Напоминание

Методические рекомендации к использованию прикладных задач на уроках математики


Автор: Руденко Любовь Андреевна
Должность: учитель математики
Учебное заведение: МБОУ «Гимназия №40» имени Народного учителя СССР Овсиевской Руфины Серафимовны
Населённый пункт: г. Барнаула
Наименование материала: статья
Тема: Методические рекомендации к использованию прикладных задач на уроках математики
Раздел: среднее образование





Назад




Методические рекомендации к использованию прикладных задач на

уроках математики

Математика является учебным предметом, необходимым для будущей

профессиональной подготовки, она готовит школьников к использованию

математических знаний в предстоящей профессиональной деятельности.

Одним из средств, осуществляющих подготовку школьников к предстоящей

профессиональной деятельности, являются прикладные задачи.

Решая

прикладные

задачи,

школьники

учатся

применять

математические знания на практике, повышается качество математических

знаний. Решение прикладных задач способствует развитию логического

мышления, умения кратко, ясно и последовательно выражать свои мысли,

принимать оптимальные решения в сложной ситуации.

Содержание математической задачи, метод которой освоен учащимися

при ее решении, вызывают

интерес, если они связаны с раскрытием

элементов профессионального мастерства и математической культуры

людей, с пониманием природы математики, развитием мировоззрения.

Прикладные задачи повышают интерес учащихся к самой математике,

поскольку

для

подавляющего

большинства

учащихся

ценность

математического образования состоит в её практических возможностях.

Мы выделили следующие этапы решения прикладных задач:

1.

Осмысление текста задачи и анализ её содержания, выявление

взаимосвязь с другими, ранее изученными задачами.

2.

Построение математической модели задачи.

3.

Осуществление поиска решения и составление плана решения.

4.

Решение задачи внутри модели.

5.

Перевод результата с математического языка на язык исходной

задачи.

6.

Анализ

полученных

результатов,

реальность

полученных

результатов.

Учащимся же достаточно сообщить только трехэтапную схему метода

математического моделирования.

Учителю при использовании прикладных задач следует помнить

следующее:

1)

задача

должна

нести

познавательную

информацию

о

современном производстве, показывать творческий характер труда людей

массовых профессий;

2)

вопрос задачи, полученное решение, числовые значения данных

должны соответствовать реальной ситуации, а не подстраиваться под

определенную математическую проблему;

3)

условие

задачи

должно

быть

лаконичным,

свободным

от

перегрузки специальной терминологией;

4)

используемый в задаче нематематический материал должен быть

доступен школьникам;

5)

решение задачи требует содержательных математических знаний

из школьного курса математики.

Решение прикладной задачи тогда эффективно, когда учащиеся

встречались с описываемой ситуацией в реальной действительности, в быту,

при изучении других предметов. Тем более, если обучение математике

ведется на базовом уровне.

При изучении математики на базовом уровне в старших классах

считаем,

что

целесообразно

использовать

прикладные

задачи

межпредметного характера, при решении которых не требуется знаний,

выходящих за рамки школьной программы по математике. Следует

применять на уроках прикладные задачи, решаемые и использованием

элементов дифференциального и интегрального исчисления, на вычисление

объемов и поверхностей пространственных фигур и т. д.

Рассмотрим примеры прикладных задач.

Задача 1. При температуре 0

0

рельс имеет длину l

0

= 10 м. При

возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его

длина, выраженная в метрах, меняется по закону l(t

0

) = l

0

(1 + αt

0

), где

α = 1,2*10

-5

(

0

С) — коэффициент теплового расширения, t

0

— температура (в

градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 3 мм? Ответ

выразите в градусах Цельсия.

Задача сводится к нахождению наименьшего решения неравенства

l(t

0

) – l

0

≥ 3*10

-3

l

0

(1 + αt

0

) – l

0

≥ 3*10

-3

l

0

αt

0

≥ 3*10

-3

10*1, 2*10

-5

t

0

≥ 3*10

-3

t

0

3

10

3

1 , 2

10

4

t

0

≥ 25.

Получили, что при температуре 25

0

С рельс удлинится на 3 мм.

Данная задача иллюстрирует связь математики с физикой. Ее можно

использовать для демонстрации применения трехэтапной схемы метода

математического моделирования при решении прикладных задач.

Задача 2. Зависимость объема спроса q (единиц в месяц) на продукцию

предприятия – монополиста от цены p (тыс. руб) задается формулой

q = 100 – – 10p. Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по

формуле r(p) = q*p. Определите наибольшую цену p, при которой месячная

выручка r(p) составит не менее 240 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.

Задача сводится к решению неравенства r(p)

240:

r(p) = q*r = (100 – 10p)p = 100p – 10p

2

,

r(p)

240

10p

2

– 100p+240

0

p

2

– 10p + 24

0

4

p

6.

Получили, что 6 тыс. рублей – наибольшая цена, при которой месячная

выручка составит не менее 240 тыс. рублей.

Используя эту задачу на уроке можно показать учащимся связь

математики и экономики, не привлекая больших и сложных вычислений.

Задача

3.

Локатор

батискафа,

равномерно

погружающегося

вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 749 МГц.

Скорость спуска батискафа, выражаемая в м/с, определяется по формуле

v = = c

f

f

0

f

+

f

0

, где c – скорость звука в воде (в м/с), f

0

– частота испускаемых

импульсов (в МГц), f – частота отраженного от дна сигнала, регистрируемая

приемником

МГц).

Определите

наибольшую

возможную

частоту

отраженного сигнала f, если скорость погружения батискафа не должна

превышать 2 м/с.

Задача сводится к решению неравенства v

2 м/с при известных

значениях c = 1500 м/с – скорости звука в воде и f

0

= 749 МГц – частоты

испускаемых импульсов: v

2

1500

f

749

f

+

749

2

1500f – 1500*749

2f + 1498

1498f

1498*751

f

751.

Получили, что наибольшая возможная частота отраженного сигнала

равна 751 МГц.

Выше приведенные задачи можно использовать для формирования

первоначальных

навыков

применения

метода

математического

моделирования при решении прикладных задач.

Например,

при

изучении

темы

«Пирамида»

учащимся

можно

предложить следующую задачу.

Задача 4. В основании пирамиды Хеопса – квадрат со стороной 230 м,

тангенс угла наклона боковой грани к основанию равен 1,2. Найти высоту

самой высокой египетской пирамиды, если основание ее лежит в центре

квадрата.

Рис. 1

По теореме о трех перпендикулярах: SН : НМ = 1,2 SH = 1,2*115=

= 138(м).

Получаем, что высота пирамиды Хеопса составляет 138 м.

Учащимся следует сообщить о том, когда была построена эта пирамида

и какие усилия были приложены для ее возведения.

Данную задачу можно использовать как для мотивации введения

нового материала, для его иллюстрации, так и для закрепления полученных

знаний.

При изучении темы «Усеченная пирамида» для закрепления ранее

изученного материала учащимся можно предложить следующую задачу о

John Hancock Center. Но перед тем как ее сформулировать, следует сообщить

учащимся о том, какую высоту имеет здание, когда оно было построено,

сообщить, что данное здание имеет форму усеченной пирамиды. И только

после этого сформулировать саму задачу.

Задача 5. Посчитайте, сколько понадобилось заказать стекла (м

2

),

чтобы застеклить здание, если известно, что в основании здания лежит

прямоугольник со сторонами 81 м и 50 м, а длина сторон верхнего основания

составляет 65 м и 40 м соответственно, высоты боковых граней равны 361 м.

А издержки производства составляют 3,5 %.

Рис. 2

Сначала найдем площадь боковой поверхности пирамиды как сумму

площадей боковых граней. Боковые грани являются равными трапециями.

Тогда

S

1

= 2 *

81

+

65

2

* 361 = 146 * 361 = 52706 (м

2

) – сумма первой пары

противоположных граней.

S

2

= 2 *

50

+

40

2

* 361 = 90 * 361 = 32490 (м

2

) – сумма второй пары

противоположных граней.

S

= S

1

+ S

2

= 52706 + 32490 = 85169 (м

2

) – площадь боковой

поверхности пирамиды.

85169 – 100 %

х – 103,5 %

85169

х

=

100 %

103,5%

х

=

85169

103,5

100

=

88150 , 86

2

)

Тогда, 88151 м

2

стекла потребуется заказать.

Большое впечатление на учащихся производит тот факт, что данное

здание

имеет

форму

усеченной

пирамиды,

и

они

с

удовольствием

приступают к ее решению.

Дифференциальное и интегральное исчисление – это универсальный

метод решения большого класса прикладных задач. В производстве, технике,

торговле и т. д. требуется найти такую стратегию, чтобы при минимальных

затратах материальных средств, сил и времени получить наилучший

результат. И при использовании этого метода наибольшие трудности

учащиеся испытывают при выборе величины, производную которой будут в

последствии находить и приравнивать к нулю. Таким образом, данному

методу следует уделять большое внимание в профильной школе и решать

при его помощи большое количество задач.

Задача 6. При каких размерах банки, заданной емкости, имеющей

форму прямоугольного параллелепипеда, в основании которого лежит

квадрат, расход жести на ее изготовление будет наименьшим?

Пусть a, b, c измерения параллелепипеда, по смыслу a > 0, b > 0, c > 0.

Тогда полная поверхность параллелепипеда примет вид:

S = S

o

+ S

б

, где S

o

– площадь его основания, а S

б

– площадь боковой

поверхности.

Рис. 3

Пусть AD = a, AB = b, AA

1

= c и по условию a = b.

Тогда S = a

2

+ 4ac. (1)

Воспользуемся формулой для вычисления объема прямоугольного

параллелепипеда V = a

2

c. Выразив из нее

c

=

V

a

2

и подставив значение этой

переменной в формулу (1), получим S = a

2

+

4 V

a

.

Найдем производную функции S = a

2

+

4 V

a

:

S’= 2a –

4 V

a

2

.

Для нахождения критических точек решим уравнение S’ = 0, т. е.

2a –

4 V

a

2

= 0. Получим, что a =

3

2V

.

Точка

3

2V

разбивает область определения функции на два промежутка

(

0 ;

3

2 V

)

и

(

3

2 V ;

+

)

. На первом из этих промежутков S’ < 0, функция только

убывает, а на втором – S’ > 0, функция только возрастает. Значит, в точке a =

3

2V

функция имеет минимум. Функция S в области своего определения не

имеет других критических точек, кроме найденной. Воспользуемся теоремой

о том, что если функция в области своего определения непрерывна,

принимает

только

положительные

значения

и

имеет

единственный

экстремум, то наибольшее (наименьшее) значение функции в этой области

совпадает с максимумом (минимумом) на ней. В связи с этим можно сделать

вывод о том, что функция S принимает наименьшее значение при a =

3

2V

.

Учитывая это, найдем

c

=

V

3

4 V

2

.

Таким образом, наименьший расход жести на изготовление банки в

форме прямоугольного параллелепипеда, в основании которого лежит

квадрат, если сторона основания составляет

3

2V

, а высота –

V

3

4 V

2

.

Данную задачу можно использовать при изучении темы «Применение

производной для отыскания наибольших и наименьших значений величин»

для закрепления ранее изученного материала.

Задача 7. Необходимо огородить проволокой, длина которой l

м,

клумбу, имеющую форму кругового сектора. Каким должен быть радиус

круга, чтобы площадь клумбы была наибольшей?

Рис. 4

Пусть r – радиус, α – центральный угол кругового сектора. Тогда

площадь клумбы можно найти по формуле

S

=

α r

2

2

и

d

=

, где d – длина дуги.

Найдем

периметр

клумбы

P

=

2r

+

d

или,

подставив,

получим:

P

=

2r

+

=

r

(

2

+

α

)

. Но

r

(

2

+

α

)

=

l

, выразим

α

:

α

=

l

r

2

.

Подставим

α

=

l

r

2

в формулу площади кругового сектора:

S

=

1

2

(

l

r

2

)

r

2

=

lr

2

r

2

.

Найдем производную функции S =

lr

2

r

2

:

S’=

l

2

2r

.

Для нахождения критических точек решим уравнение S’ = 0, т. е.

l

2

2r

= 0. Получим, что r =

l

4

.

Точка

l

4

разбивает область определения функции на два промежутка

(

0;

l

4

)

и

(

l

4

;

+

)

. На первом из этих промежутков S’ < 0, функция только

возрастает, а на втором – S’ > 0, функция только убывает. Значит, в точке r =

l

4

функция имеет максимум. Функция S в области своего определения не

имеет других критических точек, кроме найденной. Воспользуемся теоремой

о том, что если функция в области своего определения непрерывна,

принимает

только

положительные

значения

и

имеет

единственный

экстремум, то наибольшее (наименьшее) значение функции в этой области

совпадает с максимумом (минимумом) на ней. В связи с этим можно сделать

вывод о том, что функция S принимает наибольшее значение при r =

l

4

.

Таким образом, чтобы площадь клумбы была наибольшей r =

l

4

.

При использовании этих задач школьникам можно показать не только

необходимость математики в производстве и повседневной жизни, но и мощь

такого метода, как дифференциальное и интегральное исчисление. Кроме

того,

учащиеся

при

решении

этих

задач

учатся

применять

метод

математического моделирования в более сложных ситуациях.

Учащимся будет интересно решать такие задачи, поскольку они

показывают, что многие явления и процессы (например, физические,

экономические) можно описать с помощью функций.

Школьники с

интересом

решают и воспринимают

задачи

практического

содержания.

Учащиеся

с

увлечением

наблюдают

как

теоретический материал применяется на практике.

Прикладные задачи могут быть использованы с разной дидактической

целью, они могут заинтересовать или мотивировать, развивать умственную

деятельность, объяснять связь математики с другими дисциплинами.



В раздел образования