Урок 1.2.3 Практическое Занятие № 3

«Решение задач на определение реакций в шарнирах балочных опор»

К выполнению задания приступаем после изучения Темы 1.2. «Пара сил и момент силы

относительно точки. Плоская система произвольно расположенных сил».

Цель: Уметь определять реакции в опорах балочных систем.

Краткое теоретическое обоснование

Балка

— это элемент конструкции, который имеет длину гораздо больше

поперечных размеров и несет на себе поперечные нагрузки.

При расчете балок на прочность при изгибе учитываются не только внешние

нагрузки, но и реакции со стороны опор балок.

Существуют три типа балочных опор:

шарнирно-подвижная (рис. 1). Дает возможность балке вращаться вокруг центра шарнира

и перемещаться в горизонтальном направлении. Для этой опоры известны точка

приложения реакции (находится в центре шарнира) и направление реакции (направлена

перпендикулярно поверхности опоры, неизвестна только величина реакции).

Рис.1

шарнирно-неподвижная (рис. 2). Позволяет балке поворачиваться вокруг оси шарнира, но

не дает возможности перемещаться в горизонтальном направлении. Для этой опоры

известна только точка приложения реакции (находится в центре шарнира, неизвестны

величина и направление реакции). Поэтому для данной опоры необходимо найти две

составляющие реакции: R

А

и Н

А

.

Рис.2

с жестким защемлением (или заделка, см.рис.3). Не позволяет балке ни поворачиваться,

ни перемещаться. О реакции этой опоры ничего не известно. Поэтому для этой опоры

необходимо найти три составляющие реакции: R

А

, Н

А

, M

А

.

Рис.3

Момент пары сил. Момент пары сил численно равен произведению модуля силы на

расстояние между линиями действия сил (плечо пары). Момент считают положительным,

если пара вращает тело по часовой стрелке M(F;F') = Fa; M > 0.

Плоскость, проходящая через линии действия сил пары, называется плоскостью действия

пары.

Свойства пар

1. Пару сил можно перемещать в плоскости ее действия.

2. Эквивалентность пар. Две пары, моменты которых равны, (рис. 4, а) эквивалентны

(действие их на тело аналогично).

3. Сложение пар сил. Систему пар сил можно заменить равнодействующей парой. Момент

равнодействующей пары равен алгебраической сумме моментов пар, составляющих

систему (рис. 4,б)

Рис. 4

4. Равновесие пар. Для равновесия пар необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая

сумма моментов пар системы равнялась нулю:

Балочные системы

Составляются уравнения моментов относительно точек крепления балки, поскольку

момент силы, проходящей через точку крепления, равен 0, и в уравнении останется одна

неизвестная сила. Из второй Формы уравнений равновесия, плоской произвольной

системы сил, определяется реакции R

В

и R

А

:

∑

0

n

F

ix

=

0 ;

∑

0

n

M

A

(

F

i

)

=

0 ;

∑

0

n

M

B

(

F

i

)

=

0

Для контроля правильности решения используется дополнительное уравнение:

∑

0

n

F

iy

=

0

Алгоритм выполнения

1.Обозначают опоры. Общепринято их обозначать буквами А и В. Простая балка имеет одну

шарнирно – неподвижную и вторую шарнирно – подвижную опору.

2. Выбрать расположение координатных осей: совместить ось х с балкой, а ось у направить

перпендикулярно оси х.

3. Произвести необходимые преобразования:

- если сила F, приложена наклоненно к оси балки под углом α, то заменить её двумя взаимно

перпендикулярными составляющими (если сила F, приложена перпендикулярно к оси балки, то

преобразовывать её не нужно);

- равномерно-распределенную нагрузку заменяем равнодействующей силой Q, приложенной в

центре распределенной нагрузки (как на пересечении диагоналей прямоугольника), и вычисляем

по формуле:

Q = q·ℓ (н)

4. Освобождают от опор и заменяют их действие на балку реакциями опор. В задачах на

балку действуют только вертикальные нагрузки и сосредоточенные моменты. Реакции опор при

нагрузке будут только вертикальными. Обычно их направляют вверх (против действия основной

нагрузки) и обозначают реакцию опор: R

А

и R

В

5. Составляют уравнения равновесия вида:

ΣМ

А

= 0 , ΣМ

В

= 0

Напомним,

⁕⁕

что моментом силы относительно точки называется произведение этой силы на

плечо – кратчайшее расстояние от этой точки приложения силы (в общем случае до линии

действия силы).

Правило знаков момента,

⁕⁕

если сила стремится повернуть балку относительно

рассматриваемой точки по часовой стрелке, то будем считать еѐ момент положительным, а если

против – отрицательным.

Сосредоточенный момент не умножается на расстояние до опоры, а правило знаков останется тем

же, что для момента силы.

6.Выполняют проверку решения:

Для этого составляют уравнение равновесия:

ΣFу= 0

7.Сделать вывод о наиболее нагруженной опоре.

ПРИМЕР №1. Определить реакции опор балки, если: F = 20 кН; q = 4

кН

м

Схема нагружения балки показана на Рис. 5. Длина участков балки дана в метрах.

Рис.5. Схема нагружения балки

1.

Выбираем расположение координатных осей, совместив ось х с осью балки, а ось у

направим перпендикулярно оси х.

2.

Освобождаем балку от опор и заменяем их реакциями опор

R

А

и R

В

, направленными

вдоль выбранных осей координат.

3.

Произведем

преобразование

равномерно-распределенной

нагрузки,

вычислив

значение равнодействующей Q:

Q

= q·ℓ = 4 · 2 = 8 кН

4.

Схему преобразования активных сил и замену опор их реакциями, вычертим

отдельно и назовем её Расчетная схема (см. Рис.6).

Рис.6. Схема реакций балки

5.

Составляем уравнения равновесия статики для произвольной плоской системы сил

таким образом и в такой последовательности, чтобы решением каждого из этих

уравнений было определение одной из неизвестных реакций опор и далее,

определяем неизвестные реакции опор:

ΣМ

А

= 0; Q·1 + F·2,5 - R

В

·3,5 = 0; (1)

ΣМ

В

= 0; - F·1 - Q·2,5 + R

А

·3,3 = 0; (2)

6.

Определяем реакции опор балок

R

А

и R

В

решая уравнения.

Из уравнения (1) получаем:

R

B

=

Q∙ 1

+

F ∙ 2.5

3.5

=

8∙ 1

+

20 ∙ 2.5

3.5

=

16 ,57 кН

Из уравнения (2) получаем:

R

A

=

F ∙1

+

Q ∙ 2.5

3.5

=

20 ∙ 1

+

8 ∙2.5

3.5

=

11,43 кН

7.

Проверяем правильность найденных результатов:

ΣFу= 0; R

А

– Q – F + R

В

= 11,43 – 8 – 20 + 16,57 = 0

Вывод: равенство ΣF

у

= 0 выполняется, следовательно реакции опор найдены верно, система сил,

действующих на тело уравновешенна.

ЗАДАНИЕ. Определить реакции опор балки, нагруженной внешними силами так, как

показано на Рис. 7. Значения нагрузки F и q взять из таблицы, согласно варианту.

Рис. 7. Исходные данные для расчета и схема нагружения шарнирной балки.

Используемая литература:

1.

Олофинская В.П. Техническая механика. Курс лекций с вариантами

практических и тестовых заданий - М.: Инфра-М; Форум, 2017. 352 с.