Автор: Семичева Ирина Викторовна
Должность: учитель математики
Учебное заведение: МОУ СОШ №3
Населённый пункт: город Подольск, Московская область
Наименование материала: методическая разработка
Тема: "Общая методика решения уравнений"
Раздел: полное образование
Общая методика решения уравнений.
Содержание.
1.Введение.
2.Мотивационный этап.
3.Классификация уравнений.
4.Применение математической теории и методов к решению уравнений:
а) способ разложения на множители;
б) замена переменной;
в) уравнения, решаемые с помощью свойств функции;
5.Заключение.
Мотивационный этап.
В настоящее время при проведении итоговой аттестации большое
внимание уделяется уравнению. От ученика требуется определять вид
уравнения, знание алгоритма его решения и умение его осуществлять,
правильно записывать решение, а также умение применять при решении
текстовых задач.
При повторении систематизируем сведения об уравнениях и обратим внима-
ние на часто используемые методы решения уравнений.
Учащимся предлагается рассмотреть следующие уравнения:
1
)
х
4
+
4 х
3
−
18 х
2
−
12 х
+
9
=
0
2
)
27
х
−
13
⋅
18
х
−
12
х
+
13
⋅
8
х
=
0
3
)
3
х
+
5
х
=
34
4
)(
х
2
−
6 х
−
9
)
2
=
х
(
х
2
−
4 х
−
9
)
5
)(
х
2
+
2 х
)
2
−
4
(
х
+
2
)(
2 х
2
−
х
)=−
3
(
2 х
−
1
)
6
)
log
7
(
x
+
2
)=
6
+
x
7
)
1
+
2cos
2
x
+
2
√
2 sin x
+
cos2 x
=
0
8
)
2
(
x
−
1
)
2
(
x
+
2
)
2
−
(
x
+
1
)
2
(
x
−
2
)
2
=
x
2
−
1
x
2
−
4
9
)
5
4
−
х
=
х
+
2
10
)
3
⋅
4
х
+(
3 х
−
10
)⋅
2
х
+
3
−
х
=
0
11
)
log
5
(
3
⋅
2
1
+
x
−
2
−
x
⋅
5
2 x
+
1
)=
x
+
log
5
13
12
)
sin
x
3
−
cos6 x
=
2
13
)
x
2
+
x
√
x
+
3
=
6
(
x
+
3
)
14
)
5 sin
2
x
−
1
=
3 sin x cos x
и дать ответ на три задания.
Задание №1.Провести классификацию уравнений по виду.
Задание №2. Провести классификацию уравнений по методам решения.
Задание №3.Решить уравнения (кто сколько пожелает, на выбор ).
В ходе такой работы расширяются и углубляются знания. На уроках
проанализируем результаты выполненной работы и сделаем вывод.
Классификация уравнений.
Уравнения
Алгебраические Трансцендентные
Целые (№1,№4,№5) Показательные (№2.№3)
Дробные (№8) Логарифмические (№6)
Иррациональные (№13) Тригонометрические(№7,№12,
№14)
Смешанные (№9,№10,№11)
Выясняем, что данные уравнения можно решать:
- разложением на множители (№1,№4,№5);
- заменой переменной (№1,№4,№7,№10,№13);
- уравнения, решаемые с помощью свойств функции (№3,№6,№9,№12);
- однородные (или сводящиеся к однородному)
(№2,№5,№8,№11,№13,№14).
Покажем на примерах "работу" каждого метода.
Разложение на множители.
Уравнение№ 1 .
х
4
+
4 х
3
−
18 х
2
−
12 х
+
9
=
0 .
Если уравнение имеет целые корни, то они находятся среди делителей
свободного члена, значит, мы сможем разложить на множители его левую
часть. х=-1,х=3 удовлетворяют уравнению. Имеем:
¿
(
х
+
1
)(
х
−
3
)(
х
2
+
6 х
−
3
)=
0
⇔
⇔
[
х
+
1
=
0
[
х
−
3
=
0
[
х
2
+
6 х
−
3
=
0
[⇔ ¿
[
х
=−
1
[
х
=
3
[
х
=−
3
±
√
12
[ ¿ ¿
Ответ:
−
1 ; 3 ;
−
3
±
√
12 .
Решим уравнение №4:
¿
(
х
2
−
6 х
−
9
)
2
=
х
(
х
2
−
4 х
−
9
)
(
х
2
−(
6 х
+
9
) )
2
=
х
(
х
2
−
4 х
−
9
)
х
4
−
2 х
2
(
6 х
+
9
)+(
6 х
+
9
)
2
=
х
3
−
4 х
2
−
9 х
х
4
+
12 х
3
−
18 х
2
+
36 х
2
+
108 х
+
81
=
х
3
−
4 х
2
−
9 х
х
4
−
13 х
3
+
22 х
2
+
117 х
+
81
=
0
(
х
−
9
)(
х
+
1
)(
х
2
−
5 х
−
9
)=
0
⇔
⇔
[
х
−
9
=
0
[
х
+
1
=
0
[
х
2
−
5 х
−
9
=
0
[⇔ ¿
[
х
=
9
[
х
=−
1
[
х
=
5
±
√
61
2
[ ¿ ¿
Ответ:
9;
−
1;
5
±
√
61
2
Приведём другие примеры уравнений, решаемых методом разложения
на множители:
1
)
5
3 х
−
6
⋅
5
2 х
+
12
⋅
5
х
−
8
=
0 .
Решение :
5
3 х
−
6
⋅
5
2 х
+
12
⋅
5
х
−
8
=
0
⇔(
5
х
−
2
)
3
=
0
⇔
⇔
5
х
=
2
⇔
х
=
log
5
2.
Ответ:
log
5
2.
¿
х
+
7
⋅¿
6
√
х
−
8
=
0
⇔
¿
6
√
х
−
8
=
0,
х
+
7
≥
0,
¿
[
¿
5
−
√
х
+
7
=
0,
х
−
8
≥
0
¿
¿[⇔
¿
⇔
¿
¿
х
=
18 ,
х
≥
8
¿
2
)
log
4
3
(
9 x
−
5
)−
log
4
2
(
9 x
−
5
)=
0 .
Решение :
log
4
3
(
9 x
−
5
)−
log
4
2
(
9 x
−
5
)=
0
⇔(
log
4
(
9 x
−
5
)−
1
)×
¿
log
4
2
(
9 x
−
5
)=
0
⇔
[
log
4
(
9 x
−
5
)=
1,
[
log
4
(
9 x
−
5
)=
0
[⇔ ¿
[
x
=
1,
[
x
=
2
3
.
[ ¿
Ответ : 1;
2
3
.
¿ ¿
3
)
5
6
√
х
−
8
−
√
х
+
7
⋅
6
√
х
−
8
=
0 .
¿
Решение :
¿
5
6
√
х
−
8
−
√
¿ [
{
¿ ¿ ¿
Задания для самостоятельного решения:
1
)
3
х
+
3
х
+
4
=
246 ;
2
)
20
х
⋅
4
3 х
−
16
⋅
5
х
=
0 ;
3
)
log
4
3
x
+
3 log
4
2
x
+
3 log
4
x
+
1
=
0 ;
4
)
sin 3 x
⋅
cos x
+
3 sin 3 x
=
0;
¿
Уравнение№1 .
3
х
+
3
х
+
4
=
246
⇔
3
х
(
1
+
3
4
)=
246
⇔
3
х
⋅
82
=
246
⇔
3
х
=
3
⇔
х
=
1.
Ответ :1 .
Уравнение№2 .
20
х
⋅
4
3 х
−
16
⋅
5
х
=
0
⇔
5
х
⋅
4
х
⋅
4
3 х
−
16
⋅
5
х
=
0
⇔
⇔
5
х
(
4
4 х
−
16
)=
0
⇔
⇔
[
5
х
=
0 ;
[
4
х
−
16
=
0 ;
[⇔
4
4 х
−
16
=
0
⇔
4
4 х
=
4
2
⇔
4 х
=
2
¿⇔
х
=
1
2
.
¿
Ответ :
1
2
.
¿ ¿
Уравнение№ 3.
log
4
3
x
+
3 log
4
2
x
+
3 log
4
x
+
1
=
0
⇔(
log
4
3
x
+
1
)+
3
(
log
4
x
+
+
1
)⇔(
log
4
x
+
1
)(
log
4
2
x
−
log
4
x
+
4
)=
0
⇔
¿
x
>
0 ;
log
4
x
+
1
=
0 ;
¿
[
¿
x
>
0 ;
log
4
2
x
−
log
4
x
+
4
=
0
¿
¿[ ⇔
¿
¿
x
>
0 ;
log
4
x
=−
1
⇔
x
=
1
4
.
[
{
¿ ¿ ¿
¿
Уравнение №4.
sin 3 x cos x
+
3 sin 3 x
=
0
⇔
sin 3 x
(
cos x
+
3
)=
0
⇔
⇔
¿
[
sin 3 x
=
0;
[
cos x
+
3
=
0
[⇔
sin 3 x
=
0
⇔
3 x
=
∏
n, n
∈
z .
⇔
¿⇔
x
=
∏
n
3
, n
∈
z .
¿
Ответ:
Пп
3
, п
∈
z .
¿ ¿
Метод замены переменной.
Другим возможным способом решения уравнений является замена
переменной. Обычно в результате замены переменной тригонометрическое,
показательное или логарифмическое уравнение сводится к квадратному.
В начале приведём простейшие случаи применения этого метода.
1
)
2sin
2
x
−
7 sin x
+
3
=
0 ;
sin x
=
z ;
2 z
2
−
7 z
+
3
=
0 ;
z
=
7
±
√
49
−
24
4
=
7
±
5
4
;
[
z
=
3 ;
[
z
=
0,5
[
1
)
sin x
=
3
нет
решений
2
)
sin x
=
0,5
x
=(−
1
)
k
∏
¿
6
+
∏
k , k
∈
z .
¿
Ответ :
(−
1
)
k
∏
¿
6
+
∏
к , к
∈
z .
¿
2
)
2
4 х
−
6
⋅
2
2 х
−
16
=
0;
2
2 х
=
у ;
у
2
−
6 у
−
16
=
0 ;
[
у
=
2
[
у
=
8
[
1
)
2
2 х
=−
2
нет
решений
2
)
2
2 х
=
2
3
⇔
х
=
1,5
Ответ:1,5
3
)
4
√
х
+
1
+
√
х
+
1
−
6
=
0 ;
4
√
х
+
1
=
z ;
z
2
+
z
−
6
=
0 ;
[
z
=−
3 ;
[
z
=
2.
[
1
)
4
√
x
+
1
=−
3
нет
решений
2
)
4
√
х
+
1
=
2
⇔
х
=
15 .
Ответ: х
=
15 .
Решим целые уравнения №1,№4,№5 заменой переменной.
х
4
+
4 х
3
−
18 х
2
−
12 х
+
9
=
0 .
Решение. х=0 не является корнем уравнения. Разделим обе части на
х
2
≠
0 .
получим:
х
2
+
4 х
−
18
−
12
х
+
9
х
2
=
0
(
х
2
+
9
х
2
)+
4
(
х
−
3
х
)−
18
=
0
х
−
3
х
=
t , x
2
+
9
x
2
=
t
2
+
6 ;
Имеем:
¿
t
2
+
4 t
−
12
=
0
[
t
=−
6
[
t
=
2
[ ⇔
[
x
−
3
x
=−
6
[
x
−
3
x
=
2
[ ⇔¿
[
x
=−
3
±
√
12
[
x
=−
1
[
x
=
3
[ ¿
Ответ :
−
1;3 ;
−
3
±
√
12 .
¿ ¿
Уравнение №4 способом замены переменной решается проще, чем путём
разложения на множители.
(
х
2
−
6 х
−
9
)
2
=
х
(
х
2
−
4 х
−
9
)
х
2
−
4 х
−
9
=
t
⇒
x
2
−
6 x
−
9
=
t
−
2 x
Имеем :
t
2
−
5 tx
+
4 x
2
=
0
[
t
=
4 x
[
t
=
x
[
Исходное уравнение распадается на совокупность двух уравнений:
[
х
2
−
4 х
−
9
=
4 х
[
х
2
−
4 х
−
9
=
х
[
¿
[
[
х
=−
1
[
х
=
9
[
¿[
х
=
5
±
√
61
2
[⇔ ¿
[
х
=−
1
[
х
=
9
[
х
=
5
±
√
61
2
[¿ ¿
Ответ:
−
1; 9 ;
5
±
√
61
2
.
¿ ¿
Уравнение №5.
¿
х
≠
1
2
(
х
(
х
+
2
)
2 х
−
1
)
2
−
4
х
(
х
+
2
)
2 х
−
1
+
3
=
0
⇔
¿
⇔
¿
х
(
х
+
2
)
2 х
−
1
=
t
t
2
−
4 t
+
3
=
0
x
≠
1
2
⇔
¿
x
(
x
+
2
)
2 x
−
1
=
t
[
t
=
1
[
t
=
3
[
x
≠
1
2
⇔
¿
[
x
(
x
+
2
)
2 x
−
1
=
1
[
x
(
x
+
2
)
2 x
−
1
=
3
[⇔
¿
⇔
(
х
2
+
2 х
)
2
−
4
(
х
+
2
)(
2 х
2
−
х
)=−
3
(
2 х
−
1
)
2
⇔
⇔
х
2
(
х
+
2
)
2
−
4
(
х
+
2
)
х
(
2 х
−
1
)+
3
(
2 х
−
1
)
2
=
0
⇔
⇔
{
¿ ¿ ¿
Интересные рассуждения при решении уравнения №8.
2
(
х
−
1
)
2
(
х
+
2
)
2
−
(
х
+
1
)
2
(
х
−
1
)
2
=
х
2
−
1
х
2
−
4
Обозначим :
х
−
1
х
+
2
=
а ,
х
+
1
х
−
2
=
b
Получим: 2 a
2
−
b
2
=
ab
⇔
2 a
2
−
ab
−
b
2
=
0
Это уравнение однородное относительно a и b. b=0 не является решением
уравнения. Разделим обе части на
¿
х
≠
2
х
≠−
1
¿
b
2
≠
0
2
(
a
b
)
2
−
a
b
−
1
=
0
⇔
[
a
b
=
2
[
a
b
=−
1
[ ¿ ¿
[
(
x
−
1
) (
x
−
2
)
(
x
+
2
) (
x
+
1
)
−
1
=
0
[
(
x
−
1
)(
x
−
2
)
(
x
+
2
) (
x
+
1
)
+
1
2
=
0,
[ ¿
где
¿
{
¿ ¿ ¿
Первое уравнение даёт решение х=0,а второе решений не имеет в области
действительных чисел.
Ответ:0.
Уравнение №13. Здесь тоже два способа замены переменной ,решение
однородного уравнения.
I способ.
¿
х
>−
3
√
x
+
3
=
t
t
>
0
6 t
2
−
tx
−
x
2
=
0
⇔
¿
x
>−
3
t
>
0
√
x
+
3
=
t
[
t
=
1
2
x
[
t
=−
1
3
x
[
⇔
¿
¿
x
>−
3
√
x
+
3
=
1
2
x
1
2
x
>
0
¿
[
¿
x
>−
3
√
x
+
3
=−
1
3
x
−
1
3
x
>
0
¿
¿ [⇔
¿
⇔
¿
¿
x
+
3
=
1
4
x
2
x
>
0
¿
[
¿
x
+
3
=
1
9
x
2
−
3
<
x
<
0
¿
¿[ ⇔
¿
¿
[
x
=
6
[
x
=−
2
[
x
>
0
¿
[
¿
−
3
<
x
<
0
х
2
+
х
√
х
+
3
=
6
(
х
+
3
)⇔
⇔
{
¿
{
¿
{
¿ ¿¿
II способ.
х
2
+
х
√
х
+
3
=
6
(
х
+
3
)⇔
х
2
+
х
√
х
+
3
−
6
(
х
+
3
)=
0
Данное уравнение справедливо при х>-3 и является однородным
относительно
х и
√
х
+
3
.
(
х
√
х
+
3
)
2
+
х
√
х
+
3
−
6
=
0
х
√
х
+
3
=
t
t
2
+
t
−
6
=
0
t
=−
3; t
=
2
Имеем :
¿
х
√
х
+
3
=−
3
−
3
<
x
<
0
¿
[
¿
x
√
x
+
3
=
2
¿
x
>
0
¿
¿ [⇔
¿
[
{
¿ ¿ ¿
¿
Уравнение №10, кроме показательных функций, содержит линейные:
у=3х-10 и у=3-х. Но можно заметить, что относительно
2
х
оно является
квадратным.
¿
2
x
=
t
[
t
=
1
3
[
t
=
3
−
x
[
t
>
0
⇔
¿
⇔
¿
¿
2
x
=
3
−
x
3
−
x
>
0
¿
¿ [⇔
¿
¿
2
x
=
3
−
x
x
<
3
¿
3
⋅
4
х
+(
3 х
−
10
)⋅
2
х
+
3
−
х
=
0
⇔
⇔
[
2
x
=
t
[
3 t
2
+(
3 x
−
10
)
t
+(
3
−
x
)=
0
[
t
>
0
[ ⇔¿
{
¿
{
¿ ¿ ¿
В уравнении
2
х
=
3
−
х
, где x<3,x=1 является корнем уравнения. Функция
у
=
2
х
возрастающая, значит, графики этих функций пересекаются только в
одной точке с абсциссой х=1.
Ответ:
−
log
2
3; 1 .
ПРОВЕРЬ СЕБЯ:
(время выполнения-10 минут)
Решите уравнения:
ВАРИАНТ 1
1
)
8
⋅
2
2 х
−
6
⋅
2
х
+
1
=
0
2
)
2sin
2
x
+
9 sin x
−
5
=
0
3
)
log
5
2
x
+
log
5
x
−
6
=
0
4
)
√
x
+
3
⋅
4
√
x
−
10
=
0
ВАРИАНТ 2
1
)
3
⋅
3
х
−
10
⋅
(
√
3
)
х
+
3
=
0
2
)
6 cos
2
x
−
13 cos x
+
2
=
0
3
)
log
√
2
2
x
−
6 log
√
2
x
+
8
=
0
4
)
3
4
√
x
+
√
x
−
18
=
0
Уравнения, решаемые с помощью свойств
функции.
Уравнение №3.
3
х
+
5
х
=
34
Заметим, что х=2 удовлетворяет уравнению. Докажем, что других корней нет.
Действительно, каждая из функций
у
=
3
х
иу
=
5
х
является возрастающей,
поэтому их сумма тоже возрастающая функция. При х=2 левая часть равна 34,
при х<2 она меньше 34, при х>2 она больше 34. Итак, уравнение имеет один
корень х=2.
Ответ:2.
Уравнение №12.
sin
x
3
−
cos 6 x
=
2
В левой части уравнения разность тригонометрических функций.
Решим уравнение, используя ограниченность синуса и косинуса. Так как
|
sin
x
2
|≤
1;
|
cos 6 x
|≤
1
Имеем :
sin
x
3
=
1
cos 6 x
=−
1
⇔
¿
∏
¿
2
+
2
∏
k , k
∈
z
6 x
=
∏
+
2
∏
n , n
∈
z
⇔
¿
¿
⇔
3
∏
¿
2
+
6
∏
k , k
∈
z
∏
¿
3
n , n
∈
z
∏
¿
6
+¿
x
=¿
no
¿
¿
¿
¿
¿
{
¿ ¿ ¿
¿
¿
Общее решение найдём с помощью тригонометрического круга.
Общее решение:
х
=
3
∏
¿
2
+
6
∏
k , k
∈
z .
¿
Ответ :3
∏
¿
2
+
6
∏
k , k
∈
z .
¿
Решим уравнение:
х
3
+
10 х
−
57
=
0
Решение. Не строя графиков функции
у
=
х
3
иу
=−
10 х
+
57
,заметим ,что при
х=3 левая часть уравнения обращается в ноль, т.е. число 3 является корнем
уравнения.
Комментарии.
1. Естественно возникает вопрос, имеется ли у данного уравнения ещё какие-
либо корни. Ответить на этот вопрос можно сославшись на свойства функций:
функция
у
=
х
3
возрастает на R, а функция у=-10х+57 убывает на R, значит,
найденный корень единственный.
2. В этом случае мы использовали функционально-графический метод,так
как в решении применяли известные свойства функций.
Рассмотрим ещё примеры уравнений, решаемых подобным методом.
№1.
8
х
+
18
х
=
2
⋅
27
х
Решение. Так как
27
х
≠
0
,то, разделив обе части уравнения на
27
х
,получим
равносильное уравнение
(
8
27
)
х
+
(
18
27
)
х
=
2
.
Поскольку показательные функции
у
=
(
8
27
)
х
иу
=
(
18
27
)
х
имеют основания,
меньшие 1,то они обе - убывающие, и поэтому их сумма убывающая.
Следовательно, она принимает значение 2 не более чем в одной точке. Но
при х=0 её значение равно 2,т.е. 0 - единственный корень данного уравнения.
Ответ: х = 0.
№2.
х
5
+
4 х
=−
40
.
Решение. Функция
у
=
х
5
+
4 х
является возрастающей, так что она может
принять значение -40 только при одном значении х. При х=-2 она равна -40,
и следовательно, это единственный корень данного уравнения.
Ответ: х = -2.
№3.
2
х
+
1
+
х
=−
3
2
.
Решение. Так как
2
−
2
+
1
−
2
=
1
2
−
2
=−
3
2
, то - 2 - корень данного уравнения.
Других корней оно иметь не может, поскольку его левая часть –
возрастающая функция.
Ответ: х = - 2.
№4.
√
(
х
−
3
)(
х
+
3
)−
6 х
+
18
+(
х
−
4
)
2
=
7
−
2 х
.
Решение.
√
(
х
−
3
) (
х
+
3
)−
6 х
+
18
+(
х
−
4
)
2
=
7
−
2 х
√
х
2
−
6 х
+
9
=−
х
2
+
8 х
−
16
+
7
−
2 х
|
х
−
3
|=−(
х
2
−
6 х
+
9
)
|
х
−
3
|=−(
х
−
3
)
2
.
Заметим, что выражение
|
х
−
3
|
при х = 3 принимает наименьшее, равное
0,
а выражение
−(
х
−
3
)
2
принимает наибольшее значение, равное 0 , при х =
3.
Значит, корень уравнения равен 3.
Ответ: х = 3.
Для самостоятельного решения:
1
)
4
х
=
5
−
х
2
)
√
х
−
8
х
=
0
3
)
2
х
=
8
х
4
)
log
4
x
=
5
−
x
Заключение.
Успешное повторение курса математики обеспечивает
продуктивную подготовку к единому государственному экзамену. Подготовку
к ЕГЭ разумнее выстраивать по тематическому принципу. За время обучения
математике школьники решают множество уравнений. Уравнение -
центральная тема курса. Материал, представленный в работе, формирует
представления учащихся о способах решения уравнений, наиболее удобных
и экономных во многих случаях.