Автор: Михайлов Сергей Иванович
Должность: Преподаватель
Учебное заведение: АУГСГиП
Населённый пункт: Санкт-Петербург
Наименование материала: Конспект лекции по дисциплине ЕН.01 "Элементы высшей математики" специальности 09.02.07 "Информационные системы и программирование"
Тема: Определение произ¬вод¬ной. Правила дифференци¬ро¬вания. Понятие дифференциала.
Раздел: среднее профессиональное
Определение производной. Правила дифференцирования. Понятие
дифференциала.
Определение
1.
Пусть
функция
𝑦
=
(
)
𝑓 𝑥
определена
на
некотором
промежутке
(
𝑎
;
𝑏
)
,
имеется точка
𝑥 ∈
(
𝑎
;
𝑏
)
, и есть число
≠
ℎ
0
такое, что
число
𝑥
+
ℎ
также
принадлежит
промежутку
(
𝑎
;
𝑏
)
.
Тогда
производной
функции
𝑦
=
(
)
𝑓 𝑥
в точке
𝑥
называется предел
𝑓
′
(
𝑥
)
= lim
→
ℎ
0
𝑓
(
𝑥
+
ℎ
)
−
𝑓
(
𝑥
)
ℎ
.
Замечание 1. Как мы помним из алгоритма вычисления пределов, чтобы
вычислить данный предел, необходимо в функцию вместо
ℎ
подставить то
число, к которому стремится это
ℎ
,
т.е. в данном случае число 0. Сделав это,
получим неопределенность
0
0
.
Значит, как мы помним из вышеупомянутого
алгоритма,
функцию
необходимо
преобразовать,
чтобы
избавиться
от
неопределенности, а затем снова подставить вместо
ℎ
число 0 и произвести
подсчет.
Пример 1. Найти производную функции
𝑓
(
𝑥
)
=
𝑥
2
.
◄Дана функция
𝑓
(
𝑥
)
=
𝑥
2
.
Тогда
𝑓
(
𝑥
+
ℎ
)
=
|
в
в
в
в
в
в
в
в
в
в
+ в
𝑥
𝑥
ℎ
|
=
(
𝑥
+
ℎ
)
2
.
По определению 1 имеем
𝑓
′
(
𝑥
)
= lim
→
ℎ
0
𝑓
(
𝑥
+
ℎ
)
−
𝑓
(
𝑥
)
ℎ
= lim
→
ℎ
0
(
𝑥
+
ℎ
)
2
−
𝑥
2
ℎ
=
=
|
1
,
по замечанию преобразовываем функцию раскрывая скобки
|
=
= lim
→
ℎ
0
𝑥
2
+ 2
+
𝑥ℎ
ℎ
2
−
𝑥
2
ℎ
=
|
в
𝑥
2
|
= lim
→
ℎ
0
2
+
𝑥ℎ
ℎ
2
ℎ
=
=
|
выносим
за скобку
ℎ
|
= lim
→
ℎ
0
ℎ
(
2 +
𝑥
ℎ
)
ℎ
=
|
сокращаем
ℎ
|
=
= lim
→
ℎ
0
(
2 +
𝑥
ℎ
)
=
|
неопределенность сократилась
|
=
=
|
0
снова подставляем
вместо
ℎ
|
= 2 + 0 = 2 .
𝑥
𝑥
Ответ:
𝑓
′
(
𝑥
)
= 2
𝑥
. ►
Пример 2. Найти производную функции
𝑓
(
𝑥
)
=
𝑥
3
.
◄Дана функция
𝑓
(
𝑥
)
=
𝑥
3
.
Тогда
𝑓
(
𝑥
+
ℎ
)
=
|
в
в
в
в
в
в
в
в
в
в
+ в
𝑥
𝑥
ℎ
|
=
(
𝑥
+
ℎ
)
3
.
По определению 1 имеем
𝑓
′
(
𝑥
)
= lim
→
ℎ
0
𝑓
(
𝑥
+
ℎ
)
−
𝑓
(
𝑥
)
ℎ
= lim
→
ℎ
0
(
𝑥
+
ℎ
)
3
−
𝑥
3
ℎ
=
=
|
1
,
по замечанию преобразовываем функцию раскрывая скобки
|
=
= lim
→
ℎ
0
𝑥
3
+ 3
𝑥
2
ℎ
+ 3
𝑥ℎ
2
+
ℎ
3
−
𝑥
3
ℎ
=
|
в
𝑥
3
|
=
= lim
→
ℎ
0
3
𝑥
2
ℎ
+ 3
𝑥ℎ
2
+
ℎ
3
ℎ
=
|
выносим
за скобку
ℎ
|
=
= lim
→
ℎ
0
ℎ
(
3
𝑥
2
+ 3
+
𝑥ℎ
ℎ
2
)
ℎ
=
|
сокращаем
ℎ
|
= lim
→
ℎ
0
(
3
𝑥
2
+ 3
+
𝑥ℎ
ℎ
2
)
=
=
|
,
0
неопределенность ушла снова подставляем
вместо
ℎ
|
= 3
𝑥
2
+
+3 ∙ 0 + 0
𝑥
2
= 3
𝑥
2
+ 0 + 0 = 3
𝑥
2
.
Ответ:
𝑓
′
(
𝑥
)
= 3
𝑥
2
. ►
Аналогичным образом получаются формулы таблицы производных.
Теорема 1. Имеет место таблица производных:
Данные формулы получаются аналогично примерам 1 – 2.
Разберемся, как пользоваться данной таблицей. В частности, посмотрим,
как работают формулы 4, 5, 6.
Пример 3. Найти производную функций
а)
𝑓
(
𝑥
)
=
𝑥
8
;
б)
𝑓
(
𝑥
)
=
𝑥
33
;
в)
𝑓
(
𝑥
)
=
1
𝑥
2
;
г)
𝑓
(
𝑥
)
=
1
𝑥
10
.
◄Т.к. функция в пп. а) и б) имеет вид
𝑥
𝑛
,
то для нахождения ее
производной нужно воспользоваться, очевидно, формулой 4. Для функции пу-
нкта а) имеем
𝑓
′
(
𝑥
)
=
(
𝑥
8
)
′
=
|
4
1
по формуле
теоремы
|
= 8 ∙
𝑥
8−1
=
|
считаем
|
= 8
𝑥
7
.
Для функции пункта б) имеем
𝑓
′
(
𝑥
)
=
(
𝑥
33
)
′
=
|
4
1
по формуле
теоремы
|
= 33 ∙
𝑥
33−1
=
|
считаем
|
=
= 33
𝑥
32
.
Функции из пунктов в) и г) можно сначала привести к виду
𝑥
𝑛
,
а потом
уже пользоваться таблицей. Для функции пункта в) имеем
𝑓
′
(
𝑥
)
=
(
1
𝑥
2
)
′
=
|
по свойству степеней
|
=
(
𝑥
−2
)
′
=
=
|
привели функцию к виду
𝑥
𝑛
|
=
|
4
1
по формуле
теоремы
|
=
= −2 ∙
𝑥
−2−1
=
|
считаем
|
= −2 ∙
𝑥
−3
=
|
по свойству степеней
|
= −2 ∙
1
𝑥
3
=
=
|
умножаем
|
= −
2
𝑥
3
.
Для функции пункта в) имеем
𝑓
′
(
𝑥
)
=
(
1
𝑥
10
)
′
=
|
по свойству степеней
|
=
(
𝑥
−10
)
′
=
=
|
привели функцию к виду
𝑥
𝑛
|
=
|
4
1
по формуле
теоремы
|
=
= −10 ∙
𝑥
−10−1
=
|
считаем
|
= −10 ∙
𝑥
−11
=
|
по свойству степеней
|
=
= −10 ∙
1
𝑥
11
=
|
умножаем
|
= −
10
𝑥
11
.
Ответ: а)
𝑓
′
(
𝑥
)
= 8
𝑥
7
;
б)
𝑓
′
(
𝑥
)
= 33
𝑥
32
;
в)
𝑓
′
(
𝑥
)
= −
2
𝑥
3
;
г)
𝑓
′
(
𝑥
)
=
= −
10
𝑥
11
.
►
Пример 4. Найти производную функций
а)
𝑓
(
𝑥
)
=
√
𝑥
;
б)
𝑓
(
𝑥
)
=
√
𝑥
2
5
;
в)
𝑓
(
𝑥
)
=
1
√
𝑥
3
;
г)
𝑓
(
𝑥
)
=
1
√
𝑥
5
6
.
◄Все функции данного примера по определению корня и свойствам сте-
пеней сводятся к функции вида
𝑥
𝑛
.
Имеем для функции пункта а):
𝑓
′
(
𝑥
)
=
(
√
𝑥
)
′
=
|
по определению корня
|
=
(
𝑥
1
2
)
′
=
=
|
привели функцию к виду
𝑥
𝑛
|
=
|
4
1
по формуле
теоремы
|
=
=
1
2
∙
𝑥
1
2
−1
=
|
считаем
|
=
1
2
∙
𝑥
−
1
2
=
|
по свойству степеней
|
=
1
2
∙
1
𝑥
1
2
=
=
|
умножаем
|
=
1
2
𝑥
1
2
=
|
по определению корня
|
=
1
2
√
𝑥
.
Имеем для функции пункта б):
𝑓
′
(
𝑥
)
=
(
√
𝑥
2
5
)
′
=
|
по определению корня
|
=
(
𝑥
2
5
)
′
=
=
|
привели функцию к виду
𝑥
𝑛
|
=
|
4
1
по формуле
теоремы
|
=
=
2
5
∙
𝑥
2
5
−1
=
|
считаем
|
=
2
5
∙
𝑥
−
3
5
=
|
по свойству степеней
|
=
2
5
∙
1
𝑥
3
5
=
=
|
умножаем
|
=
2
5
𝑥
3
5
=
|
по определению корня
|
=
2
5√
𝑥
3
5
.
Имеем для функции пункта в):
𝑓
′
(
𝑥
)
=
(
1
√
𝑥
3
)
′
=
|
по определению корня
|
=
1
𝑥
1
3
=
=
|
по свойству степеней
|
=
(
𝑥
−
1
3
)
′
=
|
привели функцию к виду
𝑥
𝑛
|
=
=
|
4
1
по формуле
теоремы
|
= −
1
3
∙
𝑥
−
1
3
−1
=
|
считаем
|
= −
1
3
∙
𝑥
−
4
3
=
=
|
по свойству степеней
|
= −
1
3
∙
1
𝑥
4
3
=
|
умножаем
|
= −
1
3
𝑥
4
3
=
=
|
по определению корня
|
= −
1
3
√
𝑥
4
3
.
Имеем для функции пункта г):
𝑓
′
(
𝑥
)
=
(
1
√
𝑥
5
6
)
′
=
|
по определению корня
|
=
1
𝑥
5
6
=
=
|
по свойству степеней
|
=
(
𝑥
−
5
6
)
′
=
|
привели функцию к виду
𝑥
𝑛
|
=
=
|
4
1
по формуле
теоремы
|
= −
5
6
∙
𝑥
−
5
6
−1
=
|
считаем
|
= −
5
6
∙
𝑥
−
11
6
=
=
|
по свойству степеней
|
= −
5
6
∙
1
𝑥
11
6
=
|
умножаем
|
= −
5
6
𝑥
11
6
=
=
|
по определению корня
|
= −
5
6
√
𝑥
11
6
.
Ответ: а)
𝑓
′
(
𝑥
)
=
1
2
√
𝑥
;
б)
𝑓
′
(
𝑥
)
=
2
5
√
𝑥
3
5
;
в)
𝑓
′
(
𝑥
)
= −
1
3
√
𝑥
4
3
;
г)
𝑓
′
(
𝑥
)
=
= −
5
6
√
𝑥
11
6
.
►
Пример 5. Найти производную функций
а)
𝑓
(
𝑥
)
= log
2
𝑥
,
б)
𝑓
(
𝑥
)
= lg
.
𝑥
◄Обе функции напоминают функцию из формулы 6 теоремы 1. Для
функции а) имеем:
𝑓
′
(
𝑥
)
=
(
log
2
𝑥
)
′
=
|
6
1
= 2
по формуле
теоремы
при
𝑎
|
=
1
∙
𝑥
ln 2
.
Для функции б) имеем:
𝑓
′
(
𝑥
)
=
(
lg
𝑥
)
′
=
|
перед нами десятичный логарифм
|
=
=
|
6
1
= 10
по формуле
теоремы
при
𝑎
|
=
1
∙
𝑥
ln 10
.
Ответ: а)
𝑓
′
(
𝑥
)
=
1
∙
𝑥
ln 2
;
б)
𝑓
′
(
𝑥
)
=
1
∙
𝑥
ln 10
.
►
Пример 6. Найти производную функций
а)
𝑓
(
𝑥
)
= 8
𝑥
,
б)
𝑓
(
𝑥
)
= 3
𝑥
.
◄Обе функции напоминают функцию из формулы 5 теоремы 1. Для
функции а) имеем:
𝑓
′
(
𝑥
)
=
(
8
𝑥
)
′
=
|
5
1
= 8
по формуле
теоремы
при
𝑎
|
= 8
𝑥
∙ ln 8.
Для функции б) имеем:
𝑓
′
(
𝑥
)
=
(
3
𝑥
)
′
=
|
5
1
= 3
по формуле
теоремы
при
𝑎
|
= 3
𝑥
∙ ln 3.
Ответ: а)
𝑓
′
(
𝑥
)
= 8
𝑥
∙ ln 8 ;
б)
𝑓
′
(
𝑥
)
= 3
𝑥
∙ ln 3.
►
У студентов часто возникает вопрос: в чем разница между формулами 5.
и 5*. теоремы 1? Разница в том, что формула 5 – общая, а 5* – ее частный
случай при конкретном значении
𝑎
=
.
𝑒
Напомним еще раз, что
≈
𝑒
2,71
–
вполне конкретное число, называемое числом Эйлера. Подставим это число в
формулу 5 вместо
𝑎
, как в примере 2.2.4:
𝑓
′
(
𝑥
)
=
(
𝑒
𝑥
)
′
=
|
5
2.2.1
=
по формуле
теоремы
при
𝑎
𝑒
|
=
𝑒
𝑥
∙ ln
=
𝑒
=
|
основание натурального логарифма равно
𝑒
|
=
=
|
,
значит в последнем логарифме основание и степень одинаковы
|
=
=
|
1
по свойству логарифмов такой логарифм равен
|
=
𝑒
𝑥
∙ 1 =
𝑒
𝑥
.
Таким образом, мы из формулы 5. теоремы 1 получили формулу 5*:
(
𝑒
𝑥
)
′
=
𝑒
𝑥
.
Аналогичная ситуация происходит с формулами 6. и 6*. теоремы 1.
Теорема 2. Производная суммы (разности) функций равна сумме (разно-
сти) производных:
(
𝑓
(
𝑥
)
±
𝑔
(
𝑥
)
)
′
=
𝑓
′
(
𝑥
)
±
𝑔
′
(
𝑥
)
.
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производ-
ной:
(
∙
𝑐 𝑓
(
𝑥
)
)
′
=
∙
𝑐 𝑓
′
(
𝑥
)
.
Зачем нужны эти теорема и следствие? Затем, что по предыдущим мате-
риалам непонятно, как брать производную, например, от функции
𝑓
(
𝑥
)
=
𝑥
2
−
−3
𝑥
или
𝑓
(
𝑥
)
= 5
𝑥
4
.
Теорема и следствие как раз и нужны для нахождения
производной таких функций.
Итак, если функция представляет собой сумму (разность) функций, необ-
ходимо:
1.
Представить функции, составляющие сумму, в виде, пригодном для
использования таблицы теоремы 1;
2.
Применить теорему 2;
3.
При необходимости (т.е. если перед функциями есть числа) применить
следствие 1;
4.
Применить таблицу теоремы 1;
5.
Привести результат к максимально короткому виду.
Пример 7. Найти производную функции
𝑓
(
𝑥
)
=
𝑥
3
+
1
𝑥
2
.
◄Имеем:
𝑓
′
(
𝑥
)
=
(
𝑥
3
+
1
𝑥
2
)
′
=
|
по свойствам степеней
|
=
(
𝑥
3
+
𝑥
−2
)
′
=
=
|
2
по теореме
|
=
(
𝑥
3
)
′
+
(
𝑥
−2
)
′
=
|
,
,
чисел чтобы выносить нет
|
=
=
|
4
1
по формуле
теоремы
|
= 3 ∙
𝑥
3−1
+
(
−2
)
∙
𝑥
−2−1
=
|
считаем
|
=
= 3
𝑥
2
− 2
𝑥
−3
=
|
по свойствам степеней
|
= 3
𝑥
2
− 2 ∙
1
𝑥
3
= 3
𝑥
2
−
2
𝑥
3
.
Ответ:
𝑓
′
(
𝑥
)
= 3
𝑥
2
−
2
𝑥
3
.
►
Пример 8. Найти производную функции
𝑓
(
𝑥
)
= 6
√
𝑥
+
2
𝑥
+ 5.
◄ Имеем:
𝑓
′
(
𝑥
)
=
(
𝑥
3
+
1
𝑥
2
)
′
=
|
по свойствам степеней и определению корня
|
=
=
(
6
𝑥
1
2
+ 2
𝑥
−1
+ 5
)
′
=
|
2
по теореме
|
=
(
6
𝑥
1
2
)
′
+
(
2
𝑥
−1
)
′
+ 5
′
=
=
|
,
1
перед функциями есть числа поэтому пользуемся следствием
|
=
= 6 ∙
(
𝑥
1
2
)
′
+ 2 ∙
(
𝑥
−1
)
′
+ 5
′
=
=
|
4
1
1
по формулам
и
таблицы теоремы
|
= 6 ∙
1
2
𝑥
1
2
−1
+ 2 ∙
(
−1
)
∙
𝑥
−1−1
+
+0 =
|
считаем
|
= 3
𝑥
−
1
2
− 2
𝑥
−2
= |
| =
по свойствам степеней
= 3 ∙
1
𝑥
1
2
− 2 ∙
1
𝑥
2
=
3
𝑥
1
2
−
2
𝑥
2
=
|
по определению корня
|
=
3
√
𝑥
−
2
𝑥
2
.
Ответ:
𝑓
′
(
𝑥
)
=
3
√
𝑥
−
2
𝑥
2
.
►
Пример 9. Найти производную функции
𝑓
(
𝑥
)
= 6 − 5
𝑥
𝑥
2
− 3.
◄Имеем:
𝑓
′
(
𝑥
)
=
(
6 − 5
𝑥
𝑥
2
− 3
)
′
=
|
2
по теореме
|
=
(
6
𝑥
)
′
−
(
5
𝑥
2
)
′
− 3
′
=
=
|
,
1
перед функциями есть числа поэтому пользуемся следствием
|
=
= 6 ∙
𝑥
′
− 5 ∙
(
𝑥
2
)
′
− 3
′
=
=
|
2, 3
1
1
по формулам соответственно
и
теоремы
|
= 6 ∙ 1 − 5 ∙ 2 − 0 =
𝑥
=
|
считаем
|
= 6 − 10 .
𝑥
Ответ:
𝑓
′
(
𝑥
)
= 6 − 10 .
𝑥
►
Пример 10. Найти производную функции
𝑓
(
𝑥
)
= 2 ln
− 3
𝑥
𝑥
5
.
◄Имеем:
𝑓
′
(
𝑥
)
=
(
2 ln
− 3
𝑥
𝑥
5
)
′
=
|
2
по теореме
|
=
(
2 ln
𝑥
)
′
−
(
3
𝑥
5
)
′
=
=
|
,
1
перед функциями есть числа поэтому пользуемся следствием
|
=
= 2 ∙
(
ln
𝑥
)
′
− 3 ∙
(
𝑥
5
)
′
=
=
|
6
4
1
по формулам соответственно
и
теоремы
∗
|
= 2 ∙
1
𝑥
− 3 ∙ 5
𝑥
4
=
=
|
считаем
|
=
2
𝑥
− 15
𝑥
4
.
Ответ:
𝑓
′
(
𝑥
)
=
2
𝑥
− 15
𝑥
4
.
►
Пример 11. Найти производную функции
𝑓
(
𝑥
)
= tg
+ ctg
− 12.
𝑥
𝑥
◄Имеем:
𝑓
′
(
𝑥
)
=
(
tg
+ ctg
− 12
𝑥
𝑥
)
′
=
|
2
по теореме
|
=
(
tg
𝑥
)
′
+
(
ctg
𝑥
)
′
− 12′ =
=
|
,
1
перед функциями чисел нет поэтому идем сразу на теорему
|
=
=
|
9, 10
1
1
по формулам соответственно
и
теоремы
|
=
=
1
cos
2
𝑥
+
(
−
1
sin
2
𝑥
)
− 0 =
|
считаем
|
=
1
cos
2
𝑥
−
1
sin
2
𝑥
.
Ответ:
𝑓
′
(
𝑥
)
=
1
cos
2
𝑥
−
1
sin
2
𝑥
.
►
Пример 12. Найти производную функции
𝑓
(
𝑥
)
= 2
√
−
𝑥
5 + 4 lg
.
𝑥
𝑥
◄Имеем:
𝑓
′
(
𝑥
)
=
(
2
√
−
𝑥
5 + 4 lg
𝑥
𝑥
)
′
=
|
2
по теореме
|
=
(
2
√
𝑥
)
′
−
(
5
𝑥
)
′
+ (4 lg
)′ =
𝑥
=
|
,
1
перед функциями есть числа поэтому пользуемся следствием
|
=
= 2 ∙
(
√
𝑥
)
′
− 5 ∙
𝑥
′
+ 4(lg
)′ =
𝑥
=
|
.
)
4
2
6 (
= 10)
1
по п а примера
и формулам
и
при
теоремы
𝑎
|
=
= 6 ∙
1
2
√
𝑥
− 5 ∙ 1 + 4 ∙
1
∙
𝑥
ln 10
=
|
считаем
|
=
6
2
√
𝑥
− 5 +
4
∙
𝑥
ln 10
=
=
|
,
6
2
видим что можно сократить
и
в первой дроби
|
=
=
3
√
𝑥
− 5 +
4
∙
𝑥
ln 10
.
Ответ:
𝑓
′
(
𝑥
)
=
3
√
𝑥
− 5 +
4
∙
𝑥
ln 10
.
►
Пример 13. Найти производную функции
𝑓
(
𝑥
)
= 2 sin
− 3 cos
+ arcsin
+ arccos
− 8.
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
◄Имеем:
𝑓
′
(
𝑥
)
=
(
2 sin
− 3 cos
+ arcsin
+ arccos
− 8
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
)
′
=
=
|
2
по теореме
|
=
(
2 sin
𝑥
)
′
−
(
3 cos
𝑥
)
′
+
(
arcsin
𝑥
)
′
+
(
arccos
𝑥
)
′
− 8
′
=
=
|
,
1
перед функциями есть числа поэтому пользуемся следствием
|
=
= 2 ∙
(
sin
𝑥
)
′
− 3 ∙
(
cos
𝑥
)
′
+
(
arcsin
𝑥
)
′
+
(
arccos
𝑥
)
′
− 8
′
=
=
|
7, 8,11,12
1
1
по формулам соответственно
и
теоремы
|
=
= 2 ∙ cos
− 3 ∙
𝑥
(
− sin
𝑥
)
+
1
√1 −
𝑥
2
+
(
−
1
√1 −
𝑥
2
)
− 0 =
|
считаем
|
=
= 2 cos
+ 3 sin
+
𝑥
𝑥
1
√1 −
𝑥
2
−
1
√1 −
𝑥
2
=
=
|
,
видим что третье и четвертое слагаемое взаимно уничтожаются
|
=
= 2 cos
+ 3 sin
.
𝑥
𝑥
Ответ:
𝑓
′
(
𝑥
)
= 2 cos
+ 3 sin
.
𝑥
𝑥
►
Пример 14. Найти производную функции
𝑓
(
𝑥
)
= 5
𝑒
𝑥
− 5
𝑥
− 5 + 5 + 5
𝑥
√
𝑥
5
.
◄Имеем:
𝑓
′
(
𝑥
)
=
(
5
𝑒
𝑥
− 5
𝑥
− 5 + 5 + 5
𝑥
√
𝑥
5
)
′
=
|
по определению корня
|
=
=
(
5
𝑒
𝑥
− 5
𝑥
− 5 + 5 + 5
𝑥
𝑥
1
5
)
′
=
|
2
по теореме
|
=
=
(
5
𝑒
𝑥
)
′
−
(
5
𝑥
)
′
−
(
5
𝑥
)
′
+ 5
′
+
(
5
𝑥
1
5
)
′
=
=
|
,
1
перед функциями есть числа поэтому пользуемся следствием
|
=
= 5 ∙
(
𝑒
𝑥
)
′
−
(
5
𝑥
)
′
− 5 ∙
𝑥
′
+ 5
′
+ 5 ∙
(
𝑥
1
5
)
′
=
=
|
5
, 5
по формулам соответственно
∗
(
= 5
при
𝑎
)
, 2,1
4
1
и
теоремы
|
=
= 5 ∙
𝑒
𝑥
− 5
𝑥
∙ ln 5 − 5 ∙ 1 + 0 + 5 ∙
1
5
𝑥
1
5
−1
=
|
считаем
|
= 5
𝑒
𝑥
− 5
𝑥
∙ ln 5 −
−5 +
𝑥
−
4
5
=
|
по свойствам степеней
|
= 5
𝑒
𝑥
− 5
𝑥
∙ ln 5 − 5 +
1
𝑥
4
5
=
=
|
по определению корня
|
= 5
𝑒
𝑥
− 5
𝑥
∙ ln 5 − 5 +
1
√
𝑥
4
5
.
Ответ:
𝑓
′
(
𝑥
)
= 5
𝑒
𝑥
− 5
𝑥
∙ ln 5 − 5 +
1
√
𝑥
4
5
.
►
Теорема 3. Производная произведения функций находится по следующей
формуле:
(
𝑓
(
𝑥
)
∙
𝑔
(
𝑥
)
)
′
=
𝑓
′
(
𝑥
)
∙
𝑔
(
) +
𝑥
𝑓
(
𝑥
)
∙
𝑔
′
(
𝑥
)
.
Зачем
нужна
эта
теорем?
Затем,
что
по
предыдущим
материалам
непонятно, как брать производную, например, от функции
𝑓
(
𝑥
)
=
𝑥
2
∙
𝑒
𝑥
.
Теорема как раз и нужна для нахождения производной таких функций.
Итак, если функция представляет собой произведение функций, необ-
ходимо:
1.
Представить функции, составляющие произведение, в виде, пригодном
для использования таблицы теоремы 1;
2.
Применить теорему 3;
3.
При необходимости (т.е. если перед функциями есть числа) применить
следствие 1;
4.
Применить таблицу теоремы 1;
5.
Привести результат к максимально короткому виду.
Пример 15. Найти производную функции
𝑓
(
𝑥
)
=
𝑒
𝑥
(
2 − 5
𝑥
)
.
◄Имеем:
𝑓
′
(
𝑥
)
=
(
𝑒
𝑥
(
2 − 5
𝑥
)
)
′
=
|
3
по теореме
|
=
(
𝑒
𝑥
)
′
∙
(
2 − 5
𝑥
)
+
𝑒
𝑥
∙
(
2 − 5
𝑥
)
′
=
=
|
5
2.2.1
по формуле
теоремы
∗
|
=
𝑒
𝑥
∙
(
2 − 5
𝑥
)
+
𝑒
𝑥
∙
(
2 − 5
𝑥
)
′
=
=
|(
2 − 5
𝑥
)
′
есть производная разности
|
=
=
|
2
для ее вычисления пойдем по теореме
|
=
=
𝑒
𝑥
∙
(
2 − 5
𝑥
)
+ +
𝑒
𝑥
∙
((
2
𝑥
)
′
− 5
′
)
=
|
1
2
по следствию выносим
|
=
=
𝑒
𝑥
∙
(
2 − 5
𝑥
)
+
𝑒
𝑥
∙
(
2 ∙
𝑥
′
− 5
′
)
=
|
1
2
1
по формулам
и
теоремы
|
=
=
𝑒
𝑥
∙
(
2 − 5
𝑥
)
+
𝑒
𝑥
∙
(
2 ∙ 1 − 0
)
=
|
,
2
считая во второй скобке имеем
|
=
=
𝑒
𝑥
∙
(
2 − 5
𝑥
)
+
𝑒
𝑥
∙ 2 =
|
выносим
𝑒
𝑥
за скобку
|
=
𝑒
𝑥
∙
(
2 − 5 + 2
𝑥
)
=
= |
| =
считаем
𝑒
𝑥
∙
(
2 − 3
𝑥
)
.
Ответ:
𝑓
′
(
𝑥
)
=
𝑒
𝑥
∙
(
2 − 3
𝑥
)
.
►
Пример 16. Найти производную функции
𝑓
(
𝑥
)
= sin
∙ cos
.
𝑥
𝑥
◄Имеем:
𝑓
′
(
𝑥
)
=
(
sin
∙ cos
𝑥
𝑥
)
′
=
|
3
по теореме
|
=
(
sin
𝑥
)
′
∙ cos
+
𝑥
+ sin
∙
𝑥
(
cos
𝑥
)
′
=
|
7
8
1
по формулам
и
теоремы
|
= cos
∙ cos
+
𝑥
𝑥
+ sin
∙
𝑥
(
− sin
𝑥
)
=
|
считаем
|
= cos
2
−
𝑥
sin
2
𝑥
=
= |
| = cos 2 .
по формуле косинуса двойного угла
𝑥
Ответ:
𝑓
′
(
𝑥
)
= cos 2 .
𝑥
►
Пример 17. Найти производную функции
𝑓
(
𝑥
)
=
∙ ln
.
𝑥
𝑥
◄Имеем:
𝑓
′
(
𝑥
)
=
(
∙
𝑥
ln
𝑥
)
′
=
|
3
по теореме
|
=
′ ∙ ln
+
∙
𝑥
𝑥
𝑥
(
ln
𝑥
)
′
=
=
|
1
6
1
по формулам
и
теоремы
∗
|
= 1 ∙ ln
+
∙
𝑥
𝑥
1
𝑥
=
|
считаем
|
=
= ln
+
∙
𝑥
𝑥
1
𝑥
= |
| = ln
+ 1.
сокращаем на
𝑥
𝑥
Ответ:
𝑓
′
(
𝑥
)
= ln
+ 1.
𝑥
►
Пример 18. Найти производную функции
𝑓
(
𝑥
)
= (
𝑥
2
− 1) ∙ log
2
𝑥
.
◄Имеем:
𝑓
′
(
𝑥
)
=
(
𝑒
𝑥
(
2 − 5
𝑥
)
)
′
=
|
3
по теореме
|
=
(
𝑥
2
− 1
)
′
∙ log
2
𝑥
+
+
(
𝑥
2
− 1
)
∙
(
log
2
𝑥
)
′
=
|
5
1
= 2
по формуле
теоремы
при
𝑎
|
=
=
(
𝑥
2
− 1
)
′
∙ log
2
𝑥
+
(
𝑥
2
− 1
)
∙
1
∙
𝑥
ln 2
=
=
|(
𝑥
2
− 1
)
′
есть производная разности
|
=
=
|
2
для ее вычисления пойдем по теореме
|
=
=
((
𝑥
2
)
′
− 1
′
)
∙ log
2
𝑥
+
(
𝑥
2
− 1
)
∙
1
∙
𝑥
ln 2
=
|
чисел для вынесения нет
|
=
=
|
1
3
1
по формулам
и
теоремы
|
=
(
2 − 0
𝑥
)
∙ log
2
𝑥
+
(
𝑥
2
− 1
)
∙
1
∙
𝑥
ln 2
=
=
|
считаем
|
= 2 ∙ log
𝑥
2
𝑥
+
𝑥
2
− 1
∙
𝑥
ln 2
.
Ответ:
𝑓
′
(
𝑥
)
= 2 ∙ log
𝑥
2
𝑥
+
𝑥
2
−1
∙
𝑥
ln 2
.
►
Пример 19. Найти производную функции
𝑓
(
𝑥
)
=
√
𝑥
3
∙ arcsin
.
𝑥
◄Имеем:
𝑓
′
(
𝑥
)
=
(
√
𝑥
3
∙ arcsin
𝑥
)
′
=
|
3
по теореме
|
=
(
√
𝑥
3
)
′
∙ arcsin
+
𝑥
+
√
𝑥
3
∙
(
arcsin
𝑥
)
′
= |
| =
по определению корня
(
𝑥
1
3
)
′
∙ arcsin
+
𝑥
+
√
𝑥
3
∙
(
arcsin
𝑥
)
′
=
|
4
11
1
по формулам
и
теоремы
|
=
=
1
3
∙
𝑥
1
3
−1
∙ arcsin
+
𝑥
√
𝑥
3
∙
1
√1 −
𝑥
2
=
|
считаем
|
=
=
1
3
∙
𝑥
−
2
3
∙ arcsin
+
𝑥
√
𝑥
3
√1 −
𝑥
2
=
|
по свойствам степеней
|
=
=
1
3
∙
1
𝑥
2
3
∙ arcsin
+
𝑥
√
𝑥
3
√1 −
𝑥
2
=
|
считаем
|
=
arcsin
𝑥
3
𝑥
2
3
+
√
𝑥
3
√1 −
𝑥
2
=
=
|
по свойствам корней
|
=
arcsin
𝑥
3√
𝑥
2
3
+
√
𝑥
3
√1 −
𝑥
2
.
Ответ:
𝑓
′
(
𝑥
)
=
arcsin
𝑥
3
√
𝑥
2
3
+
√
𝑥
3
√
1−
𝑥
2
.
►
Пример 20. Найти производную функции
𝑓
(
𝑥
)
= tg
∙ ctg
.
𝑥
𝑥
◄Имеем:
𝑓
′
(
𝑥
)
=
(
tg
∙ ctg
𝑥
𝑥
)
′
=
|
3
по теореме
|
=
(
tg
𝑥
)
′
∙ ctg
+ tg
∙
𝑥
𝑥
(
ctg
𝑥
)
′
=
= |
,
1| =
чисел для вынесения нет потому сразу применяем теорему
=
|
9
10
1
по формулам
и
теоремы
|
=
1
cos
2
𝑥
∙ ctg
+ tg
∙
𝑥
𝑥
(
−
1
sin
2
𝑥
)
=
=
1
cos
2
𝑥
∙ ctg
− tg
∙
𝑥
𝑥
1
sin
2
𝑥
=
=
|
,
ctg
=
вспоминаем что
𝑥
cos
𝑥
sin
𝑥
tg
=
и
𝑥
sin
𝑥
cos
𝑥
|
=
1
cos
2
𝑥
∙
cos
𝑥
sin
𝑥
−
−
sin
𝑥
cos
𝑥
∙
1
sin
2
𝑥
=
|
умножаем
|
=
cos
𝑥
cos
2
∙
𝑥
sin
𝑥
−
sin
𝑥
cos
∙ sin
𝑥
2
𝑥
=
=
|
cos
,
−
sin
в первой дроби сократим на
во второй
на
𝑥
𝑥
|
=
=
1
cos
∙ sin
𝑥
𝑥
−
1
cos
∙ sin
𝑥
𝑥
=
= |
.
.
,
0| = 0.
т к дроби одинаковы то при их вычитании получим
Итак,
𝑓
′
(
𝑥
)
= 0.
Однако в данном случае к этому результату можно было
прийти значительно проще, если в самом начале (а не в середине) вспомнить
определения тангенса и котангенса:
ctg
=
𝑥
cos
𝑥
sin
𝑥
и
tg
=
𝑥
sin
𝑥
cos
𝑥
.
В самом деле,
𝑓
′
(
𝑥
)
=
(
tg
∙ ctg
𝑥
𝑥
)
′
=
|
по определениям тангенса и котангенса
|
=
=
(
sin
𝑥
cos
𝑥
∙
cos
𝑥
sin
𝑥
)
′
=
(
sin
∙ cos
𝑥
𝑥
cos
∙ sin
𝑥
𝑥
)
′
=
=
|
sin
cos
сокращаем числитель и знаменатель на
и
𝑥
𝑥
|
=
=
|
1
в скобках от дроби тем самым остаётся лишь
|
= 1
′
=
= |
1
1
0| = 0.
по формуле
теоремы
производная числа равна
Данный способ, как видим, оказался существенно проще. Поэтому важно
не просто слепо следовать алгоритму, а на каждом этапе анализировать, каким
образом можно как можно быстрее достичь верного результата.
Ответ:
𝑓
′
(
𝑥
)
= 0.
►
Теорема 4. Производная частного функций находится по следующей
формуле:
(
𝑓
(
𝑥
)
𝑔
(
)
𝑥
)
′
=
𝑓
′
(
𝑥
)
∙
𝑔
(
𝑥
)
−
𝑓
(
𝑥
)
∙
𝑔
′
(
𝑥
)
(
𝑔
(
𝑥
)
)
2
.
Зачем нужна эта теорем? Затем, что по предыдущим материалам непо-
нятно, как брать производную, например, от функции
𝑓
(
𝑥
)
=
𝑒
𝑥
−
𝑥
1
.
Теорема как
раз и нужна для нахождения производной таких функций.
Итак, если функция представляет собой произведение функций, необ-
ходимо:
6.
Представить функции, составляющие частное, в виде, пригодном для
использования таблицы теоремы 1;
7.
Применить теорему 4;
8.
При необходимости (т.е. если перед функциями есть числа) применить
следствие 1;
9.
Применить таблицу теоремы 1;
10.
Привести результат к максимально короткому виду.
Пример 21. Найти производную функции
𝑓
(
𝑥
)
=
𝑥
2
+ 5 − 1
𝑥
−
𝑥
1
.
◄Имеем:
𝑓
′
(
𝑥
)
=
(
𝑥
2
+ 5 − 1
𝑥
−
𝑥
1
)
′
=
|
4
по теореме
|
=
=
(
𝑥
2
+ 5 − 1
𝑥
)
′
∙
(
−
𝑥
1
)
−
(
𝑥
2
+ 5 − 1
𝑥
)
∙
(
−
𝑥
1
)
′
(
−
𝑥
1
)
2
=
=
|
−
производные в числителе
производные суммы и разности
|
=
=
|
2
раскладываем их по теореме
|
=
=
((
𝑥
2
)
′
+
(
5
𝑥
)
′
− 1
′
)
∙
(
−
𝑥
1
)
−
(
𝑥
2
+ 5 − 1
𝑥
)
∙
(
𝑥
′
− 1
′
)
(
−
𝑥
1
)
2
=
= |
1| =
по следствию
=
((
𝑥
2
)
′
+ 5 ∙
𝑥
′
− 1
′
)
∙
(
−
𝑥
1
)
−
(
𝑥
2
+ 5 − 1
𝑥
)
∙
(
𝑥
′
− 1
′
)
(
−
𝑥
1
)
2
=
=
|
1, 2
3
1
по формулам
и
теоремы
|
=
=
(
2 + 5 − 0
𝑥
)
∙
(
−
𝑥
1
)
−
(
𝑥
2
+ 5 − 1
𝑥
)
∙
(
1 − 0
)
(
−
𝑥
1
)
2
=
|
считаем
|
=
=
(
2 + 5
𝑥
)
∙
(
−
𝑥
1
)
−
(
𝑥
2
+ 5 − 1
𝑥
)
∙ 1
(
−
𝑥
1
)
2
=
|
раскрываем скобки
|
=
=
(
2
𝑥
2
− 2 + 5 − 5
𝑥
𝑥
)
−
(
𝑥
2
+ 5 − 1
𝑥
)
(
−
𝑥
1
)
2
=
2
𝑥
2
+ 3 − 5 −
𝑥
𝑥
2
− 5 + 1
𝑥
(
−
𝑥
1
)
2
=
= |
| =
приводим подобные слагаемые
𝑥
2
− 2 − 4
𝑥
(
−
𝑥
1
)
2
.
Ответ:
𝑓
′
(
𝑥
)
=
𝑥
2
−2 −4
𝑥
(
−
𝑥
1
)
2
.
►
Пример 22. Найти производную функции
𝑓
(
𝑥
)
=
𝑒
𝑥
𝑥
2
+
𝑥
.
◄Имеем:
𝑓
′
(
𝑥
)
=
(
𝑒
𝑥
𝑥
2
+
𝑥
)
′
=
|
4
по теореме
|
=
=
(
𝑒
𝑥
)
′
∙
(
𝑥
2
+
𝑥
)
−
𝑒
𝑥
∙
(
𝑥
2
+
𝑥
)
′
(
𝑥
2
+
𝑥
)
2
=
=
|
производную
(
𝑥
2
+
𝑥
)
′
2
считаем по теореме
|
=
=
(
𝑒
𝑥
)
′
∙
(
𝑥
2
+
𝑥
)
−
𝑒
𝑥
∙
((
𝑥
2
)
′
+
𝑥
′
)
(
𝑥
2
+
𝑥
)
2
=
|
,
,
чисел чтобы выносить нет
|
=
=
|
5
,3
2
1
по формулам
и
теоремы
∗
|
=
𝑒
𝑥
∙
(
𝑥
2
+
𝑥
)
−
𝑒
𝑥
∙
(
2 + 1
𝑥
)
(
𝑥
2
+
𝑥
)
2
=
=
|
вынесем
𝑒
𝑥
за скобки
|
=
𝑒
𝑥
∙
(
(
𝑥
2
+
𝑥
)
−
(
2 + 1
𝑥
)
)
(
𝑥
2
+
𝑥
)
2
=
=
|
раскрываем скобки
|
=
𝑒
𝑥
∙
(
𝑥
2
+
− 2 − 1
𝑥
𝑥
)
(
𝑥
2
+
𝑥
)
2
=
𝑒
𝑥
(
𝑥
2
−
−
𝑥
1
)
(
𝑥
2
+
𝑥
)
2
.
Ответ:
𝑓
′
(
𝑥
)
=
𝑒
𝑥
(
𝑥
2
− −
𝑥
1
)
(
𝑥
2
+
𝑥
)
2
.
►
Пример 23. Найти производную функции
𝑓
(
𝑥
)
=
2
𝑥
cos
𝑥
.
◄Имеем:
𝑓
′
(
𝑥
)
=
(
2
𝑥
cos
𝑥
)
′
=
|
4
по теореме
|
=
=
(
2
𝑥
)
′
∙ cos
−
𝑥
𝑒
𝑥
∙
(
cos
𝑥
)
′
(
cos
𝑥
)
2
=
|
,
,
,
1
чисел чтобы выносить нет поэтому используем теорему
|
=
=
|
5
по формулам
(
= 2
при
𝑎
)
8
1
и
теоремы
|
=
=
2
𝑥
∙ ln 2 ∙ cos
− 2
𝑥
𝑥
∙
(
− sin
𝑥
)
cos
2
𝑥
=
2
𝑥
∙ ln 2 ∙ cos
+ 2
𝑥
𝑥
∙ sin
𝑥
cos
2
𝑥
=
=
|
2
выносим
𝑥
за скобку
|
=
2
𝑥
∙ (ln 2 ∙ cos
+ sin
)
𝑥
𝑥
cos
2
𝑥
.
Ответ:
𝑓
′
(
𝑥
)
=
2
𝑥
∙(ln 2∙cos
+sin
)
𝑥
𝑥
cos
2
𝑥
.
►
Пример 24. Найти производную функции
𝑓
(
𝑥
)
=
𝑒
𝑥
− 1
𝑒
𝑥
+ 1
.
◄Имеем:
𝑓
′
(
𝑥
)
=
(
𝑒
𝑥
− 1
𝑒
𝑥
+ 1
)
′
=
|
4
по теореме
|
=
=
(
𝑒
𝑥
− 1
)
′
(
𝑒
𝑥
+ 1
)
−
(
𝑒
𝑥
− 1
)(
𝑒
𝑥
+ 1
)
′
(
𝑒
𝑥
+ 1
)
2
=
=
|
2
измеем производную суммы и разности по теореме
|
=
=
((
𝑒
𝑥
)
′
− 1
′
)(
𝑒
𝑥
+ 1
)
−
(
𝑒
𝑥
− 1
)((
𝑒
𝑥
)
′
+ 1
′
)
(
𝑒
𝑥
+ 1
)
2
=
=
|
,
,
чисел чтобы выносить нет
|
=
=
|
5
1
1
поэтому по формулам
и
теоремы
∗
|
=
=
(
𝑒
𝑥
− 0
)(
𝑒
𝑥
+ 1
)
−
(
𝑒
𝑥
− 1
)(
𝑒
𝑥
+ 0
)
(
𝑒
𝑥
+ 1
)
2
=
|
считаем в скобках
|
=
=
𝑒
𝑥
(
𝑒
𝑥
+ 1
)
−
(
𝑒
𝑥
− 1
)
𝑒
𝑥
(
𝑒
𝑥
+ 1
)
2
=
|
выносим
𝑒
𝑥
за скобки
|
=
=
𝑒
𝑥
(
(
𝑒
𝑥
+ 1
)
−
(
𝑒
𝑥
− 1
)
)
(
𝑒
𝑥
+ 1
)
2
=
|
раскрываем скобки
|
=
𝑒
𝑥
(
𝑒
𝑥
+ 1 −
𝑒
𝑥
+ 1
)
(
𝑒
𝑥
+ 1
)
2
=
=
|
приводим подобные
|
=
𝑒
𝑥
∙ 2
(
𝑒
𝑥
+ 1
)
2
=
2
𝑒
𝑥
(
𝑒
𝑥
+ 1
)
2
.
Ответ:
𝑓
′
(
𝑥
)
=
2
𝑒
𝑥
(
𝑒
𝑥
+1
)
2
.
►
Пример 25. Найти производную функции
𝑓
(
𝑥
)
=
arcsin
𝑥
arccos
𝑥
.
◄Имеем:
𝑓
′
(
𝑥
)
=
(
arcsin
𝑥
arccos
𝑥
)
′
=
|
4
по теореме
|
=
=
(
arcsin
𝑥
)
′
∙ arccos
− arcsin
∙
𝑥
𝑥
(
arccos
𝑥
)
′
(
arccos
𝑥
)
2
=
=
|
,
,
чисел чтобы выносить нет
|
=
=
|
11
12
1
поэтому по формулам
и
теоремы
|
=
=
1
√1 −
𝑥
2
∙ arccos
− arcsin
∙
𝑥
𝑥
(
−
1
√1 −
𝑥
2
)
arccos
2
𝑥
=
|
считаем
|
=
=
1
√1 −
𝑥
2
∙ arccos
+ arcsin
∙
𝑥
𝑥
1
√1 −
𝑥
2
arccos
2
𝑥
=
=
|
выносим одинаковый множитель
1
√1 −
𝑥
2
за скобку
|
=
=
1
√1 −
𝑥
2
(
arccos
+ arcsin
𝑥
𝑥
)
arccos
2
𝑥
=
= |
,
arccos
+ arcsin
=
из уроков тригонометрии вспоминаем что
𝑥
𝑥
𝜋
2
| =
=
1
√1 −
𝑥
2
∙
𝜋
2
arccos
2
𝑥
=
|
считаем
|
=
𝜋
2√1 −
𝑥
2
arccos
2
𝑥
=
𝜋
2√1 −
𝑥
2
arccos
2
𝑥
.
Ответ:
𝑓
′
(
𝑥
)
=
𝜋
2
√
1−
𝑥
2
arccos
2
𝑥
.
►
Пример 26. Найти производную функции
𝑓
(
𝑥
)
=
sin
𝑥
cos
𝑥
.
◄Имеем:
𝑓
′
(
𝑥
)
=
(
sin
𝑥
cos
𝑥
)
′
=
|
4
по теореме
|
=
(
sin
𝑥
)
′
∙ cos
− sin
∙
𝑥
𝑥
(
cos
𝑥
)
′
(
cos
𝑥
)
2
=
=
|
,
,
чисел чтобы выносить нет
|
=
=
|
7
8
1
поэтому по формулам
и
теоремы
|
=
=
cos
∙ cos
− sin
∙
𝑥
𝑥
𝑥
(
− sin
𝑥
)
cos
2
𝑥
=
|
считаем
|
=
cos
∙ cos
+ sin
∙ sin
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
cos
2
𝑥
=
=
cos
2
𝑥
+ sin
2
𝑥
cos
2
𝑥
=
=
|
1
числитель по основному тригонометрическому тождеству равен
|
=
=
1
cos
2
𝑥
.
В данном примере можно было сначала преобразовать выражение, а уже
потом брать производную, причем этот путь гораздо проще описанного выше.
В самом деле, вспомним, что по определению
sin
𝑥
cos
𝑥
= tg
.
𝑥
Поэтому
𝑓
′
(
𝑥
)
=
(
sin
𝑥
cos
𝑥
)
′
=
(
tg
𝑥
)
′
=
|
,
,
чисел чтобы выносить нет
|
=
=
|
9
1
поэтому по формуле
теоремы
|
=
1
cos
2
𝑥
.
Данный способ, как видим, оказался существенно проще. Поэтому важно не
просто слепо следовать алгоритму, а на каждом этапе анализировать, каким
образом можно как можно проще и быстрее достичь верного результата.
Ответ:
𝑓
′
(
𝑥
)
=
1
cos
2
𝑥
.
►
Определение 2. Композицией
1
функций
𝑦
=
(
)
𝑓 𝑥
и
𝑦
=
(
)
𝑔 𝑥
(или слож-
ной функцией) называется функция
𝑦
=
𝑓
(
𝑔
(
𝑥
)
)
.
(1)
При этом
𝑦
=
(
)
𝑔 𝑥
называется внутренней функцией,
𝑦
=
(
)
𝑓 𝑥
– внешней
функцией.
Пример
27.
Составить
сложную
функцию
𝑦
=
𝑓
(
𝑔
(
𝑥
)
)
по
данным
внутренней и внешней функциям:
№
Внутренняя функция
𝑦
=
(
)
𝑔 𝑥
Внешняя функция
𝑦
=
(
)
𝑓 𝑥
1
𝑔
(
𝑥
)
=
𝑥
3
𝑓
(
𝑥
)
= sin
𝑥
2
𝑔
(
𝑥
)
= sin
𝑥
𝑓
(
𝑥
)
=
𝑥
3
3
𝑔
(
𝑥
)
=
𝑒
𝑥
𝑓
(
𝑥
)
= cos
𝑥
4
𝑔
(
𝑥
)
= cos
𝑥
𝑓
(
𝑥
)
=
𝑒
𝑥
5
𝑔
(
𝑥
)
= 2 − 1
𝑥
𝑓
(
𝑥
)
=
𝑥
2
6
𝑔
(
𝑥
)
=
𝑥
2
𝑓
(
𝑥
)
= arcsin
𝑥
7
𝑔
(
𝑥
)
= arcsin
𝑥
𝑓
(
𝑥
)
=
√
𝑥
1
На английский язык этот термин переводится как Compound function, т.е. дословно «составная функция».
Это в некотором смысле объясняет суть данного определения: композиция функций есть составная функция,
т.е. функция, взятая от другой функции. Интуитивной аналогией является, если можно так выразиться,
функция-«матрёшка». Т.е., грубо говоря, сначала над переменной
𝑥
выполняется какое-то одно преобра-
зование, а потом над результатом производится еще одно преобразование – именно так в результате и
получается тем самым сложная функция.
8
𝑔
(
𝑥
)
= ln
𝑥
𝑓
(
𝑥
)
=
𝑥
3
9
𝑔
(
𝑥
)
=
𝑥
3
𝑓
(
𝑥
)
= ln
𝑥
10
𝑔
(
𝑥
)
=
−
𝑥
1
𝑥
+ 1
𝑓
(
𝑥
)
= arccos
𝑥
◄Чтобы получить сложную функцию, надо данные внутренние функции
поставить вместо переменной
𝑥
в соответствующие внешние функции. Имеем:
№
𝑦
=
(
)
𝑔 𝑥
𝑦
=
(
)
𝑓 𝑥
𝑦
=
𝑓
(
𝑔
(
𝑥
)
)
1
𝑔
(
𝑥
)
=
𝑥
3
𝑓
(
𝑥
)
= sin
𝑥
𝑦
= sin
(
) = sin
𝑔 𝑥
𝑥
3
2
𝑔
(
𝑥
)
= sin
𝑥
𝑓
(
𝑥
)
=
𝑥
3
𝑦
=
(
𝑔
(
𝑥
)
)
3
=
(
sin
𝑥
)
3
= sin
3
𝑥
3
𝑔
(
𝑥
)
=
𝑒
𝑥
𝑓
(
𝑥
)
= cos
𝑥
𝑓
(
𝑥
)
= cos
(
) = cos
𝑔 𝑥
𝑒
𝑥
4
𝑔
(
𝑥
)
= cos
𝑥
𝑓
(
𝑥
)
=
𝑒
𝑥
𝑓
(
𝑥
)
=
𝑒
𝑔
(
)
𝑥
=
𝑒
cos
𝑥
5
𝑔
(
𝑥
)
= 2 − 1
𝑥
𝑓
(
𝑥
)
=
𝑥
2
𝑦
=
(
𝑔
(
𝑥
)
)
2
=
(
2 − 1
𝑥
)
2
6
𝑔
(
𝑥
)
=
𝑥
2
𝑓
(
𝑥
)
= arcsin
𝑥
𝑦
= arcsin
(
) = arcsin
𝑔 𝑥
𝑥
2
7
𝑔
(
𝑥
)
= arcsin
𝑥
𝑓
(
𝑥
)
=
√
𝑥
𝑓
(
𝑥
)
=
√
𝑔
(
) =
𝑥
√
arcsin
𝑥
8
𝑔
(
𝑥
)
= ln
𝑥
𝑓
(
𝑥
)
=
𝑥
3
𝑓
(
𝑥
)
=
(
𝑔
(
𝑥
)
)
3
=
(
ln
𝑥
)
3
= ln
3
𝑥
9
𝑔
(
𝑥
)
=
𝑥
3
𝑓
(
𝑥
)
= ln
𝑥
𝑓
(
𝑥
)
= ln
(
) = ln
𝑔 𝑥
𝑥
3
10
𝑔
(
𝑥
)
=
−
𝑥
1
𝑥
+ 1
𝑓
(
𝑥
)
= arccos
𝑥
𝑓
(
𝑥
)
= arccos
(
) = arccos
𝑔 𝑥
−
𝑥
1
𝑥
+ 1
Ответ: содержится в правом столбце последней таблице. ►
Обращаем внимание читателей на то, что порядок функций (т.е. то, какую
функцию делать внутренней, какую – внешней) имеет значение. Результат
перемены местами внутренней и внешней функций будет разный. Рассмотрим
п.1 и п.2 примера 27. В п.1 мы сначала возвели
𝑥
в куб, а потом от результата
вычислили синус. В п.2, наоборот, мы сначала вычислили синус от
𝑥
, а затем
результат возвели в куб. Результат будет совершенно разный (можно даже
проверить
это
на
любом
конкретном
значении
переменной
𝑥
),
поэтому
порядок функций (что делать раньше, что – потом) имеет значение. В связи с
этим мы и рассмотрим пример 28.
Пример 28. В следующих сложных функциях определить, какая функция
является внешней, какая – внутренней:
№
Функция
1
𝑦
= tg
𝑥
3
2
𝑦
=
√
2 − 1
𝑥
3
𝑦
= 2
𝑥
2
−1
4
𝑦
= ln
2 − 1
𝑥
3 + 1
𝑥
5
𝑦
=
𝑒
sin
𝑥
6
𝑦
= cos
√
𝑥
7
𝑦
=
(
sin
−
𝑥
𝑥
)
5
◄1. Чтобы вычислить
𝑦
= tg
𝑥
3
, необходимо, очевидно, сначала возвести
𝑥
в куб, а затем от результата вычислить тангенс (если бы наоборот, то
функция выглядела бы как
𝑦
=
(
tg
𝑥
)
3
или, что то же самое,
𝑦
= tg
3
𝑥
),
поэтому внутренней функцией является
𝑔
(
𝑥
)
=
𝑥
3
(раз ее делаем раньше),
внешней –
𝑓
(
𝑥
)
= tg
.
𝑥
2. Чтобы вычислить
𝑦
=
√
2 − 1
𝑥
, необходимо, очевидно, сначала найти
значение выражения
2 − 1
𝑥
, а затем от результата вычислить квадратный
корень (если бы наоборот, то
функция выглядела бы как
𝑦
= 2
√
−
𝑥
1
),
поэтому внутренней функцией является
𝑔
(
𝑥
)
= 2 − 1
𝑥
(раз ее делаем раньше),
внешней –
𝑓
(
𝑥
)
=
√
𝑥
.
3. Чтобы вычислить
𝑦
= 2
𝑥
2
−1
, необходимо, очевидно, сначала найти
значение выражения
𝑥
2
− 1
, а затем число 2 возвести в степень получившегося
результата (если бы наоборот, то функция выглядела бы как
𝑦
=
(
2
𝑥
)
2
− 1
или,
что
то
же
самое
(по
свойствам
степеней),
𝑦
= 2
2
𝑥
− 1
),
поэтому
внутренней функцией является
𝑔
(
𝑥
)
=
𝑥
2
− 1
(раз ее делаем раньше), внеш-
ней –
𝑓
(
𝑥
)
= 2
𝑥
.
4. Чтобы вычислить
𝑦
= ln
2 −1
𝑥
3 +1
𝑥
, необходимо, очевидно, сначала найти
значение выражения
2 −1
𝑥
3 +1
𝑥
, а затем от результата вычислить логарифм (если бы
наоборот, то функция выглядела бы как
𝑦
=
2 ln
−1
𝑥
3 ln
+1
𝑥
), поэтому внутренней
функцией является
𝑔
(
𝑥
)
=
2 −1
𝑥
3 +1
𝑥
(раз ее делаем раньше), внешней –
𝑓
(
𝑥
)
= ln
.
𝑥
5. Чтобы вычислить
𝑦
=
𝑒
sin
𝑥
, необходимо, очевидно, сначала найти
sin
𝑥
, а затем число
𝑒
возвести в степень получившегося результата (если бы
наоборот, то функция выглядела бы как
𝑦
= sin
𝑒
𝑥
), поэтому внутренней
функцией является
𝑔
(
𝑥
)
= sin
𝑥
(раз ее делаем раньше), внешней –
𝑓
(
𝑥
)
=
𝑒
𝑥
.
6. Чтобы вычислить
𝑦
= cos
√
𝑥
, необходимо, очевидно, сначала найти
√
𝑥
, а затем от получившегося результата найти косинус (если бы наоборот, то
функция
выглядела
бы
как
𝑦
=
√
cos
𝑥
),
поэтому
внутренней
функцией
является
𝑔
(
𝑥
)
=
√
𝑥
(раз ее делаем раньше), внешней –
𝑓
(
𝑥
)
= cos
.
𝑥
7. Чтобы вычислить
𝑦
=
(
sin
−
𝑥
𝑥
)
5
, необходимо, очевидно, сначала
найти значение выражения
sin
−
𝑥
𝑥
, а затем полученный возвести в пятую
степень (если бы наоборот, то функция выглядела бы как
𝑦
= sin
𝑥
5
−
𝑥
5
),
поэтому
внутренней
функцией
является
𝑔
(
𝑥
)
= sin
−
𝑥
𝑥
(раз
ее
делаем
раньше), внешней –
𝑓
(
𝑥
)
=
𝑥
5
.
►
Пример 29. Выяснить, являются ли сложными следующие функции:
№
Функция
1
𝑦
=
𝑒
3 −1
𝑥
2
𝑦
= sin
+
𝑥
𝑥
2
3
𝑦
= sin(
+
𝑥
𝑥
2
) −
𝑥
4
𝑦
=
𝑒
3
−
𝑥
1
5
𝑦
=
√
𝑥
+ 2
𝑥
6
𝑦
=
(
√
𝑥
+ 2
𝑥
)
2
◄1.
Функция
является
сложной,
т.к.
сначала
вычисляется
функция
𝑔
(
𝑥
)
= 3x − 1
, а потом от результата вычисляется
𝑦
=
𝑒
3 −1
𝑥
=
𝑒
𝑔
(
)
𝑥
.
2. Функция представляет собой сумму двух обычных функций
𝑦
= sin
𝑥
и
𝑦
=
𝑥
2
. Раз обе функции обычные, то функция
𝑦
= sin
+
𝑥
𝑥
2
сложной не
является.
3.
Функция
𝑦
= sin(
+
𝑥
𝑥
2
) −
𝑥
представляет
собой
разность
двух
функций
𝑦
= sin(
+
𝑥
𝑥
2
)
и
𝑦
=
𝑥
. Вторая функция является обычной, а первая
–
сложной:
сначала
вычисляется
𝑔
(
𝑥
)
=
+
𝑥
𝑥
2
,
а
потом
от
результата
вычисляется
𝑦
= sin(
+
𝑥
𝑥
2
) = sin
(
).
𝑔 𝑥
Значит, исходная функция
𝑦
= sin(
+
𝑥
𝑥
2
) −
𝑥
является разностью сложной функции и обычной. А раз в состав функции
𝑦
=
= sin(
+
𝑥
𝑥
2
) −
𝑥
входит сложная функция, то и сама исходная функция
является сложной.
4. Число
𝑒
3
– это число. Следовательно, исходная функция
𝑦
=
𝑒
3
−
𝑥
1
представляет собой разность двух обычных функций
𝑦
=
𝑒
3
𝑥
и
𝑦
= 1
. Раз обе
функции обычные, то функция
𝑦
=
𝑒
3
−
𝑥
1
сложной не является.
5. Функция представляет собой сумму двух обычных функций
𝑦
=
√
𝑥
и
𝑦
= 2
𝑥
. Раз обе функции обычные, то функция
𝑦
=
√
𝑥
+ 2
𝑥
сложной не
является.
6.
В
предыдущем
пункте
мы
выяснили,
что
функция
𝑦
=
√
𝑥
+ 2
𝑥
сложной не является. Но
𝑦
=
(
√
𝑥
+ 2
𝑥
)
2
– другое дело: сначала вычисляется
простая функция
𝑔
(
𝑥
)
=
√
𝑥
+ 2
𝑥
, а потом от результата вычисляется внешняя
функция
𝑦
=
(
√
𝑥
+ 2
𝑥
)
2
=
(
𝑔
(
𝑥
)
)
2
.
Раз функция содержит в себе внутреннюю и внешнюю функции, то по опреде-
лению 2.6.1 она – сложная.
Ответ: 1. Да, 2. Нет, 3. Да, 4. Нет, 5. Нет, 6. Да. ►
Примеры 28 и 29 очень полезны, в частности, тогда, когда речь заходит о
производной сложной функции (1).
Теорема 5. Производная сложной функции (1) вычисляется по формуле:
𝑦
′
=
𝑓
𝑔
′
∙
𝑔
′
.
На основании данной теоремы для вычисления производной сложной
функции можно
2
идти по следующему алгоритму:
1)
Выяснить,
какая
функция
в
данном
сложной
функции
является
внутренней
𝑔
(
𝑥
)
,
какая – внешней
𝑓
(
𝑔
)
.
2) Приняв функцию
𝑔
(
𝑥
)
как новую переменную, найти производную
′
𝑓
(
𝑔
)
функции
𝑓
(
𝑔
)
по этой переменной.
3) Подставить в
′
𝑓
(
𝑔
)
вместо
𝑔
то выражение, коим оно являлось в п.1).
4) Найти производную функции
𝑔
(
𝑥
)
.
5) Перемножить результаты п. 3) и 4).
Рассмотрим данный алгоритм на конкретных примерах.
Пример 30. Найти производную функции
𝑦
= ln
𝑥
3
.
◄Является ли данная функция сложной? По аналогии с примером 29
убеждаемся,
что
да,
является.
Значит,
надо
идти
по
вышеописанному
алгоритму.
1) Чтобы вычислить
𝑦
= ln
𝑥
3
, необходимо, очевидно, сначала найти
𝑥
3
,
а затем от получившегося результата вычислить логарифм (если бы наоборот,
то функция выглядела бы как
𝑦
=
(
ln
𝑥
)
3
или, что то же самое,
𝑦
= ln
3
𝑥
),
поэтому внутренней функцией является
𝑔
(
𝑥
)
=
𝑥
3
(раз ее делаем раньше),
внешней –
𝑓
(
𝑔
)
= ln
.
𝑔
2) Находим производную
′
𝑓
(
𝑔
)
:
𝑓
′
(
𝑔
)
=
(
ln
𝑔
)
′
=
|
6
1
по формуле
теоремы
∗
|
=
1
𝑔
.
3) Подставим в
′
𝑓
(
𝑔
)
вместо
𝑔
то выражение, коим оно являлось в п.1),
т.е.
𝑔
(
𝑥
)
=
𝑥
3
:
𝑓
′
(
𝑥
)
=
1
𝑥
3
.
2
Особенно на первых порах. При достаточной тренировке этот алгоритм можно, мысленно прокручивая в
голове, идти так, как будет показано в конце каждого примера настоящего параграфа.
4) Находим
𝑔
′
(
𝑥
)
:
𝑔
′
(
𝑥
)
=
(
𝑥
3
)
′
=
|
4
1
по формуле
теоремы
|
= 3
𝑥
2
.
5) Перемножив результаты п.3) и п.4), окончательно получаем:
𝑦
′
=
1
𝑥
3
∙ 3
𝑥
2
=
|
умножаем
|
=
3
𝑥
2
𝑥
3
= |
можно сократить на
𝑥
2
| =
3
𝑥
.
Как выглядит решение без алгоритма?
𝑦
′
=
(
ln
𝑥
3
)
′
=
1
𝑥
3
∙
(
𝑥
3
)
′
=
1
𝑥
3
∙ 3
𝑥
2
=
3
𝑥
2
𝑥
3
=
3
𝑥
.
Ответ:
𝑦
′
=
3
𝑥
.
►
Пример 31. Найти производную функции
𝑦
= cos
4
𝑥
.
◄Является ли данная функция сложной? По аналогии с примером 29
убеждаемся,
что
да,
является.
Значит,
надо
идти
по
вышеописанному
алгоритму.
1) Чтобы вычислить
𝑦
= cos
4
𝑥
, необходимо, очевидно, сначала найти
cos
𝑥
, а затем получившийся результат возвести в четвертую степень (если бы
наоборот, то функция выглядела бы как
𝑦
= cos
𝑥
4
), поэтому внутренней
функцией является
𝑔
(
𝑥
)
= cos
𝑥
(раз ее делаем раньше), внешней –
𝑓
(
𝑔
)
=
𝑔
4
.
2) Находим производную
′
𝑓
(
𝑔
)
:
𝑓
′
(
𝑔
)
= (
𝑔
4
)
′
=
|
4
1
по формуле
теоремы
|
= 4
𝑔
3
.
3) Подставим в
′
𝑓
(
𝑔
)
вместо
𝑔
то выражение, коим оно являлось в п.1),
т.е.
𝑔
(
𝑥
)
= cos
:
𝑥
𝑓
′
(
𝑥
)
= 4
(
cos
𝑥
)
3
= 4 cos
3
𝑥
.
4) Находим
𝑔
′
(
𝑥
)
:
𝑔
′
(
𝑥
)
=
(
cos
𝑥
)
′
=
|
8
1
по формуле
теоремы
|
= − sin
.
𝑥
5) Перемножив результаты п.3) и п.4), окончательно получаем:
𝑦
′
= 4 cos
3
∙
𝑥
(
− sin
𝑥
)
= −4 cos
3
𝑥
sin
.
𝑥
Как выглядит решение без алгоритма?
𝑦
′
=
(
cos
4
𝑥
)
′
= 4 cos
3
∙
𝑥
(
cos
𝑥
)
′
= 4 cos
3
∙
𝑥
(
− sin
𝑥
)
= −4 cos
3
𝑥
sin
.
𝑥
Ответ:
𝑦
′
= −4 cos
3
𝑥
sin
.
𝑥
►
Пример 32. Найти производную функции
𝑦
=
𝑒
−3
𝑥
.
◄Является ли данная функция сложной? По аналогии с примером 29
убеждаемся,
что
да,
является.
Значит,
надо
идти
по
вышеописанному
алгоритму.
1) Чтобы вычислить
𝑦
=
𝑒
−3
𝑥
, необходимо, очевидно, сначала найти
−3
𝑥
,
а затем число
𝑒
возвести в полученную степень (если бы наоборот, то функция
выглядела бы как
𝑦
= −3
𝑒
𝑥
), поэтому внутренней функцией является
𝑔
(
𝑥
)
=
= −3
𝑥
(раз ее делаем раньше), внешней –
𝑓
(
𝑔
)
=
𝑒
𝑔
.
2) Находим производную
′
𝑓
(
𝑔
)
:
𝑓
′
(
𝑔
)
= (
𝑒
𝑔
)
′
=
|
5
1
по формуле
теоремы
∗
|
=
𝑒
𝑔
.
3) Подставим в
′
𝑓
(
𝑔
)
вместо
𝑔
то выражение, коим оно являлось в п.1),
т.е.
𝑔
(
𝑥
)
= −3 :
𝑥
𝑓
′
(
𝑥
)
=
𝑒
−3
𝑥
.
4) Находим
𝑔
′
(
𝑥
)
:
𝑔
′
(
𝑥
)
=
(
−3
𝑥
)
′
=
|
1
по следствию
|
= −3
𝑥
′
=
|
2
1
по формуле
теоремы
|
=
= −3 ∙ 1 = |
| = −3.
считаем
5) Перемножив результаты п.3) и п.4), окончательно получаем:
𝑦
′
=
𝑒
−3
𝑥
∙
(
−3
)
= −3
𝑒
−3
𝑥
.
Как выглядит решение без алгоритма?
𝑦
′
=
(
𝑒
−3
𝑥
)
′
=
𝑒
−3
𝑥
∙
(
−3
𝑥
)
′
=
𝑒
−3
𝑥
∙
(
−3
)
= −3
𝑒
−3
𝑥
.
Ответ:
𝑦
′
= −3
𝑒
−3
𝑥
.
►
Пример 33. Найти производную функции
𝑦
= 8
cos
𝑥
.
◄Является ли данная функция сложной? По аналогии с примером 29
убеждаемся,
что
да,
является.
Значит,
надо
идти
по
вышеописанному
алгоритму.
1) Чтобы вычислить
𝑦
= 8
cos
𝑥
, необходимо, очевидно, сначала найти
cos
𝑥
, а затем число 8 возвести в полученную степень (если бы наоборот, то
функция
выглядела
бы
как
𝑦
= cos 8
𝑥
),
поэтому
внутренней
функцией
является
𝑔
(
𝑥
)
= cos
𝑥
(раз ее делаем раньше), внешней –
𝑓
(
𝑔
)
= 8
𝑔
.
2) Находим производную
′
𝑓
(
𝑔
)
:
𝑓
′
(
𝑔
)
= (8
𝑔
)
′
=
|
5
1
по формуле
теоремы
|
= 8
𝑔
∙ ln 8.
3) Подставим в
′
𝑓
(
𝑔
)
вместо
𝑔
то выражение, коим оно являлось в п.1),
т.е.
𝑔
(
𝑥
)
= cos
:
𝑥
𝑓
′
(
𝑥
)
= 8
cos
𝑥
∙ ln 8.
4) Находим
𝑔
′
(
𝑥
)
:
𝑔
′
(
𝑥
)
=
(
cos
𝑥
)
′
=
|
8
1
по формуле
теоремы
|
= − sin
.
𝑥
5) Перемножив результаты п.3) и п.4), окончательно получаем:
𝑦
′
= 8
cos
𝑥
∙ ln 8 ∙
(
− sin
𝑥
)
= −8
cos
𝑥
∙ ln 8 ∙ sin
.
𝑥
Как выглядит решение без алгоритма?
𝑦
′
=
(
8
cos
𝑥
)
′
= 8
cos
𝑥
∙ ln 8 ∙
(
cos
𝑥
)
′
= 8
cos
𝑥
∙ ln 8 ∙
(
− sin
𝑥
)
=
= −8
cos
𝑥
∙ ln 8 ∙ sin
.
𝑥
Ответ:
𝑦
′
= −8
cos
𝑥
∙ ln 8 ∙ sin
.
𝑥
►
Пример 34. Найти производную функции
𝑦
=
√
3
𝑥
2
+ 9
8
.
◄Является ли данная функция сложной? По аналогии с примером 29
убеждаемся,
что
да,
является.
Значит,
надо
идти
по
вышеописанному
алгоритму.
1) Чтобы вычислить
𝑦
=
√
3
𝑥
2
+ 9
8
, необходимо, очевидно, сначала найти
3
𝑥
2
+ 9
,
а
затем
из
результата
вычислить
корень,
поэтому
внутренней
функцией является
𝑔
(
𝑥
)
= 3
𝑥
2
+ 9
(раз ее делаем раньше), внешней –
𝑓
(
𝑔
)
=
=
√
𝑔
8
.
2) Находим производную
′
𝑓
(
𝑔
)
:
𝑓
′
(
𝑔
)
=
(
√
𝑔
8
)
′
=
|
по определению корня
|
=
(
𝑔
1
8
)
′
=
=
|
4
1
по формуле
теоремы
|
=
1
8
𝑔
1
8
−1
=
1
8
𝑔
−
7
8
=
=
|
по свойствам степеней
|
=
1
8
𝑔
7
8
= |
| =
по определению корня
1
8
√
𝑔
7
8
.
3) Подставим в
′
𝑓
(
𝑔
)
вместо
𝑔
то выражение, коим оно являлось в п.1),
т.е.
𝑔
(
𝑥
)
= 3
𝑥
2
+ 9:
𝑓
′
(
𝑥
)
=
1
8
√
(3
𝑥
2
+ 9)
7
8
.
4) Находим
𝑔
′
(
𝑥
)
:
𝑔
′
(
𝑥
)
=
(
3
𝑥
2
+ 9
)
′
=
|
2
по теореме
|
=
(
3
𝑥
2
)
′
+ 9
′
=
=
|
1
по следствию
|
= 3 ∙
(
𝑥
2
)
′
+ 9
′
=
=
|
3
1
1
по формулам
и
теоремы
|
= 3 ∙ 2 + 0 = |
| = 6 .
𝑥
𝑥
считаем
5) Перемножив результаты п.3) и п.4), окончательно получаем:
𝑦
′
=
1
8
√
(
3
𝑥
2
+ 9
)
7
8
∙ 6 =
𝑥
|
умножаем
|
=
6
𝑥
8
√
(
3
𝑥
2
+ 9
)
7
8
=
= |
,
2| =
видно что можно сократить на
3
𝑥
4
√
(
3
𝑥
2
+ 9
)
7
8
.
Как выглядит решение без алгоритма?
𝑦
′
=
(
√
3
𝑥
2
+ 9
8
)
′
=
(
(
3
𝑥
2
+ 9
)
1
8
)
′
=
1
8
(3
𝑥
2
+ 9)
−
7
8
∙ (3
𝑥
2
+ 9)′ =
=
1
8 ∙
(
3
𝑥
2
+ 9
)
7
8
∙
((
3
𝑥
2
)
′
+ 9
′
)
=
1
8
√
(
3
𝑥
2
+ 9
)
7
8
∙
(
3 ∙
(
𝑥
2
)
′
+ 9
′
)
=
=
1
8
√
(
3
𝑥
2
+ 9
)
7
8
∙
(
6 + 0
𝑥
)
=
1
8
√
(
3
𝑥
2
+ 9
)
7
8
∙ 6 =
𝑥
6
𝑥
8
√
(
3
𝑥
2
+ 9
)
7
8
=
=
3
𝑥
4
√
(
3
𝑥
2
+ 9
)
7
8
.
Ответ:
𝑦
′
=
3
𝑥
4
√
(
3
𝑥
2
+9
)
7
8
.
►
Пример 35. Найти производную функции
𝑦
=
(
8 − 13
𝑥
)
11
.
◄Является ли данная функция сложной? По аналогии с примером 29
убеждаемся,
что
да,
является.
Значит,
надо
идти
по
вышеописанному
алгоритму.
1) Чтобы вычислить
𝑦
=
(
8 − 13
𝑥
)
11
, необходимо, очевидно, сначала
найти
8 − 13
𝑥
, а затем результат возвести в степень, поэтому внутренней
функцией является
𝑔
(
𝑥
)
= 8 − 13
𝑥
(раз ее делаем раньше), внешней –
𝑓
(
𝑔
)
=
=
𝑔
11
.
2) Находим производную
′
𝑓
(
𝑔
)
:
𝑓
′
(
𝑔
)
=
(
𝑔
11
)
′
=
|
4
1
по формуле
теоремы
|
= 11
𝑔
11−1
= 11
𝑔
10
.
3) Подставим в
′
𝑓
(
𝑔
)
вместо
𝑔
то выражение, коим оно являлось в п.1),
т.е.
𝑔
(
𝑥
)
= 8 − 13:
𝑥
𝑓
′
(
𝑥
)
= 11 ∙ (8 − 13)
𝑥
10
.
4) Находим
𝑔
′
(
𝑥
)
:
𝑔
′
(
𝑥
)
=
(
8 − 13
𝑥
)
′
=
|
2
по теореме
|
=
(
8
𝑥
)
′
− 13′ =
=
|
1
по следствию
|
= 8 ∙
′ − 13′ =
𝑥
=
|
2
1
1
по формулам
и
теоремы
|
= 8 ∙ 1 − 0 = |
| = 8.
считаем
5) Перемножив результаты п.3) и п.4), окончательно получаем:
𝑦
′
= 11 ∙ (8 − 13)
𝑥
10
∙ 8 =
|
умножаем
|
= 88 ∙ (8 − 13)
𝑥
10
.
Как выглядит решение без алгоритма?
𝑦
′
=
((
8 − 13
𝑥
)
11
)
′
= 11 ∙
(
8 − 13
𝑥
)
11−1
∙
(
8 − 13
𝑥
)
′
=
= 11 ∙
(
8 − 13
𝑥
)
10
∙
((
8
𝑥
)
′
− 13
′
)
= 11 ∙
(
8 − 13
𝑥
)
10
∙
(
8 ∙
𝑥
′
− 13
′
)
=
= 11 ∙
(
8 − 13
𝑥
)
10
∙
(
8 ∙ 1 − 0
)
= 11 ∙
(
8 − 13
𝑥
)
10
∙ 8 = 88 ∙
(
8 − 13
𝑥
)
10
.
Ответ:
𝑦
′
= 88 ∙
(
8 − 13
𝑥
)
10
.
►
Пример 36. Найти производную функции
𝑦
= sin
(
𝑥
3
+ 2
)
.
◄Является ли данная функция сложной? По аналогии с примером 29
убеждаемся,
что
да,
является.
Значит,
надо
идти
по
вышеописанному
алгоритму.
1)
Чтобы вычислить
𝑦
= sin
(
𝑥
3
+ 2
)
,
необходимо, очевидно, сначала
найти скобку
𝑥
3
+ 2
, а затем от результата найти синус, поэтому внутренней
функцией является
𝑔
(
𝑥
)
=
𝑥
3
+ 2
(раз ее делаем раньше), внешней – функция
𝑓
(
𝑔
)
= sin
.
𝑔
2) Находим производную
′
𝑓
(
𝑔
)
:
𝑓
′
(
𝑔
)
=
(
sin
𝑔
)
′
=
|
7
1
по формуле
теоремы
|
= cos
.
𝑔
3) Подставим в
′
𝑓
(
𝑔
)
вместо
𝑔
то выражение, коим оно являлось в п.1),
т.е.
𝑔
(
𝑥
)
= 8 − 13:
𝑥
𝑓
′
(
𝑥
)
= cos
(
𝑥
3
+ 2
)
.
4) Находим
𝑔
′
(
𝑥
)
:
𝑔
′
(
𝑥
)
=
(
𝑥
3
+ 2
)
′
=
(
1
3
𝑥
+ 2
)
′
=
|
2
по теореме
|
=
(
1
3
𝑥
)
′
+ 2′ =
=
|
1
по следствию
|
=
1
3
∙
𝑥
′
+ 2′ =
=
|
2
1
1
по формулам
и
теоремы
|
=
1
3
∙ 1 + 0 = |
| =
считаем
1
3
.
5) Перемножив результаты п.3) и п.4), окончательно получаем:
𝑦
′
= cos
(
𝑥
3
+ 2
)
∙
1
3
=
|
умножаем
|
=
1
3
cos
(
𝑥
3
+ 2
)
.
Как выглядит решение без алгоритма?
𝑦
′
=
(
sin
(
𝑥
3
+ 2
))
′
= cos
(
𝑥
3
+ 2
)
∙
(
𝑥
3
+ 2
)
′
= cos
(
𝑥
3
+ 2
)
∙
(
1
3
𝑥
+ 2
)
′
=
= cos
(
𝑥
3
+ 2
)
∙
((
1
3
𝑥
)
′
+ 2
′
)
= cos
(
𝑥
3
+ 2
)
∙
(
1
3
∙
𝑥
′
+ 2
′
)
=
= cos
(
𝑥
3
+ 2
)
∙
(
1
3
∙ 1 + 0
)
= cos
(
𝑥
3
+ 2
)
∙
1
3
=
1
3
cos
(
𝑥
3
+ 2
)
.
Ответ:
𝑦
′
=
1
3
cos
(
𝑥
3
+ 2
)
.
►
Пример 37. Найти производную функции
𝑦
=
𝑒
2−
𝑥
𝑥
.
◄Данная функция представляет собой частное двух функций. Следова-
тельно, необходимо для начала воспользоваться теоремой 4. По ней
𝑦
′
=
(
𝑒
2−
𝑥
𝑥
)
′
=
(
𝑒
2−
𝑥
)
′
∙
−
𝑥
𝑒
2−
𝑥
∙
𝑥
′
𝑥
2
.
(*)
Теперь встала проблема найти
(
𝑒
2−
𝑥
)
′
.
Является ли данная функция
𝑦
=
𝑒
2−
𝑥
сложной? По аналогии с примером
29 убеждаемся, что да, является. Значит, надо идти по алгоритму.
1) Чтобы вычислить
𝑦
=
𝑒
2−
𝑥
, необходимо, очевидно, сначала найти
степень
2 −
𝑥
, а затем в полученную степень возвести число
𝑒
.
Внутренней
функцией поэтому является
𝑔
(
𝑥
)
= 2 −
𝑥
(раз ее делаем раньше), внешней –
функция
𝑓
(
𝑔
)
=
𝑒
𝑔
.
2) Находим производную
′
𝑓
(
𝑔
)
:
𝑓
′
(
𝑔
)
=
(
𝑒
𝑔
)
′
=
|
5
1
по формуле
теоремы
∗
|
=
𝑒
𝑔
.
3) Подставим в
′
𝑓
(
𝑔
)
вместо
𝑔
то выражение, коим оно являлось в п.1),
т.е.
𝑔
(
𝑥
)
= 2 −
:
𝑥
𝑓
′
(
𝑥
)
=
𝑒
2−
𝑥
.
4) Находим
𝑔
′
(
𝑥
)
:
𝑔
′
(
𝑥
)
=
(
2 −
𝑥
)
′
=
|
2
по теореме
|
= 2
′
−
′
𝑥
=
=
|
2
1
1
по формулам
и
теоремы
|
= 0 − 1 =
|
считаем
|
= −1.
5) Перемножив результаты п.3) и п.4), окончательно получаем:
(
𝑒
2−
𝑥
)
′
=
𝑒
2−
𝑥
∙
(
−1
)
= |
| = −
умножаем
𝑒
2−
𝑥
.
Подставляем найденное выражение в (*):
𝑦
′
=
(
𝑒
2−
𝑥
𝑥
)
′
=
(
𝑒
2−
𝑥
)
′
∙
−
𝑥
𝑒
2−
𝑥
∙
𝑥
′
𝑥
2
=
−
𝑒
2−
𝑥
∙
−
𝑥
𝑒
2−
𝑥
∙
𝑥
′
𝑥
2
=
=
|
2
1
по формуле
теоремы
имеем
𝑥
′
= 1
|
=
−
𝑒
2−
𝑥
∙
−
𝑥
𝑒
2−
𝑥
∙ 1
𝑥
2
=
=
|
умножаем
|
=
−
𝑒
2−
𝑥
∙
−
𝑥
𝑒
2−
𝑥
𝑥
2
=
|
−
вынесем
𝑒
2−
𝑥
за скобку
|
=
=
−
𝑒
2−
𝑥
∙ (
+ 1)
𝑥
𝑥
2
= −
𝑒
2−
𝑥
∙
(
𝑥
+ 1
)
𝑥
2
.
Как выглядит решение без алгоритма?
𝑦
′
=
(
𝑒
2−
𝑥
𝑥
)
′
=
(
𝑒
2−
𝑥
)
′
∙
−
𝑥
𝑒
2−
𝑥
∙
𝑥
′
𝑥
2
=
𝑒
2−
𝑥
(2 −
)′ ∙
−
𝑥
𝑥
𝑒
2−
𝑥
∙
𝑥
′
𝑥
2
=
=
𝑒
2−
𝑥
(
2
′
−
𝑥
′
)
∙
−
𝑥
𝑒
2−
𝑥
∙ 1
𝑥
2
=
𝑒
2−
𝑥
(
0 − 1
)
∙
−
𝑥
𝑒
2−
𝑥
∙ 1
𝑥
2
=
=
𝑒
2−
𝑥
(−1) ∙
−
𝑥
𝑒
2−
𝑥
∙ 1
𝑥
2
=
−
𝑒
2−
𝑥
∙
−
𝑥
𝑒
2−
𝑥
𝑥
2
=
−
𝑒
2−
𝑥
∙ (
+ 1)
𝑥
𝑥
2
=
= −
𝑒
2−
𝑥
∙
(
𝑥
+ 1
)
𝑥
2
.
Ответ:
𝑦
′
= −
𝑒
2−
𝑥
∙
(
𝑥
+1
)
𝑥
2
.
►
Пример 38. Найти производную функции
𝑦
= ln
∙ cos 3 .
𝑥
𝑥
◄ Данная функция представляет собой произведение двух функций. Сле-
довательно, необходимо для начала воспользоваться теоремой 3.
𝑦
′
=
(
ln
∙ cos 3
𝑥
𝑥
)
′
=
(
ln
𝑥
)
′
∙ cos 3 + ln
∙ (cos 3 )′.
𝑥
𝑥
𝑥
(**)
Производная
(
ln
𝑥
)
′
– табличная. Теперь встала проблема найти
(
cos 3
𝑥
)
′
.
Является
ли
данная
функция
𝑦
= cos 3
𝑥
сложной?
По
аналогии
с
примером 29 убеждаемся, что да, является. Значит, надо идти по алгоритму.
1) Чтобы вычислить
𝑦
= cos 3
𝑥
, необходимо, очевидно, сначала найти
3
𝑥
, а затем от полученного результата найти косинус. Внутренней функцией
поэтому является
𝑔
(
𝑥
)
= 3
𝑥
(раз ее делаем раньше), внешней – функция
𝑓
(
𝑔
)
= cos
.
𝑔
2) Находим производную
′
𝑓
(
𝑔
)
:
𝑓
′
(
𝑔
)
=
(
cos
𝑔
)
′
=
|
8
1
по формуле
теоремы
|
= − sin
.
𝑔
3) Подставим в
′
𝑓
(
𝑔
)
вместо
𝑔
то выражение, коим оно являлось в п.1),
т.е.
𝑔
(
𝑥
)
= 3 :
𝑥
𝑓
′
(
𝑥
)
= − sin 3 .
𝑥
4) Находим
𝑔
′
(
𝑥
)
:
𝑔
′
(
𝑥
)
=
(
3
𝑥
)
′
=
|
1
по следствию
|
= 3 ∙
′ =
𝑥
=
|
1
1
по формуле
теоремы
|
= 3 ∙ 1 =
|
считаем
|
= 3.
5) Перемножив результаты п.3) и п.4), окончательно получаем:
(cos 3 )′ = − sin 3 ∙ 3 = |
| = −3 sin 3 .
𝑥
𝑥
𝑥
умножаем
Подставляем найденное выражение в (**):
𝑦
′
=
(
ln
∙ cos 3
𝑥
𝑥
)
′
=
(
ln
𝑥
)
′
∙ cos 3 + ln
∙ (cos 3 )′ =
𝑥
𝑥
𝑥
=
|
6
1
по формуле
теоремы
∗
(
ln
𝑥
)
′
=
1
𝑥
|
=
=
|(
cos 3
𝑥
)
′
= −3 sin 3
𝑥
по только что найденному
|
=
=
1
𝑥
∙ cos 3 + ln
∙
𝑥
𝑥
(
−3 sin 3
𝑥
)
=
|
умножаем
|
=
=
cos 3
𝑥
𝑥
− 3 ln
sin 3 .
𝑥
𝑥
Как выглядит решение без алгоритма?
𝑦
′
=
(
ln
∙ cos 3
𝑥
𝑥
)
′
=
(
ln
𝑥
)
′
∙ cos 3 + ln
∙
𝑥
𝑥
(
cos 3
𝑥
)
′
=
=
1
𝑥
∙ cos 3 + ln
∙
𝑥
𝑥
(
− sin 3
𝑥
)
∙
(
3
𝑥
)
′
=
1
𝑥
∙ cos 3 − ln
∙ sin 3 ∙ 3 =
𝑥
𝑥
𝑥
=
1
𝑥
∙ cos 3 − 3 ln
sin 3 .
𝑥
𝑥
𝑥
Ответ:
𝑦
′
=
1
𝑥
∙ cos 3 − 3 ln
sin 3 .
𝑥
𝑥
𝑥
►
Определение 3. Дифференциалом функ-
ции
𝑦
=
(
)
𝑓 𝑥
называется произведение про-
изводной
𝑓
′
(
𝑥
)
этой функции на произво-
льное приращение
∆
𝑥
аргумента:
𝑑𝑓
(
𝑥
)
=
𝑓
′
(
𝑥
)
∙ ∆
𝑥
.
Пусть
𝑓
(
𝑥
)
=
.
𝑥
Тогда:
𝑑𝑓
(
𝑥
)
=
=
𝑑𝑥
|
3
по определению
|
=
=
𝑥
′
∙ ∆
𝑥
=
|
1
1
по формуле
теоремы
|
=
= 1 ∙ ∆ =
𝑥
|
умножение
|
= ∆ .
𝑥
Тем самым, мы получили, что
𝑑𝑥
= ∆ .
𝑥
Поэтому в формуле определения 3
вместо
∆
𝑥
пишут равное ему выражение
𝑑𝑥
:
𝑑𝑓
(
𝑥
)
=
𝑓
′
(
𝑥
)
∙
𝑑𝑥
.
Пример 39. Найти дифференциал функции
𝑓
(
𝑥
)
= 5
𝑥
3
− 6
𝑥
2
+ 8 − 3.
𝑥
◄Имеем:
𝑑𝑓
(
𝑥
)
=
|
3
по определению
|
=
(
5
𝑥
3
− 6
𝑥
2
+ 8 − 3
𝑥
)
′
∙
𝑑𝑥
=
=
|
имеем производную суммы и разности
|
=
=
|
2
поэтому идем по теореме
|
=
((
5
𝑥
3
)
′
−
(
6
𝑥
2
)
′
+
(
8
𝑥
)
′
− 3
′
)
∙
𝑑𝑥
=
=
|
1
выносим числа по следствию
|
=
(
5 ∙
(
𝑥
3
)
′
− 6 ∙
(
𝑥
2
)
′
+ 8 ∙
𝑥
′
− 3
′
)
∙
∙
𝑑𝑥
=
|
4,3,2,1
1
по формулам
теоремы
|
=
(
5 ∙ 3
𝑥
2
− 6 ∙ 2 + 8 ∙ 1 − 0
𝑥
)
∙
∙
𝑑𝑥
= |
| =
считаем
(
15
𝑥
2
− 12 + 8
𝑥
)
∙
𝑑𝑥
.
Ответ:
𝑑𝑓
(
𝑥
)
=
(
15
𝑥
2
− 12 + 8
𝑥
)
𝑑𝑥
.
►
Пример 40. Найти дифференциал функции
𝑓
(
𝑥
)
= 3
𝑒
𝑥
+
𝑥
3
− 3 + 2 arcsin
.
𝑥
𝑥
◄Имеем:
𝑑𝑓
(
𝑥
)
=
|
3
по определению
|
=
(
3
𝑒
𝑥
+
𝑥
3
− 3 + 2 arcsin
𝑥
𝑥
)
′
∙
𝑑𝑥
=
=
|
имеем производную суммы и разности
|
=
=
|
2
поэтому идем по теореме
|
= (
(
3
𝑒
𝑥
)
′
+
(
𝑥
3
)
′
−
(
3
𝑥
)
′
+
+
(
2 arcsin
𝑥
)
′
) ∙
=
𝑑𝑥
|
1
выносим числа по следствию
|
=
=
(
3 ∙
(
𝑒
𝑥
)
′
+
(
𝑥
3
)
′
− 3 ∙
𝑥
′
+ 2 ∙
(
arcsin
𝑥
)
′
)
∙
𝑑𝑥
=
=
|
5
,4,2,11
1
по формулам
теоремы
∗
|
= (3 ∙
𝑒
𝑥
+ 3
𝑥
2
− 3 ∙ 1 +
+2 ∙
1
√1 −
𝑥
2
) ∙
= |
| =
𝑑𝑥
считаем
(
3
𝑒
𝑥
+ 3
𝑥
2
− 3 +
2
√1 −
𝑥
2
)
∙
𝑑𝑥
.
Ответ:
𝑑𝑓
(
𝑥
)
=
(
3
𝑒
𝑥
+ 3
𝑥
2
− 3 +
2
√
1−
𝑥
2
)
𝑑𝑥
.
►
Пример 41. Найти дифференциал функции
𝑓
(
𝑥
)
=
(
𝑥
2
− 1
)
tg
.
𝑥
◄Имеем:
𝑑𝑓
(
𝑥
)
=
|
3
по определению
|
=
(
(
𝑥
2
− 1
)
tg
𝑥
)
′
∙
𝑑𝑥
=
=
|
,
3
имеем производную произведения поэтому идем по теореме
|
=
=
((
𝑥
2
− 1
)
′
∙ tg
+
𝑥
(
𝑥
2
− 1
)
∙
(
tg
𝑥
)
′
)
∙
𝑑𝑥
=
=
|
первая производна есть производная разности
|
=
=
|
2
поэтому идем по теореме
|
=
=
((
𝑥
2
)
′
− 1′) ∙ tg
+
𝑥
(
𝑥
2
− 1
)
∙
(
tg
𝑥
)
′
)
∙
𝑑𝑥
=
=
|
чисел для вынесения нет
|
=
=
|
3, 2
9
1
поэтому сразу по формулам
и
теоремы
|
=
=
(
(
2 − 0
𝑥
)
∙ tg
+
𝑥
(
𝑥
2
− 1
)
∙
1
cos
2
𝑥
)
∙
𝑑𝑥
=
|
считаем
|
=
=
(
2 ∙ tg
+
𝑥
𝑥
𝑥
2
− 1
cos
2
𝑥
)
∙
𝑑𝑥
Ответ:
𝑑𝑓
(
𝑥
)
=
(
2 tg
+
𝑥
𝑥
𝑥
2
−1
cos
2
𝑥
)
𝑑𝑥
.
►
Пример 42. Найти дифференциал функции
𝑓
(
𝑥
)
=
𝑥
2
− 1
𝑥
2
+ 1
.
◄Имеем:
𝑑𝑓
(
𝑥
)
=
|
3
по определению
|
=
(
𝑥
2
− 1
𝑥
2
+ 1
)
′
∙
𝑑𝑥
=
=
|
,
4
имеем производную частного поэтому идем по теореме
|
=
=
(
𝑥
2
− 1
)
′
∙
(
𝑥
2
+ 1
)
−
(
𝑥
2
− 1
)
∙
(
𝑥
2
+ 1
)
′
(
𝑥
2
+ 1
)
2
∙
𝑑𝑥
=
=
|
в числителе имеем производные суммы и разности
|
=
=
|
,
,
2
они как помним раскладываются по теореме
|
=
=
((
𝑥
2
)
′
− 1
′
)
∙
(
𝑥
2
+ 1
)
−
(
𝑥
2
− 1
)
∙
((
𝑥
2
)
′
+ 1
′
)
(
𝑥
2
+ 1
)
2
∙
𝑑𝑥
=
=
|
чисел для вынесения из производных нет
|
=
=
|
3
1
1
поэтому сразу применяем формулы
и
теоремы
|
=
=
(
2 − 0
𝑥
)
∙
(
𝑥
2
+ 1
)
−
(
𝑥
2
− 1
)
∙
(
2 + 0
𝑥
)
(
𝑥
2
+ 1
)
2
∙
𝑑𝑥
=
|
считаем
|
=
=
2 ∙
𝑥
(
𝑥
2
+ 1
)
−
(
𝑥
2
− 1
)
∙ 2
𝑥
(
𝑥
2
+ 1
)
2
∙
𝑑𝑥
=
|
2
выносим за скобку
𝑥
|
=
=
2 ∙
𝑥
(
(
𝑥
2
+ 1
)
−
(
𝑥
2
− 1
)
)
(
𝑥
2
+ 1
)
2
∙
𝑑𝑥
=
|
раскрываем внутри скобки
|
=
=
2 ∙
𝑥
(
𝑥
2
+ 1 −
𝑥
2
+ 1
)
(
𝑥
2
+ 1
)
2
∙
𝑑𝑥
=
|
приводим подобные
|
=
=
2 ∙ 2
𝑥
(
𝑥
2
+ 1
)
2
∙
𝑑𝑥
=
4
𝑥
(
𝑥
2
+ 1
)
2
∙
𝑑𝑥
.
Ответ:
𝑑𝑓
(
𝑥
)
=
4
𝑥
(
𝑥
2
+1
)
2
𝑑𝑥
.
►
Пример 43. Найти дифференциал функции
𝑓
(
𝑥
)
=
√
sin
− cos
.
𝑥
𝑥
◄Имеем, очевидно, сложную функцию. Для нахождения ее дифференци-
ала найдем сначала ее производную. Идем по алгоритму:
1) Внутренняя функция
𝑔
(
𝑥
)
= sin
− cos
,
𝑥
𝑥
внешняя функция
𝑓
(
𝑔
)
=
√
𝑔
.
2) Находим
′
𝑓
(
𝑔
)
:
′
𝑓
(
𝑔
)
=
(
√
𝑔
)
′
=
|
по аналогии с пунктом а
)
4| =
примера
1
2
√
𝑔
=
=
|
,
вспоминаем что
𝑔
(
𝑥
)
= sin
− cos
𝑥
𝑥
|
=
1
2
√
sin
− cos
𝑥
𝑥
.
3) Находим
′
𝑔
(
𝑥
)
:
′
𝑔
(
𝑥
)
=
(
sin
− cos
𝑥
𝑥
)
′
=
=
|
,
2
производная разности поэтому теорема
|
=
=
(
sin
𝑥
)
′
−
(
cos
𝑥
)
′
=
|
,
,
чисел чтоб выносить из производной нет
|
=
=
|
7
8
1
поэтому по формулам
и
теоремы
|
=
= cos
−
𝑥
(
− sin
𝑥
)
= |
| = cos
+ sin
.
считаем
𝑥
𝑥
4) По формуле теоремы 2.6.1 имеем произведение пунктов 2) и 3):
𝑓
′
(
𝑥
)
=
1
2
√
sin
− cos
𝑥
𝑥
∙
(
cos
+ sin
𝑥
𝑥
)
=
|
умножаем
|
=
cos
+ sin
𝑥
𝑥
2
√
sin
− cos
𝑥
𝑥
.
Итак, производная исходной функции найдена: она равна
𝑓
′
(
𝑥
)
=
cos
+ sin
𝑥
𝑥
2
√
sin
− cos
𝑥
𝑥
.
Находим теперь дифференциал исходной функции. По определению 3 диф-
ференциала имеем:
𝑑𝑓
(
𝑥
)
=
𝑓
′
(
𝑥
)
∙
𝑑𝑥
=
|
подставляем найденную выше производную
|
=
=
cos
+ sin
𝑥
𝑥
2
√
sin
− cos
𝑥
𝑥
∙
𝑑𝑥
.
Ответ:
𝑑𝑓
(
𝑥
)
=
cos
+sin
𝑥
𝑥
2
√
sin
−cos
𝑥
𝑥
𝑑𝑥
.
►