Автор: Еловик Екатерина Петровна
Должность: учитель математики
Учебное заведение: МОУ "СОШ № 17"
Населённый пункт: г. Карталы, Челябинская область
Наименование материала: Методическая разработка
Тема: Методика решения дробных рациональных уравнений.
Раздел: среднее образование
Методика решения дробных рациональных уравнений.
Еловик Екатерина Петровна - учитель математики
МОУ «СОШ № 17» г. Карталы
При
объяснении
новой
темы
«Дробные
рациональные
уравнения»,
учитель
знакомит
учащихся
с
алгоритмом
решения
уравнений, который прописан в учебниках «Алгебра-
8» и
«Алгебра-
9»
под редакцией С. А . Теляковского, авторами которого являются Ю.Н.
Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова
.
1.
Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
2.
Умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
3.
Решить получившееся целое уравнение;
4.
Исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий
знаменатель.
Но все мы учителя творческие люди и поэтому, каждый объясняет, данную
тему внося свою лепту. Я тоже не являюсь исключением, и поэтому хочу
предложить свою методику без ошибочного нахождения дополнительных
множителей дробей входящих в уравнение.
Пример №1.
Решить дробное рациональное уравнение:
1.
Найдем
наименьший
общий
знаменатель
дробей,
входящих
в
уравнение.
Как это правильно сделать? Такой вопрос появляется у каждого ученика, и с
высокой, и низкой мотивацией. При выборе дополнительных множителей
ошибки допускают более 50%. Что нужно сделать, чтобы процент ошибок
уменьшить? Предлагаю выписать знаменатели каждой дроби в столбик и
разложить на простые множители те знаменатели, которые раскладываются:
Первый знаменатель:
Второй знаменатель: (х+3)
Третий знаменатель: (х-3) и т.д.
Затем выпишем общий знаменатель так:
1.
из первого знаменателя выписываем все простые множители,
2.
из второго, третьего и т.д.выписываем те которых еще нет. Получили
наименьший общий знаменатель
Общий знаменатель: (х-3)(х+3)
Затем сравниваем знаменатель первый дроби с общим знаменателем.
Если
множители
знаменателя
первой
дроби
совпадают
с
множителями
общего
знаменателя,
то
дополнительных
множителей
не
будет.
Затем
сравниваем
знаменатель
второй
дроби
с
общем
знаменателем.
Не
достающиеся
множители
общего
знаменателя,
будут
являться
дополнительными множителями для второй дроби. И так находим для всех
дробей дополнительные множители.
После нахождения дополнительных множителей мы записываем все
числители под общим знаменателем, который у нас найден и записан в
столбике как общий знаменатель. А далее решаем как обычно, раскрываем
скобки в числителе, приводим подобные. Получаем дробь равную нулю.
Дробь равна нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель
нет.
Таким
образом,
переходим
к
системе.
Находим
корни
уравнения,
проверяем с ОДЗ и пишем ответ.
Пример №2
Найти наименьший общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.
(Раскладываем на простые множители каждый знаменатель)
Первый знаменатель:
Второй знаменатель:2 х- 4= 2 (х - 2)
Третий знаменатель: 2
2х(х + 2)
(Выписываем наименьший общий знаменатель)
общий знаменатель: (х-2)(х+2)2х
2.
Решить получившееся целое уравнение.
(
Сравниваем первый знаменатель с наименьшим общим знаменателем, для
первой дроби дополнительный множитель - 2х, затем второй знаменатель
сравниваем с общем знаменателем, для второй дроби - (х+2)х, для третей
дроби - (х – 2))
Алгоритм решения дробных рациональных уравнений.
1.
Найти наименьший общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.
2.
Решить получившееся целое уравнение.
3.
Найти допустимые значения дробей, входящих в уравнение.
4.
Исключить из его корней те, которые обращают в ноль общий
знаменатель.
Изюминкой моего алгоритма решения дробных рациональных уравнений
является то, что учащиеся зрительно видят разложение знаменателей на
простые
множители
и
безошибочно
находят
наименьший
общий
знаменатель
и
дополнительные
множители.
Такая
методика
решения
уравнений позволяет моим ученикам не допускать ошибки при решении
дробных рациональных уравнений, решение задач с помощью дробных
рациональных уравнений.
При контрольной проверке знаний по данной теме всегда получаю
качественный показатель не ниже 90%, а при сдаче ГИА учащиеся решают
такие уравнения на 98%. Данной методикой пользуюсь много лет и она еще
ни разу меня не подводила. Советую ее попробовать творческим учителям,
думаю, что она понравится.