Напоминание

Задачи по стереометрии


Автор: Суляева Римма Александровна
Должность: учитель математики
Учебное заведение: Вятский многопрофильный лицей
Населённый пункт: город Вятские Поляны Кировской области
Наименование материала: методическая разработка
Тема: Задачи по стереометрии
Раздел: полное образование





Назад




Задачи по стереометрии.

Задачи по стереометрии части 2 Единого государственного экзамена большей частью

посвящены вычислению расстояний и углов в пространстве. Такие задачи часто

встречаются на практике, поэтому им уделено особое внимание. Эти задачи можно решать

разными методами.

Традиционный метод решения задачи опирается на определение расстояния или угла и

требует от учащихся развитого пространственного воображения.

Координатный и векторный методы могут быть эффективно использованы при решении

задач разного вида. Применение опорных задач может привести к рациональному

решению задачи.

В кодификатор элементов содержания к уровню подготовки выпускников входят разделы,

связанные с темой «Многогранники».

1.1. Расстояние между двумя точками

Расстояние между точками A и B можно вычислить:

1) как длину отрезка AB , если отрезок AB удается включить в некоторый треугольник в

качестве одной из его сторон;

2) по формуле расстояния между двумя точками;

3) по формуле длины вектора

Пример 1. В единичном кубе ABCDA 1B1C1D1 точки E и K – середины

ребер AA1 и CD соответственно, а точка M расположена на диагонали

B1D1 так, что B1M = 2MD1 . Найти расстояние между точками Q и L, где Q –

середина отрезка ЕМ, а L – точка отрезка МК такая, что ML = 2LK.

1.2. Расстояние от точки до прямой

Расстояние от точки до прямой, не содержащей эту точку, есть длина отрезка

перпендикуляра, проведенного из этой точки на прямую.

Расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине отрезка их общего

перпендикуляра.

Расстояние между двумя параллельными прямыми равно расстоянию от любой

точки одной из этих прямых до другой прямой.

Пример 2. В единичном кубе ABCDA1 B1C1D1 найти расстояние от точки D до прямой

РQ, где Р и Q – середины соответственно ребер A1B1 и ВС.

Пример 3. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания равна 2,

боковое ребро равно 4. Найдите расстояние от точки А до прямой МВ, где М - середина

SD.

1.3 Расстояние от точки до плоскости.

Расстояние от точки до плоскости, не содержащей эту точку, есть длина отрезка

перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно длине их общего

перпендикуляра.

Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно расстоянию от

любой точки этой прямой до плоскости.

Расстояние между параллельными плоскостями равно расстоянию между точкой

одной из этих плоскостей и другой плоскостью.

координатный метод

Расстояние от точки M до плоскости α можно вычислить по формуле

ρ(M,α) =

|

a x

0

+

b y

0

+

c z

0

+

d

|

a

2

+

b

2

+

c

2

где M (

x

0

, y

0

, z

0

¿

¿

плоскость α задана уравнением ax + by + cz + d = 0 .

Пример 4. В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания

равно 1, боковое ребро- 2. Найдите расстояние от середины ребра АА1 до плоскости

DA1C1.

Решение: 1. Введём прямоугольную систему координат A(0,0,0),ось х через

АD, ось y- AB, ось z- AA1.

2. Координаты точек M(0,0,1)- середина AA1, A1 (0,0,2), D(1,0,0),

C1 (1,1,2)

3. Составим уравнение плоскости DA1C1.

a+d=0

2c+d=0

a+b+2c+d=0

2x-2y+z-2=0

4. По формуле находим расстояние от М до DA1C1.

ρ(M,α)=

|

2

0

2

0

+

1

1

2

|

4

+

4

+

1

=

1

3

1. Найти координаты вектора n, перпендикулярного к плоскости: а) из

уравнения плоскости; в) вектор n перпендикулярен к любой прямой, лежащей

в плоскости. Скалярное произведение векторов n, DA1.

и n, DC1 равно 0.

n

(a,b,c),

DA 1.

(-1,0,2),

DC 1

(0,1,2)

-a+2c=0

b+2c=0;

n

(a,-a,0,5a), пусть a=2,то

n

(2,-2,1)

2. Найти угол между MD и плоскостью. Для этого можно найти косинус углa

между векторами MD и n), переходим к синусу угла MDK. Находим MK.

1.4 Расстояние между скрещивающимися прямыми

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми можно

воспользоваться одним из четырёх способов.

1.Построить общий перпендикуляр и найти его длину.

2. Построить плоскость, содержащую одну из прямых и параллельную второй.

Искомое расстояние будет равно расстоянию от какой - нибудь точки второй

прямой до построенной плоскости.

3. Заключить данные прямые в параллельные плоскости, проходящие через

эти скрещивающиеся прямые, и найти расстояние между этими плоскостями.

4. Построить плоскость, перпендикулярную одной из данных прямых, и

построить на этой плоскости ортогональную проекцию второй прямой.

Пример 5. В правильной треугольной призме ABCA

1

B

1

C

1

Сторона основания равна 1, боковое ребро- 3. Найдите расстояние между прямыми AB

1

и

BC

1

Пример 6 . В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания равна 3,

боковое ребро -4, точка М - середина ребра SB. Найти расстояние между прямыми SA и

MC.

1.5. Угол между двумя прямыми

Углом между двумя пересекающимися прямыми называется наименьший из углов,

образованных при пересечении прямых.

0

°

¿

(

a , b

)

<

90°

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между

пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным

скрещивающимся.

Если две прямые перпендикулярны, то угол между ними равен

90 °

.

Если две прямые параллельны, то угол между ними равен

0 °

.

При нахождении угла α между прямыми a и b используют формулу

cos α

=

¿ ¿

1.6. Угол между прямой и плоскостью

Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол

между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.

0

°

¿

(

a ,

)

<

90 °

Угол между взаимно перпендикулярными прямой и плоскостью равен

90 °

Если прямая лежит в плоскости или параллельна ей, угол между ними считается

равным

0 ° .

Угол между прямой a и плоскостью α можно вычислить по формуле

sin β

=

¿ ¿

, где n – вектор нормали к плоскости α, p -направляющий вектор прямой

a.

Пример 7. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной в точке

S, стороной основания 4

2

и боковым ребром 5 найти угол между прямой AB и

плоскостью, проходящей через середины BC и DC и вершину S.

1.7. Угол между плоскостями

Двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется величиной его

линейного угла.

Величина двугранного угла принадлежит промежутку (

0 °

,

180 °

).

Величина угла между пересекающимися плоскостями принадлежит промежутку (

0 °

,

90 °

).

Угол между двумя параллельными плоскостями считается равным 0

°

.

Применение векторно – координатного метода позволяет свести решение исходной

задачи к задаче о нахождении угла:

a) между векторами нормалей данных плоскостей

cos

(

α , β

)

=

¿ ¿

b) между направляющими векторами скрещивающихся прямых a и b, лежащих в

рассматриваемых плоскостях и перпендикулярных к их линии пересечения.

cos γ

=

¿ ¿

, p, q –направляющие векторы прямых a,b.

Пример 8. В правильной четырёхугольной призме ABCDA1.B1.C1.D1. сторона

основания равна 3, боковое ребро- 5. На ребре АА1. взята точка М так, что АМ =2,

на ребре BB1. точка К так, что В1.К=2. Найдите угол между плоскостями CC1.D1.

и D1.MK.

Пример 9. Все рёбра треугольной пирамиды SABC равны между собой. Точки K,

L- середины рёбер AB и BC соответственно. Найдите угол между (ABS) и (KSL).

Пример 10. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка S - вершина.

Точка M - середина ребра SA , точка K - середина ребра SC . Найдите угол между

плоскостями BMK и ABC , если AB= 4, SC= 6.

Пример 11. Дан куб ABCDA1.B1.C1.D1. с ребром 5 см. Точка P движется по

сторонам квадрата AA1D1D со скоростью 1см/с, стартуя из точки А. Двигаясь в

направлении AA1D1D, точка P через 7с остановилась. Найти угол между

плоскостью ABD и плоскостью PMB1, где M –середина CC1.



В раздел образования