МУНИЦИПАЛЬНОЕ КАЗЕННОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЯЯ КОРРЕКЦИОННАЯ ШКОЛА №7 Г. МЫСКИ

КЕМЕРОВСКОЙ ОБЛАСТИ

«Цепные дроби:

скрытая красота.» в номинации

математика в жизни

учитель математики

Леонова Наталья

Евгеньевна

Ничто не нравится, кроме

красоты, в красоте – ничто,

кроме

форм,

в

формах

–

ничто,

кроме

пропорций,

в

пропорциях

–

ничто,

кроме

числа.

Аврелий Августин,

христианский теолог и философ

Актуальность

Вычислите значение выражения:

.

2

1

1

1

1

1

1







Цель

- изучение математического объекта «цепная дробь»,

его свойств и методов решения заданий по этой теме.

Задачи



Изучить историю возникновения цепных дробей;



Исследовать

свойства

цепных

дробей

и

возможные

действия, производимые с ними;



Изучить способы решения заданий с данными дробями;



Выяснить

возможность

геометрического

изображения

цепных дробей;



Выяснить

возможность

применения

цепных

дробей

в

других науках.

Историческая справка

По сохранившимся

источникам, мы знаем, что

цепные дроби использовались в

древней Греции, Китае и

Египте

ВПЕРВЫЕ ЦЕПНЫЕ ДРОБИ КАК ТАКОВЫЕ

ПОЯВЛЯЮТСЯ В УЧЕБНИКЕ «АЛГЕБРА»

ИТАЛЬЯНСКОГО МАТЕМАТИКА РАФАЭЛЯ

БОМБЕЛЛИ (1526-1572), ВЫШЕДШЕМ В 1572 Г.

Следующий

шаг

в

развитии

теории

цепных

дробей

был

сделан

Христианом Гюйгенсом (1629-1695). Он

строил

модель

солнечной

системы

с

помощью набора зубчатых колес. По

расчетам

оказалось,

что

отношение

числа

зубцов

двух

каких-либо

колёс

должно

быть

равным

отношению

времён обращения двух планет вокруг

Солнца.

Это

отношение

выражается

Изготовление же таких зубчатых колёс,

практически

очень

сложно.

Гюйгенс

решил

эту

задачу

посредством

разложения

обыкновенной

дроби

в

цепную дробь достаточно точно в виде

дроби

с

большим

числителем

и

большим знаменателем

.

Можно сказать, что первым,

кто систематизировал знания о

цепных

дробях

и

изложил

полную

их

теорию,

был

Леонард Эйлер (1707-1783). Он

опубликовал

свою

первую

работу

в

1744

г.,

в

которой

рассматривал

цепную

дробь

общего вида. Следует заметить,

что сам термин «цепная дробь»

появился лишь в XVIII веке, а

до

этого

времени

использовалось

понятие

«непрерывная дробь».

Определение

Цепная дробь (или непрерывная дробь) — это

математическое выражение вида

...

1

1

1

,...]

,

,

;

[

3

2

1

0

3

2

1

0











a

a

a

a

a

a

a

a

1

0

.

Всякое рациональное число (где р>q) можно

представить в виде конечной цепной дроби

Иррациональные

числа

разлагаются

в

бесконечные

цепные дроби.

Свойства

q

p

n

a

a

a

q

p

1

1

1

0











Пример

6

1

1

1

1

1

1

1

1

7

6

1

1

1

1

1

7

13

1

1

1

1

13

7

1

1

1

13

20

1

1

20

13

1

20

33









































Свойства

2

0

.

Обрывая

цепную

дробь,

можно

получать

очень

хорошие рациональные приближения к данному числу,

которые называются подходящими дробями.

Подходящая дробь – это дробь, которая получается

при обрыве бесконечной цепной дроби.

Для числа π = [3; 7, 15, 1, 292, 1, …]

Первые подходящие дроби – это самые известные

приближения:

7

1

3

7

22





15

1

7

1

3

113

355







Цепные дроби и музыка

Иоганн Себастьян

Бах

клавир

Со

времён

Баха

в

музыке

используется

равномерно

темперированная шкала, содержащая 12 полутонов в каждой

октаве. Почему же возникло деление октавы именно на 12

интервалов?

Чтобы

октава

и

натуральная

квинта

по

возможности

более

точно

укладывались

в

одну

и

ту

же

равномерную темперацию (деление октавы на равные по слуху

интервалы),

октаву

нужно

поделить

на

столько

частей,

чтобы

число

log

2

(3/2)

хорошо

приближалось

дробью

с

выбранным знаменателем.

При

разработке

солнечного

календаря

необходимо

найти

рациональное

приближение

для

числа

дней

в

году,

которое

равно

365,2421988… Подсчитаем подходящие дроби для дробной части этого

числа:

Первая дробь означает, что раз в 4 года надо добавлять лишний

день; этот принцип лёг в основу юлианского календаря. При этом

ошибка в 1 день накапливается за 128 лет. Второе значение (7/29)

никогда

не

использовалось.

Третья

дробь

(8/33),

то

есть

8

високосных лет за период в 33 года, была предложена Омаром Хайямом

в XI веке и положила начало персидскому календарю, в котором ошибка

в день накапливается за 4500 лет (в григорианском — за 3280 лет).

Очень точный вариант с четвёртой дробью

(ошибка

в

сутки

накапливается

только

за

100000

лет)

пропагандировал

немецкий

астроном

Иоганн фон Медлер

(1864),

однако большого интереса он не вызвал.

Цепные дроби и астрономия

...

545

132

;

128

31

;

33

8

;

29

7

;

4

1

128

31

Цепные дроби и астрономия

Цепные дроби и архитектура



Голландский ученый Христиан Гюйгенс в 1862 году

построил один из первых механических планетариев.

Теорию цепных дробей он применил при проектировании

зубчатых колес, что обеспечило высокую точность во

взаимном движении моделей планет.



С помощью теории цепных дробей вычисляется

приближенное значение золотого сечения. Это число

отражает пропорции объектов, воспринимаемых

человеком как гармоничные. Правилом золотого сечения

пользуются архитекторы, художники, дизайнеры.

Золотое сечение часто встречается в природе и

повседневной жизни, даже пропорции тела человека

близки к этому числу.

Золотое сечение –

гармоничная

пропорция

Цепные дроби в природе



Еще Гете подчеркивал тенденцию природы к

спиральности. Винтообразное и спиралевидное

расположение листьев на ветках деревьев подметили

давно. Спираль увидели в расположении семян

подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и

т.д. Совместная работа ботаников и математиков

пролила свет на эти удивительные явления природы.

Выяснилось, что в расположении листьев на ветке

(филотаксис), семян подсолнечника, шишек сосны

проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет

себя закон золотого сечения. Сама природа отражает

цепные дроби, только это надо увидеть. Это лишний раз

подтверждает афоризм Галилео Галилея: «Математика

- это язык, на котором написана книга природы».

Геометрическое представление цепной

дроби



Попробуем найти её и для цепных дробей.



Мы установили связь цепных дробей и

понятия рекурсии. Функция называется

рекурсивной, если она содержит одно или

несколько обращений к самой себе. Рекурсии

можно использовать для получения

различных привлекательных картинок.

Фигуры с рекурсивным подобием

называются фракталами. Увеличенные

детали фрактала подобны полному

изображению.

Бенуа Мандельброт

– отец фракталов

французский математик,

профессор математических

наук, почетный

преподаватель Йельского

Университета, научный

сотрудник компании «IBM»,

Баттельский член

Тихоокеанской

Национальной лаборатории.

(1924 - 2010 )



Фрактал является графическим отображением цепной дроби.



Фрактал (от латинского «fractus» - разбитый, дробленый,

сломанный) – представляет собой сложную геометрическую

фигуру, которая составлена из нескольких бесконечной

последовательности частей, каждая из которых подобна всей

фигуре целиком, и повторяется при уменьшении масштаба.



Данные математические формы принадлежат гению

выдающегося ученого Бенуа Мандельброта. Свое открытие он

опубликовал в научных трудах, посвященные изучению

«фрактальной геометрии» или «геометрии природы», в

которых разбивал на первый взгляд случайные

математические формы на составные элементы, оказавшиеся

при ближайшем рассмотрении повторяющимися

В

природе

фрактальными

свойствами

обладают

многие

объекты: кроны деревьев, цветная капуста, облака, кровеносная и

альвеолярная

системы

человека

и

животных,

кристаллы,

снежинки,

элементы

которых

выстраиваются

в

одну

сложную

структуру, побережья (фрактальная концепция позволила ученым

измерить береговую линию Британских островов и другие, ранее

неизмеримые, объекты).

Фрактальная геометрия внесла неоценимый вклад в разработку

новых технологий в области цифровой музыки, а так же сделала

возможной

сжатие

цифровых

изображений.

Фракталы

широко

применяются

в

компьютерной

графике

–

при

построении

изображений деревьев, поверхности морей, горных ландшафтов, и

других природных объектов. Интересно, что кроме фрактальной

«живописи»

существуют

так

же

фрактальная

музыка

и

фрактальная

анимация.

Фрактал

построенный

по

математической формуле не менее красив, чем природный.

Из всех геометрических объектов только фракталы обладают

свойствами, сходными со свойствами цепных дробей.

Фракталы в природе

Фракталы в компьютерной графике

«Цепные дроби: скрытая красота.»

Список литературы

Хинчин А.Я.. Цепные дроби. М.: Наука – 1978 – 112 с. с илл.

Бескин Н. М.. Замечательные дроби. Минск: Издательство «Вышэйшая

школа» – 1980 – 124 с.

Арнольд В. И. Цепные дроби —М.: Изд-во МЦНМО, 2009. — 40 с.

Журнал «Квант». Бескин Н. Цепные дроби (№1, 1970)

Журнал «Квант». Бескин Н. Бесконечные цепные дроби (N8, 1970)

Журнал «Квант». Бескин Н. Нестеренко Ю., Никишин Е. Очерк о

цепных дробях (N5,6, 1983)

Мандельброт Б.Б. Фрактальная геометрия природы: Пер. с англ. – М.:

Ин-т компьютерных исследований, 2002. – 656 с.