УЧЕБНАЯ ДИСЦИПЛИНА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Методическая разработка урока

по теме

«Формула полной вероятности. Формула Байеса»

10 класс

Урок разработан

группой учителей математики

Сенгилеевского района

Кирьяновой Н.А.,

Тах Т.Д.,

Феоктистовой Л.В.

ОКТЯБРЬ 2023

ПЛАН – КОНСПЕКТ 1 УРОКА

Тема урока: «Формула полной вероятности. Формула Байеса»

Цель урока:

Создать условия для формирования и усвоения новой учебной информации.

Задачи:

Обучающие:

повторить основные понятия: теория вероятностей, случайные события,

невозможные события, достоверные события, частота и вероятность

случайного события.

рассмотреть новые понятия:

формулу полной вероятности и формулу Байеса;

научить решать задачи по данной теме, применять полученные знания для

решения практических задач.

Развивающие:

развивать внимание, логическое мышление, наблюдательность;

математическую речь, умение анализировать, обобщать изучаемые факты,

выделять и сравнивать существенные признаки.

2

Воспитательные:

воспитывать умение высказывать свою точку зрения, принимать участие в

диалоге, слушать других, умения работать в группе, взаимопомощь.

Тип урока: изучение нового материала.

Оборудование: ноутбук, проектор, мультимедийная презентация, раздаточный

материал (текст задач для обсуждения, текст задач для самостоятельного

решения), доска.

ХОД УРОКА

I.

Организационный момент.

II.

Актуализация опорных знаний. Слуховая работа

3

1) Повторить основные понятия: теория вероятностей, случайные события,

невозможные

события,

достоверные

события,

частота

и

вероятность

случайного события (ребята повторяют правила и приводят примеры, которые

подготовили дома)



Теория вероятностей – это раздел математики, изучающий вероятно-

статистические

закономерности.

Первичным

понятием

теории

вероятностей является событие.



Случайные события – это события, которые при одних и тех же условиях

могут произойти, а могут и не произойти.



События, которые в данных условиях произойти не могут, называются

невозможными.



События,

которые

в

данных

условиях

обязательно

происходят,

называются достоверными.

2)Проверка домашнего задания (ребята дома подготовили примеры к каждому

определению событий)

3)Работа в парах

У вас на столах лежат игральные кубики. Подбросьте два кубика. Посмотрите

какие события произойдут?

А теперь внимание на доску. (На доске записано задание.)

А = {на кубиках выпало одинаковое число очков}

В = {сумма очков на кубиках не превосходит 12}

С = {сумма очков на кубиках равна 11}

Д = {произведение очков на кубиках равно 11}

Вместе обсудите какие события являются случайными, какие достоверными, а

какие невозможными (А; С – случайные; В – достоверное; Д - невозможное)2.

ΙΙΙ. Объяснение нового материала.

4

Теория вероятности - это одна из важнейших областей математики, которая

изучает случайные явления и предсказывает их вероятность. Применение

теории вероятности находится во многих областях, таких как физика,

экономика,

статистика,

биология

и

инженерия.

На

данном

уроке

мы

рассмотрим задачи на полную вероятность и их применение в реальной жизни.

Пример:

Ребята, сейчас я вам предлагаю попробовать решить две задачи.

1.

Чтобы

поступить

в

институт

на

специальность

«Лингвистика»,

абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх

предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить

на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому

из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание. Вероятность

того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6,

по

русскому

языку —

0,8,

по

иностранному

языку —

0,7

и

по

обществознанию — 0,5. Найдите вероятность того, что З. сможет поступить

хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

(После обсуждения проговорить о том, что нужны дополнительные знания,

для того, чтобы решить данную задачу.)

5

Тема урока: ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. ФОРМУЛА БАЙЕСА.

(Ввести понятие полной вероятности и решить задачу)

Полная вероятность - это сумма вероятностей всех возможных исходов.

Она используется для вычисления вероятности наступления события из

нескольких возможных исходов. В данном случае мы предполагаем, что

имеется некоторое событие и множество условий, при которых это событие

может наступить. Полная вероятность возникает тогда, когда у нас имеется

несколько условий, при которых может наступить событие.

Теорема.

Вероятность события А равна сумме произведений вероятностей всех гипотез

на соответствующие условные вероятности события А, т.е.

Р(А) = Р(В

1

) · Р (А) + Р(В

2

) · Р (А) + Р(В

n

) · Р (А).

Доказательство.

Пусть событие А может произойти наступить при условии появления одного из

несовместных событий В

1

, В

2

, …, В

n

. Т.е. А = В

1

· А + В

2

·А + …+ В

n

·А.

Тогда вероятность события А равна P(A) = Р(В

1

· А + В

2

·А + …+ В

n

·А). По

теореме о вероятности суммы несовместных событий получим:

P(A) = Р(В

1

·А + В

2

·А + …+ В

n

·А) = Р(В

1

·А) + Р(В

2

·А ) + …+ Р(В

n

·А).

По теореме о вероятности произведения зависимых событий получим:

P(A) = Р(В

1

·А + В

2

·А+ …+ В

n

·А) = Р(В

1

·А) + Р(В

2

·А ) + …+ Р(В

n

·А) = Р(В

1

) ·

Р (А) + + Р(В

2

) · Р (А) + Р(В

n

) · Р

(А).

Полученная формула называется формулой полной вероятности.

Далее перейти к задаче 2 и показать её решение с помощью графов

(предварительно проговорив в какой сфере деятельности человеку нужна эта

информация)

2.

Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар.

Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая — 55%. Первая фабрика

6

выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 1%. Найдите вероятность того,

что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Формула Байеса, условия её применения, вывод.

Пусть в результате испытания событие A

произошло. Вероятности

гипотез Р(В

i

), где i = 1,...,n можно переоценить. Они были даны до испытания

(теоретические вероятности). После того, как событие А произошло можно

найти условные вероятности Р

А

(В

i

), где i = 1,...,n. Вероятности гипотез

после испытания могут измениться. Если вероятность события А найдена, то

задача переоценки вероятностей гипотез решается по формулам Байеса.

Теорема.

Условная вероятность каждой гипотезы В

i

, где i

= 1,...,n,

после того, как

событие А произошло,

равна отношению вероятности одновременного

появления событий А и В

i

к вероятности события А, т.е.

Р

А

(В

i

) =

, i = 1,...,n.

Доказательство.

Пусть событие А может произойти наступить при условии появления одного из

несовместных событий В

1

, В

2

, …, В

n

, например, В

i

.

Тогда по теореме о вероятности произведения зависимых событий

получим вероятность события А·В

i

:

P(A·В

i

) = Р(А) · Р

А

(В

i

) или P(A·В

i

) = Р(В

i

) · Р

Bi

(А).

Из равенства получим: Р(А) · Р

А

(В

i

) = Р(В

i

) · Р

Bi

(А). Т. е.

Р

А

(В

i

) =

, i = 1,...,n.

В некоторых задачах имеется дополнительная неопределённость, которая

не позволяет непосредственно определить искомую вероятность. Формула

полной вероятности и формула Байеса применяются при решении одного

класса таких задач.

7

Примеры задач на формулу полной вероятности (презентация).

1. В магазин для продажи поступает продукция трех фабрик. Причем, с первой

фабрики 50%, со второй − 30%, с третьей − 20% всей продукции. Для

продукции фабрик брак составляет 2%, 3% и 5% соответственно. Какова

вероятность того, что изделие, случайным образом приобретенное в магазине,

доброкачественное?

Ответ: 0,971.

2. В вычислительной лаборатории имеются шесть клавишных автоматов и

четыре полуавтомата. Вероятность того, что за время выполнения некоторого

расчета автомат не выйдет из строя, равна 0,95; для полуавтомата эта

вероятность равна 0,8. Студент проводит расчет на наудачу выбранной машине.

Найти вероятность того, что до окончания расчета машина не выйдет из строя.

Ответ: 0,89.

Примеры задач на формулы Байеса.

3. 30% приборов собирает специалист высокой квалификации и 70% − средней.

Надежность работы прибора, собранного специалистом высокой квалификации

0,9, а для специалиста средней квалификации − 0,8. Взятый прибор оказался

надежным. Найти вероятность того, что прибор собран специалистом высокой

квалификации.

Ответ: 0,3253.

4. 60% учащихся в школе − девочки. 80% девочек и 75% мальчиков имеют

билеты в театр. Потерян один билет. Кому, вероятнее всего, принадлежал этот

билет: девочке или мальчику?

Ответ: вероятнее, билет принадлежал девочке.

ΙV. Закрепление нового материала.

1) По данным условиям задач (раздаточный материал) определить:

– задачи на формулу полной вероятности;

– задачи на формулы Байеса.

8

1.

Из 18 стрелков пять попадают в мишень с вероятностью 0,8; семь − с

вероятностью 0,7; четыре − с вероятностью 0,6 и два − с вероятностью 0,5.

Найти вероятность того, что наудачу выбранный стрелок не попал в мишень.

Ответ: задача на формулу полной вероятности, где А – наудачу выбранный

стрелок не попал в мишень, В1 – стрелок из группы 5 человек, В2 – стрелок из

группы 7 человек, В3 – стрелок из группы 4 человека, В4 – стрелок из группы 2

человека.

2. Число грузовых машин, проезжающих по шоссе, где стоит бензоколонка,

относится к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе как 3 : 2.

Вероятность того, что заправляется грузовая машина, равна 0,1; для легковой

машины эта вероятность − 0,2.

К бензоколонке для заправки подъехала

машина. Найти вероятность того, что это грузовая машина.

Ответ: задача на формулы Байеса, где А – к бензоколонке для заправки

подъехала машина, В

1

– грузовая машина, В

2

– легковая машина.

3.

Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов.

Вероятность того, что изделие попадет к первому товароведу, равна 0,55, а ко

второму − 0,45. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано

стандартным первым товароведом, равна 0,9, а вторым − 0,98. При проверке

стандартное изделие было признано стандартным. Найти вероятность того, что

это изделие проверял второй товаровед.

Ответ: задача на формулы Байеса, где А – стандартное изделие было

признано стандартным, В

1

– проверял первый товаровед, В

2

– проверял второй

товаровед.

4. В первой урне находятся 1 белый и 9 черных шаров, а во второй − 1 черный

и 5 белых. Из каждой урны случайным образом удалили по одному шару, а все

оставшиеся шары ссыпали в третью урну. Найти вероятность того, что шар,

вынутый из третьей урны, окажется белым.

9

Ответ: задача на формулу полной вероятности, где А – шар, вынутый из

третьей урны, окажется белым, В

1

– из первой урны удалили белый шар и из

второй урны удалили белый шар, В

2

– из первой урны удалили белый шар, из

второй урны удалили черный шар, В

3

– из первой урны удалили черный шар, из

второй урны удалили белый шар, В

4

– из первой урны удалили черный шар и из

второй урны удалили черный шар.

5. В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 с оптическим прицелом. Вероятность

того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим

прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность

равна 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее:

стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него?

Ответ: задача на формулы Байеса, где А – стрелок поразил мишень из наудачу

взятой винтовки, В

1

– винтовка с оптическим прицелом, В

2

– винтовка без

оптического прицела.

6. Из 20 студентов, пришедших на экзамен, 8 подготовлены отлично, 6 −

хорошо, 4 − посредственно и 2 − плохо. В экзаменационных билетах 30

вопросов. Студент, подготовленный отлично, знает все вопросы; хорошо − 25;

посредственно − 20 и плохо − 10 вопросов. Найдите вероятность того, что

некоторый студент ответит на все три вопроса билета.

Ответ: задача на формулу полной вероятности.

2) ГРУППОВАЯ РАБОТА

1-я группа решает задачи 1,4,6 с помощью формулы полной вероятности;

2-я группа решает задачи 2,3,5 с помощью формулы Байеса.

(Далее от каждой группы выступают ученики и объясняют решение задач своей

группы.)

V. Рефлексия. Итог урока.

10

Подведение итогов урока. Формулировка выводов.

ВЫВОД

Задачи

на

полную

вероятность

позволяют

предсказывать

вероятность

наступления событий в реальном мире. Важно понимать, что теория

вероятности - это основа многих научных и инженерных дисциплин и

позволяет делать разумные выводы на основе вероятностных вычислений.

VI. Домашнее задание.

Решить задачи:

№1 Для участия в студенческих отборочных соревнованиях из первой группы

выделено четыре студента, из второй – шесть, из третьей – пять студентов.

Вероятности попадания для студента каждой группы в сборную колледжа

соответственно равны 0,5; 0,4; 0,3. Какова вероятность того, что наудачу

выбранный участник соревнований попал в сборную?

№2 Теннисист идет на игру. Если ему дорогу перебежит черная кошка, то

вероятность победы – 0,2; если не перебежит, то – 0,7. Вероятность, что кошка

перебежит дорогу – 0,1, что не перебежит – 0,9. Какова вероятность победы?

№3 Имеется две урны. В первой урне 5 белых и 5 черных. Во второй урне три

белых шара и два черных. Наудачу выбирается урна и из нее наудачу

вынимается шар. Какова вероятность того, что вынутый шар белый?

№4 Имеются три завода по производству телевизоров. Первый завод выпускает

70% продукции, второй завод – 20% продукции, третий завод – 10% продукции.

У первого завода 10% брака, у второго – 5% брака, у третьего – 3% брака.

Какова вероятность того, что купленный в магазине телевизор будет

бракованным.

11

№5

Вероятность

того,

что

клиент

банка

не

вернет

заем

в

период

экономического роста, равна 0,04 и 0,13 – в период экономического кризиса.

Предположим, что вероятность того, что начнется период экономического

роста, равна 0,65. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный

клиент банка не вернет полученный кредит?

На следующем уроке предлагается выполнить практическую

работу.

12

Тема: «Вычисление вероятностей сложных событий с помощью формулы полной вероятности и формулы Байеса

(урок №2 по данной теме)

Цель: решение задач с использование формулы полной вероятности и формулы Байеса.

Краткая теория и методические рекомендации

Формула полной верятности позволяет определить вероятность события А, которое может наступить при условии

появления одного из несовместных событий В

1

, В

2

, … В

n

, образующих полную группу.

Р(А) = Р(В

1

)·Р

В1

(А) + Р(В

2

)·Р

В2

(А) + … + Р(В

n

)·Р

Вn

(А)

Чтобы оценить вероятности гипотез В

1

, В

2

, … В

n

, после того как стал известен результат испытания, используется

формула Байеса.

Ход работы

1.Ответить на вопросы по теме: “Формула полной вероятности. Формула Байеса”.

2.Решить задачи по алгоритму (1-4) и сверить с эталоном решения.

3.Самостоятельно решить задачи.

Вопросы:

1. Какие события называют гипотезами?

2. Напишите формулу полной вероятности.

3. Напишите формулу Байеса.

4. Какой вероятностный смысл имеют эти формулы?

Алгоритм решения задач:

4. Определить вероятности гипотез Р(В

1

), P(В2),.…, Р(В

n

).

5. Найдите условные вероятности события A: P(A/В

1

), Р(А/В

2

),…Р(А/В

n

).

6. Вычислите полную вероятность события А (или использовать формулу Байеса).

Примеры решения задач

Пример 1. В первом ящике содержится 20 деталей, из них 15 стандартных; во втором 30 деталей, из них 24 стандартных;

в третьем – 10 деталей, из них 6 стандартных. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь из наудачу взятого

ящика – стандартная.

Решение

1. Обозначим через А – событие«взятая наудачу деталь

стандартна»

Событие В

1

– деталь извлечена из первого ящика;

Событие В

2

– деталь извлечена из второго ящика

Событие В

3

– деталь извлечена из третьего ящика

Решение с помощью графа

А – событие«взятая наудачу деталь стандартна»

14

2. Определим вероятности событий В

1

, В

2

и В

3

.

Вероятность того, что деталь взята из первого ящика Р(В

1

) =

1/3

Вероятность того, что деталь взята из первого ящика Р(В

2

) =

1/3

Вероятность того, что деталь взята из первого ящика Р(В

3

) =

1/3

3. Определим условные вероятности.

Условная вероятность того, что из 1 ящика была извлечена

стандартная деталь: Р

В1

(А) =

Условная вероятность того, что из 2 ящика была извлечена

стандартная деталь: Р

В2

(А) =

Условная вероятность того, что из 3 ящика была извлечена

стандартная деталь: Р

В3

(А) =

4.По формуле полной вероятности определим вероятность

события А:

По

формуле

полной

вероятности

определим

вероятность события А:

Р(А) =

=

.

Ответ: Р(А) = 0,72

15

Р(А) =

=

.

Ответ: Р(А) = 0,72

Пример 2. На заводе, изготовляющем болты, первая машина производит 25%, вторая - 35%, третья - 40% всех изделий. В

их продукции брак составляет соответственно 5, 4 и 2%. Случайно выбранный из продукции болт оказался дефектным.

Какова вероятность того, что он был произведен первой машиной?

Решение

1. Обозначим через А – событие «выбран болт с дефектом»

В

1

– болт произведен 1 машиной; В

2

– болт произведен 2

машиной; В

3

– болт произведен 3 машиной

2. По условию задачи имеем:

Р(В

1

) = 0,25

Р(В

2

) = 0,35

Р(В

3

) = 0,4

Р

В1

(А) = 0,05

Р

В2

(А) = 0,04

Решение с помощью графа

Обозначим через А – событие «выбран болт с дефектом»

В

1

– болт произведен 1 машиной; В

2

– болт произведен 2

машиной; В

3

– болт произведен 3 машиной

16

Р

В3

(А) = 0,02

3.По формуле Байеса определим вероятность гипотезы В, при

условии что выбран болт с дефектом:

Ответ:

=0,36

По формуле Байеса определим вероятность гипотезы В,

при условии что выбран болт с дефектом:

Ответ:

=0,36

Задания для самостоятельной работы

I вариант

1.

В ящике содержится 12 деталей, изготовленных на

II вариант

1.

В магазин поступили телевизоры от 3 фирм. На долю 1

17

заводе №1, 20 деталей – на заводе №2 и 18 деталей – на

заводе

№3.

Вероятность

того,

что

деталь,

изготовленная на заводе №1, отличного качества, равна

0,9; для деталей, изготовленных на заводах №2 и №3,

эти вероятности соответственно равны 0,6 и 0,9. Найти

вероятность того, что извлеченная наудачу деталь

окажется отличного качества.

2.

Два оператора набили по одинаковому комплекту

перфокарт. Вероятность того, что первый оператор

допустит ошибку, равна 0,1; для второго оператора эта

вероятность равна 0,2. При сверке перфокарт была

обнаружена ошибка. Какова вероятность того, что

ошибся первый оператор?

3.

В магазин поступили телевизоры от 3 фирм. На долю 1

фирмы приходится 50% от общего числа поставок, на

долю 2 фирмы – 20%, а на долю 3 фирмы – 30%. Из

практики известно, что бракованными оказываются 4%

поставляемых 1 фирмой, 3% поставляемых 2 фирмой и

5% поставляемых 3 фирмой. Найти вероятность того,

что купленный в магазине и оказавшийся бракованным

фирмы приходится 50% от общего числа поставок, на

долю 2 фирмы – 20%, а на долю 3 фирмы – 30%. Из

практики известно, что бракованными оказываются 4%

поставляемых 1 фирмой, 3% поставляемых 2 фирмой и

5% поставляемых 3 фирмой. Найти вероятность того,

что купленный в данном магазине телевизор окажется

бракованным.

2.

В больницу поступает в среднем 50% больных с

заболеванием А, 30% с заболеванием В, 20% с

заболеванием С. Вероятность полного выздоровления

для каждого заболевания соответственно равна 0,7; 0,8;

0,9. Больной был выписан из больницы здоровым.

Найти вероятность того, что он страдал заболеванием

А.

3.

Завод

выпускает

3

типа

предохранителей

для

магнитофона. Доля каждого из них в общем объеме

составляет

30,

50

и

20%.

При

перегрузке

сети

предохранитель 1 типа срабатывает с вероятностью

0,8%, 2 типа 0,9 и 3 типа 0,85%. Выбранный наугад

предохранитель сработал при перегрузке сети. Какова

18

телевизор, был произведён первой фирмой.

вероятность того, что он принадлежал к 1 типу?

19

Контрольная работа по теме “Элементы теории вероятностей”.

Вариант 1.

1. Конкурс исполнителей проводится в 3 дня. Всего заявлено 60 выступлений

— по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из

России участвует в конкурсе. В первый день 30 выступлений, остальные

распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений

определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление

представителя России состоится в третий день конкурса?

2. В среднем из 2000 садовых насосов, поступивших в продажу, 14 подтекают.

Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос

не подтекает.

3. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите

вероятность того, что наступит исход ООО (все три раза выпадает орёл).

4. Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут жребий, чтобы

определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Мотор» по

очереди играет с командами «Статор», «Стартер» и «Ротор». Найдите

вероятность того, что «Мотор» будет начинать с мячом только вторую игру.

5. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,8, если стреляет из

пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из не пристрелянного

револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10

револьверов, из них только 2 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене

муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху.

Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

6. В коробке 8 синих, 6 красных и 11 зелёных фломастеров. Случайным

образом выбирают два фломастера. Какова вероятность того, что окажутся

выбраны один синий и один красный фломастер?

7. При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на

ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в

88% случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в

среднем в 92% случаев. Известно, что в среднем тест оказывается

положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование. При

обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который

оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно

имеет это заболевание?

8. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно

набрать хотя бы 7 очков в двух играх. Если команда выигрывает, она получает

6 очков, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите

вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований.

Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и

равны 0,3.

Контрольная работа по теме “Элементы теории вероятностей”.

Вариант 2.

1. На чемпионате по прыжкам к поду выступают 70 спортсменов, среди них 20

прыгунов из Голландии и 36 прыгунов из Колумбии, и 14 из Сербии. Порядок

выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что

шестым будет выступать прыгун из Сербии.

2. В сборнике билетов по истории всего 20 билетов, в 12 из них встречается

вопрос по теме "Петр Первый". Найдите вероятность того, что в случайно

выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме "Петр

Первый".

3. Из множества натуральных чисел от 25 до 39 наудачу выбирают одно число.

Какова вероятность того, что оно делится на 5?

4. Симметричную монету бросают 10 раз. Во сколько раз вероятность события

«выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла»?

5. В ящике три красных и три синих фломастера. Фломастеры вытаскивают по

21

очереди в случайном порядке. Какова вероятность того, что первый раз синий

фломастер появится третьим по счету?

6. Маша коллекционирует принцесс из Киндер-сюрпризов. Всего в коллекции

10 разных принцесс, и они равномерно распределены, то есть в каждом

очередном Киндер-сюрпризе может с равными вероятностями оказаться любая

из 10 принцесс.

У Маши уже есть четыре разные принцессы из коллекции. Какова вероятность

того, что для получения следующей принцессы Маше придётся купить ещё 2

или 3 шоколадных яйца?

7. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Обслуживание

автоматов происходит по вечерам после закрытия центра. Известно, что

вероятность события «К вечеру в первом автомате закончится кофе» равна 0,25.

Такая же вероятность события «К вечеру во втором автомате закончится кофе».

Вероятность того, что кофе к вечеру закончится в обоих автоматах, равна 0,15.

Найдите вероятность того, что к вечеру дня кофе останется в обоих автоматах.

8. Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не

превысила число 2. Какова вероятность того, что для этого потребовалось два

броска? Ответ округлите до сотых

Контрольная работа по теме “Элементы теории вероятностей”.

Вариант 3.

1. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить,

какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Труд» играет три матча с

разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Труд»

выиграет жребий ровно один раз.

2. На тарелке 16 пирожков: 7 с рыбой, 5 с вареньем и 4 с вишней. Юля наугад

выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.

3. На конференцию приехали 5 ученых из Финляндии, 4 из Австрии и 3 из

Хорватии. Каждый из них делает на конференции один доклад. Порядок

22

докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что вторым

окажется доклад ученого из Хорватии.

4. Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень даётся

не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым

отдельным выстрелом равна 0,5. Во сколько раз вероятность события «стрелок

поразит ровно три мишени» больше вероятности события «стрелок поразит

ровно две мишени»?

5. В ящике четыре красных и шесть синих фломастеров. Фломастеры

вытаскивают по очереди в случайном порядке. Какова вероятность того, что

первый раз синий фломастер появится третьим по счету?

6. При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на

ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в

91% случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в

среднем в 93% случаев. Известно, что в среднем тест оказывается

положительным у 13% пациентов, направленных на тестирование. . При

обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который

оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно

имеет это заболевание?

7. В одном ресторане в г. Тамбове администратор предлагает гостям сыграть в

«Шеш-беш»: гость бросает одновременно две игральные кости. Если он

выбросит комбинацию 5 и 6 очков хотя бы один раз из двух попыток, то

получит комплимент от ресторана: чашку кофе или десерт бесплатно. Какова

вероятность получить комплимент? Результат округлите до сотых.

8. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 55% яиц из

первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 35%

яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 45% яиц. Найдите

вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого

хозяйства.

Контрольная работа по теме “Элементы теории вероятностей”.

23

Вариант 4.

1. В сборнике билетов по философии всего 20 билетов, в 15 из них встречается

вопрос по теме "Онтология". Найдите вероятность того, что в случайно

выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по теме

"Онтология".

2. За круглый стол на 5 стульев в случайном порядке рассаживаются 3 мальчика

и 2 девочки. Найдите вероятность того, что девочки не будут сидеть рядом.

3. Перед началом первого тура чемпионата по шахматам участников разбивают

на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате

участвуют 76 шахматистов, среди которых 19 спортсменов из России, в том

числе Иван Котов. Найдите вероятность того, что в первом туре Иван Котов

будет играть с каким либо шахматистом из России.

‐

4. Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень даётся

не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым

отдельным выстрелом равна 0,8. Во сколько раз вероятность события «стрелок

поразит ровно пять мишеней» больше вероятности события «стрелок поразит

ровно четыре мишени»?

5. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из

пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного

револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10

револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене

муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху.

Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

6. В коробке 9 синих, 4 красных и 12 зелёных фломастеров. Случайным

образом выбирают два фломастера. Какова вероятность того, что окажутся

выбраны один синий и один красный фломастер?

7. Маша коллекционирует принцесс из Киндер-сюрпризов. Всего в коллекции

10 разных принцесс, и они равномерно распределены, то есть в каждом

очередном Киндер-сюрпризе может с равными вероятностями оказаться любая

24

из 10 принцесс. У Маши уже есть три разные принцессы из коллекции. Какова

вероятность того, что для получения следующей принцессы Маше придётся

купить ещё 1 или 2 шоколадных яйца?

8. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что

готовая батарейка неисправна, равна 0,03. Перед упаковкой каждая батарейка

проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует

неисправную батарейку, равна 0,95. Вероятность того, что система по ошибке

забракует исправную батарейку, равна 0,04. Найдите вероятность того, что

случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой

контроля.

Ответы:

В.1

1. 0,25

2. 0,993

3. 0, 125

4. 0,125

5. 0,68

6. 0,16

7. 0,22

В2.

1. 0,2

2. 0,6

3. 0, 2

4. 1,2

5. 0,15

6. 0,6

7. 0,65

В3.

1. 0,375

2. 0,25

3. 0,25

4. 3

5. 0,1

6. 0,5

7. 0,11

В4.

1. 0,25

2. 0,5

3. 0,24

4. 4,8

5. 0,52

6. 0,12

7. 0,91

25

8. 0,33

8. 0,31

8. 0,5

8. 0,0673

Задания для подготовки к контрольной работе по теме “Элементы теории

вероятностей”

1. На олимпиаде по истории 400 участников разместили в трёх аудиториях. В

первых двух удалось разместить по 150 человек, оставшихся перевели в

запасную аудиторию в другом корпусе. Найдите вероятность того, что

случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории. (0,25)

2. В фирме такси в данный момент свободно 20 машин: 3 белых, 11 синих и 6

серых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к

заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет белое такси. (0, 15)

3. На конференцию приехали 5 ученых из Финляндии, 4 из Австрии и 3 из

Хорватии. Каждый из них делает на конференции один доклад. Порядок

докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что вторым

окажется доклад ученого из Хорватии. (0,25)

4. На экзамене 40 вопросов. Дима не выучил 6 из них. Найдите вероятность

того, что ему попадется выученный вопрос. (0,85)

5. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из

пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного

револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,4. На столе лежит 10

револьверов, из них только 2 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене

муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху.

Найдите вероятность того, что Джон промахнётся. (0,5)

6. В коробке 8 синих, 9 красных и 8 зелёных фломастеров. Случайным образом

26

выбирают два фломастера. Какова вероятность того, что окажутся выбраны

один синий и один красный фломастер? (0,24)

7. При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на

ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в

86% случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в

среднем в 94% случаев. Известно, что в среднем тест оказывается

положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование.

При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест,

который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент

действительно имеет это заболевание? (0,43)

8. Маша коллекционирует принцесс из Киндер-сюрпризов. Всего в коллекции

10 разных принцесс, и они равномерно распределены, то есть в каждом

очередном Киндер-сюрпризе может с равными вероятностями оказаться любая

из 10 принцесс.

У Маши уже есть шесть разных принцесс из коллекции. Какова вероятность

того, что для получения следующей принцессы Маше придётся купить ещё 2

или 3 шоколадных яйца? (0,384)

9. Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не

превысила число 3. Какова вероятность того, что для этого потребовалось

ровно два броска? Ответ округлите до сотых. (0,42)

10. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 60% яиц из

первого хозяйства  — яйца высшей категории, а из второго хозяйства  — 70%

яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 65% яиц. Найдите

вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого

хозяйства. (0,5)

27