«Изучение степенной функции»

Степенной называется функция, заданная формулой

где

,

p – некоторое действительное число.

I.

Показатель

- чётное натуральное число. Тогда степенная

функция

г д е n

–

натуральное

число,

обладает

следующими

свойствами:

1) Область определения функции - множество всех действительных

чисел: D(y)=(−

; +

).

2) Область значений функции – множество неотрицательных чисел,

если

:

множество неположительных чисел,

если

:

3 )

).

Значит,

функция

является

чётной, её график симметричен относительно оси Oy.

4) Если

, то функция убывает при х

(-

; 0] и возрастает при х

[0; +

).

Если

, то функция возрастает при х

(-

; 0] и убывает при х

[0; +

).

Графиком

степенной

функции

с

чётным

натуральным

показателем является парабола п-ой степени, симметричная относительно

оси ординат, с вершиной в начале координат (в точке

), ветви которой

направлены

вверх,

если

,

и вниз, если

.

График этой функции

получается из графика функции

растяжением вдоль оси О у в а раз,

если a > 1; и сжатием к оси Ох в а раз, если 0 < a < 1.

На левом рисунке изображены примеры графиков степенных функций с

чётным натуральным показателем, а на правом рисунке – графики тех же

функций, но с растяжением и сжатием.

II.

Показатель

-

нечётное

натуральное

число.

Тогда

степенная

функция

г д е n

–

натуральное

число,

обладает

следующими свойствами:

1) Область определения функции - множество всех действительных

чисел: D(y)=(−

; +

).

2) Область значений функции – множество всех действительных чисел:

Е(y) = (−

; +

).

3 )

Значит,

функция

является нечётной, её график симметричен относительно начала координат.

4) Если

, функция возрастает при х

(-

; +

).

Если

, функция убывает при х

(-

; +

).

Графиком степенной функции

с нечётным натуральным

показателем является парабола п-ой степени с вершиной в начале координат

(точке (0;0)), симметричная относительно начала координат, ветви которой

расположены в I и III четвертях, если

; и во II и IV четвертях, если

.

График

этой

функции

получается

из

графика

функции

растяжением вдоль оси Оу в а раз, если a > 1; и сжатием к оси Ох в а раз,

если 0 < a < 1.

На левом рисунке изображены примеры графиков степенных функций с

нечётным натуральным показателем, а на правом – графики тех же функций,

но с растяжением и сжатием.

III.

Показатель

- чётное целое отрицательное число. Тогда

степенная функция

где n – натуральное число, обладает

следующими свойствами:

1) Область определения функции:

.

2) Область значений функции - множество всех положительных чисел,

если

: Е(y) =(0; +

);

множество всех отрицательных чисел, если

: Е(y) =(-

; 0).

3)

Значит, функция

является чётной, её график симметричен относительно оси Оу.

4) Если

, функция возрастает при х

(-

; 0), убывает при х

(0; +

).

Если

функция убывает при х

(-

; 0), возрастает при х

(0;

+

).

Графиком степенной функции

является гипербола п-

ой

степени,

симметричная

относительно

оси

Оу,

не

пересекающая

оси

координат и её ветви расположены в I и II четвертях, если

, и в III и IV

четвертях, если

. График этой функции получается из графика функции

растяжением вдоль оси Оу в а раз, если a > 1; и сжатием к оси

Ох в а раз, если 0 < a < 1.

На первом рисунке изображены примеры графиков степенных функций

с чётным целым отрицательным показателем, а на втором рисунке – графики

тех же функций, но с растяжением и сжатием.

IV.

Показатель

- нечётное целое отрицательное число.

Тогда степенная функция

где n – натуральное

число, обладает следующими свойствами:

1) Область определения функции:

2) Область значений функции:

3

)

Значит,

функция

является

нечётной,

её

график

с им м е т рич е н

относительно начала координат.

4) Если

, функция убывает при х

.

Если

, функция возрастает при х

.

Графиком

степенной

функции

является

гипербола п-ой степени, симметричная относительно начала координат, не

пересекающая оси координат и его ветви расположены в I

и III четвертях,

если

,

и

во II

и IV

четвертях,

если

.

График

этой

функции

получается из графика функции

растяжением вдоль оси

Оу в а раз, если a > 1; и сжатием к оси Ох в а раз, если 0 < a < 1.

На левом рисунке изображены примеры графиков степенных функций с

нечётным целым отрицательным показателем, а на правом рисунке – графики

тех же функций, но с растяжением и сжатием.

V. Показатель

– положительная правильная дробь

. Тогда

степенная функция

где m – целое положительное число, n > 1 –

натуральное число, обладает следующими свойствами:

1) Областью определения функции, исходя из определения степени с

рациональным показателем, является множество неотрицательных чисел:

2) Область значений функции - множество неотрицательных чисел,

если

:

множество неположительных чисел,

если

:

.

3)

Функция

не является ни чётной, ни нечётной, так как её

область определения не содержит противоположных значений.

4) Если

, функция возрастает при х

;

Если

, функция убывает при х

.

График степенной функции

расположен в I четверти, если

,

и

в IV

четверти,

если

. График этой функции получается из

графика функции

растяжением вдоль оси О у в а раз, если a > 1; и

сжатием к оси Ох в а раз, если 0 < a < 1.

На

рисунке

изображены

примеры

графиков

степенных

функций

с

показателем, представленным в виде положительной правильной дроби и

графики тех же функций, но с растяжением и сжатием.

VI.

Показатель

–

положительная

неправильная

дробь

.

Тогда степенная функция

где m – целое положительное число, n > 1

– натуральное число, обладает следующими свойствами:

1) Областью определения функции, исходя из определения степени с

рациональным показателем, является множество неотрицательных чисел:

2) Область значений функции - множество неотрицательных чисел,

если

:

множество неположительных чисел,

если

:

.

3)

Функция

не является ни чётной, ни нечётной, так как её

область определения не содержит противоположных значений.

4) Если

, функция возрастает при х

;

Если

, функция убывает при х

.

График степенной функции

расположен в I четверти, если

,

и

в IV

четверти,

если

. График этой функции получается из

графика функции

растяжением вдоль оси О у в а раз, если a > 1; и

сжатием к оси Ох в а раз, если 0 < a < 1.

На

рисунке

изображены

примеры

графиков

степенных

функций

с

показателем, представленным в виде положительной неправильной дроби и

графики тех же функций, но с растяжением и сжатием.

VII. Показатель

– отрицательная правильная дробь

. Тогда

степенная функция

где m – целое отрицательное число, n > 1 –

натуральное число, обладает следующими свойствами:

1) Областью определения функции, исходя из определения степени с

рациональным показателем, является множество неотрицательных чисел:

2) Область значений функции - множество неотрицательных чисел,

если

:

множество неположительных чисел, если

:

.

3)

Функция

не является ни чётной, ни нечётной, так как её

область определения не содержит противоположных значений.

4) Если

, функция убывает при х

;

Если

функция возрастает при х

.

График степенной функции

расположен в I четверти, если

,

и

в IV

четверти,

если

. График этой функции получается из

графика функции

растяжением вдоль оси О у в а раз, если a > 1; и

сжатием к оси Ох в а раз, если 0 < a < 1.

На

рисунке

изображены

примеры

графиков

степенных

функций

с

показателем, представленным в виде отрицательной правильной дроби и

графики тех же функций, но с растяжением и сжатием.

VIII.

Показатель

– отрицательная неправильная дробь

.

Тогда степенная функция

где m – целое отрицательное число, n > 1 –

натуральное число, обладает следующими свойствами:

1) Областью определения функции, исходя из определения степени с

рациональным показателем, является множество неотрицательных чисел:

2) Область значений функции - множество неотрицательных чисел,

если

:

множество неположительных чисел, если

:

.

3)

Функция

не является ни чётной, ни нечётной, так как её

область определения не содержит противоположных значений.

4) Если

функция убывает при х

;

Если

функция возрастает при х

.

График степенной функции

расположен в I четверти, если

,

и

в IV

четверти,

если

. График этой функции получается из

графика функции

растяжением вдоль оси О у в а раз, если a > 1; и

сжатием к оси Ох в а раз, если 0 < a < 1.

На рисунке изображены примеры графиков степенных функций с

показателем, представленным в виде отрицательной неправильной дроби и

графики тех же функций, но с растяжением и сжатием.