Обобщающий урок геометрии в 8-м классе по теме

"Признаки подобия треугольников"

Учитель математики: Азикова Жанна Хасеновна

Цели урока:

Образовательные:



обобщить и систематизировать, расширить знания по теме: “Признаки подобия

треугольников”;



продолжить формирование у учащихся навыков применения признаков подобия

треугольников при решении задач.

Развивающие:



развивать логическое мышление, умение сравнивать, обобщать, делать выводы;



развивать интерес учащихся к изучаемому предмету, самостоятельность;



развивать творческие способности учащихся.

Воспитательные:



формировать мотивы познавательной деятельности,



эстетическое воспитание учащихся.

Оборудование:



мультимедийный проектор, экран;



презентация для сопровождения урока;



раздаточный материал;



оценочный лист.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Структура урока:

1.

Организационный момент.

2.

Актуализация опорных знаний:

а) проверка домашнего задания (самостоятельная работа);

б) повторение теоретического материала;

в) устное решение задач;

г) письменное решение задач;

3.

Воспроизведение знаний на новом уровне (Дифференцированная работа)

4.

Обобщающая деятельность учащихся

5.

Исторические сведения

6.

Домашнее задание.

7.

Итог урока.

1

Ход урока

I

. Организационный момент.

Слово учителя о цели этого урока.

Треугольник – самая простая геометрическая фигура, знакомая нам с детства. К

треугольнику на уроках геометрии мы обращаемся чаще всего. Эта фигура таит в себе немало

интересного и загадочного, как Бермудский треугольник, в котором бесследно исчезают

корабли и самолеты. Один мудрец сказал: “Высшее проявление духа – это разум. Высшее

проявление ума – это геометрия. Клетка геометрии – это треугольник. Он так же

неисчерпаем, как и Вселенная”. Это одна из основных фигур школьного курса планиметрии.

Подобие, наряду с равенством треугольников, является одним из важнейших геометрических

отношений. Если равенство объектов мы понимаем как «одинаковость» и по форме, и по

размеру, то подобие объектов означает их « одинаковость» только по форме.

Умение решать задачи на применение признаков подобия широко используется в геометрии,

физике, астрономии.

Сегодняшний урок мы посвятим решению задач по теме: “Признаки подобия треугольников”.

Это урок обобщения и систематизации знаний, где мы с вами рассмотрим применение

признаков подобия при решении задач. Запишите число, классная работа и тему урока

II.

Актуализация опорных знаний.

Оценка за урок будет складываться из набранных на каждом этапе урока баллов.

Критерии оценки:



Выше 18 баллов – «5»



15-18 баллов – «4»



10-14 баллов - «3»



Менее 10 баллов – «2»

Чтобы урок прошел успешно, надо повторить теоретический материал. Но сначала проверим,

как вы справились с домашним заданием.

Итак, я вам предлагаю небольшую самостоятельную работу на 3–5 минут.

а) Самостоятельная работа по теме “Признаки подобия треугольников” (Приложение 1.)

Критерии : 1 балл-« 1 задание», по 2 балла – «2 и 3 задания».

б) Повторение теоретического материала:

Критерии : по 1 баллу за каждое правило

1)

Дайте

определение

подобных

треугольников.

[

Два

треугольника

называются

подобными,

если три угла

первого

треугольника равны трём

углам

второго

треугольника,

а

три

стороны

первого

треугольника

пропорциональны

соответствующим сторонам второго]

2

2)

Дайте определение коэффициента подобия. [Коэффициентом подобия называется

отношение сходственных сторон подобных треугольников]

3)

Каков коэффициент подобия двух равных треугольников? [1]

4)

Чему равно отношение площадей двух подобных треугольников? [отношение площадей

двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия]

5)

Перечислите признаки подобия треугольников.[ 1 признак – подобие треугольников по

двум углам; 2 признак – подобие треугольников по пропорциональности двух сторон и

углу между ними; 3 признак – признак подобия по пропорциональности трёх сторон]

в) Устное решение задач:

Учащиеся фронтально решают устные задачи по готовым чертежам (на слайдах), объясняя ход

решения задачи.

Критерии : по 2 балла за каждое верно решённое задание

Пример 1

Дано: PEMD – трапеция

Найти подобные треугольники и

доказать их подобие.

Пример 2

Найти подобные треугольники и

доказать их подобие.

Пример 3

∆ ABC ~ ∆ A

1

B

1

C

1

Найти: х, у

г) Письменное решение задач.

3

Задача №1. Три стороны треугольника равны 6см, 8см, 9см. Через середину стороны

длины 8 см проведена прямая, которая пересекает сторону треугольника, рассекая искомый на

треугольник, подобный исходному, и четырёхугольник, не являющийся трапецией. Найдите

периметр четырёхугольника.

Дан рисунок. Исправленный рисунок

Рисунок выполнен неверно. На рисунке

М=

С. Но Но

М и

С – соответственные

при прямых NM и ВС и секущей АС. Тогда по признаку параллельности прямых MN || ВС и

четырёхугольник BNMC – трапеция, что противоречит условию задачи.

Угол А у подобных треугольников – общий. Тогда прямая MN пересекает сторону АВ по

другому.

Дано: АВС- треугольник: АВ=6, АС=8, ВС=9. М- середина АС, MN ВС,

∆АВС ~ ∆AMN, BNMC – четырёхугольник.

Найти: периметр четырёхугольника BNMC .

Решение:

BNMC – произвольный четырёхугольник.

∆АВС ~ ∆AMN ( по условию). Тогда выполняется условие:

АВ : АМ =ВС : МN=АС : AN

МС=АМ=½ АС= 4. ( по условию М- середина АС).

6 : 4=9 : МN = 8 : AN, 9 : МN = 3 :2; МN= (9∙2) :3 =6(см).

8 : AN = 3 :2; AN = (8∙2) :3 = 16/3 = 5 1/3.

NB= АВ – AN, NB= 6 – 5 1/3 =2/3, Р = 4+ 6 +2/3 +9 = 19 2/3(см)

Ответ: 19 2/3(см)

Задача №2. Биссектриса AD треугольника АВС делит сторону ВС на отрезки CD и BD,

равные соответственно 3,5см и 10,5см. Найдите АВ и АС, если периметр треугольника АВС

равен 46см.

Дано: ∆АВС , D

ВС,

AD – биссектриса треугольника,

CD=3,5см, BD=10,5см

Р

∆АВС

= 46см.

Найти: АВ иАС

Решение:

4

По условию AD – биссектриса треугольника. Тогда по свойству биссектрисы выполняется

соотношение: CD : BD= АС : АВ. АС : АВ = ⅓, т.е. АВ = 3АС. Р

∆АВС

= 46см

ВС = 10,5 + 3,5 = 14(см). Имеем: АВ + АС + ВС = 46, 3АС + АС +14 = 46, 4АС = 32,

АС = 8(см), АВ = 3∙ 8 =24(см)

Ответ: 8см и 24см.

III.

Воспроизведение знаний на новом уровне ( дифференцированная работа)

1. Тест. Я предлагаю Вам небольшой тест, проверьте каждый сам себя, как хорошо вы изучили

тему. В тесте 5 вопросов, внимательно прочтите сначала вопрос, затем предложенные ответы и

лишь потом подчеркните ответ, который вы считаете правильным.

(Приложение 2.)

Самопроверка.

Критерии оценок: по 1 баллу-«1 и 2 задания », по 2 балла – «3 – 5 задания ».

2. Индивидуальная работа по карточкам (Приложение 3.)

IV.

Подготовка учащихся к обобщающей деятельности.

В геометрии подобными могут быть не только треугольники, но и совершенно произвольные

фигуры. На слайде мы видим подобные пятиугольники, фигуры, подобные на звёзды, фигуры со

стрелками, параллелограммы.

Как вы думаете, какими свойствами они все обладают? [ У них одинаковые формы, но

разные размеры]

Пропорциональность проявляется везде: в подобном строении дерева и его ветвей, в форме

снежинок и кристаллов

Стекло и хрусталь состоят из мельчайших частиц, кристаллов. Поверхность хрустальной

вазы состоит из геометрических фигур, которые подобны друг другу.

V .

Выступление ученика о практической деятельности в Древней Руси.

Вот такие задачи т. е. - измерительные работы на местности:

1.

Измерение высоты предмета ( телеграфного столба, водонапорной башни, высоты дерева )

2.

Расстояние до недоступной точки ( ширина реки, болота) с использованием признаков

подобия мы будем решать в следующей теме.

Геометрия- это наука, которая обладает всеми свойствами хрустального стекла, такая же

прозрачная в рассуждениях, безупречная в доказательствах, ясная в ответах. Геометрия до конца

не изученная наука, и может быть, многие открытия ждут именно вас.

VI.

Домашнее задание ( по группам – по карточкам)

(Приложение 4.)

1.

Менее 14 баллов– « 3 балла»

2.

15 – 18 баллов– «5 баллов»

3.

Более 18 баллов– « 7 баллов»

VII. Итог урока.( Слайд 17)

Пришло время подвести итог: используя схему на слайде, ответьте на вопросы:



Что вы узнали нового? Я знаю…



Чему научились? Я умею..



Что вам показалось особенно трудным? Я не могу..

Вы все активно работали на уроке, аккуратно выполняли чертежи, хорошо справились с

тестом, отлично выполнили самостоятельную работу, открыли для себя что – то новое, были

5

очень

внимательны

и

любознательны.

Поэтому

за

урок

вы

получаете

следующие

оценки…………………………….

Всем удачи, спасибо за урок.

Приложение 1: Самостоятельная работа в 2 вариантах

Приложение 2: Тест в 2 вариантах

Приложение 3: Набор карточек для индивидуальной работы.

Приложение 4: Набор карточек для домашней работы

Приложение 5: Оценочный лист.

Приложение 1

Самостоятельная работа

1.

Доказать подобие треугольников и

найти коэффициент подобия

(1 балл)

2.

Доказать, что ∆DOC ~ ∆AOB и

найти

D, если

A=35

0

(2 балла)

3.

Найти х, если АВ=21, ВС=30,

МС=10

(2 балла)

4.

дополнительно

Найти х, если АN=6, AС=12, AE=10

(3 балла)

6

Вариант 1

Самостоятельная работа

1.

Доказать подобие треугольников и

найти коэффициент подобия

(1 балл)

2.

Доказать, что ∆DOC ~ ∆AOB и

найти

D, если

A=25

0

(2 балла)

7

3.

Найти х, если АВ=16, ВС=20, МС=5

(2 балла)

4. дополнительно

Найти х, если АО=10, AС=40, РА=20

(3 балла)

Вариант 2

Приложение 2

Тест

Вариант 1

1.

Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам

другого треугольника, то треугольники:

а) равны; б) подобны; в) нет ответа (1 балл)

2. Если треугольники подобны, то :

а) стороны равны; б) углы пропорциональны; в) углы равны (1 балл)

3. Углы треугольника равны 20

0

, 40

0

, А

0

. Угол, соответствующий углу А подобного

треугольника, равен:

а) 40

0

; б) 120

0

; в) 60

0

; г) 20

0

(2 балла)

8

4. По какому признаку ∆AВО подобен ∆СДО, если

В=

Д:

а)II; б) I; в) III (2 балла)

5. Отношение

, если АВ=4;, СД=12:

а)9; б) 8; в) 4 (2 балла)

Тест

Вариант 2

1.Если углы одного треугольника равны углам другого треугольника, то

треугольники:

а) подобны; б) нет ответа; в) равны; (1 балл)

2. Если треугольники подобны, то :

а) стороны пропорциональны; б) стороны равны; в) углы пропорциональны (1

балл)

3. Углы треугольника равны 15см, 21см, 30см. Две стороны подобного ему

треугольника- 10см и 5 см. Длина третьей стороны:

а) 7см; б) 3см; в) 12см ; г) 10см (2 балла)

9

4. По какому признаку ∆AВО подобен ∆СДО, если

В=

Д:

а)II; б) I; в) III (2 балла)

5. Отношение

, если АВ=6;, СД=4:

а)4/9; б) 9/4; в) 2/3 (2 балла)

Приложение 3

Карточка для индивидуальной работы

Вариант 1

Найдите АВ и ВС , если DE ║ AC

Решение

10

1.

∆DBE ~ ∆ABC (по 2 углам:

В- общий,

А =

D как соответственные

при DE ║ AC и секущей АВ)

2.

Тогда выполняется равенство

DB : AB = BE : BC = DE : AC, AB = x+6

6 : (х+6) = 8 : ВС = 10 : 15, к= 2 : 3

3. 6 : (х+6) = 2 : 3 и 8 : ВС= 2 : 3

2х + 12 = 18, 2х = 6, х = 3

ВС= (8 * 3):2=12 АВ = 3+6=9

Ответ: ВС=12, АВ = 9

Критерии баллов:

5 баллов: решение выполнено верно и без ошибок

4 балла: допущена одна ошибка и ответ получен неверно

3 балла: найдена только одна из сторон ВС или АВ

2 балла: доказано подобие треугольников и составлено отношение сторон

1 балл: доказано подобие треугольников

Карточка для индивидуальной работы

Вариант 2 (дополнительно)

Прямые а и b параллельны. Найдите х и у

11

Карточка для индивидуальной работы

Вариант 3 (дополнительно)

В треугольнике АВС АС=12см, ВС=8см, АВ=6см. Продолжение сторон АВ и СВ за точку В

соответственно равны : ВЕ=3см, ВМ=4см.

Найдите длину отрезка ЕМ

Карточка для индивидуальной работы

Вариант 4 (дополнительно)

ABCD – параллелограмм, ВН и ВЕ – высоты.

Найдите ВС , если АН=6см, DE=1см, ЕС=9см

12

Карточка для индивидуальной работы

Вариант 5 (дополнительно)

Две сходственные стороны подобных треугольников равны 5см и 6 см. Разность площадей этих

треугольников составляет 22см

2

. Чему равна площадь меньшего из треугольника?

Приложение 4

Набор карточек для домашней работы

Карточка на 3 балла

Задача 1.

Дано: AB ║ CD

AO = 1,5см

OB = 1 см

CO = 3 см

CD = 4,5см

Найти: 1) подобны ли треугольники AOB и DOC

2) укажите сходственные стороны , К

3) AB-? OD-?

4)

Задача 2.

13

Найдите АС, если ВС= 12см,

NM = 6см,

CN = 4см,

BM = NC

Карточка на 5 баллов

Задача 1.

Одна из диагоналей трапеции, равная 16 см, делит другую диагональ на части, равные 7см и

5 см. Определить, на какие части делится точкой пересечения первая диагональ, и найти

большее основание трапеции, если меньшее ее основание равно 4 см.

Задача 2.

В треугольнике АВС АВ=15см, АС=20см, ВС=32см. На стороне АВ отложен отрезок AD=9см, а

на стороне АС- отрезок АЕ=12см. Найти DE и отношение площадей треугольников АВС и ADE

Карточка на 7 баллов

Задача 1.

Две параллельные улицы пересекаются двумя улицами, выходящими из одного пункта А. Длины

параллельных улиц, заключенных между лучевыми улицами, равны 0,75км и 1,25км. Трамвай

идет по одной из лучевых улиц от пункта А до первой из параллельных улиц 15 мин. Сколько

14

времени он при такой же скорости будет идти по той же лучевой улице от первой до второй из

параллельных улиц.

Задача 2.

В треугольнике АВС и MNK,

В =

N. Отношение сторон, заключающих угол В, к сторонам,

заключающих угол N, равно 0,6. Найдите стороны АС и MK, если их разность равна 24дм.

Приложение 5

Лист самооценки ученика

№п/п

Вид работы

Кол – во баллов

1.

Самостоятельная работа по проверке домашнего задания

2.

Теоретический материал

3.

Устное решение задач

4.

Дифференцированная работа

Итого:

Критерии оценки: менее 10 баллов – «2»

10 – 14 баллов - «3»

15-18 баллов - «4»

более 18 баллов – «5»

15