Методика решения дробных рациональных уравнений.

Еловик Екатерина Петровна - учитель математики

МОУ «СОШ № 17» г. Карталы

При

объяснении

новой

темы

«Дробные

рациональные

уравнения»,

учитель

знакомит

учащихся

с

алгоритмом

решения

уравнений, который прописан в учебниках «Алгебра-

8» и

«Алгебра-

9»

под редакцией С. А . Теляковского, авторами которого являются Ю.Н.

Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова

.

1.

Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

2.

Умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

3.

Решить получившееся целое уравнение;

4.

Исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий

знаменатель.

Но все мы учителя творческие люди и поэтому, каждый объясняет, данную

тему внося свою лепту. Я тоже не являюсь исключением, и поэтому хочу

предложить свою методику без ошибочного нахождения дополнительных

множителей дробей входящих в уравнение.

Пример №1.

Решить дробное рациональное уравнение:

1.

Найдем

наименьший

общий

знаменатель

дробей,

входящих

в

уравнение.

Как это правильно сделать? Такой вопрос появляется у каждого ученика, и с

высокой, и низкой мотивацией. При выборе дополнительных множителей

ошибки допускают более 50%. Что нужно сделать, чтобы процент ошибок

уменьшить? Предлагаю выписать знаменатели каждой дроби в столбик и

разложить на простые множители те знаменатели, которые раскладываются:



Первый знаменатель:



Второй знаменатель: (х+3)



Третий знаменатель: (х-3) и т.д.

Затем выпишем общий знаменатель так:

1.

из первого знаменателя выписываем все простые множители,

2.

из второго, третьего и т.д.выписываем те которых еще нет. Получили

наименьший общий знаменатель



Общий знаменатель: (х-3)(х+3)

Затем сравниваем знаменатель первый дроби с общим знаменателем.

Если

множители

знаменателя

первой

дроби

совпадают

с

множителями

общего

знаменателя,

то

дополнительных

множителей

не

будет.

Затем

сравниваем

знаменатель

второй

дроби

с

общем

знаменателем.

Не

достающиеся

множители

общего

знаменателя,

будут

являться

дополнительными множителями для второй дроби. И так находим для всех

дробей дополнительные множители.

После нахождения дополнительных множителей мы записываем все

числители под общим знаменателем, который у нас найден и записан в

столбике как общий знаменатель. А далее решаем как обычно, раскрываем

скобки в числителе, приводим подобные. Получаем дробь равную нулю.

Дробь равна нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель

нет.

Таким

образом,

переходим

к

системе.

Находим

корни

уравнения,

проверяем с ОДЗ и пишем ответ.

Пример №2

Найти наименьший общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.

(Раскладываем на простые множители каждый знаменатель)



Первый знаменатель:



Второй знаменатель:2 х- 4= 2 (х - 2)



Третий знаменатель: 2

2х(х + 2)

(Выписываем наименьший общий знаменатель)



общий знаменатель: (х-2)(х+2)2х

2.

Решить получившееся целое уравнение.

(

Сравниваем первый знаменатель с наименьшим общим знаменателем, для

первой дроби дополнительный множитель - 2х, затем второй знаменатель

сравниваем с общем знаменателем, для второй дроби - (х+2)х, для третей

дроби - (х – 2))

Алгоритм решения дробных рациональных уравнений.

1.

Найти наименьший общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.

2.

Решить получившееся целое уравнение.

3.

Найти допустимые значения дробей, входящих в уравнение.

4.

Исключить из его корней те, которые обращают в ноль общий

знаменатель.

Изюминкой моего алгоритма решения дробных рациональных уравнений

является то, что учащиеся зрительно видят разложение знаменателей на

простые

множители

и

безошибочно

находят

наименьший

общий

знаменатель

и

дополнительные

множители.

Такая

методика

решения

уравнений позволяет моим ученикам не допускать ошибки при решении

дробных рациональных уравнений, решение задач с помощью дробных

рациональных уравнений.

При контрольной проверке знаний по данной теме всегда получаю

качественный показатель не ниже 90%, а при сдаче ГИА учащиеся решают

такие уравнения на 98%. Данной методикой пользуюсь много лет и она еще

ни разу меня не подводила. Советую ее попробовать творческим учителям,

думаю, что она понравится.