Определение комплексного числа. Формы записи комплексных чисел.

Геометрическое изображение комплексных чисел

Определение 1. Комплексными числами называются числа вида

𝑧

=

+

,

𝑎

𝑏𝑖

(*)

где

𝑎

𝑏

𝑏

– вещественные числа, а число

𝑖

удовлетворяет равенству

𝑖

2

= −1.

(1)

Число

𝑎

называется вещественной частью комплексного числа, число

𝑏

–

мнимой частью комплексного числа. Число

𝑖

называется мнимой единицей.

Приведем примеры комплексных чисел:

Комплексное число

Его вещественная часть

Его мнимая часть

𝑧

= 4 + 6

𝑖

𝑎

= 4

𝑏

= 6

𝑧

= 2 −

𝑖

𝑎

= 2

𝑏

= −1

𝑧

= −5 + 3

𝑖

𝑎

= −5

𝑏

= 3

𝑧

= −4 − 7

𝑖

𝑎

= −4

𝑏

= −7

𝑧

= 2

𝑖

𝑎

= 0

𝑏

= 2

𝑧

= 4

𝑎

= 4

𝑏

= 0

Определение 2. Запись (*) называется алгебраической формой комп-

лексного числа.

Определение 3. Числом, сопряженным к данному комплексному числу

𝑧

=

+

,

𝑎

𝑏𝑖

называется комплексное число

𝑧

=

−

.

𝑎

𝑏𝑖

Приведем примеры.

Комплексное число

Сопряженное ему комплексное число

𝑧

= 4 + 6

𝑖

𝑧

= 4 − 6

𝑖

𝑧

= 2 −

𝑖

𝑧

= 2 +

𝑖

𝑧

= −5 + 3

𝑖

𝑧

= −5 − 3

𝑖

𝑧

= −4 − 7

𝑖

𝑧

= −4 + 7

𝑖

𝑧

= 2

𝑖

𝑧

= −2

𝑖

𝑧

= 4

𝑧

= 4

Как и над вещественными числами, над комплексными числами можно

производить операции сложения, вычитания, умножения и деления.

Определение

4.

Суммой

двух

записанных

в

алгебраической

форме

комплексных чисел

𝑧

1

=

𝑎

1

+

𝑏

1

𝑖

и

𝑧

2

=

𝑎

2

+

𝑏

2

𝑖

называется комплексное

число

𝑧

=

𝑧

1

+

𝑧

2

=

(

𝑎

1

+

𝑎

2

)

+

(

𝑏

1

+

𝑏

2

)

𝑖

.

Пример 1. Найти сумму комплексных чисел

𝑧

1

= 4 − 6

𝑖

𝑧

и

2

= 3 + 8 .

𝑖

◄Действуем согласно определению 4 – складываем вещественные и

мнимые части комплексных чисел:

𝑧

=

𝑧

1

+

𝑧

2

=

(

4 + 3

)

+

(

−6 + 8

)

𝑖

=

|

считаем

|

= 7 + 2 .

𝑖

Ответ:

7 + 2 .

𝑖

►

Пример 2. Найти сумму комплексных чисел

𝑧

1

= 2 + 5

𝑖

𝑧

и

2

= 4 − 9 .

𝑖

◄Действуем согласно определению 4 – складываем вещественные и

мнимые части комплексных чисел:

𝑧

=

𝑧

1

+

𝑧

2

=

(

2 + 4

)

+

(

5 +

(

−9

)

)

𝑖

=

|

считаем

|

= 6 +

(

−4

)

𝑖

=

=

|

можно раскрыть скобки

|

= 6 − 4 .

𝑖

Ответ:

6 − 4 .

𝑖

►

Определение 5. Разностью двух записанных в алгебраической форме

комплексных чисел

𝑧

1

=

𝑎

1

+

𝑏

1

𝑖

и

𝑧

2

=

𝑎

2

+

𝑏

2

𝑖

называется комплексное

число

𝑧

=

𝑧

1

−

𝑧

2

=

(

𝑎

1

−

𝑎

2

)

+

(

𝑏

1

−

𝑏

2

)

𝑖

.

Обратите

внимание, что

разность

(вещественных и

мнимых частей)

комплексных чисел) происходит лишь в скобках; между скобками сохраняется

знак «плюс».

Пример 3. Найти разность комплексных чисел

𝑧

1

= 2 − 4

𝑖

𝑧

и

2

= 5 + 3 .

𝑖

◄Действуем

согласно

определению

5

–

вычитаем

вещественные

и

мнимые части комплексных чисел:

𝑧

=

𝑧

1

−

𝑧

2

=

(

2 − 5

)

+

(

−4 − 3

)

𝑖

=

|

считаем

|

= −3 +

(

−7

)

𝑖

=

=

|

можно раскрыть скобки

|

= −3 − 7 .

𝑖

Ответ:

−3 − 7 .

𝑖

►

Пример 4. Найти сумму комплексных чисел

𝑧

1

= 7 + 3

𝑖

𝑧

и

2

= 5 − 4 .

𝑖

◄Действуем

согласно

определению

5

–

вычитаем

вещественные

и

мнимые части комплексных чисел:

𝑧

=

𝑧

1

−

𝑧

2

=

(

7 − 5

)

+

(

3 −

(

−4

)

)

𝑖

=

|

считаем

|

= 2 + 7 .

𝑖

Ответ:

2 + 7 .

𝑖

►

Определение

6.

Произведением

двух

записанных

в

алгебраической

форме

комплексных

чисел

𝑧

1

=

𝑎

1

+

𝑏

1

𝑖

и

𝑧

2

=

𝑎

2

+

𝑏

2

𝑖

,

называется

комплексное число

𝑧

=

𝑧

1

∙

𝑧

2

=

(

𝑎

1

𝑎

2

−

𝑏

1

𝑏

2

)

+

(

𝑎

1

𝑏

2

+

𝑎

2

𝑏

1

)

𝑖

.

Как

же

получается

такой

сногсшибательный

результат?

Просто

в

выражение

𝑧

1

∙

𝑧

2

вместо

𝑧

1

подставить выражение

𝑎

1

+

𝑏

1

𝑖

,

а вместо

𝑧

2

–

выражение

𝑎

2

+

𝑏

2

𝑖

,

а после этого перемножить получившиеся выражения:

𝑧

1

∙

𝑧

2

=

(

𝑎

1

+

𝑏

1

𝑖

)(

𝑎

2

+

𝑏

2

𝑖

)

=

𝑎

1

𝑎

2

+

𝑎

1

𝑏

2

𝑖

+

𝑏

1

𝑖𝑎

2

+

𝑏

1

𝑖𝑏

2

𝑖

=

=

𝑎

1

𝑎

2

+

𝑎

1

𝑏

2

𝑖

+

𝑎

2

𝑏

1

𝑖

+

𝑏

1

𝑏

2

𝑖

2

=

|

по равенству

(

1

)

меняем

𝑖

2

− 1

на

|

=

=

𝑎

1

𝑎

2

+

𝑎

1

𝑏

2

𝑖

+

𝑎

2

𝑏

1

𝑖

+

𝑏

1

𝑏

2

∙

(

−1

)

=

𝑎

1

𝑎

2

+

𝑎

1

𝑏

2

𝑖

+

𝑎

2

𝑏

1

−

𝑖

𝑏

1

𝑏

2

=

=

|

,

группируем первое слагаемое с четвертым второе с третьим

|

=

=

𝑎

1

𝑎

2

−

𝑏

1

𝑏

2

+

𝑎

1

𝑏

2

𝑖

+

𝑎

2

𝑏

1

𝑖

=

=

|

выносим общим множитель

за скобку

𝑖

|

=

= (

𝑎

1

𝑎

2

−

𝑏

1

𝑏

2

) +

(

𝑎

1

𝑏

2

+

𝑎

2

𝑏

1

)

𝑖

.

Именно так и была получена формула из определения 6. Некоторым

людям проще не запоминать ее, а именно по-быстрому раскрывать скобки.

Пример 5. Найти произведение комплексных чисел

𝑧

1

= 2 − 4

𝑖

𝑧

и

2

= 5 + 3 .

𝑖

◄Действуем по формуле определения 6 (в нашем случае

𝑎

1

= 2,

𝑏

1

= −4,

𝑎

2

= 5,

𝑏

2

= 3

):

𝑧

=

𝑧

1

∙

𝑧

2

=

(

2 ∙ 5 −

(

−4

)

∙ 3

)

+

(

2 ∙ 3 + 5 ∙

(

−4

)

)

𝑖

=

|

считаем

|

=

=

(

10 + 12

)

+

(

6 − 20

)

𝑖

= 22 +

(

−14

)

𝑖

= |

| = 22 − 14 .

раскроем скобки

𝑖

Ответ:

22 − 14 .

𝑖

►

Пример 6. Найти произведение комплексных чисел

𝑧

1

= 7 + 3

𝑖

𝑧

и

2

= 5 − 4 .

𝑖

◄Если в прошлом примере мы использовали формулу определения 6, то

в настоящем примере для разнообразия получим результат путем раскрытия

скобок:

𝑧

=

𝑧

1

∙

𝑧

2

=

(

7 + 3

𝑖

)(

5 − 4

𝑖

)

=

|

раскроем скобки

|

= 35 − 28 + 15 −

𝑖

𝑖

−12

𝑖

2

= |

4.1.1

по определению

𝑖

2

− 1| =

заменим на число

= 35 − 28 + 15 − 12 ∙

𝑖

𝑖

(

−1

)

= 35 − 28 + 15 + 12 =

𝑖

𝑖

=

|

приводим подобные

|

= 47 − 13 .

𝑖

Ответ:

47 − 13 .

𝑖

►

Определение 7. Частным от деления комплексного числа

𝑧

1

=

𝑎

1

+ +

𝑏

1

𝑖

на комплексное число

𝑧

2

=

𝑎

2

+

𝑏

2

𝑖

,

называется комплексное число

𝑧

=

𝑧

1

𝑧

2

=

𝑎

1

𝑎

2

+

𝑏

1

𝑏

2

𝑎

2

2

+

𝑏

2

2

+

𝑎

2

𝑏

1

−

𝑎

1

𝑏

2

𝑎

2

2

+

𝑏

2

2

𝑖

.

Как эту формулу получить аналитически? Из каких соображений? Нужно

числитель и знаменатель дроби

𝑧

1

𝑧

2

умножить на

𝑧

2

̅

, т.е. на число, сопряженное

к

𝑧

2

(см. определение 3), и после в числителе и знаменателе произвести

умножение. Подробнее это рассмотрим в примере 4.1.8.

Пример 7. Разделить комплексное число

𝑧

1

= 3 + 5

𝑖

на комплексное

число

𝑧

2

= 6 − 2 .

𝑖

◄В данном примере покажем использование формулы определения 7 (в

данном случае

𝑎

1

= 3,

𝑏

1

= 5,

𝑎

2

= 6,

𝑏

2

= −2

):

𝑧

=

𝑧

1

𝑧

2

=

3 ∙ 6 + 5 ∙

(

−2

)

6

2

+

(

−2

)

2

+

6 ∙ 5 − 3 ∙

(

−2

)

6

2

+

(

−2

)

2

𝑖

=

|

считаем

|

=

=

18 − 10

36 + 4

+

30 + 6

36 + 4

𝑖

=

8

40

+

36

40

𝑖

=

=

|

−

обе дроби сократимые

сократим их

|

=

1

5

+

9

10

𝑖

.

Ответ:

1

5

+

9

10

𝑖

.

►

Пример 8. Разделить комплексное число

𝑧

1

= 2 − 7

𝑖

на комплексное

число

𝑧

2

= 3 + 8 .

𝑖

◄В данном примере покажем использование метода домножения на

сопряженное к знаменателю (ведь не каждый читатель захочет запоминать

формулу из определения 4.1.7, ему может быть удобнее и быстрее произвести

действия, описанные в данном примере).

Т.к.

𝑧

2

= 3 + 8 ,

𝑖

то

𝑧

2

̅

= 3 − 8 .

𝑖

Итак,

𝑧

=

𝑧

1

𝑧

2

=

𝑧

1

𝑧

2

̅

𝑧

2

𝑧

2

̅

=

|

подставляем

|

=

(

2 − 7

𝑖

)(

3 − 8

𝑖

)

(

3 + 8

𝑖

)(

3 − 8

𝑖

)

=

=

|

,

в числителе умножаем скобки а в знаменателе разность квадратов

|

=

=

6 − 16 − 21 + 56

𝑖

𝑖

𝑖

2

3

2

−

(

8

𝑖

)

2

=

6 − 16 − 21 + 56

𝑖

𝑖

𝑖

2

9 − 64

𝑖

2

=

=

|

1

по определению меняем

𝑖

2

− 1

на

|

=

6 − 16 − 21 + 56 ∙

𝑖

𝑖

(

−1

)

9 − 64 ∙

(

−1

)

=

=

|

умножаем

|

=

6 − 16 − 21 − 56

𝑖

𝑖

9 + 64

=

|

,

приводим подобные считаем

|

=

=

−50 − 37

𝑖

73

= −

50

73

−

37

73

𝑖

.

Последнее действие важно потому, что

𝑧

– это комплексное число, оно

должно иметь вид (*) из определения 1. Выражение

−

50

73

−

37

73

𝑖

– того самого

нужного вида:

𝑎

= −

50

73

,

𝑏

= −

37

73

.

Выражение

−50−37

𝑖

73

этому виду не соответст-

вует.

Ответ:

−

50

73

−

37

73

𝑖

.

►

Определение 8. Модулем комплексного числа

𝑧

=

+

𝑎

𝑏𝑖

называется

число

𝑟

=

|

𝑧

|

=

√

𝑎

2

+

𝑏

2

.

Определение 9. Аргументом комплексного числа

𝑧

=

+

𝑎

𝑏𝑖

называется

угол

𝜑

,

для которого одновременно выполняются равенства

{

cos

=

𝜑

𝑎

𝑟

,

sin

=

𝜑

𝑏

𝑟

.

(**)

Если

𝜑 ∈

[

−

𝜋

;

𝜋

]

,

то такой угол

𝜑

,

удовлетворяющий равенствам (**), называ-

ется главным значением аргумента и обозначается

arg

.

𝑧

Определение 10. Выражение

𝑧

=

∙

𝑟

(

cos

+

sin

𝜑 𝑖

𝜑

)

,

где

𝑟

– модуль комплексного числа

𝑧

,

а

𝜑

– главное значение аргумента комп-

лексного числа

𝑧

,

называется

тригонометрической формой комплексного

числа

𝑧

.

Определение 11. В тех же обозначениях выражение

𝑧

=

∙

𝑟 𝑒

𝑖𝜑

называется показательной формой комплексного числа

𝑧

.

Пример

9.

Записать

показательную

и

тригонометрическую

формы

комплексного числа

𝑧

= −1 −

√

3 .

𝑖

◄Имеем

a = −1,

= −

𝑏

√

3.

1) По определению 8 находим модуль комплексного числа:

𝑟

=

√

𝑎

2

+

𝑏

2

=

√

(

−1

)

2

+

(

−

√

3

)

2

=

√

1 + 3 =

√

4 = 2.

2) Ищем аргумент комплексного числа по формулам (**):

{

cos

=

𝜑

𝑎

𝑟

=

−1

2

= −

1

2

,

sin

=

𝜑

𝑏

𝑟

=

−

√

3

2

= −

√

3

2

.

По тригонометрической таблице (см. конец настоящей лекции) ищем угол

𝜑 ∈

∈

[

−

𝜋

;

𝜋

]

,

удовлетворяющий обоим этим условиям. В таблице есть такой угол:

это

4

𝜋

3

.

Но это значение не из отрезка

[

−

𝜋

;

𝜋

]

.

В этом случае (т.к. синус и

косинус являются периодическими функциями с периодом

2

𝜋

) нужно от

данного угла вычесть

2

𝜋

(вычесть – потому что угол слишком большой, если

слишком маленький – надо прибавлять):

4

𝜋

3

− 2

=

𝜋

|

приводим к общему ззаменателю

|

=

4

𝜋

3

−

6

𝜋

3

= −

2

𝜋

3

.

А этот угол уже попадает в отрезок

[

−

𝜋

;

𝜋

]

.

Значит,

𝜑

= −

2

𝜋

3

.

3) По определению 10 записываем комплексное число в тригонометри-

ческой форме:

𝑧

=

∙

𝑟

(

cos

+

sin

𝜑 𝑖

𝜑

)

=

|

𝑟

= 2

. 1

по п

)

,

= −

𝜑

2

𝜋

3

. 2)| =

по п

= 2 ∙

(

cos

(

−

2

𝜋

3

)

+ sin

𝑖

(

−

2

𝜋

3

))

.

4) По определению 11 записываем комплексное число в показательной

форме:

𝑧

=

∙

𝑟 𝑒

𝑖𝜑

=

|

𝑟

= 2

. 1

по п

)

,

= −

𝜑

2

𝜋

3

. 2)| = 2 ∙

по п

𝑒

−

2

𝜋

3

𝑖

.

Ответ:

𝑧

= 2 ∙

(

cos

(

−

2

𝜋

3

)

+ sin

𝑖

(

−

2

𝜋

3

))

,

𝑧

= 2 ∙

𝑒

−

2

𝜋

3

𝑖

.

►

В

тригонометрической и

показательной формах

можно

производить

следующие

действия

над

комплексными

числами:

умножение,

деление,

возведение в степень, извлечение корня.



Умножение и деление

Если два комплексных числа записаны в тригонометрической или показа-

тельной форме, то при умножении их модули перемножаются, а аргументы

складываются; при делении модули соответствующим образом делятся, а

аргументы соответствующим образом вычитаются.

Пример 10. Найти произведение и частное комплексных чисел

𝑧

1

= 1 −

,

𝑖 𝑧

2

=

√

3 + .

𝑖

◄а) Найдем модуль и аргумент комплексного числа

𝑧

1

= 1 −

𝑖

. Имеем

𝑎

1

= 1,

𝑏

1

= −1.

1) По определению 8 находим модуль комплексного числа:

𝑟

1

=

√

𝑎

1

2

+

𝑏

1

2

=

√

1

2

+

(

−1

)

2

=

√

1 + 1 =

√

2.

2) Ищем аргумент комплексного числа по формулам (**):

{

cos

𝜑

1

=

𝑎

1

𝑟

1

=

1

√

2

,

sin

𝜑

1

=

𝑏

1

𝑟

1

=

−1

√

2

= −

1

√

2

.

По тригонометрической таблице (см. конец настоящей лекции) ищем угол

𝜑

1

∈

[

−

𝜋

;

𝜋

]

,

удовлетворяющий обоим этим условиям. В таблице есть такой

угол: это

7

𝜋

4

.

Но это значение не из отрезка

[

−

𝜋

;

𝜋

]

.

В этом случае (т.к. синус и

косинус являются периодическими функциями с периодом

2

𝜋

) нужно от

данного угла вычесть

2

𝜋

(вычесть – потому что угол слишком большой, если

слишком маленький – надо прибавлять):

7

𝜋

4

− 2

=

𝜋

|

приводим к общему ззаменателю

|

=

7

𝜋

4

−

8

𝜋

4

= −

𝜋

4

.

А этот угол уже попадает в отрезок

[

−

𝜋

;

𝜋

]

.

Значит,

𝜑

1

= −

𝜋

4

.

б) Найдем модуль и аргумент комплексного числа

𝑧

2

=

√

3 +

𝑖

. Имеем

𝑎

2

=

√

3,

𝑏

2

= 1.

1) По определению 8 находим модуль комплексного числа:

𝑟

2

=

√

𝑎

2

2

+

𝑏

2

2

=

√

(

√

3)

2

+ 1

2

=

√

3 + 1 =

√

4 = 2.

2) Ищем аргумент комплексного числа по формулам (**):

{

cos

𝜑

2

=

𝑎

2

𝑟

2

=

√

3

2

,

sin

𝜑

2

=

𝑏

2

𝑟

2

=

1

2

.

По тригонометрической таблице (см. конец настоящей лекции) ищем угол

𝜑

2

∈

[

−

𝜋

;

𝜋

]

,

удовлетворяющий обоим этим условиям. В таблице есть такой

угол: это

𝜋

6

.

Попадает ли он в отрезок

[

−

𝜋

;

𝜋

]

?

Да. Значит, сразу заключаем,

что

𝜑

2

=

𝜋

6

.

в) Производим умножение:



в тригонометрической форме:

𝑧

1

𝑧

2

=

𝑟

1

𝑟

2

(

cos

(

𝜑

1

+

𝜑

2

)

+ sin

𝑖

(

𝜑

1

+

𝜑

2

))

=

=

√

2 ∙ 2 ∙

(

cos

(

−

𝜋

4

+

𝜋

6

)

+ sin

𝑖

(

−

𝜋

4

+

𝜋

6

))

=

|

считаем

|

=

= 2

√

2

(

cos

(

−

𝜋

12

)

+ sin

𝑖

(

−

𝜋

12

))

.



в показательной форме:

𝑧

1

𝑧

2

=

𝑟

1

𝑟

2

𝑒

𝑖

(

𝜑

1

+

𝜑

2

)

=

√

2 ∙ 2 ∙

𝑒

𝑖

(−

𝜋

4

+

𝜋

6

)

=

|

считаем

|

= 2

√

2

𝑒

−

𝜋

12

𝑖

.

г) Производим деление:



в тригонометрической форме:

𝑧

1

𝑧

2

=

𝑟

1

𝑟

2

(

cos

(

𝜑

1

−

𝜑

2

)

+ sin

𝑖

(

𝜑

1

−

𝜑

2

))

=

=

√

2

2

∙

(

cos

(

−

𝜋

4

−

𝜋

6

)

+ sin

𝑖

(

−

𝜋

4

−

𝜋

6

))

=

|

считаем

|

=

=

√

2

2

∙

(

cos

(

−

5

𝜋

12

)

+ sin

𝑖

(

−

5

𝜋

12

))

.



в показательной форме:

𝑧

1

𝑧

2

=

𝑟

1

𝑟

2

𝑒

𝑖

(

𝜑

1

−

𝜑

2

)

=

√

2

2

∙

𝑒

𝑖

(−

𝜋

4

−

𝜋

6

)

=

|

считаем

|

=

√

2

2

∙

𝑒

−

5

𝜋

12

𝑖

.

Ответ:

𝑧

1

𝑧

2

= 2

√

2

(

cos

(

−

𝜋

12

)

+ sin

𝑖

(

−

𝜋

12

))

= 2

√

2

𝑒

−

𝜋

12

𝑖

,

𝑧

1

𝑧

2

=

√

2

2

∙

(

cos

(

−

5

𝜋

12

)

+ sin

𝑖

(

−

5

𝜋

12

))

=

√

2

2

∙

𝑒

−

5

𝜋

12

𝑖

.

►



Возведение в степень

При возведении в степень комплексного числа его модуль возводится в

эту степень, а аргумент умножается на эту степень.

Пример 11. Найти

𝑧

2

,

если

𝑧

= 1 − .

𝑖

◄В примере 10 мы нашли модуль и аргумент этого комплексного числа:

𝑟

=

√

2,

= −

𝜑

𝜋

4

.

Значит, как было написано выше, модуль числа

𝑧

2

будет равен

𝑟

2

=

(√

2

)

2

= 2,

а аргумент числа

𝑧

2

будет равен

2

= 2 ∙

𝜑

(

−

𝜋

4

)

= −

𝜋

2

.

Поэтому, если мы запишем

𝑧

2

в тригонометрической форме, то получим

𝑧

2

= 2 ∙

(

cos

(

−

𝜋

2

)

+ sin

𝑖

(

−

𝜋

2

))

.

В показательной форме

𝑧

2

будет иметь вид:

𝑧

2

= 2 ∙

𝑒

−

𝜋

2

𝑖

.

Ответ:

𝑧

2

= 2 ∙

(

cos

(

−

𝜋

2

)

+ sin

𝑖

(

−

𝜋

2

))

= 2 ∙

𝑒

−

𝜋

2

𝑖

.

►



Извлечение корня

Пусть необходимо вычислить корень степени

𝑛

из комплексного числа

𝑧

,

модуль которого равен

𝑟

и аргумент равен

𝜑

.

Это будут

𝑛

комплексных чисел, которые можно найти по формуле:

√

𝑧

𝑛

=

√

𝑟

𝑛

∙

(

cos

𝜑

+ 2

𝜋𝑘

𝑛

+ sin

𝑖

𝜑

+ 2

𝜋𝑘

𝑛

)

,

(***)

где

𝑘

– целые неотрицательные числа от 0 до

−

𝑛

1.

Т.к. значений

𝑘

получается

𝑛

штук, то каждое комплексное число будет иметь

𝑛

корней степени

𝑛

.

Пример 12. Найти

√

𝑧

3

,

если

𝑧

=

√

3 + .

𝑖

◄В примере 10 мы нашли модуль и аргумент этого комплексного числа:

𝑟

= 2,

=

𝜑

𝜋

6

.

Раз нужен корень третьей степени, то

𝑘

в формуле (***) будет пробегать

числа от 0 до 3-1, т.е. от 0 до 2. Имеем по формуле (***):

𝑧

0

=

|

= 0

при

𝑘

|

=

√

2

3

∙

(

cos

𝜋

6

+ 2

∙ 0

𝜋

3

+ sin

𝑖

𝜋

6

+ 2

∙ 0

𝜋

3

)

=

=

√

2

3

∙

(

cos

𝜋

6

+ 0

3

+ sin

𝑖

𝜋

6

+ 0

3

)

=

√

2

3

∙

(

cos

𝜋

6

3

+ sin

𝑖

𝜋

6

3

)

=

=

√

2

3

∙

(

cos

𝜋

18

+ sin

𝑖

𝜋

18

)

;

𝑧

1

=

|

= 1

при

𝑘

|

=

√

2

3

∙

(

cos

𝜋

6

+ 2

∙ 1

𝜋

3

+ sin

𝑖

𝜋

6

+ 2

∙ 1

𝜋

3

)

=

=

√

2

3

∙

(

cos

𝜋

6

+ 2

𝜋

3

+ sin

𝑖

𝜋

6

+ 2

𝜋

3

)

=

√

2

3

∙

(

cos

𝜋

6

+

12

𝜋

6

3

+ sin

𝑖

𝜋

6

+

12

𝜋

6

3

)

=

=

√

2

3

∙

(

cos

13

𝜋

6

3

+ sin

𝑖

13

𝜋

6

3

)

=

√

2

3

∙

(

cos

13

𝜋

18

+ sin

𝑖

13

𝜋

18

)

;

𝑧

2

=

|

= 2

при

𝑘

|

=

√

2

3

∙

(

cos

𝜋

6

+ 2

∙ 2

𝜋

3

+ sin

𝑖

𝜋

6

+ 2

∙ 2

𝜋

3

)

=

=

√

2

3

∙

(

cos

𝜋

6

+ 4

𝜋

3

+ sin

𝑖

𝜋

6

+ 4

𝜋

3

)

=

√

2

3

∙

(

cos

𝜋

6

+

24

𝜋

6

3

+ sin

𝑖

𝜋

6

+

24

𝜋

6

3

)

=

=

√

2

3

∙

(

cos

25

𝜋

6

3

+ sin

𝑖

25

𝜋

6

3

)

=

√

2

3

∙

(

cos

25

𝜋

18

+ sin

𝑖

25

𝜋

18

)

.

Смотрим на аргументы чисел

𝑧

0

,

𝑧

1

,

𝑧

2

. У чисел

𝑧

0

и

𝑧

1

аргументы

𝜋

18

и

13

𝜋

18

попадают в отрезок

[

−

𝜋

;

𝜋

]

,

а вот у

𝑧

2

нет:

25

𝜋

18

явно больше

𝜋

.

Значит, т.к.

функции синус и косинус

2

𝜋

-периодические, необходимо из

25

𝜋

18

вычесть

2

,

𝜋

чтобы попасть в отрезок

[

−

𝜋

;

𝜋

]

(вычитаем потому, что

25

𝜋

18

– слишком

большое; если число было бы слишком маленькое, например

−

25

𝜋

18

, то

2

𝜋

надо

было бы не вычитать, а прибавлять).

𝑧

2

=

√

2

3

∙

(

cos

(

25

𝜋

18

− 2

𝜋

)

+ sin

𝑖

(

25

𝜋

18

− 2

𝜋

))

=

=

|

приводим к общему знаменателю

|

=

=

√

2

3

∙

(

cos

(

25

𝜋

18

−

36

𝜋

18

)

+ sin

𝑖

(

25

𝜋

18

−

36

𝜋

18

))

=

|

вычитаем

|

=

=

√

2

3

∙

(

cos

(

−

11

𝜋

18

)

+ sin

𝑖

(

−

11

𝜋

18

))

.

Ответ:

𝑧

0

=

√

2

3

∙

(

cos

𝜋

18

+ sin

𝑖

𝜋

18

)

,

𝑧

1

=

√

2

3

∙

(

cos

13

𝜋

18

+ sin

𝑖

13

𝜋

18

)

и

𝑧

2

=

=

√

2

3

∙

(

cos

(

−

11

𝜋

18

)

+ sin

𝑖

(

−

11

𝜋

18

))

.

►

Как мы и обещали, приводим здесь тригонометрическую таблицу.

В качестве домашнего задания можно:

а)

найти

𝑧

1

𝑧

2

(в

тригонометрической

и

показательной

формах),

𝑧

1

𝑧

2

(в

тригонометрической и показательной формах),

𝑧

1

4

,

𝑧

2

3

,

√

𝑧

2

4

,

√

𝑧

1

3

,

если

𝑧

1

= −1 +

,

𝑖 𝑧

2

=

√

3 − .

𝑖

б) Сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел в алгебраиче-

ской форме при:

1)

𝑧

1

= 4 + 6 ,

𝑖 𝑧

2

= 5 − 2 ,

𝑖

2)

𝑧

1

= −2 + 3 ,

𝑖 𝑧

2

= −6 − ,

𝑖

3)

𝑧

1

= −3 + 5 ,

𝑖 𝑧

2

= 4 + 7 .

𝑖

Произведение и частное предлагается сделать двумя способами (см. примеры

5 – 8).