Автор: Михайлов Сергей Иванович
Должность: Преподаватель
Учебное заведение: АУГСГиП
Населённый пункт: Санкт-Петербург
Наименование материала: Методическая разработка
Тема: Предел функции: теория и практика для специальности 09.02.07 "Информационные системы и программирование"
Раздел: среднее профессиональное
1. Теоретические сведения
Определение 1.
Число b
называется пределом функции
f
(
x
)
при
x
стремящемся к
a
(т.е. при
x→a
¿
, если для любого
ε
>
0
существует число
δ
>
0
такое, что для всех
x ,
удовлетворяющих неравенству
|
x
−
a
|
<
δ ,
верно
неравенство
|
f
(
x
)
−
b
|
<
ε .
Смысл данного определения заключается в следующем: для любого
произвольно
выбранного
положительного
числа
ε
можно
подобрать
положительное число
δ
(вообще говоря, в общем случае оно будет зависеть
от выбранного числа
ε
) такое, что, какое бы число
x
0
из промежутка
(
a
−
δ ; a
+
δ
)
мы ни подставили вместо переменной
x
в функцию
f
(
x
)
,
полученное такой подстановкой значение
f
(
x
0
)
функции обязательно попадет
в промежуток
(
b
−
ε ; b
+
ε
)
.
Тот факт, что число b есть предел функции
f
(
x
)
при
x → a ,
обозначается
b
=
lim
x→ a
f
(
x
)
.
Утверждение 1. Вообще говоря, предел функции в данной точке может
и не существовать. Но если он всё же существует, то он единственен.
Предел может быть конечным, а
может быть бесконечным. Например,
по графику функции
y
=
1
x
мы видим,
что
при
x→0
график
функции
поднимается всё выше и выше, т.е.
функция
неограниченно
возрастает
при приближении аргумента
x
к 0. Это
и означает, что
lim
x →0
1
x
=
∞ .
Теорема 1.
Свойства пределов
функции
1
:
1) Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) пределов
этих функций:
lim
x →a
(
f
(
x
)
± g
(
x
)
)
=
lim
x →a
f
(
x
)
± lim
x →a
g
(
x
)
.
2) Предел произведения функций равен произведению пределов этих
функций:
lim
x →a
(
f
(
x
)
∙ g
(
x
)
)
=
lim
x →a
f
(
x
)
∙ lim
x→ a
g
(
x
)
.
1
В данных формулировках свойства верны, если все пределы, о которых идет речь, существуют и конечны.
Рисунок 1. График функции
y
=
1
x
3) Предел частного двух функций равен частному пределов этих
функций (при условии, что предел второй функции не равен нулю):
lim
x →a
f
(
x
)
g
(
x
)
=
lim
x →a
f
(
x
)
lim
x → a
g
(
x
)
.
Следствие 1. 1) Постоянный множитель (т.е. число) можно выносить за
знак предела, т.е. если
c
– число, то
lim
x →a
(
c ∙ f
(
x
)
)
=
c ∙ lim
x→ a
f
(
x
)
.
2) Если
n
– натуральное число, то
lim
x →a
(
f
(
x
)
)
n
=
(
lim
x → a
f
(
x
)
)
n
.
Определение 2. Функция
f
(
x
)
называется бесконечно малой в точке
a
(или при
x→a
¿
,
если предел этой функции при
x→a
равен нулю.
Пример такой функции – функция
y
=
1
x
.
При неограниченном увеличе-
нии ее аргумента
x
(т.е. при
x→∞
) она всё ближе и ближе приближается к оси
Ох, т.е. к нулю (напомним, что ось Ох – это горизонтальная прямая, которая
имеет уравнение
x
=
0
¿
. Это и означает, что функция
lim
x→ ∞
1
x
=
0
и, значит, она
является бесконечно малой при
x→∞
.
Другой пример – функция
y
=
x
2
.
Ее предел при
x→0
равен нулю. В
самом деле, при приближении аргумента
x
к 0 сама функция тоже
приближается к 0. Значит, действительно,
lim
x →0
x
2
=
0.
Поэтому, согласно
определению 1.1.2, функция
y
=
x
2
является бесконечно малой при
x → 0.
Определение 3. Функция
f
(
x
)
называется бесконечно большой в точке
a
(или при
x→a
¿
,
если предел этой функции при
x→a
равен
∞
.
Ранее в настоящем параграфе мы уже упоминали функцию
y
=
1
x
и, в
частности, убедились, что
lim
x →0
1
x
=
∞ .
По определению 3, раз предел функции
1
x
при
x→0
равен
∞ ,
то функция
y
=
1
x
является бесконечно большой при
x → 0.
Безусловно, это не единственный пример бесконечно большой функции.
Мы еще не раз встретимся с бесконечно большими функциями в настоящей
публикации.
Теорема 2. Если функция
y
=
f
(
x
)
– бесконечно малая при
x→a
, то
«перевёрнутая» функция
y
=
1
f
(
x
)
– бесконечно большая при
x→a
, и наобо-
рот.
Например, выше мы уже говорили, что функция
y
=
x
2
является бесконе-
чно малой при
x → 0.
Значит, «перевёрнутая» функция
y
=
1
x
2
будет бесконечно
большой при
x → 0.
Теорема 3. Свойства бесконечно малых функций:
1) Сумма и разность бесконечно малых функций есть снова бесконечно
малая функция, т.е. если
y
=
f
(
x
)
и
y
=
g
(
x
)
две бесконечно малые функции в
одной и той же точке
x → a ,
то их сумма – функция
y
=
f
(
x
)
+
g
(
x
)
– будет тоже
бесконечно малой в точке
x → a .
Аналогично и функция
y
=
f
(
x
)
−
g
(
x
)
будет
тоже бесконечно малой в точке
x → a .
2) Произведение бесконечно малых функций есть снова бесконечно
малая функция, т.е. если
y
=
f
(
x
)
и
y
=
g
(
x
)
две бесконечно малые функции в
одной и той же точке
x → a ,
то их произведение – функция
y
=
f
(
x
)
∙ g
(
x
)
– будет
тоже бесконечно малой в точке
x → a .
3) Если функция
y
=
f
(
x
)
– бесконечно малая (большая) при
x→a
, и
c
–
произвольное ненулевое число, то функция вида
y
=
c ∙ f
(
x
)
, и, в частности,
функция
y
=
f
(
x
)
c
является бесконечно малой (большой) при
x → a .
Следствие 2. Из теоремы 3 следует, что функция вида
y
=
c
x
n
,
где
c
– любое вещественное число, а
n
– любое положительное число,
является бесконечно малой при
x → 0.
На основании вышеизложенного теоретического материала можно
сформулировать общий алгоритм вычисления пределов функции.
Пусть необходимо вычислить
lim
x →a
f
(
x
)
.
Для этого необходимо:
1) Подставить число
a
в функцию
f
(
x
)
вместо переменной
x .
2) В результате пункта 1) может возникнуть один из следующих вариан-
тов:
Понятные:
1А) Число
1Б)
Число
∞
Неопределенности:
2А)
0
0
1В)
Ненулевое число
0
1Г)
∞
число
1Д)
0
ненулевое число
1Е)
ненулевое число
ненулевое число
2Б)
∞
∞
2В)
∞
−
∞
2Г)
0 ∙ ∞
2Д)
0
0
2Е)
0
∞
2Ж)
∞
0
2З)
1
∞
3) В случае понятных вариантов вычисляемый предел будет равен:
Результат
Причина
1А) Полученному числу
Очевидно
1Б)
0
.
По теореме 2: если делим на бес-
конечно
большую
функцию,
то
получаем бесконечно малую.
1В)
∞ .
По теореме 2: если делим на бес-
конечно малую функцию, то получа-
ем бесконечно большую.
1Г)
∞ .
По пункту 3) теоремы 3
1Д)
0.
По пункту 3) теоремы 3
1Е) Результату деления.
Очевидно
Если же получили неопределенность (что-либо из пунктов 2А) – 2З)), то
необходимо вначале преобразовать функцию таким образом, чтобы избавить-
ся от неопределенности, и затем начать алгоритм заново.
2. Примеры вычисления простейших пределов
Пример 1. Вычислить предел
lim
x →2
(
5 x
3
−
6 x
2
+
x
−
5
)
.
◄Идем согласно алгоритму:
lim
x →2
(
5 x
3
−
6 x
2
+
x
−
5
)
=¿
¿
|
подставляем число 2, к которому стремится x , в функцию вместо x
|
=¿
¿
5 ∙2
3
−
6 ∙2
2
+
2
−
5
=
|
считаем
|
=
5 ∙8
−
6 ∙ 4
+
2
−
5
=¿
¿
40
−
24
+
2
−
5
=
13.
Получили вариант 1А) пункта 2) алгоритма. Пункт 3) алгоритма говорит нам,
что получившееся число и будет искомым пределом.
Ответ: 2. ►
Пример 2. Вычислить предел
lim
x →2
x
2
−
x
+
1
x
−
3
.
◄ Идем согласно алгоритму:
lim
x →2
x
2
−
x
+
1
x
−
3
=¿
¿
|
подставляем число 2, к которому стремится x , в функцию вместо x
|
=¿
¿
2
2
−
2
+
1
2
−
3
=
4
−
2
+
1
2
−
3
=
|
считаем
|
=
−
3
−
1
=¿
прекрасноделится
∨¿
3.
Получили вариант 1А) пункта 2) алгоритма. Пункт 3) алгоритма говорит нам,
что получившееся число и будет искомым пределом.
Ответ: 3. ►
Пример 3. Вычислить предел
lim
x →3
8
5 x
−
15
.
◄ Идем согласно алгоритму:
lim
x →3
8
5 x
−
15
=¿
¿
|
подставляем число 3 , к которому стремится x , в функцию вместо x
|
=¿
¿
8
5∙ 3
−
15
=
|
считаем
|
=
8
15
−
15
=
8
0
.
Получили вариант 1В) пункта 2) алгоритма. Пункт 3) алгоритма говорит нам,
что ответом на 1В) будет
∞
. Следовательно, искомый предел равен
∞ .
Ответ:
∞
. ►
Раз предел получился равным
∞ ,
то, как мы помним, по определению 3
функция
8
5 x
−
15
будет бесконечно больной при
x → 3.
Пример 4. Вычислить предел
lim
x→ ∞
8
3 x
+
1
.
◄ Идем согласно алгоритму:
lim
x→ ∞
8
3 x
+
1
=¿
¿
|
подставляем ∞, к которому стремится x , в функцию вместо x
|
=¿
¿
8
3∙ ∞
+
1
.
Что с этим делать? Как посчитать? Подумаем. Если
x→∞
, то тем более
3 x→∞
(т.е. в три раза быстрее, чем
x
¿
. Тем более
3 x
+
1→∞
(еще на 1 быстрее
сдвигаемся к
∞
). Значит, в знаменателе дроби
8
3∙ ∞
+
1
находится
∞
. Таким образом, имеем дробь
8
∞
.
Получили вариант 1Б) пункта 2) алгоритма. Пункт 3) алгоритма говорит нам,
что ответом на пункт 1Б) является 0. Значит, искомый предел равен нулю.
Ответ: 0. ►
Пример 5. Вычислить предел
lim
x →1
x
2
−
2 x
+
1
x
2
−
x
+
5
.
◄Идем согласно алгоритму:
lim
x →1
x
2
−
2 x
+
1
x
2
−
x
+
5
=¿
¿
|
подставляем число 1, к которому стремится x ,в функцию вместо x
|
=¿
¿
1
2
−
2∙ 1
+
1
1
2
−
1
+
5
=
|
считаем
|
=
1
−
2
+
1
1
−
1
+
5
=
0
5
.
Получили вариант 1Д) пункта 2) алгоритма. Пункт 3) алгоритма говорит нам,
что ответом на пункт 1Д) является 0. Действительно, результатом деления 0
на 5 и вправду является 0. Значит, искомый предел равен нулю.
Ответ: 0. ►
3. Раскрытие неопределенностей
Как видим, если при алгоритме возникают случаи 1А) – 1Е), то всё до-
вольно
просто.
Что
же
делать,
если
появляется
какая-то
из
неопределенностей 2А) – 2З)? Как уже было сказано в алгоритме,
необходимо преобразовать функцию так, чтобы неопределенность каким-то
образом
ликвидировалась,
а
после
этого
начать
алгоритм
сначала.
Рассмотрим, как это работает, на примере неопределенностей
2
2А) и 2Б), т.е.
0
0
и
∞
∞
.
2
Почему называются «неопределенности»? Наверное, потому, что ответ заранее не определен: в
зависимости от функции результат вычисления может быть совершенно любым.
А) Неопределенность вида
∞
∞
.
Если имеем
x → ∞ ,
а функция представляет собой дробь
многочлен
многочлен
,
то для
преобразования такой функции необходимо:
выбрать наибольшую из старших степеней числителя и знамена-
теля;
разделить числитель и знаменатель функции на
x
в этой степени;
полученные маленькие дроби по возможности сократить;
снова воспользоваться пунктами 1) и 2) алгоритма п.1.2.1,
учитывая теорему 2.
На словах алгоритм
3
может показаться довольно непонятным, поэтому
проиллюстрируем его тремя примерами.
Пример 6. Вычислить предел
lim
x→ ∞
x
2
−
8 x
+
6
x
2
+
3 x
−
2
.
◄ Идем согласно алгоритму:
lim
x→ ∞
x
2
−
8 x
+
6
x
2
+
3 x
−
2
=
∞
2
−
8 ∙ ∞
+
6
∞
2
+
3∙ ∞
−
2
=
∞
∞
.
Раз имеем
∞
∞
,
идем по алгоритму для этой неопределенности.
Старшая степень числителя равна
x
2
,
знаменателя – тоже
x
2
.
Наибольшая степень между
x
2
и
x
2
равна
x
2
.
Значит, делим числи-
тель и знаменатель функции на
x
2
.
Получаем:
3
Этот алгоритм работает только при условии, что
x→∞
. В других случаях он не может быть
применим, ибо там используется теорема 2. По ней, например, можно сказать, что
lim
x →∞
1
x
2
=
0.
Если
же
x
стремится куда-то еще, то такой предел не будет равен нулю. Например, по алгоритму
lim
x→ 2
1
x
2
=¿
1
4
,
а не 0. В общем, применение данного алгоритма становится бессмысленным. И часто
студенты совершают грубую ошибку, используя его везде и всюду, в том числе и там, где
x
не
стремится к бесконечности, «на автопилоте» устремляя дроби
1
x
2
к нулю, хотя нигде, кроме случая
x→∞
эти дроби к 0 не стремятся .
lim
x→ ∞
x
2
−
8 x
+
6
x
2
+
3 x
−
2
=
lim
x → ∞
x
2
−
8 x
+
6
x
2
x
2
+
3 x
−
2
x
2
=
|
возможно почленное деление
|
=¿
¿
lim
x→ ∞
x
2
x
2
−
8 x
x
2
+
6
x
2
x
2
x
2
+
3 x
x
2
−
2
x
2
=
|
сокращаем всё , что сокращается
|
=¿
¿
lim
x→ ∞
1
−
8
x
+
6
x
2
1
+
3
x
−
2
x
2
=¿
по теореме 1
∨¿
lim
x →∞
1
−
lim
x →∞
8
x
+
lim
x→ ∞
6
x
2
lim
x → ∞
1
+
lim
x →∞
3
x
−
lim
x→ ∞
2
x
2
.
Т.к. в пределах
lim
x →∞
8
x
,
lim
x → ∞
6
x
2
,
lim
x → ∞
3
x
и
lim
x →∞
2
x
2
при подстановке
∞
вместо
переменной
x
получаются дроби вида
Число
∞
,
то эти пределы равны нулю (см.
алгоритм вычисления пределов). Значит, окончательно
lim
x →∞
1
−
lim
x → ∞
8
x
+
lim
x→ ∞
6
x
2
lim
x → ∞
1
+
lim
x →∞
3
x
−
lim
x →∞
2
x
2
=
1
−
0
+
0
1
+
0
−
0
=
1
1
=¿
делим
∨¿
1.
Ответ: 1. ►
Пример 7. Вычислить предел
lim
x→ ∞
3 x
+
7
3 x
2
−
x
−
11
.
◄ Идем согласно алгоритму:
lim
x→ ∞
3 x
+
7
3 x
2
−
x
−
11
=
3 ∙ ∞
+
7
3∙ ∞
2
−
∞
−
11
=
∞
∞
.
Раз имеем
∞
∞
,
идем по алгоритму для этой неопределенности.
Старшая степень числителя равна
x ,
знаменателя –
x
2
.
Наибольшая степень между
x
и
x
2
равна
x
2
.
Значит, делим числи-
тель и знаменатель функции на
x
2
.
Получаем:
lim
x→ ∞
3 x
+
7
3 x
2
−
x
−
11
=
lim
x→ ∞
3 x
+
7
x
2
3 x
2
−
x
−
11
x
2
=
|
возможно почленное деление
|
=¿
¿
lim
x→ ∞
3 x
x
2
+
7
x
2
3 x
2
x
2
−
x
x
2
−
11
x
2
=
|
сокращаем всё , что сокращается
|
=¿
¿
lim
x→ ∞
3
x
+
7
x
2
3
−
1
x
−
11
x
2
=¿
по теореме 1
∨¿
lim
x →∞
3
x
+
lim
x → ∞
7
x
2
lim
x → ∞
3
−
lim
x→ ∞
1
x
−
lim
x → ∞
11
x
2
.
Т.к. в пределах
lim
x →∞
3
x
,
lim
x →∞
7
x
2
,
lim
x → ∞
1
x
и
lim
x →∞
11
x
2
при подстановке
∞
вместо
переменной
x
получаются дроби вида
Число
∞
,
то эти пределы равны нулю (см.
алгоритм вычисления пределов). Значит, окончательно
lim
x→ ∞
3
x
+
lim
x →∞
7
x
2
lim
x →∞
3
−
lim
x → ∞
1
x
−
lim
x →∞
11
x
2
=
0
+
0
3
−
0
−
0
=
0
3
=¿
делим
∨¿
0.
Ответ: 0. ►
Пример 8. Вычислить предел
lim
x→ ∞
x
3
+
3 x
2
−
x
+
4
x
2
+
5 x
−
7
.
◄ Идем согласно алгоритму:
lim
x→ ∞
x
3
+
3 x
2
−
x
+
4
x
2
+
5 x
−
7
=
∞
3
+
3∙ ∞
2
−
∞
+
4
∞
2
+
5 ∙ ∞
−
7
=
∞
∞
.
Раз имеем
∞
∞
,
идем по алгоритму для этой неопределенности.
Старшая степень числителя равна
x
3
,
знаменателя –
x
2
.
Наибольшая степень между
x
3
и
x
2
равна
x
3
.
Значит, делим числи-
тель и знаменатель функции на
x
3
.
Получаем:
lim
x→ ∞
x
3
+
3 x
2
−
x
+
4
x
2
+
5 x
−
7
=
lim
x→ ∞
x
3
+
3 x
2
−
x
+
4
x
3
x
2
+
5 x
−
7
x
3
=¿
¿
|
возможно почленное деление
|
=
lim
x→ ∞
x
3
x
3
+
3 x
2
x
3
−
x
x
3
+
4
x
3
x
2
x
3
+
5 x
x
3
−
7
x
3
=¿
¿
|
сокращаем всё , что сокращается
|
=
lim
x → ∞
1
+
3
x
−
1
x
2
+
4
x
3
1
x
+
5
x
2
−
7
x
3
=¿
¿∨
по теореме 1
∨¿
lim
x →∞
1
+
lim
x→ ∞
3
x
−
lim
x→ ∞
1
x
2
+
lim
x→ ∞
4
x
3
lim
x →∞
1
x
+
lim
x → ∞
5
x
2
−
lim
x →∞
7
x
3
.
Т.к. в пределах
lim
x →∞
3
x
,
lim
x →∞
1
x
2
,
lim
x→ ∞
1
x
,
lim
x →∞
4
x
3
,
lim
x →∞
5
x
2
и
lim
x →∞
7
x
3
при подстановке
∞
вместо
переменной
x
получаются дроби вида
Число
∞
,
то эти пределы равны нулю (см.
алгоритм вычисления пределов). Значит, окончательно
lim
x→ ∞
1
+
3
x
−
1
x
2
+
4
x
3
1
x
+
5
x
2
−
7
x
3
=
1
+
0
−
0
+
0
0
+
0
−
0
=
1
0
=¿
¿∨
по пункту 3 алгоритма
∨¿
∞ .
Ответ:
∞
. ►
Как обычно оформляется решение таких примеров на практике?
Проиллюстрируем это на примере 8.
lim
x→ ∞
x
3
+
3 x
2
−
x
+
4
x
2
+
5 x
−
7
=
∞
3
+
3∙ ∞
2
−
∞
+
4
∞
2
+
5 ∙ ∞
−
7
=
∞
∞
=
lim
x→ ∞
x
3
+
3 x
2
−
x
+
4
x
2
+
5 x
−
7
=¿
¿
lim
x→ ∞
x
3
+
3 x
2
−
x
+
4
x
3
x
2
+
5 x
−
7
x
3
=
lim
x→ ∞
x
3
x
3
+
3 x
2
x
3
−
x
x
3
+
4
x
3
x
2
x
3
+
5 x
x
3
−
7
x
3
=
lim
x→ ∞
1
+
3
x
−
1
x
2
+
4
x
3
1
x
+
5
x
2
−
7
x
3
=¿
¿
lim
x →∞
1
+
lim
x→ ∞
3
x
−
lim
x→ ∞
1
x
2
+
lim
x →∞
4
x
3
lim
x →∞
1
x
+
lim
x → ∞
5
x
2
−
lim
x →∞
7
x
3
=
1
+
0
−
0
+
0
0
+
0
−
0
=
1
0
=
∞ .
Далее пишется ответ.
Данные
примеры
демонстрируют,
что,
несмотря
на
одинаковый
первоначальный результат вида
∞
∞
,
в конце концов может получиться очень
разный результат (в первый раз получилось 1, во второй раз – 0, в третий раз
–
∞
). Может получиться и что угодно другое: отрицательное число, дробь,
иррациональное число и т.п. И зависит этот от самой функции.
Б) Неопределенность вида
0
0
.
Если имеем
x → a ,
а функция представляет собой дробь
многочлен
многочлен
,
то для
преобразования
такой
функции
(напомним,
такое
преобразование
необходимо
по
алгоритму
вычисления
пределов)
нужно
разложить
многочлены числителя и знаменателя на множители и после вернуться к
началу алгоритма.
Пример 9. Вычислить предел
lim
x → 0
3 x
2
−
2 x
2 x
2
−
5 x
.
◄ Идем согласно алгоритму, т.е. подставим число 0 вместо переменной
x
:
lim
x → 0
3 x
2
−
2 x
2 x
2
−
5 x
=
3 ∙ 0
2
−
2 ∙0
2 ∙0
2
−
5 ∙0
=
0
−
0
0
−
0
=
0
0
.
Получили неопределенность
0
0
.
Согласно алгоритму вычисления пределов,
необходимо преобразовать функцию
3 x
2
−
2 x
2 x
2
−
5 x
. Как мы писали выше, раз в
числителе и знаменателе имеем многочлены, их можно разложить на
множители. Здесь это сделать просто: достаточно вынести
x
за скобку.
Имеем:
lim
x → 0
3 x
2
−
2 x
2 x
2
−
5 x
=
lim
x →0
x ∙
(
3 x
−
2
)
x ∙
(
2 x
−
5
)
=
|
сокращаем на х
|
=
lim
x→ 0
3 x
−
2
2 x
−
5
.
Функция тем самым преобразована. Возвращаемся к первому пункту
алгоритма вычисления пределов: снова подставляем 0 вместо
x
и производим
подсчет:
lim
x → 0
3 x
−
2
2 x
−
5
=
3 ∙0
−
2
2∙ 0
−
5
=
0
−
2
0
−
5
=
−
2
−
5
=
0 ,4 .
Ответ: 0,4. ►
Как обычно оформляется решение? Просто опускаем наши пояснения:
lim
x → 0
3 x
2
−
2 x
2 x
2
−
5 x
=
3 ∙ 0
2
−
2 ∙0
2 ∙0
2
−
5 ∙0
=
0
−
0
0
−
0
=
0
0
=¿
¿
|
значит , преобразуем функцию
|
=
lim
x → 0
x ∙
(
3 x
−
2
)
x ∙
(
2 x
−
5
)
=
lim
x→ 0
3 x
−
2
2 x
−
5
=¿
¿
3∙ 0
−
2
2∙ 0
−
5
=
0
−
2
0
−
5
=
−
2
−
5
=
0 ,4 .
Далее пишется ответ.
Пример 10. Вычислить предел
lim
x→ 3
x
2
−
5 x
+
6
3 x
2
−
9 x
.
◄ Идем согласно алгоритму, т.е. подставим число 3 вместо переменной
x
:
lim
x→ 3
x
2
−
5 x
+
6
3 x
2
−
9 x
=
3
2
−
5 ∙ 3
+
6
3∙ 3
2
−
9∙ 3
=
9
−
15
+
6
3∙ 9
−
27
=
0
27
−
27
=
0
0
.
Получили
неопределенность
0
0
.
Согласно
алгоритму
вычисления
пределов, необходимо преобразовать функцию. Так легко, как в прошлом
примере, это сделать не получится. Здесь нужно разложить многочлены на
множители. Напомним, что если многочлен
a x
2
+
bx
+
c
имеет корни
x
1
и
x
2
,
то
его можно разложить на множители в виде
a x
2
+
bx
+
c
=
a
(
x
−
x
1
) (
x
−
x
2
)
.
(*)
Разложим многочлен
x
2
−
5 x
+
6
на множители. Решим уравнение
x
2
−
5 x
+
6
=
0.
Оно имеет корни
x
1
=
2 , x
2
=
3.
Значит, по формуле (*)
x
2
−
5 x
+
6
=
1 ∙
(
x
−
2
) (
x
−
3
)
=
(
x
−
2
) (
x
−
3
)
.
Со знаменателем можно поработать так же, а можно вынести за скобку
3 x .
Имеем:
lim
x→ 3
x
2
−
5 x
+
6
3 x
2
−
9 x
=
lim
x→ 3
(
x
−
2
) (
x
−
3
)
3 x
(
x
−
3
)
=
|
сократим одинаковые скобки
|
=¿
¿
lim
x→ 3
x
−
2
3 x
.
Функция тем самым преобразована. Возвращаемся к первому пункту
алгоритма вычисления пределов: снова подставляем 3 вместо
x
и производим
подсчет:
lim
x→ 3
x
−
2
3 x
=
3
−
2
3 ∙3
=
1
9
.
Ответ:
1
9
. ►
Пример 1
1
.
Вычислить предел
lim
x→ 5
x
2
+
x
−
30
x
2
−
3 x
−
10
.
◄ Идем согласно алгоритму, т.е. подставим число 3 вместо переменной
x
:
lim
x→ 5
x
2
+
x
−
30
x
2
−
3 x
−
10
=
5
2
+
5
−
30
5
2
−
3 ∙5
−
10
=
25
+
5
−
30
25
−
15
−
10
=
0
0
.
Получили
неопределенность
0
0
.
Согласно
алгоритму
вычисления
пределов, необходимо преобразовать функцию. Разложим многочлены
числителя и знаменателя на множители, воспользовавшись формулой (*):
x
2
+
x
−
30
=
0
Корни уравнения
x
1
=
5 , x
2
=−
6.
Значит,
x
2
+
x
−
30
=¿
¿
1 ∙
(
x
−
5
)
(
x
−
(
−
6
)
)
=¿
¿
(
x
−
5
) (
x
+
6
)
.
x
2
−
3 x
−
10
=
0
Корни уравнения
x
1
=
5 , x
2
=−
2.
Значит,
x
2
−
3 x
−
10
=¿
¿
1 ∙
(
x
−
5
)
(
x
−
(
−
2
)
)
=¿
¿
(
x
−
5
) (
x
+
2
)
.
Имеем:
lim
x→ 5
x
2
+
x
−
30
x
2
−
3 x
−
10
=
lim
x→ 5
(
x
−
5
) (
x
+
6
)
(
x
−
5
) (
x
+
2
)
=¿
¿
|
сокращаем одинаковые скобки
|
=
lim
x →5
x
+
6
x
+
2
.
Функция тем самым преобразована. Возвращаемся к первому пункту
алгоритма вычисления пределов: снова подставляем 5 вместо
x
и производим
подсчет:
lim
x→ 5
x
+
6
x
+
2
=
5
+
6
5
+
2
=
11
7
.
Ответ:
11
7
.
►
Пример 1
2
.
Вычислить предел
lim
x →
−
1
x
2
+
2 x
+
1
x
2
+
3 x
+
2
.
◄ Идем согласно алгоритму, т.е. подставим число -1 вместо переменной
x
:
lim
x →
−
1
x
2
+
2 x
+
1
x
2
+
3 x
+
2
=
(
−
1
)
2
+
2 ∙
(
−
1
)
+
1
(
−
1
)
2
+
3 ∙
(
−
1
)
+
2
=
1
−
2
+
1
1
−
3
+
2
=
0
0
.
Получили
неопределенность
0
0
.
Согласно
алгоритму
вычисления
пределов, необходимо преобразовать функцию. Разложим многочлены
числителя и знаменателя на множители, воспользовавшись формулой (*):
x
2
+
2 x
+
1
=
0
Корни уравнения
x
1
=−
1 , x
2
=−
1.
Значит,
x
2
+
2 x
+
1
=¿
¿
1 ∙
(
x
−(−
1
)
) (
x
−(−
1
)
)
=¿
¿(
x
+
1
)(
x
+
1
)
.
x
2
+
3 x
+
2
=
0
Корни уравнения
x
1
=−
1 , x
2
=−
2.
Значит,
x
2
+
3 x
+
2
=¿
¿
1 ∙
(
x
−(−
1
)
)
(
x
−
(
−
2
)
)
=¿
¿
(
x
+
1
) (
x
+
2
)
.
Имеем:
lim
x →
−
1
x
2
+
2 x
+
1
x
2
+
3 x
+
2
=
lim
x →
−
1
(
x
+
1
)(
x
+
1
)
(
x
+
1
) (
x
+
2
)
=¿
¿
|
сокращаем одинаковые скобки
|
=
lim
x→
−
1
x
+
1
x
+
2
.
Функция тем самым преобразована. Возвращаемся к первому пункту
алгоритма вычисления пределов: снова подставляем -1 вместо
x
и
производим подсчет:
lim
x →
−
1
x
+
1
x
+
2
=
−
1
+
1
−
1
+
2
=
0
2
=
0.
Ответ: 0. ►
Пример 1
3
.
Вычислить предел
lim
x→ 7
x
2
+
x
−
56
x
2
−
14 x
+
49
.
◄ Идем согласно алгоритму, т.е. подставим число -1 вместо переменной
x
:
lim
x→ 7
x
2
+
x
−
56
x
2
−
14 x
+
49
=
7
2
+
7
−
56
7
2
−
14 ∙7
+
49
=
49
+
7
−
56
49
−
98
+
49
=
0
0
.
Получили
неопределенность
0
0
.
Согласно
алгоритму
вычисления
пределов, необходимо преобразовать функцию. Разложим многочлены
числителя и знаменателя на множители, воспользовавшись формулой (*):
x
2
+
x
−
56
=
0
Корни уравнения
x
1
=
7 , x
2
=−
8.
Значит,
x
2
+
x
−
56
=¿
¿
1 ∙
(
x
−
7
)
(
x
−(−
8
)
)
=¿
¿(
x
−
7
)(
x
+
8
)
.
x
2
−
14 x
+
49
=
0
Корни уравнения
x
1
=
7 , x
2
=
7.
Значит,
x
2
−
14 x
+
49
=¿
¿
1 ∙
(
x
−
7
) (
x
−
7
)
=¿
¿
(
x
−
7
) (
x
−
7
)
.
Имеем:
lim
x→ 7
x
2
+
x
−
56
x
2
−
14 x
+
49
=
lim
x→ 7
(
x
−
7
)(
x
+
8
)
(
x
−
7
) (
x
−
7
)
=¿
¿
|
сокращаем одинаковые скобки
|
=
lim
x →7
x
+
8
x
−
7
.
Функция тем самым преобразована. Возвращаемся к первому пункту
алгоритма вычисления пределов: снова подставляем 7 вместо
x
и производим
подсчет:
lim
x→ 7
x
+
8
x
−
7
=
7
+
8
7
−
7
=
15
0
=¿
см . алгоритм п .1 .2.1
∨¿
∞ .
Ответ:
∞
. ►
Пример 1
4
.
Вычислить предел
lim
x→ 0
x
√
5
−
x
−
√
5
+
x
.
◄Данный пример показывает, что рассмотренный выше способ избавле-
ния от неопределенности далеко не единственен, и выбор способа зависит от
вида самой функции. Это также иллюстрируют примеры из следующего
параграфа, но обо всём по порядку.
Идем согласно алгоритму, т.е. подставим число 0 вместо переменной
x
:
lim
x→ 0
x
√
5
−
x
−
√
5
+
x
=
0
√
5
−
0
−
√
5
+
0
=
0
√
5
−
√
5
=
0
0
.
Получили неопределенность
0
0
.
Согласно алгоритму вычисления пределов,
необходимо преобразовать функцию. В данном случае нам поможет
домножение числителя и знаменателя на выражение, сопряженное к знамена-
телю, т.е. с противоположным знаком между корнями. Это поможет избави-
ться от корней. Итак,
lim
x→ 0
x
√
5
−
x
−
√
5
+
x
=
lim
x→ 0
x
(
√
5
−
x
+
√
5
+
x
)
(
√
5
−
x
−
√
5
+
x
) (
√
5
−
x
+
√
5
+
x
)
=¿
¿
|
в знаменателе имеем разность квадратов
|
=¿
¿
lim
x → 0
x
(
√
5
−
x
+
√
5
+
x
)
(
√
5
−
x
)
2
−
(
√
5
+
x
)
2
=
lim
x →0
x
(
√
5
−
x
+
√
5
+
x
)
5
−
x
−
(
5
+
x
)
=¿
¿
|
раскрываем скобки в знаменателе
|
=
lim
x→ 0
x
(
√
5
−
x
+
√
5
+
x
)
5
−
x
−
5
−
x
=¿
¿
|
5 и 5 убираем ,
−
x
−
x дают
−
2 x
|
=
lim
x →0
x
(
√
5
−
x
+
√
5
+
x
)
−
2 x
=¿
¿
|
сокращаем x в числителе и знаменателе
|
=
lim
x →0
√
5
−
x
+
√
5
+
x
−
2
.
Функция тем самым преобразована. Возвращаемся к первому пункту
алгоритма вычисления пределов: снова подставляем 7 вместо
x
и производим
подсчет:
lim
x → 0
√
5
−
x
+
√
5
+
x
−
2
=
√
5
−
0
+
√
5
+
0
−
2
=
√
5
+
√
5
−
2
=
2
√
5
−
2
=¿
¿
|
сокращаем на 2
|
=−
√
5.
Ответ:
−
√
5
. ►
Теорема 4. Имеют место следующие равенства, называемые «замеча-
тельными пределами»
4
:
1.
lim
x →0
sin x
x
=
1 ;
2.
lim
x →0
(
1
+
x
)
1
x
=
e .
4
Термин вполне научный, а не придуманный авторами в целях позабавить читателя. Именно так эти
пределы называются во всей научной литературе соответствующей тематики.
Следствие 3. Имеют место следующие равенства – следствия из заме-
чательных пределов:
1.
lim
x →0
tg x
x
=
1 ;
3.
lim
x →0
1
−
cos x
x
2
/
2
=
1;
2.
lim
x →0
arcsin x
x
=
1;
4.
lim
x→ ∞
(
1
+
1
x
)
x
=
e .
Приведем примеры использования данных равенств для вычисления
пределов.
Пример 15. Вычислить предел
lim
x →0
sin 5 x
x
.
◄Идем согласно алгоритму:
lim
x →0
sin 5 x
x
=¿
¿
|
подставляем число 0 , к которому стремится x , в функцию вместо x
|
=¿
¿
sin
(
5 ∙ 0
)
0
=
sin 0
0
=
|
по тригонометрической таблице sin 0
=
0
|
=
0
0
.
Получили неопределенность
0
0
.
Согласно вышеупомянутому алгоритму, в
этом
случае
необходимо
преобразовать
функцию
для
устранения
неопределенности. Сделаем это, сведя нашу функцию к теореме 4. Имеем:
lim
x →0
sin 5 x
x
=
|
умножим числитель и знаменатель на 5
|
=
lim
x → 0
5 sin5 x
5 x
=¿
¿
|
по следствию 1 выносим 5из числителя вперед
|
=
5 ∙ lim
x → 0
sin 5 x
5 x
=¿
¿
|
заменим 5 x
=
t . Тогда, раз x → 0 , то5 x →0. Таким образом , t → 0
|
=¿
¿
5 ∙ lim
t → 0
sin t
t
=
|
по теореме 4 предел lim
t → 0
sin t
t
равен 1
|
=
5 ∙1
=¿
¿
|
умножаем
|
=
5.
Ответ: 5. ►
Пример 16. Вычислить предел
lim
x →0
arcsin x
10 x
.
◄Идем согласно алгоритму:
lim
x →0
arcsin x
10 x
=¿
¿
|
подставляем число 0 , к которому стремится x , в функцию вместо x
|
=¿
¿
arcsin 0
10 ∙ 0
=
arcsin 0
0
=¿
¿∨
по определению арксинуса находим arcsin 0
=
0
∨¿
0
0
.
Получили неопределенность
0
0
.
Согласно вышеупомянутому алгоритму, в
этом
случае
необходимо
преобразовать
функцию
для
устранения
неопределенности. Сделаем это, сведя нашу функцию к следствию 3. Имеем:
lim
x →0
arcsin x
10 x
=
lim
x → 0
(
1
10
∙
arcsin x
x
)
=¿
¿
|
по следствию 1.1.1 число
1
10
можно вынести вперед
|
=
1
10
∙
∙ lim
x→ 0
arcsin x
x
=
|
а по следствию 3 последний предел равен 1
|
=¿
¿
1
10
∙ 1
=
|
умножаем
|
=
1
10
.
Ответ:
1
10
. ►
Пример 17. Вычислить предел
lim
x →0
tg 2 x
x
2
.
◄Идем согласно алгоритму:
lim
x →0
tg 2 x
x
2
=¿
¿
|
подставляем число 0 , к которому стремится x , в функцию вместо x
|
=¿
¿
tg
(
2∙ x
)
0
2
=
tg 0
0
=¿
по тригонометрической таблице tg0
=
0
∨¿
0
0
.
Получили неопределенность
0
0
.
Согласно вышеупомянутому алгоритму, в
этом
случае
необходимо
преобразовать
функцию
для
устранения
неопределенности. Сделаем это, сведя нашу функцию к следствию 3. Имеем:
lim
x →0
tg 2 x
x
2
=
|
избавимся от x
2
в знаменателе
|
=
lim
x →0
tg 2 x
x ∙ x
=¿
¿
lim
x→ 0
(
tg 2 x
x
∙
1
x
)
=
|
по п .2 теоремы 1
|
=
lim
x→ 0
tg 2 x
x
∙ lim
x →0
1
x
=¿
¿
|
вычислим первый предел
|
=¿
¿
|
дляэтого числитель и знаменатель умножим на 2
|
=
lim
x →0
2tg 2 x
2 x
∙
∙ lim
x→ 0
1
x
=
|
по следствию 1 выносим 2 из числителя вперед
|
=¿
¿
2 ∙
lim
x→ 0
tg 2 x
2 x
∙ lim
x →0
1
x
=¿
¿
|
заменим 2 x
=
t . Тогда, раз x → 0 , то2 x → 0. Таким образом ,t →0
|
=¿
¿
2 ∙
lim
t → 0
tg t
t
∙ lim
x →0
1
x
=
|
по следствию 3 предел lim
t → 0
tg t
t
равен 1
|
=¿
¿
|
по алгоритму § 2 lim
x→ 0
1
x
=
1
0
=
∞
|
=
2 ∙ 1∙ ∞
=
∞ .
Ответ:
∞
. ►
Пример 18. Вычислить предел
lim
x→ ∞
(
1
+
2
x
)
7 x
.
◄Идем согласно алгоритму:
lim
x→ ∞
(
1
+
2
x
)
7 x
=¿
¿
|
подставляем ∞, к которой стремится x ,в функцию вместо x
|
=¿
¿
(
1
+
2
∞
)
7∙ ∞
=
(
1
+
0
)
∞
=
1
∞
.
Получили неопределенность
1
∞
.
Согласно вышеупомянутому алгоритму, в
этом случае необходимо преобразовать функцию для устранения неопреде-
ленности. Сделаем это, сведя нашу функцию к следствию 3. Имеем:
lim
x→ ∞
(
1
+
2
x
)
7 x
=
|
в числителе получим 1
|
=
lim
x →∞
(
1
+
1
x
2
)
7 x
.
Разберемся теперь со степенью. Степень должна быть такая же, как и
знаменатель. В данном случае это
x
2
. А имеется степень
7 x .
Так что
7 x
=
x
2
∙2 ∙ 7.
Как сие получилось? Берем
x
2
,
домножаем на 2, чтобы убрать знаменатель.
Тем самым получаем
x .
А нужно
7 x
. Поэтому полученное
x
2
∙2
домножается
еще на 7. Итак,
lim
x→ ∞
(
1
+
1
x
2
)
7 x
=
lim
x→ ∞
(
1
+
1
x
2
)
x
2
∙2 ∙7
=
lim
x →∞
(
1
+
1
x
2
)
x
2
∙14
=¿
¿
|
степень умножается при возведении степени в степень
|
=¿
¿
lim
x→ ∞
(
(
1
+
1
x
2
)
x
2
)
14
=¿
¿
|
заменим
x
2
=
t . Тогда , раз x → ∞ , то
x
2
→ ∞. Таким образом , t → ∞
|
=¿
¿
lim
t → ∞
(
(
1
+
1
t
)
t
)
14
=
|
по следствию 1
|
=
(
lim
t → ∞
(
1
+
1
t
)
t
)
14
=¿
¿
|
по следствию 3 предел в скобках равен e
|
=
e
14
.
Ответ:
e
14
. ►
Пример 19. Вычислить предел
lim
x→ ∞
(
1
+
5
x
)
3 x
.
◄Идем согласно алгоритму:
lim
x→ ∞
(
1
+
5
x
)
3 x
=¿
¿
|
подставляем ∞, к которо й стремится x ,в функцию вместо x
|
=¿
¿
(
1
+
5
∞
)
3∙ ∞
=
(
1
+
0
)
∞
=
1
∞
.
Получили неопределенность
1
∞
.
Согласно вышеупомянутому алгоритму, в
этом случае необходимо преобразовать функцию для устранения неопреде-
ленности. Сделаем это, сведя нашу функцию к следствию 3. Имеем:
lim
x→ ∞
(
1
+
5
x
)
3 x
=
|
в числителе получим 1
|
=
lim
x→ ∞
(
1
+
1
x
5
)
3 x
.
Разберемся теперь со степенью. Степень должна быть такая же, как и
знаменатель. В данном случае это
x
5
. А имеется степень
3 x .
Так что
3 x
=
x
5
∙5 ∙ 3.
Как сие получилось? Берем
x
5
,
помножаем на 5, чтобы убрать знаменатель.
Тем самым получаем
x .
А нужно
3 x
. Поэтому полученное
x
5
∙5
помножается
еще на 3. Итак,
lim
x→ ∞
(
1
+
1
x
5
)
3 x
=
lim
x→ ∞
(
1
+
1
x
5
)
x
5
∙5 ∙3
=
lim
x →∞
(
1
+
1
x
5
)
x
5
∙15
=¿
¿
|
степень умножается при возведении степени в степень
|
=¿
¿
lim
x→ ∞
(
(
1
+
1
x
5
)
x
15
)
15
=¿
¿
|
заменим
x
5
=
t . Тогда , раз x → ∞ , то
x
5
→ ∞. Таким образом , t → ∞
|
=¿
¿
lim
t → ∞
(
(
1
+
1
t
)
t
)
15
=
|
по следствию 1
|
=
(
lim
t → ∞
(
1
+
1
t
)
t
)
15
=¿
¿
|
по следствию 3 предел в скобках равен e
|
=
e
15
.
Ответ:
e
15
. ►
В качестве домашнего задания вычислите следующие пределы:
1
.
lim
x → 8
x
2
−
5 x
−
6
x
2
−
7 x
−
8
9.
lim
x → 0
2 x
3
−
2 x
2
5 x
3
−
4 x
2
2
.
lim
x→ 3
x
2
−
6 x
+
9
x
2
−
x
−
3
10.
lim
x→ 3
x
2
−
x
−
6
x
2
−
9
3
.
lim
x →
−
1
x
2
+
5 x
−
1
x
2
−
x
−
7
11.
lim
x →5
x
−
5
x
2
−
10 x
+
25
4
.
lim
x→ ∞
5
2 e
x
−
1
12.
lim
x→ 2
3 x
2
−
8 x
+
4
5 x
2
−
14 x
+
8
5
.
lim
x→ 3
x
2
−
x
−
1
x
2
+
x
−
12
13.
lim
x → 4
x
2
−
x
−
12
x
2
+
2 x
−
24
6
.
lim
x →
−
5
x
2
+
x
−
15
x
2
−
x
−
5
14.
lim
x→ 9
3
−
√
x
4
−
√
2 x
−
2
7
.
lim
x →2
(
x
2
−
x
3
+
10 x
−
7
)
15.
lim
x →∞
18 x
2
−
13 x
+
11
3 x
2
+
4 x
−
67
8
.
lim
x→
−
4
(
x
3
+
5 x
2
−
10 x
+
3
)
16.
lim
x →∞
x
2
+
30 x
+
57
x
3
+
5 x
2
−
3 x
−
19
17.
lim
x →∞
3 x
3
+
12 x
2
+
5 x
−
9
10 x
2
−
16 x
−
19
18
.
lim
x →0
arcsin 10 x
x
22.
lim
x →0
tg 8 x
3 x
19
.
lim
x →0
sin 2 x
x
3
23.
lim
x→ ∞
(
1
+
8
x
)
x
20
.
lim
x →0
x
sin 2 x
24.
lim
x→ ∞
(
1
+
3
x
)
8 x
21
.
lim
x →0
tg 5 x
x
25.
lim
x→ ∞
(
1
+
10
x
)
4 x