Табличный способ решения экономической задачи задания №17

профильного ЕГЭ по математике

1задача

В июле 2018 года планируется взять кредит в банке. Условия его возврата

таковы: — каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с

концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо

выплатить одним платежом часть долга. Сколько рублей необходимо взять в

банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя

равными платежами, и банку будет выплачено 311 040 рублей

2 задача

15 января планируется взять кредит в банке на 16 месяцев. Условия его

возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по

сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2-го по 14-е число каждого

месяца необходимо выплатить часть долга; — 15-го числа каждого месяца

долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число

предыдущего месяца. Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая

сумма выплат после полного погашения равнялась 2,34 млн рублей?

№

Сумма

кредита

Срок

кредита

% по

кредиту

Повышающий

коэффициент

платеж

Сумма

выплат

1

2

Таблица для первой задачи ( аннуитетные платежи)

год

Долг на начало года

Долг с

процентами

платеж

Долг на конец года

Таблица для второй задачи (дифференцированные платежи)

месяц

Долг на начало года

платеж

1

2

16

Текстовая задача с экономическим содержанием – относительно

новый вид заданий, появившихся в КИМ ЕГЭ профильного уровня,

хотя задачи «на проценты» в вариантах вступительных экзаменов в вузы

встречались в «доегэшную пору» достаточно часто, особенно если речь шла

об экономических специальностях.

Решение таких задач связано со знанием некоторых специфических

математических моделей из области экономики, умением переводить

сформулированные в виде текста условия в уравнения и неравенства и

пониманием того, как решения полученных уравнений и неравенств

соотносятся с тем, что написано в условии задачи, – то есть какой смысл

имеют полученные результаты.

С чего начать подготовку к решению экономической

задачи? Прежде всего, стоит вспомнить основные правила решения

текстовых задач вообще (они пригодятся и для решения более простой

текстовой задачи № 11 варианта КИМ).

Решение любой текстовой задачи складывается из нескольких основных

моментов:

• чтение условия задачи; читайте его до тех пор, покуда сможете, не

подглядывая в текст, объяснять суть описанного в задаче процесса (без

конкретных числовых данных, конечно, – зазубривать ничего не нужно);

• выбор переменных; для каждого типа задач существуют

рекомендации, какие величины лучше всего обозначать как переменные (и

это не всегда те величины, о которых идет речь в вопросе задачи);

переменных при решении текстовой задачи нужно вводить столько, сколько

их нужно для того, чтобы просто и логично составить уравнения и

неравенства (не бойтесь, если переменных оказалось слишком много –

например, больше, чем число уравнений: если вы все делаете правильно, то

«лишние» переменные взаимно уничтожатся или сократятся; еще один

вариант – в процессе решения надо будет найти не сами переменные по

отдельности, а какую-либо их комбинацию);

• составление уравнений и неравенств, формализация того, что

необходимо найти в процессе решения задачи; при составлении уравнений

обращайте внимание на единицы измерения – они должны быть

одинаковыми для всех одноименных величин;

• решение полученного уравнения, неравенства или системы;

• исследование полученного результата и нахождение ответа на

вопрос задачи.

Рекомендую вам «держать в голове» эти основные шаги решения

текстовой задачи.

На следующем этапе нужно выяснить, насколько хорошо учащиеся

владеют таким понятием как «процент». Начать надо с темы «Вычисление

“простых” процентов». Для этого можно порешать задачи на проценты

прототипа 11 ЕГЭ.

Далее переходим к изучению «Сложных процентов».

Пропускать данный раздел нельзя, т.к. в дальнейшем формулы сложных

процентов мы будем использовать при решении задач с аннуитетными

платежами.

Сложные проценты — эффект часто встречающийся в экономике и

финансах, когда проценты прибыли в конце каждого периода прибавляются к

основной сумме и полученная величина в дальнейшем становится исходной

для начисления новых процентов.

Формула вычисления сложных процентов:

(начисление процентов к исходной сумме)

или

(списание процентов)

Где S- размер первоначального вклада;

– размер вклада через n лет;

r - процентная ставка за расчетный период (день, месяц, год, ...);

n - количество расчетных периодов.

Вывод формулы вычисления сложных процентов выполнить несложно и

лучше вместе с учениками вывести данное соотношение.

Решение экономической задачи целесообразно начинать:

1) с анализа данных в задаче и структурирования их в виде таблицы;

( самое важное!)

2) с представления решения задачи в виде понятного, а значит простого

алгоритма действий. Алгоритм – запоминаем!

Выполнив первые 2 пункта, вы и построите математическую модель.

Далее решение сводится к исследованию этой модели и получению

результата.

И, помните, что каждый тип задачи вы разбираете вместе с учениками, а

потом они самостоятельно решают парные задачи каждого типа!

1. Задачи на «сложные» проценты.

1-1. Вкладчик внес в банк 500000 рублей под 20% годовых. В конце каждого

года из первых трех лет после начисления процентов он дополнительно

вносил одну и ту же сумму. К концу четвёртого года его вклад стал

равным 1364400 рублей. Какую сумму в рублях дополнительно вносил

вкладчик в течение каждого из первых трех лет?

Решение.

S– вклад, S= 500 000 рублей,

r=20% - процент годовых по вкладу,

– «накапливающий» множитель, m

=1,2

Год

Сумма на счете в

начале года

Сумма на счете после

начисления %

Платеж

Остаток на счете в

конце года

1

S

Sm

x

Sm+x

2

Sm+x

Sm

2

+xm

x

Sm

2

+xm+x

3

Sm

2

+xm+x

Sm

3

+xm

2

+xm

x

Sm

3

+xm

2

+xm+x

4

Sm

3

+xm

2

+xm+x

Sm

4

+xm

3

+xm

2

+xm

-

Sm

4

+xm

3

+xm

2

+xm

Можно использовать формулы:

Ответ: 75 000 рублей.

Парная задача

1-2. Вкладчик внёс в банк 500000 рублей под 20% годовых. В конце каждого

из первых трёх лет после начисления процентов он снимал одну и ту же

сумму. К концу четвертого года его вклад стал равным 927600 рублей. Какую

сумму вкладчик снимал в течение каждого из первых трёх лет?

Ответ: 25000 рублей.

2. Задачи на кредиты (платеж равными взносами), аннуитетные

платежи.

Аннуитетный платёж отличает специфика расчёта и выплат – равные части в

течение всего срока кредитования, состоящие из кредитного процента и

суммы основного долга. Современные банки практикуют преимущественно

аннуитетные платежи при кредитовании, ввиду высокой прибыли по

процентам.

2. В июле 2020 года планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия

возврата таковы:

– в январе каждого года долг увеличивается на 20% по сравнению с

предыдущим годом;

– с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом.

Определите, какую сумму взяли в кредит, если известно, что кредит был

выплачен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года) и общая

сумма выплат составила 311040 рублей.

Решение.

S–сумма кредита, S

k

-общая сумма выплат,

r=20% - процент годовых по вкладу,

– «накапливающий» множитель, m=1,2

x рублей-

ежегодная выплата,

Год

Сумма на счете в

начале года

Сумма на счете

после начисления %

Платеж

Остаток на счете в

конце года

1

S

Sm

x

Sm-x

2

Sm-x

Sm

2

-xm

x

Sm

2

-xm-x

3

Sm

2

-xm-x

Sm

3

-xm

2

-xm

x

Sm

3

-xm

2

-xm-x

4

Sm

3

-xm

2

-xm-x

Sm

4

-xm

3

-xm

2

-xm

x

Sm

4

-xm

3-

xm

2

-xm-x

S

k

=4x;

Кредит был погашен за 4 года, значит:

Ответ: 201 300 рублей.

3. Задачи на кредиты (уменьшение долга каждый год или месяц на одну и

ту же величину), дифференцированные платежи.



Основные характеристики дифференцированного платежа



Долг уменьшается равномерно (убывающая арифметическая

прогрессия);



Платежи уменьшаются равномерно (убывающая арифметическая

прогрессия);



Дифференцированный платеж равен

, где S – сумма

(тело) кредита, n – количество выплат, r – процентная ставка;



Первый платеж самый большой;



Последний платеж самый маленький.

При расчете дифференцированного платежа общая сумма основного долга

делится на равные части пропорционально сроку кредитования. Ежемесячно

в течение всего срока погашения кредита заемщик выплачивает банку часть

основного долга плюс начисленные на его остаток проценты.

3. 15–го января планируется взять кредит в банке на 24 месяцев. Условия его

возврата таковы:

– 1–го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом

предыдущего месяца;

– со 2–го по 14–е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15–го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же

величину меньше долга на

15–е число предыдущего месяца

. Известно,

что в течение второго года кредитования нужно вернуть банку 958.5тыс.

рублей. Какую сумму нужно выплатить банку за первые 12 месяцев?

Решение.

S–сумма кредита,

r=1% - ежемесячный процент по вкладу,

n=24 – срок кредитования

Месяц

Сумма на

счете в

начале

месяца

Погашение %

по вкладу

Погашение

тела

кредита

Общие

ежемесячные

выплаты

Остаток на счете в

конце месяца

1 год

1

S

2

3

…

…

…

….

…

…

12

2 год

13

…

…

…

…

…

…

24

Выплаты за 2 год

Выплаты за 1 год

Ответ:1 066 500 рублей.

4. Задачи на вклады (выплата долга в соответствии с данной таблицей

или разные платежи каждый год).

4. 15 января планируется взять кредит в банке на сумму 1 млн рублей

на 6 месяцев. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на целое число r процентов по

сравнению с концом предыдущего месяца, где r – целое число;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15-го числа каждого месяца долг должен

составлять некоторую сумму в соответствии

со следующей таблицей:

Дата

15.01

15.02

15.03

15.04

15.05

15.06

15.07

Долг (в млн. рублей)

1

0.6

0.4

0.3

0.2

0.1

0

Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет

составлять менее 1.2 млн. рублей.

Решение.

r% - ежемесячный процент по вкладу,

– «накапливающий» множитель,

Месяц

Сумма на счете в

начале месяца

Сумма на счете

после начисления %

Платеж

Остаток на счете в

конце месяца

1

1

1m

m-0.6

0.6

2

0,6

0.6m

0.6m-0.4

0.4

3

0,4

0.4m

0.4m-0.3

0.3

4

0,3

0.3m

0.3m-0.2

0.2

5

0,2

0.2m

0.2m-0.1

0.1

6

0,1

0.1m

0.1m

0

Общая сумма выплат равна

S

k

= m-0.6+0.6m-0.4+0.4m-0.3+0.3m-0.2+0.2m-0.1+0.1m=2.6m-1.6;

2.6m<1.2; m<

Ответ: 7%.

Разобранными в данной работе примерами, конечно, не исчерпываются все

возможные вариации задач о вкладах и кредитах.

Сложность таких задач в том, что здесь нет готовых методов

решения, каждая задача уникальна и требует своего подхода. Поэтому

посоветовать можно только одно: чтобы научиться решать такие задачи, надо

их решать.

Использованная литература

1. ЕГЭ 2020. Математика. Профильный уровень. 36 типовых вариантов заданий.

М.: 2020. - 168 с.

2. ЕГЭ. Математика. Задача с экономическим содержанием. 220 задач в формате ЕГЭ с

ответами.

4-е изд., перераб. и доп. - М.: 2018. - 128 с.

3

. ЕГЭ. Математика. Задание 17. Экономическая задача. Гуев. Т.

4.

ЕГЭ 2018. Математика. Задачи с экономическим содержанием. Задача 17 (профильный

уровень) Шестаков С.А.

М.: 2018. - 208 с.