Автор: Наталья Владимировна Пименова
Должность: преподаватель математики
Учебное заведение: ГБПОУ "МССУОР №1" Москомспорта
Населённый пункт: Москва
Наименование материала: Методическая разработка
Тема: Методические указания для проведения практических занятий по учебной дисциплине ОУД.02 Математика
Раздел: среднее профессиональное
ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ГОРОДА МОСКВЫ
«МОСКОВСКОЕ СРЕДНЕЕ СПЕЦИАЛЬНОЕ УЧИЛИЩЕ ОЛИМПИЙСКОГО
РЕЗЕРВА №1 (ТЕХНИКУМ)»
Департамента спорта города Москвы
(ГБПОУ «МССУОР №1» Москомспорта)
__________________________________________________________________
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
для проведения практических занятий
по учебной дисциплине
ОУД.02 Математика
код специальности/
специальность
49.02.01 Физическая культура
(углубленной подготовки)
Москва 2021
СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
Практическое занятие №1. Преобразование выражений
4
Практическое занятие №2. Преобразование и вычисление значений
выражений, содержащих радикалы
6
Практическое занятие №3. Преобразование и вычисление значений степенных
выражений
8
Практическое занятие №4. Решение иррациональных уравнений
10
Практическое занятие №5. Решение показательных уравнений и неравенств
12
Практическое занятие №6. Преобразование и вычисление значений
логарифмических выражений
14
Практическое занятие №7. Решение логарифмических уравнений
17
Практическое занятие №8. Углы и расстояния в пространстве
19
Практические занятия №9-10. Перпендикулярность прямой и плоскости
24
Практическое занятие №11. Двугранный угол
27
Практические занятия №12-13. Факториал. Решение комбинаторных задач
30
Практическое занятие №14. Бином Ньютона. Треугольник Паскаля
35
Практическое занятие №15. Действия над векторами на плоскости. Решение
простейших задач в координатах на плоскости. Нахождение скалярного
произведения векторов
37
Практические занятия №16-17. Действия над векторами в пространстве.
Решение простейших задач в координатах в пространстве. Нахождение
скалярного произведения векторов в пространстве
38
Практическое занятие №18. Тригонометрические функции углов поворота
43
Практические занятия №19-20. Преобразования тригонометрических
выражений
47
Практическое занятие №21. Решение тригонометрических уравнений
52
Практическое занятие №22. Свойства функции
59
Практическое занятие №23. Параллелепипед
61
Практическое занятие №24. Решение задач на нахождение элементов пирамид
63
Практическое занятие №25.
Решение задач на нахождение элементов цилиндра
68
Практическое занятие №26. Решение задач на нахождение элементов конуса
73
Практическое занятие №27. Правила дифференцирования
75
Практическое задание №28. Вычисление производных сложных функций
78
Практическое задание №29. Исследование функций с помощью производной.
Построение графиков функций
81
Практическое задание №30. Нахождение наибольшего и наименьшего значения
функции на отрезке
84
Практическое задание №31. Вычисление первообразных функций
88
Практическое задание №32. Вычисление площадей
91
Практическое задание №33. Площадь поверхности и объем призмы,
параллелепипеда
95
Практическое задание №34. Площадь поверхности и объем пирамиды
100
Практическое задание №35. Площадь поверхности и объем цилиндра
105
Практическое задание №36. Площадь поверхности и объем конуса
109
Практическое задание №37. Объем шара. Площадь сферы
112
Практическое задание №38. Решение квадратных, дробно-рациональных
уравнений и неравенств
115
Практическое занятие №39. Решение иррациональных уравнений
120
Ответы и решения
122
2
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №1
Повторение школьного курса алгебры: «Преобразование выражений»
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
1.
Повторить тему: «Преобразование числовых и буквенных
выражений».
2.
Организовать деятельность обучающихсяся по переводу своих
знаний от усвоения отдельных фактов и понятий к их
обобщению в целостную систему знаний.
3.
Определить уровень усвоения знаний, оценить результат
деятельности обучающихсяся.
ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты, справочные пособия по
алгебре.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:
1. С помощью справочных пособий по алгебре повторить:
а) правила действий над обыкновенными дробями;
б) формулы сокращенного умножения;
в) способы разложения выражения на множители;
г) правило сокращения дробей.
2. Изучить условие заданий тренажера.
3. Оформить отчет о работе.
Правила действий над обыкновенными дробями:
bd
bc
ad
d
c
b
a
;
bd
ac
d
c
b
a
;
bc
ad
d
c
:
b
a
Формулы сокращенного умножения:
2
2
2
2
b
ab
a
b
a
;
b
a
b
a
b
a
2
2
;
2
2
3
3
b
ab
a
b
a
b
a
;
3
2
2
3
3
3
3
b
ab
b
a
a
b
a
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ
Вариант 1.
1.
Вычислите значение выражения:
25
2
11
8
7
15
85
3
7
1
5
5
33
16
5
1
15
2
,
,
,
,
:
,
.
2.
Упростите выражение:
25
10
5
5
5
1
25
5
10
2
x
x
x
x
x
.
3
Вариант 2.
1.
Вычислите значение выражения:
4
1
15
11
35
0
18
5
1
3
23
9
3
6
1
4
75
,
:
,
:
.
2.
Упростите выражение:
y
y
y
:
y
y
y
2
1
2
2
1
1
1
2
2
2
2
.
Вариант 3.
1.
Вычислите значение выражения:
4
1
4
2
1
2
5
2
2
1
4
3
1
2
5
1
09
45
:
,
,
:
,
.
2.
Упростите выражение:
1
1
2
2
1
4
2
4
2
2
2
m
m
m
:
m
m
m
.
Вариант 4.
1.
Вычислите значение выражения:
5
2
17
16
1
51
20
3
2
75
12
2
6
6
3
1
3
,
:
:
,
:
,
.
2.
Упростите выражение:
1
1
3
3
2
9
3
9
3
2
2
a
a
a
:
a
a
a
.
4
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №2
«Преобразование и вычисление значений выражений, содержащих
радикалы»
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
1.
Корректировать
знания,
умения
и
навыки
по
теме:
«Преобразование выражений, содержащих радикалы».
2.
Закрепить и систематизировать знания по теме.
3.
Определить уровень усвоения знаний, оценить результат
деятельности обучающегося.
ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты, таблица степеней от 1 до 10.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:
1.
Ответить на контрольные вопросы:
а) Дайте определение корня n-ой степени. Что такое
арифметический корень n-ой степени?
б) Перечислите свойства арифметических корней n-ой степени.
2.
Изучить условие заданий тренажера.
3.
Оформить отчет о работе.
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ
Вариант 1.
1.
Найдите значение выражения:
3
27
.
2.
Решите уравнение:
16
4
x
.
3.
Вычислите: а)
3
8
27
1000
; б)
4
81
16
; в)
5
5
5
5
4
0
,
; г)
3
3
2
250
.
4.
Какое из чисел больше:
7
128
или
5
4
?
Вариант 2.
1.
Найдите значение выражения:
4
625
.
2.
Решите уравнение:
125
3
x
.
3.
Вычислите: а)
3
729
125
64
; б)
5
32
243
; в)
6
6
6
12
3
1
; г)
4
4
4
5
20
.
4.
Какое из чисел больше:
8
26
или
4
5
?
5
Вариант 3.
1.
Найдите значение выражения:
7
128
.
2.
Решите уравнение:
64
4
x
.
3.
Вычислите: а)
4
625
0016
0
0081
0
,
,
; б)
3
3
4
2
; в)
3
3
3
125
0
8
1
16
,
; г)
4
4
7
112
.
4.
Какое из чисел больше:
5
5
или
3
3
?
Вариант 4.
1.
Найдите значение выражения:
6
64
1
.
2.
Решите уравнение:
243
1
5
x
.
3.
Вычислите: а)
4
81
625
16
; б)
3
3
3
1
192
; в)
4
4
4
4
5
0
9
1
27
,
; г)
5
5
7
224
.
4.
Какое из чисел больше:
3
7
или
6
50
?
Вариант 5.
1.
Найдите значение выражения:
5
32
.
2.
Решите уравнение:
16
4
x
.
3.
Вычислите: а)
5
100000
32
1
; б)
3
3
2
3
18
; в)
3
9
6
5
2
; г)
2
8
200
.
4.
Какое из чисел больше:
5
11
или
5
7
?
Вариант 6.
1.
Найдите значение выражения:
4
16
1
.
2.
Решите уравнение:
32
5
x
.
3.
Вычислите: а)
5
00243
0
32
00001
0
,
,
; б)
5
5
2
16
; в)
4
20
8
2
3
; г)
3
3
3
4
108
32
.
4.
Какое из чисел больше:
6
04
0,
или
6
26
1
?
6
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №3
«Преобразование и вычисление значений степенных выражений»
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
1.
Корректировать
знания,
умения
и
навыки
по
теме:
«Преобразование выражений, содержащих степени с дробными
показателями».
2.
Закрепить и систематизировать знания по теме.
3.
Определить уровень усвоения знаний, оценить результат
деятельности обучающихся.
ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты, таблица степеней от 1 до 10.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:
1.
Ответить на контрольные вопросы:
а) Дайте определение степени с натуральным, отрицательным
и дробным показателями.
б)
Перечислите
свойства
степеней
с
рациональным
показателем.
2.
Изучить условие заданий для практической работы.
3.
Оформить отчет о работе.
ТРЕНИРОВОЧНАЯ ТАБЛИЦА
Вычислите:
8
5
2
32
2
3
4
6
5
64
5
3
32
3
2
27
5
4
32
3
2
8
4
3
16
7
5
3
32
2
1
9
1
3
1
125
3
1
8
1
4
1
16
2
1
16
1
4
1
81
3
1
27
1
6
4
1
16
2
1
64
3
1
8
5
1
32
3
1
27
4
1
81
3
1
64
2
1
25
5
2
7
8
2
4
5
10
2
4
6
6
2
4
3
0
5
4
3
2
3
2
5
2
3
4
3
5
2
1
1
3
1
4
3
2
1
4
3
4
2
1
3
2
6
4
2
3
3
1
5
4
3
3
2
2
7
1
4
7
2
5
2
1
3
3
2
2
5
3
1
2
3
3
3
4
4
3
1
3
5
2
2
4
3
1
4
3
3
4
4
2
3
5
5
2
3
3
0
5
3
2
a
b
с
d
e
f
g
h
ВАРИАНТЫ РАБОТЫ
Вариант 1.
Вычислите: а)
1
2
; б)
3
1
27
; в)
2
1
3
2
8
125
; г)
3
2
5
625
5
1
25
.
Вариант 2.
Вычислите: а)
7
1
; б)
3
2
27
; в)
3
1
3
1
125
1
027
,
0
9
; г)
5
1
5
2
9
4
48
.
Вариант 3.
Вычислите: а)
2
3
2
; б)
3
2
125
; в)
3
1
2
64
1
4
; г)
4
1
4
9
4
3
4
3
12
.
Вариант 4.
Вычислите: а)
7
1
; б)
2
1
36
; в)
25
0
75
0
0081
0
12
625
1
,
,
,
; г)
6
10
1
5
1
5
2
2
64
:
.
Вариант 5.
Вычислите: а)
2
2
0
3
3
5
; б)
4
1
16
; в)
4
3
4
3
2
; г)
3
2
3
2
81
4
4
3
.
Вариант 6.
Вычислите: а)
6
5
0
; б)
2
1
100
; в)
5
11
5
4
2
2
; г)
2
0
2
3
1
3
3
2
1
2
2
1
3
5
1
125
9
1
81
4
2
.
Вариант 7.
Вычислите: а)
1
2
2
6
; б)
2
3
9
; в)
2
1
1
4
9
;
г)
3
1
3
1
7
1
3
2
6
,
,
,
.
Вариант 8.
8
Вычислите: а)
4
3
; б)
2
1
01
0
.
; в)
3
2
3
5
4
;
г)
2
4
3
13
3
1
0
5
1
125
2
0
027
0
136
,
,
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №4
«Решение иррациональных уравнений»
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
1.
Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Решение
иррациональных уравнений».
2.
Закрепить и систематизировать знания по теме.
3.
Определить уровень усвоения знаний, оценить результат
деятельности обучающихся.
ОБОРУДОВАНИЕ:
инструкционно-технологические
карты,
таблица
квадратов,
микрокалькуляторы.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:
1.
Изучить памятку для решения иррациональных уравнений.
2.
По образцу выполнить тренировочные задания.
3.
Изучить условие заданий для практической работы.
4.
Оформить отчет о работе.
ПАМЯТКА
При решении иррациональных уравнений следует учитывать, что:
1)
подкоренное
выражение
корня
четной
степени
должно
быть
неотрицательным и значение корня неотрицательно;
2)
все корни нечетной степени определены при любом действительном значении
подкоренного выражения;
3)
используются два основных метода – возведение обеих частей уравнения в
одну и ту же степень и введение новой переменной;
4)
при возведении обеих частей уравнения в четную степень возможно появление
посторонних корней, поэтому проверка является составной частью решения.
УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОГО ЗАНЯТИЯ
ПРИМЕР 1. Решите уравнение
0
4
16
x
x
.
9
РЕШЕНИЕ. Уединим радикал и затем возведем обе части в квадрат
,
x
x
x
,
x
x
16
8
16
4
16
2
2
2
.
x
,
x
,
x
x
9
0
0
9
2
1
2
Проверка показывает, что х
1
= 0 – посторонний корень.
ОТВЕТ: 9.
ПРИМЕР 2. Решите уравнение
0
6
3
4
18
3
2
2
x
x
x
x
.
РЕШЕНИЕ. Введем новую переменную
0
6
3
2
t
,
x
x
t
. Тогда
6
3
2
2
t
x
x
и
уравнение примет вид
2
0
12
4
0
4
18
6
1
2
2
t
,
t
t
,
t
t
или
6
2
t
- не подходит по смыслу.
Далее
2
5
0
10
3
4
6
3
2
6
3
2
1
2
2
2
x
,
x
,
x
x
,
x
x
,
x
x
.
ОТВЕТ: - 5; 2.
ВАРИАНТЫ РАБОТЫ
Вариант 1.
Решите уравнения:
а)
10
2
12
2
x
x
; б)
3
3
2
x
x
; в)
4
7
1
11
9
4
x
x
x
.
Вариант 2.
Решите уравнения:
а)
2
5
2
x
x
; б)
1
4
1
3
x
x
; в)
4
10
18
3
x
.
Вариант 3.
Решите уравнения:
а)
x
x
1
5
; б)
7
2
3
3
x
x
; в)
x
x
x
2
4
4
3
.
Вариант 4.
Решите уравнения:
а)
12
2
14
2
x
x
; б)
2
3
5
x
x
; в)
0
2
2
4
x
x
x
.
10
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №5.
«Решение показательных уравнений и неравенств»
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
1.
Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Решение
показательных уравнений и неравенств».
2.
Закрепить и систематизировать знания по теме.
3.
Определить
уровень
усвоения
знаний,
оценить
результат
деятельности обучающихся.
ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты, таблица степеней чисел от 1
до 10, микрокалькуляторы.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:
1.
Под
руководством
преподавателя
пройти
все
уровни
тренировочного раздела.
2.
Изучить условие заданий для практической работы.
3.
Оформить отчет о работе.
ТРЕНИРОВОЧНЫЙ РАЗДЕЛ
Начальный уровень
1)
125
5
x
2)
0081
0
3
0
,
,
x
3)
64
1
2
1
x
4)
1
6
x
5)
1
4
3
x
6)
1
x
7)
16
2
2
x
8)
8
5
0
3
x
,
9)
10
1
0
4
x
,
10)
27
3
2
1
x
11)
64
4
3
0
x
,
12)
1
6
7
x
1 уровень
1)
8
2
8
3
1
x
2)
3
1
3
3
3
x
3)
3
3
27
3
1
x
4)
25
1
25
5
5
2
x
x
11
5)
1
3
2
10
1
0
100
x
x
,
6)
2
2
2
5
1
25
2
0
x
x
,
7)
x
x
x
4
3
1
8
2
32
2
8)
81
3
9
27
4
2
x
x
x
2 уровень
1)
52
4
3
4
2
x
x
2)
0
18
3
3
9
x
x
3)
0
8
2
6
4
x
x
4)
90
5
7
5
2
x
x
ВАРИАНТЫ РАБОТЫ
1)
.
,
y
x
y
x
4
9
4
5
5
49
7
1
2)
15
3
3
2
1
x
x
; 3)
7
7
8
49
x
x
;
4)
3
1
3
3
10
01
0
5
2
2
2
x
x
x
,
; 5)
0
3
3
26
9
1
2
x
x
.
12
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №6
«Преобразование и вычисление значений логарифмических выражений»
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
1.
Корректировать
знания,
умения
и
навыки
в
теме:
«Преобразование
выражений,
содержащих
степени
и
логарифмы».
2.
Закрепить и систематизировать знания по теме.
3.
Определить уровень усвоения знаний, оценить результат
деятельности обучающихся.
ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты, таблица степеней чисел от 1
до 10.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:
1.
Ответить на контрольные вопросы:
а) Дайте определение логарифма числа.
б) Запишите основное логарифмическое тождество.
в) Перечислите основные свойства логарифмов.
2.
Изучить условие заданий для практической работы.
3.
Оформить отчет о работе.
ВАРИАНТЫ РАБОТЫ
Вариант 1.
1.
Найдите: а)
32
1
2
1
log
; б)
7
49
log
.
2.
С помощью основного логарифмического тождества вычислите:
2
2
3
3
log
.
3.
Прологарифмируйте по основанию 2 выражение
5
7
16
c
b
0
,
0
b
c
.
4.
Найдите х, если
16
2
3
27
3
2
7
2
3
3
3
3
log
log
log
x
log
.
13
Вариант 2.
1.
Найдите: а)
25
1
5
log
; б)
8
64
log
.
2.
С помощью основного логарифмического тождества вычислите:
5
1
2
2
log
.
3.
Прологарифмируйте по основанию 10 выражение
4
3
4
100
c
b
0
,
0
b
c
.
4.
Найдите х, если
2
0
8
3
1
5
2
2
2
2
2
,
log
log
log
x
log
.
Вариант 3.
1.
Найдите: а)
10000
lg
; б)
1
8
log
.
2.
С помощью основного логарифмического тождества вычислите:
2
2
3
3
1
log
.
3.
Прологарифмируйте по основанию 3 выражение
4
27
c
b
0
,
0
b
c
.
4.
Найдите х, если
8
3
1
5
1
5
5
5
log
,
log
x
log
.
Вариант 4.
1.
Найдите: а)
27
1
3
1
log
; б)
01
0,
lg
.
2.
С помощью основного логарифмического тождества вычислите:
5
2
4
2
log
.
3.
Прологарифмируйте по основанию 0,7 выражение
c
c
b
,
5
3
49
0
0
,
0
b
c
.
4.
Найдите х, если
125
3
2
3
2
1
lg
lg
x
lg
.
Вариант 5.
1.
Найдите: а)
81
1
3
log
; б)
2
4
log
.
2.
С помощью основного логарифмического тождества вычислите:
5
2
3
3
log
.
3.
Прологарифмируйте по основанию 5 выражение
4
7
3
25
c
b
0
,
0
b
c
.
4.
Найдите х, если
125
3
2
81
4
3
10
2
4
4
4
4
log
log
log
x
log
.
Вариант 6.
14
1.
Найдите: а)
5
1
5
log
; б)
2
16
2
log
.
2.
С помощью основного логарифмического тождества вычислите:
3
1
2
2
1
log
.
3.
Прологарифмируйте по основанию 0,2 выражение
7
2
4
0016
0
c
c
b
,
0
,
0
b
c
.
4.
Найдите х, если
28
8
16
2
1
3
1
3
1
3
1
3
1
log
log
log
x
log
.
Вариант 7.
1.
Найдите: а)
3
3
1
log
; б)
1
0,
lg
.
2.
С помощью основного логарифмического тождества вычислите:
2
1
5
5
log
.
3.
Прологарифмируйте по основанию 10 выражение
3
3
2
001
0
b
c
,
0
,
0
b
c
.
4.
Найдите х, если
28
2
1
32
7
2
1
4
4
4
4
log
log
log
x
log
.
Вариант 8.
1.
Найдите: а)
25
2
0,
log
; б)
001
0,
lg
.
2.
С помощью основного логарифмического тождества вычислите:
5
1
2
0
2
0
,
log
,
.
3.
Прологарифмируйте по основанию 10 выражение
3
1
5
10
c
b
0
,
0
b
c
.
4.
Найдите х, если
6
2
1
32
2
1
12
3
3
3
3
log
log
log
x
log
.
15
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №7
«Решение логарифмических уравнений»
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
1.
Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Решение
логарифмических уравнений».
2.
Закрепить и систематизировать знания по теме.
3.
Определить уровень усвоения знаний, оценить результат
деятельности обучающихсяся.
ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты, таблица степеней от 1 до 10.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:
1.
Изучить памятку для решения логарифмических уравнений и
неравенств.
2.
Изучить условие заданий для практической работы.
3.
Оформить отчет о работе.
Памятка для решений логарифмических уравнений
числа
b
,
a
,
переменной
с
выражение
x
, причем
1
0
a
,
a
1. Уравнение вида
b
x
log
a
Решить равносильное уравнение
b
a
x
;
16
2. Уравнение вида
b
a
log
x
а) найти ОДЗ:
1
0
x
,
x
;
б) решить уравнение
a
x
b
;
в) выбрать из корней уравнения
ОДЗ
.
3.
Уравнение вида
x
b
log
a
Решить уравнение относительно переменной, входящей
в выражение с переменной.
При решении логарифмических уравнений полезно помнить
некоторые свойства логарифмов:
b
a
b
log
a
- основное логарифмическое тождество
0
1
a
log
;
1
a
log
a
;
y
log
x
log
xy
log
a
a
a
;
y
log
x
log
y
x
log
a
a
a
;
x
log
n
x
log
a
n
a
;
n
x
log
x
log
a
n
a
;
b
log
n
b
log
a
a
n
1
;
a
log
b
log
b
a
1
;
a
log
b
log
b
log
c
c
a
- формула перехода к новому основанию
Замечание:
t
lg
десятичный логарифм (по основанию 10)
t
ln
натуральный логарифм (по основанию
e
)
При
решении
логарифмических
уравнений
применяются
также
методы
логарифмирования и потенцирования.
ВАРИАНТЫ РАБОТЫ
Вариант 1.
1.
Решите уравнения: а)
4
15
2
x
log
; б)
4
12
3
2
x
lg
x
lg
x
lg
;
в)
8
2
2
x
lg
x
lg
.
Вариант 2.
1.
Решите уравнения: а)
lg11
4
2
2
x
x
lg
; б)
5
1
3
1
2
2
2
x
log
x
log
;
в)
2
2
2
4
x
lg
x
lg
.
17
Вариант 3.
1.
Решите уравнения: а)
0
6
5
4
x
log
; б)
3
2
2
1
4
2
2
2
log
x
log
x
log
;
в)
3
2
5
2
5
x
log
x
log
.
Вариант 4.
1.
Решите уравнения: а)
4
2
3
3
3
x
log
x
log
; б)
5
1
3
2
lg
x
lg
x
lg
;
в)
x
log
x
log
3
2
3
3
4
.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №8
«Углы и расстояния в пространстве»
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
1.
Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Углы и
расстояния в пространстве».
2.
Закрепить и систематизировать знания по теме.
3.
Определить уровень усвоения знаний, оценить результат
деятельности обучающихся.
ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты, таблицы значений
тригонометрических функций, микрокалькуляторы, линейка, карандаш.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:
1.
Ответить на контрольные вопросы:
а) Как в пространстве определяется угол между:
-
пересекающимися прямыми;
-
скрещивающимися прямыми;
-
прямой и плоскостью;
18
-
двумя плоскостями?
б) Как в пространстве определяется расстояние между:
-
точкой и прямой;
-
точкой и плоскостью;
-
параллельными прямыми;
-
скрещивающимися прямыми;
-
параллельными прямой и плоскостью;
-
параллельными плоскостями?
2.
Выполнить задания программированного опроса.
3.
Изучить условие заданий для практической работы.
4.
Оформить отчет о работе.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ ОПРОСА
ВАРИАНТ 1
Задание 1
Верно ли утверждение?
I. Углом между двумя пересекающимися прямыми называется угловая мера меньшего из
образовавшихся между ними углов.
II. Угол между параллельными прямыми равен 180
0
.
III. Скрещивающиеся прямые называются перпендикулярными, если угол между ними
равен 90
0
.
IV. Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и
перпендикуляром к плоскости.
Задание 2
Заполните пропуски.
I. Пересечение угла, образованного двумя плоскостями и плоскости,... к линии их
пересечения, является углом между плоскостями.
1.
Перпендикулярной.
2.
Параллельной.
3.
Наклонной.
II. Углом между двумя скрещивающимися прямыми называется угол между двумя
пересекающимися прямыми, соответственно … данным скрещивающимся прямым.
1.
Перпендикулярными.
2.
Параллельными.
III. Угол между … плоскостями считается равным нулю.
1.
Пересекающимися.
2.
Перпендикулярными.
3.
Параллельными.
IV. Точка С отстоит от плоскости на расстояние 4 см. Длина наклонной, проведенной из
этой точки под углом 45
0
к плоскости, равна …
1.
2
4
см. 2. 2 см. 3. 32 см. 4. 8 см.
19
Задание 3
Верны ли следующие утверждения?
I.
Если
угол
между
скрещивающимися
прямыми
90
0
,
то
их
нельзя
назвать
перпендикулярными.
II. Наклонная равна 8 см. Проекция этой наклонной на плоскость равна
3
4
см, если
наклонная составляет с плоскостью угол в 30
0
.
ВАРИАНТ 2
Задание 1
Заполните пропуски.
I. Угол между параллельными плоскостями считается равным …
1. Нулю. 2. 180
0
. 3. 90
0
.
II. Углом между двумя пересекающимися прямыми называют величину … из углов,
определяемых этими прямыми.
1. Одного. 2. Меньшего. 3. Большего.
III. Угол между двумя пересекающимися плоскостями … от выбора секущей его
плоскости, перпендикулярной линии пересечения данных плоскостей.
1. Не зависит. 2. Зависит.
IV. Точка В отстоит от плоскости на расстояние 5 см. Длина наклонной проведенной из
этой точки под углом 30
0
к плоскости, равна …
1. 5 см. 2. 2,5 см. 3. 10 см.
Задание 2
Верны ли следующие утверждения?
I. Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися
параллельными им прямыми.
II. Этот угол не зависит от того, какие взяты пересекающиеся прямые.
III. Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и ее
проекцией на плоскость.
IV. Угол между параллельными прямой и плоскостью равен 180
0
.
Задание 3
Верно ли утверждение?
I. Угол между прямой и плоскостью дополняет до 90
0
угол между этой прямой и
перпендикуляром к плоскости.
II. Наклонная равна 7 см. проекция этой наклонной на плоскость равна
2
7
см, если
наклонная составляет с плоскостью угол в 60
0
.
ВАРИАНТЫ РАБОТЫ
Вариант 1
Через вершину прямого угла С треугольника АВС проведена прямая с, перпендикулярная
плоскости треугольника. Найдите расстояние между прямыми с и АВ, если катеты данного
прямоугольного треугольника равны 3 дм и 4 дм.
20
Вариант 2
К плоскости
проведены наклонные МА, МВ и перпендикуляр МО. Углы между МВ, МА
и плоскостью
равны соответственно 30
0
и 45
0
, МО = 15 см. Вычислите длины
наклонной МА и проекции наклонной МВ.
Вариант 3
Угол между плоскостями
и
равен 60
0
. Точка А, лежащая в плоскости
, удалена от
на 12 см. Вычислите расстояние: а) от точки А до линии пересечения плоскостей; б)
от проекции точки А на плоскость
до линии пересечения плоскостей.
Вариант 4
Угол А параллелограмма АВСD равен 30
0
, АВ = 4 дм. Через сторону АD проведена
плоскость
, перпендикулярная плоскости параллелограмма. Найдите расстояние между
прямой ВС и скрещивающейся с ней прямой а, лежащей в плоскости
и проходящей
через точку А.
Вариант 5
Через точку А к плоскости
проведены наклонные АВ, АС и перпендикуляр АО. АВ = 2а.
Углы между прямыми АВ, АС и плоскостью
равны соответственно 30
0
и 45
0
. Найдите
длины перпендикуляра АО, наклонной АС и ее проекции.
Вариант 6
Через вершину квадрата АВСD проведен к его плоскости перпендикуляр DК, равный 10
см. Угол между плоскостями АВС и КВС равен 45
0
. Вычислите площадь: а) квадрата
АВСD;
б) треугольника ВСК.
Вариант 7
Через вершину прямого угла С треугольника ВСD проведена прямая с, перпендикулярная
плоскости треугольника. Найдите расстояние между прямыми с и ВD, если ВD = 25 см,
ВС = 15 см.
Вариант 8
Через вершину М
равностороннего треугольника МРК
проведен к его плоскости
перпендикуляр МС. Угол между прямой СК и плоскостью треугольника равен 60
0
, РК =
24 см. Вычислите длины перпендикуляра МС и наклонной СР.
Вариант 9
Через вершину острого угла прямоугольного треугольника АВС проведен перпендикуляр
АО к его плоскости. АО = 6 см,
0
0
30
90
ABC
,
ACB
. Угол между плоскостями ВСО
и АВС
равен 60
0
. Вычислите: а) угол между плоскостями ВАО
и САО; б) длины
наклонных ОС и ОВ.
Вариант 10
Сторона ромба АВСD равна его диагонали АС = 2 см. Через сторону АВ проведена
плоскость
, перпендикулярная плоскости ромба. Найдите расстояние между прямой СD
и скрещивающейся с ней прямой а, лежащей в плоскости
и проходящей через точку А.
21
Вариант 11
Через вершину тупого угла ромба АВСD проведен к его плоскости перпендикуляр DК,
равный а. АВ = а,
0
60
A
. Вычислите: а) углы между плоскостью ромба и прямыми
АК, ВК, СК; б) угол между прямой АС и плоскостью DКВ.
Вариант 12
Через катет равнобедренного прямоугольного треугольника, равный а, проведена
плоскость
. Угол между плоскостью треугольника и плоскостью
равен 45
0
. Найдите
длины проекций сторон данного треугольника на плоскость
.
Вариант 13
В плоскости
дана окружность с центром О и радиусом R. Через точку С окружности
проведена прямая с, перпендикулярная плоскости
. Прямая а, лежащая в плоскости
,
касается данной окружности в точке А. Чему равно расстояние между прямыми а и с, если
0
120
AOC
?
Вариант 14
К плоскости прямоугольника АВСD проведен перпендикуляр ВК, равный а. АВ = а,
2
a
AD
. Вычислите угол между прямой КD и плоскостью: а) прямоугольника: б)
треугольника ВКС.
Вариант 15
Сторона АС правильного треугольника АВС
лежит в плоскости
. Угол между
плоскостями треугольника и
равен 60
0
. АС = 12 см. Вычислите: а) расстояние от точки
В до плоскости
;
б) длину проекции высоты ВО треугольника на плоскость
.
Вариант 16
В плоскости
дана окружность с центром О и радиусом R. Через точку D окружности
проведена прямая d, перпендикулярная плоскости
. Прямая b, лежащая в плоскости
,
проходит через точку О. Чему равно расстояние между прямыми b и d, если угол между
прямыми b и ОD равен 30
0
?
Вариант 17
Катет ВС прямоугольного треугольника АВС лежит в плоскости
. Вершина А удалена от
нее не
2
2
дм. ВС = АС = 4 дм. Вычислите угол между плоскостью
и прямой: а) АС; б)
АВ.
Вариант 18
Сторона АВ квадрата АВСD лежит в плоскости
. Прямая DС удалена от этой плоскости
на 18 см. ВС = 36 см. Вычислите: а) угол между плоскостью квадрата и плоскостью
; б)
площадь проекции квадрата АВСD на плоскость
.
22
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ №№9-10
«Перпендикулярность прямой и плоскости»
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
1.
Корректировать знания, умения и навыки в теме:
«Перпендикулярность прямой и плоскости».
2.
Закрепить и систематизировать знания по теме.
3.
Определить уровень усвоения знаний, оценить результат
деятельности уч-ся.
ОБОРУДОВАНИЕ:
инструкционно-технологические
карты,
таблицы
значений
тригонометрических функций некоторых углов, микрокалькуляторы, линейка, карандаш.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:
1.
Ответить на контрольные вопросы:
а) Что такое перпендикуляр, опущенный из данной точки на
плоскость? Что такое наклонная, проведенная из данной точки на
плоскость? Что такое проекция наклонной?
23
б) Сформулируйте теорему о трех перпендикулярах.
в)
Перечислите
свойства
перпендикуляра
и
наклонной,
проведенных из данной точки на плоскость.
г) Вспомните свойства точки, равноудаленной от вершин (от
сторон) многоугольника.
2.
Выполнить графический тест.
3.
Выполнить обучающую самостоятельную работу.
4.
Изучить условие задания для практической работы.
5.
Оформить отчет о работе.
ГРАФИЧЕСКИЙ ТЕСТ
Закончите предложения и сделайте рисунки.
1.
b
a
, если …
2.
a
, если …
3.
Если прямая перпендикулярна …, то она перпендикулярна плоскости.
4.
Через данную точку А к прямой а можно провести … перпендикуляров.
5.
Прямая
a
, точка
M
. Через точку М можно к прямой а провести …
перпендикуляров.
ОБУЧАЮЩАЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
1.
Точки
m
B
;
m
A
. Через
А
и В
проведены прямые
m
b
,
m
a
. Нарисуйте
возможные случаи расположения прямых а и b.
2.
Дано: АВСD – параллелограмм;
AD
a
;
AB
a
;
a
A
. Как расположены прямые а, ВС
и ВD?
3.
Все точки прямой, проходящей через центр описанной около треугольника АВС
окружности перпендикулярно его плоскости, равноудалены от вершин треугольника
АВС (см. рис.).
Дано:
;
CO
BO
AO
R
;
ABC
m
S
;
ABC
m
.
Доказать:
SA = SB = SC.
Доказательство:
...
...
AOS
(по …)
1) …
2) …
3) …
Из равенства треугольников следует, что
SB = … = … , что и требовалось доказать.
4.
Сформулируйте обратное утверждение. Верно ли оно?
5.
а) Треугольник АВС – равносторонний; АВ = 3; точка
3
2
SC
SB
SA
;
ABC
S
.
Найдите расстояние от точки S до плоскости треугольника АВС.
24
б) Треугольник АВС – равносторонний;
3
2
AC
; точка О – центр описанной
окружности;
3
2
SO
,
ABC
SO
. Найдите SA, SB, SC.
ВАРИАНТЫ РАБОТЫ
Вариант 1.
1.
Дано:
;
MO
МВ: АМ = 2 : 1;
АО = 1 м;
ОВ = 7 м.
_______________
АМ - ?
ВМ - ?
2.
Под каким углом надо провести к плоскости две наклонные, чтобы их проекции были
равны перпендикуляру к плоскости?
Вариант 2.
1.
Дано:
АО = 4;
СО = 5;
ОВ = 3;
AO
;
OB
CO
.
______________
ABC
P
- ?
2.
Под каким углом надо провести к плоскости две наклонные, чтобы их проекции были
в 2 раза меньше наклонных?
Вариант 3.
1.
Дано:
AB
;
AD = 15 м;
АС = 20 м;
ВС = 16 м.
_____________
DB - ?
2.
Дано:
AO
;
АС = 13;
DO = 12;
DAO
CAO
;
OD
CO
.
_______________
?
P
?
P
CAD
COD
Вариант 4.
25
1.
В треугольнике АВС дано:
0
90
C
, АС = 12 см, ВС = 16 см, СМ – медиана. Через
вершину С проведена прямая СК, перпендикулярная к плоскости треугольника АВС,
СК = 24 см. Найдите КМ.
2.
Дан треугольник АВС и точка М, не принадлежащая плоскости треугольника, причем
BA
MB
,
BC
MB
. 1) Докажите, что треугольник MBD прямоугольный, если D –
произвольная точка отрезка АС. 2) Найдите MD и площадь треугольника MBD, если
МВ = BD = а.
Вариант 5.
1.
Дано:
AB
, М и К – произвольные точки плоскости
. Докажите, что
MK
AB
.
2.
Треугольник АВС – правильный, точка О – его центр, прямая ОМ перпендикулярна к
плоскости АВС.
а) Докажите, что МА = МВ = МС.
б) Найдите МА, если АВ = 6 см, МО = 2 см.
Вариант 6.
1.
Дано: прямая МА перпендикулярна к плоскости треугольника АВС. Докажите, что
BC
MA
.
2.
Четырехугольник ABCD – квадрат, точка О – его центр, прямая ОМ перпендикулярна к
плоскости квадрата.
а) Докажите, что МА = МВ = МС = МD.
б) Найдите МА, если АВ = 4 см, ОМ = 1 см.
Вариант 7.
Из точки М проведен перпендикуляр МВ, равный 4 см, к плоскости прямоугольника
ABCD. Наклонные МА и МС образуют с плоскостью прямоугольника углы 45
0
и 30
0
соответственно.
а) Докажите, что треугольники MAD и MCD – прямоугольные.
б) Найдите стороны прямоугольника.
в) Докажите, что треугольник BDC является проекцией треугольника MDC на
плоскость прямоугольника и найдите его площадь.
Вариант 8.
Из точки М проведен перпендикуляр МD, равный 6 см, к плоскости квадрата ABCD.
Наклонная МВ образует с плоскостью квадрата угол 60
0
.
а) Докажите, что треугольники MAВ и MCВ – прямоугольные.
б) Найдите сторону квадрата.
в) Докажите, что треугольник АBD является проекцией треугольника MАВ на
плоскость квадрата и найдите его площадь.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №11
«Двугранный угол»
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
1.
Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Двугранный
угол».
2.
Закрепить и систематизировать знания по теме.
3.
Определить уровень усвоения знаний, оценить результат
деятельности обучающихся.
ОБОРУДОВАНИЕ:
инструкционно-технологические
карты,
таблицы
значений
тригонометрических функций некоторых углов, микрокалькуляторы, линейка, карандаш.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:
1.
Ответить на контрольные вопросы:
26
а) Что такое двугранный угол (грань угла, ребро угла)? Что
такое линейный угол двугранного угла?
б) Почему мера двугранного угла не зависит от выбора
линейного угла?
в) Какие плоскости называются перпендикулярными?
г) Сформулируйте признак перпендикулярности плоскостей.
2.
Выполнить графический тест.
3.
Выполнить обучающую самостоятельную работу.
4.
Изучить условие задания для практической работы.
5.
Оформить отчет о работе.
ГРАФИЧЕСКИЙ ТЕСТ
1. Напишите обозначения двугранного угла, ребра, грани (см. рисунки).
2. Постройте линейные углы данных двугранных углов. Поясните построения (см.
рисунки).
3. Дано:
a
;
.
_____________________
Может ли прямая
a
?
Рассуждайте методом от
противного.
Пусть
a
, тогда …
ОБУЧАЮЩАЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
Задача 1. Из точек А и В, лежащих в гранях
двугранного угла, опущены перпендикуля-
ры
1
AA
и
1
BB
на ребро угла. Найдите отре-
27
зок АВ, если
1
AA
= 8 см,
1
BB
= 5 см,
1
1
B
A
=10 см, двугранный угол равен 60
0
.
Решение.
1.
Проводим
1
1
1
1
B
A
||
BM
,
BB
||
M
A
.
1
AMBB
- параллелограмм (по …), следовательно,
1
1
BB
M
A
=5 см;
1
1
B
A
BM
= 10 см.
2.
Прямая
M
AA
B
A
1
1
1
, так как …, значит,
M
AA
BM
1
. Следовательно,
AM
BM
, в
треугольнике АВМ
0
90
AMB
, тогда
2
2
2
MB
AM
AB
(по теореме …).
3.
M
AA
1
- линейный угол двугранного угла
1
1
B
A
(так как …),
0
1
60
M
AA
.
В
треугольнике
M
AA
1
:
M
AA
cos
M
A
AA
M
A
AA
AM
1
1
1
2
1
2
1
2
(по
теореме …);
7
49
40
25
64
60
5
8
2
5
8
0
2
2
cos
AM
(см).
4.
Имеем
149
10
7
2
2
AB
(см).
О т в е т:
149
см.
Задача 2. Точки А и В лежат на ребре прямого двугранного угла. Отрезки АС и ВD
проведены в разных гранях, перпендикулярно к ребру двугранного угла. АВ = а, AC = b,
BD = c.
1.
Объясните, как построить
линейный угол двугранного
угла.
2.
Укажите различные способы
вычисления длины отрезка СD.
3.
Найдите длину отрезка CD.
ВАРИАНТЫ РАБОТЫ.
Вариант 1.
Две плоскости пересекаются под углом 30
0
. Точка А, лежащая в одной из этих
плоскостей, отстоит от второй плоскости на расстояние а. Найдите расстояние от этой
точки до прямой пересечения плоскостей.
Вариант 2.
Найдите угол между плоскостями, если точка, взятая на одной из них, отстоит от прямой
пересечения плоскостей вдвое дальше, чем от второй плоскости.
Вариант 3.
Два равнобедренных треугольника имеют общее основание, а их плоскости образуют угол
60
0
. Общее основание равно 16 м, боковая сторона одного треугольника 17 м, а боковые
28
стороны
другого
перпендикулярны.
Найдите
расстояние
между
вершинами
треугольников.
Вариант 4.
Равнобедренные треугольники АВС и АВD с общим основанием АВ лежат в различных
плоскостях, угол между которыми равен
. Найдите
cos
, если АВ = 24 см, АС = 13 см,
АD = 37 см и СD = 35 см.
Вариант 5.
Катеты прямоугольного треугольника равны 7 м и 24 м. Найдите расстояние от вершины
прямого угла до плоскости, которая проходит через гипотенузу и составляет угол 30
0
с
плоскостью треугольника.
Вариант 6.
Равнобедренные треугольники АВС и АВD с общим основанием АВ лежат в различных
плоскостях, угол между которыми равен
. Найдите
cos
, если АВ = 32 м, АС = 65 м, АD
= 20 м и СD = 63 м.
Вариант 7.
Сторона АВ ромба ABCD равна а, один из углов равен 60
0
. Через сторону АВ проведена
плоскость
на расстоянии
2
a
от точки D.
а) Найдите расстояние от точки С до плоскости
.
б) Покажите на рисунке линейный угол двугранного угла DABM,
M
.
в) Найдите синус угла между плоскостью ромба и плоскостью
.
Вариант 8.
Сторона квадрата ABCD равна а. Через сторону АD проведена плоскость
на расстоянии
2
a
от точки В.
а) Найдите расстояние от точки С до плоскости
.
б) Покажите на рисунке линейный угол двугранного угла ВADM,
M
.
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ №12-13
«Факториал. Решение комбинаторных задач»
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
1.
Корректировать знания, умения и навыки по темам: «Понятие
факториала. Решение комбинаторных задач».
2.
Закрепить и систематизировать знания по темам.
3.
Определить уровень усвоения знаний, оценить результат
деятельности обучающихся.
29
ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты, микрокалькуляторы.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:
1. Ответить на контрольные вопросы:
а) Что изучает комбинаторика?
б) Дайте определение факториала
в) Что называют перестановками, размещениями, сочетаниями?
г) По какой формуле вычисляют число перестановок из n
различных элементов?
д) По какой формуле вычисляют число перестановок с
повторениями?
е) По какой формуле вычисляют число размещений из n
различных элементов по m элементов?
ж) По какой формуле вычисляют число размещений с
повторениями?
з) По какой формуле вычисляют число сочетаний из
n
элементов по m элементов?
и)
По
какой
формуле
вычисляют
число
сочетаний
с
повторениями?
к) В чем заключается правило суммы, произведения?
2. Выполнить обучающую самостоятельную работу
3. Изучить примеры типовых расчетов
4. Изучить условие задания для практической работы.
5. Оформить отчет о работе.
Факториал
Определение. Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n –
факториалом и пишут
n !
=
1∙ 2∙ 3 …
(
n
−
2
) (
n
−
1
)
n .
ОБУЧАЮЩАЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
1.
Вычислить:
а
¿
3 ! ; б
¿
7!
−
5 ! ; в
¿
7 !
+
5 !
6 !
.
2.
Упростить:
а
¿
(
n
+
1
)
!
n !
; б
¿
(
n
+
1
)
!
(
n
−
1
)
!
; в
¿
1
(
n
+
1
)
!
+
1
n !
.
3.
Вычислить:
а
¿
6 !
−
4 !
3 !
;
б
¿
5 !
3 !
+
4 !
; в
¿
5 ! ∙ 3 !
6 !
.
30
4.
Упростить выражения:
а
¿
(
n
+
1
)
!
n
; б
¿
n !
n
(
n
−
1
)
; в
¿
(
n
−
1
)
!
(
n
+
2
)
!
.
г
¿
n !
(
n
−
2
)
!
; д
¿
1
n !
−
1
(
n
+
1
)
!
; е
¿
1
(
k
−
1
)
!
−
1
k !
.
ВАРИАНТЫ РАБОТЫ
Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
Вариант 4
1.
Вычислить:
а)
5 !
+
6 !
;
а) 3! +5!;
а) 4! -2!;
а) 5! -3!;
б)
52!
50 !
;
б)
43 !
41!
;
б)
37 !
35!
;
б)
78 !
76 !
;
в)
10 !
−
8 !
8!
;
в)
8!
−
6 !
6 !
;
в)
3 !
+
6!
4 !
;
в)
10 !
+
8!
9!
;
г)
3 ! ∙
(
4 !
−
3 !
)
.
г)
4 ! ∙
(
5!
−
2!
)
.
г)
4 ! ∙
(
3!
+
2!
)
.
г)
2 ! ∙
(
4 !
−
3!
)
.
2.
Упростить:
а)
(
m
+
2
)
!
m!
.
а)
(
m
+
3
)
!
(
m
+
1
)
!
.
а)
(
m
−
2
)
!
(
m
−
3
)
!
.
а)
(
m
−
1
)
!
(
m
−
2
)
!
.
3.
Сократить дробь:
а)
n!
(
n
−
2
)
!
.
а)
(
n
−
3
)
!
n !
.
а)
(
n
+
1
)
!
(
n
−
2
)
!
.
а)
(
n
+
2
)
!
(
n
−
1
)
!
.
4.
Выполните действия:
а)
1
(
n
+
1
)
!
−
1
n!
.
а)
1
(
n
+
1
)
!
+
1
n!
.
а)
1
n!
−
1
(
n
−
1
)
!
а)
1
n!
+
1
(
n
+
2
)
!
ПАМЯТКА
Определение.
Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют
n- факториалом и пишут
n!
=
1
⋅
2
⋅
3
⋅
. . .
⋅(
n
−
1
)⋅
n
.
Перестановки.
31
Комбинация из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком
элементов, называются перестановками.
Перестановки обозначаются символом Р
n
, где n- число элементов, входящих в каждую
перестановку. (Р - первая буква французского слова permutation- перестановка).
Число перестановок можно вычислить по формуле
P
n
=
n
⋅(
n
−
1
)(
n
−
2
)
. . . 3
⋅
2
⋅
1
или с помощью факториала:
P
n
=
n !
0!=1 и 1!=1.
Размещения.
Определение.
Размещениями из m
элементов в n
в каждом называются такие
соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним),
либо порядком из расположения.
Размещения обозначаются символом
A
m
n
, где m- число всех имеющихся элементов,
n- число элементов в каждой комбинации.
При этом полагают, что n
¿
m.
A
m
n
=
m !
(
m
−
n
)
!
Сочетания.
Определение. Сочетаниями называются все возможные комбинации из m элементов
по n, которые отличаются друг от друга по крайней мере хотя бы одним элементом (здесь
m и n-натуральные числа, причем n
¿
m).
C
m
n
=
m !
(
m
−
n
)
! n!
Число сочетаний из m элементов по n обозначаются
C
m
n
.
В общем случае число из m элементов по n равно числу размещений из m элементов по n,
деленному на число перестановок из n элементов:
C
m
n
=
A
m
n
P
n
Правило суммы.
Если элемент a можно выбрать m способами, а элемент b – n способами, причем
любой выбор элемента a отличен от любого выбора элемента b, то выбор “a или b”
можно сделать m + n способами.
Правило произведения.
Если из некоторого множества А элемент a
i
можно выбрать К
A
способами, а элемент
b
j
из множества В – К
B
способами, то совокупность (a
i
; b
j
) можно образовать К
A
* К
B
способами. Правило верно и для совокупностей, состоящих из большего, чем два числа
элементов.
Перестановки с повторением.
Иногда требуется переставлять предметы, некоторые из которых неотличимы друг от
32
друга. Рассмотрим такой вариант перестановок, который называется перестановками с
повторениями.
Пусть имеется п
1
предметов 1-го типа, n
2
предмета 2-го, п
к
предметов k-го типа и при
этом п
1
+ п
2
+...+ п
к
= п. Количество разных перестановок предметов
P
(
n
1
, n
2
, n
3
, …, n
k
)
=
n !
(
n
1
! n
2
! n
3
!… , n
k
!
)
Размещения с повторениями.
Пусть даны элементы а
1
,
а
2
, . . . ,
а
n
(а)
Размещением с повторениями из n элементов по k элементов называется всякая
упорядоченная последовательность из k элементов, членами которой являются данные
элементы. В размещении с повторениями один и тот же элемент может находиться на
нескольких
различных
местах.
ПРИМЕРЫ ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ
Пример 1. Сколькими способами можно расставлять на одной полке шесть различных
книг?
Решение. Искомое число способов равно числу перестановок из 6 элементов, т.е.
P
6
=
6 !
=
1
⋅
2
⋅
3
⋅
4
⋅
5
⋅
6
=
720
.
Пример 2. Сколько вариантов распределения на практику в три ресторана
различного профиля можно составить для пяти студентов?
Решение. Искомое число вариантов равно числу размещений из 5 элементов по 3
элемента, т.е.
A
5
3
=
5
⋅
4
⋅
3
=
60
.
Пример 3. Из группы в 25 человек нужно выделить четырех для работы официантами
на банкете. Сколькими способами это можно сделать?
Решение. Так как порядок выбранных четырех человек не имеет значения, то это
можно сделать
C
25
4
способами.
Находим по первой формуле
C
25
4
=
25
⋅
24
⋅
23
⋅
22
1
⋅
2
⋅
3
⋅
4
=
12650
.
ВАРИАНТЫ РАБОТЫ
Вариант 1
1.Сколькими способами из числа 30 учащихся класса можно выбрать культорга и
казначея?
2.Сколько различных пятизначных чисел можно записать с помощью цифр 0,9,8,7,6,5?
3.Сколько существует различных кодов, состоящих из трехзначного числа, цифры
которого выбираются из цифр 1,2,3,4, и следующего за ним трехбуквенного слова, буквы
которого выбираются из гласных букв русского алфавита?
4. Используя свойства числа сочетаний,найти С
6
4
+С
6
5
+С
6
.
33
5.Сколькими способами можно составить букет из трёх цветков, выбирая цветы из девяти
имеющихся?
Вариант 2.
1.Сколькими способами 6 детей можно рассадить на 6 стульях?
2. Сколькими способами можно составить набор из 4 карандашей, выбирая их из 8
имеющихся карандашей восьми различных цветов?
3.Шифр сейфа образуется из двух чисел. Первое двузначное число, образуется из цифр
1,2,3,4,5(цифры в числе могут повторяться). Второе , трехзначное число ,образуется из
цифр 8 и 9.Сколько различных шифров можно использовать в таком сейфе?
4. Используя свойства числа сочетаний, найти С
11
9
+С
10
8
?
5.Сколькими способами можно разложить 7 монет по двум карманам так ,чтобы ни один
карман не был пустым?
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №14
«Бином Ньютона. Треугольник Паскаля»
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
34
1.
Корректировать знания, умения и навыки по теме: «Бином
Ньютона.Треугольник Паскаля».
2.
Закрепить и систематизировать знания по теме.
3.
Определить уровень усвоения знаний, оценить результат
деятельности обучающихся.
ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты, микрокалькуляторы.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:
1. Ответить на контрольные вопросы:
а) Запишите:
Формулы квадрата суммы и разности двух выражений
Формулу разности квадратов
Формулу суммы и разности кубов
б) Запишите формулу Бинома Ньютона
в) Запишите формулу для нахождения биномиальных
коэффициентов
г) Как найти биномиальные коэффициенты с помощью
треугольника Паскаля?
3. Изучить примеры типовых расчетов
4. Изучить условие задания для практической работы.
5. Оформить отчет о работе.
ПРИМЕРЫ ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ
Пример 1.Записать разложение 4-й степени бинома
(
a
+
b
)
4
.
Решение: Коэффициенты разложения берем из 4-й строки треугольника Паскаля и
используем формулу Ньютона:
(
a
+
b
)
4
=
a
4
+
4 a
3
b
+
6 a
2
b
2
+
4 ab
3
+
b
4
.
Пример 2. Записать разложение
(
2 m
−
3 n
)
5
.
Решение: Используем 5-ю строку треугольника Паскаля.
(
2 m
−
3 n
)
5
=
(
2m
)
5
−
5
(
2 m
)
4
⋅
3 n
+
10
(
2 m
)
3
(
3 n
)
2
−
10
(
2 m
)
2
(
3 n
)
3
+
5
(
2 m
)
⋅
(
3n
)
4
−
(
3 n
)
5
=
¿
32 m
5
−
240 m
4
n
+
720 m
3
n
2
−
1080 m
2
n
3
+
810 mn
4
−
243 n
5
.
Пример 3. Найдите член разложения
(
√
y
−
4
√
y
)
20
, содержащий
y
7
.
Решение: Из формулы разложения бинома Ньютона формула
(
k
+
1
)
−
й
член имеет
вид :
T
k
+
1
=
(
−
1
)
k
C
k
n
a
k
x
n
−
k
.
Запишем общий вид разложения:
T
k
+
1
=
C
20
k
(
4
√
y
)
k
(
√
y
)
20
−
k
=
C
20
k
y
k
4
⋅
y
20
−
k
2
=
C
20
k
y
40
−
k
4
По условию,
y
40
−
k
4
=
y
7
, т.е.
40
−
k
4
=
7 .
Отсюда находим
k
=
12
и искомый член
T
12
+
1
=
C
20
12
y
7
=
C
20
8
y
8
=
216970 y
7
.
ВАРИАНТЫ РАБОТЫ
Вариант 1
35
1. Записать разложение бинома:
а)
(
1
+
x
)
8
б)
(
a
−
1
)
9
в)
(
2 x
+
1
)
5
г)
(
3 x
−
1
3
)
4
2. Записать разложение бинома:
а)
(
1
+
√
2
)
6
б)
(
b
−
1
2 b
)
6
3. Найти четвертый член разложения бинома:
а)
(
x
−
1
x
)
13
4. С помощью свойства элементов строки треугольника Паскаля найти сумму:
а)
C
6
6
+
C
6
5
+
C
6
4
+
C
6
3
+
C
6
2
+
C
6
0
б)
C
9
0
+
C
9
1
+
C
9
2
+
C
9
3
+
C
9
4
Вариант 2
1. Записать разложение бинома:
а)
(
x
+
1
)
7
б)
(
y
−
1
)
10
в)
(
3 x
+
2
)
4
г)
(
2 a
−
1
2
)
5
2. Записать разложение бинома:
а)
(
1
+
√
3
)
5
б)
(
a
−
1
3 a
)
7
3. Найти четвертый член разложения бинома:
а)
(
x
−
1
x
)
13
4. С помощью свойства элементов строки треугольника Паскаля найти сумму:
а)
C
6
1
+
C
6
2
+
C
6
3
+
C
6
4
+
C
6
5
б)
C
7
6
+
C
7
5
+
C
7
4
+
3
+
C
7
2
+
C
7
1
36
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №15
«Действия над векторами на плоскости.
Решение простейших задач в координатах на плоскости.
Нахождение скалярного произведения векторов на плоскости»
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
1.
Корректировать знания, умения и навыки по теме: «Векторы на
плоскости».
2.
Закрепить и систематизировать знания по теме.
3.
Определить уровень усвоения знаний, оценить результат
деятельности обучающихся.
ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты, линейка, карандаш.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:
1. Ответить на контрольные вопросы:
1)
Чем называется вектором?
2)
Какие операции можно производить над векторами?
3)
Какие векторы называются равными?
4)
Что можно сказать об угле между векторами, если скалярное
произведение отрицательно?
5)
Что можно сказать об угле между векторами, если скалярное
произведение положительно?
6)
Что можно сказать об угле между векторами, если их
скалярное произведение равно нулю?
37
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ №16-17
«Действия над векторами в пространстве.
Решение простейших задач в координатах в пространстве.
Нахождение скалярного произведения векторов в пространстве»
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
4.
Корректировать знания, умения и навыки по теме: «Векторы в
пространстве».
5.
Закрепить и систематизировать знания по теме.
6.
Определить уровень усвоения знаний, оценить результат
деятельности обучающихся.
ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты, линейка, карандаш.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:
1. Ответить на контрольные вопросы:
7)
Чем называется вектором?
8)
Какие операции можно производить над векторами?
9)
Какие векторы называются равными?
10) Что можно сказать об угле между векторами, если скалярное
произведение отрицательно?
11) Что можно сказать об угле между векторами, если скалярное
произведение положительно?
12)
Что можно сказать об угле между векторами, если их
скалярное произведение равно нулю?
13) Какие векторы называются коллинеарными?
14) Условие коллинеарности векторов
15) Какие векторы называются ортогональными?
16) Условие ортогональности векторов
17) Скалярное произведение векторов
18) Проекция вектора на направление
19) Координаты вектора
20) Длина вектора
2. Выполнить обучающую самостоятельную работу.
3. Изучить условие задания для практической работы.
4. Оформить отчет о работе.
ПАМЯТКА
1. Вектором называется отрезок, у которого указано, какой из концов является началом, а
какой – концом (направленный отрезок), обозначается
⃗
a
,
⃗
AB
, где
A
- начало вектора,
B
-
конец.
38
2.
Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или
параллельных прямых.
3. Векторы называются ортогональными, если угол между ними
90
0
.
4. Векторы можно складывать ( по правилам треугольника и параллелограмма), можно
умножать
на
число:
⃗
a
=
{
a
1
, a
2
, a
3
}
⃗
b
=
{
b
1
, b
2
, b
3
}
⃗
a
+
⃗
b
=
{
a
1
+
b
1
, a
2
+
b
2
, a
3
+
b
3
}
;
k
⃗
a
=
{
ka
1
, ka
2
, ka
3
}
.
5.
Необходимое
и
достаточное
условие
коллинеарности
векторов:
⃗
a
‖
⃗
b
⇔
a
1
b
1
=
a
2
b
2
=
a
3
b
3
6. Модуль вектора
⃗
a
=
{
a
1
, a
2
, a
3
}
равен
|
⃗
a
|
=
√
a
1
2
+
a
2
2
+
a
3
2
.
7. Если заданы начало
A
(
x
1
, y
1
, z
1
)
и конец
B
(
x
2
, y
2
, z
2
)
вектора
⃗
AB
, то его
координаты и длина находятся следующим образом:
⃗
AB
=
{
x
2
−
x
1
, y
2
−
y
1
, z
2
−
z
1
}
;
|
⃗
AB
|=
√
(
x
2
−
x
1
)
2
+
(
y
2
−
y
1
)
2
+
(
z
2
−
z
1
)
2
.
8. Скалярным произведением векторов называется число, равное произведению длин этих
векторов на косинус угла между ними
⃗
a ∙
⃗
b
=
|
⃗
a
|
∙
|
⃗
b
|
∙ cosφ
⃗
a ∙
⃗
b
=
a
1
b
1
+
a
2
b
2
+
a
3
b
3
9.
cosφ
=
⃗
a ∙
⃗
b
|
⃗
a
|
∙
|
⃗
b
|
=
a
1
b
1
+
a
2
b
2
+
a
3
b
3
√
a
1
2
+
a
2
2
+
a
3
2
∙
√
b
1
2
+
b
2
2
+
b
3
2
10 Необходимое и достаточное условие ортогональности векторов:
⃗
a
⋅
⃗
b
=
0
.
11 Проекция вектора на направление:
Пр
⃗
b
⃗
a
=
⃗
a ∙
⃗
b
|
⃗
b
|
=
a
1
b
1
+
a
2
b
2
+
a
3
b
3
√
b
1
2
+
b
2
2
+
b
3
2
ОБУЧАЮЩАЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
Задание
1. Найти линейную комбинацию векторов
⃗
AB
−
3
⃗
BC
+
4
⃗
CD
2. Найти длины векторов
⃗
AB ;
⃗
BC ;
⃗
CD
3. Найти косинусы углов между векторами
⃗
AB и
⃗
BC ;
⃗
BC и
⃗
CD
4. Найти
(
AB
+
CD
)
⋅
AD
39
5. Найти
Пр
AB
(
BD
+
AC
)
6. Выяснить, коллинеарны ли векторы
AB
и
CD
7. Выяснить, ортогональны ли векторы
AB
и
CD
Исходные данные:
Даны точки
A
(
6 , 3 , 3
)
,
B
(
−
1, 0 ,
−
2
)
,
C
(
3 , 1 , 1
)
,
D
(
0 , 4 , 5
)
.
Задание 1
Решение:
⃗
AB
=
{
−
1
−
6 ; 0
−
3 ;
−
2
−
3
}
=
{
−
7 ;
−
3 ;
−
5
}
;
⃗
BC
=
{
3
+
1; 1
−
0 ; 1
+
2
}
=
{
4 ; 1 ; 3
}
;
⃗
CD
=
{
0
−
3; 4
−
1 ; 5
−
1
}
=
{
−
3; 3 ; 4
}
;
⃗
AB
−
3
⃗
BC
+
4
⃗
CD
=
{
−
7
−
3
⋅
4
+
4
⋅
(
−
3
)
;
−
3
−
3
⋅
1
+
4
⋅
3 ;
−
5
−
3
⋅
3
+
4
⋅
4
}
=
{
−
31 ; 6 ; 2
}
Задание 2
Решение:
|
AB
|=
√
(
−
7
)
2
+
(
−
3
)
2
+
(
−
5
)
2
=
√
83
|
BC
|=
√
(
4
)
2
+
(
1
)
2
+
(
3
)
2
=
√
26
|
CD
|=
√
(
−
3
)
2
+
(
3
)
2
+
(
4
)
2
=
√
34
Задание 3
Решение:
cos
⃗
AB ;
⃗
BC
=
−
7
⋅
4
−
3
⋅
1
−
5
⋅
3
√
83
√
26
=
−
46
√
2158
;
cos
⃗
BC ;
⃗
CD
=
4
⋅
(
−
3
)
+
1
⋅
3
+
3
⋅
4
√
26
√
34
=
3
√
884
Задание 4
Решение:
Даны точки
A
(
6 , 3 , 3
)
,
B
(
−
1, 0 ,
−
2
)
,
C
(
3 , 1 , 1
)
,
D
(
0 , 4 , 5
)
.
40
⃗
AB
=
{
−
7 ;
−
3;
−
5
}
;
⃗
CD
=
{
−
3; 3 ; 4
}
;
⃗
AD
=
{
0
−
6; 4
−
3 ; 5
−
3
}
=
{
−
6 ; 1; 2
}
;
AB
+
CD
=
{
−
7
+
(
−
3
)
,
−
3
+
3,
−
5
+
4
}
=
{
−
10, 0 ,
−
1
}
(
AB
+
CD
)
⋅
AD
=−
10
⋅
(
−
6
)
+
0
⋅
1
+
(
−
1
)
⋅
2
=
58
Задание 5
Решение:
AB
=
{
−
7 ,
−
3 ,
−
5
}
,
BD
=
{
0
−
(
−
1
)
, 4
−
0 , 5
−
(
−
2
)
}
=
{
1 , 4 , 7
}
,
AC
=
{
3
−
6 , 1
−
3 , 1
−
3
}
=
{
−
3 ,
−
2 ,
−
2
}
,
BD
+
AC
=
{
1
+
(
−
3
)
,
4
+
(
−
2
)
, 7
+
(
−
2
)
}
=
{
−
2 , 2, 5
}
.
Пр
AB
(
BD
+
AC
)
=
−
7
⋅
(
−
2
)
+
(
−
3
)
⋅
2
+
(
−
5
)
⋅
5
√
(
−
7
)
2
+
(
−
3
)
2
+
(
−
5
)
2
=
−
17
√
83
.
Задание 6
Решение:
AB
=
{
−
7 ,
−
3 ,
−
5
}
,
CD
=
{
−
3 , 3 , 4
}
−
7
−
3
≠
−
3
3
≠
−
5
4
⇒
векторы не являются коллинеарными.
Задание 7
Решение:
AB
=
{
−
7 ,
−
3 ,
−
5
}
,
CD
=
{
−
3 , 3 , 4
}
−
7
⋅
(
−
3
)
+
(
−
3
)
⋅
3
+
(
−
5
)
⋅
4
=−
8
≠
0
, следовательно, векторы не
являются ортогональными.
ВАРИАНТЫ РАБОТЫ
1. A (2; 3; -1); B (0; 1; 2); C (4; -1; -1); D (2; -3; 1)
2. A (3; -1; 1); B (1; 3; 2); C (1; -1; -1); D (4; 0; 3)
41
3. A (4; 1; 2); B (1; 0; 1); C (-1; 2; -1); D (3; 1; 0)
4 . A (3; -2; 1); B (2; -1; 1); C (4; 0; 2); D (1; 1; -1)
5. A (-2; 2; 1); B (3; 0; 4); C (7; 1; 0); D (3; 0; 5)
6. A (1; -1; -1); B (2; 5; 7); C (-3; 1; -1); D (2; 2; 3)
7. A (-3; 1; 4); B (1; -2; -3); C (2; 2; 3); D (5; 3; 1)
8. A (2; -5; 1); B (4; 3; 5); C (-1; 0; 1); D (2; 1; 0)
9. A (-2; 2; 1); B (3; -1; 0); C (4; 4; 0); D (1; -1; 1)
10. A (4; 2; 5); B (0; 1; 3); C (-1; -1; 1); D (2; -2; 1)
11. A (1; 0; 1); B (7; 4; 3); C (3; -5; 1); D (-2; 2; 2)
12. A (5; 1; 0); B (-1; -1; -1); C (2; 4; 7); D (1; 0; 1)
13. A (10; 1; 1); B (-2; -1; 1); C (4; 3; 2); D (1; 0; -1)
14. A (2; -7; 4); B (2; -1; 3); C (1; 0; -1); D (2; 1; 3)
15. A (6; 3; 3); B (-1; 0; -2); C (3; 1; 1); D (0; 4; 5)
16. A (3; 2; 0); B (2; -1; 7); C (4; 0; 5); D (1; -2; -1)
17. A (4; -1; 2); B (1; 0; 3); C (-2; 1; 5); D (3; 8; -1)
18. A (1; 1; -3); B (-7; 5; 2); C (2; 1; 0); D (3; -3; 1)
19. A (5; 0; 1); B (2; -1; -1); C (-6; -1; 1); D (3; 1; 3)
20. A (3; 5; 1); B (7; -4; 3); C (2; 1; 1); D (0; -1; 3)
21. A (1; -2; 1); B (-1; 8; -3); C (3; 2; 1); D (5; 3; 1)
22. A (-3; -1; 1); B (2; -3; 0); C (1; 4; 5); D (2; 3; 4)
23. A (3; -1; 2); B (4; 0; 4); C (-1; 9; -1); D (3; -2; -2)
24. A (3; -2; 1); B (4; 2; 1); C (-1; -1; 1); D (3; 0; 1)
25. A (-2; 0; 1); B (4; -1; 3); C (-3; 2; 1); D (4; 1; 1)
26. A (2; -2; 1); B (2; 5; 7); C (1; 3; 5); D (7; 0; 3)
27. A (2; 3; 3); B (-2; 4; 1); C (3; 5; 2); D (3; 8; -1)
28. A (1; 1; -3); B (-3; 2; -1); C (4; 1; 2); D (7; -3; 0)
29. A (7; 6; 1); B (2; -1; -1); C (1; 0; 1); D (-2; 1; -1)
30. A (-7; 2; -1); B (2; 5; 1); C (2; 1; 1); D (0; 1; 3)
42
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №18
«Тригонометрические функции углов поворота»
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
1.
Скорректировать
знания,
умения
и
навыки
по
теме:
«Тригонометрические функции углов поворота».
2.
Закрепить и систематизировать знания по теме.
3.
Определить уровень усвоения знаний, оценить результат
деятельности обучающихся.
ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты, опорные схемы.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:
1.
Ответить на контрольные вопросы:
а) Что такое угол в 1 радиан?
б) Дайте определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла
.
в) Как зависят знаки
ctg
,
tg
,
cos
,
sin
от того, в какой
координатной четверти расположена точка
P
? Назовите эти
знаки.
2.
Изучить условие заданий практической работы.
3.
Оформить отчет о работе.
Опорный чертеж
43
На рисунке совмещены декартова система координат и окружность единичного
радиуса. Окружность «эквивалентна» понятию координатной прямой (начало отсчета –
точка пересечения окружности с положительной частью оси Ох, положительное
направление – против часовой стрелки, единичный отрезок выражен через число
). На
окружности
отмечены
точки,
полученные
при
повороте
радиуса
окружности,
совпадающего с положительной частью оси Ox, на различные углы
. Абсциссы этих
точек
cos
, ординаты
sin
. Дополнительно проведены две касательные к
окружности (линии тангенса и котангенса).
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ
Вариант 1.
1.
Выразите величину угла: а) в радианной мере:
0
0
250
18
,
; б) в градусной мере:
.
,
3
15
2.
Отметьте на единичной окружности точку
Р
. Покажите на чертеже значения
sin
и
cos
, если
равно
3
.
3.
Определите знак:
0
212
sin
и
9
7
ctg
.
4.
Вычислите: а)
2
2
1
2
3
2
sin
tg
cos
; б)
8
3
2
5
4
cos
cos
sin
sin
.
Вариант 2.
44
1.
Выразите величину угла: а) в радианной мере:
0
0
225
360 ;
; б) в градусной мере:
2
3
18
;
.
2.
Отметьте на единичной окружности точку
Р
. Покажите на чертеже значения
sin
и
cos
, если
равно
4
.
3.
Определите знак:
0
305
cos
и
5
6
tg
.
4.
Вычислите: а)
2
2
1
3
3
6
2
cos
ctg
sin
; б)
4
4
5
1
3
2
7
8
ctg
tg
sin
ctg
tg
.
Вариант 3.
1.
Выразите величину угла: а) в радианной мере:
0
0
240
10 ;
; б) в градусной мере:
3
9
;
.
2.
Отметьте на единичной окружности точку
Р
. Покажите на чертеже значения
sin
и
cos
, если
равно
2
5
.
3.
Определите знак:
0
105
cos
и
9
11
ctg
.
4.
Вычислите: а)
5
1
2
2
,
sin
cos
cos
sin
; б)
0
0
0
405
720
420
tg
sin
cos
.
Вариант 4.
1.
Выразите величину угла: а) в радианной мере
0
0
135
60 ,
; б) в градусной мере
6
11
4
,
.
2.
Отметьте на единичной окружности точку
Р
. Покажите на чертеже значения
sin
и
cos
, если
равно
6
.
3.
Определите знак:
0
324
sin
и
4
9
tg
.
4.
Вычислите: а)
sin
tg
tg
tg
6
3
4
;
б)
0
0
0
0
240
3
585
1140
765
2
ctg
tg
cos
sin
.
Вариант 5.
1.
Выразите величину угла: а) в радианной мере
0
0
300
165 ,
; б) в градусной мере
6
13
3
2
,
.
45
2.
Отметьте на единичной окружности точку
Р
. Покажите на чертеже значения
sin
и
cos
, если
равно
2
13
.
3.
Определите знак:
0
217
sin
и
4
tg
.
4.
Вычислите: а)
4
2
3
4
6
tg
cos
sin
; б)
4
21
2
7
2
13
3
tg
ctg
sin
cos
.
Вариант 6.
1.
Выразите величину угла: а) в радианной мере
0
0
405
315 ,
; б) в градусной мере
3
20
7
,
.
2.
Отметьте на единичной окружности точку
Р
. Покажите на чертеже значения
sin
и
cos
, если
равно
4
9
.
3.
Определите знак:
6
5
cos
и
2
1,
sin
.
4.
Вычислите:
а)
2
3
5
4
3
4
2
cos
tg
sin
;
б)
4
5
3
2
5
2
11
5
ctg
sin
ctg
cos
.
Вариант 7.
1.
Выразите величину угла: а) в радианной мере
0
0
12
750
,
; б) в градусной мере
10
3
12
3
,
.
2.
Отметьте на единичной окружности точку
Р
. Покажите на чертеже значения
sin
и
cos
, если
равно
0
225
.
3.
Определите знак:
8
2,
sin
и
0
237
ctg
.
4.
а) Проверьте справедливость равенства:
0
2
0
0
0
45
1
60
1
30
30
sin
ctg
tg
cos
;
б) Упростите:
15
3
2
9
3
2
5
2
0
6
2
3
2
3
2
2
3
2
2
2
2
cos
b
cos
ab
sin
b
a
sin
a
sin
b
cos
ab
sin
b
a
sin
ab
cos
a
.
Вариант 8.
1.
Выразите величину угла: а) в радианной мере
0
0
270
20 ,
; б) в градусной мере
4
3
8
,
.
2.
Отметьте на единичной окружности точку
Р
. Покажите на чертеже значения
sin
и
cos
, если
равно
4
3
.
46
3.
Определите знак:
0
310
sin
и
6
7
tg
.
4.
Вычислите:а)
0
2
0
0
0
3
60
4
45
2
1
30
2
30
cos
tg
tg
sin
; б)
3
6
13
25
3
4
2
sin
cos
,
tg
ctg
.
Вариант 9.
1.
Выразите величину угла: а) в радианной мере
0
0
105
30 ,
; б) в градусной мере
12
5
3
,
.
2.
Отметьте на единичной окружности точку
Р
. Покажите на чертеже значения
sin
и
cos
, если
равно
6
5
.
3.
Определите знак:
0
930
cos
и
6
7
sin
.
4.
а) Найдите значение выражения
6
4
3
3
2
2
cos
sin
cos
sin
, если
6
.
б) Упростите:
4
3
4
5
3
4
3
4
10
2
2
4
5
4
3
2
2
3
2
2
2
2
ctg
b
ctg
ab
btg
a
tg
a
cos
b
sin
ab
cos
b
a
abtg
ctg
a
.
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ №19-20
«Преобразования тригонометрических выражений»
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
1.
Скорректировать умение применять тригонометрические
формулы при преобразовании тригонометрических выражений.
2.
Закрепить и систематизировать знания по теме.
ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты; таблицы значений
тригонометрических функций некоторых углов, таблицы формул тригонометрии,
микрокалькуляторы.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:
1.
Выполнить упражнения тренировочного раздела.
2.
Изучить условие заданий тренажера.
47
3.
Оформить отчет о работе.
ТРЕНИРОВОЧНЫЙ РАЗДЕЛ
Тема: «Основные тригонометрические формулы»
1.
Основное тригонометрическое тождество
...
...
sin
2
выполняется при любых
значениях
.
2.
Упростите выражения: а)
2
1
cos
; б)
sin
sin
1
1
.
3.
Следствием из основного тригонометрического тождества является формула,
выражающая
sin
через
cos
:
...
sin
.
4.
Найдите значение тригонометрической функции
cos
, если известно, что
2
0
5
3
,
sin
.
5.
Тангенсом угла
называется отношение ... угла
к его ...:
...
tg
.
6.
Из определения тангенса и котангенса следует:
...
ctg
tg
.
7.
Соотношение между тангенсом и косинусом одного и того же угла
...
tg
2
1
, когда
...
cos
.
8.
Формула
cos
sin
tg
не имеет смысла при
...
.
9.
Преобразуйте выражения: а)
cos
tg
; б)
tg
sin
; в)
2
2
2
cos
sin
sin
.
10. Упростите: а)
cos
sin
sin
cos
1
1
; б)
2
2
4
1
ctg
tg
tg
.
11. Докажите тождество:
2
cos
ctg
tg
ctg
.
Тема: «Формулы приведения»
1.
Укажите знаки соответствующих тригонометрических функций:
y y
II I II I
x x
0 0
III IV III IV
знаки синуса знаки тангенса
2.
Четность и нечетность тригонометрических функций:
...
tg
...;
cos
...;
sin
.
Вывод: четной функцией является ....
3.
Найдите значения выражений: а)
0
30
sin
; б)
3
cos
; в)
4
tg
.
48
4.
Тригонометрические функции углов вида
2
2
3
2
,
,
,
могут быть
выражены через функции угла
с помощью формул приведения:
...
sin
2
;
...
cos
2
;
...
tg
2
;
...
ctg
2
;
...
sin
0
180
;
...
cos
0
180
;
...
tg
0
180
;
...
ctg
0
180
;
...
sin
0
360
;
...
cos
0
360
;
...
tg
0
360
;
...
ctg
0
360
;
...
sin
2
3
;
...
cos
2
3
;
...
tg
2
3
;
...
ctg
2
3
.
5.
Вычислите: а)
0
240
sin
; б)
0
300
tg
; в)
4
2
6
tg
sin
;
г)
6
4
2
3
4
2
tg
cos
sin
; д)
6
3
2
6
2
3
cos
sin
tg
.
Тема: «Формулы сложения»
1.
Для любых
и
справедливы равенства: а)
...
cos
sin
sin
;
б)
...
cos
cos
cos
; в)
...
tg
.
2.
Вычислите: а)
0
75
sin
; б)
0
105
cos
.
3.
Упростите: а)
0
0
0
0
63
33
63
33
sin
sin
cos
сos
; б)
7
2
7
5
7
2
7
5
sin
cos
cos
sin
;
в)
'
'
'
'
sin
cos
cos
sin
40
32
20
27
40
32
20
27
0
0
0
0
; г)
0
0
0
0
13
73
1
13
73
tg
tg
tg
tg
.
Тема: «Формулы двойного угла»
1.
...
sin
2
2
.
2.
...
tg
tg
2
2
.
3.
Упростите: а)
sin
sin 2
; б)
2
cos
sin
.
4.
Вычислите: а)
0
0
75
75
2
cos
sin
; б)
0
0
15
15 cos
sin
; в)
0
0
2
15
2
15
1
ctg
ctg
.
Тема: «Формулы суммы и разности тригонометрических функций»
1.
Формула суммы синусов двух углов:
...
sin
sin
2
.
2.
Формула разности косинусов двух углов:
...
cos
cos
2
.
3.
Формула суммы тангенсов двух углов:
cos
cos
...
tg
tg
.
49
4.
Преобразуйте в произведения: а)
3
15
sin
sin
; б)
17
27
cos
cos
; в)
0
0
15
5
cos
cos
; г)
0
2
0
2
13
43
sin
sin
.
5.
Упростите: а)
cos
cos
sin
sin
7
7
; б)
9
6
4
cos
cos
cos
cos
; в)
tg
tg
3
.
6.
Докажите тождества: а)
0
0
0
0
0
55
14
56
14
56
ctg
cos
cos
sin
sin
;
б)
5
2
7
3
7
3
ctg
cos
cos
sin
sin
.
7.
Докажите, что
0
10
40
20
0
0
0
cos
sin
sin
.
8.
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ
Вариант 1
1. Дано:
.
;
,
cos
2
6
0
Найдите:
а)
sin
; б)
2
sin
; в)
4
tg
.
2. При всех допустимых значениях
докажите тождество
2
5
5
tg
sin
sin
cos
cos
.
Вариант 2
1.
Упростите выражение
2
3
2
3
2
3
3
cos
sin
sin
cos
cos
sin
.
2.
Докажите тождества:
а)
tgt
t
cos
t
sin
t
sin
t
cos
2
2
1
2
2
1
; б)
cos
cos
cos
3
3
.
Вариант 3
1.
Дано:
2
8
0
;
,
sin
. Найдите:
а)
cos
; б)
2
sin
; в)
4
tg
.
2.
При всех допустимых значениях
докажите тождество
tg
cos
cos
sin
sin
3
3
.
Вариант 4
1.
Упростите выражение
2
2
2
3
2
3
3
3
cos
sin
sin
cos
sin
cos
.
2.
Докажите тождества:
50
а)
t
tg
t
cos
t
sin
t
sin
t
cos
4
2
2
1
2
2
1
; б)
3
2
6
cos
cos
sin
.
Вариант 5
1.
Вычислите
sin
, если
2
2
3
5
4
17
8
,
cos
,
cos
.
2.
При всех допустимых значениях
упростите выражение:
а)
2
2
2
1
sin
cos
; б)
2
2
2
1
2
sin
cos
sin
.
Вариант 6
1.
Найдите
tg
, если
2
0
2
0
5
3
4
3
,
,
cos
,
tg
.
2.
Упростите выражение при всех допустимых значениях
:
а)
2
2
2
2
cos
sin
sin
sin
cos
; б)
2
2
2
5
1
1
2
cos
,
sin
cos
.
Вариант 7
1. Вычислите
sin
, если
2
3
2
0
5
3
13
12
,
,
cos
,
sin
.
2. При всех допустимых значениях
упростите выражение:
а)
2
2
2
2
sin
cos
cos
sin
sin
; б)
2
2
1
2
2
sin
ctg
cos
.
Вариант 8
1.
Найдите
tg
, если
2
0
2
0
3
1
5
1
,
,
tg
,
sin
.
2.
Упростите выражение при всех допустимых значениях
:
а)
sin
sin
sin
3
2
3
2
1
; б)
2
2
1
2
2
cos
tg
sin
.
Вариант 9
1.
Вычислите
cos
и
cos
, если
2
3
2
5
3
13
5
,
,
sin
,
sin
.
2.
При всех допустимых значениях
упростите выражение:
а)
2
1
2
5
0
sin
sin
,
sin
; б)
2
2
2
2
cos
cos
cos
tg
.
51
Вариант 10
1. Найдите
tg
, если
2
0
2
0
3
1
5
2
,
,
tg
,
cos
.
2. Докажите тождества:
а)
2
2
3
2
2
2
sin
ctg
ctg
sin
cos
sin
sin
; б)
2
1
2
sin
cos
sin
.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №21
«Решение тригонометрических уравнений»
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
52
1.
Закрепить навыки определения типов тригонометрических
уравнений (простейшее, квадратное относительно
tgx
,
x
cos
,
x
sin
, однородное относительно
x
sin
и
x
cos
,
уравнение, решаемое разложением на множители левой части).
2.
Усвоить алгоритмы решения основных типов
тригонометрических уравнений.
ОБОРУДОВАНИЕ: карты индивидуальных заданий, таблицы значений
тригонометрических функций некоторых углов, таблицы частных случаев решения
простейших тригонометрических уравнений, таблицы формул тригонометрии,
микрокалькуляторы.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:
1.
Ответить на контрольные вопросы:
а) Дайте определения арксинуса, арккосинуса арктангенса и
арккотангенса числа а.
б) Перечислите свойства обратных тригонометрических
функций.
в) Вспомните формулы, с помощью которых решают
простейшие тригонометрические уравнения.
г) Какой вид имеет квадратное относительно
tgx
,
x
cos
,
x
sin
тригонометрическое уравнение? Объясните алгоритм его решения.
д) Какой вид имеет однородное относительно
x
sin
и
x
cos
тригонометрическое уравнение? Какова методика его решения?
е) Вспомните формулы, с помощью которых решают
простейшие тригонометрические уравнения.
2.
По образцу выполнить тренировочные задания.
3.
Изучить условие задания для самостоятельной работы.
4.
Оформить отчет о работе.
ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЯ
ПРИМЕР 1. Вычислите:
1
2
1
2
1
2
arcctg
arccos
arcsin
.
РЕШЕНИЕ.
53
1
2
1
2
1
2
arcctg
arccos
arcsin
=
12
7
4
3
2
3
4
3
6
2
1
2
1
2
1
2
arctg
arccos
arcsin
.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
Вычислите: а)
2
1
arcsin
sin
; б)
1
arctg
cos
; в)
1
2
3
2
2
3
arctg
arcsin
arccos
;
г)
3
1
2
2
2
2
2
arctg
arcsin
arccos
.
ПРИМЕР 2. Решите уравнение:
1
4
x
sin
.
РЕШЕНИЕ.
По формуле частного случая:
Z
n
,
n
x
,
n
x
,
n
x
,
n
x
2
4
3
2
4
3
2
2
4
2
2
4
.
ПРИМЕР 3. Решите уравнение:
2
3
2
x
cos
.
РЕШЕНИЕ.
Разделим левую и правую части уравнения на 2:
2
2
3
x
cos
.
По формуле
n
a
arccos
t
2
получаем:
n
x
,
n
x
,
n
arccos
x
2
4
3
3
2
4
3
2
2
2
3
.
Разделим левую и правую части уравнения на 3:
Z
n
,
n
x
3
2
4
.
ПРИМЕР 4. Решите уравнение:
0
1
3
5
3
x
tg
.
РЕШЕНИЕ.
Выразим
x
tg
3
5
:
3
1
3
5
1
3
5
3
x
tg
,
x
tg
.
По формуле
n
arctga
t
получаем:
n
arctg
x
3
1
3
5
.
Разделим левую и правую части уравнения на
3
5
:
Z
n
,
n
arctg
x
5
3
3
1
5
3
.
54
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ.
Решите уравнения: а)
1
3
2
x
sin
; б)
1
2
2
x
cos
; в)
0
1
6
3
x
tg
.
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ
Вариант 1
1.
Вычислите:
2
1
3
3
3
2
1
arccos
arctg
arcsin
.
2.
Решите уравнения: а)
0
4
2
x
sin
; б)
2
3
3
x
cos
; в)
3
3
x
tg
.
Вариант 2
1.
Вычислите:
1
83
0
2
1
3
arccos
,
arcsin
arcctg
.
2.
Решите уравнения: а)
2
1
2
x
sin
; б)
1
3
x
cos
; в)
2
6
x
tg
.
Вариант 3
1.
Вычислите:
2
2
arcsin
sin
.
2.
Решите уравнения: а)
1
3
2
x
sin
; б)
2
3
3
x
cos
; в)
3
2
x
tg
.
Вариант 4
1.
Вычислите:
2
1
arccos
cos
.
2.
Решите уравнения: а)
2
3
2
x
sin
; б)
2
1
4
2
x
cos
; в)
0
10
2
x
tg
.
Вариант 5
1.
Вычислите:
3
arctg
tg
.
2.
Решите уравнения: а)
1
2
2
x
sin
; б)
5
4
4
x
cos
; в)
3
3
6
3
x
tg
.
Вариант 6
1.
Вычислите:
3
3
arctg
ctg
.
2.
Решите уравнения: а)
5
3
x
sin
; б)
1
4
2
x
cos
; в)
3
6
3
3
x
tg
.
Вариант 7
1.
Вычислите:
2
2
arccos
sin
.
55
2.
Решите уравнения: а)
2
2
x
sin
; б)
2
1
1
x
cos
; в)
3
2
x
tg
.
Вариант 8
1.
Вычислите:
2
3
arccos
tg
.
2.
Решите уравнения: а)
3
2
2
x
sin
; б)
25
0
4
,
x
cos
; в)
1
4
2
x
tg
.
Вариант 9
1.
Вычислите:
6
5
sin
arccos
.
2.
Решите уравнения: а)
2
2
4
3
x
sin
; б)
2
1
4
5
x
cos
; в)
3
3
2
x
tg
.
Вариант 10
1.
Вычислите:
4
3
ctg
arctg
.
2.
Решите уравнения: а)
2
3
3
2
x
sin
; б)
1
4
2
x
cos
; в)
1
2
x
tg
.
УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ РАБОТЫ:
ПРИМЕР 1. Решите уравнение:
0
1
5
2
2
x
cos
x
sin
.
РЕШЕНИЕ. Применив основное тригонометрическое тождество:
x
cos
x
sin
2
2
1
,
получим:
0
1
5
1
2
2
x
cos
x
cos
,
0
1
5
2
2
2
x
cos
x
cos
,
0
3
5
2
2
x
cos
x
cos
.
Это уравнение является квадратным относительно
x
cos
. Обозначим
y
x
cos
, тогда
0
3
5
2
2
y
y
. Полученное уравнение имеет решения
2
1
3
2
1
y
,
y
.
Составим два простейших уравнения:
3
x
cos
и
2
1
x
cos
.
Первое уравнение решений не имеет, так как
1
1
x
cos
. Второе уравнение имеет
решение:
n
arccos
x
2
2
1
,
n
x
2
3
.
56
Ответ:
Z
n
,
n
x
2
3
ПРИМЕР 2. Решите уравнение:
2
2
3
5
2
2
3
2
2
x
sin
x
sin
x
sin
.
РЕШЕНИЕ.
Так как по формуле приведения
x
cos
x
sin
2
2
2
3
, а
x
cos
x
sin
x
sin
2
2
по формуле
двойного угла, то
0
2
5
4
3
2
2
x
cos
x
cos
x
sin
x
sin
.
При помощи основного тригонометрического тождества заменим 2 на
x
cos
x
sin
2
2
2
и
получим:
0
2
5
4
3
2
2
2
2
x
cos
x
sin
x
cos
x
cos
x
sin
x
sin
,
откуда
0
3
4
2
2
x
cos
x
cos
x
sin
x
sin
.
Это уравнение является однородным относительно
x
sin
и
x
cos
. Разделив обе части
полученного уравнения на
x
cos
2
, получим
0
3
4
2
tgx
x
tg
.
Это уравнение является квадратным относительно
tgx
. Обозначим
y
tgx
, тогда
0
3
4
2
y
y
. Полученное квадратное уравнение имеет корни
3
1
2
1
y
,
y
. Из
уравнения
1
tgx
получаем
n
arctg
x
1
1
,
n
x
4
1
.
Из уравнения
3
tgx
получаем
k
arctg
x
3
2
.
Ответ:
Z
k
,
k
arctg
,
Z
n
,
n
3
4
ПРИМЕР 3. Решите уравнение:
x
cos
x
cos
6
2
.
РЕШЕНИЕ.
Запишем данное уравнение иначе:
0
6
2
x
cos
x
cos
.
По формуле разности косинусов
2
2
2
y
x
sin
y
x
sin
y
cos
x
cos
получаем:
0
2
4
2
x
sin
x
sin
.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому если
0
4
x
sin
, то
Z
n
,
n
x
,
n
x
4
4
1
; если
0
2
x
sin
, то
Z
k
.
k
x
,
k
x
2
2
2
.
Можно заметить, что вторая серия решений содержится в первой и иначе записать ответ.
57
Ответ:
Z
n
,
n
x
4
.
ПРИМЕР 4. Решите уравнение:
x
cos
x
sin
2
2
3
.
РЕШЕНИЕ.
В правой части применим формулу приведения
x
sin
x
sin
2
3
,
0
3
x
sin
x
sin
x
sin
,
0
3
x
sin
x
sin
x
sin
.
Применим формулу разности синусов
2
2
2
y
x
cos
y
x
sin
y
sin
x
sin
, тогда
0
2
2
x
sin
x
cos
x
sin
.
Вынесем за скобки общий множитель:
0
1
2
2
x
cos
x
sin
.
Если
0
x
sin
, то
n
x
1
; если
0
1
2
2
x
cos
, то
2
1
2
1
2
2
x
cos
,
x
cos
, значит,
k
x
,
k
x
,
k
arccos
x
6
2
3
2
2
2
1
2
2
.
Ответ:
Z
k
,
k
;
Z
n
,
n
6
.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ.
Решите уравнения: а)
0
3
2
2
x
sin
x
cos
; б)
2
6
2
2
x
cos
x
cos
x
sin
x
sin
;
в)
2
3
2
3
x
sin
x
cos
.
ВАРИАНТЫ РАБОТЫ.
Вариант 1
Выясните, к какому типу относятся данные тригонометрические уравнения, и решите их:
1.
0
3
2
2
x
sin
x
sin
;
2.
x
cos
x
cos
x
sin
x
sin
2
2
15
8
7
;
3.
x
cos
x
cos
2
;
4.
x
sin
x
cos
x
sin
5
2
3
.
Вариант 2
Выясните, к какому типу относятся данные тригонометрические уравнения, и решите их:
1.
0
1
5
2
2
x
cos
x
sin
;
2.
0
6
5
2
2
x
cos
x
cos
x
sin
x
sin
;
3.
0
2
3
7
x
cos
x
sin
;
4.
0
1
2
2
4
x
cos
x
sin
.
Вариант 3
Выясните, к какому типу относятся данные тригонометрические уравнения, и решите их:
58
1.
0
3
2
2
tgx
x
tg
;
2.
0
3
5
2
2
2
x
cos
x
cos
x
sin
x
sin
;
3.
x
sin
x
sin
2
2
2
;
4.
x
cos
x
cos
x
cos
x
cos
7
5
3
.
Вариант 4
Выясните, к какому типу относятся данные тригонометрические уравнения, и решите их:
1.
0
2
3
2
2
x
cos
x
cos
;
2.
x
sin
x
cos
x
sin
x
cos
2
2
4
3
;
3.
x
sin
x
cos
x
sin
2
2
2
;
4.
x
cos
,
x
cos
x
cos
4
5
0
5
.
Вариант 5
Выясните, к какому типу относятся данные тригонометрические уравнения, и решите их:
1.
0
6
13
5
2
tgx
x
tg
;
2.
0
2
7
3
2
2
x
cos
x
cos
x
sin
x
sin
;
3.
0
2
x
cos
x
cos
;
4.
x
cos
x
cos
x
cos
x
cos
5
2
4
.
Вариант 6
Выясните, к какому типу относятся данные тригонометрические уравнения, и решите их:
1.
x
cos
x
sin
3
2
2
;
2.
x
cos
x
sin
,
x
cos
,
x
sin
5
2
5
1
2
2
;
3.
0
3
2
2
2
x
sin
x
sin
;
4.
0
3
x
cos
x
cos
.
Вариант 7
Выясните, к какому типу относятся данные тригонометрические уравнения, и решите их:
1.
3
4
2
2
2
x
sin
x
cos
;
2.
0
3
2
2
2
x
cos
x
cos
x
sin
x
sin
;
3.
x
cos
x
cos
2
;
4.
x
sin
x
sin
x
cos
x
cos
6
3
2
.
Вариант 8
Выясните, к какому типу относятся данные тригонометрические уравнения, и решите их:
1.
0
3
4
2
tgx
x
tg
;
2.
0
4
3
2
2
x
cos
x
cos
x
sin
x
sin
;
3.
x
sin
x
cos
2
2
2
;
4.
x
cos
x
sin
x
cos
x
sin
3
5
2
6
.
Вариант 9
Выясните, к какому типу относятся данные тригонометрические уравнения, и решите их:
1.
0
3
2
2
x
cos
x
sin
;
2.
0
2
2
2
x
cos
x
cos
x
sin
x
sin
;
3.
x
cos
x
sin
2
;
4.
x
sin
x
sin
x
cos
x
cos
3
3
.
59
Вариант 10
Выясните, к какому типу относятся данные тригонометрические уравнения, и решите их:
1.
2
3
2
2
x
sin
x
sin
;
2.
0
2
2
2
x
cos
x
cos
x
sin
x
sin
;
3.
x
cos
x
sin
2
2
2
;
4.
0
4
x
cos
x
сos
.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №22
«Свойства функций»
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
1.
Корректировать знания, умения и навыки по теме: «Свойства
функций».
2.
Закрепить и систематизировать знания по теме.
3.
Определить уровень усвоения знаний, оценить результат
деятельности обучающихся.
ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты; микрокалькуляторы.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:
1.
Ответить на контрольные вопросы:
а) Что называется функцией?
б) Что такое естественная область определения функции?
в) Какая функция называется четной, нечетной?
г) Как найти точки пересечения графика функции с осями
координат?
2.
Изучить условие заданий для практической работы.
3.
Оформить отчет о работе.
ВАРИАНТЫ РАБОТЫ
Вариант 1.
60
1.
Найдите
1
2
3
1
1
5
,
f
,
f
,
f
,
f
, если
3
x
x
f
.
2.
Найдите область определения функции
x
x
x
f
2
.
3.
Установите, является ли функция
1
x
x
f
четной, нечетной или не является ни
четной, ни нечетной.
4.
Найдите точки пересечения графика функции
x
x
x
f
4
3
с осью ОУ
и нули
функции.
Вариант 2.
1.
Найдите
1
2
3
1
1
5
,
f
,
f
,
f
,
f
, если
1
5
3
2
x
x
x
f
.
2.
Найдите область определения функции
3
1
x
x
f
.
3.
Установите, является ли функция
5
2
x
x
f
четной, нечетной или не является ни
четной, ни нечетной.
4.
Найдите точки пересечения графика функции
4
1
x
x
f
с осью ОУ и нули функции.
Вариант 3.
1.
Найдите
1
2
3
1
1
5
,
f
,
f
,
f
,
f
, если
1
3
x
x
f
.
2.
Найдите область определения функции
4
3
2
x
x
x
f
.
3.
Установите, является ли функция
2
x
x
f
четной, нечетной или не является ни
четной, ни нечетной.
4.
Найдите точки пересечения графика функции
2
4
x
x
x
f
с осью ОУ
и нули
функции.
Вариант 4.
1.
Найдите
1
2
3
1
1
5
,
f
,
f
,
f
,
f
, если
2
5
3
2
x
x
x
f
.
2.
Найдите область определения функции
4
5
2
2
x
x
x
x
f
.
3.
Установите, является ли функция
x
x
x
f
3
четной, нечетной или не является ни
четной, ни нечетной.
4.
Найдите точки пересечения графика функции
3
1
x
x
f
с осью ОУ и нули функции.
Вариант 5.
1.
Найдите
1
2
3
1
1
5
,
f
,
f
,
f
,
f
, если
2
4
2
x
x
x
f
.
2.
Найдите область определения функции
25
5
2
x
x
f
.
3.
Установите, является ли функция
x
x
x
f
4
5
2
четной, нечетной или не является ни
четной, ни нечетной.
4.
Найдите точки пересечения графика функции
2
1
x
x
f
с осью ОУ и нули функции.
61
Вариант 6.
1.
Найдите
1
2
3
1
1
5
,
f
,
f
,
f
,
f
, если
1
3
x
x
f
.
2.
Найдите область определения функции
1
1
2
x
x
x
f
.
3.
Установите, является ли функция
3
3
x
x
f
четной, нечетной или не является ни
четной, ни нечетной.
4.
Найдите точки пересечения графика функции
1
2
x
x
f
с осью ОУ и нули функции.
Вариант 7.
1.
Найдите
1
2
3
1
1
5
,
f
,
f
,
f
,
f
, если
3
9
2
x
x
x
f
.
2.
Найдите область определения функции
49
8
2
x
x
f
.
3.
Установите, является ли функция
x
x
f
1
четной, нечетной или не является ни
четной, ни нечетной.
4.
Найдите точки пересечения графика функции
x
x
f
1
3
с осью ОУ и нули функции.
Вариант 8.
1.
Найдите
1
2
3
1
1
5
,
f
,
f
,
f
,
f
, если
1
5
x
x
f
.
2.
Найдите область определения функции
1
x
x
f
.
3.
Установите, является ли функция
x
x
x
f
2
1
четной, нечетной или не является ни
четной, ни нечетной.
4.
Найдите точки пересечения графика функции
3
1
x
x
f
с осью ОУ и нули функции.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №23
Решение задач на тему: «Параллелепипед»
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
1.
Корректировать знания, умения и навыки по теме:
«Параллелепипед».
2.
Закрепить и систематизировать знания по теме.
3.
Определить уровень усвоения знаний, оценить результат
деятельности уч-ся.
ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты, таблицы значений
тригонометрических функций, микрокалькуляторы.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:
1.
Ответить на контрольные вопросы:
62
а) Что такое параллелепипед? Перечислите свойства
параллелепипеда.
б) Какой параллелепипед называется прямым?
в) Какой параллелепипед называется прямоугольным? Что
такое измерения прямоугольного параллелепипеда?
г) Что такое куб?
2.
Выполнить устные задания и проверить свои ответы.
3.
Изучить условие заданий для практической работы.
4.
Оформить отчет о работе.
УСТНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ: «ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД»
1.
Ребро куба равно 4 см. Вычислите объем куба.
2.
Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 5 дм, 6 дм и 7 дм. Вычислите его
объем.
3.
Площадь поверхности куба равна 96 см
2
. Вычислите его объем.
4.
Площадь грани куба равна 9 дм
2
. Вычислите его объем.
5.
Площадь основания прямоугольного параллелепипеда равна 12 см
2
, а объем – 36 см
3
.
Вычислите его высоту.
6.
Как изменится объем прямоугольного параллелепипеда, если его измерения увеличить
в два раза?
7.
Объем куба равен 64 см
3
. Вычислите площадь его поверхности.
8.
Можно ли пересечь куб плоскостью так, чтобы в сечении получился правильный
треугольник?
9.
Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 4 см, 4 см и 2 см. Вычислите
диагональ параллелепипеда.
10. Вычислите площадь поверхности куба, если его диагональ равна 6 см.
11. Ребро куба равно а. Вычислите площадь диагонального сечения.
12. В параллелепипеде длины ребер, исходящих из одной вершины, равны 5 см, 4 см и 3
см. Вычислите сумму длин всех ребер.
13. Как изменится площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда, если
высоту его увеличить в 4 раза, а каждую из сторон основания уменьшить в 2 раза?
ВАРИАНТЫ РАБОТЫ
Вариант 1.
Сумма длин всех ребер куба равна 96 см. Вычислите: а) площадь диагонального сечения;
б) длину диагонали куба.
Вариант 2.
Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 10 см и 24 см. Его диагональ
наклонена к основанию под углом 60
0
. Вычислите длину: а) диагонали параллелепипеда;
б) высоты параллелепипеда.
Вариант 3.
Сумма длин всех ребер параллелепипеда
1
1
1
1
D
C
B
ABCDA
равна 136 см. Биссектриса угла
А
его основания делит сторону ВС
на отрезки ВК
и КС. Вычислите длины ребер
параллелепипеда, если ВК = 8 см, КС = 6 см.
Вариант 4.
63
Две стороны основания прямого параллелепипеда равны 8 см и 15 см. Синус угла между
ними равен 0,8. Высота параллелепипеда равна большей стороне его основания.
Вычислите площадь: а) боковой поверхности параллелепипеда; б) полной поверхности
параллелепипеда.
Вариант 5.
Боковое ребро прямого параллелепипеда равно 10 см. Две стороны его основания
пропорциональны числам 3 и 5. Вычислите длины этих сторон, если площадь боковой
поверхности параллелепипеда равна 320 см
2
.
Вариант 6.
Основание прямого параллелепипеда – ромб, меньшая диагональ которого равна 16 см.
Синус угла между плоскостями боковой грани и большего диагонального сечения равен
7
4
. Вычислите площадь боковой поверхности, если высота параллелепипеда равна 10 см.
Вариант 7.
Основание наклонного параллелепипеда – квадрат со стороной равной 6 дм. Меньшая
диагональ боковой грани перпендикулярна плоскости основания и равна 8 дм. Вычислите
площадь боковой поверхности параллелепипеда.
Вариант 8.
Диагональ куба равна
3
5
см. Вычислите его объем.
Вариант 9.
Объем прямоугольного параллелепипеда равен 480 см
3
, его ребра пропорциональны
числам 3, 4 и 5. Вычислите площадь его полной поверхности.
Вариант 10.
Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 8 см, 12 см и 18 см. Вычислите
площадь полной поверхности равновеликого ему куба.
Вариант 11.
Стороны основания прямого параллелепипеда равны 8 см и 6 см, угол между ними 30
0
.
Площадь полной поверхности параллелепипеда равна 188 см
2
. Вычислите его объем.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №24
«Решение задач на нахождение элементов пирамид»
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
1.
Корректировать знания, умения и навыки по теме: «Пирамида
и ее элементы».
2.
Закрепить и систематизировать знания по теме.
3.
Определить уровень усвоения знаний, оценить результат
деятельности обучающихся.
ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты, модели пирамид, таблица с
формулами S
бок.
, S
полн.,
V, линейка, карандаш, микрокалькуляторы.
64
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:
1.
Ознакомиться с указаниями к выполнению практической
работы
2.
Сделать краткий конспект теоретического материала в рабочих
тетрадях (основные понятия, определения, формулы, примеры)
3.
Изучить условие заданий для практической работы.
4.
Оформить отчет о работе.
ПАМЯТКА
Пирами
́
да — многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани —
треугольники, имеющие общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды
треугольные, четырёхугольные и т. д.
наклонная прямая
ЭЛЕМЕНТЫ ПИРАМИДЫ
Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины [ℓ];
Боковые грани — треугольники, сходящиеся в вершине пирамиды;
Боковые ребра — общие стороны боковых граней;
Вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости
основания;
Высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости
её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание
перпендикуляра) (Н);
Диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и
Диагональ основания;
Основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.
Правильная пирамида
65
Пирамида называется правильной, если основанием её является
правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. Тогда она
обладает такими свойствами: боковые ребра правильной пирамиды равны; в правильной
пирамиде все боковые грани — равные равнобедренные треугольники; в любую
правильную пирамиду можно как вписать, так и описать около неё сферу.
Прямоугольная пирамида
Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых
рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В данном случае,
это ребро и является высотой пирамиды.
Усечённая пирамида
Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый
между
основанием
пирамиды
и
секущей
плоскостью,
параллельной её основанию.
Боковая поверхность — это сумма площадей боковых граней.
Для нахождения боковой поверхности в правильной пирамиде можно использовать
формулу:
S
бок .
=
1
2
Pl
Полная поверхность — это сумма площади боковой поверхности и площади
основания.
Для нахождения полной поверхности в правильной пирамиде можно использовать
формулу:
S
полн ..
=
1
2
Pl
+
S
осн .
Объем
пирамиды
(любой)
может
быть
вычислен
по
формуле:
66
V
=
1
3
S
осн .
H
СЕЧЕНИЯ ПИРАМИДЫ
Д
иагональное сечение
С
ечение плоскостью,
параллельной
основанию
С
ечение плоскостью проходящей
под углом к основанию
ВАРИАНТЫ РАБОТЫ
1.
Задание: по данным вам моделям найти площадь боковой, полной поверхности, объем
пирамиды.
2. Выполнить тесты.
ПРИМЕР: Найти площадь боковой, полной поверхности, объем пирамиды.
ХОД РАБОТЫ:
1.Для нахождения площади боковой поверхности пирамиды нужно измерить линейкой
следующие элементы: апофему, стороны основания, высоту. Подставить значения в
формулу для нахождения пощади (если пирамида правильная). Если пирамида наклонная,
то боковую поверхность находим из суммы площадей граней.
2. Для нахождения площади полной поверхности пирамиды нужно найти площадь
основания пирамиды (площадь треугольника, прямоугольника, ромба)
3.Площадь полной поверхности пирамиды находиться как сумма площадей боковой
поверхности и основания.
4. Для нахождения объема нужно знать высоту пирамиды и площадь основания.
Оформление работы
67
Дано: SАВСД – пирамида, АВ=3см, ВС= 6см,
пирамида
неправильная,
Н=10см,
ℓ
1
=10,5см.,
ℓ
2
=10,2см
Найти: Sбок., Sполн.,V
Решение: т.к. пирамида неправильная, то S
бок
.
находят как сумму площадей ее боковых граней,
т.е. площадей треугольников.
S1 = 1/2 ·ℓ1·АВ=1/2·10,5·3=15,75(см2) - это
площадь одной грани, а их две одинаковых, т.е
S1,2 =15,75·2=31,5(см2)
S
3
=1/2·ℓ
2
·ВС= 1/2·10,2·6=30,6 (см
2
), S
3,4
=2·30,6=61,2(см
2
)
S
бок..
= 31,5+61,2 =92,7(см
2
)
S
осн.
= АВ·ВС=3·6=18(см
2
), S
полн.
= S
бок.
+ S
осн.
= 92,7+18=110,7 (см
2
)
(если пирамида правильная, то пользуемся формулами)
V=1/3· S
осн
·Н = 1/3·18·10 = 60(см
3
) – формула объема справедлива для любой
пирамиды.
ВАРИАНТЫ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ
Вариант 1
1. Сколько ребер у шестиугольной пирамиды:
Ответ: а)6; б)12; в)18; г)24; д)8
2. Какое наименьшее число граней может иметь пирамида:
Ответ: а)5; б)12); в)10; г)6; д)4
3.Выберите верное утверждение:
а) Многогранник, составленный из n-треугольников, называется пирамидой;
б) пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник;
в) высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется
апофемой;
4. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 4см, а длина диагонали
основания - 6
√
2
см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
Ответ: а)96см
2
; б)156см
2
; в)36см
2
; г)60см
2
; д)150см
2
Вариант 2
1. Сколько граней у шестиугольной пирамиды:
Ответ: а)6; б)7; в)8; г)10; д)12
2. Какое наименьшее число ребер может иметь пирамида:
Ответ: а)6; б)5; в)4; г)7; д)8
3.Выберите верное утверждение:
а) Высота пирамиды называется высотой грани;
б) площадь боковой поверхности пирамиды равна произведению периметра основания на
высоту;
в) пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник;
4. Высота правильной треугольной пирамиды равна 12см, сторона основания 15см. Найти
площадь полной поверхности пирамиды.
68
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №25
«Решение задач на нахождение элементов цилиндра»
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
69
1.
Корректировать знания, умения и навыки по теме: «Цилиндр и
его элементы».
2.
Закрепить и систематизировать знания по теме.
3.
Определить уровень усвоения знаний, оценить результат
деятельности обучающихся.
ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты, линейка, карандаш.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:
Порядок выполнения работы:
1.
Ознакомиться с указаниями к выполнению работы.
2.
Дать определение цилиндра.
3.
Выполнить чертеж. На чертеже:
а) указать основные элементы цилиндра;
б) выполнить сечение цилиндра плоскостью, параллельно
осевому сечению.
в) выполните сечение цилиндра плоскостью,
перпендикулярной к оси.
4.
Изобразить развертку цилиндра.
5.
Изучить условие заданий для практической работы.
6.
Оформить отчет о работе.
ПАМЯТКА
1. Постройте цилиндр.
2. Обозначьте и выпишите:
1)
ось цилиндра;
2)
радиус и диаметр цилиндра;
3)
основания цилиндра;
4)
образующую цилиндра;
5)
высоту цилиндра.
3. Выполните осевое сечение цилиндра, обозначьте его.
4. Выполните сечение цилиндра плоскостью, параллельно осевому сечению, обозначьте
его.
5. Выполните сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной к оси.
6. Запишите формулу площади поверхности цилиндра.
7. Изобразите развертку цилиндра.
ВАРИАНТЫ РАБОТЫ
Вариант 1
1.
Площадь боковой поверхности цилиндра равна 72π, а диаметр основания – 9.
Найдите высоту цилиндра.
70
2.
В цилиндрический сосуд налита жидкость, высота которой 50 см. На какой высоте
будет находится уровень жидкости, если ее перелить в другой цилиндрический сосуд,
диаметр которого в 5 раз больше первого?
3.
Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите
.
4.
Радиус основания цилиндра равен 2, высота – 3. Найдите площадь боковой
поверхности цилиндра. В ответе запишите S
бок
/π.
5.
Одна цилиндрическая кружка в 2 раза выше второй, но в 1,5 раза уже второй
кружки. Найдите отношение объемов этих кружек.
6.
Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите
.
7.
В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8.
Боковые ребра равны
. Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.
Вариант 2
1.
Площадь боковой поверхности цилиндра равна 14π, а высота – 2. Найдите диаметр
основания цилиндра.
2.
В цилиндрический сосуд налили 3000 см
3
воды. Уровень воды при этом достигает
15 см. В жидкость полностью погрузили деталь.. При этом уровень жидкости
поднялся на 6 см. Чему равен объем детали ( в см
3
).
3.
Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите
.
71
4.
В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 2. Боковые ребра равны
. Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.
5.
Площадь осевого сечения цилиндра равна 4. Найдите площадь боковой
поверхности цилиндра, деленную на
.
6.
Длина окружности основания цилиндра равна 5, а высота – 2. Найдите площадь
боковой поверхности цилиндра.
7.
Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем
конуса, если объем цилиндра равен 45.
Вариант 3
1.
Площадь боковой поверхности цилиндра равна 64π, а диаметр основания – 8.
Найдите высоту цилиндра.
2.
Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите
.
72
3.
Диагональ осевого сечения цилиндра составляет с плоскостью основания угол в 45
0
высота цилиндра равна 4. Найдите площадь боковой поверхности цилинра. В
ответе запишите S
бок
/π.
4.
В цилиндрический сосуд налили
воды. Уровень воды при этом достигает
высоты
см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень
жидкости в сосуде поднялся на
см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в
.
5.
Объем цилиндра равен 1 см
3
. Радиус основания уменьшили в 2 раза, а высоту
увеличили в 3 раза. Найдите объем получившегося цилиндра ( в см
3
).
6.
Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем
цилиндра, если объем конуса равен 15.
7.
Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите
.
Вариант 4
1.
Площадь боковой поверхности цилиндра равна 24π, а высота – 6. Найдите диаметр
основания цилиндра.
2.
Площадь осевого сечения цилиндра равна 8. Найдите площадь боковой
поверхности цилиндра, деленную на
.
73
3.
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 18 см. на какой высоте
будет находится уровень жидкости, если ее перелить в другой цилиндрический
сосуд, диаметр которого в 3 раза больше.
4.
В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 12 и 5.
Боковые ребра равны
. Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.
5.
Длина окружности основания цилиндра равна 8, а высота – 3. Найдите площадь
боковой поверхности цилиндра.
6.
Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите
.
7.
Один цилиндр вдвое ниже второго, зато второй в полтора раза уже. Найдите
отношение объема второго цилиндра к объему первого.
74
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №26
«Решение задач на нахождение элементов конуса»
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
1.
Корректировать знания, умения и навыки по теме: «Конус и его
элементы».
2.
Закрепить и систематизировать знания по теме.
3.
Определить уровень усвоения знаний, оценить результат
деятельности обучающихся.
ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты, линейка, карандаш.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:
Порядок выполнения работы:
1.
Ознакомиться с указаниями к выполнению работы.
2.
Дать определение конуса.
3.
Выполнить чертеж. На чертеже:
а) указать основные элементы конуса;
б) выполнить осевое сечение конуса.
в) выполните сечение конуса плоскостью, перпендикулярной к
оси.
4.
Изобразить усеченный конус.
5.
Изобразить развертку конуса.
6.
Изучить условие заданий для практической работы.
7.
Оформить отчет о работе.
ПАМЯТКА
1. Постройте конус.
2. Обозначьте и выпишите:
1)
вершину конуса;
2)
ось конуса;
3)
радиус и диаметр конуса;
4)
основание конуса;
5)
образующую конуса;
6)
высоту конуса.
3. Выполните осевое сечение конуса, обозначьте его.
4. Выполните сечение конуса плоскостью, перпендикулярной к оси.
5. Запишите формулу площади боковой и полной поверхности конуса.
6. Изобразите усеченный конус, укажите радиусы его оснований.
8. Запишите формулу площади боковой поверхности усеченного конуса.
9. Изобразите развертку конуса.
75
ВАРИАНТЫ РАБОТЫ
Вариант 1.
1.Угол при вершине осевого сечения конуса с высотой 1 м равен 60
0
. Чему равна площадь
сечения конуса, проведенного через две образующие, угол между которыми равен 45
0
?
2. Площадь основания конуса S, а образующие наклонены к плоскости основания под
углом α. Найдите боковую и полную поверхность конуса.
Вариант 2.
1.Угол при вершине осевого сечения конуса, с радиусом основания 1 м, равен 120
0
. Чему
равна площадь сечения конуса, проведенного через две образующие, угол между
которыми равен 60
0
?
2. Радиус кругового сектора равен 3 м, а его угол 120
0
.
Сектор свёрнут в коническую
поверхность. Найдите радиус основания конуса и полную поверхность конуса.
76
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №27
«Правила дифференцирования»
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
1.
Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Правила
дифференцирования».
2.
Закрепить и систематизировать знания по теме.
3.
Определить
уровень
усвоения
знаний,
оценить
результат
деятельности обучающихсяся.
ОБОРУДОВАНИЕ:
инструкционно-технологические
карты,
таблица
производных
элементарных функций; микрокалькуляторы.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:
1.
Ответить на контрольные вопросы:
а) Сформулируйте определение функции.
б) Сформулируйте правила вычисления производных
алгебраических функций.
в) В чем состоит механический смысл производной?
г) Тело движется по прямой согласно закону х(t). Запишите
формулы для нахождения скорости и ускорения тела в момент
времени t.
2.
По образцу выполнить тренировочные задания.
3.
Изучить условие заданий для практической работы.
4.
Оформить отчет о работе.
УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ РАБОТЫ
ПРИМЕР 1. Решите неравенство:
0
x
g
x
f
, если
2
2
3
5
1
2
5
3
3
1
x
,
x
x
g
,
x
x
x
x
f
.
РЕШЕНИЕ. Пользуясь правилами дифференцирования алгебраических функций и
формулами дифференцирования элементарных функций, вычислим производные:
5
6
5
3
3
1
5
3
3
1
2
2
3
2
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
;
x
x
,
x
x
,
x
x
g
3
2
5
1
2
5
1
2
2
2
.
Таким образом, нужно решить неравенство:
0
3
2
5
6
2
x
x
x
.
Разложим числитель дроби на множители:
5
1
5
6
5
1
0
5
6
2
2
1
2
x
x
x
x
;
x
,
x
,
x
x
.
Неравенство
0
3
2
5
1
x
x
x
методом интервалов.
Нули числителя: х = 1, х = 5. Нуль знаменателя:
3
2
x
.
77
О т в е т:
;
;
5
1
3
2
.
ПРИМЕР 2. Тело движется по прямой согласно закону
5
2
3
t
t
t
x
. Найдите скорость
и ускорение точки в момент времени
4
0
t
.
РЕШЕНИЕ. Скорость движения – это производная от пути по времени, следовательно,
2
3
5
2
2
3
t
t
t
t
x
t
v
.
Значит, в момент времени
4
0
t
скорость данного движения такова:
46
2
4
3
4
2
v
.
Так как нам известна скорость движения как функция времени, мы можем найти
ускорение этого движения:
t
t
t
v
t
a
6
2
3
2
.
Значит, в момент времени
4
0
t
ускорение данного движения равно:
24
4
6
4
a
.
О т в е т: 46; 24.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1.
Решите неравенство
0
x
f
, если
23
7
6
2
x
x
x
f
.
2.
Тело движется по прямой согласно закону
4
0
3
2
,
t
t
t
x
. Найдите скорость и
ускорение точки в момент времени
2
0
t
.
ВАРИАНТЫ РАБОТЫ
Вариант 1.
1.
Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найдите производные
функций:
а)
6
5
3
5
2
4
x
x
,
x
; б)
x
x
x
2
8
; в)
2
4
1
x
x
.
2.
Решите уравнение
0
x
f
, если
2
4
x
x
f
.
2.
Вариант
1.
Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найдите производные
функций:
а)
3
5
3
x
x
x
; б)
x
x
x
2
3
2
; в)
3
2
1
1
x
x
.
2.
Решите неравенство
0
x
f
, если
5
12
9
2
2
3
x
x
x
x
f
.
Вариант 3.
1.
Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найдите производные
функций:
а)
10
1
75
0
3
2
7
0
2
3
5
x
,
x
x
,
; б)
x
sin
x
2
; в)
3
2
x
x
.
2.
Решите уравнение
0
x
f
, если
1
2
2
4
x
x
x
f
.
Вариант 4.
78
1.
Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найдите производные
функций:
а)
3
0
7
1
05
0
2
4
10
,
x
x
,
x
; б)
x
cos
x
2
4
; в)
3
2
x
x
sin
.
2.
Решите уравнение
0
x
f
, если
x
x
x
x
f
9
3
10
5
3
5
.
Вариант 5.
1.
Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найдите производные
функций:
а)
5
2
1
3
1
4
1
2
3
4
x
x
x
x
; б)
x
x
5
2
; в)
x
x
x
2
1
3
3
.
2.
Решите уравнение
0
x
f
, если
x
cos
x
x
f
2
1
.
Вариант 6.
1.
Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найдите производные
функций:
а)
3
2
x
lg
x
; б)
tgx
x
2
; в)
x
x
3
2
2
.
2.
Материальная точка движется прямолинейно по закону
t
t
t
t
x
5
2
3
1
2
3
. Через
сколько секунд после начала движения точка остановится?
Вариант 7.
1.
Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найдите производные
функций:
а)
3
5
3
5
3
x
x
x
; б)
x
lg
x
; в)
x
x
4
.
2.
Найдите х, при котором
3
x
g
x
f
, если
4
1
4
1
2
2
x
x
g
,
x
x
x
f
.
Вариант 8.
1.
Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найдите производные
функций:
а)
18
7
4
3
1
2
3
x
x
x
; б)
x
ln
x
; в)
x
e
x
.
2.
По прямой движутся две материальные точки по законам
3
4
2
1
t
t
x
и
3
2
t
t
x
. В
каком промежутке времени скорость первой точки больше скорости второй?
79
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №28
«Вычисление производных сложных функций»
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
1.
Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Вычисление
производных сложных функций».
2.
Закрепить и систематизировать знания по теме.
3.
Определить уровень усвоения знаний, оценить результат
деятельности уч-ся.
ОБОРУДОВАНИЕ:
инструкционно-технологические
карты,
таблица
производных
элементарных функций; микрокалькуляторы.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:
1.
Ответить на контрольные вопросы:
а) Какая функция называется сложной? Приведите примеры
сложных функций.
б) Сформулируйте правило вычисления производной сложной
функции.
2.
По образцу выполнить тренировочные задания.
3.
Изучить условие заданий для практической работы.
4.
Оформить отчет о работе.
УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ РАБОТЫ
ПРИМЕР 1. Заданы функции
tgx
x
g
,
x
x
f
3
6
2
. Задайте формулой сложную
функцию h, если: а)
x
f
g
x
h
; б)
x
g
f
x
h
.
РЕШЕНИЕ. а) Функцию h можно представить в виде сложной функции
x
f
g
x
h
таким образом:
3
6
2
x
tg
x
f
g
x
h
.
б) Функцию h можно представить в виде сложной функции
x
g
f
x
h
таким образом:
x
tg
x
g
f
x
h
3
6
2
.
ПРИМЕР 2. Задайте формулами элементарные функции f и g, из которых составлена
сложная функция
x
f
g
x
h
: а)
7
9
4
x
x
h
; б)
tgx
.
80
РЕШЕНИЕ. а) Функцию h можно представить в виде сложной функции
x
f
g
x
h
, где
9
4
7
x
x
f
y
,
y
y
g
.
б) Функцию h
можно представить в виде сложной функции
x
f
g
x
h
, где
tgx
x
f
y
,
y
y
g
.
ПРИМЕР
3.
Найдите
производные
сложных
функций:
а)
2
9
x
x
h
;
б)
2
3
x
sin
x
h
.
РЕШЕНИЕ. а) Так как
x
f
g
x
h
, где
2
9
x
x
f
y
,
y
y
g
, то
y
y
g
2
1
и
x
x
f
y
2
, откуда
2
2
9
9
2
2
2
1
x
x
x
x
y
y
x
h
.
б) Так как
x
f
g
x
h
, где
2
3
x
x
f
y
,
y
sin
y
g
, то
y
cos
y
g
и
2
1
x
f
y
, откуда
2
3
2
1
2
1
2
3
x
cos
x
cos
y
y
cos
x
h
.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ.
1.
Задайте формулами элементарные функции f и g, из которых составлена сложная
функция
x
f
g
x
h
, если
x
sin
x
h
5
1
.
2.
Найдите производную сложной функции
1
4
2
x
x
h
.
ВАРИАНТЫ РАБОТЫ
Вариант 1.
Вычислите производные сложных функций:
а)
4
2
1
x
x
f
; б)
x
x
f
2
5
; в)
x
sin
x
f
3
; г)
x
x
e
e
x
ln
x
f
; д)
x
tg
x
f
4
2
3
.
Вариант 2.
Вычислите производные сложных функций:
а)
2
1
2
1
x
x
f
; б)
x
e
x
f
3
; в)
x
cos
x
f
5
; г)
2
5
1
4
3
x
x
log
x
x
f
;
д)
x
ctg
x
f
2
4
3
.
Вариант 3.
Вычислите производные сложных функций:
а)
4
3
x
x
f
; б)
x
log
x
f
2
2
3
; в)
4
2
3
x
tg
x
f
; г)
2
4
2
x
e
x
x
f
;
д)
x
sin
x
f
4
2
3
.
Вариант 4.
81
Вычислите производные сложных функций:
а)
5
x
x
x
f
; б)
x
lg
x
f
3
; в)
3
3
x
cos
x
f
; г)
2
3
2
x
x
x
x
f
;
д)
1
2
2
3
x
log
x
f
.
Вариант 5.
Вычислите производные сложных функций:
а)
5
3
2
3
x
x
f
; б)
2
7
3
2
3
0
x
x
,
x
f
; в)
12
4
2
x
x
cos
x
f
;
г)
2
4
5
3
3
2
x
x
x
x
x
f
; д)
x
sin
x
f
5
3
2
.
Вариант 6.
Вычислите производные сложных функций:
а)
3
2
5
1
x
x
f
; б)
x
e
x
f
4
; в)
3
tgx
x
f
; г)
x
sin
x
x
f
6
5
; д)
6
1
2
x
ln
x
f
.
Вариант7.
Вычислите производные сложных функций:
а)
x
x
e
x
x
f
3
2
2
; б)
x
tg
x
f
2
2
; в)
x
sin
x
f
5
; г)
2
5
2
x
x
x
f
;
д)
5
7
3
3
x
x
x
f
;
Вариант 8.
а)
1
2
x
x
f
; б)
3
x
e
x
f
; в)
x
tg
x
f
; г)
x
x
sin
x
f
5
; д)
3
1
x
ln
x
f
.
82
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №29
«Исследование функции с помощью производной.
Построение графиков функций»
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
1.
Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Исследование
функции и построение ее графика».
2.
Закрепить и систематизировать знания по теме.
3.
Определить
уровень
усвоения
знаний,
оценить
результат
деятельности уч-ся.
ОБОРУДОВАНИЕ:
инструкционно-технологические
карты,
таблицы
производных
элементарных функций, микрокалькуляторы.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:
1.
Ответить на контрольные вопросы:
а) Какую точку называют критической (стационарной) точкой
функции?
б) Сформулируйте признак возрастания (убывания) функции.
в) Сформулируйте признак максимума (минимума) функции.
г) Опишите схему исследования функции.
2.
С помощью обучающей таблицы повторить план исследования
функции и изучить образцы решенных примеров.
3.
Выполнить задания для самоконтроля (в таблице).
4.
Изучить условие заданий для практической работы.
5.
Оформить отчет о работе.
ОБУЧАЮЩАЯ ТАБЛИЦА
Задание. Исследуйте и постройте графики функции:
а)
1
4
3
3
4
x
x
x
f
; б)
1
2
2
x
x
x
f
.
№
План исследования
Применение
плана
83
шага
Функции
а)
1
4
3
3
4
x
x
x
f
б)
1
2
2
x
x
x
f
1
Находим
область
определения
функции
R
f
D
0
1
2
x
,
1
x
,
1
1
1
;
;
f
D
;
1
2
Исследуем
функцию
на
четность,
нечетность
)
x
(
f
x
x
x
f
1
4
3
3
4
функция ни четная, ни
нечетная
x
f
x
x
x
f
1
2
2
функция четная
3
Находим
нули
(корни) функции и
промежутки
её
знакопостоянства
3
4
3
4
3
3
0
1
4
3
x
x
,
x
x
0
1
3
x
,
0
1
2
3
1
2
2
x
x
x
,
0
1
x
,
1
x
- нуль функции
0
1
2
2
x
x
,
0
x
- нуль функции
4
Находим
производную
функции
и
её
критические точки
3
3
4
12
1
4
3
x
x
x
x
f
/
/
1
12
12
2
2
x
x
x
,
0
x
'
f
1
0;
x
-
критические точки функции
/
/
x
x
x
f
1
2
2
2
2
2
2
3
2
1
2
1
2
1
2
x
x
x
x
x
x
0
x
'
f
0
x
- критическая
точка функции
5
Находим
промежутки
монотонности,
точки экстремума и
экстремумы
функции
0
2
0
5
0
0
1
'
y
,
,
'
y
,
'
y
х=0 – не является точкой
экстремума, х=1 – точка
минимума,
0
1
y
y
min
,
,
'
y
,
'
y
0
5
0
0
2
0
2
0
5
0
'
y
,
,
'
y
,
х=0 – точка максимума,
0
0
y
y
max
6
Находим
предел
функции
при
x
1
4
3
3
4
x
x
lim
x
1
1
2
2
x
x
lim
x
84
7
Строим
эскиз
графика функции
Примеры. Исследуйте и постройте графики функций:
1)
2
3
2
x
x
y
; 2)
1
2
4
2
x
x
y
; 3)
5
6
2
x
x
y
; 4)
2
2
8
2
x
x
y
; 5)
3
3
x
x
y
; 6)
4
3
2
3
x
x
y
; 7)
1
3
3
x
x
y
; 8)
2
2
3
x
x
y
; 9)
x
x
y
1
2
.
ВАРИАНТЫ РАБОТЫ
Вариант 1.
1.
Исследуйте функцию
4
2
x
x
x
f
на максимум и минимум.
2.
Исследуйте с помощью производной функцию
5
3
2
2
3
x
x
x
f
и постройте ее
график.
Вариант 2.
1.
Исследуйте функцию
x
x
x
f
3
3
на максимум и минимум.
2.
Исследуйте с помощью производной функцию
2
3
5
1
3
1
x
,
x
x
f
и постройте ее
график.
Вариант 3.
1.
Исследуйте функцию
5
2
4
2
4
x
x
x
f
на максимум и минимум.
2.
Исследуйте с помощью производной функцию
2
3
3
2
x
x
x
f
и постройте ее график.
Вариант 4.
1.
Исследуйте функцию
3
12
x
x
x
f
на максимум и минимум.
2.
Исследуйте с помощью производной функцию
5
2
5
1
2
1
x
x
x
f
и постройте ее
график.
85
Вариант 5.
1.
Исследуйте функцию
4
6
3
2
4
x
x
x
f
на максимум и минимум.
2.
Исследуйте с помощью производной функцию
2
3
3
x
x
x
f
и постройте ее
график.
Вариант 6.
1.
Исследуйте функцию
1
2
3
2
3
x
x
x
f
на максимум и минимум.
2.
Исследуйте с помощью производной функцию
x
x
x
f
3
3
и постройте ее график.
Вариант 7.
1.
Исследуйте функцию
4
3
x
x
x
f
на максимум и минимум.
2.
Исследуйте с помощью производной функцию
4
5
2
4
x
x
x
f
и постройте ее
график.
Вариант 8.
1.
Исследуйте функцию
5
4
1
2
4
x
x
x
f
на максимум и минимум.
2.
Исследуйте с помощью производной функцию
2
3
x
x
x
f
и постройте ее график.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №30
«Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке»
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
1.
Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Наибольшее и
наименьшее значения функции на отрезке. Решение прикладных
задач».
2.
Закрепить и систематизировать знания по теме.
3.
Определить
уровень
усвоения
знаний,
оценить
результат
деятельности обучающихся.
ОБОРУДОВАНИЕ:
инструкционно-технологические
карты,
таблицы
производных
элементарных функций, микрокалькуляторы.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:
1.
Ответить на контрольные вопросы:
а) Какую точку называют критической точкой функции?
б) Сформулируйте признак возрастания (убывания) функции.
в) Сформулируйте признак максимума (минимума) функции.
г) Опишите схему исследования функции.
2.
С помощью обучающих таблиц повторить планы нахождения
наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке, решения
прикладных экстремальных задач и изучить образцы решенных
примеров.
3.
Выполнить задания для самоконтроля (в таблице).
4.
Изучить условие заданий для практической работы.
5.
Оформить отчет о работе.
86
ОБУЧАЮЩИЕ ТАБЛИЦЫ
1.
Наименьшее и наибольшее значения функции.
Задание.
Найдите наименьшее и наибольшее значения функции
3
2
2
4
x
x
y
на
промежутке
2
0;
.
№
шага
План нахождения
min
y
и
max
y
на
b
;
a
Применение плана
1
Находим производную функции
)
x
(
x
x
x
'
y
1
4
4
4
2
3
2
Находим критические точки функции
0
'
y
,
0
1
4
2
)
x
(
x
,
0
x
или
0
1
2
x
,
1
0
1
;
;
x
- критические точки функции
3
Выбираем критические точки, лежащие
внутри
b
;
a
2
0
1
0
;
;
4
Находим
значения
функции
в
критических точках (внутри данного
отрезка) и на концах отрезка
3
0
)
(
y
4
3
2
1
1
)
(
y
5
3
8
16
2
)
(
y
5
Из
найденных
значений
функции
выбираем наименьшее и наибольшее
4
1
)
(
y
y
min
,
5
2
)
(
y
y
max
Примеры. Применяя указанный выше план, найдите наименьшее и наибольшее
значения функции
)
x
(
f
на промежутке
b
;
a
, если:
1)
3
4
2
2
x
x
)
x
(
f
,
4
0;
; 2)
3
2
3
x
x
)
x
(
f
,
3
1;
; 3)
2
9
3
2
3
x
x
)
x
(
f
,
1
1;
; 4)
x
x
)
x
(
f
4
3
4
3
,
2
0;
; 5)
2
3
3
2
3
x
x
x
)
x
(
f
,
2
2;
;
6)
x
ctg
tgx
)
x
(
f
2
,
3
6
;
; 7)
x
cos
x
x
f
2
,
2
0
;
; 8)
x
ln
x
)
x
(
f
2
2
,
e
;
1
;
9)
16
4
2
x
)
x
(
f
,
3
3;
.
2.
Геометрические задачи на нахождение оптимальных значений величин.
Задание. Из кружка жести радиуса R вырезается сектор и из оставшейся части круга
делается коническая воронка. При какой величине угла вырезаемого сектора
объём воронки будет наибольшим?
№
шага
План решения
Применение плана
87
1
Строим рабочий чертеж
2
Записываем исходную формулу
для вычисления величины,
экстремальное значение которой
требуется найти
H
r
V
к
2
3
1
3
Вводим переменную величину х и
выражаем через неё значения всех
величин исходной формулы
Пусть х – величина центрального угла
оставшегося сектора, тогда
Rx
ABC
и
r
ABC
2
, значит
Rx
r
2
и
2
Rx
r
.
Высота воронки
2
2
2
2
4
2
x
R
r
R
H
4
Подставляя найденные значения
величин в формулу, представляем
её как функцию аргумента х
2
2
2
2
2
4
2
4
3
1
x
R
x
R
V
,
6
2
2
2
3
4
24
x
x
R
V
5
Задаем (по смыслу задачи) область
определения функции
2
0
x
,
)
;
(
)
V
(
D
2
0
6
Функцию аргумента х исследуем
на экстремум на найденном
числовом промежутке
6
4
2
2
2
2
3
3
4
24
3
8
x
x
)
x
(
x
R
)
x
(
'
V
,
0
)
x
(
'
V
,
0
3
8
2
2
x
,
3
2
2
x
,
)
(
V
V
max
3
2
2
7
Записываем ответ
Величина вырезаемого угла равна
0
66
3
2
2
2
ВАРИАНТЫ РАБОТЫ
Вариант 1.
88
1.
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
x
x
x
f
3
3
на отрезке
5
0
5
0
,
;
,
.
2.
Из квадратного листа жести со стороной 12 м надо изготовить бак с квадратным
основанием без крышки наибольшего объема. Найдите размеры бака и его объем.
Вариант 2.
1.
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
9
8
2
4
x
x
x
f
на отрезке
1
1;
.
2.
Какой из прямоугольников с периметром 2p имеет наибольшую площадь?
Вариант 3.
1.
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
3
2
2
4
x
x
x
f
на отрезке
7
0
5
0
,
;
,
.
2.
Разность двух чисел равна 8. Каковы должны быть эти числа. Чтобы произведение
куба первого числа на второе было наименьшим?
Вариант 4.
1.
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
9
8
2
4
x
x
x
f
на отрезке
3
0;
.
2.
Для стоянки машин выделили площадку прямоугольной формы, примыкающую одной
стороной к стене здания. Площадку обнесли с трех сторон металлической сеткой
длиной 200 м. И площадь ее при этом оказалась наибольшей. Каковы размеры
площадки?
Вариант 5.
1.
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
3
2
2
4
x
x
x
f
на отрезке
0
2;
.
2.
Из куска картона 32 см
20 см требуется изготовить открытую сверху коробку
наибольшей вместимости, вырезая по углам квадраты и затем, загибая выступы для
образования боковых сторон коробки. Найдите объем коробки.
Вариант 6.
1.
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
x
x
x
f
3
3
на отрезке
2
5
1 ;
,
.
2.
Требуется сделать коробку, объем которой должен равняться 108 см
3
. Коробка
открыта сверху и имеет квадратное дно. Каковы должны быть ее размеры, чтобы на ее
изготовление пошло наименьшее количество материала?
Вариант 7.
1.
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
9
8
2
4
x
x
x
f
на отрезке
5
3;
.
2.
На странице книги печатный текст должен занимать (вместе с промежутками между
строк)
160 см
2
. Ширина полей на странице слева и справа должна быть равна 2 см, а сверху и
снизу – 5 см. Если принимать во внимание только экономию бумаги, то каковы
должны быть наиболее выгодные размеры страницы?
Вариант 8.
1.
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
3
2
2
4
x
x
x
f
на отрезке
4
0;
.
89
2.
Материальная
точка
совершает
прямолинейное
движение
по
закону
3
2
3
2
2
5
t
t
t
t
s
, где t – время в секундах, s – путь в метрах. В какой момент
времени t
скорость движения точки будет наибольшей и какова величина этой
наибольшей скорости?
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №31
«Вычисление первообразных функций»
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
1.
Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Вычисление
первообразной функции».
2.
Закрепить и систематизировать знания по теме.
3.
Определить уровень усвоения знаний, оценить результат
деятельности обучающихся.
ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты, таблицы первообразных
некоторых функций, микрокалькуляторы.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:
1.
Ответить на контрольные вопросы:
а) Что называется первообразной функции?
б) Сформулируйте основное свойство первообразной.
в) Сформулируйте три правила нахождения первообразных.
2.
Изучить образцы решенных примеров.
3.
Выполнить задания для самоконтроля.
4.
Изучить условие заданий для практической работы.
5.
Оформить отчет о работе.
90
УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ РАБОТЫ
ПРИМЕР 1. Выясните, является ли
1
3
9
2
3
x
cos
x
x
x
F
первообразной для
функции
x
sin
x
x
f
3
3
2
2
на R?
РЕШЕНИЕ. Находим
x
f
x
sin
x
x
sin
x
x
cos
x
x
x
F
3
3
2
1
3
3
9
2
3
9
2
2
2
3
.
Следовательно, по определению
1
3
9
2
3
x
cos
x
x
x
F
является первообразной для
функции
x
sin
x
x
f
3
3
2
2
на R.
ПРИМЕР 2. Для функции
x
cos
x
x
f
2
1
2
найдите первообразную, график которой
проходит через точку
2
1
4
;
M
.
РЕШЕНИЕ. По основному свойству первообразных любая первообразная функции
x
cos
x
x
f
2
1
2
записывается
в
виде
C
tgx
x
C
tgx
x
x
F
4
2
2
.
Координаты
точки
2
1
4
;
M
графика
искомой
первообразной
должны
удовлетворять уравнению:
C
tg
4
4
4
2
1
.
Отсюда находим, что
C
1
2
2
1
,
С = 2.
Следовательно, уравнение искомой первообразной имеет вид:
2
4
tgx
x
x
F
.
ТЕСТ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ.
Выберите правильный вариант ответа.
1.
Функция
5
2
5
0
3
2
x
cos
,
x
x
F
является
первообразной
для
функции:
а)
x
sin
x
x
f
2
6
; б)
x
cos
,
x
x
f
2
5
0
3
3
; в)
x
sin
x
x
f
2
2
9
3
.
2.
Дана функция
x
x
sin
x
g
2
1
2
. Первообразная для функции g(x), график которой
проходит через точку
1
2
4
;
, это:
а)
4
4
ctgx
x
x
G
; б)
2
4
x
ctgx
x
G
; в)
2
4
x
ctgx
x
G
.
91
ВАРИАНТЫ РАБОТЫ
Вариант 1.
1.
Является ли функция
1
3
2
x
x
x
F
первообразной для функции
3
2
x
x
f
на
R?
2.
а) Найдите общий вид первообразных для функции
2
2
3
3
x
x
x
f
.
б) Для функции
x
sin
x
f
2
найдите первообразную, график которой проходит через
точку
2
4
;
M
.
Вариант 2.
1.
Является ли функция
2
5
4
4
x
x
x
F
первообразной для функции
5
3
x
x
f
на R?
2.
а) Найдите общий вид первообразных для функции
x
x
x
f
2
1
3
4
.
б) Для функции
3
5
4
x
x
f
найдите первообразную, график которой проходит
через точку
20
1
1;
M
.
Вариант 3.
1.
Является ли функция
x
x
x
F
2
первообразной для функции
1
2
x
x
f
на R?
2.
а) Найдите общий вид первообразных для функции
3
2
3
7
x
x
x
cos
x
f
.
б) Для функции
x
sin
x
f
3
найдите первообразную, график которой проходит через
точку
0
12
;
M
.
Вариант 4.
1.
Является ли функция
x
sin
x
x
F
2
1
первообразной для функции
x
cos
x
x
f
3
1
на R?
2.
а) Найдите общий вид первообразных для функции
2
1
x
x
x
x
f
.
б) Для функции
1
1
x
x
f
найдите первообразную, график которой проходит
через точку
3
0;
M
.
Вариант 5.
1.
Является ли функция
1
3
x
x
F
первообразной для функции
x
x
x
f
4
4
на R?
2.
а) Найдите общий вид первообразных для функции
2
10
10
1
x
x
x
f
.
92
б) Для функции
x
sin
x
x
f
2
10
найдите первообразную, график которой проходит
через точку
5
0
;
M
.
Вариант 6.
1.
Является ли функция
x
cos
x
x
F
первообразной для функции
x
sin
x
f
1
на
R?
2.
а) Найдите общий вид первообразных для функции
4
7
5
3
x
x
cos
e
x
f
x
.
б) Для функции
3
1
2
1
x
x
f
найдите первообразную, график которой проходит
через точку
2
1;
M
.
Вариант 7.
1.
Является
ли
функция
5
4
3
2
4
3
x
x
x
F
первообразной
для
функции
2
2
3
x
x
x
f
на R?
2.
а) Найдите общий вид первообразных для функции
2
7
2
7
x
x
x
f
x
.
б) Для функции
x
sin
x
f
2
6
найдите первообразную, график которой проходит
через точку
3
4
;
M
.
Вариант 8.
1.
Является ли функция
2
2
1
x
x
x
F
первообразной для функции
0
1
1
3
x
,
x
x
f
?
2.
а) Найдите общий вид первообразных для функции
3
1
2
2
x
x
sin
x
f
x
.
б) Для функции
2
1
2
x
cos
x
f
найдите первообразную, график которой проходит
через точку
2
2
;
M
.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №32
«Вычисление площадей»
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
1.
Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Применение
определенного интеграла для вычисления площадей».
2.
Закрепить и систематизировать знания по теме.
3.
Определить уровень усвоения знаний, оценить результат
деятельности обучающихся.
93
ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты, таблицы первообразных
некоторых функций, микрокалькуляторы.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:
1.
Ответить на контрольные вопросы:
а) Какую фигуру называют криволинейной трапецией?
Приведите примеры криволинейных трапеций.
б) Запишите формулу для вычисления площади криволинейной
трапеции.
в) Покажите на рисунках и запишите интегральные формулы, с
помощью
которых
можно
вычислить
площади
фигур,
не
являющихся криволинейными трапециями.
г) Запишите и с помощью иллюстрации прокомментируйте
интегральную формулу для вычисления объемов тел.
2.
С помощью обучающей таблицы повторить план вычисления
площади
криволинейной
трапеции
и
изучить
образцы
решенных задач.
3.
Выполнить задания для самоконтроля (в таблице).
4.
Изучить условие заданий для практической работы.
5.
Оформить отчет о работе.
ОБУЧАЮЩАЯ ТАБЛИЦА
Определение. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком
непрерывной и не меняющей на отрезке
b
;
a
знака функции
)
x
(
f
, прямыми
b
x
,
a
x
и отрезком
b
;
a
. Площадь S криволинейной трапеции находится по формуле
)
a
(
F
)
b
(
F
dx
)
x
(
f
S
b
a
. (*)
№
План вычисления
площади
Применение
плана
шаг
а
криволинейной трапеции
а)
9
2
x
,
y
,
x
y
б)
0
2
2
y
,
x
y
,
x
y
94
1
Строим заданные линии и
штриховкой
отмечаем
фигуру, площадь которой
надо найти. Установим,
является ли эта фигура
криволинейной трапецией
2
Записываем формулу для
вычисления
площади
искомой фигуры
ABDE
ABCDE
S
S
S
b
a
b
a
dx
dx
x
2
ACB
OAC
S
S
S
a
b
a
dx
)
x
(
dx
x
0
2
2
3
Находим
пределы
интегрирования
;
y
,
x
y
2
4
2
x
x
,
9
4
B
A
x
b
,
x
a
;
x
y
,
x
y
2
2
1
2
0
2
2
;
x
x
x
4
Вычисляем
искомую
площадь по формуле (*)
9
4
2
3
9
4
9
4
3
2
2
x
dx
dx
x
S
)
(
)
(
x
4
9
2
8
27
3
2
2
9
4
3
8
,
3
2
2
S
(кв.ед.)
2
1
1
0
2
2
dx
)
x
(
dx
x
S
3
1
2
2
3
2
1
2
1
0
3
x
x
x
6
5
2
1
2
2
4
4
,
6
5
S
(кв.ед.)
Задание. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а)
9
2
x
,
y
,
x
y
; б)
0
2
2
y
,
x
y
,
x
y
.
Примеры. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
1)
2
0
2
x
,
y
,
x
y
; 2)
1
2
y
,
x
y
; 3)
0
1
2
y
,
x
y
; 4)
2
1
2
y
,
x
y
;
5)
1
0
0
x
,
x
,
y
,
e
y
x
; 6)
x
y
,
x
y
3
; 7)
4
3
2
2
y
,
x
x
y
; 8)
2
1
3
x
,
y
,
x
y
;
9)
x
y
,
x
y
6
5
.
ВАРИАНТЫ РАБОТЫ
95
Вариант 1.
1.
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
1
4
3
2
x
y
,
x
x
y
.
2.
Выберите правильный вариант ответа.
Площадь фигуры, изображенной на
рисунке, вычисляется по формуле:
а)
2
2
2
2
2 dx
x
S
;
б)
1
1
2
2
2 dx
x
S
;
в)
1
2
2
2
2 dx
x
S
.
Вариант 2.
1.
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
x
y
,
x
x
,
y
7
3
2
5
0
2
.
2.
Выберите правильный вариант ответа.
Площадь фигуры, изображенной на
рисунке, вычисляется по формуле:
а)
1
2
2
3
4 dx
x
S
;
б)
2
2
2
3
4 dx
x
S
;
в)
1
2
2
3
4
dx
x
S
.
Вариант 3.
1.
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
2
2
4
2
x
y
,
x
y
.
2.
Выберите правильный вариант ответа. Площадь фигуры, ограниченной линиями
0
0
2
1
x
,
y
,
y
,
x
y
, равна:
а)
3
2
4
; б) 4; в)
3
1
3
.
Вариант 4.
1.
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
2
2
4
2
2
2
x
x
y
,
x
x
y
.
2.
Выберите правильный вариант ответа. Площадь фигуры, ограниченной линиями
2
0
2
1
x
,
y
,
y
,
x
y
, равна:
а)
3
1
4
; б)
3
2
3
; в)
3
2
4
.
Вариант 5.
1.
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
1
3
4
2
2
x
,
y
,
x
x
y
.
96
2.
Выберите правильный вариант ответа. Площадь фигуры, ограниченной линиями
0
0
0
2
a
a
x
,
x
,
y
,
e
y
x
, равна
2
1
e
, если, а равно:
а)
2
e
; б) 0,5; в)
e
2
1
.
Вариант 6.
1.
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
x
y
,
x
x
y
4
4
2
.
2.
Выберите правильный вариант ответа. Площадь фигуры, ограниченной линиями
0
0
0
2
5
0
b
b
x
,
x
,
y
,
e
y
x
,
, равна
4
4
2
e
, если b равно:
а)
e
2
; б) 4; в)
e
4
.
Вариант 7.
1.
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
x
y
,
x
x
y
2
6
6
2
.
2.
Выберите правильный вариант ответа. Площадь фигуры, ограниченной линиями
2
2
x
y
,
x
y
, равна:
а)
6
5
2
; б)
3
2
1
; в)
3
1
2
.
Вариант 8.
1.
Вычислите
площадь
фигуры,
ограниченной
линиями:
3
1
1
6
4
2
x
,
x
,
y
,
x
x
y
.
2.
Выберите правильный вариант ответа. Площадь фигуры, ограниченной линиями
2
2
2
x
y
,
x
y
, равна: а)
4
3
; б)
3
1
; в)
6
1
.
97
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №33
«Площадь поверхности и объём призмы, параллелепипеда»
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
1.
Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Призма».
2.
Закрепить и систематизировать знания по теме.
3.
Определить уровень усвоения знаний, оценить результат
деятельности обучающихся.
ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты, таблицы значений
тригонометрических функций, микрокалькуляторы, модели призм.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:
1.
Ответить на контрольные вопросы:
а) Что такое многогранник? Что такое грань многогранника,
ребро, вершина?
б) Что такое призма (основания призмы, боковые грани,
ребра)?
в) Перечислите свойства оснований, боковых ребер, боковых
граней произвольной призмы.
г) Что такое высота призмы? Что такое диагональ призмы?
д) Какая призма называется прямой? Перечислите ее свойства.
98
е) Какая призма называется правильной? Перечислите ее
свойства.
2.
Изучить материал справочной таблицы «Правильные призмы».
3.
Выполнить задания теста и обучающей самостоятельной
работы.
4.
Изучить условие заданий для практической работы.
5.
Оформить отчет о работе (при выполнении работы пользуйтесь
материалами справочной таблицы).
Правильные призмы
Правильная треугольная призма.
Основание – правильный (равносторонний) треугольник
Прямоугольник MCC
1
M
1
– медианное сечение
H
AA
1
- высота призмы,
a
AB
- сторона основания,
CM
- высота основания
0
0
30
60
BCM
ACM
A
4
3
2
a
S
осн
2
3
a
CM
aH
S
бок
3
2
3
3
2
a
aH
S
полн
H
S
V
осн
Правильная четырёхугольная призма.
Основание – правильный
четырёхугольник (квадрат)
Прямоугольник ACC
1
A
1
– диагональное сечение
H
AA
1
- высота призмы,
a
AB
- сторона
основания,
AC
1
– диагональ призмы, AB
1
– диагональ
боковой грани
AC – диагональ основания
- угол между диагональю призмы и основанием
-
угол между диагональю призмы и боковой гранью
-
угол между диагональю боковой
грани и основанием
sin
a
sin
H
cos
a
H
a
AC
2
2
2
2
1
tg
H
a
AC
2
cos
a
H
a
AB
2
2
1
2
2
2
4
4
a
aH
S
aH
S
a
S
полн
бок
осн
Правильная шестиугольная призма.
99
Основание – правильный шестиугольник
Прямоугольники BEE
1
B
1
и BDD
1
B
1
– диагональные
сечения
H
AA
1
- высота призмы,
a
AB
- сторона
основания,
BE
1
– большая диагональ призмы
BD
1
– меньшая диагональ боковой грани
BE – большая диагональ основания, BD –
меньшая диагональ основания
- угол между большей диагональю призмы и основанием
-
угол между меньшей диагональю призмы и основанием
a
BE
2
3
a
BD
sin
H
cos
a
H
a
BE
2
4
2
2
1
sin
H
cos
a
H
a
BD
3
3
2
2
1
2
3
3
2
a
S
осн
aH
S
бок
6
3
3
6
2
a
aH
S
полн
ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ
1.
Сторона основания правильной шестиугольной призмы равна 6 см, а большая
диагональ призмы образует с основанием угол, равный 30
0
. Площадь полной
поверхности призмы равна: а)
3
252
см
2
; б)
288
см
2
; в)
2
272
см
2
; г)
272
см
2
.
2.
1
1
1
C
B
ABCA
- правильная треугольная призма, сторона основания которой равна 4 см,
боковое ребро равно 3 см, точки E и F – середины ребер
1
1
C
A
и
1
1
C
B
. Площадь
сечения призмы плоскостью, проходящей через точки С, E и F, равно:
а)
2
3
см
2
; б)
3
см
2
; в)
4
см
2
; г)
3
2
см
2
.
ОБУЧАЮЩАЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
«Объем призмы»
Задача 1. В правильной треугольной призме
сторона основания равна 6 см, а боковое
ребро – 5 см. Найдите объем призмы.
РЕШЕНИЕ.
1.
Запишите формулу объема правильной
призмы.
2.
Вычислите площадь основания по
формуле
4
3
2
a
S
.
3.
Найдите объем призмы. О т в е т:
3
45
см
3
.
Задача 2. Найдите объем прямой призмы
с боковым ребром 13 см, в основании
которой лежит прямоугольник с диагона-
лями длиной 2 см и углами между ними 30
0
.
РЕШЕНИЕ.
100
1.
Запишите формулу объема прямой призмы.
2.
Вычислите площадь основания по формуле
cm
d
d
,
sin
d
d
S
2
2
1
2
1
2
1
.
3.
Найдите объем призмы.
О т в е т: 13 см
3
.
Задача 3. Основанием наклонной призмы
является прямоугольный треугольник с
гипотенузой 12 см, острым углом 30
0
.
Боковое ребро равно 10 см и составляет
с плоскостью основания угол в 60
0
.
Найдите объем призмы.
РЕШЕНИЕ.
1.
ABC
A
A
;
H
S
V
o
n
2
1
.
В треугольнике
0
2
2
1
90
A
A
AA
;
3
5
2
3
10
60
0
1
2
1
sin
AA
A
A
H
.
2.
3
18
2
3
6
6
2
BC
AC
S
o
;
3
6
30
12
6
30
12
0
0
cos
BC
;
sin
AC
.
3.
...
V
n
3
5
3
18
О т в е т: …
ВАРИАНТЫ РАБОТЫ
Вариант 1.
Площадь основания правильной четырехугольной призмы равна 625 см
2
. Высота призмы
равна
2
14
см. Вычислите площадь ее диагонального сечения.
Вариант 2.
Диагональ основания правильной четырехугольной призмы равна 16 см, а диагональ ее
боковой грани – 14 см. Вычислите длину: а) высоты призмы; б) диагонали призмы.
Вариант 3.
Сумма длин всех ребер правильной треугольной призмы равна 90 см. Длины ребер,
имеющих общую точку, пропорциональны числам 3, 4, 3. Вычислите: а) площадь боковой
грани призмы; б) длину диагонали боковой грани призмы.
Вариант 4.
Диагональ боковой грани правильной треугольной призмы равна 6 дм и наклонена к
плоскости основания под углом 30
0
. Вычислите площадь: а) основания призмы; б)
боковой грани призмы.
Вариант 5.
Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник, катеты которого равны 7 см и
24 см. Угол между диагональю большей боковой грани и плоскостью основания призмы
равен 45
0
. Вычислите: а) длину высоты призмы; б) площадь меньшей боковой грани
призмы.
Вариант 6.
101
Основание прямой призмы
1
1
1
C
B
ABCA
- равнобедренный треугольник (АВ = АС = 7 см).
Высота призмы равна 6 см. Диагональ боковой грани ВС
1
1
B
C
равна 15 см. Вычислите: а)
площадь основания призмы; б) длину диагонали грани
1
1
A
ABB
.
Вариант 7.
Основание прямой призмы – ромб со стороной 8 см и острым углом 60
0
. Высота призмы
равна 12 см. Вычислите: а) длины диагоналей призмы; б) площади диагональных
сечений.
Вариант 8.
Основание прямой призмы – ромб. Диагонали призмы равны 8 см и 5 см. высота ее – 2 см.
Вычислите: а) длину стороны основания; б) площадь основания призмы.
Вариант 9.
Основание наклонной призмы
1
1
1
C
B
ABCA
- правильный треугольник, сторона которого
равна 24 см. Вершина
1
A
проектируется в центр треугольнике АВС. Угол между боковым
ребром призмы и плоскостью ее основания равен 45
0
. Вычислите: а) длину бокового
ребра призмы; б) расстояние между основаниями призмы.
Вариант 10.
Диагональ правильной четырехугольной призмы равна а. Угол между этой диагональю и
плоскостью основания вдвое больше, чем угол между нею и боковым ребром. Вычислите
площадь боковой поверхности призмы.
Вариант 11.
Высота правильной треугольной призмы равна 16 см. Диагональ боковой грани наклонена
к плоскости основания под углом 45
0
. Вычислите площадь полной поверхности призмы.
Вариант 12.
Высота правильной треугольной призмы
1
1
1
C
B
ABCA
равна 20 см. Угол между
плоскостями основания и сечения, проведенного через ребро ВС и вершину
1
A
, равен 45
0
. Вычислите площадь полной поверхности призмы.
Вариант 13.
Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы равна сумме площадей ее
оснований. Вычислите длину бокового ребра призмы, если сторона ее основания равна 6
см.
Вариант 14.
Основание прямой призмы – прямоугольная трапеция, основания и высота которой равны
соответственно 9 см, 14 см и 12 см. Боковое ребро призмы равно 20 см. Вычислите
площадь:
а) большей боковой грани; б) полной поверхности призмы.
Вариант 15.
Основание прямой призмы – треугольник, стороны которого равны 10 см, 10 см и 12 см.
Высота призмы равна высоте этого треугольника. Вычислите площадь: а) основания
призмы; б) боковой поверхности призмы.
Вариант 16.
Диагональное сечение правильной четырехугольной призмы – квадрат, площадь которого
равна 144 см
2
. Вычислите объем призмы.
Вариант 17.
102
Основанием призмы является треугольник со сторонами 5 см, 5 см и 8 см. Меньшая
диагональ боковых граней наклонена к основанию под углом 45
0
. Вычислите объем
призмы.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №34
«Площадь поверхности и объем пирамиды»
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
1.
Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Пирамида».
2.
Закрепить и систематизировать знания по теме.
3.
Определить уровень усвоения знаний, оценить результат
деятельности уч-ся.
ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты, таблицы значений
тригонометрических функций, микрокалькуляторы, модели пирамид.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:
1.
Выполнить графический тест.
2.
Пройти входной контроль знаний.
3.
Изучить справочные таблицы «Правильные пирамиды» и
«Правильные усеченные пирамиды».
4.
Выполнить устные задания.
5.
Изучить условие заданий для практической работы.
6.
Оформить отчет о работе.
103
ПРАВИЛЬНЫЕ ПИРАМИДЫ
Правильная треугольная пирамида SABC
Основание – правильный
(равносторонний) треугольник
H= SO
(ABC)
– высота пирамиды, O – центр треугольника
l=SN
BC – апофема (высота боковой грани)
R=OA=OC – радиус описанной окружности
r=OM=ON –
радиус вписанной окружности (AM=MB=
2
a
)
- угол между боковой гранью и
плоскостью основания
- угол между боковым ребром и
плоскостью основания
2
2
2
l
r
H
AS=BS=CS=
2
2
R
H
CM=AN=
2
3
a
tg
H
a
R
3
cos
l
tg
H
a
r
3
2
4
3
2
a
S
осн
al
,
S
бок
5
1
осн
бок
полн
S
S
S
H
S
V
осн
3
1
Правильная четырёхугольная пирамида SABCD
Основание – правильный
четырёхугольник (квадрат)
H= SO
(ABC) – высота пирамиды, O –
центр квадрата
l=SM
AB – апофема (высота боковой
грани)
R=OA=OB=OC=OD – радиус
описанной окружности
r=OM – радиус вписанной окружности
(AM=MB)
- угол между боковой гранью и
плоскостью основания
- угол между боковым ребром и
плоскостью основания
tg
H
a
R
2
tg
H
cos
l
H
l
a
r
2
2
2
104
AS=BS=CS=DS=
2
2
R
H
2
a
S
осн
al
S
бок
2
осн
бок
полн
S
S
S
H
a
V
2
3
1
Правильные усечённые пирамиды
Правильная усечённая треугольная пирамида
Основания – правильные
(равносторонние) треугольники
H= О
н
O
в
(ABC) – высота пирамиды, O –
центры оснований
l=MM
1
BC – апофема (высота боковой грани)
R
н
=O
н
A – радиус опис.окр-ти нижнего основания
r
н
=O
н
M=O
н
N – радиус впис.окр-ти
нижнего основания
R
в
=O
в
A
1
=... – радиус опис.окр-ти
верхнего основания
r
в
=O
в
M
1
=O
в
N
1
– радиус впис.окр-ти
верхнего основания
- угол между боковой гранью и нижним основанием
- угол между боковым ребром и нижним основанием
О
н
О
в
С
1
С, О
н
О
в
М
1
М – прямоугольные трапеции
Правильная усечённая четырёхугольная пирамида
Основания – правильные
четырёхугольники (квадраты)
H= О
н
O
в
(ABC) – высота пирамиды, O –
центры оснований
l=MM
1
BC – апофема (высота боковой грани)
R
н
=O
н
A – радиус опис.окр-ти нижнего основания
r
н
=O
н
M=O
н
N – радиус впис.окр-ти
нижнего основания
R
в
=O
в
A
1
=... – радиус опис.окр-ти верхнего основания
r
в
=O
в
M
1
=O
в
N
1
– радиус впис.окр-ти верхнего основания
- угол между боковой гранью и нижним основанием
- угол между боковым ребром и нижним основанием
О
н
О
в
В
1
В, О
н
О
в
М
1
М – прямоугольные трапеции
105
ГРАФИЧЕСКИЙ ТЕСТ
1.
Сделайте рисунок четырехугольной пирамиды, обозначьте ее и запишите: вершину,
боковые ребра, основание, боковые грани.
2.
Закончите предложение:
а) высотой пирамиды называется …;
б) пирамида называется правильной, если …;
в) усеченная пирамида – нижний многогранник, отсекаемый от пирамиды плоскостью,
параллельной …;
г) апофемой правильной пирамиды называется …;
д) диагональное сечение пирамиды – сечение плоскостью, проходящей через …
КОНТРОЛЬ ЗНАНИЙ
1.
Выразите радиус описанной около основания окружности через сторону основания
правильной: а) треугольной пирамиды, R = …; б) четырехугольной пирамиды, R = …;
в) шестиугольной пирамиды, R = …
2.
Выразите радиус вписанной в основание окружности через сторону основания
правильной:
а) четырехугольной пирамиды, r = …; б) треугольной пирамиды, r = …; в)
шестиугольной пирамиды, r = …
3.
Если в пирамиде все боковые ребра равны или составляют с плоскостью основания
равные углы, то вершина пирамиды …
4.
Если в пирамиде вершина равноудалена от сторон основания или двугранные углы
при основании равны, то вершина пирамиды …
УСТНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ «ПИРАМИДА»
1.
Проекцией тела в горизонтальной плоскости является квадрат с диагоналями, а в
вертикальной – треугольник. Определите вид тела.
2.
Пирамида имеет 10 многогранных углов. Сколько она имеет ребер?
3.
В правильной n-угольной пирамиде все ребра равны. При каких значениях n это
возможно?
4.
У правильной треугольной пирамиды все ребра равны по 4 см. Вычислите площадь
поверхности пирамиды.
5.
Существует ли пирамида, у которой 18 плоских углов?
6.
Какие
фигуры
получатся
при
построении
диагонального
сечения
усеченной
пирамиды?
7.
Высота усеченной пирамиды равна 6 см, а соответственные стороны оснований
относятся, как 1 : 3. Вычислите высоту полной пирамиды.
8.
У пирамиды 10 ребер. Сколько у нее граней?
9.
В пирамиде через середину высоты проведено сечение, параллельное основанию.
Площадь сечения равна 8 см
2
. Вычислите площадь основания пирамиды.
10. В основании пирамиды – прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см, а каждое боковое
ребро равно 13 см. Вычислите высоту пирамиды.
11. Боковые грани пирамиды наклонены к основанию под углом 60
0
. В основании
пирамиды – квадрат со стороною а. Вычислите площадь боковой поверхности
пирамиды.
106
12. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 3 дм, а боковое ребро – 5 дм.
Вычислите объем пирамиды.
ВАРИАНТЫ РАБОТЫ
Вариант 1.
Высота правильной треугольной пирамиды равна 6 см. Радиус окружности, описанной
около ее основания, равен
3
4
см. Вычислите: а) длину бокового ребра пирамиды; б)
площадь полной поверхности пирамиды.
Вариант 2.
Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 8 см, а сторона ее основания – 12
см. Вычислите: а) длину бокового ребра пирамиды; б) площадь полной поверхности
пирамиды.
Вариант 3.
Основанием пирамиды является ромб, большая диагональ которого равна 2d, а острый
угол -
. Угол между плоскостями основания и каждой боковой гранью равен
.
Вычислите объем пирамиды.
Вариант 4.
Основанием пирамиды МАВС с равными боковыми ребрами является прямоугольный
треугольник. Его гипотенуза АВ = с,
ABC
. Угол между плоскостями основания и
грани МАС равен
. Вычислите объем пирамиды.
Вариант 5.
Основанием пирамиды DABC является треугольник АВС, у которого АВ = АС = 13 см, ВС
= 10 см, ребро AD перпендикулярно к плоскости основания и равно 9 см. Найдите
площадь боковой поверхности пирамиды.
Вариант 6.
Основанием пирамиды DABC является треугольник АВС, у которого гипотенуза АВ = 29
см, катет АС = 21 см. Ребро AD перпендикулярно к плоскости основания и равно 20 см.
Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Вариант 7.
Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами а и b. Каждое ее
боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом
. Найдите объем пирамиды.
Вариант 8.
Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник АВС, в котором АВ = ВС =
13 см,
АС
= 10 см. Каждое боковое ребро пирамиды образует с ее высотой угол в 30
0
.
Вычислите объем пирамиды.
107
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №35
«Площадь поверхности и объем цилиндра»
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
1.
Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Цилиндр».
2.
Закрепить и систематизировать знания по теме.
3.
Определить уровень усвоения знаний, оценить результат
деятельности обучающихся.
ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты, таблицы значений
тригонометрических функций, микрокалькуляторы.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:
1.
Ответить на контрольные вопросы:
а) Объясните, что такое прямой круговой цилиндр, образующая
цилиндра, основания цилиндра, боковая поверхность цилиндра?
108
б) Что такое радиус цилиндра, высота цилиндра, ось цилиндра,
осевое сечение цилиндра?
в) Чем является сечение цилиндра плоскостью, параллельной
его основанию? Параллельной его оси?
2.
Изучить материалы справочной таблицы.
3.
Выполнить устные задания и проверить свои ответы.
4.
Изучить условие заданий для практической работы.
5.
Оформить отчет о работе.
Цилиндр
O
н
A=R – радиус основания цилиндра, АВ=L – образующая, O
в
О
н
– высота цилиндра
ABCD – осевое сечение цилиндра (прямоугольник)
MNFK – сечение цилиндра, параллельное оси (прямоугольник)
O
в
P=d – расстояние от оси до плоскости сечения
AC – диагональ осевого сечения
ACB=
- угол между диагональю и основанием
сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной оси – круг
2
R
S
осн
– площадь основания
R
C
2
– длина окружности
tg
R
sin
AC
L
H
2
2
2
2
4
AC
L
R
RH
S
бок
2
– площадь боковой поверхности
2
2
d
R
PF
NBF
F
NO
в
H
R
V
2
Устные задания
1.
Площадь круга равна
25
см
2
. Вычислите диаметр круга.
2.
Как изменится длина окружности, если радиус удлинить на 5 см?
3.
Сколько осей симметрии у цилиндра?
4.
Высота цилиндра равна 10 см, а радиус его основания – 5 см. Плоскость пересекает
цилиндр параллельно его оси и удалена от нее на 4 см. Вычислите площадь сечения.
5.
В цилиндрическую банку диаметром 10 см опустили в жидкость деталь. Вычислите
объем детали, если высота жидкости в банке поднялась на 4 см.
6.
Радиус цилиндра увеличили в два раза, а высоту уменьшили в два раза. Как изменился
объем цилиндра?
7.
Площадь осевого сечения цилиндра равна S. Вычислите площадь боковой поверхности
цилиндра.
8.
Высота равностороннего цилиндра (высота равна диаметру основания) равна 10 см.
Вычислите его объем.
9.
Радиус основания и высота цилиндра равны по 4 см. Вычислите его объем.
10. Высота равностороннего цилиндра равна 6 см. Вычислите площадь боковой
поверхности цилиндра.
11. Диаметр цилиндра равен 6 см, а высота – 10 см. Вычислите площадь его боковой
поверхности.
12. Во сколько раз боковая поверхность цилиндра больше площади осевого сечения?
109
13. Боковая поверхность равностороннего цилиндра равна 20 см
2
. Вычислите площадь
его основания.
ВАРИАНТЫ РАБОТЫ.
Вариант 1
Прямоугольник, диагональ которого равна 25 см, а одна сторона 20 см, вращается вокруг
меньшей стороны. Вычислите: а) длину высоты полученного цилиндра; б) площадь
основания цилиндра.
Вариант 2
Стороны прямоугольника равны 2 дм и 4 дм. Вычислите отношение полных поверхностей
цилиндров, полученных при вращении прямоугольника вокруг его сторон.
Вариант 3
Диагональ осевого сечения цилиндра 12 см, она наклонена к плоскости основания под
углом 45
0
. Вычислите объем цилиндра.
Вариант 4
Диагональ прямоугольника равна 18 см, она составляет с его стороной угол 30
0
.
Прямоугольник вращается вокруг большей стороны. Вычислите: а) длину высоты
полученного цилиндра;
б) площадь основания цилиндра; в) площадь осевого сечения цилиндра.
Вариант 5
Площадь боковой поверхности цилиндра
100
см
2
. Вычислите площадь его осевого
сечения.
Вариант 6
Высота и диаметр основания одного цилиндра равны соответственно 8 м и 6 м. Высота и
диаметр другого цилиндра – 4 м и 3 м. Вычислите отношение объемов этих цилиндров.
Вариант 7
Осевое сечение цилиндра – квадрат, площадь которого 36 дм
2
. Вычислите: а) длину
образующей цилиндра; б) площадь основания цилиндра.
Вариант 8
Основание и высота развертки боковой поверхности цилиндра равны соответственно 20
см и 15 см. Вычислите площадь полной поверхности цилиндра.
Вариант 9
Прямоугольник, стороны которого 15 см и 5 см, вращается сначала вокруг большей
стороны, а затем вокруг меньшей. Вычислите отношение объемов полученных цилиндров.
Вариант 10
Стороны прямоугольника, который является разверткой боковой поверхности цилиндра,
равны 24
см и 16 см (высота цилиндра). Вычислите: а) длину радиуса основания
цилиндра; б) длину диагонали осевого сечения цилиндра; в) площадь полной поверхности
цилиндра.
Вариант 11
Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 12 см. Вычислите: а) длину
образующей цилиндра; б) площадь основания цилиндра.
110
Вариант 12
Квадрат со стороной 32 см является разверткой боковой поверхности цилиндра.
Вычислите площадь: а) боковой поверхности цилиндра; б) полной поверхности цилиндра.
Вариант 13
В цилиндрический сосуд, диаметр основания которого равен 20 см, опущено тело
сложной конфигурации. Вычислите объем этого тела, если уровень воды, находившейся в
цилиндре, поднялся на 8 см.
Вариант
14
Диагональ осевого сечения цилиндра равна d. Угол между этой диагональю и плоскостью
основания цилиндра
. Найдите: а) высоту цилиндра; б) радиус основания цилиндра.
Вариант 15
Разверткой боковой поверхности цилиндра является квадрат, диагональ которого 6 см.
Вычислите площадь поверхности цилиндра.
Вариант
16
Длина окружности основания цилиндра равна 24
см. Наибольшее расстояние между
точками верхнего и нижнего оснований цилиндра 30 см. Вычислите объем цилиндра.
Вариант 17
Высота цилиндра на 2 см больше радиуса его основания. Площадь осевого сечения
цилиндра
96 см
2
. Вычислите длину: а) радиуса основания цилиндра; б) высоты цилиндра.
Вариант 18
Диагональ прямоугольника 24 см. Она образует с основанием угол 60
0
. Вычислите
площадь полной поверхности цилиндра, образованного при вращении прямоугольника
вокруг меньшей стороны.
Вариант 19
Площадь основания цилиндра 64
см
2
. Площадь его осевого сечения 240 см
2
.
Вычислите объем цилиндра.
Вариант 20
Образующая цилиндра в 3 раза больше диаметра его основания. Площадь осевого сечения
цилиндра 300 см
2
. Вычислите: а) длину образующей цилиндра; б) площадь основания
цилиндра.
Вариант 21
Площадь полной поверхности цилиндра 500
см
2
. Диаметр его основания 20 см.
Вычислите объем цилиндра.
111
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №36
«Площадь поверхности и объем конуса»
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
1.
Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Конус».
2.
Закрепить и систематизировать знания по теме.
3.
Определить уровень усвоения знаний, оценить результат
деятельности обучающихся.
112
ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты, таблицы значений
тригонометрических функций, микрокалькуляторы.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:
1.
Ответить на контрольные вопросы:
а) Объясните, что такое прямой круговой конус, вершина конуса,
образующая конуса, основание конуса, боковая поверхность
конуса?
б) Что такое высота конуса, ось конуса, осевое сечение конуса?
в) Чем является сечение конуса плоскостью, параллельной его
основанию?
г) Что такое усеченный конус?
2.
Изучить материалы справочной таблицы.
3.
Выполнить устные задания и проверить свои ответы.
4.
Изучить условие заданий для практической работы.
5.
Оформить отчет о работе.
Конус
R
AO
–
радиус основания конуса,
H
SO
– высота конуса
L
AS
– образующая конуса
ASB
–
осевое сечение конуса (равнобедренный треугольник)
ASB
– угол при вершине осевого сечения
SAB
–
угол между образующей и плоскостью основания
сечение конуса плоскостью, перпендикулярной оси– круг
2
2
2
R
H
L
2
cos
L
sin
L
H
2
sin
L
cos
L
R
RL
S
бок
2
R
S
осн
R
L
R
S
.
полн
H
R
V
2
3
1
Устные задания по теме «Конус»
1.
Вписанный угол опирается на диаметр. Вычислите его величину.
2.
В окружность вписан прямоугольный треугольник с катетами 12 см и 5 см. Вычислите
длину окружности.
3.
Образующая конуса равна 10 см, а диаметр основания – 12 см. Вычислите площадь
осевого сечения конуса.
113
4.
Образующая конуса равна 12 см и наклонена к основанию под углом 30
0
. Вычислите
высоту конуса.
5.
Радиус основания конуса равен 6 см, а высота – 8 см. Вычислите его образующую.
6.
Осевое сечение конуса есть равносторонний треугольник со стороной а. Вычислите
боковую поверхность конуса.
7.
Образующая конуса равна 7 см, а высота – 6 см. Вычислите объем конуса.
8.
Равнобедренный треугольник с основанием 8 см и боковыми сторонами по 5 см
вращается вокруг высоты, проведенной к основанию. Вычислите объем тела
вращения.
9.
Проекцией тела в вертикальной плоскости является треугольник, а в горизонтальной –
квадрат с диагоналями. Определите вид тела.
10. Проекцией тела в горизонтальной плоскости является круг, а в вертикальной –
равнобедренный треугольник. Определите форму тела.
11. Прямоугольный треугольник с катетами 12 см и 5 см вращается вокруг большей
стороны. Вычислите боковую поверхность тела вращения.
12. Через середину высоты конуса и перпендикулярно ей построено сечение плоскостью.
Площадь сечения равна 8 см
2
. Вычислите площадь основания конуса.
13. Диаметр основания конуса равен 6 см, а угол при вершине осевого сечения – прямой.
Вычислите объем конуса.
14. В осевом сечении конуса – равносторонний треугольник со стороной а. Вычислите
боковую поверхность конуса.
ВАРИАНТЫ РАБОТЫ
Вариант 1.
Диаметр основания конуса 16 см, длина его высоты 8 см. Вычислите: а) длину
образующей;
б) угол наклона образующей конуса к плоскости его основания.
Вариант 2.
Угол между образующей и плоскостью основания конуса
0
60
. Радиус его основания 3 м.
Вычислите площадь боковой поверхности конуса.
Вариант 3.
Радиус основания конуса 6 дм. Угол между образующей и высотой конуса 30
0
.
Вычислите объем конуса.
Вариант 4.
Длина образующей конуса равна 4 дм, она наклонена к плоскости основания под углом 30
0
. Вычислите длину: а) радиуса основания конуса; б) высоты конуса.
Вариант 5.
Высота конуса 16 дм, его образующая 20 дм. Вычислите площадь поверхности конуса.
Вариант 6.
Площади полной поверхности и основания конуса равны
24
см
2
и
9
см
2
. Вычислите
объем конуса.
Вариант 7.
Длина образующей конуса равна а. Угол при вершине его осевого сечения
2
. Найдите
площадь основания конуса.
Вариант 8.
Радиус основания конуса 6 см. Высота конуса 8 см. Вычислите площадь: а) боковой
поверхности конуса; б) полной поверхности конуса.
114
Вариант 9.
Стороны осевого сечения конуса 40 см, 40 см и 24 см. Вычислите объем конуса.
Вариант 10.
Длина образующей конуса равна 10 см, диаметр его основания
3
5
см. Вычислите
наибольший угол между образующими конуса.
Вариант 11.
Длина высоты конуса 8 см. Угол при вершине его осевого сечения 90
0
. Вычислите
площадь:
а) боковой поверхности конуса; б) полной поверхности конуса.
Вариант 12.
Угол при вершине осевого сечения конуса 120
0
. Образующая его 16 см. Вычислите
объем конуса.
Вариант 13.
Радиус основания конуса 9 дм, площадь его осевого сечения 360 дм
2
. Вычислите длину
образующей конуса.
Вариант 14.
Площадь осевого сечения конуса 420 см
2
. Радиус его основания 20 см. Вычислите
площадь боковой поверхности конуса.
Вариант 15.
Вычислите объем конуса, радиус основания которого 24 дм, а площадь его осевого
сечения
168 дм
2
.
Вариант 16.
Образующая конуса 17 см, его высота 15 см. Через середину высоты проведена плоскость,
параллельная плоскости его основания. Вычислите площадь полученного сечения.
Вариант 17.
Угол между образующей конуса и плоскостью его основания 30
0
. Расстояние от центра
основания до образующей 6 см. Вычислите площадь боковой поверхности конуса.
Вариант 18.
Площадь сечения конуса плоскостью, параллельной основанию и делящей высоту
пополам, равна 144 см
2
. Образующая конуса равна диаметру его основания. Вычислите
длину высоты конуса.
Вариант 19.
Угол между образующей конуса и плоскостью его основания 30
0
. Расстояние от центра
основания до образующей 6 см. Вычислите площадь боковой поверхности конуса.
Вариант 20.
Образующая конуса 4 дм. Центральный угол развертки его боковой поверхности 90
0
.
Вычислите объем конуса.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №37
«Объем шара. Площадь сферы»
115
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
1.
Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Сфера,
шар».
2.
Закрепить и систематизировать знания по теме.
3.
Определить уровень усвоения знаний, оценить результат
деятельности обучающихся.
ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты, таблицы значений
тригонометрических функций, микрокалькуляторы.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:
1.
Ответить на контрольные вопросы:
а) Что такое шар (сфера)?
б) Что такое радиус шара, диаметр шара? Какие точки шара
называются диаметрально противоположными?
в) Чем является сечение шара плоскостью? Что такое большой
круг?
г) Какая плоскость называется касательной к шару? Какая
прямая называется касательной к шару?
2.
Изучить данные справочной таблицы.
3.
Ответить на устные вопросы по теме и проверить свои ответы.
4.
Изучить условие заданий для практической работы.
5.
Оформить отчет о работе.
Шар (сфера)
OA
;
O
– шар (сфера)
R
OC
OA
– радиус шара (сферы)
d
OO
сеч
– расстояние от центра шара до
плоскости сечения
с
сеч
R
C
O
– радиус сечения (круг)
- касательная плоскость к шару (сфере)
2
2
2
c
R
d
R
2
R
4
сферы
S
3
3
4
R
V
шара
Устные упражнения по теме «Шар, сфера»
1.
Радиус шара 12 см. На касательной плоскости лежит точка К, которая удалена от
точки касания на 5 см. На каком расстоянии находится точка К от поверхности шара?
2.
Секущая плоскость удалена от центра шара на расстояние 8 см, а радиус шара равен 10
см. Вычислите площадь сечения шара.
3.
Радиус шара равен 12 см. К нему проведена касательная плоскость. От точки касания
на расстоянии 9 см в этой плоскости находится точка М. На каком расстоянии
находится от поверхности шара точка М?
116
4.
В горизонтальной и вертикальной плоскости проекциями являются круги. Определите
форму тела.
5.
Сколько можно провести диаметров через точку, произвольно взятую внутри шара?
6.
Площадь большого круга равна 1 м
2
. Вычислите поверхность шара.
7.
Около прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 2 см, 4 см и 4 см,
описана сфера. Вычислите площадь сферы.
8.
Поверхности двух шаров относятся, как 4 : 9. А как относятся их диаметры?
9.
Радиус шара равен 5 см. Вычислите поверхность шара.
10. Как изменится объем шара, если радиус увеличить в 2 раза?
11. Радиус шара равен 1 м. Вычислите объем шара.
12. Объем и поверхность шара выражены одним числом. Вычислите радиус шара.
13. Как изменится поверхность шара, если радиус увеличить в 3 раза?
14. Поверхность шара равна 64
см
2
. Вычислите его радиус.
15. В шар вписан прямоугольный параллелепипед с измерениями 6 см, 3 см и 2 см.
Вычислите радиус шара.
16. Радиус шара равен 5 см, а на расстоянии 3 см от центра проведено сечение шара.
Вычислите площадь сечения.
17. На окраску шара диаметром 2 дм требуется 20 г краски. Сколько краски потребуется
для окраски шара диаметром 6 дм?
18. Два различных сечения шара пересекаются. Как называется линия их пересечения?
19. Объем шара равен 36
см
3
. Вычислите его поверхность.
ВАРИАНТЫ РАБОТЫ
Вариант 1
Найдите объем шара, если площадь сечения его плоскостью, удаленной от центра шара на
расстояние 6м, равна 64
м
2
.
Вариант 2
В каком случае потребуется больше никеля: на никелирование поверхности сферы
радиусом 5 см или на никелирование поверхности семи сфер радиусом 1,9 см каждая?
Вариант 3
Длина большой окружности шара равна 6
. Найдите полную поверхность куба, объем
которого в 9 раз меньше объема данного шара.
Вариант 4
Шар радиусом 5 см пересечен плоскостью на расстоянии 4 см от центра. Вычислите, во
сколько раз площадь полученного сечения меньше площади поверхности шара.
Вариант 5
Овощехранилище имеет форму полусферы. На окраску пола хранилища ушло 40 кг
краски. Сколько килограммов краски необходимо для окраски этого хранилища с
внешней стороны?
Вариант 6
На окраску сферы диаметром 3 дм ушло 90 г краски. Сколько краски понадобится для
окраски сферы радиусом 2 дм?
117
Вариант 7
Какое тело имеет больший объем: шар радиусом 3 дм или правильная четырехугольная
призма, каждое ребро которой равно 5 дм?
Вариант 8
В сфере по разные стороны от центра проведены два параллельных сечения, площади
которых равны 45
см
2
и 4
см
2
. Найдите поверхность сферы, если расстояние между
плоскостями равно 9 см.
Вариант 9
Металлический шар радиусом R переплавлен в конус, площадь боковой поверхности
которого в два раза больше площади основания. Найдите высоту конуса.
Вариант 10
Металлический цилиндр, диаметр которого равен d, а высота цилиндра равна h,
переплавлен в шар. Найдите площадь поверхности шара.
Вариант 11
Объем шара равен V. Найдите объем другого шара, у которого площадь поверхности в 9
раз больше объема данного шара.
Вариант 12
Осевое сечение конуса имеет угол при вершине, равный 120
0
. Объем конуса 27
см
3
.
Найдите длину образующей конуса и площадь поверхности шара, построенного на высоте
конуса как на диаметре.
Вариант 13
Осевое сечение конуса имеет прямой угол при вершине. Площадь боковой поверхности
конуса 36
2
см
2
. Найдите высоту конуса и объем шара, построенного на образующей
конуса как на диаметре.
Вариант 14
Металлический шар радиуса R перелит в конус, боковая поверхность которого в два раза
больше площади его основания. Вычислите высоту конуса.
Вариант 15
Квадрат боковой поверхности медного конуса вдвое больше квадрата площади основания
конуса. Высота конуса равна Н. Конус перелит в шар. Найдите радиус шара.
118
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 38
«Решение квадратных, дробно-рациональных уравнений и неравенств»
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
1.
Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Решение
линейных, квадратных, дробно-рациональных уравнений и
неравенств»
2.
Закрепить и систематизировать знания по теме.
3.
Определить уровень усвоения знаний, оценить результат
деятельности обучающихся.
ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты, таблицы квадратов,
справочные пособия по алгебре.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:
1. С помощью справочных пособий по алгебре повторить:
а) формулы квадратного трехчлена и его корней;
б) способы решения неполных квадратных уравнений;
в) способ разложения квадратного трехчлена на множители;
г) терему Виета;
д) способы решения дробно-рациональных уравнений.
2. Изучить условие заданий работы.
3. Оформить отчет о работе.
Квадратное уравнение и его корни
1.
Какое из уравнений является квадратным:
1)
0
4
5
2
х
х
; 3)
;
х
0
3
4
2)
;
х
х
0
7
2
3
2
4)
.
х
х
,
0
1
3
2
1
2
2.
В квадратном уравнении
0
2
6
7
2
х
х
укажите его коэффициенты:
1)
;
c
,
b
,
a
2
6
7
3)
;
c
,
b
,
a
6
7
2
2)
;
c
,
b
,
a
6
2
7
4)
.
c
,
b
,
a
7
6
2
3.
Определите, какое из приведённых уравнений является равносильным уравнению
:
x
x
x
0
2
1
2
2
1)
;
x
x
0
2
5
3
2
3)
;
x
x
0
2
3
2
2)
;
x
x
0
2
3
2
4)
.
x
x
0
2
3
2
4.
Найдите корни уравнения
:
b
0
54
6
2
1) 0, 3; 2) –3, 3; 3) не имеет корней; 4) 3.
5.
Какие из чисел - 4, - 2, - 1, 0, 2 являются корнями квадратного уравнения
:
х
х
0
8
4
2
1) – 2, 0; 2) 0, 2; 3) – 4, - 1; 4) – 4, 0?
6.
Решите уравнение
:
y
y
y
y
9
4
3
4
1
2
2
1) – 2, 0; 2) – 2, 2; 3) 2; 4) 0.
119
Формула корней квадратного уравнения
1.
Вычислите дискриминант квадратного уравнения
0
3
5
2
2
x
x
:
1) 49; 2) –1; 3) 1; 4) 25.
2.
Определите, имеет ли квадратное уравнение
0
6
7
2
x
x
корни и если имеет, то
сколько:
1) имеет один корень; 2) не имеет корней; 3) имеет два корня.
3.
Найдите корни уравнения
0
9
10
2
x
x
:
1) –1, –9; 2) –1, 9; 3) –9, 1; 4) 1, 9.
4.
Решите квадратное уравнение
0
3
4
2
x
x
:
1)
4
3
,1; 2) –1,
4
3
; 3)
8
3
, 1; 4)
4
3
, 1.
5.
Решите уравнение
2
9
5
2
y
y
:
1) –2,
5
1
; 2)
5
1
,2; 3)
5
4
, 2; 4)
5
1
, 2.
6.
Найдите корни уравнения
2
1
2
5
2
x
x
:
1) 1, 6; 2) –1, 6; 3) –1, -6; 4) –6, 1.
Теорема Виета
1.
Найдите сумму корней уравнения
0
11
18
2
x
x
:
1) 18; 2) 11; 3) –18; 4) 1.
2.
Найдите произведение корней уравнения
0
24
27
2
x
x
:
1) 27; 2) –24; 3) 1; 4) 24.
3.
Найдите сумму корней уравнения
0
3
10
5
2
x
x
:
1) 10; 2) –10; 3) –2; 4) 2.
4.
Найдите произведение корней уравнения
0
9
16
3
2
x
x
:
1) 3; 2) 9; 3) –9; 4) 16.
5.
В уравнении
0
16
2
px
x
один из корней равен 8. Найдите второй корень и
коэффициент
p
:
1)
10
2
2
p
,
x
; 2)
6
2
2
p
,
x
; 3)
6
2
2
p
,
x
; 4)
10
2
2
p
,
x
.
6.
Один из корней уравнения
0
7
2
q
z
z
равен –2. Найдите второй корень и
коэффициент
q
:
1)
10
5
2
q
,
z
; 2)
10
5
2
q
,
z
; 3)
10
5
2
q
,
z
; 4)
10
5
2
q
,
z
.
7.
Найдите подбором корни уравнения
0
56
15
2
x
x
:
1) 4, 14; 2) –7, 8; 3) 5,10; 4) 7, 8.
Дробно-рациональные уравнения
120
1.
Какое из уравнений является дробно-рациональным:
1)
0
1
4
3
2
x
x
; 2)
1
13
3
2
2
x
x
; 3)
x
x
x
4
1
2
3
; 4)
x
x
7
14
8
2
?
2.
Решите уравнение
2
1
6
1
2
2
x
x
:
1) 2; 2) –1; 3) 1; 4) 3.
3. Решите уравнение
0
4
1
1
x
x
:
1) –2; 2) 5; 3) 2; 4) –1.
4.
Найдите корни уравнения
x
x
1
6
5
2
:
1) 1,5; 2) –2, 3; 3) –3, 2; 4) 2, 3.
5.
Определите, при каком значении
x
значение функции
5
1
3
x
x
y
равно 2:
1) 4; 2) 3; 3) 8; 4) 9.
ОБРАЗЦЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ
ПРИМЕР 1. Решите неравенство
0
4
2
1
7
3
4
3
2
x
x
x
x
x
.
РЕШЕНИЕ. Это рациональное неравенство решим методом интервалов. Отметим на
числовой прямой «жирными» точками нули числителя (–1; 3 и 7) и «прозрачными» – нули
знаменателя (–4 и 2). Если бы заданное неравенство было строгим, нужно было бы все
нули сделать «прозрачными». Эти точки разобьют числовую прямую на 6 интервалов:
Выясним знак данной дроби на каждом из этих интервалов, используя пробные числа,
принадлежащие интервалам.
Можно поступать иначе. Для этого в выражении в каждом из множителей
переменная х должна иметь знак «+» ((х – 2), а не (2 – х); (х – 7), а не (7 – х)). Этого всегда
можно добиться, умножая неравенство на –1 и меняя одновременно его знак столько раз,
сколько надо. Отметив нули выражения на числовой оси, справа налево расставим знаки
по следующему правилу: сначала «+», меняем знак на нечетной степени и сохраняем его
на четной.
Теперь остается выписать ответ – промежутки, на которых поставлен знак «+», так
как знак данного неравенства
. Важно не забыть х = 3.
ОТВЕТ:
;
7
3
2
;
1
.
ПРИМЕР 2. Решите неравенство
0
1
2
x
x
.
РЕШЕНИЕ. Это квадратное неравенство можно решить методом интервалов, но проще –
графически. Рассмотрим функцию, заданную уравнением
1
2
x
x
y
. Графиком ее
является парабола. Заметим, что для нас совершенно не важны точные характеристики
121
параболы (где находится ось, пересечение с Оу и т. п.) Достаточно знать, что ее ветви
направлены вверх (а > 0) и что она пересекает ось Ох в двух точках, являющихся корнями
уравнения
2
5
1
,
2
5
1
,
0
1
2
1
2
x
x
x
x
. Выполним схематический рисунок:
Из рисунка видно, что квадратичная функция принимает положительные значения вне
отрезка, соединяющего ее корни.
ОТВЕТ:
;
2
5
1
2
5
1
;
.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Вариант 1.
1.
Решите уравнение:
x
х
х
х
х
2
2
2
1
1
1
.
2.
Решите неравенства:
а)
5
5
2
3
2
1
x
x
х
х
; б)
0
9
2
x
.
Вариант 2.
1.
Решите уравнение:
1
3
1
1
3
5
2
2
x
x
x
x
x
.
2.
Решите неравенства:
а)
3
6
4
7
2
2
x
x
; б)
0
9
12
4
2
x
x
.
Вариант 3.
1.
Решите уравнение:
1
38
3
2
2
4
1
7
2
2
x
x
x
x
x
.
2.
Решите неравенства:
а)
2
2
2
2
3
6
4
1
x
x
x
x
; б)
0
5
2
4
2
x
x
.
Вариант 4.
1.
Решите уравнение:
0
9
8
2
4
x
x
.
2.
Решите неравенства:
а)
2
2
2
2
2
5
6
4
x
x
x
x
; б)
4
10
3
3
2
3
2
x
x
x
.
Вариант 5.
1.
Решите уравнение:
0
20
9
2
4
x
x
.
2.
Решите неравенства:
а)
2
7
1
5
x
x
x
x
; б)
10
7
2
10
2
x
x
.
Вариант 6.
1.
Решите уравнение:
0
3
11
4
2
4
x
x
.
122
2.
Решите неравенства:
а)
x
x
x
2
2
5
8
5
2
3
; б)
2
2
1
2
1
x
x
x
x
.
Вариант 7.
1.
Решите уравнение:
0
1
4
3
2
4
x
x
.
2.
Решите неравенства:
а)
8
1
4
2
7
3
5
x
x
; б)
1
3
1
2
x
x
x
.
Вариант 8.
1.
Решите уравнение:
2
2
1
3
2
1
6
3
x
x
x
x
x
x
x
.
2.
Решите неравенства:
а)
3
2
3
2
x
x
x
; б)
0
5
4
2
2
x
x
.
123
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №39
«Решение иррациональных уравнений»
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
1.
Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Решение
иррациональных уравнений».
2.
Закрепить и систематизировать знания по теме.
3.
Определить уровень усвоения знаний, оценить результат
деятельности обучающихся.
ОБОРУДОВАНИЕ:
инструкционно-технологические
карты,
таблица
квадратов,
микрокалькуляторы.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:
1.
Изучить памятку для решения иррациональных уравнений.
2.
По образцу выполнить тренировочные задания.
3.
Изучить условие заданий для практической работы.
4.
Оформить отчет о работе.
ПАМЯТКА
При решении иррациональных уравнений следует учитывать, что:
5)
подкоренное
выражение
корня
четной
степени
должно
быть
неотрицательным и значение корня неотрицательно;
124
6)
все корни нечетной степени определены при любом действительном значении
подкоренного выражения;
7)
используются два основных метода – возведение обеих частей уравнения в
одну и ту же степень и введение новой переменной;
8)
при возведении обеих частей уравнения в четную степень возможно появление
посторонних корней, поэтому проверка является составной частью решения.
УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОГО ЗАНЯТИЯ
ПРИМЕР 1. Решите уравнение
0
4
16
x
x
.
РЕШЕНИЕ. Уединим радикал и затем возведем обе части в квадрат
,
x
x
x
,
x
x
16
8
16
4
16
2
2
2
.
x
,
x
,
x
x
9
0
0
9
2
1
2
Проверка показывает, что х
1
= 0 – посторонний корень.
ОТВЕТ: 9.
ПРИМЕР 2. Решите уравнение
0
6
3
4
18
3
2
2
x
x
x
x
.
РЕШЕНИЕ. Введем новую переменную
0
6
3
2
t
,
x
x
t
. Тогда
6
3
2
2
t
x
x
и
уравнение примет вид
2
0
12
4
0
4
18
6
1
2
2
t
,
t
t
,
t
t
или
6
2
t
- не подходит по смыслу.
Далее
2
5
0
10
3
4
6
3
2
6
3
2
1
2
2
2
x
,
x
,
x
x
,
x
x
,
x
x
.
ОТВЕТ: - 5; 2.
ВАРИАНТЫ РАБОТЫ
Вариант 1.
Решите уравнения:
а)
10
2
12
2
x
x
; б)
3
3
2
x
x
; в)
4
7
1
11
9
4
x
x
x
.
Вариант 2.
Решите уравнения:
а)
2
5
2
x
x
; б)
1
4
1
3
x
x
; в)
4
10
18
3
x
.
Вариант 3.
125
Решите уравнения:
а)
x
x
1
5
; б)
7
2
3
3
x
x
; в)
x
x
x
2
4
4
3
.
Вариант 4.
Решите уравнения:
а)
12
2
14
2
x
x
; б)
2
3
5
x
x
; в)
0
2
2
4
x
x
x
.
Ответы и решения.
1.
Примеры1: 1)
3 x
; 2)
2
2
x
x
; 3)
3
2
0
2
0
3
x
x
3x
x
x
; 4)
0
0
5
5
5
x
x
5x
x
; 5)
x
x
x
x
0
0
6
; 6)
1
7
7
0
x
x
; 7)
2
2
2
0
x
sin
x
x
cos
;
8)
2
2
2
0
x
sin
x
x
sin
; 9)
0
0
3
3
3
x
cos
x
x
cos
x
3
sin
.
Примеры2: 1) 2; 2) 0; 3) 3; 4)
4
1
; 5) 0; 6)
2
3
; 7)
4
3
; 8)
3
.
1 вар.: 1) 0,2; 2) 0,1 и
0,11; 3) 6; 4) 4; 2 вар.: 1) 0,3; 2) 0,1 и 0,21; 3) 9; 4) 5;
3 вар.: 1) 0,4; 2) 0,1 и
1,08; 3) 2; 4) 7; 4 вар.: 1) 0,4; 2) 0,2 и 0,84; 3) 3; 4)
12.
2.ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ. Ответ: 1)
12
7
;
; 2) 13 и 6.
1 вар.: 1) а)
1
7
20
x
x
3
; б)
2
4
2 5
x
,
x
x
x
; в)
2
2
2
4
4
2
x
x
x
; 2)
16
x
;
2
вар.:1)
а)
2
2
5
3
2
x
x
x
x
;
б)
x
x
x
x
x
x
2
2
9
5
2
;
в)
2
3
2
4
1
2
3
x
x
x
x
;
2)
;
;
x
2
1
;
126
3 вар.: 1) а)
x
,
x
x
,
5
1
2
5
3
2
4
; б)
2cosx
xcosx
sinx
; в)
2
2
3
6
x
x
x
; 2)
2
0
2
;
;
x
;
4 вар.: 1) а)
7
1
2
0
20
3
9
x
,
x
; б)
x
sin
x
x
sin
x
cos
x
2
4
2
; в)
2
3
2
3
2
3
2
x
x
sin
x
x
cos
x
-
cosx
;
2)
3
1
;
x
;
5
вар.:
1)
а)
1
2
3
x
x
x
;
б)
5
5
2
2
ln
x
5
x
x
x
;
в)
2
2
3
2
1
3
3
4
x
x
x
;
2)
Z
k
,
k
x
k
6
1
;
6 вар.: 2) через 5 с;
8 вар.: 2)
3
2
2
0;
t
.
3
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ. Ответ: 1)
x
sin
x
f
,
y
y
g
5
; 2)
1
4
4
2
3
x
x
.
1 вар.: а)
4
3
2
1
2
x
x
; б)
25
5
2
ln
x
; в)
x
cos 3
3
; д)
x
cos
x
sin
2
4
4
24
4
; 2 вар.: б)
x
e
3
3
; д)
x
sin
x
cos
2
2
24
4
2
;
3 вар.: г)
2
6
2
3
x
e
x
x
; 4 вар.: б)
xln10
1
; 5 вар.: а)
4
3
2
2
3
30
x
x
; 6 вар.: б)
x
e
4
4
; в)
3
2
2
3
x
cos
x
;
4.
Примеры. 1)
19
4
1
1
f
f
,
f
f
max
min
; 2)
4
1
2
0
3
0
f
f
f
,
f
f
f
max
min
;
6)
3
3
2
3
6
1
4
f
f
f
,
f
f
max
min
; 8)
1
2
1
1
2
e
e
f
f
,
f
f
max
min
.
1 вар.: 1)
375
1
5
0
375
1
5
0
,
,
f
f
;
,
,
f
f
max
min
; 2)
2
8
8
м, 128 м
3
;
6 вар.: 1)
2
2
1
2
1
f
f
f
,
f
f
max
min
; 2)
4
16
3
2
6
2
6
3
3
3
см.
5.
127
1 в.: 1)
261
,
9
;
9
2
;
1
;
125
; 2)
R
f
D
; 3) ни четная, ни нечетная; 4) с Оу: (0;0); нули: х=
2;0;2.
2 в.: 1)
73
,
24
;
3
1
;
9
;
51
; 2)
3
x
f
D
; 3) четная; 4) с Оу: (0;1); нули: х=
1;1.
3 в.: 1)
261
,
10
;
27
26
;
2
;
124
; 2)
R
f
D
; 3) четная; 4) с Оу: (0;0); нули: х=
1;0;1.
4 в.: 1)
91
,
12
;
3
1
3
;
6
;
48
; 2)
4
;
1
x
f
D
; 3) нечетная; 4) с Оу: (0;1); нули: х= 1.
5 в.: 1)
1
,
0
;
3
1
2
;
1
;
7
; 2)
5
x
f
D
; 3) ни четная, ни нечетная; 4) с Оу:
; нули:
2
1
x
.
6 в.: 1)
31
30
4,5;
1,5;
,75;
0
; 2)
1
x
f
D
; 3) ни четная, ни нечетная; 4) с Оу: (0;2);
нули:
.
7 в.: 1)
1
5
18
13
6
4
2
,
;
;
;
; 2)
R
f
D
; 3) ни четная, ни нечетная; 4) с Оу:
; нули:
3
1
x
.
8 в.: 1)
31
19
1
5
7
,5
2
4
1
1
;
,
;
;
; 2)
1
x
f
D
; 3) ни четная, ни нечетная; 4) с Оу: (0;
3
1
);
нули:
.
6
Примеры: 1) 2) 3)
4) 5) 6)
7) 8) 9)
7.
Н о м е р в а р и а н т а Н о м е р в а р и а н т а
Номер
1
2
3
4
Номер
1
2
3
4
приме
Тест №1
приме
Тест №2
128
ра
ра
1
а
б
в
г
1
б
в
г
а
2
г
а
б
в
2
в
г
а
б
3
в
г
а
б
3
а
б
в
г
4
б
в
г
а
4
г
а
б
в
Тест №3
Тест №4
1
г
а
б
в
1
б
в
г
а
2
в
г
а
б
2
а
б
в
г
3
а
б
в
г
3
г
а
б
в
4
б
в
г
а
4
г
а
б
в
Тест №5
Тест №6
1
в
г
а
б
1
а
б
в
г
2
г
а
б
в
2
г
а
б
в
3
а
б
в
г
3
б
в
г
а
4
б
в
г
а
4
а
б
в
г
Тест №7
1
а
б
в
г
2
в
г
а
б
3
а
б
в
г
4
б
в
г
а
8.
ТЕСТ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ. 1. а); 2. а).
1 вар.: 1) является; 2) а)
C
x
x
3
9
3
, где С
const; б)
2
2
2
1
x
cos
x
F
;
5 вар.: 1) не является; 2) а)
C
x
x
x
19
21
19
1
2
21
, где С
const; б)
10
2
5
2
2
x
cos
x
x
F
;
7 вар.: 1) является; 2) а)
C
x
ln
8
x
x
x
3
2
7
7
7
3
7
, где С
const; б)
3
2
3
x
cos
x
F
.
9.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ. Ответ:1. б); 2. а).
1 вар.: 1) а)
3
1
2
; б)
12
3
; 2 вар.: 1) а)
2; б) 2; 3 вар.: 1) а) 1; б)
6
1
; 4 вар.: 1) а) 1;
б)
2
3
9
;
5 вар.: 1) а)
4
3
3
; б) 0; 6 вар.: 1) а)
3
1
; б) 1120,4; 7 вар.: 1) а) 2; б) 2; 8 вар.: 1)
5
4
624
; б) 1.
10.
Примеры: 1)
3
2
2
кв.ед.; 2)
3
1
1
кв.ед.; 9)
ln5
5
12
.
1 вар.: 1)
3
1
1
кв.ед.; 2) в; 2 вар.: 1) 18 кв.ед.; 2) в;
129
5 вар.: 1)
3
2
2
кв.ед.; 2) б; 8 вар.: 1)
3
2
2
кв.ед.; 2) б.
11.
1 вар.: 1) а)
10
,
18
25
; б)12
0
,
60
0
; 3)
0
0
212
-
sin
;
0
9
7
ctg
; 4) а) 1; б)
2;
2 вар.: 1) а)
2
,
4
5
; б)10
0
, 270
0
; 3)
0
0
cos305
;
0
5
6
tg
; 4) а)
2
1
; б) 0;
12.
1 вар.: 1) а) 0,8; б)
0,96; в)
7;
14.
1 вар.: а) 5,25; б)
5
x
1
; 2 вар.: а) 5; б)
1
y
y
; 3 вар.: а) 29,06; б)
2
2
m
; 4 вар.: а) 4; б)
3
a
3
;
15.
1 вар.: 1)
3; 2)
; 3)а) 60; б)
3
2
; в) 2; г) 5; 4) >; 2 вар.: 1) 5; 2) 5; 3)а) 180; б) 1,5; в) 4; г) 2;
4) >;
3 вар.: 1)
2; 2)
2
2
; 3)а) 0,3;б) 2;в) 1;г) 2; 4) <; 4 вар.: 1)
2
1
; 2)
3
1
; 3)а) 30;б) 4;в) 1,5;г)
2; 4) <;
5 вар.: 1)
2; 2)
2
; 3)а) 5;б)3;в)500;г)8; 4) <; 6 вар.: 1)
2
1
; 2)
2; 3)а)0,06;б)2;в)288;г)5;
4) >.
16.
1 вар.: а)
4; б)
1;2; в) 0; 2 вар.: а) 4; б) 5; в)
2; 3 вар.: а) 4; б) 6; в) 4; 4 вар.: а)
5; б)
4; в)
3
2
.
17.
Ответы к таблице:
8
2
8
1
32
8
1
3
16
2
8
1
7
2
1
3
5
1
2
2
1
4
3
1
3
6
2
8
2
2
3
3
4
5
5
7
16
25
32
36
8
9
1
4
27
8
4
25
27
64
32
3
16
81
3
4
16
130
3
36
1
16
1
27
1
5
1
81
1
8
1
49
1
4
1
2
32
1
27
8
25
9
2
3
27
64
81
1
125
8
16
9
1
81
64
16
125
32
27
1
8
a
b
с
d
e
f
g
h
1 вар.: а)
2
1
; б) 3; в)
5
2
; г) 125; 2 вар.: а) 1; б) 9; в) 35; г) 4; 3 вар.: а) 2,25; б) 25; в)
4
1
;
г) 108;
4 вар.: а)
1; б)
6
1
; в) 85; г)
40; 5 вар.: а)
9
2
; б) 0,5; в)
27
8
; г)
9
1
; 6 вар.: а) 0; б)
10
1
; в)
8; г)
8
1
;
7 вар.: а)
3
2
; б)
27
1
; в) 1,5; г) 216; 8 вар.: а)
81
1
; б) 10; в)
25
16
; г)
3
1
5
.
18.
1 вар.: 1) а) 5; б)
2
1
; 2) 18; 3)
c
log
b
7log
2
2
5
1
4
; 4)
64
57
6
;
2 вар.: 1) а)
2; б)
2
1
; 2) 10; 3)
b
lg
4
3
2
lgc
4
; 4)
5
2,
;
8 вар.: 1) а)
2; б)
3; 2) 1; 3)
c
lg
3
1
lgb
5
2
1
; 4)
3
3
.
19.
Тест №1
Тест №2
Тест №3
Тест №4
Номер
задания
Номер
правильн
ого
ответа
Номер
задания
Номер
правильн
ого
ответа
Номер
задания
Номер
правильн
ого
ответа
Номер
задания
Номер
правильн
ого
ответа
1
2
3
4
5
6
4
3
2
2
1
2
1
2
3
4
5
6
3
3
1
4
2
4
1
2
3
4
5
6
7
3
2
3
1
3
1
4
1
2
3
4
5
3
3
3
4
4
22.
1 вар.: 2,4 дм; 2 вар.:
3
15
см и 15 см; 3 вар.: а)
3
8
см; б)
3
4
см; 4 вар.: 2 дм;
5 вар.: АО=а, АС=
2
a
, ОС=а; 6 вар.: а) 100 см
2
; б)
2
50
см
2
; 7 вар.: 12 см;
8 вар.:
3
24
MC
, CP=48 см; 9 вар.: а) 60
0
; б)
3
4
OC
см,
21
2
OB
см; 10 вар.:
3
см;
11 вар.: а) 45
0
; 45
0
; 45
0
; б) 90
0
; 12 вар.:
2
2
a
;
2
6
a
; 13 вар.: 1.5R; 14 вар.: а) 30
0
; б) 30
0
;
131
15 вар.: а) 9 см; б)
3
3
см; 16 вар.:
2
R
; 17 вар.: а) 45
0
; б) 30
0
; 18 вар.: а) 30
0
; б)
3
648
см
2
.
23.
1 вар.: 2а; 2 вар.: 30
0
; 3 вар.: 13 м; 4 вар.:
14
1
; 5 вар.: 1,68 м; 6 вар.:
63
10
;
7 вар.: а)
2
a
CN
; б)
DKM
в)
3
3
DKM
cos
;
8 вар.: а)
2
a
; б) см.рис. 7 вар. ( учесть, что АВСD – квадрат, поэтому точки А и К
совпадают);
в)
2
1
DAM
sin
.
24.
Обучающая самостоятельная работа:
1) прямые а и b параллельны
или скрещивающиеся (см.рис.)
2) прямые BD и BC пересекаются в т.B, прямая а скрещивается с прямыми BC и BD
(причем,
BD
,
BC
a
); 4) да; 5) а) 3; б) 4.
1 вар.: 1) АМ=4 м, ВМ=8 м; 2) 45
0
; 2 вар.: 1) Р=
5
34
41
ед.отр., 2) 60
0
;
3 вар.: 1) 9 м; 2)
2
12
24
COD
P
ед.отр.,
2
12
26
CAD
P
ед.отр.;
4 вар.: 1) 26 см; 2)
2
2
a
кв.ед.; 5 вар.: 1)
df
(по определению); 2) 4 см; 6 вар.: 1)
df
; 2) 3
см;
7 вар.: а) следует из теоремы о трех перпендикулярах (ТТП); б) 4 см и
3
4
см; в)
3
8
см
2
;
8 вар.: а) по ТТП; б)
6
см; в) 6 см
2
.
25.
Ответы к устным заданиям: 1) 64 см
2
; 2) 210 дм
3
; 3) 64 см
2
; 4) 27 см
3
; 5) 3 см;
6) увеличится в 8 раз; 7) 96 см
2
; 8) да; 9) 6 см; 10) 72 см
2
; 11)
2
2
a
; 12) 48 см;
13) увеличится в 2 раза.
1 вар.: а)
2
64
см
2
; б)
3
8
см; 2 вар.: а)
41
8
см; б)
123
4
см;
3 вар.: АВ=8 см, AD=14 см, AA
1
=12 см; 4 вар.: а) 690 см
2
; б) 882 см
2
;
132
5 вар.: 6 см и 10 см; 6 вар.: 560 см
2
; 7 вар.: 216 дм
2
; 8 вар.: 125 см
3
; 9 вар.: 376
см
2
;
10 вар.: 864 см
2
; 11 вар.: 120 см
3
.
26.
Тест: 1. а) 2. г).
1 вар.: 700 см
2
; 2 вар.: а)
17
2
см; б) 18 см; 3 вар.: а) 108 см
2
; б) 15 см;
4 вар.: а)
4
3
27
дм
2
; б)
3
9
дм
2
; 5 вар.: а) 25 см; б) 175 см
2
; 6 вар.: а)
4
3
21
см
2
; б)
85
см;
7 вар.: а)
13
4
см и
21
4
см; б) 96 см
2
и
3
96
см
2
; 8 вар.: а)
2
85
см; б) 20 см
2
;
9 вар.: а)
6
8
см; б)
6
8
см; 10 вар.:
4
6
2
a
кв.ед.; 11 вар.: (
768
3
128
)см
2
;
12 вар.:
3
3
3200
см
2
; 13 вар.:
3
см; 14 вар.: а) 280 см
2
; б) 1236 см
2
;
15 вар.: а) 48 см
2
; б) 256 см
2
; 16 вар.: 864 см
3
; 17 вар.: 60 см
3
.
27.
Ответы к устным заданиям: 1) пирамида; 2) 18; 3) n = 3; 4 или 5; 4)
3
16
см
2
; 5) нет;
6) трапеции; 7) 9 см; 8) 6; 9) 32 см
2
; 10) 12 см; 11)
2
2a
; 12) 32 дм
3
.
1 вар.: а)
21
2
см; б)
3
75
см
2
; 2 вар.: а)
34
2
см; б) 385 см
2
; 3 вар.:
ctg
tg
sin
d
3
2
2
2
3
куб.ед.
4 вар.:
24
2
3
tg
cos
sin
c
куб.ед.; 5 вар.: 192 см
2
; 6 вар.: 790 см
2
;
7 вар.:
12
2
2
b
a
abtg
куб.ед.; 8 вар.:
6
5
140
куб.ед..
28.
ОТВЕТЫ: 1) 10 см; 2) увеличится на 10
см; 3) бесконечно много; 4) 60 см
2
; 5) 100
см
3
;
6) увеличился в 2 раза; 7)
S
; 8) 250
см
3
; 9) 64
см
3
; 10) 36
см
2
; 11) 60
см
2
;
12) в
раз; 13) 5 см
2
.
1 вар.: а) 15 см; б)
400
см
2
; 2 вар.:
2
1
или 2; 3 вар.:
2
108
см
3
; 4 вар.: а)
3
9
см;
б)
81
см
2
; в)
3
81
см
2
; 5 вар.: 100 см
2
; 6 вар.:
1
8
; 7 вар.: а) 6 см; б)
9
см
2
;
8 вар.:
200
300
см
2
;
133
9 вар.:
3
1
; 10 вар.: а) 12 см; б)
13
8
см; в)
672
см
2
; 11 вар.: а)
2
6
см; б)
18
см
2
;
12 вар.: а) 1024 см
2
; б)
2
512
см
2
; 13 вар.:
800
см
2
; 14 вар.: а)
dsin
; б)
2
dcos
;
15 вар.:
27
см
2
; 16 вар.:
2592
см
3
; 17 вар.: а) 6 см; б) 8 см; 18 вар.:
3
3
288
см
2
;
19 вар.:
960
см
3
; 20 вар.: а) 30 см; б)
25
см
2
; 21 вар.:
1500
см
3
.
29.
Ответы к устным заданиям: 1) 90
0
; 2) 13
см; 3) 48 см
2
; 4) 6 см; 5) ; 6)
2
2
a
; 7)
26
см
3
;
8)
16
см
3
; 9) пирамида; 10) конус; 11)
65
см
2
; 12) 32 см
2
; 13)
9
см
3
; 14)
2
5
0
a
,
.
1 вар.: а)
2
8
см; б) 45
0
. 2 вар.:
18
кв.ед. 3 вар.:
3
12
дм
3
. 4 вар.: а)
3
2
дм; б) 2
дм.
5 вар.:
384
дм
2
. 6 вар.:
55
см
2
. 7 вар.:
2
2
sin
a
кв.ед. 8 вар.: а)
60
см
2
; б) 96
см
2
.
9 вар.:
768
см
3
. 10 вар.:
8
5
arccos
или
4
3
2 arcsin
. 11 вар.: а)
2
64
см
2
; б)
2
1
64
см
2
.
12 вар.:
512
см3. 13 вар.: 41 дм. 14 вар.:
41
20
см
2
. 15 вар.:
1344
дм
3
. 16 вар.:
16
см
2
.
17 вар.:
96
см
2
. 18 вар.:
3
24
см. 19 вар.:
3
96
см
2
. 20 вар.:
3
15
дм
3
.
30.
Устные упражнения по теме «Шар, сфера»
О т в е т ы: 1) 1 см; 2) 36
см
2
; 3) 3 см; 4) шар; 5) 1; 6) 4 м
2
;
7) 36
см
2
; 8) 2 : 3; 9) 100
см
2
; 10) увеличится в 8 раз; 11)
3
4
м
3
; 12) 3;
13) увеличится в 9 раз; 14) 4 см; 15) 3,5 см; 16) 16
см
2
; 17) 180 г; 18) хорда;
19) 36
см
2
.
1 вар.:
3
4000
м
3
; 2 вар.: 100
см
2
< 101,08
см
2
; 3 вар.:
3
4
6
ед.отр.; 4 вар.: в
9
1
11
раз;
5 вар.: 80 кг; 6 вар.: 40 г; 7 вар.:
36
дм
3
< 125 дм
3
; 8 вар.:
81
16180
см
2
; 9 вар.: 4R
3
ед.отр.;
10 вар.:
3
2
4
9dh
d
кв.ед.; 11 вар.:
81
2
2V
куб.ед.; 12 вар.:
3
3
2
V
и
3
2
9 V
;
134
13 вар.: 6 см и
2
72
см3; 14 вар.:
3
12
R
ед.отр.; 15 вар.:
2
2
3
H
ед.отр..
31.
Н о м е р а з а д а н и й
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
0
1
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
1
9
2
0
2
1
2
2
2
3
2
4
2
5
1 вариант
Г
В
Г
А
Г
Б
А
А
Г
А
Б
Г
В
В
Б
В
Б
А
А
А
Б
В
А
Б
Г
2 вариант
Б
А
В
А
Б
В
Б
В
В
А
Б
А
В
А
В
Б
Б
А
Б
Б
В
А
Б
В
В
Н о м е р а з а д а н и й
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
0
1
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
1
9
2
0
2
1
2
2
2
3
2
4
2
5
1 вариант
В
В
В
Г
Г
Г
Б
Б
Г
Г
А
Б
В
Б
Б
А
Б
В
А
Б
А
Г
Б
А
В
2 вариант
А
Г
А
В
В
А
Г
Г
А
А
Б
В
А
Б
В
Г
В
А
Г
Б
А
Б
В
В
В
135