Автор: Михайлов Сергей Иванович
Должность: Преподаватель
Учебное заведение: АУГСГиП
Населённый пункт: Санкт-Петербург
Наименование материала: Конспект лекции по дисциплине ЕН.01 "Элементы высшей математики" специальности 09.02.07 "Информационные системы и программирование"
Тема: Полное исследование функции. Построение графиков функций
Раздел: среднее профессиональное
1
Полное исследование функции. Построение графиков функций
Исследование функции с помощью первой производной
1.
Возрастание и убывание функции
Определение
1.1.
Функция
𝑓
(
)
𝑥
называется
возрастающей
на
промежутке
𝑋
,
если для любых двух чисел
𝑥
1
,
𝑥
2
∈𝑋
из неравенства
𝑥
1
>
𝑥
2
следует
неравенство
𝑓
(
𝑥
1
)
>
𝑓
(
𝑥
2
)
,
т.е.
большему
значению
аргумента
соответствует большее значение функции.
Рис.1. Рис.2.
Рис.3.
На рис. 1 имеем график функции
𝑦
=
𝑥
2
.
Она является возрастающей на
промежутке
[
0; +∞
)
,
т.к.
на
нем
с
увеличением
аргумента
(по
иксу)
увеличивается
значение
функции
(по
игреку),
т.е.
если
движемся
по
иксу
вправо, то график функции идет вверх.
На левом промежутке
(−∞; 0]
это не
выполняется: если мы движемся слева
направо на этом промежутке, т.е. от
−∞
к нулю, то график функции понижается.
Так
что
на
промежутке
(−∞; 0]
функция не
возрастает,
а
убывает (см.
следующее определение).
2
На рис. 2. Показан график функции
𝑦
= 2
𝑥
.
Данная функция возрастает
на промежутке
(
−∞; +∞
)
.
В самом деле, если на этом промежутке двигаться
по иксу слева направо, график функции поднимается вверх.
На рис. 3 показан график функции
𝑦
= ln
.
𝑥
Она определена, как известно,
на промежутке
(0; +∞),
и является возрастающей на нем: если движемся по
иксу слева направо, то график функции вновь поднимается вверх.
Определение 1.2. Функция
𝑓
(
)
𝑥
называется убывающей на промежутке
𝑋
,
если для любых двух чисел
𝑥
1
,
𝑥
2
∈𝑋
из неравенства
𝑥
1
>
𝑥
2
следует
неравенство
𝑓
(
𝑥
1
)
<
𝑓
(
𝑥
2
)
,
т.е. большему значению аргумента соответствует
меньшее значение функции.
Возвращаясь
к
рис.
1,
на
котором
построен график функции
𝑦
=
𝑥
2
,
мы видим,
что функция убывает на промежутке
(
−∞; 0
]
,
ибо, как уже было сказано, если двигаться
слева направо от
−∞
до 0, график функции
опускается
вниз.
Т.е.
с
увеличением
аргумента
значение функции
уменьшается.
Таким образом, функция
𝑦
=
𝑥
2
убывает на
промежутке
(
−∞; 0
]
,
возрастает
на
промежутке
[
0; +∞
)
.
На рис. 4 мы видим график функции
𝑦
=
1
х
при
𝑥
> 0.
Эта
функция
убывает
на
промежутке
(
0; +∞
)
,
ибо,
как
видно,
при
движении
слева
направо
по
иксу
график
функции понижается. Т.е., опять же, с увеличением аргумента значение
функции уменьшается.
Рис.4.
Рис.5.
На рис. 5 представлен график функции
𝑦
= sin
.
𝑥
Видно, что эта функция
возрастает, например, на промежутке
[−
𝜋
2
;
𝜋
2
],
поскольку мы видим, что если
двигаться по этому отрезку слева направо, то график функции поднимается
вверх. И вообще, функция возрастает на всех промежутках вида
[−
𝜋
2
+
3
+2
;
𝜋𝑘
𝜋
2
+ 2
]
𝜋𝑘
, где k – целое. На всех остальных отрезках, как, например, на
отрезках
[−
3
𝜋
2
; −
𝜋
2
]
или
[
𝜋
2
;
3
𝜋
2
],
функция
𝑦
= sin
𝑥
убывает, поскольку при
движении слева направо по иксу график функции снижается.
Для более сложных функций промежутки их возрастания и убывания
(которые называются также промежутками монотонности) не столь очевидны.
Чтобы точно отыскать такие промежутки, пользуются первой производной, а
конкретнее – следующей теоремой.
Теорема 1.1. Если производная
′
𝑓
(
)
𝑥
функции
𝑦
=
(
)
𝑓 𝑥
положительна на
некотором интервале Х, то исходная функция
𝑦
=
(
)
𝑓 𝑥
возрастает на этом
интервале. Если же производная
′
𝑓
(
)
𝑥
функции
𝑦
=
(
)
𝑓 𝑥
отрицательна на
некотором интервале Х, то исходная функция
𝑦
=
(
)
𝑓 𝑥
убывает на этом
интервале.
Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания
функции необходимо:
найти область определения функции;
найти производную функции;
решить неравенства
𝑓
′
(
𝑥
)
> 0
и
𝑓
′
(
𝑥
)
< 0
на области определения;
на полученных промежутках исходная функция будет соответственно
возрастать и убывать. На основании этого записать ответ.
Пример 1.1. Найти промежутки монотонности функции
𝑓
(
𝑥
)
=
𝑥
3
− 3
𝑥
2
.
◄1.
Данная
функция
представляет
собой
многочлен, потому ее область определения – вся
вещественная
ось
(
−∞; +∞
)
.
Следовательно,
никаких
ограничений
область
определения
накладывать не будет.
2.
Находим производную функции:
′
𝑓
(
𝑥
)
= (
𝑥
3
− 3
𝑥
2
)′ = 3
𝑥
2
− 3 ∙ 2 = 3
𝑥
𝑥
2
− 6 .
𝑥
3.
Выясняем,
когда
эта
производная
положительна,
когда
отрицательна.
Находим
точки,
в
которых производная равна
нулю или
терпит разрыв. В нашем случае производная вновь
представляет
собой
многочлен,
а
многочлен
разрывов
не
имеет.
Следовательно,
осталось
понять,
когда
он
равен
нулю.
Для
этого
приравниваем производную к нулю:
3
𝑥
2
− 6 = 0,
𝑥
3
𝑥
(
−
𝑥
2
)
= 0.
Получили,
что
произведение
равно
нулю.
Это
возможно, когда хотя бы один из сомножителей
равен нулю. Получаем два уравнения:
4
,
0
2
,
0
3
х
х
откуда
.
2
,
0
х
х
Расставляем знаки. Смотрим именно на производную:
′
𝑓
(
𝑥
)
= 3
𝑥
2
− 6
𝑥
, знаки
смотрим
по
ней.
Последовательно
из
каждого
промежутка в производную вместо икса ставим по
числу (из первого промежутка берем, например, 3, из
второго 1, из третьего -1, но можно взять любые другие числа на свое
усмотрение, лишь бы из каждого промежутка по одному).
Промежуток
Точка
Значение производной
Ее
знак
(2; +∞)
𝑥
= 3
𝑓
′
(
3
)
= 3 ∙ 3
2
− 6 ∙ 3 = 3 ∙ 9 − 18 =
= 27 − 18 = 9 > 0
+
(0; 2)
𝑥
= 1
𝑓
′
(
1
)
= 3 ∙ 1
2
− 6 ∙ 1 = 3 ∙ 1 − 6 = 3 − 6 =
= −3 < 0
-
(−∞; 0)
𝑥
= −1
𝑓
′
(
−1
)
= 3 ∙
(
−1
)
2
− 6 ∙
(
−1
)
= 3 ∙ 1 + 6 =
= 3 + 6 = 9 > 0
+
Никогда не расставляем знаки наугад!
4.
Производная положительна на промежутках
(−∞; 0)
и
(
2; +∞
)
.
Следовательно,
на
этих
же
промежутках
исходная
функция, согласно теореме, возрастает. Производная
отрицательна на промежутке
(
0; 2
)
,
следовательно, на нем исходная функция,
согласно теореме, убывает.
Чтобы убедиться в правильности полученного результата, нарисуем в
графическом
редакторе
график
исходной
функции
𝑓
(
𝑥
)
=
𝑥
3
− 3
𝑥
2
(см.
рисунок выше). Действительно, при движении по оси икс слева направо
график на
(−∞; 0)
поднимается вверх (т.е. возрастает), потом, на
(
0; 2
)
,
опускается вниз до -4 (убывает до -4), а затем, на
(
2; +∞
)
вновь поднимается
вверх (возрастает). Так что всё найденное по алгоритму в точности совпадает
с реальной картиной на графике функции.
Ответ: функция возрастает на
(−∞; 0)
и
(
2; +∞
)
,
убывает на
(
0; 2
)
.
►
Пример 1.2. Найти промежутки монотонности функции
𝑓
(
𝑥
)
= ln
−
.
𝑥
𝑥
◄1. В данной функции присутствует натуральный логарифм. Это значит,
что стоящее под логарифмом выражение, т.е. х, должно быть больше нуля:
𝑥
>
> 0,
поскольку в противном случае под логарифмом окажется отрицательное
выражение, для которого логарифм не определен.
Итак, областью определения функции является
𝑥
> 0,
т.е. промежуток
(
0; +∞
)
.
То,
что
от
логарифма
отнимается
икс,
не
влияет
на
область
определения функции: ведь отнимать можно всё, что угодно.
5
2. Находим производную функции:
𝑓
′
(
𝑥
)
=
(
ln
−
𝑥
𝑥
)
′
=
1
𝑥
− 1 =
1 −
𝑥
𝑥
.
3. Находим точки, в которых производная равна нулю или терпит разрыв.
а)
Находим
точки,
в
которых
производная
равна
нулю.
Т.к.
она
представляет собой дробь, то равна нулю тогда, когда ее числитель равен
нулю:
1 −
= 0,
𝑥
откуда
𝑥
= 1.
б)
Находим точки, в
которых производная
терпит разрыв.
Т.к.
она
представляет собой дробь, то терпит разрыв, когда знаменатель ее равен нулю:
𝑥
= 0.
Получили
две
точки:
𝑥
= 0
и
𝑥
= 1.
Располагаем
их
на
числовой
оси.
Получаем три промежутка, но левый промежуток
(−∞; 0)
нас не волнует, ибо
в п.1 было найдено, что областью определения
исходной
функции
является
промежуток
(
0; +∞
)
.
Поэтому
самый
левый
из
трех
получившихся промежутков не рассматриваем:
на нем функция не определена и потому не может ни возрастать, ни убывать
на
нем.
Осталось
понять,
каков
знак
производной
на
двух
оставшихся
промежутках
(
0; 1
)
и
(
1; +∞
)
.
Работаем опять по методу интервалов: из
каждого из промежутков берем по произвольному числу (например,
1
2
из
первого и 2 из второго) и подставляем последовательно каждое из этих чисел
вместо икса в производную
𝑓
′
(
𝑥
)
=
1−
𝑥
𝑥
.
Промежуток
Точка
Значение производной
Ее
знак
(1; +∞)
𝑥
= 2
𝑓
′
(
2
)
=
1 − 2
2
=
−1
2
= −0,5 < 0
-
(0; 1)
𝑥
=
1
2
𝑓
′
(
1
2
)
=
1 −
1
2
1
2
=
1
2
1
2
= 1 > 0
+
4.
На
промежутке
(1; +∞)
производная
отрицательна, потому исходная функция
𝑓
(
𝑥
)
=
= ln
−
𝑥
𝑥
убывает
на
этом
промежутке.
На
промежутке
(0; 1)
производная положительна, потому исходная функция
возрастает на этом промежутке.
6
Справа
приведен
график
нашей
функции
𝑓
(
𝑥
)
= ln
−
.
𝑥
𝑥
И действитель-
но, если мы движемся по оси Ох от нуля
к единице, то график функции поднима-
ется
к
минус
единице,
т.е.
функция
возрастает. Если же мы движемся по оси
Ох от единицы вправо, то график функ-
ции понижается, т.е. функция убывает.
Ответ:
функция
убывает
на
(
1; +∞
)
,
возрастает на
(
0; 1
)
.
►
Пример
1.3.
Найти
промежутки
монотонности функции
𝑓
(
𝑥
)
=
+
𝑥
1
𝑥
.
◄1. В данной функции есть знаменатель, равный х. Он не может быть
равен нулю:
≠
𝑥
0.
Значит, область определения исходной функции – вся числовая ось, кроме
точки
0,
т.е.
область
определения
представляет
собой
объединение
промежутков
(
0; +∞
)
и
(
−∞; 0
)
.
2. Находим производную функции:
𝑓
′
(
𝑥
)
=
(
𝑥
+
1
𝑥
)
′
=
(
𝑥
+
𝑥
−1
)
′
= 1 +
(
−1
)
∙
𝑥
−2
= 1 −
𝑥
−2
= 1 −
1
𝑥
2
=
𝑥
2
− 1
𝑥
2
3. Находим точки, в которых производная равна нулю или терпит разрыв.
а)
Находим
точки,
в
которых
производная
равна
нулю.
Т.к.
она
представляет собой дробь, то равна нулю тогда, когда ее числитель равен
нулю:
𝑥
2
− 1 = 0,
откуда
𝑥
2
= 1
и
𝑥
= ±1.
б)
Находим точки, в
которых производная терпит разрыв.
Т.к.
она
представляет собой дробь, то терпит разрыв, когда знаменатель ее равен нулю:
𝑥
2
= 0.
Отсюда
𝑥
= 0.
Итак, имеем три точки
𝑥
= ±1
и
𝑥
= 0.
Они разбивают числовую ось на
четыре промежутка. Противоречий с областью определения нет, ибо она – вся
числовая ось, кроме точки 0. Но точка 0 итак будет выколотой, как и точки
𝑥
=
= ±1.
7
Определяем
знак
на
каждом
промежутке. Опять метод интервалов: берем
из каждого промежутка по произвольному
числу (например, 2 из
(
1; +∞
)
,
1
2
из
(
0; 1
)
,
−
1
2
из
(
−1; 0
)
и -2 из
(
−∞; −1
)
)
и
подставляем последовательно эти четыре числа вместо икса в производную
𝑓
′
(
𝑥
)
==
𝑥
2
−1
𝑥
2
.
Промежуток
Точка
Значение производной
Ее
знак
(1; +∞)
𝑥
= 2
𝑓
′
(
2
)
=
2
2
− 1
2
2
=
4 − 1
4
=
3
4
> 0
+
(0; 1)
𝑥
=
1
2
𝑓
′
(
1
2
)
=
(
1
2
)
2
− 1
(
1
2
)
2
=
1
4
− 1
1
4
=
−
3
4
1
4
= −
3 ∙ 4
1 ∙ 4
= −3 < 0
-
(−1; 0)
𝑥
= −
1
2
𝑓
′
(
−
1
2
)
=
(
−
1
2
)
2
− 1
(
−
1
2
)
2
=
1
4
− 1
1
4
=
−
3
4
1
4
= −
3 ∙ 4
1 ∙ 4
= −3 < 0
-
(−∞; −1)
𝑥
= −2
𝑓
′
(
−2
)
=
(−2)
2
− 1
(−2)
2
=
4 − 1
4
=
3
4
> 0
+
4.
Итак,
на
промежутках
(1; +∞)
и
(−∞; −1)
производная
положительна.
Значит, на этих промежутках исходная функция
𝑓
(
𝑥
)
=
+
𝑥
1
𝑥
возрастает.
На промежутках
(0; 1)
и
(−1; 0)
производная отрицательна. Поэтому на
этих промежутках исходная функция
𝑓
(
𝑥
)
=
+
𝑥
1
𝑥
убывает.
Ответ: функция возрастает на
(1; +∞)
и
(
−∞; −1
)
,
убывает на
(0; 1)
и
(
−1; 0
)
.
►
Пример 1.4. Найти промежутки монотонности функции
𝑓
(
𝑥
)
=
− sin 2 .
𝑥
𝑥
◄1. Здесь никаких ограничений на область определения нет: функция
«синус» определена на всей вещественной оси.
2. Находим производную функции. Заметим, что под знаком синуса стоит
не
х,
а
2х.
Значит,
перед
нами
–
сложная
функция,
и
ее
необходимо
дифференцировать по правилу сложной функции.
𝑓
′
(
) =
𝑥
(
−
𝑥
sin 2
𝑥
)
′
= 1 − cos 2 ∙
𝑥
(
2
𝑥
)
′
= 1 − cos 2 ∙ 2 = 1 − 2 cos 2 .
𝑥
𝑥
3. Находим точки, в которых производная равна нулю или терпит разрыв.
Точек разрыва нет, ибо имеем функцию косинус, которая непрерывна, и
8
отнимание от единицы на это, понятно, никак не влияет. Осталось понять,
когда производная равна нулю:
𝑓
′
(
𝑥
)
= 1 − 2 cos 2 = 0,
𝑥
−2 cos 2 = −1,
𝑥
cos 2 =
𝑥
1
2
,
2 = ± arccos
𝑥
1
2
+ 2
,
,
𝜋𝑛 𝑛 ∈ ℤ
2 = ±
𝑥
𝜋
3
+ 2
,
,
𝜋𝑛 𝑛 ∈ ℤ
и, разделив обе части уравнения на 2, получим
𝑥
= ±
𝜋
6
+
,
.
𝜋𝑛 𝑛 ∈ ℤ
4.
Если
мы
посмотрим
на
график
нашей
производной
𝑓
′
(
𝑥
)
= 1 −
−2 cos 2
𝑥
, то увидим, что он пересекает ось Ох как раз в найденных точках
𝑥
= ±
𝜋
6
+
,
.
𝜋𝑛 𝑛 ∈ ℤ
Этот график располагается ниже оси Ох на промежутках
(
−
𝜋
6
+
;
𝜋𝑛
𝜋
6
+
𝜋𝑛
)
,
.
∈ ℤ
𝑛
Значит, на этих промежутках исходная функция
𝑓
(
𝑥
)
=
− sin 2
𝑥
𝑥
убывает.
Производная
𝑓
′
(
𝑥
)
= 1 − 2 cos 2
𝑥
, судя по графику, располагается выше
оси Ох (и, значит, положительна) на промежутках
(
𝜋
6
+
;
𝜋𝑛
5
𝜋
6
+
𝜋𝑛
)
,
.
∈ ℤ
𝑛
А
раз производная на этих промежутках положительна, то на них исходная
функция
𝑓
(
𝑥
)
=
− sin 2
𝑥
𝑥
возрастает.
Ответ:
функция
убывает
на
(
−
𝜋
6
+
;
𝜋𝑛
𝜋
6
+
𝜋𝑛
)
,
,
𝑛 ∈ ℤ
возрастает
на
(
𝜋
6
+
;
𝜋𝑛
5
𝜋
6
+ +
𝜋𝑛
)
,
.
∈ ℤ
𝑛
►
2. Точки экстремума функции
Наряду с возрастанием-убыванием функции часто требуется вычислять
точки максимума и минимума функции. В этих точках функция принимает
соответственно максимальное и минимальное значение.
Определение 2.1. Точка
𝑥
0
называется точкой максимума функции
𝑓
(
𝑥
)
,
если существует такая окрестность точки
𝑥
0
,
что для всех точек х из этой
окрестности, не равных
𝑥
0
,
выполняется неравенство
𝑓
(
𝑥
)
<
𝑓
(
𝑥
0
)
.
9
Это значит, что точка
𝑥
0
называется точкой
максимума функции
𝑓
(
𝑥
)
,
если существует такая
окрестность точки
𝑥
0
,
что значения функции во всех
остальных точках этой окрестности меньше, чем
значение функции в точке
𝑥
0
.
Например,
точка
𝑥
0
= 0
является
точкой
максимума
функции
𝑓
(
𝑥
)
= 1 −
𝑥
2
(см.
график
справа),
т.к.
𝑓
(
0
)
= 1
и
при
всех
остальных
значениях
𝑥
верно неравенство
𝑓
(
𝑥
)
< 1,
т.е.
𝑓
(
𝑥
)
<
𝑓
(
0
)
.
Определение 2.2. Точка
𝑥
0
называется точкой минимума функции
𝑓
(
𝑥
)
,
если существует такая окрестность точки
𝑥
0
,
что для всех точек х из этой
окрестности, не равных
𝑥
0
,
выполняется неравенство
𝑓
(
𝑥
)
>
𝑓
(
𝑥
0
)
.
Это значит, что точка
𝑥
0
называется точкой
минимума функции
𝑓
(
𝑥
)
,
если существует такая
окрестность точки
𝑥
0
,
что значения функции во
всех остальных точках этой окрестности больше,
чем значение функции в точке
𝑥
0
.
Например,
точка
𝑥
0
= 2
является
точкой
минимума
функции
𝑓
(
𝑥
)
=
(
−
𝑥
2
)
2
+ 3
(см.
рисунок
справа),
ибо
𝑓
(
2
)
= 3
,
и
для
всех
остальных значений
𝑥
верно неравенство
𝑓
(
𝑥
)
>
3,
т.е. для всех остальных значений
𝑥
имеет место неравенство
𝑓
(
𝑥
)
>
𝑓
(
𝑥
0
)
.
Определение 2.3. Точки максимума и минимума функции называются
точками экстремума этой функции.
Теорема 2.1 (теорема Ферма). Если
𝑥
0
– точка экстремума дифференци-
руемой функции
𝑓
(
𝑥
)
,
то имеет место равенство
′
𝑓
(
𝑥
0
)
= 0,
т.е. значение про-
изводной в этой точке равно нулю.
Эта
теорема,
названная
в
честь
французского
ученого
Пьера
Ферма,
имеет
следующий геометрический смысл: если
𝑥
0
–
точка экстремума функции
𝑓
(
𝑥
)
,
то касательная
к графику функции
𝑓
(
𝑥
)
в точке
𝑥
0
параллельна
оси абсцисс, и поэтому ее угловой коэффи-
циент,
который
согласно
геометрическому
смыслу производной как раз и равен
′
𝑓
(
𝑥
0
)
,
равен нулю.
На рисунке справа имеем точку максимума
𝑥
0
и точку минимума
𝑥
1
функции
𝑓
(
𝑥
)
.
В обеих этих точках производная функции
𝑓
(
𝑥
)
равна нулю.
10
Теорема
2.2.
Пусть
функция
𝑓
(
𝑥
)
дифференцируема
на
некотором
интервале
(
𝑎
;
𝑏
)
,
и есть критическая точка
𝑥
0
∈
(
𝑎
;
𝑏
)
,
т.е. точка, в которой
значение производной функций
𝑓
(
𝑥
)
равно нулю или не существует. Тогда:
1)
Если при переходе через точку
𝑥
0
производная функции
𝑓
(
𝑥
)
меняет знак с плюса на минус, т.е.
𝑓
′
(
𝑥
)
> 0
слева от точки
𝑥
0
и
𝑓
′
(
𝑥
)
< 0
справа от точки
𝑥
0
,
то
𝑥
0
– точка максимума функции
𝑓
(
𝑥
)
(см. левый рисунок
после теоремы);
2)
Если при переходе через точку
𝑥
0
производная функции
𝑓
(
𝑥
)
меняет знак с минуса на плюс, т.е.
𝑓
′
(
𝑥
)
< 0
слева от точки
𝑥
0
и
𝑓
′
(
𝑥
)
> 0
справа от точки
𝑥
0
,
то
𝑥
0
– точка минимума функции
𝑓
(
𝑥
)
(см. правый
рисунок).
3)
Если при переходе через точку
𝑥
0
производная функции
𝑓
(
𝑥
)
не
меняет знак (с обеих сторон от точки
𝑥
0
знак одинаков – плюс-плюс или
минус-минус), то точка
𝑥
0
не является точкой экстремума функции
𝑓
(
𝑥
)
.
На основании этой теоремы можно рассмотреть следующий алгоритм
нахождения точек экстремума функции
𝑓
(
𝑥
)
.
1.
Вычислить производную функции.
2.
Выяснить, в каких точках производная равна нулю или не существует
(терпит разрыв). Эти критические точки разбивают числовую ось на
промежутки.
3.
Методом
интервалов
выяснить
знак
производной
на
каждом
из
полученных промежутков. Для этого из каждого промежутка взять по
произвольному числу и последовательно подставить вместо икса в
производную.
Если
получаем
положительное
число,
то
на
соответствующем
интервале
производная
положительна;
если
полученное число отрицательно, то на данном интервале производная
отрицательна.
4.
На основании пунктов 1) – 3) теоремы 2.2 сделать вывод относительно
каждой критической точки.
5.
Вычислить значение в каждой точке экстремума и записать ответ.
Пример 2.1. Найти точки экстремума функции
𝑓
(
𝑥
)
=
𝑥
4
− 4
𝑥
3
.
◄Действуем согласно приведенному алгоритму.
1. Вычисляем производную исходной функции:
11
𝑓
′
(
𝑥
)
=
(
𝑥
4
− 4
𝑥
3
)
′
= 4
𝑥
3
− 4 ∙ 3
𝑥
2
= 4
𝑥
3
− 12
𝑥
2
.
2.
Полученная
производная
представляет
собой
многочлен:
𝑓
′
(
𝑥
)
=
4
𝑥
3
− 12
𝑥
2
.
Это
значит,
что
точек
разрыва
производная
не
имеет,
ибо
многочлен – непрерывная функция. Следовательно, в этом пункте осталось
только найти точки, в которых производная равна нулю. Приравниваем ее к
нулю:
𝑓
′
(
𝑥
)
= 4
𝑥
3
− 12
𝑥
2
= 0,
4
𝑥
2
(
−
𝑥
3
)
= 0.
Получили,
что
произведение
равно
нулю.
Значит,
хотя
бы
один
из
сомножителей равен нулю:
,
0
3
,
0
4
2
х
х
откуда
.
3
,
0
х
х
3. На предыдущем пункте получили две точки
𝑥
= 0
и
𝑥
= 3.
Числовая
ось,
таким
образом,
разбивается на три промежутка, как показано на рисунке справа. Определим
знак производной на каждом из этих промежутков. Для этого выберем из
каждого промежутка по произвольному числу (например, 4 из правого, 1 из
среднего и -1 из левого, но можно взять по любому другому числу из каждого
промежутка на
свое
усмотрение, лишь
бы
было
удобно подставлять)
и
последовательно подставляем их место икса в производную
𝑓
′
(
𝑥
)
= 4
𝑥
3
−
12
𝑥
2
.
Проме-
жуток
Точка
Значение производной
Ее
знак
(3; +∞)
𝑥
= 4
𝑓
′
(
4
)
= 4 ∙ 4
3
− 12 ∙ 4
2
= 4 ∙ 64 − 12 ∙ 16 =
= 64 > 0
+
(0; 3)
𝑥
= 1
𝑓
′
(
1
)
= 4 ∙ 1
3
− 12 ∙ 1
2
= 4 ∙ 1 − 12 ∙ 1 = −8 < 0
-
(−∞; 0)
𝑥
= −1
𝑓
′
(
−1
)
= 4 ∙
(
−1
)
3
− 12 ∙ (−1)
2
=
= 4 ∙ (−1) − 12 ∙ 1 = −16 < 0
-
Итак, знаки расставлены таким образом, как показано на рисунке справа.
4. В точке
𝑥
= 3
при движении в направлении оси
Ох (т.е. слева направо) знак меняется с минуса на
плюс. Это случай 2) последней теоремы, тем самым
𝑥
= 3
– точка минимума
функции. В точке
𝑥
= 0
знак не меняется: как был слева минусом, так и
остался справа тоже минусом. Раз знак не изменился, то, согласно пункту 3)
последней теоремы, точка
𝑥
= 0
не является точкой экстремума.
Итак, получили единственную точку экстремума – точку минимума
𝑥
=
= 3.
12
5. Вычисляем значение исходной функции
(
𝑥
)
=
𝑥
4
− 4
𝑥
3
в данной точке
минимума. Для этого тройку подставляем в функцию вместо икса:
𝑓
(
3
)
= 3
4
− 4 ∙ 3
3
= 81 − 4 ∙ 27 = 81 − 108 = −27.
Ответ:
(3; −27)
– точка минимума.►
Пример 2.2. Найти точки экстремума функции
𝑓
(
𝑥
)
=
𝑥
3
−
𝑥
.
◄1. Находим производную функции:
𝑓
′
(
𝑥
)
=
(
𝑥
3
−
𝑥
)
′
= 3
𝑥
2
− 1.
2. Полученная производная вновь представляет собой многочлен:
𝑓
′
(
𝑥
)
=
= 3
𝑥
2
− 1.
Это
значит,
что
точек
разрыва
производная
не
имеет,
ибо
многочлен – непрерывная функция. Следовательно, в этом пункте осталось
только найти точки, в которых производная равна нулю. Приравниваем ее к
нулю:
𝑓
′
(
𝑥
)
= 3
𝑥
2
− 1 = 0,
3
𝑥
2
= 1,
и, разделив обе части уравнения на 3, получим
𝑥
2
=
1
3
,
𝑥
= ±
√
1
3
,
𝑥
= ±
1
√
3
.
3.
На
предыдущем
пункте
получили
две
точки
𝑥
=
1
√
3
и
𝑥
= −
1
√
3
.
Числовая ось, таким образом, разбивается на три
промежутка,
как
показано
на
рисунке
справа.
Определим знак производной на каждом из этих
промежутков. Для этого выберем из каждого промежутка по произвольному
числу (например, 1 из правого, 0 из среднего и -1 из левого, но можно взять по
любому другому числу из каждого промежутка на свое усмотрение, лишь бы
было удобно подставлять) и последовательно подставляем их место икса в
производную
𝑓
′
(
𝑥
)
= 3
𝑥
2
− 1.
Промежу-
ток
Точка
Значение производной
Ее
знак
(
1
√
3
; +∞)
𝑥
= 1
𝑓
′
(
1
)
= 3 ∙ 1
2
− 1 = 3 ∙ 1 − 1 = 3 − 1 =
= 2 > 0
+
(−
1
√
3
;
1
√
3
)
𝑥
= 0
𝑓
′
(
0
)
= 3 ∙ 0
2
− 1 = 3 ∙ 0 − 1 = 0 − 1 =
= −1 < 0
-
(−∞; −
1
√
3
)
𝑥
= −1
𝑓
′
(
−1
)
= 3 ∙ (−1)
2
− 1 = 3 ∙ 1 − 1 = 3 − 1 =
= 2 > 0
+
13
4. В точке
𝑥
=
1
√
3
при движении в направлении оси
Ох (т.е. слева направо) знак меняется с минуса на плюс.
Это случай 2) последней теоремы, тем самым
𝑥
=
1
√
3
–
точка минимума функции. В точке
𝑥
= −
1
√
3
знак при движении слева направо
(далее это уточнять не будем, идем всегда в положительном направлении оси
Ох, т.е. слева направо) меняется с плюса на минус. Значит, по пункту 1)
теоремы точка
𝑥
= −
1
√
3
является точкой максимума функции.
5. Осталось вычислить значения исходной функции
𝑓
(
𝑥
)
=
𝑥
3
−
𝑥
в двух
найденных точках:
Точка
Значение исходной функции
𝑓
(
𝑥
)
=
𝑥
3
−
𝑥
в этой точке
𝑥
=
1
√
3
(мини-
мума)
𝑓
(
1
√
3
)
=
(
1
√
3
)
3
−
1
√
3
=
1
√
27
−
1
√
3
=
1
3
√
3
−
1
√
3
=
= |
| =
приводим к общему знаменателю
1 − 3
3
√
3
= −
2
3
√
3
𝑥
= −
1
√
3
(макси-
мума)
𝑓
(
−
1
√
3
)
=
(
−
1
√
3
)
3
−
(
−
1
√
3
)
= −
1
√
27
+
1
√
3
= −
1
3
√
3
+
1
√
3
=
= |
| =
приводим к общему знаменателю
−1 + 3
3
√
3
=
2
3
√
3
Ответ:
(
1
√
3
; −
2
3
√
3
)
– точка минимума,
(
−
1
√
3
;
2
3
√
3
)
–
точка максимума. ►
На рисунке справа показан график функции
𝑓
(
𝑥
)
=
=
𝑥
3
−
𝑥
.
Наш ответ полностью согласуется с графиком.
Действительно,
если
упомянуть,
что
1
√
3
≈
0,57735026919,
то на графике видно, что
(
1
√
3
; −
2
3
√
3
)
–
точка минимума, а
(
−
1
√
3
;
2
3
√
3
)
– точка максимума.
Пример
2.3.
Найти
точки
экстремума
функции
𝑓
(
𝑥
)
=
ln
.
𝑥
𝑥
◄1.
Находим
производную
функции.
Так
как
имеем произведение икса на логарифм, то «работаем»
по правилу дифференцирования произведения.
𝑓
′
(
𝑥
)
=
(
𝑥
ln
𝑥
)
′
=
𝑥
′
∙ ln
+
∙
𝑥
𝑥
(
ln
𝑥
)
′
=
= 1 ∙ ln
+
∙
𝑥
𝑥
1
𝑥
= |
и
и
и
и
| = ln и
+ 1.
𝑥
14
2. Производная представляет собой сумму единицы (она, естественно,
непрерывна)
и
логарифма.
Логарифм,
определенный
на
(
0; +∞
)
,
также
непрерывен. Так что наша производная – сумма единицы и логарифма, двух
непрерывных функций – также непрерывна и потому не имеет разрывов.
Посмотрим, в каких точках она обращается в ноль. Для этого, как и всегда,
приравняем ее к нулю:
𝑓
′
(
𝑥
)
= ln
+ 1 = 0,
𝑥
ln
= −1,
𝑥
откуда, вспоминая, что натуральный логарифм – это логарифм по основанию
𝑒
,
𝑥
=
𝑒
−1
,
или
𝑥
=
1
𝑒
.
3. На п. 2 получили одну критическую точку
𝑥
=
1
𝑒
.
Упомянутый
выше
промежуток
(
0; +∞
)
,
таким
образом, разбивается на два промежутка, как показано
на рисунке справа. Заметим здесь, также, что
1
𝑒
≈ 0,368.
Значит, справа этой
точки можно взять число 1, а слева – например, число
1
𝑒
2
≈ 0,135.
Вспоминая
свойства логарифмов, вычисляем значения производной
𝑓
′
(
𝑥
)
= ln
+ 1
𝑥
в
этих точках, как обычно, последовательно подставляя эти точки вместо икса в
производную:
Промеж
у-ток
Точка
Значение производной
Ее
знак
(
1
𝑒
; +∞)
𝑥
= 1
𝑓
′
(
1
)
= ln 1 + 1 =
=
|
логарифм единицы равен нулю
|
= 0 + 1 =
= 1 > 0
+
(0;
1
𝑒
)
𝑥
=
1
𝑒
2
𝑓
′
(
1
𝑒
2
)
= ln
1
𝑒
2
+ 1 = ln
𝑒
−2
+ 1 = −2 ln + 1 =
𝑒
= |
,
основание и показатель равны
а в этом
𝑒
1| = −2 ∙ 1 + 1 =
случае логарифм равен
= −2 + 1 = −1 < 0
-
15
4.
Итак,
в
точке
𝑥
=
1
𝑒
при
движении
слева направо знак производной меняется с
минуса на плюс. Следовательно, это пункт 2)
теоремы, по которому точка
𝑥
=
1
𝑒
– точка
минимума исходной функции. Всё, других
критических точек у нас во втором пункте не
нашлось, потому переходим на п. 5.
5.
Вычисляем
значение
исходной
функции
𝑓
(
𝑥
)
=
ln
𝑥
𝑥
в
найденной
точке
минимума. Для этого подставляем точку
𝑥
=
=
1
𝑒
вместо икса в функцию:
𝑓
(
1
𝑒
)
=
1
𝑒
∙ ln
1
𝑒
=
1
𝑒
∙ ln
𝑒
−1
=
1
𝑒
∙
(
−1
)
= −
1
𝑒
.
Ответ:
(
1
𝑒
; −
1
𝑒
)
– точка минимума. ►
Вновь
наш
ответ
совпадает
с
картинкой
графика
функции.
Действительно,
имеем
точку
минимума
где-то
примерно
(
1
𝑒
; −
1
𝑒
)
=
(
0,368; −0,368
)
.
Других точек экстремума – минимума или максимума – на
графике не наблюдаем, равно как и в ответе ничего другого нет. Значит, все
совпадает.
Пример 2.4. Найти точки экстремума функции
𝑓
(
𝑥
)
=
𝑥
3
𝑥
2
−1
.
◄1. Находим производную функции. Так как имеем дробь, то идем по
правилу дифференцирования частного.
𝑓
′
(
𝑥
)
=
(
𝑥
3
𝑥
2
− 1
)
′
=
(
𝑥
3
)
′
∙
(
𝑥
2
− 1
)
−
𝑥
3
∙
(
𝑥
2
− 1
)
′
(
𝑥
2
− 1
)
2
=
3
𝑥
2
(
𝑥
2
− 1
)
−
𝑥
3
∙ (2 − 0)
𝑥
(
𝑥
2
− 1
)
2
=
=
3
𝑥
2
∙
𝑥
2
− 3
𝑥
2
∙ 1 −
𝑥
3
∙ 2 +
𝑥
𝑥
3
∙ 0
(
𝑥
2
− 1
)
2
=
3
𝑥
4
− 3
𝑥
2
− 2
𝑥
4
+ 0
(
𝑥
2
− 1
)
2
=
𝑥
4
− 3
𝑥
2
(
𝑥
2
− 1
)
2
.
2. Производная представляет собой дробь.
а) Дробь терпит разрыв, когда знаменатель равен нулю. Найдем точки,
обращающие знаменатель в ноль.
(
𝑥
2
− 1
)
2
= 0,
𝑥
2
− 1 = 0,
𝑥
2
= 1,
𝑥
= ±1.
Значит, производная терпит разрыв в точках
𝑥
= ±1.
16
б) Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю. Найдем точки, в
которых числитель равен нулю:
𝑥
4
− 3
𝑥
2
= 0,
𝑥
2
(
𝑥
2
− 3
)
= 0.
Получили, что произведение равно нулю. А это возможно, когда хотя бы один
из множителей равен нулю.
,
0
3
,
0
2
2
х
х
откуда
,
3
,
0
2
х
х
и, наконец,
.
3
,
0
х
х
Значит, производная равна нулю в трех точках:
𝑥
= 0
и
𝑥
= ±
√
3.
3. На п. 2 получили целых пять кри-
тических точек:
𝑥
= ±1,
= 0
𝑥
и
𝑥
= ±
√
3.
Числовая
ось,
таким
образом,
разбивается
на
шесть
промежутков,
как
показано
на
рисунке.
Определим
знак
производной
на
каждом
из
этих
промежутков. Для этого выберем из каждого промежутка по произвольному
числу и последовательно подставляем вместо икса в производную
𝑓
′
(
𝑥
)
=
𝑥
4
− 3
𝑥
2
(
𝑥
2
− 1
)
2
.
Промежу-
ток
Точка
Значение производной
Ее
знак
(
√
3; +∞)
𝑥
= 2
𝑓
′
(
2
)
=
2
4
− 3 ∙ 2
2
(
2
2
− 1
)
2
=
16 − 3 ∙ 4
(
4 − 1
)
2
=
=
16 − 12
3
2
=
4
9
> 0
+
(1;
√
3)
𝑥
= 1,5
𝑓
′
(
1,5
)
=
1,5
4
− 3 ∙ 1,5
2
(
1,5
2
− 1
)
2
=
=
5,0625 − 3 ∙ 2,25
(
2,25 − 1
)
2
=
5,0625 − 6,75
1,25
2
=
=
−1,6875
1,5625
= −1,08 < 0
-
(0; 1)
𝑥
= 0,5
𝑓
′
(
0,5
)
=
0,5
4
− 3 ∙ 0,5
2
(
0,5
2
− 1
)
2
=
=
0,0625 − 3 ∙ 0,25
(
0,25 − 1
)
2
=
0,0625 − 0,75
(
−0,75
)
2
=
-
17
=
−0,6875
0,5625
= −
11
9
< 0
(−1; 0)
𝑥
= −0,5
𝑓
′
(
−0,5
)
=
(
−0,5
)
4
− 3 ∙
(
−0,5
)
2
(
(−0,5)
2
− 1
)
2
=
=
0,0625 − 3 ∙ 0,25
(
0,25 − 1
)
2
=
0,0625 − 0,75
(
−0,75
)
2
=
=
−0,6875
0,5625
= −
11
9
< 0
-
(−
√
3; −1)
𝑥
= −1,5
𝑓
′
(
−1,5
)
=
(−1,5)
4
− 3 ∙ (−1,5)
2
(
(−1,5)
2
− 1
)
2
=
=
5,0625 − 3 ∙ 2,25
(
2,25 − 1
)
2
=
=
5,0625 − 6,75
1,25
2
=
−1,6875
1,5625
= −1,08 < 0
-
(−∞; −
√
3)
𝑥
= −2
𝑓
′
(
2
)
=
(−2)
4
− 3 ∙ (−2)
2
(
(−2)
2
− 1
)
2
=
16 − 3 ∙ 4
(
4 − 1
)
2
=
=
16 − 12
3
2
=
4
9
> 0
+
Получается, что знаки расставлены так,
как показано на рисунке справа.
4. Итак, находим, в каких точках производная меняет свой знак. В точке
𝑥
= −
√
3
знак меняется с плюса на минус (напоминаем, что движемся всегда
слева направо!). Значит,
𝑥
= −
√
3
– точка максимума исходной функции. В
точке
𝑥
=
√
3
знак меняется с минуса на плюс, а это значит, что
𝑥
=
√
3
– точка
минимума исходной функции. В остальных точках
𝑥
= −1,
𝑥
= 0
и
𝑥
= 1
знак
не меняется: он как был слева минус, так и остается справа также минусом в
каждой из этих точек. А поскольку знак в этих точках не меняется, то эти точки
не являются точками экстремума исходной функции.
5. Осталось вычислить значение исходной функции
𝑓
(
𝑥
)
=
𝑥
3
𝑥
2
−1
в точке
минимума
𝑥
=
√
3
и точке максимума
𝑥
= −
√
3.
𝑓
(√
3
)
=
(
√
3)
3
(
√
3)
2
− 1
=
√
27
3 − 1
=
3
√
3
2
,
𝑓
(
−
√
3
)
=
(−
√
3)
3
(−
√
3)
2
− 1
=
−
√
27
3 − 1
= −
3
√
3
2
.
Ответ:
(
√
3;
3
√
3
2
)
– точка минимума,
(−
√
3; −
3
√
3
2
)
– точка максимума.►
18
Исследование функции с помощью второй производной
1.
Направление выпуклости графика
Определение 1.1. Функция называется выпуклой вниз на интервале
(
𝑎
;
𝑏
)
,
если касательная, проведенная к графику в любой точке данного
интервала, располагается ниже графика. Аналогично, функция называется
выпуклой вверх на интервале
(
𝑎
;
𝑏
)
,
если касательная, проведенная к графику
в любой точке данного интервала, располагается выше графика.
19
Как же это выглядит на графике?
Слева построен график функции
𝑦
=
𝑥
2
.
На всей вещественной оси он
расположен выпуклостью вниз, ибо, как видно из рисунка, касательная к
графику расположена ниже самого графика.
Справа построен график функции
𝑦
= ln
.
𝑥
Эта функция определена на
промежутке
(
0; +∞
)
,
ибо,
как
известно,
логарифм
от
нуля
или
от
отрицательного числа не определен. Видно, что на указанном промежутке
касательные, проводимые к графику, расположены выше самого графика. Это
значит, что функция
𝑦
= ln
𝑥
является выпуклой вверх на промежутке
(
0; +∞
)
.
В некоторых практических задачах бывает важно знать направление
выпуклости (вверх или вниз) графика функции. Узнать это можно с помощью
второй производной.
Теорема 1.1. Пусть функция
𝑦
=
(
)
𝑓 𝑥
дважды дифференцируема на
некотором интервале
(
𝑎
;
𝑏
)
.
Тогда:
– Если имеет место неравенство
𝑓
′′
(
𝑥
)
> 0
на данном интервале, то
график
заданной
функции
𝑦
=
(
)
𝑓 𝑥
является
выпуклым
вниз
на
данном
интервале.
– Если имеет место неравенство
𝑓
′′
(
𝑥
)
< 0
на данном интервале, то
график заданной функции
𝑦
=
(
)
𝑓 𝑥
является выпуклым вверх на данном
интервале.
В этом состоит геометрический смысл второй производной: она (а точнее,
ее знак) характеризует направление выпуклости графика.
20
Пример 1.1. Найти интервалы выпуклости функции
𝑦
=
𝑥
3
.
◄Найти интервалы выпуклости означает найти интервалы (промежутки),
на которых функция выпукла вниз, и интервалы (промежутки), на которых
функция выпукла вверх.
1.
Найдем вторую производную исходной функции
𝑦
=
𝑥
3
.
𝑦
′
=
(
𝑥
3
)
′
= 3
𝑥
2
,
𝑦
′′
=
(
3
𝑥
2
)
′
= 3 ∙ 2 = 6 .
𝑥
𝑥
2.
Приравняем вторую производную к нулю и найдем корни полученного
уравнения.
У
нас
вторая
производная
получилась
𝑦
′′
= 6 .
𝑥
Приравниваем ее к нулю:
𝑦
′′
= 6 = 0.
𝑥
Решаем полученное уравнение:
6 = 0
𝑥
𝑥
= 0.
3.
Получили одну стационарную точку:
х=0. Ось Ох тем самым разбивается на
два промежутка: слева и справа от этой
точки.
Вспомним, что вторая производная у нас была
𝑦
′′
= 6 .
𝑥
Определим ее знак на
каждом из двух полученных промежутков. Берем совершенно произвольное
число, какое нам нравится, из правого промежутка, скажем, 10 (можно взять
любое другое по своему вкусу) и подставляем вместо переменной икс во
вторую
производную:
𝑦
′′
(
10
)
= 6 ∙ 10 = 60 > 0.
На
правом
промежутке
получили положительное число, значит, здесь, согласно теореме, имеет место
выпуклость вниз.
Аналогично с левым промежутком: выбираем из него произвольное
число, например, -10, и подставляем его вместо переменной икс во вторую
производную:
𝑦
′′
(
−10
)
= 6 ∙
(
−10
)
= −60 < 0.
Получили, что на левом промежутке вторая производная отрицательна, а
потому, согласно теореме, на этом промежутке имеем выпуклость вверх.
Ответ: функция выпукла вниз на
(
0; +∞
)
,
выпукла вверх на
(
−∞; 0
)
.
►
Пример 1.2. Найти интервалы выпуклости функции
𝑦
= 1 + 4
𝑥
2
−
2
𝑥
4
3
.
◄Действуем по изложенному в предыдущем примере алгоритму.
1.
Находим вторую производную исходной функции:
𝑦
′
=
(
1 + 4
𝑥
2
−
2
𝑥
4
3
)
′
= 0 + 4 ∙ 2 −
𝑥
2 ∙ 4
𝑥
3
3
= 8 −
𝑥
8
𝑥
3
3
,
21
𝑦
′′
=
(
8 −
𝑥
8
𝑥
3
3
)
′
= 8 −
8 ∙ 3
𝑥
2
3
= 8 −
24
𝑥
2
3
= 8 − 8
𝑥
2
.
2.
Приравниваем
вторую
производную
к
нулю
и
находим
корни
полученного уравнения:
𝑦
′′
= 8 − 8
𝑥
2
= 0,
−8
𝑥
2
= −8,
(переносим восемь вправо с противоположным знаком)
𝑥
2
= 1,
(поделили левую и правую части уравнения на -8)
𝑥
=
1.
∓
Получили две точки, которые разбивают числовую ось на три промежутка:
правый
(
1; +∞
)
,
средний
(−1; 1)
и левый
(
−∞; −1
)
.
3.
Определим знак второй производной на каждом промежутке.
С правого промежутка берем произвольное число (заметим опять же,
что числа здесь можно выбирать по своему усмотрению, главное, чтобы
выбранное число было удобно для подстановки). Пусть это будет число
2. Подставляем его вместо переменной икс во вторую производную:
𝑦
′′
(
2
)
= 8 − 8 ∙ 2
2
= 8 − 8 ∙ 4 = 8 − 32 = −24 < 0.
Так
как
значение
получили
отрицательное,
то
по
теореме
на
правом
промежутке имеем выпуклость вверх.
Из среднего промежутка выбираем произвольное число. Здесь удобно
взять ноль. Подставим его во вторую производную вместо переменной
икс:
𝑦
′′
(
0
)
= 8 − 8 ∙ 0
2
= 8 − 8 ∙ 0 = 8 − 0 = 8 > 0,
И, раз получили положительное значение, то, согласно теореме, на данном
(т.е. на среднем) промежутке имеем выпуклость вниз.
На левом промежутке выбираем произвольное число, например, -2, и
подставляем его во вторую производную вместо икса:
𝑦
′′
(
−2
)
= 8 − 8 ∙ (−2)
2
= 8 − 8 ∙ 4 = 8 − 32 = −24 < 0.
Здесь значение второй производной вновь отрицательно, потому на левом
промежутке, по все той же теореме, имеем выпуклость вверх.
22
На рисунке слева приведен график этой
функции.
Действительно,
на
интервале
(
−∞; −1
)
касательные, проведенные к графику,
лежат выше самого графика. Та же картина
наблюдается и на правом интервале
(
1; +∞
)
.
На
центральном промежутке
(−1; 1)
касательные,
проводимые
к
графику,
будут
лежать
ниже
самого графика. Так что в нашем решении все
найдено верно.
Ответ:
функция
выпукла
вверх
на
промежутках
(
−∞; −1
)
и
(
1; +∞
)
и выпукла
вниз на промежутке
(
−1; 1
)
.
►
Пример 1.3. Найти интервалы выпуклости
функции
𝑦
= sin
,
𝑥
−
𝜋
<
<
.
𝑥
𝜋
◄Применяем все тот же алгоритм.
1. Находим вторую производную исходной
функции
𝑦
= sin
:
𝑥
′
𝑦
=
(
sin
𝑥
)
′
= cos
,
𝑥
𝑦
′′
=
(
cos
𝑥
)
′
= − sin
.
𝑥
2.
Приравниваем вторую производную к
нулю.
𝑦
′′
= − sin
= 0.
𝑥
(*)
Причем
нас
интересуют корни
этого
уравнения
на
данном
по
условию
интервале
−
𝜋
<
<
.
𝑥
𝜋
На рисунке ниже показан график функции
𝑦
′′
= − sin
𝑥
на данном нам интервале.
Видно,
что
он
пересекает
ось
абсцисс в точках 0, π и –π. Но π и –π нас
не
интересуют,
так
как
это
концы
данного
нам
интервала.
Так
что
получаем один корень уравнения (*):
𝑥
= 0.
3.
Осталось понять, какой знак имеет вторая производная
𝑦
′′
= − sin
𝑥
слева и справа от нуля.
Для этого вновь обратимся к графику второй производной. По рисунку
видно, что справа от точки ноль, т.е. на интервале
(
0;
𝜋
)
,
график второй
производной расположен ниже оси Ох и потому отрицателен. Следовательно,
исходная
функция
𝑦
= sin
𝑥
расположена
выпуклостью
вверх
на
рассматриваемом интервале
(
0;
𝜋
)
.
На противоположном интервале
(
−
𝜋
; 0
)
,
как видно из рисунка, вторая производная расположена выше оси Ох и потому
положительна.
Значит,
исходная
функция
𝑦
= sin
𝑥
расположена
выпуклостью вниз на интервале
(
−
𝜋
; 0
)
.
23
И действительно, если построить график синуса, то окажется, что на
(
0;
𝜋
)
касательные к графику расположены выше самого графика, а на
(
−
𝜋
; 0
)
– ниже графика.
Ответ: функция выпукла вниз на
(
−
𝜋
; 0
)
и выпукла вверх на
(
0;
𝜋
)
.
►
Иногда свои коррективы вносит ОДЗ исходной функции.
Пример 1.4. Найти интервалы выпуклости функции
𝑦
= ln
.
𝑥
◄Действуем по изложенному в предыдущем примере алгоритму.
1.
Находим вторую производную исходной функции:
𝑦
′
=
(
ln
𝑥
)
′
=
1
𝑥
,
𝑦
′′
=
(
1
𝑥
)
′
=
(
𝑥
−1
)
′
= −1 ∙
𝑥
−2
= −
1
𝑥
2
.
2. Находим корни числителя и знаменателя второй производной
𝑦
′′
= −
1
𝑥
2
.
Числитель представляет собой единицу, поэтому он никогда не равен
нулю.
Знаменатель
равен
нулю,
когда
𝑥
= 0.
Значит,
имеем
одну
стационарную точку
𝑥
= 0.
Она разбивает ось на два промежутка
(0; +∞)
и
(−∞; 0)
.
3. Выясним знак второй производной
𝑦
′′
= −
1
𝑥
2
на каждом промежутке.
Промежуток
Точка
Значение второй производной
Ее
знак
(0; +∞)
𝑥
= 1
𝑓
′′
(
1
)
= −
1
1
2
= −
1
1
= −1 < 0
-
(−∞; 0)
𝑥
= −1
𝑓
′′
(
−1
)
= −
1
(−1)
2
= −
1
1
= −1 < 0
-
Мы видим, что на обоих промежутках вторая производная отрицательна.
Значит, вроде бы, функция на них выпукла вверх.
4. Однако в конце всегда необходимо учитывать ОДЗ. В предыдущих
примерах исходные функции были определены на всей вещественной оси,
потому мы не «заморачивались», однако здесь исходная функция является
логарифмической
𝑦
= ln
,
𝑥
а
она,
напомним,
определена уже
не
на
всей
вещественной оси, а при
𝑥
> 0,
т.е. на промежутке
(
0; +∞
)
.
Значит, из двух
24
рассматриваемых в пункте 3 промежутков нас интересует только промежуток,
отвечающий ОДЗ, т.е. промежуток
(
0; +∞
)
.
На нем, как мы выяснили, вторая
производная
отрицательна,
и
исходная
функция
потому
выпукла
вверх.
Второй промежуток, рассмотренный в пункте 3, нас не интересует, поскольку
он не удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: функция выпукла вверх на
(
0; +∞
)
.
►
Для проверки построим график логарифмической функции. По нему
видно, что касательные, проводимые к графику в любых точках, находятся
выше самого графика. Это и означает, что функция выпукла вверх.
2. Точки перегиба
При построении графиков функций, а иногда и в других случаях, бывает
полезно находить точки перегиба заданной функции.
Определение 2.1. Точкой перегиба функции
𝑦
=
(
)
𝑓 𝑥
называется точка,
в которой выпуклость функции меняет направление на противоположное.
25
Таким образом, точка перегиба – это точка, в которой выпуклость вверх
функции меняется на выпуклость вниз, и наоборот.
Например, в примере 1.1 слева от точки 0 функция выпукла вверх, справа
– выпукла вниз. Значит, точка
𝑥
= 0
– точка перегиба для функции
𝑦
=
𝑥
3
.
Других точек перегиба функция не имеет, поскольку ни в одной другой точке
направление выпуклости не изменяется, иначе в примере 1.1 было бы не два
промежутка выпуклости
(
0; +∞
)
и
(
−∞; 0
)
,
а более.
В примере 1.3 точка
𝑥
= 0
– точка перегиба для функции
𝑦
= sin
,
𝑥
ибо
справа от этой точки функция выпукла вверх, слева – выпукла вниз.
В примере 1.2 имеем две точки перегиба
𝑥
=
1,
∓
так как в обеих точках
меняется направление выпуклости: в точке
𝑥
= −1
слева – выпуклость вверх,
справа – выпуклость вниз; в точке
𝑥
= 1
слева – выпуклость вниз, справа –
выпуклость вверх. Так что, как видим, функция может иметь несколько (или
даже бесконечно много, как, например, тригонометрические функции) точек
перегиба.
Как искать точки перегиба – ответ на этот вопрос дает теорема 2.1.
Теорема 2.1. Пусть функция определяется уравнением y = f(x). Если f ''(x
0
)
= 0 или
𝑓
′′
(
𝑥
0
)
не существует и при переходе через значение x = x
0
производная
f ''(x) меняет знак, то точка графика функции с абсциссой x = x
0
есть точка
перегиба.
Пример 2.1. Найти точки перегиба функции
𝑓
(
𝑥
)
=
𝑥
4
− 2
𝑥
3
.
◄1. Находим вторую производную заданной функции:
𝑓
′
(
𝑥
)
=
(
𝑥
4
− 2
𝑥
3
)
′
= 4
𝑥
3
− 2 ∙ 3
𝑥
2
= 4
𝑥
3
− 6
𝑥
2
,
𝑓
′′
(
𝑥
)
=
(
4
𝑥
3
− 6
𝑥
2
)
′
= 4 ∙ 3
𝑥
2
− 6 ∙ 2 = 12
𝑥
𝑥
2
− 12 .
𝑥
2. Находим точки, в которых производная равна нулю. Для этого
приравниваем производную к нулю и решаем полученное уравнение.
𝑓
′′
(
𝑥
)
= 12
𝑥
2
− 12 = 0,
𝑥
12
𝑥
(
−
𝑥
1
)
= 0.
(вынесли общий множитель за скобку)
Если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю.
Тем самым получаем совокупность
.
0
1
,
0
12
х
х
26
Из первого уравнения
𝑥
= 0,
из второго
𝑥
= 1.
3. Находим точки, в которых вторая производная не существует. Но
таких точек
в
нашем
случае нет, ибо вторая производная у нас
представляет собой
многочлен
𝑓
′′
(
𝑥
)
= 12
𝑥
2
− 12 ,
𝑥
(*)
а многочлен определен везде, в каждой точке числовой прямой.
4. Располагаем на числовой прямой точки, полученные в пунктах 2 и
3. Это пришедшие из пункта 2 точки
𝑥
= 0,
𝑥
= 1,
пункт 3 точек не дал.
5. Определяем знак второй производной на каждом полученном
промежутке.
Как
и
в
предыдущих
примерах
параграфа,
выбираем
из
каждого полученного в пункте 4 промежутка по произвольной точке и
находим значение в них второй производной (*).
На правом промежутке
(1; +∞)
выбираем точку 2:
𝑓
′′
(
2
)
= 12 ∙ 2
2
− 12 ∙ 2 = 12 ∙ 4 − 24 = 48 − 24 = 24 > 0.
На среднем промежутке
(0; 1)
выбираем точку, скажем,
1
2
:
𝑓
′′
(
2
)
= 12 ∙
(
1
2
)
2
− 12 ∙
1
2
= 12 ∙
1
4
− 6 = 3 − 6 = −3 < 0.
На левом промежутке
(−∞; 0)
выбрали, например, точку -1:
𝑓
′′
(
−1
)
= 12 ∙
(
−1
)
2
− 12 ∙
(
−1
)
= 12 ∙ 1 + 12 = 12 + 12 = 24 > 0.
Итак,
на
правом
промежутке
вторая
производная
положительна,
на
среднем
–
отрицательна, на левом – снова положительна. Таким образом, в обеих точках
меняется знак (в нуле – с плюса на минус, в единице – наоборот, с минуса на
плюс). Это значит, что обе точки являются по теореме точками перегиба.
Ответ:
𝑥
= 0,
𝑥
= 1
– точки перегиба.►
Пример 2.2. Найти точки перегиба функции
𝑓
(
𝑥
)
=
𝑥
3
2
−
12
𝑥
.
◄1. Находим вторую производную заданной функции:
𝑓
′
(
𝑥
)
=
(
𝑥
3
2
−
12
𝑥
)
′
=
(
𝑥
3
2
− 12 ∙
𝑥
−1
)
′
=
3
𝑥
2
2
− 12 ∙
(
−1
)
𝑥
−2
=
3
𝑥
2
2
+ 12
𝑥
−2
,
27
𝑓
′′
(
𝑥
)
=
(
3
𝑥
2
2
+ 12
𝑥
−2
)
′
=
3
2
∙ 2 + 12 ∙
𝑥
(
−2
)
∙
𝑥
−3
= 3 −
𝑥
24
𝑥
3
=
3
𝑥
4
− 24
𝑥
3
.
2. Находим точки, в которых производная равна нулю. Для этого
приравниваем производную к нулю.
𝑓
′′
(
𝑥
)
=
3
𝑥
4
− 24
𝑥
3
= 0.
Решаем полученное уравнение. Дробь равна нулю, когда ее числитель равен
нулю. Поэтому приравниваем к нулю числитель дроби.
3
𝑥
4
− 24 = 0,
3
𝑥
4
= 24,
𝑥
4
= 8,
𝑥
= ±
√
8
4
.
3. Находим точки, в которых вторая производная не существует. У
нас вторая производная представляет собой дробь
𝑓
′′
(
𝑥
)
=
3
𝑥
4
−24
𝑥
3
.
Когда дробь
не существует? Когда ее знаменатель равен нулю. А когда он равен нулю? Для
этого надо приравнять знаменатель к нулю, и, решив полученное уравнение,
мы получим точки, в которых знаменатель обращается в ноль. Сделаем это.
𝑥
3
= 0.
Отсюда
𝑥
= 0.
4.
Располагаем
на
числовой
прямой
точки,
полученные
в
пунктах
2
и
3.
Это
пришедшие
из
пункта 2 точки
𝑥
= ±
√
8
4
и из пункта 3 точка
𝑥
= 0.
5.
Расставляем
знаки
на
каждом
из
четырех
полученных
промежутков. Из каждого из промежутков выбираем по произвольному числу
и подставляем вместо переменной икс во вторую производную
𝑓
′′
(
𝑥
)
=
3
𝑥
4
− 24
𝑥
3
.
Промежуток
Точка
Значение второй производной
Ее
знак
28
(
√
8
4
; +∞)
𝑥
= 3
𝑓
′′
(
3
)
=
3 ∙ 3
4
− 24
3
3
=
3 ∙ 81 − 24
27
=
=
243 − 24
27
=
219
27
+
(0;
√
8
4
)
𝑥
= 1
𝑓
′′
(
1
)
=
3 ∙ 1
4
− 24
1
3
=
3 ∙ 1 − 24
1
=
=
3 − 24
1
= −21
-
(−
√
8
4
; 0)
𝑥
= −1
𝑓
′′
(
−1
)
=
3 ∙ (−1)
4
− 24
(−1)
3
=
3 ∙ 1 − 24
−1
=
=
3 − 24
−1
= 21
+
(−∞; −
√
8
4
)
𝑥
= −3
𝑓
′′
(
−3
)
=
3 ∙ (−3)
4
− 24
(−3)
3
=
3 ∙ 81 − 24
−27
=
=
243 − 24
−27
= −
219
27
-
Итак,
вторая
производная
положительна на интервалах
(
√
8
4
; +∞)
и
(−
√
8
4
; 0)
и
отрицательна
на
интервалах
(0;
√
8
4
)
и
(
−∞; −
√
8
4
)
.
Мы видим, что в каждой из трех точек
изменяется знак (в левой – с минуса на плюс, в средней – с плюса на минус, в
правой – с минуса на плюс). Это означает, что все три точки – точки перегиба.
Ответ:
𝑥
= ±
√
8
4
и
𝑥
= 0
– точки перегиба.►
Пример 2.3. Найти точки перегиба функции
𝑓
(
𝑥
)
=
∙
𝑥 𝑒
−
𝑥
.
◄1. Находим вторую производную заданной функции:
𝑓
′
(
𝑥
)
=
(
∙
𝑥 𝑒
−
𝑥
)
′
=
𝑥
′
∙
𝑒
−
𝑥
+
∙
𝑥
(
𝑒
−
𝑥
)
′
=
|
𝑒
−
𝑥
−
сложная функция
|
=
= 1 ∙
𝑒
−
𝑥
+
∙
𝑥 𝑒
−
𝑥
∙
(
−
𝑥
)
′
=
𝑒
−
𝑥
+
∙
𝑥 𝑒
−
𝑥
∙
(
−1
)
=
𝑒
−
𝑥
−
∙
𝑥 𝑒
−
𝑥
=
=
𝑒
−
𝑥
∙
(
1 −
𝑥
)
.
𝑓
′′
(
𝑥
)
=
(
𝑒
−
𝑥
∙
(
1 −
𝑥
)
)
′
=
(
𝑒
−
𝑥
)
′
∙
(
1 −
𝑥
)
+
𝑒
−
𝑥
∙
(
1 −
𝑥
)
′
=
=
|
𝑒
−
𝑥
−
сложная функция
|
=
𝑒
−
𝑥
∙
(
−
𝑥
)
′
∙
(
1 −
𝑥
)
+
+
𝑒
−
𝑥
∙
(
0 − 1
)
=
𝑒
−
𝑥
∙
(
−1
)
∙
(
1 −
𝑥
)
+
𝑒
−
𝑥
∙
(
−1
)
=
𝑒
−
𝑥
∙
(
−
𝑥
1
)
−
𝑒
−
𝑥
=
=
𝑒
−
𝑥
∙
(
(
−
𝑥
1
)
− 1
)
=
𝑒
−
𝑥
∙
(
−
𝑥
2
)
.
Итак,
𝑓
′′
(
𝑥
)
=
𝑒
−
𝑥
∙
(
−
𝑥
2
)
.
2. Находим точки, в которых производная равна нулю. Для этого
приравниваем производную к нулю.
29
𝑓
′′
(
𝑥
)
=
𝑒
−
𝑥
∙
(
−
𝑥
2
)
= 0.
Решаем
полученное
уравнение.
Слева
данного
уравнения
имеем
произведение, равное нулю. Произведение равно нулю, если хотя бы один из
сомножителей равен нулю. Отсюда получаем совокупность:
.
0
2
,
0
e
-x
х
Первое уравнение решений не имеет, ибо нет такой степени, в которой число
е дает ноль. Второе уравнение дает нам корень
𝑥
= 2.
3. Находим точки, в которых вторая производная не существует. Но
таких точек
в
нашем
случае нет, ибо вторая производная у нас
представляет собой
произведение двух функций
𝑓
′′
(
𝑥
)
=
𝑒
−
𝑥
∙
(
−
𝑥
2
)
,
которые определены на
всей вещественной оси, т.е. существуют везде.
4. Располагаем на числовой прямой точки,
полученные в пунктах 2 и 3. У нас такая точка
одна – точка
𝑥
= 2
из пункта 2. Пункт 3 точек не дал.
5.
Расставляем
знаки
на
каждом
из
четырех
полученных
промежутков. Из каждого из промежутков выбираем по произвольному числу
и подставляем вместо переменной икс во вторую производную
𝑓
′′
(
𝑥
)
=
𝑒
−
𝑥
∙
(
−
𝑥
2
)
.
Промежуток
Точка
Значение второй производной
Ее
знак
(2; +∞)
𝑥
= 3
𝑓
′′
(
3
)
=
𝑒
−3
∙
(
3 − 2
)
=
1
𝑒
3
∙ 1 =
1
𝑒
3
> 0
+
(−∞; 2)
𝑥
= 0
𝑓
′′
(
0
)
=
𝑒
−0
∙
(
0 − 2
)
=
𝑒
0
∙
(
−2
)
= 1 ∙
(
−2
)
= −2 < 0
-
Итак,
справа
от
точки
2
вторая
производная
положительна, слева – отрицательна. Значит, как
видно на рисунке справа, при переходе через точку 2 вторая производная
меняет знак. Это значит, что
𝑥
= 2
– точка перегиба.
Ответ:
𝑥
= 2
– точка перегиба. ►
Пример 2.4. Найти точки перегиба функции
𝑓
(
𝑥
)
=
√
−
𝑥
1
3
.
30
◄1. Находим вторую производную заданной функции. Данная функция
является сложной, ибо под корнем стоит не х, а х-1. Поэтому дифференцируем
ее как сложную:
′
𝑓
(
) =
𝑥
(√
−
𝑥
1
3
)
′
=
(
(
−
𝑥
1
)
1
3
)
′
=
1
3
(
−
𝑥
1
)
−
2
3
∙
(
−
𝑥
1
)
′
=
1
3
(
−
𝑥
1
)
−
2
3
∙
(
1 − 0
)
==
1
3
(
−
𝑥
1
)
−
2
3
∙ 1 =
1
3
(
−
𝑥
1
)
−
2
3
.
𝑓
′′
(
) =
𝑥
(
1
3
(
−
𝑥
1
)
−
2
3
)
′
=
1
3
∙
(
(
−
𝑥
1
)
−
2
3
)
′
=
1
3
∙
(
−
2
3
)
∙
(
−
𝑥
1
)
−
5
3
∙
(
−
𝑥
1
)
′
=
= −
2
9
∙
(
−
𝑥
1
)
−
5
3
∙
(
1 − 0
)
= −
2
9
∙
(
−
𝑥
1
)
−
5
3
∙ 1 = −
2
9 ∙
(
−
𝑥
1
)
5
3
= −
2
9 ∙
√
(
−
𝑥
1
)
5
3
.
2. Находим точки, в которых производная равна нулю. Для этого
приравниваем производную к нулю.
𝑓
′′
(
𝑥
)
= −
2
9 ∙
√
(
−
𝑥
1
)
5
3
= 0.
Решим данное уравнение. Оно представляет собой дробь, приравненную к
нулю. Когда дробь равна нулю? Когда числитель равен нулю:
2 = 0.
Но такого не бывает. Следовательно, исходное уравнение решений не имеет,
и потому на данном этапе стационарных точек мы не получаем.
3. Находим точки, в которых вторая производная не существует. Как
мы уже выяснили, вторая производная представляет собой дробь
𝑓
′′
(
𝑥
)
=
−
2
9∙
√
(
−
𝑥
1
)
5
3
.
В каких точках дробь не существует? В точках, обращающих
знаменатель в ноль. Найдем их.
9 ∙
√
(
−
𝑥
1
)
5
3
= 0, |: 9
√
(
−
𝑥
1
)
5
3
= 0,
(
−
𝑥
1
)
5
= 0,
−
𝑥
1 = 0,
𝑥
= 1.
Получили одну точку.
4. Располагаем на числовой прямой точки,
полученные в пунктах 2 и 3. У нас такая точка одна – точка
𝑥
= 1
из пункта
3. Она разбивает числовую ось на два промежутка
(1; +∞)
и
(−∞; 1)
.
31
5.
Расставляем
знаки
на
каждом
из
четырех
полученных
промежутков. Из каждого из промежутков выбираем по произвольному числу
и подставляем вместо переменной икс во вторую производную
𝑓
′′
(
𝑥
)
=
−
2
9∙
√
(
−
𝑥
1
)
5
3
.
Промежуток
Точка
Значение второй производной
Ее
знак
(1; +∞)
𝑥
= 2
𝑓
′′
(
2
)
= −
2
9 ∙
√
(
2 − 1
)
5
3
= −
2
9 ∙
√
1
5
3
= −
2
9 ∙ 1
= −
2
9
<< 0
-
(−∞; 1)
𝑥
= 0
𝑓
′′
(
0
)
= −
2
9 ∙
√
(
0 − 1
)
5
3
= −
2
9 ∙
√
(
−1
)
5
3
= −
2
9 ∙
√
−1
3
=
= −
2
9 ∙
(
−1
)
= −
2
−9
=
2
9
> 0
+
Получили,
что
в
точке
𝑥
= 1
знак
второй
производной меняется. Значит, точка
𝑥
= 1
является
точкой
перегиба
для
исходной
функции.
Других
точек перегиба нет, ибо нет других стационарных точек.
Ответ:
𝑥
= 1
– точка перегиба. ►
Таким образом, точками перегиба функции могу быть только точки,
находимые в пунктах 2 и 3. Никакие другие точки не могут быть точками
перегиба. Однако бывают случаи, когда найденные в пунктах 2 и 3 точки также
не являются точками перегиба. Проиллюстрируем это на небольшом примере.
Пример 2.5. Найти точки перегиба функции
𝑓
(
𝑥
)
=
𝑥
4
− 5 + 3.
𝑥
◄1. Находим вторую производную заданной функции.
𝑓
′
(
) =
𝑥
(
𝑥
4
− 5 + 3
𝑥
)
′
= 4
𝑥
3
− 5 ∙ 1 + 0 = 4
𝑥
3
− 5,
𝑓
′′
(
𝑥
)
=
(
4
𝑥
3
− 5
)
′
= 4 ∙ 3
𝑥
2
− 0 = 12
𝑥
2
.
2. Находим точки, в которых производная равна нулю. Для этого
приравниваем производную к нулю.
𝑓
′′
(
𝑥
)
= 12
𝑥
2
= 0, |: 12
𝑥
2
= 0,
𝑥
= 0.
3. Находим точки, в которых вторая производная не существует.
Имеем в качестве второй производной квадратичную функцию
𝑓
′′
(
𝑥
)
= 12
𝑥
2
,
32
которая определена на всей вещественной оси. Так что точек, в которых
функция не существует, не имеем.
4. Таким образом, из пунктов 2 и 3 получаем
всего одну точку
𝑥
= 0.
Она разбивает ось на два
промежутка
(0; +∞)
и
(−∞; 0)
.
5.
Расставляем
знаки
на
каждом
из
четырех
полученных
промежутков. Из каждого из промежутков выбираем по произвольному числу
и подставляем вместо переменной икс во вторую производную
𝑓
′′
(
𝑥
)
= 12
𝑥
2
.
Промежуток
Точка
Значение второй производной
Ее
знак
(0; +∞)
𝑥
= 1
𝑓
′′
(
1
)
= 12 ∙ 1
2
= 12 ∙ 1 = 12 > 0,
+
(−∞; 0)
𝑥
= −1
𝑓
′′
(
−1
)
= 12 ∙
(
−1
)
2
= 12 ∙ 1 = 12 > 0
+
Как
мы
видим,
в
точке
𝑥
= 0
знак
второй
производной не меняется: как был плюсом слева,
так и остался плюсом справа. А раз знак не изменился,
то точка
𝑥
= 0
не является точкой перегиба исходной
функции, и так как в пунктах 2 и 3 других точек
найдено не было, то получается, что точек перегиба
исходная функция
𝑓
(
𝑥
)
=
𝑥
4
− 5 + 3
𝑥
не имеет.
Справа приведен график функции
𝑓
(
𝑥
)
=
𝑥
4
−
5 + 3.
𝑥
Действительно, на всей вещественной оси он
расположен выпуклостью вниз, направление ее нигде
не
меняется.
Соответственно,
раз
нет
смены
направления выпуклости (оно везде одно – вниз), то
нет и точек перегиба.
Ответ:
функция не имеет точек перегиба
. ►
В
данном
примере
предполагаемая
точка
перегиба не стала таковой по причине того, что при
переходе через нее вторая производная не меняет знак.
Второй
вариант,
почему
точка
не
будет
точкой
перегиба – она не удовлетворяет ОДЗ.
Построение графиков функций.
При
построении
графиков
функций
следует
руководствоваться следующим планом:
1.
Найти область определения функции.
33
2.
Найти точки пересечения функции с осями координат.
3.
Выяснить, является ли функция периодической.
4.
Выяснить вопрос о четности/нечетности.
5.
Найти горизонтальные, вертикальные и наклонные асимптоты.
6.
Найти промежутки возрастания/убывания функции.
7.
Найти точки экстремума функции.
8.
Исследовать функцию на выпуклость.
9.
Найти точки перегиба функции.
10.
При необходимости найти еще несколько дополнительных точек для
более точного построения графика.
На основании проведенного по данному плану исследования строится
график. Но по данному плану необходимы некоторые пояснения. Приведем
их.
№ пункта
плана
Пояснение
1.
Ясно из школьной программы.
2.
А) Чтобы найти точки пересечения графика функции
𝑓
(
)
𝑥
с
осью Ох, необходимо решить уравнение
𝑓
(
𝑥
)
= 0
.
Б) Чтобы найти точку пересечения графика функции
𝑓
(
)
𝑥
с
осью Оу, необходимо вместо икса в функцию подставить 0.
3.
Функция
является
периодической,
если
существует
поло-
жительное число
𝑇
такое, что для любого
𝑥
верно равенство
𝑓
(
𝑥
+
𝑇
)
=
𝑓
(
𝑥
)
.
Примеры периодических функций – тригоно-
метрические: у синуса и косинуса период
𝑇
= 2
,
𝜋
у тангенса и
котангенса
𝑇
=
.
𝜋
4.
Функция называется четной, если для любого
𝑥
верно равен-
ство
𝑓
(
−
𝑥
)
=
𝑓
(
𝑥
)
.
Функция называется нечетной, если для
любого
𝑥
верно равенство
𝑓
(
−
𝑥
)
= −
𝑓
(
𝑥
)
.
Если функция не
является ни четной, ни нечетной (т.е. ни одно из вышеупомя-
нутых равенств не выполняется), то она называется функцией
общего
вида.
График
четной
функции
симметричен
относительно оси Оу. График нечетной функции симметричен
относительно
начала
координат.
Поэтому
при
построении
графиков
таких
функций
достаточно
построить
любую
удобную из «половинок» графика, а затем соответствующим
образом отразить на вторую половинку.
5.
Вертикальные
асимптоты
имеют
уравнение
𝑥
=
𝑎
.
Они
возникают в тех точках оси Ох, где функция терпит разрыв.
Чтобы их найти, достаточно посмотреть в п. 1 настоящего
плана. Горизонтальные и наклонные асимптоты ищутся в виде
𝑦
=
+
,
𝑘𝑥
𝑏
где
34
𝑘
= lim
→∞
𝑥
𝑓
(
)
𝑥
𝑥
= lim
и
𝑏
→∞
𝑥
(
𝑓
(
𝑥
)
−
𝑘𝑥
)
.
6.
Алгоритм нахождения этих промежутков см. выше в данной
лекции.
7.
Алгоритмы нахождения точек экстремума см. выше в данной
лекции.
8.
Алгоритм нахождения промежутков выпуклости см. выше в
данной лекции.
9.
Алгоритм
нахождения точек
перегиба
см.
выше
в
данной
лекции.
Пример. Построить график функции
𝑓
(
𝑥
)
=
𝑥
3
− 2
𝑥
2
+
.
𝑥
◄1. Т.к. функция представляет собой многочлен, ее область определения
– вся вещественная ось. Т.о.,
𝐷
(
𝑓
)
=
(
−∞; +∞
)
.
2. Находим точки пересечения с осью
𝑂𝑥
, решая уравнение
𝑓
(
𝑥
)
= 0.
𝑥
3
− 2
𝑥
2
+
= 0,
𝑥
𝑥
(
𝑥
2
− 2 + 1
𝑥
)
= 0.
Когда произведение равно нулю? Когда хотя бы один из множителей равен
нулю. Получим совокупность уравнений
[
𝑥
= 0,
𝑥
2
− 2 + 1 = 0.
𝑥
Первое уравнение уже решено. Второе уравнение является квадратным. Решая
его, получаем нулевой дискриминант и, соответственно, один корень
𝑥
= 1.
Поэтому последняя совокупность выглядит так:
[
𝑥
= 0,
𝑥
= 1.
Значит, функция пересекает ось
𝑂𝑥
в точках
𝑥
= 0
и
𝑥
= 1.
Чтобы найти точку пересечения с осью
𝑂𝑦
, подставим в функцию 0
вместо переменной
𝑥
:
𝑓
(
0
)
= 0
3
− 2 ∙ 0
2
+ 0 = 0 − 2 ∙ 0 + 0 = 0 − 0 + 0 = 0.
Значит, функция пересекает ось
𝑂𝑦
в точке
(
0; 0
)
.
3. Многочлен периодическим не является.
4.
𝑓
(
−
𝑥
)
=
(
−
𝑥
)
3
− 2 ∙
(
−
𝑥
)
2
+
(
−
𝑥
)
= −
𝑥
3
− 2
𝑥
2
−
𝑥
.
При этом исход-
ная функция
𝑓
(
𝑥
)
=
𝑥
3
− 2
𝑥
2
+
𝑥
, а
35
−
𝑓
(
𝑥
)
= −
(
𝑥
3
− 2
𝑥
2
+
𝑥
)
= −
𝑥
3
+ 2
𝑥
2
−
𝑥
.
Видим, что
𝑓
(
−
𝑥
)
не равна ни
𝑓
(
𝑥
)
,
ни
−
𝑓
(
𝑥
)
.
Посему имеем функцию общего
вида. Поэтому (увы!) график не будет симметричным ни относительно осей,
ни относительно начала координат.
5. Т.к. в п.1 никаких ограничений нет, то и вертикальных асимптот тоже
нет. Проверим, есть ли горизонтальные или наклонные. Имеем:
𝑘
= lim
→∞
𝑥
𝑓
(
𝑥
)
𝑥
= lim
→∞
𝑥
𝑥
3
− 2
𝑥
2
+
𝑥
𝑥
= lim
→∞
𝑥
(
𝑥
2
− 2 + 1
𝑥
)
= ∞.
Раз
𝑘
= ∞,
то и других асимптот тоже нет (чтобы были – необходимо, чтобы
получилось число).
6.
Находим промежутки возрастания/убывания функции.
Находим производную:
𝑓
′
(
𝑥
)
=
(
𝑥
3
− 2
𝑥
2
+
𝑥
)
′
= 3
𝑥
2
− 2 ∙ 2 + 1 = 3
𝑥
𝑥
2
− 4 + 1.
𝑥
Выясняем, когда эта производная положительна, когда отрицательна.
Находим точки, в которых производная равна нулю или терпит разрыв. В
нашем случае производная вновь представляет собой многочлен, а многочлен
разрывов не имеет. Следовательно, осталось понять, когда он равен нулю. Для
этого приравниваем производную к нулю:
3
𝑥
2
− 4 + 1 = 0.
𝑥
Решая данное квадратное уравнение, получим два корня
𝑥
1
= 1,
𝑥
2
=
1
3
.
Расставляем
знаки.
Смотрим
именно
на
производную:
𝑓
′
(
) = 3
𝑥
𝑥
2
− 4 + 1
𝑥
, знаки смотрим по
ней.
Производная положительна на промежутках
(−∞;
1
3
)
и
(
1; +∞
)
.
Следо-
вательно, на этих же промежутках исходная функция, согласно теореме, воз-
растает. Производная отрицательна на промежутке
(
1
3
; 1
)
,
следовательно, на
нем исходная функция, согласно теореме, убывает.
7. Из п. 6 видно, что производная в точке
𝑥
2
=
1
3
меняет знак с плюса на
минус. Поэтому данная точка – точка максимума. В точке
𝑥
1
= 1
производная
меняет знак с минуса на плюс. Значит, имеем точку минимума.
𝑓
(
1
3
)
=
(
1
3
)
3
− 2 ∙
(
1
3
)
2
+
1
3
=
1
27
− 2 ∙
1
9
+
1
3
=
1
27
−
2
9
+
1
3
=
4
27
.
𝑓
(
1
)
= 1
3
− 2 ∙ 1
2
+ 1 = 1 − 2 ∙ 1 + 1 = 1 − 2 + 1 = 0.
Итак,
(
1
3
;
4
27
)
– точка максимума, (1;0) – точка минимума.
8. Найдем промежутки выпуклости функции.
36
Найдем вторую производную исходной функции
.
В п. 6 было
𝑓
′
(
𝑥
)
= 3
𝑥
2
− 4 + 1,
𝑥
поэтому
𝑓
′′
(
𝑥
)
=
(
3
𝑥
2
− 4 + 1
𝑥
)
′
= 3 ∙ 2 − 4 ∙ 1 + 0 = 6 − 4.
𝑥
𝑥
Приравняем вторую производную к нулю и найдем корни полученного
уравнения.
6 − 4 = 0.
𝑥
Решаем полученное уравнение:
6 = 4,
𝑥
𝑥
=
4
6
,
𝑥
=
2
3
.
Получили одну стационарную точку:
𝑥
=
2
3
.
Ось Ох тем самым разбивается на два промежутка:
слева и справа от этой точки.
Вспомним,
что
вторая
производная
у
нас
была
𝑓
′′
(
𝑥
)
= 6 − 4.
𝑥
Определим
ее
знак
на
каждом из двух полученных промежутков. Берем совершенно произвольное
число, какое нам нравится, из правого промежутка, скажем, 10 (можно взять
любое другое по своему вкусу) и подставляем вместо переменной икс во
вторую
производную:
′′
𝑓
(
10
)
= 6 ∙ 10 − 4 = 60 = 56 > 0.
На
правом
промежутке получили положительное число, значит, здесь, согласно теореме,
имеет место выпуклость вниз.
Аналогично с левым промежутком: выбираем из него произвольное
число, например, 0, и подставляем его вместо переменной икс во вторую
производную:
′′
𝑓
(
0
)
= 6 ∙ 0 − 4 = 0 − 4 = −4 < 0.
Получили,
что
на
левом
промежутке
вторая производная отрицательна, а потому,
согласно теореме, на этом промежутке имеем
выпуклость вверх. На правом же промежутке
имеем
выпуклость
вниз,
т.к.
там
вторая
производная положительна.
9. По определению найденная в п. 8 точка
𝑥
=
2
3
есть точка перегиба, т.к.
в ней знак второй производной меняется.
10. При необходимости берем еще дополнительные точки и на основании
проведенного исследования строим график. ►
37
Пример. Построить график функции
38
𝑓
(
𝑥
)
=
−
𝑥
1
𝑥
+ 1
.
◄1.
Т.к.
функция
имеет
знаменатель,
то
из
области
определения
необходимо исключить точки, в которых он обращается в ноль. Решая уравне-
ние
𝑥
+ 1 = 0,
получаем точку
𝑥
= −1.
Как и было сказано выше, исключаем
ее из области определения. Таким образом,
𝐷
(
𝑓
)
=
(
−∞; −1
)
∪
(
−1; +∞
)
.
2. Находим точки пересечения с осью
𝑂𝑥
, решая уравнение
𝑓
(
𝑥
)
= 0.
Когда дробь равна нулю? Когда ее числитель равен нулю:
−
𝑥
1 = 0.
Получаем
𝑥
= 1.
Значит, функция пересекает ось
𝑂𝑥
в точке
𝑥
= 1.
Чтобы найти точку пересечения с осью
𝑂𝑦
, подставим в функцию 0
вместо переменной
𝑥
:
𝑓
(
0
)
=
0 − 1
0 + 1
=
−1
1
= |
| = −1.
делим
Значит, функция пересекает ось
𝑂𝑦
в точке
(
0; −1
)
.
3. Дробь периодической не является.
4. Имеем
𝑓
(
𝑥
)
=
−
𝑥
1
𝑥
+ 1
,
𝑓
(
−
𝑥
)
=
− −
𝑥
1
−
𝑥
+ 1
=
−(
+ 1)
𝑥
−(
− 1)
𝑥
= |
− 1| =
делим на
𝑥
+ 1
−
𝑥
1
,
−
𝑓
(
𝑥
)
= −
−
𝑥
1
𝑥
+ 1
.
Видим, что
𝑓
(
−
𝑥
)
не равна ни
𝑓
(
𝑥
)
,
ни
−
𝑓
(
𝑥
)
.
Посему имеем функцию общего
вида. Поэтому, к сожалению, график не будет симметричным ни относительно
осей, ни относительно начала координат.
5. Т.к. в п.1 из области определения исключена точка
𝑥
= −1,
то
𝑥
= −1
– уравнение вертикальной асимптоты. Проверим, есть ли горизонтальные или
наклонные. Имеем:
𝑘
= lim
→∞
𝑥
𝑓
(
𝑥
)
𝑥
= lim
→∞
𝑥
−
𝑥
1
𝑥
+ 1
𝑥
= lim
→∞
𝑥
−
𝑥
1
𝑥
(
𝑥
+ 1
)
= lim
→∞
𝑥
−
𝑥
1
𝑥
2
+
𝑥
=
39
=
|
,
.
.
делим числитель и знаменатель на старшую степень т е на
𝑥
2
|
=
= lim
→∞
𝑥
−
𝑥
1
𝑥
2
𝑥
2
+
𝑥
𝑥
2
= lim
→∞
𝑥
𝑥
𝑥
2
−
1
𝑥
2
𝑥
2
𝑥
2
+
𝑥
𝑥
2
=
|
,
сократим что можно
|
= lim
→∞
𝑥
1
𝑥
−
1
𝑥
2
1 +
1
𝑥
=
=
|
дроби
1
𝑥
и
1
𝑥
2
→ ∞
0
при
стремятся к
𝑥
|
=
0 − 0
1 + 0
=
0
1
= |
| = 0.
делим
Итак,
𝑘
= 0
. Далее,
𝑏
= lim
→∞
𝑥
(
𝑓
(
𝑥
)
−
𝑘𝑥
)
= lim
→∞
𝑥
(
−
𝑥
1
𝑥
+ 1
− 0 ∙
𝑥
)
= lim
→∞
𝑥
(
−
𝑥
1
𝑥
+ 1
− 0
)
= lim
→∞
𝑥
−
𝑥
1
𝑥
+ 1
=
=
|
,
.
.
делим числитель и знаменатель на старшую степень т е на
𝑥
|
=
= lim
→∞
𝑥
−
𝑥
1
𝑥
𝑥
+ 1
𝑥
= lim
→∞
𝑥
𝑥
𝑥
−
1
𝑥
𝑥
𝑥
+
1
𝑥
=
|
,
сокращаем что можно
|
= lim
→∞
𝑥
1 −
1
𝑥
1 +
1
𝑥
=
=
|
дробь
1
𝑥
→ ∞
при
стремится к нулю
𝑥
|
=
1 − 0
1 + 0
=
1
1
= |
| = 1.
делим
Итак,
𝑘
= 0,
= 1.
𝑏
Т.е. уравнение асимптоты имеет вид
𝑦
=
+
,
𝑘𝑥
𝑏
𝑦
= 0 ∙
+ 1,
𝑥
𝑦
= 0 + 1,
𝑦
= 1.
Таким образом, получаем горизонтальную асимптоту
𝑦
= 1.
6. Находим промежутки возрастания/убывания функции.
Находим производную:
𝑓
′
(
𝑥
)
=
(
−
𝑥
1
𝑥
+ 1
)
′
=
|
производная частного
|
=
=
(
−
𝑥
1
)
′
(
𝑥
+ 1
)
−
(
−
𝑥
1
)(
𝑥
+ 1
)
′
(
𝑥
+ 1
)
2
=
(
1 − 0
)(
𝑥
+ 1
)
−
(
−
𝑥
1
)(
1 + 0
)
(
𝑥
+ 1
)
2
=
=
1 ∙
(
𝑥
+ 1
)
− (
− 1) ∙ 1
𝑥
(
𝑥
+ 1
)
2
=
𝑥
+ 1 − (
− 1)
𝑥
(
𝑥
+ 1
)
2
=
𝑥
+ 1 −
+ 1
𝑥
(
𝑥
+ 1
)
2
=
2
(
𝑥
+ 1
)
2
.
Выясняем, когда эта производная положительна, когда отрицательна.
Находим точки, в которых производная равна нулю или терпит разрыв. В
нашем случае производная вновь представляет собой дробь. Она равна нулю,
когда числитель равен нулю. В нашем случае – он нулю никогда не равен, а
40
равен 2. Терпит ли дробь разрыв? Да, в точке, где знаменатель обращается в
ноль, т.е. в точке
𝑥
= −1.
Расставляем знаки. Смотрим именно на
производную:
𝑓
′
(
) =
𝑥
2
(
𝑥
+1
)
2
, знаки смотрим по
ней.
Производная положительна на
промежутках
(−∞; −1)
и
(
−1; +∞
)
.
Следовательно, на этих же промежутках исходная функция, согласно теореме,
возрастает. Производная отрицательной не бывает, значит, функция нигде не
убывает.
7. Из п. 6 видно, что производная нигде не меняет знак. Значит, точек
экстремума наша функция не имеет.
8. Найдем промежутки выпуклости функции.
Найдем вторую производную исходной функции
.
В п. 6 было
𝑓
′
(
𝑥
)
=
2
(
𝑥
+ 1
)
2
,
поэтому
𝑓
′′
(
𝑥
)
=
(
2
(
𝑥
+ 1
)
2
)
′
=
(
2 ∙
(
𝑥
+ 1
)
−2
)
′
=
=
|
производная сложной функции
|
= −4 ∙
(
𝑥
+ 1
)
−3
= −
4
(
𝑥
+ 1
)
3
.
Нулю вторая производная не равна, терпит разрыв в точке
𝑥
= −1.
Получили одну стационарную точку
𝑥
= −1
. Ось Ох тем самым разбивается на
два
промежутка: слева
и
справа
от
этой
точки.
Вспомним,
что
вторая
производная
у
нас
была
𝑓
′′
(
𝑥
)
= −
4
(
𝑥
+1
)
3
.
Определим ее знак на каждом из двух полученных промежутков. Берем
совершенно произвольное число, какое нам нравится, из правого промежутка,
скажем, 0 (можно взять любое другое по своему вкусу) и подставляем вместо
переменной икс во вторую производную:
𝑓
′′
(0) = −
4
(
0 + 1
)
3
= −
4
1
3
= −
4
1
= −4 < 0.
На правом промежутке получили отрицательное число, значит, здесь, согласно
теореме, имеет место выпуклость вверх.
Аналогично с левым промежутком: выбираем из него произвольное
число, например,
−2
, и подставляем его вместо переменной икс во вторую
производную:
𝑓
′′
(−2) = −
4
(
−2 + 1
)
3
= −
4
(
−1
)
3
= −
4
−1
= 4 > 0.
41
Получили,
что
на
левом
промежутке
вторая производная положительна, а потому,
согласно теореме, на этом промежутке имеем
выпуклость вниз. На правом же промежутке
имеем выпуклость вверх, т.к. там вторая производная положительна.
9. Вроде бы в точке
𝑥
= −1
вторая производная меняет знак, так что если
бы эта точка входила в область определения (см. п.1), то была бы точкой
перегиба. Но т.к. не входит, то точкой перегиба не является.
10. При необходимости берем еще дополнительные точки и на основании
проведенного исследования строим график. ►
Пример. Построить график функции
𝑓
(
𝑥
)
=
+
𝑥
4
𝑥
.
42
◄1. Т.к. функция имеет знаменатель, то из области определения необхо-
димо исключить точки, в которых он обращается в ноль. Очевидно, происхо-
дит это в точке точку
𝑥
= 0.
Как и было сказано выше, исключаем ее из обла-
сти определения. Таким образом,
𝐷
(
𝑓
)
=
(
−∞; 0
)
∪
(
0; +∞
)
.
2. Находим точки пересечения с осью
𝑂𝑥
, решая уравнение
𝑓
(
𝑥
)
= 0.
𝑥
+
4
𝑥
= 0,
или, после приведения к общему знаменателю,
𝑥
2
+ 4
𝑥
= 0.
Когда дробь равна нулю? Когда ее числитель равен нулю. Следовательно
нужно решить уравнение
𝑥
2
+ 4 = 0.
Оно сводится, очевидно, к уравнению
𝑥
2
= −4.
Оно вещественных корней не имеет, поэтому нет таких точек, в которых гра-
фик функции пересекает ось
𝑂𝑥
.
Чтобы найти точку пересечения с осью
𝑂𝑦
, нужно подставить в функцию
ноль вместо переменной
𝑥
;
сделать это, однако, невозможно, ибо по п.1 ноль
не входит в область определения функции. Значит, с осью
𝑂𝑦
график также не
пересекается.
3. Дробь периодической не является.
4. Имеем
𝑓
(
−
𝑥
)
= − +
𝑥
4
−
𝑥
= − −
𝑥
4
𝑥
.
При этом исходная функция
𝑓
(
𝑥
)
=
=
+
𝑥
4
𝑥
, а
−
𝑓
(
𝑥
)
= −
(
𝑥
+
4
𝑥
)
= − −
𝑥
4
𝑥
.
Видим, что выражение
𝑓
(
−
𝑥
)
совпадает с выражением
−
𝑓
(
𝑥
)
,
т.е. выполнено
равенство
𝑓
(
−
𝑥
)
= −
𝑓
(
𝑥
)
.
Значит, по определению (см. таблицу на странице
33) функция нечетна, и поэтому ее график будет симметричен относительно
начала координат.
5. Т.к. в п.1 из области определения убрана точка
𝑥
= 0,
то
𝑥
= 0
есть
уравнение вертикальной асимптоты графика. Проверим, есть ли горизонта-
льные или наклонные асимптоты. Имеем:
43
𝑘
= lim
→∞
𝑥
𝑓
(
𝑥
)
𝑥
= lim
→∞
𝑥
𝑥
+
4
𝑥
𝑥
= lim
→∞
𝑥
(
1 +
4
𝑥
2
)
=
=
|
дробь
4
𝑥
2
стремится к нулю
|
= 1 + 0 = |
| = 1.
считаем
Итак,
𝑘
= 1
. Далее,
𝑏
= lim
→∞
𝑥
(
𝑓
(
𝑥
)
−
𝑘𝑥
)
= lim
→∞
𝑥
(
𝑥
+
4
𝑥
− 1 ∙
𝑥
)
= lim
→∞
𝑥
(
𝑥
+
4
𝑥
−
𝑥
)
=
= |
| = lim
иксы взаимно уничтожаются
→∞
𝑥
4
𝑥
= 0.
Итак,
𝑘
= 1,
= 0.
𝑏
Т.е. уравнение асимптоты имеет вид
𝑦
=
+
,
𝑘𝑥
𝑏
𝑦
= 1 ∙
+ 0,
𝑥
𝑦
=
+ 0,
𝑥
𝑦
=
.
𝑥
Таким образом, получаем наклонную асимптоту
𝑦
=
.
𝑥
6. Находим промежутки возрастания/убывания функции.
Находим производную:
𝑓
′
(
𝑥
)
=
(
𝑥
+
4
𝑥
)
′
=
(
𝑥
+ 4
𝑥
−1
)
′
=
|
производная суммы
|
=
𝑥
′
+ 4 ∙
(
𝑥
−1
)
′
=
=
|
по таблице производных
|
= 1 + 4 ∙
(
−1
)
∙
𝑥
−2
= 1 − 4
𝑥
−2
= 1 −
4
𝑥
2
=
= |
| =
привели к общеису знаменателю
𝑥
2
− 4
𝑥
2
.
Выясняем, когда эта производная положительна, когда отрицательна.
Находим точки, в которых производная равна нулю или терпит разрыв.
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю. Потому решаем
уравнение
𝑥
2
− 4 = 0.
Имеем
𝑥
2
= 4,
𝑥
= ±2.
Дробь терпит разрыв, когда ее знаменатель обращается в ноль. Потому
решаем уравнение
𝑥
2
= 0.
Здесь имеем, очевидно,
44
𝑥
= 0.
Итак, имеем три точки:
𝑥
= −2,0,2.
Расставляем знаки. Смотрим именно
на
производную:
𝑓
′
(
) =
𝑥
𝑥
2
−4
𝑥
2
,
знаки
смотрим по ней.
Производная положительна на промежутках
(−∞; −2)
и
(
2; +∞
)
.
Следо-
вательно, на этих же промежутках исходная функция возрастает. Производная
отрицательна на промежутках
(
−2; 0
)
и
(
0; 2
)
,
следовательно, на нем исходная
функция, согласно теореме, убывает.
7. Из п. 6 видно, что производная в точке
𝑥
2
= −2
меняет знак с плюса на
минус. Поэтому данная точка – точка максимума. В точке
𝑥
1
= 2
производная
меняет знак с минуса на плюс. Значит, имеем точку минимума.
𝑓
(
−2
)
= −2 +
4
−2
= −2 +
(
−2
)
= −4.
𝑓
(
2
)
= 2 +
4
2
= 2 + 2 = 4.
Итак,
(−2; −4)
– точка максимума, (2;4) – точка минимума.
8. Найдем промежутки выпуклости функции.
Найдем вторую производную исходной функции
.
В п. 6 было
𝑓
′
(
𝑥
)
= 1 − 4
𝑥
−2
,
поэтому
𝑓
′′
(
𝑥
)
=
(
1 − 4
𝑥
−2
)
′
=
|
производная разности
|
= 1
′
− 4 ∙
(
𝑥
−2
)
′
=
=
|
по таблице производных
|
= 0 − 4 ∙
(
−2
)
∙
𝑥
−3
= 0 + 8
𝑥
−3
= 8
𝑥
−3
=
=
8
𝑥
3
.
Бывает
ли
вторая
производная
равна
нулю?
Нет.
Ведь
для
этого
числитель дроби должен быть равен нулю. А он у нас постоянно равен 8. Но
есть точка, в которой вторая производная терпит разрыв: это точка
𝑥
= 0,
благодаря которой знаменатель обращается в ноль (решили уравнение
𝑥
3
= 0
и получили точку
𝑥
= 0
).
Получили одну стационарную точку:
𝑥
= 0
.
Ось Ох тем самым разбивается на два промежутка:
слева и справа от этой точки.
Вспомним, что вторая производная у нас была
𝑓
′′
(
𝑥
)
=
8
𝑥
3
.
Определим ее
знак
на
каждом
из
двух
полученных
промежутков.
Берем
совершенно
произвольное число, какое нам нравится, из правого промежутка, скажем, 1
(можно
взять
любое
другое
по
своему
вкусу)
и
подставляем
вместо
переменной икс во вторую производную:
𝑓
′′
(1) =
8
1
3
=
8
1
= 8 > 0.
На правом
промежутке получили положительное число, значит, здесь, согласно теореме,
имеет место выпуклость вниз.
45
Аналогично с левым промежутком: выбираем из него произвольное
число, например, 0, и подставляем его вместо переменной икс во вторую
производную:
′′
𝑓
(
−1
)
=
8
(−1)
3
=
8
−1
= −8 < 0.
Получили,
что
на
левом
промежутке
вторая
производная
отрицательна,
а
потому,
согласно
теореме,
на
этом
промежутке
имеем выпуклость вверх. На правом же промежутке
имеем выпуклость вниз, т.к. там вторая производная
положительна.
9. По определению найденная в п. 8 точка
𝑥
= 0
была бы точкой перегиба,
если бы входила в область определения (см. п.1) Но т.к. не входит, то и точкой
перегиба не является. Т.к. других кандидатов на это звание в п.8 также не обна-
ружилось, то и других точек перегиба функция тоже не имеет.
10. При необходимости берем еще дополнительные точки и на основании
проведенного исследования строим график. ►
46