распределения имеет вид:

Х

0

1

2

3

4

5

Р

1

32

5

32

10

32

10

32

5

32

1

32

14

4.

Построим многоугольник распределения (полигон):

Дискретная случайная величина связана с проведением эксперимента.

Сумма вероятностей значений случайной величины равна сумме

вероятностей всех элементарных событий эксперимента, поэтому основное

свойство распределения заключается в том, что сумма всех вероятностей

равна 1.

Алгоритм составления закона распределения

1.

Определить значения случайной величины;

2.

Найти вероятности случайной величины (проверить сумму

вероятностей

∑

i

p

i

=

1

);

3.

Заполнить таблицу значений и вероятностей случайной величины;

4.

Построить многоугольник распределения.

4. Закрепление изученного

15

1.

Задача 1. Установить, может ли распределение случайной величины

быть задано таблицей:

а)

Х

2

-3

7

12

-14

Р

0,1

0,2

0,3

0,2

0,3

б)

Х

5,2

4

0,9

-3

17,1

Р

0,3

0,1

0,2

0,1

0,3

Решение: а) поскольку 0,1+0,2+0,3+0,2+0,3=1,1 таблица не задаёт закон

распределения никакой случайной величины;

б) т.к. 0,3+0,1+0,2+0,1+0,3=1 и все числа в нижней строке таблицы

положительны, то таблица задает закон распределения некоторой случайной

величины.

Задача 2. Дано распределение некоторой случайной величины. Одна из

вероятностей неизвестна. Найти ее.

Х

0

1

2

3

4

Р

?

0,28

0,15

0,12

0,05

(р = 0.4)

Найти вероятность Р(0<x<3)

(0,28 + 0,15 = 0,43)

2.

Решение задач на составление закона распределения случайной

величины (формируются микрогруппы по 4-5 чел. для самостоятельной

аудиторной работы обучающихся, группам выдается бланк – задание на

котором выполняется решение).

Задачи:

16

1 группа

Устройство состоит из трёх элементов, работающих независимо друг от

друга. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1.

Составьте закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте и

постройте многоугольник распределения.

Решение:

1.

Число отказавших элементов может быть: 0; 1; 2;3. Следовательно,

случайная величина Х принимает значения: 0; 1; 2; 3

2.

Найдем вероятности каждого из этих значений по формуле Бернулли:

n

=

3, p

=

1

10

, q

=

9

10

P

3

(

0

)

=

C

3

0

∙

(

1

10

)

0

∙

(

9

10

)

3

−

0

=

1∙ 1 ∙

729

1000

=

729

1000

P

3

(

1

)

=

C

3

1

∙

(

1

10

)

1

∙

(

9

10

)

3

−

1

=

3 ∙

1

10

∙

81

100

=

243

1000

❑

P

3

(

2

)

=

C

3

2

∙

(

1

10

)

2

∙

(

9

10

)

3

−

2

=

3 ∙

1

100

∙

9

10

=

27

1000

P

3

(

3

)

=

C

3

3

∙

(

1

10

)

3

∙

(

9

10

)

3

−

3

=

1 ∙

1

1000

∙1

=

1

1000

3.

Закон распределения:

Х

0

1

2

3

Р

729

1000

243

1000

27

1000

1

1000

17

729

1000

+

243

1000

+

27

1000

+

1

1000

=1

4.

Строиться многоугольник (полигон) распределения

2 группа

Два шахматиста, играющие в одинаковую силу, сыграли матч из четырех

партий (ничьих в матче не было).

Пусть Х – число партий, выигранных одним из шахматистов. Найдите закон

распределения Х и постройте многоугольник распределения.

Решение:

n

=

4, p

=

1

2

, q

=

1

2

Х

0

1

2

3

4

Р

1

16

4

16

6

16

4

16

1

16

3 группа

На пути движения автомобиля четыре светофора, каждый из которых

разрешает или запрещает дальнейшее движение с вероятностью 0,5. Найдите

закон распределения случайной величины Х, равной числу светофоров,

пройденных автомобилем до первой остановки и постройте многоугольник

полученного распределения

n

=

4, p

=

1

2

, q

=

1

2

18

Х

0

1

2

3

4

Р

1

16

4

16

6

16

4

16

1

16

4 группа

В партии 10% нестандартных деталей. Наудачу отобраны три детали.

Составьте закон распределения дискретной случайной величины Х –числа

нестандартных деталей среди трёх отобранных и постройте многоугольник

полученного распределения.

Решение:

1.

Число не стандартных деталей среди трёх отобранных может быть: 0;

1; 2;3. Следовательно, случайная величина Х принимает значения: 0; 1; 2; 3

2.

Найдем вероятности каждого из этих значений по формуле Бернулли:

n

=

3, p

=

1

10

, q

=

9

10

P

3

(

0

)

=

C

3

0

∙

(

1

10

)

0

∙

(

9

10

)

3

−

0

=

1∙ 1 ∙

729

1000

=

729

1000

P

3

(

1

)

=

C

3

1

∙

(

1

10

)

1

∙

(

9

10

)

3

−

1

=

3 ∙

1

10

∙

81

100

=

243

1000

❑

P

3

(

2

)

=

C

3

2

∙

(

1

10

)

2

∙

(

9

10

)

3

−

2

=

3 ∙

1

100

∙

9

10

=

27

1000

P

3

(

3

)

=

C

3

3

∙

(

1

10

)

3

∙

(

9

10

)

3

−

3

=

1 ∙

1

1000

∙1

=

1

1000

3.

Закон распределения:

Х

0

1

2

3

19

Р

729

1000

243

1000

27

1000

1

1000

729

1000

+

243

1000

+

27

1000

+

1

1000

=1

4.

Строиться многоугольник (полигон):распределения

5 группа

По мишени производиться три выстрела, причем вероятность попадания при

каждом выстреле равна 0,8. Составьте закон распределения числа попаданий

в мишень и постройте многоугольник распределения.

Решение:

n

=

3, p

=

4

5

, q

=

1

5

Х

0

1

2

3

Р

1

125

12

125

48

125

64

125

5.

Домашнее задание:

20

Григорьев С.Г. стр. 318-321

Задача 1. В таблице дано распределение некоторой случайной величины Х.

Найдите пропущенную вероятность.

Значение

1

2

3

4

5

6

7

8

Вероятность

0,16

0,2

0,03

0,05

0,12

0,07

?

0,24

Задача 2. Григорьев С.Г. стр. 322 №2

Имеется пять ключей, из которых только один подходит. Найдите закон

распределения случайной величины Х, равной числу проб при открывании

замка, если испробованный ключ в последующих попытках не участвует.

Задача 3.

Случайная величина принимает все четные значения от 2 до 8 с равными

вероятностями. Постройте таблицу распределения вероятностей этой

случайной величины.

6. Подведение итогов

Выставление оценок.

Рефлексия.

21

ПРИЛОЖКНИЕ А

Бланки заданий микрогруппам.

1 группа

Устройство состоит из трёх элементов, работающих независимо друг от

друга. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1.

Составьте закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте и

постройте многоугольник распределения.

22

2 группа

Два шахматиста, играющие в одинаковую силу, сыграли матч из

четырех партий (ничьих в матче не было).

Пусть Х – число партий, выигранных одним из шахматистов.

Найдите закон распределения Х и постройте многоугольник

распределения.

23

24

3 группа

На пути движения автомобиля четыре светофора, каждый из

которых разрешает или запрещает дальнейшее движение с

вероятностью 0,5.

Найдите закон распределения случайной величины Х, равной числу

светофоров, пройденных автомобилем до первой остановки, и

постройте многоугольник полученного распределения

25

26

4 группа

В партии 10% нестандартных деталей. Наудачу отобраны три

детали.

Составьте закон распределения дискретной случайной величины Х

–числа нестандартных деталей среди трёх отобранных и постройте

многоугольник полученного распределения.

27

5 группа

По мишени производиться три выстрела, причем вероятность

попадания при каждом выстреле равна 0,8.

Составьте закон распределения числа попаданий в мишень и

постройте многоугольник распределения.

28