Теорема Пифагора

Теорема Пифагора

Содержание

Содержание



О Пифагоре.



Из истории теоремы.

Из истории теоремы.



Разминка.

Разминка.



Доказательство теоремы.

Доказательство теоремы.



Закрепление материала.

Закрепление материала.



Решение старинных задач.

Решение старинных задач.

Что известно о Пифагоре

Что известно о Пифагоре



В

В

VI

VI

веке до н.э. в Древней Греции

веке до н.э. в Древней Греции

жил ученый

жил ученый

Пифагор

Пифагор

родом из Самоса.

родом из Самоса.



В молодости он

В молодости он

много путешествовал

много путешествовал

по странам

по странам

Востока, побывал в Египте и Вавилоне,

Востока, побывал в Египте и Вавилоне,

где изучал

где изучал

разные науки, в

разные науки, в

том

том

числе математику

числе математику

.

.



Вернувшись на родину, Пифагор

Вернувшись на родину, Пифагор

основал философскую

основал философскую

школу

школу

закрытого типа-

закрытого типа-

Пифагорейский союз

Пифагорейский союз

. Каждый

. Каждый

вступающий в него отрекался от имущества и давал

вступающий в него отрекался от имущества и давал

клятву хранить в тайне учение основателя.

клятву хранить в тайне учение основателя.



Пифагорейцы занимались

Пифагорейцы занимались

математикой, философией

математикой, философией

,

,

естественными

естественными

науками. Ими были сделаны важные

науками. Ими были сделаны важные

открытия в

открытия в

арифметике и геометрии.

арифметике и геометрии.



В школе существовало

В школе существовало

правило

правило

, по которому

, по которому

авторство

авторство

работ присваивалось Пифагору

работ присваивалось Пифагору

. Так что

. Так что

неизвестно

неизвестно

,

,

какие открытия принадлежат самому учёному.

какие открытия принадлежат самому учёному.

Из истории теоремы

Из истории теоремы



«

«

Площадь квадрата

Площадь квадрата

,

,

построенного

построенного

на гипотенузе

на гипотенузе

прямоугольного треугольника,

прямоугольного треугольника,

равна

равна

сумме площадей

сумме площадей

квадратов, построенных

квадратов, построенных

на его

на его

катетах

катетах

», или в виде задачи:

», или в виде задачи:

«Доказать, что

«Доказать, что

квадрат

квадрат

,

,

построенный

построенный

на гипотенузе

на гипотенузе

прямоугольного треугольника,

прямоугольного треугольника,

равновелик сумме квадратов

равновелик сумме квадратов

,

,

построенных

построенных

на катетах

на катетах

:

:

S=S

S=S

1

1

+S

+S

2

2

» - так

» - так

формулировали теорему во

формулировали теорему во

времена Пифагора

времена Пифагора

S

S

1

S

2

Из истории теоремы

Из истории теоремы

Долгое время считалось

Долгое время считалось

, что до Пифагора эта

, что до Пифагора эта

теорема не была известна.

теорема не была известна.

В настоящее время установлено, что она

В настоящее время установлено, что она

встречается в вавилонских текстах, написанных

встречается в вавилонских текстах, написанных

за

за

1200 лет

1200 лет

до Пифагора! Вероятно тогда

до Пифагора! Вероятно тогда

теорема ещё не была доказана, а соотношение

теорема ещё не была доказана, а соотношение

между катетами и гипотенузой было получено

между катетами и гипотенузой было получено

опытным путём.

опытным путём.

Была она известна и древним китайцам, и

Была она известна и древним китайцам, и

индусам.

индусам.

Таким образом, Пифагор

Таким образом, Пифагор

не открыл

не открыл

замечательное

замечательное

свойство прямоугольного треугольника, но,

свойство прямоугольного треугольника, но,

вероятно,

вероятно,

первым обобщил и доказал его

первым обобщил и доказал его

,

,

перенеся таким самым из области практики в

перенеся таким самым из области практики в

область науки. К сожалению, сведения о

область науки. К сожалению, сведения о

доказательстве до нес не дошли.

доказательстве до нес не дошли.

Из истории теоремы

Из истории теоремы



Сегодня известно

Сегодня известно

более ста

более ста

различных доказательств

различных доказательств

теоремы Пифагора

теоремы Пифагора



Вероятно соотношение между

Вероятно соотношение между

катетами и гипотенузой

катетами и гипотенузой

первоначально

первоначально

было

было

установлено для

установлено для

равнобедренного

равнобедренного

прямоугольного треугольника

прямоугольного треугольника

.

.



По рисунку видим, что

По рисунку видим, что

квадрат

квадрат

, построенный

, построенный

на

на

его гипотенузе

его гипотенузе

, разбивается диагоналями

, разбивается диагоналями

на

на

четыре

четыре

равных треугольника

равных треугольника

, а

, а

квадраты

квадраты

,

,

построенные

построенные

на катетах

на катетах

, содержат

, содержат

по два

по два

таких

таких

же треугольника

же треугольника

. Замечаем, что

. Замечаем, что

площадь

площадь

большого квадрата равна

большого квадрата равна

сумме площадей

сумме площадей

малых

малых

квадратов

квадратов

а

b

c

Из истории теоремы

Из истории теоремы



Учащиеся средних веков считали

Учащиеся средних веков считали

доказательство теоремы

доказательство теоремы

очень

очень

трудным

трудным

и прозвали его «ослиным

и прозвали его «ослиным

мостом» или «бегством убогих»,

мостом» или «бегством убогих»,

так как

так как

слабые ученики бежали

слабые ученики бежали

от

от

геометрии, а те,

геометрии, а те,

кто заучивал

кто заучивал

теоремы

теоремы

наизусть

наизусть

, без понимания,

, без понимания,

были не в состоянии

были не в состоянии

осилить

осилить

теорему Пифагора: она служила

теорему Пифагора: она служила

для них чем-то вроде

для них чем-то вроде

непреодолимого моста.

непреодолимого моста.



Из-за иллюстрирующих теорему чертежей учащиеся

Из-за иллюстрирующих теорему чертежей учащиеся

называли её также «ветряной мельницей», рисовали

называли её также «ветряной мельницей», рисовали

забавные карикатуры и придумывали стишки:

забавные карикатуры и придумывали стишки:



«Пифагоровы штаны

«Пифагоровы штаны

Во все стороны равны»

Во все стороны равны»

Из истории теоремы

Из истории теоремы



Теорема Пифагора

Теорема Пифагора

занимает в геометрии

занимает в геометрии

особое

особое

место.

место.



На её основе можно

На её основе можно

вывести или доказать

вывести или доказать

большинство

большинство

теорем.

теорем.



А ещё она замечательна

А ещё она замечательна

тем, что сама по себе вовсе

тем, что сама по себе вовсе

не очевидна

не очевидна

.

.



Сколько не рассматривай

Сколько не рассматривай

прямоугольный

прямоугольный

треугольник, никак не

треугольник, никак не

увидишь, что его стороны

увидишь, что его стороны

а,

а,

b

b

, с

, с

связывает простое

связывает простое

соотношение

соотношение

а

а

а

²

²

+

+

b

b

²= с²

²= с²

b

с

Разминка

Разминка

1.

1.

Определите вид

Определите вид

треугольника,

треугольника,

изображенного на

изображенного на

рисунке.

рисунке.

2.

2.

Как называются

Как называются

стороны такого

стороны такого

треугольника?

треугольника?

3.Укажите названия

3.Укажите названия

каждой стороны

каждой стороны

данного

данного

треугольника.

треугольника.

Разминка

Разминка



По данным

По данным

рисунка

рисунка

найдите

найдите

угол

угол

ß

ß

Ответ:

ß

ß

=α+γ

=α+γ

α

β

γ

Разминка

Разминка



По данным

По данным

рисунка

рисунка

определите вид

определите вид

четырехугольника

четырехугольника

KMNP

KMNP

.

.

А

А

С

С

D

D

В

В

K

K

M

M

N

N

P

P

Доказательство теоремы

Доказательство теоремы



Доказательство:

Доказательство:

рассмотрим

рассмотрим

прямоугольный

прямоугольный

треугольник с катетами

треугольник с катетами

а,

а,

b

b

и гипотенузой

и гипотенузой

с

с

.

.



Докажем, что

Докажем, что



Достроим треугольник

Достроим треугольник

до квадрата со стороной

до квадрата со стороной

а+

а+

b

b

а

b

c

с

с

2

2

=a

=a

2

2

+b

+b

2

2

Дополнительные построения

Дополнительные построения

Доказательство теоремы

Доказательство теоремы



Площадь

Площадь

S

S

этого квадрата равна

этого квадрата равна

(а+

(а+

b

b

)

)

2

2

.

.

С другой стороны, этот

С другой стороны, этот

квадрат составлен из

квадрат составлен из

четырёх

четырёх

равных прямоугольных

равных прямоугольных

треугольников

треугольников

,

,

площадь

площадь

каждого

каждого

из которых равна

из которых равна

½

½

а

а

·

·

b

b

и

и

квадрата

квадрата

со

со

стороной

стороной

с

с

(его

(его

площадь

площадь

равна

равна

с

с

2

2

),

),

поэтому

поэтому



S

S

=4

=4

·

·

½

½

а

а

b

b

+с

+с

2

2

=2а

=2а

b

b

+с

+с

2

2

,

,

Таким образом,

Таким образом,



(а

(а

+

+

b

b

)

)

2

2

=2а

=2а

b

b

+с

+с

2

2

,

,

Откуда

Откуда



с

с

2

2

=a

=a

2

2

+b

+b

2

2

Теорема доказана.

Теорема доказана.

а

а

b

b

а

а

b

b

а

а

b

b

а

а

b

b

с

с

с

с

с

с

с

с

Закрепление материала.

Закрепление материала.

Вычислите, если

Вычислите, если

возможно:

возможно:

1.

1.

Сторону

Сторону

АС

АС

треугольника

треугольника

АВС

АВС





сторону

сторону

MN

MN

треугольника

треугольника

KMN

KMN

А

А

В

В

С

С

М

М

К

К

N

N

1

1

2

2

Ответ: √5

Ответ: √5

12

12

1

3

1

3

Ответ: 5

Ответ: 5

Закрепление материала

Закрепление материала

Вычислите, если

Вычислите, если

возможно:

возможно:



диагональ

диагональ

ВD

ВD

квадрата

квадрата

BCDF

BCDF



сторону

сторону

КР

КР

треугольника

треугольника

КР

КР

R

R

D

D

F

F

В

С

С

К

К

Р

Р

R

R

1

1

3

3

5

5

Ответ:

Ответ:

√2

√2

Ответ:

Ответ:

сторону треугольника

сторону треугольника

вычислить

вычислить

нельзя т.к.неясно, какой вид имеет

нельзя т.к.неясно, какой вид имеет

треугольник.

треугольник.

Закрепление материала

Закрепление материала



Найдите сторону

Найдите сторону

CD

CD

параллелограмма

параллелограмма

АВСD

АВСD

Ответ:4

Ответ:4

√2

√2



Вычислите высоту

Вычислите высоту

CF

CF

трапеции ABCD

трапеции ABCD

D

D

D

D

А

А

В

В

С

С

Н

Н

А

А

В

В

С

С

К

К

F

F

45˚

30

˚

4

4

2

2

Ответ:√3

Ответ:√3

Задача из «Арифметики»

Задача из «Арифметики»

Л.Ф.Магницкого.

Л.Ф.Магницкого.



Случися некоему человеку к стене

Случися некоему человеку к стене

лествицу прибрати, стены же тоя

лествицу прибрати, стены же тоя

высота есть 117 стоп. И обрете

высота есть 117 стоп. И обрете

лествицу долготою

лествицу долготою

125

125

стоп. И

стоп. И

ведати хощет, колико стоп сея

ведати хощет, колико стоп сея

лествицы нижний конец от стены

лествицы нижний конец от стены

omcmoятu имать

omcmoятu имать

.

.

Решение

Решение



Р е ш е н и e. Треугольник

Р е ш е н и e. Треугольник

АВС -

АВС -

прямоугольный

прямоугольный



Пусть ВС = х стоп,

Пусть ВС = х стоп,

тогда по теореме Пифaгopa

тогда по теореме Пифaгopa

АС

АС

2

2

+

+

СВ

СВ

2

2

=АВ

=АВ

2

2

,

,



117

117

2

2

+

+

x

x

2

2

= 125

= 125

2

2

;

;



х

х

2

2

= 125

= 125

2

2

- 117

- 117

2

2

,

,



х

х

2

2

=

=

(125- 117)(125 + 117),

(125- 117)(125 + 117),



х

х

2

2

=8

=8

·

·

242,

242,

х

х

=44.

=44.



О т в е т:

О т в е т:

44 стопы

44 стопы

А

С

В

117

125

Задача Бхаскары (индийского математика XII в.)

Задача Бхаскары (индийского математика XII в.)



На берегу реки рос тополь одинокий.

На берегу реки рос тополь одинокий.

Вдруг ветра порыв его ствол надломал...

Вдруг ветра порыв его ствол надломал...

Бедный тополь упал. И угол прямой

Бедный тополь упал. И угол прямой

C теченьем реки его ствол составлял.

C теченьем реки его ствол составлял.

Запомни теперь, что в том месте река

Запомни теперь, что в том месте река

В четыре лишь фута была широка.

В четыре лишь фута была широка.

Верхушка склонилась у края реки,

Верхушка склонилась у края реки,

Осталось три фута всего от ствола.

Осталось три фута всего от ствола.

Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:

Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:

У тополя как велика высота

У тополя как велика высота

Решение

Решение



Пусть, АВ- высота

Пусть, АВ- высота

тополя, тогда

тополя, тогда

АВ=АС+С

АВ=АС+С

D.

D.

Найдём

Найдём

С

С

D

D

.

.

Треугольник А

Треугольник А

С

С

D-

D-

прямоугольный.

прямоугольный.

По теореме Пифагора

По теореме Пифагора

С

С

D

D

²

²

=АС

=АС

²

²

+АD

+АD

²

²

,

,

С

С

D

D

²

²

=3

=3

²

²

+4

+4

²

²

,

,

откуда

откуда

С

С

D

D

= 5 футов.

= 5 футов.

Значит,

Значит,

АВ=3+5=8 футов

АВ=3+5=8 футов

Из древнеиндийского трактата

Из древнеиндийского трактата



Над озером тихим,

Над озером тихим,

C полфута размером, высился лотоса цвет.

C полфута размером, высился лотоса цвет.

Он рос одиноко. И

Он рос одиноко. И

ветер порывом

ветер порывом

Отнес его в сторону.

Отнес его в сторону.

Нет боле цветка над водой.

Нет боле цветка над водой.

Нашёл же рыбак его ранней весной

Нашёл же рыбак его ранней весной

B двух футах от места, где рос.

B двух футах от места, где рос.

Итак, предложу я вопрос:

Итак, предложу я вопрос:

Как озера вода здесь глубока?

Как озера вода здесь глубока?

А

2

С

В

½

Решение

Решение



Треугольник

Треугольник

АВС –

АВС –

прямоугольный

прямоугольный

АВ = АС+

АВ = АС+

½

½

Тогда по теореме

Тогда по теореме

Пифагора

Пифагора

AB

AB

2

2

=

=

AC

AC

2

2

+CB

+CB

2

2

,

,

(

(

АС

АС

+

+

½

½

)

)

2

2

= АС

= АС

2

2

+2

+2

2

2

,

,

АС

АС

=

=

3

3

¾ фута.

¾ фута.

А

2

С

В

½

Ответ:

3

3

¾ фута

¾ фута

.

.