Автор: Сагателян Аршак Дереникович
Должность: студент физического факультета
Учебное заведение: МГУ им. М. В. Ломоносова;
Населённый пункт: г. Москва;
Наименование материала: Методическая разработка
Тема: Преобразования, уравнения повышенной сложности
Раздел: полное образование
Задание №6.
Уравнения
Задание №7.
Преобразования
Задание №9.
Задачи с прикладным
содержанием
Задание №10.
Текстовые задачи
Задание №13.
Уравнения повышенной
сложности
Аршак Сагателян
ОГЛАВЛЕНИЕ
Преобразования.
4
1. Дроби.
4
1.1. Обыкновенные дроби.
4
1.2. Смешанные дроби.
6
1.3. Десятичные дроби.
6
2. Проценты.
8
2.1. Процент от числа.
8
2.2. Прибавить процент к числу. Вычесть процент от числа.
8
3. Формулы сокращенного умножения и другие.
10
4. Показательная функция. Свойства степеней. Корень.
11
5. Модуль.
13
6. Логарифм и его свойства.
14
7. Тригонометрия.
16
7.1. Тригонометрическая окружность.
16
7.2. Формулы приведения.
19
7.3. Таблица значений тригонометрической функции углов.
20
7.4. Основные формулы тригонометрии.
20
Уравнения
25
1. Линейные уравнения.
26
2. Квадратные уравнения.
27
2.1. Частные случаи.
28
3. Кубические уравнения.
28
4. Дробно-рациональные уравнения.
29
5. Уравнения с модулем.
32
6. Иррациональные уравнения.
33
7. Показательные уравнения.
34
8. Логарифмические уравнения.
35
9. Простейшие тригонометрические уравнения.
39
Задачи с прикладным содержанием.
49
1. Линейные уравнения и неравенства.
49
2. Дробно-рациональные уравнения и неравенства.
50
3. Квадратные и степенные уравнения и неравенства.
51
4. Показательные и иррациональные уравнения и неравенства.
52
5. Логарифмические уравнения и неравенства.
53
6. Тригонометрические уравнения и неравенства.
54
Текстовые задачи.
55
1. Задачи на движение.
55
1.1. Скорость сближения.
55
1.2. Средняя скорость.
55
Аршак Сагателян
2. Задачи на совместную работу.
56
3. Задачи на проценты, сплавы и смеси.
57
4. Задачи на прогрессии.
58
4.1. Последовательности.
58
4.2. Арифметическая последовательность.
58
4.3. Геометрическая последовательность.
59
Уравнения повышенной сложности.
61
1. Разложение левой части на множители
61
2. Однородные тригонометрические уравнения.
62
3. Уравнения, сводящиеся к квадратным.
62
4. Минимаксные задачи в тригонометрии.
64
5. Отбор корней.
64
5.1. Тригонометрическая окружность.
64
5.2. Метод подбора.
65
Аршак Сагателян
Преобразования.
Преобразования являются важной темой в том и для решении уравнений и задач с прикладным содер-
жанием. Поэтому, несмотря на то, что уравнения в 1-ой части ЕГЭ встречаются под порядковым но-
мером
, а преобразования и задачи с прикладным содержанием – следующие после него задания, мы все
таки рассмотрим теорию для них раньше, поскольку некоторые уравнения без дополнительных преоб-
разований решить довольно проблематично.
1. Дроби.
1.1. Обыкновенные дроби.
Сокращение дробей.
Можно умножать и делить числитель и знаменатель числа, не равные нулю:
Произведение дробей:
Пример 3.
Вычислите:
Решение:
Ответ:
Частное дробей:
Пример 4.
Вычислите:
Решение:
Ответ:
Сумма и разность дробей.
Для сложения/вычитания дробей, необходимо привести их к общему знаменателю, а чтобы сложить/
вычесть дроби с одинаковым знаменателем нужно просто сложить/вычесть их числители:
Общий знаменатель – не обязательно произведение знаменателей каждого слагаемого. Чтобы найти
общий знаменатель, нужно найти НОК (наименьшее общее кратное) знаменателей. А если этой фор-
6
1.
a
b
=
a
⋅
k
b
⋅
k
;
a
b
=
a
:
k
b
:
k
.
2.
a
b
⋅
c
d
=
a c
bd
.
2
7
⋅
4
9
.
2
7
⋅
4
9
=
2 ⋅ 4
7 ⋅ 9
=
8
63
.
8
63
.
3.
a
b
:
c
d
=
a
b
⋅
d
c
=
a d
bc
.
2
7
:
9
4
.
2
7
:
4
9
=
2
7
⋅
9
4
=
2 ⋅ 9
7 ⋅ 4
=
9
7 ⋅ 2
=
9
14
.
9
14
.
4.
a
b
±
c
d
=
a d
bd
±
bc
bd
=
a d
±
bc
bd
.
Аршак Сагателян
мулой, как говорится, "в лоб", то придется работать с большими числами, а потом еще и сокращать
дробь, что слишком долго.
Чтобы найти НОК чисел нужно:
Разложить данные числа на простые множители;
Выписать множители одного из чисел;
Дописать недостающие множители из множителей других чисел;
Записать произведение полученного выражения.
Вообще, строго говоря, сумма/разность дробей вычисляется по формуле ниже, но она слишком гро-
моздкая, поэтому обычно пишут формулу, которая была указана выше:
Пример 1.
Найти
Решение:
– наименьшее общее кратное чисел
и
Выпишем множители одного из чисел, например числа
Допишем недостающие множители из множителей другого числа, т.е. из числа
Запишем произведение полученного выражения:
Ответ:
Пример 2.
Вычислите:
Решение:
Ответ:
1)
2)
3)
4)
a
b
±
c
d
=
a
⋅
(
HOK
(
b
;
d
) :
d
)
HOK
(
b
;
d
)
±
c
⋅
(
HOK
(
b
;
d
) :
b
)
HOK
(
b
;
d
)
=
a
⋅
(
HOK
(
b
;
d
) :
d
)
±
c
⋅
(
HOK
(
b
;
d
) :
b
)
HOK
(
b
;
d
)
.
HOK
(24; 60)
HOK
(24; 60)
24
60.
24
12
6
3
2
2
2
3
⇒ 24 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3
60
30
15
5
2
2
3
5
⇒ 60 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5
24 :
2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3
60 :
2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5
2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 120.
HOK
(24; 60) = 120.
5
24
+
7
60
.
5
24
+
7
60
=
5 ⋅ 5
24 ⋅ 5
+
7 ⋅ 2
60 ⋅ 2
=
25
120
+
14
120
=
25 + 14
120
=
39
120
.
39
120
.
Аршак Сагателян
1.2. Смешанные дроби.
Смешанная дробь — это дробь, у которой есть две части: целая и дробная:
где
– целая часть,
– дробная часть.
Чтобы перевести смешанную дробь в обыкновенную неправильную дробь (правильная дробь – дробь, у
которой числитель меньше знаменателя; неправильная дробь – это дробь, у которой числитель больше
знаменателя или равен ему) необходимо:
– Знаменатель домножить на целую часть, а затем сложить с числителем.
– Записать этот результат в числителе получившейся дроби, а знаменатель при этом оставить без
изменений.
– Если получившаяся дробь сократимая, то ее необходимо сократить.
Пример 5.
Переведите смешанную дробь
в обыкновенную.
Решение:
Ответ:
1.3. Десятичные дроби.
Десятичная дробь — это дробь, записанная с помощью разделительной запятой, где число до запятой
является целой частью дроби, а после запятой – дробной частью:
Если ее записать в виде обыкновенной дроби, то знаменателем такой дроби всегда является
в сте-
пени, равной количеству цифр после запятой.
Чтобы перевести десятичную дробь в обыкновенную, выполните следующие шаги:
– Сосчитать, сколько в десятичной дроби знаков после запятой.
– Целую часть (число до запятой), если она не равна нулю, оставить без изменений (если она равна
нулю, то в обыкновенной дроби ее не пишем). Далее в числителе записать все цифры, кроме нулей, сто-
ящих сразу после запятой, а в знаменателе написать единицу и после неё столько нулей, сколько стоит
цифр после запятой в десятичной дроби.
– Если дробь смешанная, то сократить дробную часть, а затем перевести дробь в неправильную.
– Сократить получившуюся дробь, если необходимо.
Пример 6.
Переведите десятичную дробь
в обыкновенную.
Решение:
Ответ:
a
b
c
,
a
b
c
a
b
c
=
a
⋅
c
+
b
c
.
3
4
5
3
4
5
=
3 ⋅ 5 + 4
5
=
19
5
.
19
5
.
a
,
b
10
3,8
3,8 = 3
8
10
= 3
4
5
=
19
5
.
19
5
.
Аршак Сагателян
Пример 7.
Найдите значение выражения:
Решение:
Ответ:
Совет! Лучше не работать со смешанными и десятичными дробями, поскольку это неудобно и нужно
лишь для более практичного вида записи ответа. Поэтому лучше переводить смешанные и десятичные
дроби в обыкновенные.
(
3
4
+ 2
3
8
)
⋅ 25,6.
(
3
4
+ 2
3
8
)
⋅ 25,6 =
(
3
4
+
2 ⋅ 3 + 8
8
)
⋅ 25
6
10
=
(
3
4
+
14
8
)
⋅ 25
3
5
=
(
3
4
+
7
4
)
⋅
25 ⋅ 5 + 3
5
=
10
4
⋅
128
5
=
=
5
2
⋅
128
5
=
128
2
= 64.
64.
Аршак Сагателян
2. Проценты.
Процентом называется сотая часть какого либо числа. То есть
от числа
– это
2.1. Процент от числа.
где
– любое число,
– проценты.
Пример 1. Найдите
от
килограммов. Ответ дайте в килограммах.
Решение:
данной величины – это двадцать сотых (т. е. две десятые) этой величины. Поэтому
от
килограммов – это
кг.
Ответ:
Пример 2. Одна таблетка лекарства весит
мг и содержит
активного вещества. Ребёнку в воз-
расте до
месяцев врач прописывает
мг активного вещества на каждый килограмм веса в сутки.
Сколько таблеток этого лекарства следует дать ребёнку в возрасте четырёх месяцев и весом
кг в
течение суток?
Решение: Поскольку процент – это одна сотая часть числа, активного вещества в каждой таблетке
содержится
мг. Ребёнку указанного в условии задачи возраста и весом
кг требуется
мг активного вещества в сутки. Искомое число таблеток будет равно
.
Ответ:
.
2.2. Прибавить процент к числу. Вычесть процент от числа.
прибавить процент к числу
вычесть процент от числа
прибавить процент к числу n-раз
вычесть процент от числа n-раз
Пример 3. Налог на доходы составляет
от заработной платы. После удержания налога на дохо-
ды Иван Иванович получил
рублей. Сколько рублей составляет заработная плата Ивана Ивано-
вича?
Решение: Обозначим заработную плату Ивана Ивановича буквой
, а его получку после удержания на-
лога – буквой
. Налог составляет
, поэтому
меньше
на
, т. е. составляет
, а значит
.
По условию
. Значит,
, откуда
рублей.
Ответ:
.
1 %
1
0,01.
A
⋅
r
100
,
A
r
20 %
84
20 %
20 %
84
0,2 ⋅ 84 = 16,8
16,8.
20
9 %
6
1,35
8
20 ⋅ 0,09 = 1,8
8
8 ⋅ 1,35 = 10,8
10,8 : 1,8 = 6
6
A
⋅
(
1 +
r
100
)
−
A
⋅
(
1 −
r
100
)
−
A
⋅
(
1 +
r
100
)
n
−
A
⋅
(
1 −
r
100
)
n
−
13 %
26 100
З
П
13 %
П
З
13 %
87 %
П
= 0,87 ⋅
З
П
= 26 100
П
= 0,87 ⋅
З
= 26 100
З
= 26 100 : 0,87 = 30 000
30 000
Аршак Сагателян
Отмечу ещё следующее. Последовательное увеличение величины на некоторое число процентов, а за-
тем уменьшение результата на то же число процентов не приводит к начальной величине: ведь второе
действие мы совершаем уже с другой величиной. То же самое можно сказать и об обратной последо-
вательности действий. Интересно, что в любом случае мы получим в итоге величину, меньшую началь-
ной. Например, увеличив
на
, получим
. Уменьшив полученную величину на
, получим
– полученная величина меньше начальной на
. При этом порядок действий не игра-
ет роли: если сначала уменьшить
на
, а затем результат увеличить на
, получим
– ту же самую величину.
Пример 4. В июле товар стоил
рублей. В ноябре цену на товар снизили на
, а в декабре подняли
на
. Сколько рублей стоил товар после повышения цены в декабре?
Решение: Стоимость товара в ноябре уменьшилась на
, т. е. составила
, т.е.
рублей. Полученная стоимость увеличилась в декабре на
, т. е. составила
,
т.е.
рубля.
Ответ:
a
10 %
1,1
a
10 %
0,9 ⋅ 11
a
= 0,99
a
1 %
a
10 %
10 %
1,1 ⋅ 0,9
a
= 0,99
a
5000
7 %
8 %
7 %
93 %
0,93 ⋅ 5000 = 4650
8 %
108 %
1,08 ⋅ 4650 = 5022
5022.
Аршак Сагателян
3. Формулы сокращенного умножения и другие.
На простом примере покажем как умножать многочлен на многочлен:
Пример 1.
Найдите значение выражения:
при
Решение: Сначала упростим выражение, а потом, если понадобиться подставим туда
Подставим теперь вместо
его значение:
Ответ:
1.
a b
=
ba
;
2.
a
+
b
=
b
+
a
;
3.
a b
+
a c
=
a
(
b
+
c
);
4.
a b
−
a c
=
a
(
b
−
c
);
5.
(
a
+
b
)
2
=
a
2
+ 2
a b
+
b
2
;
6.
(
a
−
b
)
2
=
a
2
− 2
a b
+
b
2
;
7.
a
2
−
b
2
= (
a
+
b
)(
a
−
b
)
−
напомним, что не существует формулы
a
2
+
b
2
;
8.
(
a
+
b
)
3
=
a
3
+ 3
a
2
b
+ 3
a b
2
+
b
3
=
a
3
+
b
3
+ 3
a b
(
a
+
b
);
9.
(
a
−
b
)
3
=
a
3
− 3
a
2
b
+ 3
a b
2
−
b
3
=
a
3
−
b
3
− 3
a b
(
a
−
b
);
10.
a
3
+
b
3
= (
a
+
b
)
(
a
2
−
a b
+
b
2
)
;
11.
a
3
−
b
3
= (
a
−
b
)
(
a
2
+
a b
+
b
2
)
.
(2
a
−
b
)(3
a
+ 4
b
−
c
) = (+2
a
−
b
)(+3
a
+ 4
b
−
c
) = (+2
a
) ⋅ (+3
a
) + (+2
a
) ⋅ (+4
b
) + (+2
a
) ⋅ (−
c
) +
+(−
b
) ⋅ (+3
a
) + (−
b
) ⋅ (+4
b
) + (−
b
) ⋅ (−
c
) = 6
a
2
+ 8
a b
−2
ac
−3
a b
− 4
b
2
+
bc
=
= 6
a
2
− 4
b
2
+ 5
a b
− 2
a c
+
bc
⇒ (2
a
−
b
)(3
a
+ 4
b
−
c
) = 6
a
2
− 4
b
2
+ 5
a b
− 2
a c
+
bc
.
a
(
36
a
2
− 25
)
(
1
6
a
+ 5
−
1
6
a
− 5
)
,
a
= 36,7.
a
.
a
(
36
a
2
− 25
)
(
1
6
a
+ 5
−
1
6
a
− 5
)
=
a
(
36
a
2
− 25
)
(
6
a
− 5
(6
a
+ 5)(6
a
− 5)
−
6
a
+ 5
(6
a
+ 5)(6
a
− 5)
)
=
=
a
(
36
a
2
− 25
)
(
6
a
− 5 − 6
a
− 5
36
a
2
− 25
)
=
a
(
36
a
2
− 25
)
(
−10
36
a
2
− 25
)
=
a
⋅ (−10) = − 10
a
.
a
−10
a
= − 10 ⋅ 36,7 = − 367.
−367.
Аршак Сагателян
4. Показательная функция. Свойства степеней. Корень.
Определение показательной функции:
Показательной функцией называется функция, у которой в основании находиться число, а неизвестная
находиться в показателе степени:
при любом значении
.
Обратите внимание, что
при
(это область определения функции корня чет-
ной степени). Поэтому некоторые свойства степеней применимы и для корня, например,
Также важно помнить, что
ведь
а т.к.
, то и
Пример 1.
Найдите значение выражения:
Решение:
Ответ:
Пример 2.
Найдите значение выражения:
при
Решение: Сначала упростим выражение, а потом, если понадобиться подставим туда
Обратите внимание, что по условию задачи нам не дано значение
, значит оно нам и не нужно и веро-
ятнее всего сократиться.
Подставим теперь вместо
его значение:
Ответ:
a
f
(
x
)
,
где
a
−
число
,
a
> 0,
a
≠ 1,
a
f
(
x
)
> 0,
x
a
−
основание
,
f
(
x
)
и
g
(
x
)
−
показатели степени
.
1.
a
0
= 1;
2.
1
a
= 1;
3.
a
1
=
a
;
4.
a
m
⋅
a
n
=
a
m
+
n
;
5.
a
m
a
n
=
a
n
−
m
;
6.
(
a
n
)
m
=
a
nm
;
7.
a
1
2
=
a
;
8.
a
1
n
=
n
a
;
9.
a
m
n
=
n
a
m
;
10.
(
a
⋅
b
)
n
=
a
n
⋅
b
n
;
11.
(
a
b
)
n
=
a
n
b
n
;
12.
a
−1
=
1
a
;
13.
a
−
n
=
1
a
n
;
14.
(
a
b
)
−1
=
b
a
;
15.
(
a
b
)
−
n
=
(
b
a
)
n
.
(
f
(
x
)
)
1
2
=
f
(
x
),
f
(
x
) ≥ 0
a b
=
a
⋅
b
.
f
(
x
) ≥ 0,
f
(
x
) =
(
f
(
x
)
)
1
2
,
f
(
x
) ≥ 0
(
f
(
x
)
)
1
2
≥ 0.
(
5
12
)
3
: 5
37
.
(
5
12
)
3
: 5
37
= 5
12⋅3
: 5
37
= 5
36
: 5
37
= 5
36−37
= 5
−1
=
1
5
= 0,2.
0,2.
11
a
6
b
3
−
(
3
a
2
b
)
3
4
a
6
b
6
,
b
= 2.
b
.
a
11
a
6
b
3
−
(
3
a
2
b
)
3
4
a
6
b
6
=
11
a
6
b
3
− 3
a
6
b
3
4
a
6
b
6
=
8
a
6
b
3
4
a
6
b
6
=
2
b
3
.
b
2
b
3
=
2
2
3
=
1
2
2
=
1
4
= 0,25.
0,25.
Аршак Сагателян
Пример 3.
Найдите значение выражения:
Решение:
Ответ:
Пример 4.
Найдите значение выражения:
при
Решение: Сначала упростим выражение, а потом, если понадобиться подставим туда
Подставим теперь вместо
его значение:
Ответ:
Пример 5.
Найдите значение выражения:
при
Решение:
Ответ:
Пример 6.
Найдите
если
Решение:
Тогда получим:
Ответ:
(
63 −
28
)
⋅
7 .
(
63 −
28
)
⋅
7 =
(
9 ⋅ 7 −
4 ⋅ 7
)
⋅
7 =
(
9 ⋅
7 −
4 ⋅
7
)
⋅
7 =
(
3
7 − 2
7
)
⋅
7 =
=
7 ⋅
7 = 7.
7.
7
x
− 5
x
+
5
x
x
+ 3
x
− 4,
x
= 3.
x
.
7
x
− 5
x
+
5
x
x
+ 3
x
− 4 =
7
x
− 5
x
+
5
x
x
⋅
x
+ 3
x
− 4 =
7
x
− 5
x
+
5
x
+ 3
x
− 4 =
7
x
− 5 + 5
x
+
+ 3
x
− 4 =
7
x
x
+ 3
x
− 4 = 7 + 3
x
− 4 = 3
x
+ 3.
x
3
x
+ 3 = 3 ⋅ 3 + 3 = 9 + 3 = 12.
12.
9
x
16
9
x
,
x
> 0.
9
x
16
9
x
=
(
x
1
2
)
1
9
16
1
2
⋅
(
x
1
9
)
1
2
=
x
1
2
⋅
1
9
16
1
2
⋅
x
1
2
⋅
1
9
=
1
16
1
2
=
1
16
=
1
4
= 0,25.
0,25.
f
(5 +
x
) +
f
(5 −
x
),
f
(
x
) =
3
x
+
3
x
− 10 .
f
(5 +
x
) =
3
5 +
x
+
3
(5 +
x
) − 10 =
3
x
+ 5 +
3
x
− 5;
f
(5 +
x
) =
3
5 −
x
+
3
(5 −
x
) − 10 =
3
5 −
x
+
3
−
x
− 5 =
3
−(
x
− 5) +
3
−(
x
+ 5) = −
3
x
− 5 −
3
x
+ 5;
f
(5 +
x
) +
f
(5 −
x
) =
3
x
+ 5 +
3
x
− 5 +
(
−
3
x
− 5 −
3
x
+ 5
)
=
3
x
+ 5 +
3
x
− 5 −
3
x
− 5 −
3
x
+ 5 = 0.
0.
Аршак Сагателян
5. Модуль.
Для начала разберемся, что вообще такое модуль? Модуль – это расстояние между
-мя точками.
– расстояние между
точками
и
Например, расстояние между точками
и
на числовой прямой будет равно
.
Также важно понимать, что
но
Почему так? Все дело в том, что в первом выражении, мы заведомо знаем, что
т.к. это его об-
ласть определения, а значит тогда левая и правая часть этого выражения положительны. А что каса-
ется второго выражения, то тут областью определения является вся числовая ось, а значит, если
справа не поставить знак модуля, то правая часть может быть отрицательной, в то время как левая
часть всегда положительна.
Пример 1.
Найдите значение выражения:
при
Решение:
Теперь обратим внимание на
откуда получим:
Ответ:
|
a
|
=
{
a
,
при
a
≥ 0;
−
a
,
при
a
≤ 0.
2
|
x
1
−
x
2
|
x
1
x
2
.
5
−2
7
|
x
1
−
x
2
|
=
|
− 2 − 5
|
=
|
− 7
|
= 7.
|
a
|
=
|
−
a
|
.
(
a
)
2
=
a
,
a
2
=
|
a
|
.
a
≥ 0,
(
a
− 6)
2
+
(
a
− 10)
2
,
6 ≤
a
≤ 10.
(
a
− 6)
2
+
(
a
− 10)
2
=
|
a
− 6
|
+
|
a
− 10
|
.
6 ≤
a
≤ 10,
|
a
− 6
|
+
|
a
− 10
|
=
a
− 6 − (
a
− 10) =
a
− 6 −
a
+ 10 = 4.
4.
Аршак Сагателян
6. Логарифм и его свойства.
Определение логарифма:
Иными словами, логарифм отвечает на вопрос, в какую степень нужно возвести основание
, чтобы
получить аргумент
Свойства логарифма:
Свойство №3 называется "основным логарифмическим тождеством".
Пример 1.
Найдите значение выражения:
Решение:
Ответ:
Пример 2.
Найдите значение выражения:
Решение:
Ответ:
Пример 3.
Найдите значение выражения:
Решение:
Ответ:
log
a
b
=
c
⟺
a
c
=
b
.
a
b
?
log
a
b
= ?
⟺
a
?
=
b
.
1.
log
a
1 = 0;
2.
log
a
a
= 1;
3.
a
log
a
b
=
b
;
4.
log
a
bc
= log
a
b
+ log
a
c
;
5.
log
a
b
c
= log
a
b
− log
a
c
;
6.
log
a
b
n
=
n
⋅ log
a
b
;
7.
log
a
m
b
=
1
m
log
a
b
;
8.
log
a
m
b
n
=
n
m
log
a
b
;
9.
log
a
n
b
n
= log
a
b
;
10.
log
a
b
=
1
log
b
a
;
11.
log
a
b
=
log
c
b
log
c
a
;
12.
a
log
b
c
=
c
log
b
a
;
13.
log
a
b
⋅ log
c
d
= log
c
b
⋅ log
a
d
.
log
5
60 − log
5
12.
log
5
60 − log
5
12 = log
5
60
12
= log
5
5 = 1.
1.
log
4
log
5
25.
log
4
log
5
25 = log
4
2 = log
2
2
2 =
1
2
log
2
2 =
1
2
= 0,5.
0,5.
5
log
25
49
.
5
log
25
49
= 5
log
5
2
(
7
2
)
= 5
log
5
7
= 7.
7.
Аршак Сагателян
Пример 4.
Найдите значение выражения:
Решение:
Ответ:
Пример 5.
Найдите значение выражения:
Решение:
Ответ:
Пример 6.
Найдите значение выражения
если
Решение:
Ответ:
9
log
5
50
9
log
5
2
.
9
log
5
50
9
log
5
2
= 9
log
5
50−log
5
2
= 9
log
5
50
2
= 9
log
5
25
= 9
2
= 81.
81.
log
3
5
log
3
7
+ log
7
0,2.
log
3
5
log
3
7
+ log
7
0,2 = log
7
5 + log
7
0,2 = log
7
5 ⋅ 0,2 = log
7
1 = 0.
0.
log
a
(
a b
3
)
,
log
b
a
=
1
7
.
log
a
(
a b
3
)
= log
a
a
+ log
a
b
3
= 1 + 3 log
a
b
= 1 + 3 ⋅
1
log
b
a
= 1 + 3 ⋅
1
1
7
= 1 + 3 ⋅ 7 = 1 + 21 = 22.
22.
Аршак Сагателян
7. Тригонометрия.
Рассмотрим прямоугольный (далее п/у) треугольник
.
Угол
– прямой.
– гипотенуза (сторона п/у треугольника, расположенная напротив прямого угла).
– катеты (стороны п/у треугольника, лежащие напротив острых углов).
– угол напротив стороны
;
– угол напротив стороны
.
В общем случае
хотя они могут быть равны.
Теорема Пифагора:
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы, равен сумме квадратов катетов.
Казалось бы, причем тут теорема Пифагора, если мы изучаем тригонометрию, но она нам еще чуть
позже пригодиться.
А пока что введем понятие синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов.
Синус – отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинус – отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенс – отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
Котангенс – отношение прилежащего катета к противолежащему катету.
,
,
7.1. Тригонометрическая окружность.
Начертим на прямоугольной декартовой системе координат окружность единичного радиуса
с
центром в начале координат. По горизонтальной оси (ось абсцисс) будем откладывать косинус, а по
вертикально оси (оси ординат) – синус.
Для увеличения угла мы будем идти против часовой стрелки. Такое направление будем называть поло-
жительным направлением обхода.
Для уменьшения угла мы будем идти по часовой стрелке. Такое направление будем называть отрица-
тельным направлением обхода.
Угол
– будет находится в крайней правой точке, т.е. в точке с абсциссой
т.к. радиус равен
Δ
ABC
∠
C
A B
=
c
BC
=
a
,
AC
=
b
α
a
β
b
α
≠
β
,
c
2
=
a
2
+
b
2
.
sin
α
=
a
c
cos
α
=
b
c
tg
α
=
a
b
ctg
α
=
b
a
sin
β
=
b
c
cos
β
=
a
c
tg
β
=
b
a
ctg
β
=
a
b
tg
α
=
sin
α
cos
α
ctg
α
=
cos
α
sin
α
tg
α
=
1
ctg
α
(
R
= 1)
0
∘
1,
1.
Аршак Сагателян
Вообще существуют оси тангенсов и котангенсов, но их обычно не рисуют и добавляют только в тех
случаях, когда это необходимо.
Для определения значения синуса и косинуса в точке необходимо от этой точки провести перпендику-
ляр на ось ординат и абсцисс соответсвенно. Тогда ордината точки пересечения этого перпендикуляра
с осью ординат будет значением синуса в этой точке, а абсцисса точки пересечения этого перпендику-
ляра с осью абсцисс будет значением косинуса в этой точке.
Аршак Сагателян
Треугольник, заключенный между радиусом, пер-
пендикуляром и осью, будет прямоугольным.
Его катеты
рав-
ны
и
.
А значит по теореме Пифагора:
Это выражение называется
"основным тригонометрическим тождеством"
Здесь важно заметить, что мы попадаем в одну и ту же точку, пройдя полный оборот
в ту или
другую сторону, а значит значение тригонометрической функции в результате такого действия не из-
менится.
Тригонометрическую окружность можно разбить на
четверти:
Так мы можем судить о знаке тригонометрической функции в каждой из областях:
четверть:
четверть:
четверть:
четверть:
Функции
и
– очевидно имеют одинаковый знак, поскольку
Важно еще понимать такие свойства как четность и нечетность тригонометрических функций:
Давайте теперь рассмотрим связь между обычными числами, называемыми в тригонометрии радиа-
нами, и градусами:
cos
α
=
a
R
=
a
,
sin
α
=
b
R
=
b
.
a
b
cos
2
α
+ sin
2
α
= 1.
360
∘
4
I
sin
α
> 0,
cos
α
> 0.
tg
α
=
sin
α
cos
α
⇒
tg
α
> 0.
I I
sin
α
> 0,
cos
α
< 0,
tg
α
< 0.
I I I
sin
α
< 0,
cos
α
< 0,
tg
α
> 0.
I V
sin
α
< 0,
cos
α
> 0,
tg
α
< 0.
tg
α
ctg
α
tg
α
=
1
ctg
α
.
cos(−
α
) = cos(
α
),
sin(−
α
) = − sin(
α
),
tg
(−
α
) = −
tg
(
α
),
ctg
(−
α
) = −
ctg
(
α
) .
Аршак Сагателян
Рассмотрим формулу для длины окружности
Поскольку радиус тригонометрической окружности
то мы можем сказать, что длина окруж-
ности тогда равна
Но с другой стороны, полный оборот – это
тогда
В тригонометрии принято работать с углами выраженными через
Например:
Теперь, когда мы связали градусы и радианы мы можем перейти к формула приведения.
7.2. Формулы приведения.
Формулы приведения нужны для упрощения тригонометрических выражений. Формул приведения на
самом деле бесконечно много, и важно не зубрить их, а понимать, откуда они получаются. Сейчас мы
как раз и рассмотрим алгоритм получения формул приведения.
Алгоритм:
– Первое, что мы должны сделать, это определить знак тригонометрической функции. Это и будет
знак получившейся в итоге функции.
– Далее мы смотрим на его аргумент:
•
если коэффициент перед
– полуцелый
, то функция меняется на противопо-
ложную:
•
если коэффициент перед
– целый, то функция остается неизменной.
Пример 1.
Определяем знак:
– это нижняя точка. Мы
вычитаем из нее угол
, значит идем по часовой
стрелке и попадаем в
четверть.
Важно, что угол
в формулах приведения мы
всегда считаем острым (маленьким), т.е. Мы
никак не выйдем за пределы
четверти.
В
четверти функция синуса отрицательна.
Теперь смотрим
– полуголое число
зна-
чит функция синус перейдет в косинус.
Итого получим:
L
= 2
π R
.
R
= 1,
L
= 2
π
.
360
∘
,
L
= 2
π
= 360
∘
⇒
π
= 180
∘
.
π
.
30
∘
=
π
6
.
π
(
±
1
2
π
,
±
3
2
π
,
. . .
)
sin ⟷ cos,
tg
⟷
ctg
;
π
sin
(
3
π
2
−
α
)
= ?
1.
3
π
2
α
I I I
α
I I I
I I I
2.
3
π
2
π
,
sin
(
3
π
2
−
α
)
= − cos(
α
) .
Аршак Сагателян
7.3. Таблица значений тригонометрической функции углов.
Мы приведем значения только из первой четверти, так как для остальных четвертей значения, можно
легко найти из приведенных.
Как выводятся эти значения?
– Значения синуса
и
довольно очевидны, на них не будем останавливаться.
– Значение синуса
выводиться из равностороннего треугольника, если провести в нем высоту, ко-
торая одновременно и медиана и биссектриса, то мы получим, что треугольник разбился на два равных
п/у треугольника с углами
и
. А раз высота здесь является и медианой, то катет, лежащий на-
против угла
в 2 раза меньше гипотенузы.
А значит синус этого угла и будет равен
Отсюда тогда можно получить и косинус.
– Значение синуса
выводиться из равнобедренного п/у треугольника. Углы при основании у него по
, и катеты равны. Отсюда мы можем найти соотношение между катетами и гипотенузой через
теорему Пифагора, т.к. катеты равны.
7.4. Основные формулы тригонометрии.
Формулы суммы и разности аргументов:
Формулы понижения степени:
Не
существует
Не
существует
α
3
2
0
1
2
2
0 (0
∘
)
1
1
2
π
2
(90
∘
)
0
1
tg
sin
3
ctg
cos
π
4
(45
∘
)
π
3
(60
∘
)
π
6
(30
∘
)
3
3
0
2
2
3
1
3
3
1
2
0
3
2
0
∘
90
∘
30
∘
30
∘
60
∘
30
∘
1
2
.
45
∘
45
∘
cos
(
α
+
β
)
= cos
α
⋅ cos
β
− sin
α
⋅ sin
β
;
cos
(
α
−
β
)
= cos
α
⋅ cos
β
+ sin
α
⋅ sin
β
;
sin
(
α
+
β
)
= sin
α
⋅ cos
β
+ cos
α
⋅ sin
β
;
sin
(
α
−
β
)
= sin
α
⋅ cos
β
− cos
α
⋅ sin
β
;
tg
(
α
±
β
)
=
tg
α
±
tg
β
1 ∓
tg
α
⋅
tg
β
,
при
cos
α
⋅ cos
β
≠ 0;
ctg
(
α
±
β
)
=
1 ∓
ctg
α
⋅
ctg
β
ctg
α
±
ctg
β
,
при
sin
α
⋅ sin
β
≠ 0.
sin
2
α
=
1 − cos 2
α
2
;
cos
2
α
=
1 + cos 2
α
2
.
Аршак Сагателян
Формулы двойного и тройного углов:
Формулы произведений функций:
Основная тригонометрическая подстановка:
Формулы суммы и разности функций:
cos
(
2
α
)
= 2 cos
2
α
− 1;
cos
(
2
α
)
= cos
2
α
− sin
2
α
;
cos
(
2
α
)
= 1 − 2 sin
2
α
;
sin
(
2
α
)
= 2 sin
α
cos
α
;
tg
2
α
=
2
tg
α
1 −
tg
2
α
,
при
cos
α
≠ 0,
cos 2
α
≠ 0;
ctg
2
α
=
ctg
2
α
− 1
2
ctg
α
,
при
sin
α
≠ 0,
sin 2
α
≠ 0;
cos
(
3
α
)
= 4 cos
3
α
− 3 cos
α
;
sin
(
3
α
)
= 3 sin
α
− 4 sin
3
α
.
sin
α
⋅ sin
β
=
1
2
(
cos(
α
−
β
) − cos(
α
+
β
)
)
;
cos
α
⋅ cos
β
=
1
2
(
cos(
α
−
β
) + cos(
α
+
β
)
)
;
sin
α
⋅ cos
β
=
1
2
(
sin(
α
−
β
) + sin(
α
+
β
)
)
.
tg
α
=
tg
(
α
2
)
1 −
tg
2
(
α
2
)
,
при
cos
α
2
≠ 0,
cos
α
≠ 0;
sin
α
=
tg
(
α
2
)
1 +
tg
2
(
α
2
)
,
при
cos
α
2
≠ 0,
cos
α
≠ 0;
cos
α
=
1 −
tg
2
(
α
2
)
1 +
tg
2
(
α
2
)
,
при
cos
α
2
≠ 0,
cos
α
≠ 0.
sin
α
+ sin
β
= 2 sin
α
+
β
2
cos
α
−
β
2
;
sin
α
− sin
β
= 2 sin
α
−
β
2
cos
α
+
β
2
;
cos
α
+ cos
β
= 2 cos
α
+
β
2
cos
α
−
β
2
;
cos
α
− cos
β
= − 2 sin
α
−
β
2
sin
α
+
β
2
;
tg
α
±
tg
β
=
sin(
α
±
β
)
cos
α
cos
β
;
ctg
α
±
ctg
β
= −
sin(
α
±
β
)
sin
α
sin
β
.
Аршак Сагателян
Формула вспомогательного угла:
Общий случай:
Частные случаи:
Выводы формул:
Вывод формулы:
Рассмотрим тригонометрическую окружность и на ней углы
и
. Пусть этим углам соответству-
ют точки
и
соответственно. Тогда координаты этих точек:
Рассмотрим
По теореме косинусов:
т.к.
По формуле расстояния между двумя точками
на плоскости:
Таким образом, сравнивая равенства
Отсюда и получается наша формула:
Вывод формулы:
Вывод формулы:
a
sin
α
±
b
cos
α
=
a
2
+
b
2
⋅ sin
(
α
±
φ
)
,
cos
φ
=
a
a
2
+
b
2
,
sin
φ
=
b
a
2
+
b
2
.
sin
α
±
cos
α
=
2 ⋅ sin
(
α
±
π
4
)
;
3 sin
α
±
cos
α
= 2 sin
(
α
±
π
6
)
;
sin
α
±
3 cos
α
= 2 sin
(
α
±
π
3
)
.
cos
(
α
−
β
)
= cos
α
⋅ cos
β
+ sin
α
⋅ sin
β
.
α
β
A
B
A
(cos
α
, sin
α
),
B
(cos
β
, sin
β
) .
Δ
AOB
:
∠
AOB
=
α
−
β
.
A B
2
=
AO
2
+
BO
2
− 2
AO
⋅
BO
⋅ cos(
α
−
β
) =
= 1 + 1 − 2 cos(
α
−
β
),
AO
=
BO
=
R
= 1.
A B
2
= (cos
α
− cos
β
)
2
+ (sin
α
− sin
β
)
2
=
= (cos
2
α
+ sin
2
α
) + (cos
2
β
+ sin
2
β
)−
−2 (cos
α
cos
β
+ sin
α
sin
β
) =
= 1 + 1 − 2(cos
α
cos
β
+ sin
α
sin
β
) .
1 + 1 − 2 cos(
α
−
β
) = 1 + 1 − 2 (cos
α
cos
β
+ sin
α
sin
β
)⇒
⇒ 2 − 2 cos(
α
−
β
) = 2 − 2 (cos
α
cos
β
+ sin
α
sin
β
)
⇒ − cos(
α
−
β
) = − (cos
α
cos
β
+ sin
α
sin
β
) .
cos
(
α
−
β
)
= cos
α
⋅ cos
β
+ sin
α
⋅ sin
β
.
cos
(
α
+
β
)
= cos
α
⋅ cos
β
− sin
α
⋅ sin
β
.
cos
(
α
+
β
)
= cos
(
α
− (−
β
)
)
= cos
α
⋅ cos(−
β
) + sin
α
⋅ sin(−
β
)
cos(−
α
)=cos
α
,
sin(−
α
)=−sin
α
= cos
α
⋅ cos
β
− sin
α
⋅ sin
β
.
sin
(
α
+
β
)
= sin
α
⋅ cos
β
+ cos
α
⋅ sin
β
.
sin
(
α
+
β
)
cos
(
π
2
−
α
−
β
)
= cos
(
π
2
−
α
)
cos
β
+ sin
(
π
2
−
α
)
sin
β
= sin
α
cos
β
+ cos
α
sin
β
.
Аршак Сагателян
Вывод формулы:
Аналогичным образом выводятся формулы для синуса разности углов; синуса тройного угла; косинуса
двойного и тройного углов; тангенса и котангенса суммы и разности углов; тангенса и котангенса
двойного угла.
Вывод формулы:
Сложим две уже известные нам формулы:
Получим:
Отсюда получаем нашу формулу делением обеих частей на
Аналогично получаем формулы для произведения синусов; произведения синуса и косинуса.
Вывод формулы:
Если в формуле
обозначить
то полу-
чим
Умножим обе части выражения на
отсюда и получим нашу формулу
Аналогично получаем формулы разности косинусов; суммы и разности синусов.
Вывод основной тригонометрической постановки:
Если переписать постановку через формулы для двойного угла мы как раз получим наши формулы ос-
новной тригонометрической подстановки. Попробуйте воспроизвести вывод самостоятельно
Вывод формулы вспомогательного угла:
Рассмотрим выражение:
. Домножим и разделим это выражение на
Заметим, что
т.к.
Таким образом, можно утверждать, что существует такой угол
, для которого, например,
Тогда наше выражение примет вид:
Отсюда получаем нашу формулу.
sin
(
2
α
)
= 2 sin
α
cos
α
.
sin
(
2
α
)
= sin
(
α
+
α
)
= sin
α
cos
α
+ cos
α
sin
α
= 2 sin
α
cos
α
.
cos
α
⋅ cos
β
=
1
2
(
cos(
α
−
β
) + cos(
α
+
β
)
)
.
cos
(
α
+
β
)
= cos
α
⋅ cos
β
− sin
α
⋅ sin
β
;
cos
(
α
−
β
)
= cos
α
⋅ cos
β
+ sin
α
⋅ sin
β
.
cos
(
α
+
β
)
+ cos
(
α
−
β
)
= cos
α
⋅ cos
β
+ cos
α
⋅ cos
β
= 2 cos
α
⋅ cos
β
.
2.
cos
α
+ cos
β
= 2 cos
α
+
β
2
cos
α
−
β
2
.
cos
α
⋅ cos
β
=
1
2
(
cos(
α
−
β
) + cos(
α
+
β
)
)
,
α
+
β
=
x
,
α
−
β
=
y
,
α
=
x
+
y
2
,
β
=
x
−
y
2
.
2,
cos
x
+ cos
y
= 2 cos
x
+
y
2
cos
x
−
y
2
.
a
sin
α
+
b
cos
α
a
2
+
b
2
:
a
sin
α
+
b
cos
α
=
a
2
+
b
2
(
a
a
2
+
b
2
sin
α
+
b
a
2
+
b
2
cos
α
)
=
a
2
+
b
2
(
a
1
sin
α
+
b
1
cos
α
)
.
a
2
1
+
b
2
1
= 1,
(
a
a
2
+
b
2
)
2
+
(
b
a
2
+
b
2
)
2
=
a
2
+
b
2
a
2
+
b
2
= 1.
φ
cos
φ
=
a
1
,
sin
φ
=
b
1
.
a
2
+
b
2
(cos
φ
sin
α
+ sin
φ
cos
α
) =
a
2
+
b
2
⋅ sin
(
α
+
φ
)
.
Аршак Сагателян
Пример 2.
Найдите значение выражения:
если
Решение:
Ответ:
Пример 3.
Найдите значение выражения:
Решение:
Ответ:
Пример 4.
Найдите значение выражения:
Решение:
Ответ:
Пример 5.
Найдите значение выражения:
Решение:
Ответ:
Пример 6.
Найдите значение выражения:
Решение:
Ответ:
7 cos(
π
+
β
) − 2 sin
(
π
2
+
β
)
,
cos
β
= −
1
3
.
7 cos(
π
+
β
) − 2 sin
(
π
2
+
β
)
= − 7 cos
β
− 2 cos
β
= − 9 cos
β
= − 9 ⋅
(
−
1
3
)
= 3.
3.
5
tg
17
∘
⋅
tg
107
∘
.
5
tg
17
∘
⋅
tg
107
∘
= 5
tg
17
∘
⋅
tg
(17
∘
+ 90
∘
) = 5
tg
17
∘
⋅
tg
(
π
2
+ 17
∘
)
= 5
tg
17
∘
⋅ (−
ctg
17
∘
) = − 5.
−5.
36
6
tg
π
6
⋅ sin
π
4
.
36
6
tg
π
6
⋅ sin
π
4
= 36
6 ⋅
3
3
⋅
2
2
= 36.
36.
24
(
sin
2
23
∘
− cos
2
23
∘
)
cos 46
∘
.
24
(
sin
2
23
∘
− cos
2
23
∘
)
cos 46
∘
=
24 ⋅
(
−
(
cos
2
23
∘
− sin
2
23
∘
))
cos 46
∘
=
−24 cos 46
∘
cos 46
∘
= − 24.
−24.
2 sin
(
α
− 7
π
)
+ cos
(
3
π
2
+
α
)
sin
(
α
+
π
)
.
2 sin
(
α
− 7
π
)
+ cos
(
3
π
2
+
α
)
sin
(
α
+
π
)
=
−2 sin
α
+ sin
α
−sin
α
=
−sin
α
−sin
α
= 1.
1.
Аршак Сагателян
Уравнения
На профильном ЕГЭ по математике существует всего 9 типов уравнений:
– Линейные уравнения
– Квадратные уравнения
– Кубические уравнения
– Дробно-рациональные уравнения
– Уравнения с модулем
– Иррациональные уравнения (содержащие корень)
– Показательные уравнения (с переменной в показателе степени)
– Логарифмические уравнения
– Тригонометрические уравнения (их рассмотрение в отдельном файле)
Эквивалентные операции над уравнениями и неравенствами.
✓
Корни уравнения не изменяться, если переносить слагаемые из одной части равнения в другую.
Важно помнить, что при таком переносе, необходимо поменять его знак на противоположный.
✓
Корни уравнения не изменяться, если умножить/разделить уравнение на одно и тоже ненулевое
число или выражение.
✓
Корни неравенства не изменяться, если умножить/разделить уравнение на одно и тоже положи-
тельное число или выражение.
✓
Корни неравенства не изменяться, если умножить/разделить уравнение на одно и тоже отрица-
тельное число или выражение, изменив при этом знак неравенства на противоположный, т.е. знак
станет
, и наоборот, знак
станет
, и наоборот.
✓
Корни уравнения не изменяться, если возвести обе части уравнения в одну и ту же степень. Важно
помнить, что данную операцию с четными степенями можно проделывать только в том случае,
если обе части уравнения положительные.
Понятие функции.
Функцией называется такая зависимость
переменной
от переменной
, при которой каждо-
му значению переменной
соответствует только одно значение переменной
.
Переменная
называется независимой (или аргументом), а переменная
— зависимой (или значением
функции).
Областью определения функции называется множество всех значений, которые может принимать
независимая переменная
(аргумент).
Областью значений функции называется множество всех значений, которые может принимать зави-
симая переменная
(значение функции).
Пусть
– какое-то число.
Если мы хотим найти
, то есть значение функции при
мы просто в выражение для
вме-
сто
подставляем
>
<
≥
≤
y
=
f
(
x
)
y
x
x
y
x
y
x
y
a
f
(
a
)
x
=
a
,
f
(
x
)
x
a
.
Аршак Сагателян
1. Линейные уравнения.
Общий вид уравнения:
,
где
и
– числа.
Решается это уравнение простым делением на коэффициент
. Мы можем это сделать, так как
, в противном случае уравнение имело бы решения только если бы коэффициент
тоже был равен
нулю, что бессмысленно, ведь тогда уравнение не содержало бы переменной и выглядело бы так
.
Тогда решение уравнения – это просто
Остается лишь преобразовать (упростить) числовое выражение справа и мы получим ответ.
Пример 1.
Решите уравнение:
Решение:
Разделим обе части уравнение на
получим:
Упростим выражение справа:
Ответ:
Если уравнение не имеет вид:
, то значит нужно свести это уравнение к такому виду.
Пример 2.
Решите уравнение:
Решение:
Необходимо перенести все слагаемые содержащие
в одну сторону, а все остальные – в другую.
Ответ:
a
⋅
x
=
b
a
b
a
a
≠ 0
b
0 = 0
x
=
b
a
.
2
7
x
= 6
2
7
.
2
7
,
x
= 6
2
7
:
2
7
.
6
2
7
:
2
7
=
44
7
:
2
7
=
44
7
⋅
7
2
=
44
2
= 22 ⇒
x
= 22.
x
= 22.
a
⋅
x
=
b
3
x
− 4 =
x
+ 5.
x
3
x
−
x
= 5 − (−4)
⇒ 2
x
= 5 + 4 ⇒ 2
x
= 9 ⇒
x
=
9
2
⇒
x
= 4,5.
x
= 4,5.
Аршак Сагателян
2. Квадратные уравнения.
Общий вид квадратного уравнения:
где
,
и
– числа.
Есть 2 основных способа решения квадратных уравнений: дискриминантом и через теорему Виета.
1.
Дискриминант
1)
Если
то уравнение не имеет корней,
2)
Если
то уравнение имеет единственный корень
3)
Если
то уравнение имеет 2 корня
и
Пример 1.
Решите уравнение:
Решение:
Ответ:
2.
Теорема Виета
Этот метод заключается в том, чтобы подобрать корни и часто бывает очень полезен, например в
задачах с параметром.
Пусть
и
– корни квадратного уравнения
Тогда выполняется система уравнений (система означает слово "и", т.е. выполняются все уравнения
одновременно)
Пример 2.
Решите уравнение:
Решение:
Ответ:
a x
2
+
bx
+
c
= 0,
a b
c
D
=
b
2
− 4
a c
D
< 0,
x
∈ Ø
D
= 0,
x
= −
b
2
a
D
> 0,
x
=
x
1
x
=
x
2
.
x
1
=
−
b
+
D
2
a
,
x
2
=
−
b
−
D
2
a
.
2
x
2
− 5
x
+ 3 = 0.
D
=
b
2
− 4
a c
= (−5)
2
− 4 ⋅ 2 ⋅ 3 = 25 − 24 = 1 ⇒
D
= 1
x
1
=
−
b
+
D
2
a
=
−(−5) + 1
2 ⋅ 2
=
5 + 1
4
=
6
4
=
3
2
= 1,5.
x
2
=
−
b
−
D
2
a
=
−(−5) − 1
2 ⋅ 2
=
5 − 1
4
=
4
4
= 1.
x
= − 1;
x
= 1,5.
x
1
x
2
a x
2
+
bx
+
c
= 0.
x
1
+
x
2
= −
b
a
,
x
1
⋅
x
2
=
c
a
.
x
2
− 3
x
+ 2 = 0.
x
1
+
x
2
= −
b
a
,
x
1
⋅
x
2
=
c
a
;
⇒
x
1
+
x
2
= −
−3
1
,
x
1
⋅
x
2
=
2
1
;
⇒
{
x
1
+
x
2
= 3,
x
1
⋅
x
2
= 2;
⇒
[
x
= 1,
x
= 2.
x
= 1,
x
= 2.
Аршак Сагателян
2.1. Частные случаи.
Уравнение вида:
где
и
– выражения, которые могут как содержать переменную
, так и могут ее не содержать.
Такие уравнения нужно решать сведением к совокупности двух линейных уравнений (совокупность
означает слово "или", т.е. хотя бы одно из уравнений выполняется):
Пример 3.
Решите уравнение:
Решение:
Ответ:
Пример 3.
Решите уравнение:
Решение:
Ответ:
3. Кубические уравнения.
Уравнение вида:
где
и
– выражения, которые могут как содержать переменную
, так и могут ее не содержать.
Степень в данном случае уже нечетная, а значит мы можем просто избавиться от степеней, т.к. не-
четная степень уже не скрывает от нас информацию о знаке при раскрытии степени.
Таким образом, получаем простое линейное уравнение
Пример 1.
Решите уравнение:
Решение:
Ответ:
A
2
=
B
2
,
A
B
x
[
A
= −
B
,
A
=
B
.
x
2
= 9.
x
2
= 9 ⇒
x
2
= 3
2
⇒
[
x
= 3,
x
= − 3.
x
=
±
3
(
x
− 3)
2
= (2
x
+ 5)
2
.
[
x
− 3 = 2
x
+ 5,
x
− 3 = − (2
x
+ 5) .
⇒
[
x
= − 8,
3
x
= − 2.
⇒
x
= − 8,
x
= −
2
3
.
x
= − 8;
x
= −
2
3
A
3
=
B
3
,
A
B
x
A
=
B
.
(
x
+ 7)
3
= (3
x
+ 1)
3
.
(
x
+ 7)
3
= (3
x
+ 1)
3
⇒
x
+ 7 = 3
x
+ 1 ⇒
x
− 3
x
= 1 − 7 ⇒ − 2
x
= − 6 ⇒
x
=
−6
−2
⇒
x
= 3.
x
= 3.
Аршак Сагателян
4. Дробно-рациональные уравнения.
Дробно-рациональные уравнения – уравнения, сводящиеся к виду:
преобразованиями над дробями,
т.е. производится: сложение, вычитание, умножение, деление дробей; умножение/деление дроби на
любое ненулевое число; приведение дробей к общему знаменателю и т.д.
После сведения их к данному виду можно перейти к системе уравнений:
Иногда бывает проще не сводить уравнение к виду, указанному выше, а проделать процедуру перемно-
жения крест-накрест (по сути умножаем обе части уравнения на общий знаменатель дробей), предва-
рительно найдя область определения (ОДЗ) уравнения (в данном случае знаменатель не должен рав-
няться нулю):
ОДЗ:
Таким образом, мы избавляемся от дробей и сводим уравнения к уже известным типам уравнений.
Примечание:
Уравнение где дробь только с одной стороны, тоже можно перемножить крест-накрест следующим
образом:
Пример 1.
Решите уравнение:
Решение:
Обратим внимание, что числители дробей одинаковые, а значит дроби будут равны, если их знамена-
тели равны. Таким образом получаем:
Ответ:
Пример 2.
Решите уравнение:
Решение:
ОДЗ:
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ:
A
B
= 0
{
A
= 0,
B
≠ 0.
B
≠ 0,
D
≠ 0.
A
B
=
C
D
⇒
A
⋅
D
=
B
⋅
C
.
A
B
=
C
⇒
A
B
=
C
1
⇒
A
⋅ 1 =
B
⋅
C
⇒
A
=
B
⋅
C
.
1
5
x
− 24
=
1
16 − 3
x
.
5
x
− 24 = 16 − 3
x
⇒ 5
x
+ 3
x
= 16 + 24 ⇒ 8
x
= 40 ⇒
x
=
40
8
⇒
x
= 5.
x
= 5.
16
x
2
− 9
= 1.
x
2
− 9 ≠ 0 ⇒ (
x
− 3)(
x
+ 3) ≠ 0 ⇒
x
− 3 ≠ 0,
x
+ 3 ≠ 0 ⇒
x
≠ 3,
x
≠ − 3.
16
x
2
− 9
= 1 ⇒
16
x
2
− 9
= 1 ⇒
x
2
− 9 = 16 ⇒
x
2
− 9 − 16 = 0 ⇒
x
2
− 25 = 0 ⇒ (
x
− 5)(
x
+ 5) = 0 ⇒
⇒
[
x
− 5 = 0,
x
+ 5 = 0;
⇒
[
x
= 5,
x
= − 5.
x
=
±
5.
Аршак Сагателян
Пример 3.
Решите уравнение:
Решение:
Попробуем решить это уравнение тремя способами:
способ:
Заметим, что здесь, как и в предыдущем примере, числители у этих дробей одинаковые. Тогда казалось
бы, мы точно также приравниваем знаменатели? Так вот не только. Поскольку данные дроби в числи-
теле, в отличие от предыдущего примера содержат не фиксированное число, а переменную, то зна-
чит, что если числитель равен нулю, это тоже будет корнем уравнения, при условии ненулевых знаме-
нателей этих дробей. Значит мы может получить следующее выражение:
Оба корня нашего уравнения подходят под условия
Ответ:
способ:
Перенесем правую часть уравнения в левую и приведем дроби к общему знаменателю:
Оба корня нашего уравнения подходят под условия
Ответ:
способ:
Найдем ОДЗ уравнения:
Попробуем проделать процедуру перемножения крест-накрест (по сути умножаем обе части уравне-
ния на общий знаменатель дробей).
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ:
x
− 3
5
x
+ 7
=
x
− 3
7
x
+ 5
.
1
[
x
− 3 = 0,
5
x
+ 7 = 7
x
+ 5,
5
x
+ 7 ≠ 0,
7
x
+ 5 ≠ 0;
⇒
[
x
= 3,
5
x
− 7
x
= 5 − 7,
5
x
≠ − 7,
7
x
≠ − 5;
⇒
[
x
= 3,
−2
x
= − 2,
x
≠ −
7
5
,
x
≠ −
5
7
;
⇒
[
x
= 3,
x
= 1,
x
≠ −
7
5
,
x
≠ −
5
7
.
x
≠ −
7
5
,
x
≠ −
5
7
.
x
= 1,
x
= 3.
2
x
− 3
5
x
+ 7
−
x
− 3
7
x
+ 5
= 0 ⇒
(
x
− 3)(7
x
+ 5) − (
x
− 3)(5
x
+ 7)
(5
x
+ 7)(7
x
+ 5)
= 0 ⇒
(
x
− 3)(7
x
+ 5 − (5
x
+ 7))
(5
x
+ 7)(7
x
+ 5)
= 0 ⇒
⇒
(
x
− 3)(7
x
+ 5 − 5
x
− 7)
(5
x
+ 7)(7
x
+ 5)
= 0 ⇒
(
x
− 3)(2
x
− 2)
(5
x
+ 7)(7
x
+ 5)
= 0 ⇒
{
(
x
− 3)(2
x
− 2) = 0,
(5
x
+ 7)(7
x
+ 5) ≠ 0;
⇒
[
x
= 3,
x
= 1,
x
≠ −
7
5
,
x
≠ −
5
7
.
x
≠ −
7
5
,
x
≠ −
5
7
.
x
= 1,
x
= 3.
3
5
x
+ 7 ≠ 0,
7
x
+ 5 ≠ 0;
⇒
x
≠ −
7
5
,
x
≠ −
5
7
.
(
x
− 3)(7
x
+ 5) = (
x
− 3)(5
x
+ 7)
⇒ (
x
− 3)(7
x
+ 5) − (
x
− 3)(5
x
+ 7) = 0 ⇒ (
x
− 3)(7
x
+ 5 − (5
x
+ 7)) = 0 ⇒
⇒ (
x
− 3)(7
x
+ 5 − 5
x
− 7) = 0 ⇒ (
x
− 3)(2
x
− 2) = 0 ⇒
[
x
− 3 = 0,
2
x
− 2 = 0;
⇒
[
x
= 3,
x
= 1.
x
= 1,
x
= 3.
Аршак Сагателян
Пример 4.
Решите уравнение:
Решение:
Для начала найдем область определения:
ОДЗ:
Теперь перемножим крест-накрест числитель и знаменатель каждой дроби:
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ:
Пример 5.
Решите уравнение:
Решение:
ОДЗ:
Перемножим крест-накрест
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ:
4
x
− 3
=
x
+ 3
4
.
x
− 3 ≠ 0 ⇒
x
≠ 3.
(
x
− 3)(
x
+ 3) = 16 ⇒
x
2
− 9 = 16 ⇒
x
2
− 9 − 16 = 0 ⇒
x
2
− 25 = 0 ⇒ (
x
− 5)(
x
+ 5) = 0 ⇒
[
x
− 5 = 0,
x
+ 5 = 0;
⇒
⇒
[
x
= 5,
x
= − 5.
x
=
±
5.
4
x
− 3
=
x
− 3
4
.
x
− 3 ≠ 0 ⇒
x
≠ 3.
(
x
− 3)
2
= 4
2
⇒ (
x
− 3)
2
− 4
2
= 0 ⇒ (
x
− 3 − 4)(
x
− 3 + 4)0 ⇒ (
x
− 7)(
x
+ 1) = 0 ⇒
[
x
− 7 = 0,
x
+ 1 = 0;
⇒
⇒
[
x
= 7,
x
= − 1.
x
= − 1,
x
= 7.
Аршак Сагателян
5. Уравнения с модулем.
Мы рассмотрим
основных вида уравнений с модулем:
Уравнения первого вида можно свести к простой совокупности двух уравнений:
Пример 1.
Решите уравнение:
Решение:
Ответ:
Следующий вид уравнений, это уравнения, где модуль расположен лишь с одной стороны уравнения:
Пример 2.
Решите уравнение:
Решение:
т.к.
Ответ:
2
1.
|
f
(
x
)
|
=
|
g
(
x
)
|
;
2.
|
f
(
x
)
|
=
g
(
x
);
|
f
(
x
)
|
=
|
g
(
x
)
|
⇒
[
f
(
x
) =
g
(
x
),
f
(
x
) = −
g
(
x
) .
|
x
− 3
|
=
|
2
x
+ 7
|
.
|
x
− 3
|
=
|
2
x
+ 7
|
⇒
[
x
− 3 = 2
x
+ 7,
x
− 3 = − (2
x
+ 7);
⇒
[
x
− 2
x
= 7 + 3,
x
− 3 = − 2
x
− 7;
⇒
[
−
x
= 10,
x
+ 2
x
= − 7 + 3;
⇒
[
x
= − 10,
3
x
= − 4;
⇒
⇒
x
= − 10,
x
= −
4
3
.
x
= − 10,
x
= −
4
3
.
|
f
(
x
)
|
=
g
(
x
)
⇒
[
f
(
x
) =
g
(
x
),
f
(
x
) = −
g
(
x
);
g
(
x
) ≥ 0.
|
x
− 3
|
= 2
x
+ 7.
|
x
− 3
|
= 2
x
+ 7 ⇒
[
x
− 3 = 2
x
+ 7,
x
− 3 = − (2
x
+ 7),
2
x
− 7 ≥ 0;
⇒
[
x
− 2
x
= 7 + 3,
x
− 3 = − 2
x
− 7,
2
x
≥ 7;
⇒
[
−
x
= 10,
x
+ 2
x
= − 7 + 3,
x
≥ 3,5;
⇒
[
x
= − 10,
3
x
= − 4,
x
≥ 3,5;
⇒
⇒
x
= − 10,
x
= −
4
3
,
x
≥ − 3,5;
⇒
x
= −
4
3
,
−10 < − 3,5.
x
= −
4
3
.
Аршак Сагателян
6. Иррациональные уравнения.
Общий вид иррациональных уравнений (если не сильно вдаваться в подробности, так как это все таки
1-я часть):
Для решения этого уравнения мы возводим обе части в квадрат, при условии, что правая часть неот-
рицательна, т.к. Ни подкрошенное выражение, ни сам корень не могут быть отрицательными.
Обратите внимание! Здесь мы не пишем условие, что
т.к.
а
поскольку
квадрат любого выражения неотрицателен.
Пример 1.
Решите уравнение:
Решение:
Заметим, что 3 итак положительное число, поэтому здесь мы не будем писать условие из второй
строчки системы, оно уже очевидно выполнено.
Значит остается лишь возвести обе части уравнения в квадрат:
Ответ:
Пример 2.
Решите уравнение:
Решение:
Решение квадратного уравнения в первой строчке системы проведите самостоятельно, я лишь указал
ответ.
Из двух корней квадратного уравнения, под условие
попадает лишь
Ответ:
f
(
x
) =
g
(
x
);
f
(
x
) =
g
(
x
)
⇒
{
f
(
x
) =
g
(
x
)
2
,
g
(
x
) ≥ 0.
f
(
x
) ≥ 0,
f
(
x
) =
g
(
x
)
2
,
g
(
x
)
2
≥ 0,
2
x
− 3 = 3.
2
x
− 3 = 3
2
⇒ 2
x
− 3 = 9 ⇒ 2
x
= 9 + 3 ⇒ 2
x
= 12 ⇒
x
= 6.
x
= 6.
2
x
− 3 = 2 −
x
.
2
x
− 3 = 2 −
x
⇒
{
2
x
− 3 = 2 −
x
2
,
2 −
x
≥ 0;
⇒
{
2
x
− 3 = 4 − 4
x
+
x
2
,
−
x
≥ − 2;
⇒
{
x
2
− 6
x
+ 7 = 0,
x
≤ 2;
⇒
[
x
= 7,
x
= − 1,
x
≤ 2.
x
≤ 2
x
= − 1.
x
= − 1.
Аршак Сагателян
7. Показательные уравнения.
при любом значении
.
Все показательные уравнения в 1-й части после некоторых преобразований можно свести к виду:
Обратите внимание, что основания слева и справа одинаковые, значит должны быть равны и степени
Для того, чтобы сводить такие уравнения к виду, указанному выше, необходимо уметь грамотно ра-
ботать со степенями, для это важно знать свойства степеней. Эти свойства нужны будут нам и в
других заданиях 1-й части, где нужные преобразования.
Свойства степеней:
Пример 1.
Решите уравнение:
Решение:
Основания слева и справа одинаковые, значит должны быть равны и степени:
Ответ:
Пример 2.
Решите уравнение:
Решение: Заметим, что
Тогда можем разделить обе части уравнения на
Получим:
Ответ:
a
f
(
x
)
,
где
a
> 0,
a
≠ 1,
a
f
(
x
)
> 0,
x
a
−
основание
,
f
(
x
)
и
g
(
x
)
−
показатели степени
.
a
f
(
x
)
=
a
g
(
x
)
.
f
(
x
) =
g
(
x
) .
1.
a
0
= 1;
2.
1
a
= 1;
3.
a
1
=
a
;
4.
a
m
⋅
a
n
=
a
m
+
n
;
5.
a
m
a
n
=
a
n
−
m
;
6.
(
a
n
)
m
=
a
nm
;
7.
a
1
2
=
a
;
8.
a
1
n
=
n
a
;
9.
a
m
n
=
n
a
m
;
10.
(
a
⋅
b
)
n
=
a
n
⋅
b
n
;
11.
(
a
b
)
n
=
a
n
b
n
;
12.
a
−1
=
1
a
;
13.
a
−
n
=
1
a
n
;
14.
(
a
b
)
−1
=
b
a
;
15.
(
a
b
)
−
n
=
(
b
a
)
n
.
16
x
−9
=
1
2
.
16
x
−9
=
1
2
⇒ (2
4
)
x
−9
= 2
−1
⇒ 2
4⋅(
x
−9)
= 2
−1
4 ⋅ (
x
− 9) = − 1 ⇒ 4
x
− 36 = − 1 ⇒ 4
x
= 36 − 1 ⇒ 4
x
= 35 ⇒
x
=
35
4
⇒
x
= 8,75.
x
= 8,75.
2
3+
x
= 0,4 ⋅ 5
3+
x
.
0,4 =
4
10
=
2
5
.
5
3+
x
> 0.
2
3+
x
5
3+
x
=
2
5
⇒
(
2
5
)
3+
x
=
2
5
⇒
(
2
5
)
3+
x
=
(
2
5
)
1
⇒ 3 +
x
= 1 ⇒
x
= 1 − 3 ⇒
x
= − 2.
x
= − 2.
Аршак Сагателян
8. Логарифмические уравнения.
Что происходит, если мы не можем свести показательное уравнение к виду
Например,
Числа
и
– простые, а значит мы не можем представить одно, в виде степени
другого. Что же делать? Отсюда пошло понятие логарифма
где
– основание,
– аргумент
логарифма.
Выше приведено определение логарифма.
Иными словами, логарифм отвечает на вопрос, в какую степень нужно возвести основание
, чтобы
получить аргумент
Например,
По сути мы сводим логарифмическое уравнение к показательному,
ставя вместо неизвестной переменную
Или же, если мы не знаем в какую степень возводить, как в случае
то используем логарифм:
У логарифма есть некоторые ограничения!
ОДЗ:
Для того чтобы решать логарифмические уравнения необходимо уметь упрощать логарифмические
выражения, поэтому важно знать свойства логарифм и грамотно с ними работать. Эти свойства
нужны будут нам и в других заданиях 1-й части, где нужные преобразования.
Свойства логарифма:
Свойство №3 называется "основным логарифмическим тождеством".
Обратите внимание! Строго говоря, свойствах
мы избавляемся от степени, поэтому важно
учитывать, что, если степень четная, то избавляясь, мы обязаны поставить знак модуля, поскольку,
по сути, мы для того чтобы избавиться например от степени
, мысленно возводим выражение в сте-
пень
, которая является квадратным корнем. А, как мы знаем,
в то время как в
корне
ведь тут
уже может быть отрицательным.
В 1-й части есть в основном
типа логарифмических уравнений, все остальные, так или иначе, сво-
дятся к этим двум:
a
f
(
x
)
=
a
g
(
x
)
?
2
x
= 5.
2
5
log
a
b
,
a
b
log
a
b
=
c
⟺
a
c
=
b
.
log
a
b
= ?
⟺
a
?
=
b
.
a
b
?
log
3
27 = ?
⟺ 3
?
= 27.
x
.
3
x
= 27 ⇒ 3
x
= 3
3
⇒
x
= 3.
2
x
= 5,
x
= log
2
5.
a
> 0,
a
≠ 1,
b
> 0.
1.
log
a
1 = 0;
2.
log
a
a
= 1;
3.
a
log
a
b
=
b
;
4.
log
a
bc
= log
a
b
+ log
a
c
;
5.
log
a
b
c
= log
a
b
− log
a
c
;
6.
log
a
b
n
=
n
⋅ log
a
b
;
7.
log
a
m
b
=
1
m
log
a
b
;
8.
log
a
m
b
n
=
n
m
log
a
b
;
9.
log
a
n
b
n
= log
a
b
;
10.
log
a
b
=
1
log
b
a
;
11.
log
a
b
=
log
c
b
log
c
a
;
12.
a
log
b
c
=
c
log
b
a
;
13.
log
a
b
⋅ log
c
d
= log
c
b
⋅ log
a
d
.
6 − 9
2
1
2
(
a
)
2
=
a
,
при
a
> 0,
a
2
=
|
a
|
,
a
2
Аршак Сагателян
Рассмотрим для начала
-ый тип.
Наше уравнение можно свести к системе двух выражений:
Здесь неважно, какое из условий брать в нижней строчке,
, потому что если ка-
кая-то из функций больше нуля, то другая автоматически тоже будет больше нуля, поскольку в первой
строчке системы мы их приравниваем. Поэтому берут обычно ту функцию, с которой проще рабо-
тать.
Пример 1.
Решите уравнение:
Решение:
Заметим, что несмотря на равенство оснований логарифмов в левой и правой частях, в этом уравне-
нии пока что нельзя просто приравнять аргументы логарифмов, поскольку в правой части уравнения
стоит не только логарифм, а произведение
и
Поэтому, сначала нам необходимо сделать так, чтобы справа был только логарифм по основанию ,
без каких либо коэффициентов или иных множителей за логарифмом. Поэтому воспользуемся логариф-
мическим свойством №6:
Теперь наше уравнение уже имеет вид:
Обратите внимание, что
итак положительное число, поэтому в рамках этого уравнения, можно
просто отбросить нижнюю строчку системы, она уже выполнена автоматически, и нам не нужно
писать условия на то, что
Тогда получаем:
Ответ:
Пример 2.
Решите уравнение:
Решение:
Заметим, что, как и в предыдущем примере, несмотря на равенство оснований логарифмов в левой и
правой частях, в этом уравнении тоже пока что нельзя просто приравнять аргументы логарифмов,
поскольку в правой части уравнения стоит не только логарифм, а сумма
и
Преобразуем правую часть, по свойствам
и
:
Получим уравнение:
Тогда получаем
т.к. это значение удовлетворяет нижнему условию системы.
1. log
a
f
(
x
) = log
a
g
(
x
);
2. log
a
f
(
x
) =
g
(
x
) .
1
log
a
f
(
x
) = log
a
g
(
x
)
⟺
{
f
(
x
) =
g
(
x
),
f
(
x
) > 0
или
g
(
x
) > 0.
f
(
x
) > 0
или
g
(
x
) > 0
log
5
(
5 −
x
)
= 2 log
5
3.
2
log
5
3.
5
2 log
5
3 = log
5
(
3
2
)
= log
5
9.
log
a
f
(
x
) = log
a
g
(
x
) .
9
5 −
x
> 0.
5 −
x
= 9 ⇒ −
x
= 9 − 5 ⇒ −
x
= 4 ⇒
x
= − 4.
x
= − 4.
log
5
(
7 −
x
)
= log
5
(
3 −
x
)
+ 1.
1
log
5
(
3 −
x
)
.
2
4
log
5
(
3 −
x
)
+ 1 = log
5
(
3 −
x
)
+ log
5
5 = log
5
(
5 ⋅ (3 −
x
)
)
= log
5
(
15 − 5
x
)
.
log
5
(
7 −
x
)
= log
5
(
15 − 5
x
)
.
log
5
(
7 −
x
)
= log
5
(
15 − 5
x
)
⇒
{
7 −
x
= 15 − 5
x
,
7 −
x
> 0;
⇒
{
−
x
+ 5
x
= 15 − 7,
−
x
> − 7;
⇒
{
4
x
= 8,
x
< 7;
⇒
{
x
= 2,
x
< 7;
x
= 2,
Аршак Сагателян
Обратите внимание, что нижним условием могло быть и
и ко-
рень
удовлетворял бы и этому условию. Но мы взяли
просто потому что числа в этом
неравенстве меньше и с ним приятнее работать.
Ответ:
Рассмотрим теперь
-ый тип уравнений.
Наше уравнение можно свести к уравнению:
Здесь уже не нужно никаких условий на то, что
поскольку мы получаем
т.е. справа
показательная функция, которая всегда положительна
Пример 3.
Решите уравнение:
Решение:
Ответ:
Пример 4.
Решите уравнение:
Решение:
Рассмотрим 2 способа решения: через определение логарифма и через 6-е свойство.
1 способ:
По определению логарифма:
Ответ:
2 способ:
Воспользуемся свойством №6:
Ответ:
Пример 5.
Решите уравнение:
Решение:
Найдем ОДЗ:
15 − 5
x
> 0 ⇒ − 5
x
> − 15 ⇒
x
< 3,
x
= 2
7 −
x
> 0,
x
= 2.
2
log
a
f
(
x
) =
g
(
x
)
⟺
f
(
x
) =
a
g
(
x
)
.
f
(
x
) > 0,
f
(
x
) =
a
g
(
x
)
,
a
g
(
x
)
> 0.
log
1
7
(
7 −
x
)
= − 2.
log
1
7
(
7 −
x
)
= − 2 ⇒ 7 −
x
=
(
1
7
)
−2
⇒ 7 −
x
=
(
7
−1
)
−2
⇒ 7 −
x
= 7
−1⋅(−2)
⇒ 7 −
x
= 7
2
⇒
⇒ 7 −
x
= 49 ⇒ −
x
= 49 − 7 ⇒ −
x
= 42 ⇒
x
= − 42.
x
= − 42.
log
8
2
8
x
−4
= 4.
log
8
2
8
x
−4
= 4 ⇒ 2
8
x
−4
= 8
4
⇒ 2
8
x
−4
=
(
2
3
)
4
⇒ 2
8
x
−4
= 2
12
⇒ 8
x
− 4 = 12 ⇒ 8
x
= 12 + 4 ⇒
⇒ 8
x
= 16 ⇒
x
= 2.
x
= − 2,5.
log
8
2
8
x
−4
= 4 ⇒ (8
x
− 4) ⋅ log
8
2 = 4 ⇒ (8
x
− 4) ⋅
1
3
= 4 ⇒ 8
x
− 4 = 4 ⋅ 3 ⇒ 8
x
= 4 + 12 ⇒
⇒ 8
x
= 16 ⇒
x
= 2.
x
= 2.
log
x
32 = 5.
x
> 0,
x
≠ 1.
Аршак Сагателян
Решать уравнение будем строго по определению логарифма:
– корень удовлетворяет ОДЗ.
Ответ:
Пример 6.
Решите уравнение:
Решение:
Обратим внимание, что это уравнение можно рассматривать и как показательное уравнение с лога-
рифмическим показателем степени, и как логарифмическое, в котором в неявном виде содержится ос-
новное логарифмическое тождество. Получается некоторое смешанное уравнение.
Рассмотрим 2 способа решения.
1 способ:
Сведем логарифмическое уравнение к иррациональному:
Ответ:
2 способ:
Сведем показательное уравнение к логарифмическому, а затем к линейному:
Ответ:
Пример 7.
Решите уравнение:
Решение:
Ответ:
log
x
32 = 5 ⇒ 32 =
x
5
⇒
x
5
= 2
5
⇒
x
= 2
x
= 2.
2
log
8
(
5
x
− 3
)
= 4.
2
log
8
(
5
x
− 3
)
= 4 ⇒ 2
log
2
3
(
5
x
− 3
)
= 4 ⇒ 2
1
3
log
2
(
5
x
− 3
)
= 4 ⇒
(
2
log
2
(
5
x
− 3
)
)
1
3
= 4 ⇒ (5
x
− 3)
1
3
= 4 ⇒
⇒
3
5
x
− 3 = 4 ⇒ 5
x
− 3 = 4
3
⇒ 5
x
− 3 = 64 ⇒ 5
x
= 67 ⇒
x
= 13,4.
x
= 13,4.
2
log
8
(
5
x
− 3
)
= 4 ⇒ 2
log
8
(
5
x
− 3
)
= 2
2
⇒ log
8
(
5
x
− 3
)
= 2 ⇒ 5
x
− 3 = 8
2
⇒ 5
x
− 3 = 64 ⇒
⇒ 5
x
= 67 ⇒
x
= 13,4.
x
= 13,4.
log
2
x
6
= log
0,5
(
x
− 1
)
.
log
2
x
6
= log
0,5
(
x
− 1
)
⇒ log
2
x
6
= log
2
(−1)
(
x
− 1
)
⇒ log
2
x
6
= − log
2
(
x
− 1
)
⇒ log
2
x
6
= log
2
(
(
x
− 1
)
−1
)
⇒
⇒
x
6
=
1
x
− 1
,
x
6
> 0;
⇒
{
x
(
x
− 1) = 6,
x
> 0;
⇒
{
x
2
−
x
− 6 = 0,
x
> 0;
⇒
[
x
= − 2,
x
= 3,
x
> 0;
⇒
x
= 3.
x
= 3.
Аршак Сагателян
9. Простейшие тригонометрические уравнения.
В 1-й части мы будем рассматривать только простейшие тригонометрические уравнения вида:
где
Заметим, что для функций
и
важно ограничение на
, в то время как функции
и
–
неограниченны.
Решение любого тригонометрического уравнения, как правило, сводится к решению одного или несколь-
ких простейших тригонометрических уравнений. Простейшие тригонометрические уравнения мы бу-
дем решать с помощью тригонометрической окружности.
Вообще говоря, тригонометрические уравнения имеют бесконечное множество корней, поскольку в
одну и ту же точку мы можем попасть бесконечное количество раз, просто пройдя полный оборот по
тригонометрической окружности. Когда мы, например, бежим эстафету на круговой стадионе, в ко-
нечном мы снова попадаем в ту же самую точку, но это же не значит, что мы не бежали эстафету,
мы ее пробежали, но просто оказались в той же точке, что и до старта соревнований. Так же и со
значением корня.
Так, ну начнем с уравнений вида:
Напомним, что на тригонометрической окружности по определению
– это абсцисса точки
.
(Ось абсцисс – горизонтальная ось, а ось ординат – вертикальная ось в системе координат).
если это не так, то уравнение не будет имеет решений.
Нас интересуют точки тригонометрической окружности, которые имеют абсциссу
.
Видно, что имеется лишь одна такая точка:
Эта точка соответствует бесконечному множеству углов:
…
Все перечисленные углы получаются из нулевого угла прибавлением целого числа углов
(т.е. несколь-
ких полных оборотов как в одну, так и в другую сторону).
Следовательно, все эти углы могут быть записаны одной формулой:
cos
x
=
a
,
sin
x
=
a
,
a
∈
[
−1; 1
]
.
tg
x
=
a
,
ctg
x
=
a
.
sin
x
cos
x
a
tg
x
ctg
x
cos
x
=
a
.
cos
x
x
a
∈
[
−1; 1
]
,
1.
cos
x
= 1.
1
x
= 2
π n
,
n
∈
ℤ .
0,
±
2
π
,
±
4
π
,
±
6
π
,
.
2
π
x
= 2
π n
,
n
∈
ℤ .
Аршак Сагателян
Для описания множества углов, отвечающих одной точке тригонометрической окружности, нужно
взять какой-либо один угол из этого множества и прибавить
.
Здесь например это
но ноль можно не писать. Вообще говоря в данном уравнении корни мож-
но записать как
… , но ответ принято записывать в промежутке
На тригонометрической окружности имеется лишь одна точка с абсциссой
:
Эта точка соответствует углу
и всем углам, отличающихся от
на несколько полных оборотов в
обе стороны, то есть на целое число полных углов.
Следовательно, все решения уравнения записываются формулой:
Отмечаем на тригонометрической окружности точки с нулевой абсциссой. Их две:
2
π n
0 + 2
π n
,
0 + 2
π n
, 2
π
+ 2
π n
, − 2
π
+ 2
π n
,
(−
π
;
π
] .
2.
cos
x
= − 1.
−1
x
=
π
+ 2
π n
,
n
∈
ℤ .
π
π
x
=
π
+ 2
π n
,
n
∈
ℤ .
3.
cos
x
= 0.
x
=
π
2
+
π n
,
n
∈
ℤ .
Аршак Сагателян
Эти точки диаметрально противоположны (то есть служат концами диаметра тригонометрической
окружности). Все углы, отвечающие точкам диаметральной пары, отличаются друг от друга на целое
число углов π (т.е. на целое число полуоборотов как в одну, так и в другую сторону).
Для описания множества углов, отвечающих диаметральной паре точек тригонометрической окруж-
ности, нужно взять один угол из этого множества и прибавить
.
Следовательно, все решения данного уравнения можно описать формулой:
Имеем пару точек с абсциссой
Все углы, соответствующие верхней точке, опи-
сываются формулой:
Все углы, соответствующие нижней точке, опи-
сываются формулой:
Обе серии решений можно описать одной фор-
мулой:
Далее уравнения решаются совершенно аналогично, поэтому для каждого уравнения будут приведены
лишь рисунок и ответ.
π n
x
=
π
2
+
π n
,
n
∈
ℤ .
4.
cos
x
=
1
2
.
1
2
:
x
1
=
π
3
+ 2
π n
,
n
∈
ℤ .
x
2
= −
π
3
+ 2
π n
,
n
∈
ℤ .
x
=
±
π
3
+ 2
π n
,
n
∈
ℤ .
5.
cos
x
=
2
2
.
x
=
±
π
4
+ 2
π n
,
n
∈
ℤ .
Аршак Сагателян
До сих пор мы рассматривали уравнения, в правой части которых стояли табличные значения косину-
са. Но что делать в иных случаях?
Введем понятие обратной тригонометрической функции. Вообще говоря, обратная функция – функция,
обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Например, если функция от x даёт y, то об-
ратная ей функция от y даёт x. Обратная функция функции обычно обозначается
Например, для функции
обратная ей функция будет
6.
cos
x
= −
3
2
.
x
=
±
5
π
6
+ 2
π n
,
n
∈
ℤ .
7.
cos
x
= −
1
2
.
x
=
±
2
π
3
+ 2
π n
,
n
∈
ℤ .
f
f
−1
.
f
(
x
) =
x
2
,
f
−1
=
x
.
Аршак Сагателян
Для тригонометрических функций эти функции называются арк-функциями:
Тогда, в общем случае, решение уравнения:
Данная формула обобщает все случаи, рассмотренные выше значения.
То есть, по сути, можно сказать, что табличные значения углов – это табличные значения для
арк-функций, например,
Теперь рассмотрим уравнения вида:
На тригонометрической окружности по определению
– это ордината точки
.
Также как и для
здесь
если это не так, то уравнение не будет имеет решений.
На тригонометрической окружности имеется единственная точка с ординатой
f
(
x
) = sin
x
⇒
f
−1
(
x
) = arcsin
x
;
f
(
x
) = cos
x
⇒
f
−1
(
x
) = arccos
x
;
f
(
x
) =
tg
x
⇒
f
−1
(
x
) =
arctg
x
;
f
(
x
) =
ctg
x
⇒
f
−1
(
x
) =
arcctg
x
.
cos
x
=
a
⇒
x
=
±
arccos
a
+ 2
π n
.
arccos
1
2
=
π
3
.
sin
x
=
a
.
sin
x
x
cos
x
=
a
,
a
∈
[
−1; 1
]
,
1.
sin
x
= 1.
1 :
x
=
π
2
+ 2
π n
,
n
∈
ℤ .
Аршак Сагателян
На тригонометрической окружности имеются две точки с нулевой ординатой:
На тригонометрической окружности есть пара точек с ординатой
Правой точке соответствуют значения:
Левой точке соответствуют значения:
Обе серии решений
и
можно записать в
виде совокупности:
Вообще говоря, существует объединенная формула для записи корней такого уравнения, но она часто
вызывает трудности у учащихся, и она удобна лишь для записи ответа, но совершенно неудобная с
практической точки зрения, поэтому сейчас мы ее здесь запишем, но дальше ограничимся рассмотре-
нием решений уравнений без ее обоснования.
2.
sin
x
= 0.
x
=
π n
,
n
∈
ℤ .
3.
sin
x
=
1
2
.
1
2
:
x
1
=
π
6
+ 2
π n
,
n
∈
ℤ .
x
2
=
5
π
6
+ 2
π n
,
n
∈
ℤ .
x
1
x
2
x
=
π
6
+ 2
π n
,
x
=
5
π
6
+ 2
π n
;
n
∈
ℤ
x
=
(
−1
)
n
π
6
+
π n
,
n
∈
ℤ .
Аршак Сагателян
Аналогично предыдущему виду уравнений:
Рассмотрим уравнения вида:
Здесь мы уже не требуем того, чтобы
Вполне ожидаемый результат, ведь:
4.
sin
x
= −
3
2
.
x
= −
π
3
+ 2
π n
,
x
= −
2
π
3
+ 2
π n
;
n
∈
ℤ .
x
=
(
−1
)
n
(
−
π
3
)
+
π n
,
n
∈
ℤ ⇒
x
=
(
−1
)
n
+1
π
3
+
π n
,
n
∈
ℤ .
sin
x
=
a
⇒
[
x
= arcsin
a
+ 2
π n
,
x
=
π
− arcsin
a
+ 2
π n
;
или
x
=
(
−1
)
n
arcsin
a
+
π n
,
n
∈
ℤ .
tg
x
=
a
.
a
∈
[
−1; 1
]
.
1.
tg
x
= 0.
x
=
π n
,
n
∈
ℤ .
tg
x
=
sin
x
cos
x
⇒
tg
x
= 0 ⟺
sin
x
cos
x
= 0 ⇒
⇒ sin
x
= 0 ⇒
x
=
π n
,
n
∈
ℤ .
Аршак Сагателян
Для решения этого уравнения, нам понадобиться ось тангенсов.
Тогда получаем, что в общем виде решение уравнения:
2.
tg
x
=
1
3
.
x
=
π
6
+
π n
,
n
∈
ℤ .
3.
tg
x
= −
3 .
x
= −
π
3
+
π n
,
n
∈
ℤ .
tg
x
=
a
⇒
x
=
arctg
a
+
π n
,
n
∈
ℤ .
Аршак Сагателян
Ну и наконец последний вид уравнений:
Здесь мы тоже не требуем того, чтобы
Вполне ожидаемый результат, ведь:
Для решения этого уравнения, нам понадобиться ось котангенсов.
Тогда получаем, что в общем виде решение уравнения:
ctg
x
=
a
.
a
∈
[
−1; 1
]
.
1.
сtg
x
= 0.
x
=
π
2
+
π n
,
n
∈
ℤ .
ctg
x
=
cos
x
sin
x
⇒
ctg
x
= 0 ⟺
cos
x
sin
x
= 0 ⇒
⇒ cos
x
= 0 ⇒
x
=
π
2
+
π n
,
n
∈
ℤ .
2.
ctg
x
= − 1.
x
= −
π
4
+
π n
,
n
∈
ℤ .
ctg
x
=
a
⇒
x
=
arcctg
a
+
π n
,
n
∈
ℤ .
Аршак Сагателян
Пример 1.
Найдите корни уравнения:
В ответ запишите наименьший положительный корень.
Решение:
Преобразуем это выражение и выразим из него
Значениям
соответствуют положительные корни.
Если
то
и
Далее при уменьшении
на
мы будем получать корни, которые каждый раз уменьшаются на
а зна-
чит будем получать уже отрицательные корни, что нам не подходит.
А если мы будем увеличивать
то будем получать еще большие значения, чем получили выше.
Значит получаем, что наименьшим положительным корнем данного уравнения будет
так как
– не является положительным корнем.
Ответ:
Пример 2.
Найдите корни уравнения:
В ответ запишите наименьший положительный корень.
Решение:
Преобразуем это выражение и выразим из него
Значению
соответствует
Положительным значениям
соответствуют положитель-
ные значения
, отрицательным значениям
соответствуют меньшие значения значения
. Следова-
тельно, наибольшим отрицательным корнем является число
Ответ:
cos
π
(
x
− 7)
3
=
1
2
.
cos
π
(
x
− 7)
3
=
1
2
⇒
π
(
x
− 7)
3
=
±
π
3
+ 2
π n
,
n
∈
ℤ .
x
:
π
(
x
− 7)
3
=
±
π
3
+ 2
π n
,
n
∈
ℤ ⇒
π
(
x
− 7) =
±
π
+ 6
π n
,
n
∈
ℤ ⇒
x
− 7 =
±
1 + 6
n
,
n
∈
ℤ ⇒
⇒
x
=
[
x
= 8 + 6
n
,
x
= 6 + 6
n
;
n
∈
ℤ .
n
≥ 0
n
= − 1,
x
= 2
x
= 0.
n
1
6,
n
,
x
= 2,
x
= 0
x
= 2.
tg
π x
4
= − 1.
tg
π x
4
= − 1 ⇒
π x
4
= −
π
4
+
π n
,
n
∈
ℤ .
x
:
π x
4
= −
π
4
+
π n
⇒
π x
= −
π
+ 4
π n
⇒
x
= − 1 + 4
n
,
n
∈
ℤ .
n
= 0
x
= − 1.
n
x
n
x
−1.
x
= − 1.
Аршак Сагателян
Задачи с прикладным содержанием.
1. Линейные уравнения и неравенства.
Пример 1.
Некоторая компания продает свою продукцию по цене
руб. за единицу, переменные затраты на
производство одной единицы продукции составляют
руб., постоянные расходы предприятия
руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по фор-
муле
Определите месячный объeм производства q (единиц продукции), при котором
месячная операционная прибыль предприятия будет равна
руб.
Решение:
Задача сводится к нахождению
из уравнения
руб. при заданных значениях цены, пере-
менных затрат на производство и постоянных расходов предприятия в месяц:
Ответ:
руб.
Пример 2.
При температуре
рельс имеет длину
м. При возрастании температуры происходит тепло-
вое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону
где
– коэффициент теплового расширения,
– температура (в градусах Цельсия). При
какой температуре рельс удлинится на
мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.
Решение:
Задача сводится к нахождению
из уравнения
мм при заданных значениях длины и коэф-
фициента теплового расширения:
мм
м
Ответ:
p
= 500
v
= 300
f
= 700 000
π
(
q
) =
q
(
p
−
v
) −
f
.
300 000
q
π
(
q
) = 300 000
300 000 =
q
⋅ (500 − 300) − 700 000 ⇒ 200
q
= 1 000 000 ⇒
q
= 5000.
5000
0
∘
C
l
0
= 10
l
(
t
∘
) =
l
0
(1 +
α
⋅
t
∘
),
α
= 1,2 ⋅ 10
−5
(
∘
C
)
−1
t
∘
3
t
∘
l
(
t
∘
) −
l
0
= 3
3
= 3 ⋅ 10
−3
⇒
l
(
t
∘
) −
l
0
= 3 ⋅ 10
−3
=
l
0
(1 +
α
⋅
t
∘
) −
l
0
⇒
l
0
⋅
α
⋅
t
∘
= 3 ⋅ 10
−3
⇒
⇒ 10 ⋅ 1,2 ⋅ 10
−5
⋅
t
∘
= 3 ⋅ 10
−3
⇒
t
∘
=
3 ⋅ 10
−3
10 ⋅ 1,2 ⋅ 10
−5
= 25 (
∘
C
) .
25 (
∘
C
) .
Аршак Сагателян
2. Дробно-рациональные уравнения и неравенства.
Пример 1.
В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет
Ом.
Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наи-
меньшее возможное сопротивление
этого электрообогревателя, если известно, что при параллель-
ном соединении двух проводников с сопротивлениями
Ом и
Ом их общее сопротивление задаeтся
формулой
Ом, а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в
ней должно быть не меньше
Ом. Ответ выразите в омах.
Решение:
Задача сводится к решению неравенства
Ом при известном значении сопротивления приборов
Ом:
Значит наименьшее возможное сопротивление
этого электрообогревателя равно
Ом.
Ответ:
Ом.
Пример 2.
Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые им-
пульсы частотой
МГц. Скорость погружения батискафа вычисляется по формуле
где
м/с – скорость звука в воде,
– частота испускаемых импульсов, – частота отражённо-
го от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц). Определите частоту отражённого сигнала в
МГц, если скорость погружения батискафа равна
м/с.
Решение:
Задача сводится к нахождению из уравнения
м/с при известных значениях скорости звука в воде
и частоты испускаемых импульсов:
МГц.
Ответ:
МГц.
R
1
= 90
R
2
R
1
R
2
R
=
R
1
R
2
R
1
+
R
2
9
R
≥ 9
R
1
= 90
R
≥ 9 ⇒
90
R
2
90 +
R
2
≥ 9 ⇒ 90
R
2
≥ 9
(
90 +
R
2
)
⇒ 90
R
2
≥ 810 + 9
R
2
⇒ 81
R
2
≥ 810 ⇒
R
2
≥ 10.
R
2
10
10
749
v
=
c
⋅
f
−
f
0
f
+
f
0
,
c
= 1500
f
0
f
2
f
v
= 2
2 = 1500 ⋅
f
− 749
f
+ 749
⇒ 2(
f
+ 749) = 1500(
f
− 749)
⇒
f
+ 749 = 750(
f
− 749)
⇒ 749
f
= 749 +
+ 750 ⋅ 749 ⇒ 749
f
= 749(1 + 750) ⇒ 749
f
= 749 ⋅ 751 ⇒
f
= 751
751
Аршак Сагателян
3. Квадратные и степенные уравнения и неравенства.
Пример 1.
На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция
имеет кубическую форму, а значит, действующая на аппарат выталкивающая сила (Сила Архимеда),
выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле:
где – длина ребра куба в метрах,
плотность воды, а
Н/кг– ускорение свободного падения. Какой может быть
максимальная длина ребра куба, чтобы обеспечить его эксплуатацию в условиях, когда выталкивающая
сила при погружении будет не больше, чем
Н? Ответ выразите в метрах.
Решение:
Задача сводится к решению неравенства
при заданных значениях плотности воды и уско-
рении свободного падения:
Значит максимальная длина ребра куба
м.
Ответ:
м.
Пример 2.
После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время t падения небольших
камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле
где
– расстояние в мет-
рах, – время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло
с. На сколько дол-
жен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на
с? Ответ выра-
зите в метрах.
Решение:
Пусть
– расстояние до воды до дождя,
– расстояние до воды после дождя. После дождя уровень
воды в колодце повысится, расстояние до воды уменьшится, и время падения уменьшится, станет
равным
с. Уровень воды поднимется на
метров.
м.
Ответ:
м.
F
A
=
ρgl
3
,
l
ρ
= 1000
кг/м
3
g
= 9,8
78 400
F
A
≤ 78 400
F
A
=
ρgl
3
≤ 78 400 ⇒ 1000 ⋅ 9,8 ⋅
l
3
≤ 78 400 ⇒
l
3
≤
78 400
1000 ⋅ 9,8
⇒
l
3
≤ 8 ⇒
l
3
≤ 2
3
⇒
l
≤ 2.
l
= 2
2
h
= 5
t
2
,
h
t
0,6
0,2
h
1
h
2
t
= 0,6 − 0,2 = 0,4
h
1
−
h
2
h
1
−
h
2
= 5 ⋅ 0,6
2
− 5 ⋅ 0,4
2
= 5 (0,6
2
− 0,4
2
) = 5 (0,6 − 0,4) (0,6 + 0,4) = 5 ⋅ 0,2 ⋅ 1 = 1
1
Аршак Сагателян
4. Показательные и иррациональные уравнения и неравенства.
Пример 1.
Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде
где
(Па) — давление
газа,
— объeм газа в кубических метрах,
— положительная константа. При каком наименьшем
значении константы
уменьшение в
раз объeма газа, участвующего в этом процессе, приводит к
увеличению давления не менее, чем в
раз?
Решение:
Пусть
и
– начальные, а
и
– конечные значения объема и давления газа, соответственно.
Условие
означает, что
откуда
Задача сводится к решению
неравенства
причем по условию
Наименьшее значение константы
Ответ:
Пример 2.
Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением
. Скорость
вычисляется по формуле
где – пройденный автомобилем путь. Найдите ускорение, с кото-
рым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав один километр, приобрести скорость
км/ч.
Ответ выразите в
.
Решение:
Найдём, при каком ускорении гонщик достигнет требуемой скорости, проехав один километр. Задача
сводится к решению уравнения
при известном значении пройденного пути:
Ответ:
pV
a
=
const
,
p
V
a
a
25
5
p
1
V
1
p
2
V
2
pV
a
=
con st
,
p
1
V
a
1
=
p
2
V
a
2
,
p
2
p
1
=
(
V
1
V
2
)
a
.
p
2
p
1
≥ 5,
V
1
V
2
= 25 :
p
2
p
1
=
(
V
1
V
2
)
a
≥ 5 ⇒ 25
a
≥ 5 ⇒ 5
2
a
≥ 5
1
⇒ 2
a
≥ 1 ⇒
a
≥ 0,5.
a
= 0,5.
a
= 0,5.
a
км/ч
2
v
=
2
l a
,
l
100
км/ч
2
2
l a
= 100
2
la
= 100 ⇒
2
a
= 100 ⇒ 2
a
= 10 000 ⇒
a
= 5 000
км/ч
2
.
5 000
км/ч
2
.
Аршак Сагателян
5. Логарифмические уравнения и неравенства.
Пример 1.
Ёмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре
Ф. Параллельно с конденсатором
подключен резистор с сопротивлением
Ом. Во время работы телевизора напряжение на
конденсаторе
кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до зна-
чения
(кВ) за время, определяемое выражением
(с), где
– постоянная. Опре-
делите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошла
с. Ответ дайте в
киловольтах.
Решение:
Задача сводится к решению уравнения
при заданных значениях начального напряжения на кон-
денсаторе, сопротивления резистора и ёмкости конденсатора:
кВ.
Ответ:
кВ.
Пример 2.
Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне
через радиа-
тор отопления пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубу воды
кг/с. Проходя
по трубе расстояние
, вода охлаждается от начальной температуры
до температуры
причем расстояние
где
– теплоeмкость воды,
– коэффициент теплообмена,
Найдите, до какой температуры (в градусах Цель-
сия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна
м.
Решение:
Задача сводится к решению уравнения
при заданных значениях теплоёмкости
воды, коэффициента теплообмена, постоянной
, температуры помещения и расхода воды:
Ответ:
C
= 2 ⋅ 10
−6
R
= 5 ⋅ 10
6
U
0
= 16
U
t
=
α RC
log
2
U
0
U
α
= 0,7
21
t
= 21
0,7 ⋅ 5 ⋅ 10
6
⋅ 2 ⋅ 10
−6
⋅ log
2
16
U
= 21 ⇒ 7 log
2
16
U
= 21 ⇒ log
2
16
U
= 3 ⇒ log
2
16 − log
2
U
= 3 ⇒
⇒ log
2
(
2
4
)
− log
2
U
= 3 ⇒ 4 − log
2
U
= 3 ⇒ log
2
U
= 1 ⇒
U
= 2
2
T
1
= 20
∘
C
,
m
= 0,3
x
T
2
= 60
∘
C
T
(
∘
C
),
x
=
α
cm
γ
log
2
T
2
−
T
1
T
−
T
1
,
c
= 4,2 ⋅ 10
3
Дж
кг
⋅
º
C
γ
= 21
Вт
м
⋅
º
C
α
= 0,7.
84
α
cm
γ
log
2
T
2
−
T
1
T
−
T
1
= 84,
α
0,7 ⋅
4,2 ⋅ 10
3
⋅ 0,3
21
log
2
60 − 20
T
− 20
= 84 ⇒ log
2
40
T
− 20
= 2 ⇒
40
T
− 20
= 2
2
⇒
40
T
− 20
= 4 ⇒
⇒
10
T
− 20
= 1 ⇒
T
− 20 = 10 ⇒
T
= 30 (
∘
C
) .
T
= 30 (
∘
C
) .
Аршак Сагателян
6. Тригонометрические уравнения и неравенства.
Пример 1.
Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде
где
(Па) — давление
газа,
— объeм газа в кубических метрах,
— положительная константа. При каком наименьшем
значении константы
уменьшение в
раз объeма газа, участвующего в этом процессе, приводит к
увеличению давления не менее, чем в
раз?
Решение:
Пусть
и
– начальные, а
и
– конечные значения объема и давления газа, соответственно.
Условие
означает, что
откуда
Задача сводится к решению
неравенства
причем по условию
Наименьшее значение константы
Ответ:
Пример 2.
При нормальном падении света с длиной волны
нм на дифракционную решeтку с периодом
нм
наблюдают серию дифракционных максимумов. При этом угол
(отсчитываемый от перпендикуляра к
решетке), под которым наблюдается максимум, и номер максимума связаны соотношением
Под каким минимальным углом
(в градусах) можно наблюдать второй максимум на
решетке с периодом, не превосходящим
нм?
Решение:
Задача сводится к решению неравенства
нм на интервале
при заданных значениях
длины волны света и номера максимума:
Отсюда получаем, что минимальный угол, под которым можно наблюдать второй максимум
Ответ:
pV
a
=
const
,
p
V
a
a
25
5
p
1
V
1
p
2
V
2
pV
a
=
con st
,
p
1
V
a
1
=
p
2
V
a
2
,
p
2
p
1
=
(
V
1
V
2
)
a
.
p
2
p
1
≥ 5,
V
1
V
2
= 25 :
p
2
p
1
=
(
V
1
V
2
)
a
≥ 5 ⇒ 25
a
≥ 5 ⇒ 5
2
a
≥ 5
1
⇒ 2
a
≥ 1 ⇒
a
≥ 0,5.
a
= 0,5.
a
= 0,5.
λ
= 400
d
φ
k
d
sin
φ
=
k λ
.
φ
1600
d
≤ 1600
(
0
∘
, 90
∘
)
d
=
k λ
sin
φ
⇒
k λ
sin
φ
≥ 1600 ⇒ 1600 sin
φ
≥ 2 ⋅ 400 ⇒ sin
φ
≥
1
2
⇒
φ
≥
π
6
.
φ
= 30
∘
.
φ
= 30
∘
.
Аршак Сагателян
Текстовые задачи.
1. Задачи на движение.
– путь,
– скорость, – время.
1.1. Скорость сближения.
Если в задаче движутся два тела, то можно перейти в так называемую "систему отсчета" одного из
них. Тогда получится, что это тело покоится, а другое движется со скоростью сближения
Как,
например, когда мы проезжаем деревья сидя в машине, нам кажется, что они движутся назад, хотя
на самом деле движемся мы.
Движение навстречу друг к другу:
Движение в догонку или с отставанием:
1.2. Средняя скорость.
Давайте рассмотрим на примере, как находить
если мы не знаем всё время или весь путь.
Равные промежутки пути.
Пусть расстояние между пунктами
и
равно
. Тогда если разбить этот промежуток на 2 равных,
получим по
Пусть первую половину пути мы двигались с известной скоростью
и затратили на
это неизвестное время
а вторую половину пути мы двигались с известной скоростью
и затрати-
ли неизвестное время
Равные промежутки времени.
Пусть расстояние
между пунктами
и
тело преодолевает за время . Разобьем этот промежуток
на неизвестные промежутки
и
на каждый из которых затрачено известное количество времени
по
Пусть первую половину времени мы двигались с известной скоростью
а вторую половину
времени мы двигались с известной скоростью
S
v
t
S
=
v
⋅
t
,
v
=
S
t
,
t
=
S
v
.
v
c
.
v
c
=
v
1
+
v
2
v
c
=
|
v
1
−
v
2
|
v
cp
=
весь
S
всё
t
.
v
cp
,
1.
A
B
S
S
2
.
v
1
t
1
,
v
2
t
2
.
v
cp
=
весь
S
всё
t
=
S
t
1
+
t
2
=
S
S
2
v
1
+
S
2
v
2
=
1
1
2
v
1
+
1
2
v
2
=
2
v
1
+
v
2
v
2
v
2
=
2
v
1
v
2
v
1
+
v
2
.
2.
S
A
B
t
S
1
S
2
t
2
.
v
1
,
v
2
.
v
cp
=
весь
S
всё
t
=
S
1
+
S
2
t
=
v
1
⋅
t
2
+
v
1
⋅
t
2
t
=
t
2
⋅
(
v
1
+
v
1
)
t
=
v
1
+
v
2
2
.
Аршак Сагателян
Пример 1.
Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать
кругов по кольцевой трассе протяжён-
ностью
км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на
минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в пер-
вый раз обогнал второго на круг через
минут? Ответ дайте в км/ч.
Решение:
Первый обогнал второго на круг (т.е. на
км) за четверть часа, значит за час он обогнал бы его на
км. Тогда получаем, что скорость первого больше на
км/ч.
Пусть скорость второго гонщика –
км/ч, тогда скорость первого –
км/ч. Весь путь составил
км. На финиш первый приехал на
минут, т.е. на
часа раньше. Значит:
Отрицательный корень не подходит по смыслу задачи, значит скорость второго гонщика –
км/ч.
Ответ:
км/ч.
Пример 2.
Моторная лодка прошла против течения реки
км и вернулась в пункт отправления, затратив на
обратный путь на
часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной
воде равна
км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Решение:
Пусть
км/ч — скорость течения реки. Тогда скорость лодки по течению равна
км/ч, а ско-
рость лодки против течения равна
км/ч. На обратный путь лодка затратила на 6 часов меньше,
отсюда имеем:
Отрицательный корень не подходит по смыслу задачи, значит скорость течения реки –
км/ч.
Ответ:
км/ч.
2. Задачи на совместную работу.
– работа,
– производительность, – время.
В задачах на совместную работу можно провести аналогию с задачами на движение:
,
,
Откуда:
60
3
10
15
3
12
12
x
(
x
+ 12)
180
10
1
6
t
2
−
t
1
=
1
6
⇒
180
x
−
180
x
+ 12
=
1
6
.
180
x
−
180
x
+ 12
=
1
6
⇒ 180 ⋅
(
1
x
−
1
x
+ 12
)
=
1
6
⇒ 180 ⋅
x
+ 12 −
x
x
(
x
+ 12)
=
1
6
⇒ 180 ⋅
12
x
(
x
+ 12)
=
1
6
⇒
⇒ 180 ⋅ 12 ⋅ 6 =
x
(
x
+ 12) ⇒
x
2
+ 12
x
− 18 ⋅ 120 ⋅ 6 = 0 ⇒
x
2
+ 12
x
− 108 ⋅ 120 = 0 ⇒
[
x
= − 120;
x
= 108.
108
108
112
6
11
x
11 +
x
11 −
x
t
1
−
t
2
= 6 ⇒
112
11 −
x
−
112
11 +
x
= 6.
112
11 −
x
−
112
11 +
x
= 6 ⇒ 112 ⋅
(
1
11 −
x
−
1
11 +
x
)
= 6 ⇒ 56 ⋅
11 +
x
− (11 −
x
)
(11 −
x
)(11 +
x
)
= 3
⇒ 56 ⋅
2
x
11
2
−
x
2
= 3 ⇒
⇒ 112
x
= 363 − 3
x
2
⇒ 3
x
2
+ 12
x
− 363 = 0 ⇒
x
= −
121
3
;
x
= 3.
3
3
A
p
t
A
⟷
S
p
⟷
v
t
⟷
t
.
A
=
p
⋅
t
,
p
=
A
t
,
t
=
A
p
.
Аршак Сагателян
Пример 1.
Заказ на
деталей первый рабочий выполняет на
час быстрее, чем второй. Сколько деталей за час
изготавливает второй рабочий, если известно, что первый за час изготавливает на
деталь больше?
Решение:
Пусть
дет/ч — производительность второго рабочего. Тогда производительность первого рабочего –
дет/ч. На изготовление
деталей первый рабочий тратит на
час меньше, чем второй ра-
бочий, отсюда имеем:
Отрицательный корень не подходит по смыслу задачи, значит второй рабочий изготавливает
де-
талей за
час.
Ответ:
3. Задачи на проценты, сплавы и смеси.
Есть раствор/смесь/сплав некоторого нужного нам вещества или раствор/смесь/сплав из нескольких
веществ и нужного нам вещества. Дальше для простоты будем писать все на примере раствора. Наше
вещество в растворе находится в некоторой концентрации (процент содержания этого вещества в
растворе), которая ищется по формуле:
или
При смешивании нескольких растворов масса получившегося раствора будет равна сумме масс всех
растворов, а масса вещества в получившемся растворе будет равна сумме масс вещества в каждом из
растворов.
Теорию на проценты мы уже разобрали ниже, давайте теперь попробуем решить задачи.
Пример 1.
Имеется два сплава. Первый содержит
никеля, второй –
никеля. Из этих двух сплавов полу-
чили третий сплав массой
кг, содержащий
никеля. На сколько килограммов масса первого
сплава была меньше массы второго?
Решение:
Пусть масса первого сплава
кг, а масса второго –
кг. Тогда массовое содержание никеля в первом
и втором сплавах
и
соответственно. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой
кг, содержащий
никеля. Получаем систему уравнений:
Тогда,
кг.
Ответ:
кг.
110
1
1
x
(
x
+ 1)
110
1
t
2
−
t
1
= 1 ⇒
110
x
−
110
x
+ 1
= 1.
110
x
−
110
x
+ 1
= 1 ⇒ 110 ⋅
(
1
x
−
1
x
+ 1
)
= 1 ⇒ 110 ⋅
x
+ 1 −
x
x
(
x
+ 1)
= 1
⇒ 110 ⋅
1
x
2
+
x
= 1 ⇒
⇒ 110 =
x
2
+
x
⇒
x
2
+
x
− 110 = 0 ⇒
[
x
= − 11;
x
= 10.
10
1
10.
концентрация
=
масса вещества
масса раствора
⋅ 100 %
концентрация
=
объем вещества
объем раствора
⋅ 100 %
10 %
30 %
200
25 %
m
1
m
2
0,1
m
1
0,3
m
2
200
25 %
{
m
1
+
m
2
= 200,
0,1
m
1
+ 0,3
m
2
= 0,25 ⋅ 200;
⇒
{
m
2
= 200 −
m
1
,
0,1
m
1
+ 0,3(200 −
m
1
) = 50;
⇒
{
m
2
= 200 −
m
1
,
0,2
m
1
= 10;
⇒
{
m
2
= 150,
m
1
= 50.
m
2
−
m
1
= 100
100
Аршак Сагателян
4. Задачи на прогрессии.
4.1. Последовательности.
Представьте, что на вашем экране смартфона одно за другим высвечиваются некоторые числа. На-
пример,
Такой набор чисел как раз и является примером последовательности.
Числовая последовательность — это множество чисел, в котором каждому числу можно присвоить
уникальный номер (то есть поставить в соответствие единственное натуральное число). Число с но-
мером
называется
-м членом последовательности.
В приведённом выше примере первый номер имеет число
– это первый член последовательности,
который можно обозначить
; число
— это шестой член последовательности, который можно
обозначить
.
Так,
-й член последовательности обозначается
(или
и т. д.). Очень удобна ситуация, когда
-й
член последовательности можно задать некоторой формулой.
Например, последовательность, приведенную выше, можно задать формулой
…
4.2. Арифметическая последовательность.
Арифметическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый член (начиная со второго)
равен сумме предыдущего члена и некоторого фиксированного числа, называемого разностью арифме-
тической прогрессии.
Например, последовательность
… является арифметической прогрессией с первым членом
и разностью
. Последовательность
… является арифметической прогрессией с первым
членом
и разностью
.
Для задания арифметической прогрессии достаточно знать ее первый член и разность.
– первый член арифметической прогрессии,
– разность прогрессии.
…
Арифметическая прогрессия называется возрастающей, если её разность положительна, и убываю-
щей, если её разность отрицательна.
Свойство арифметической прогрессии.
Иначе говоря, каждый член арифметической прогрессии (начиная со второго) является средним ариф-
метическим соседних членов. Вообще говоря, эту формулу можно обобщить: если какой-то член про-
грессии стоит посередине между другими двумя, то его можно задать как среднее арифметическое
этих членов:
В самом деле:
−3, 1, 1, 3, 5, 7, 11, 19,…
n
n
−3
a
1
11
a
6
n
a
n
b
n
,
c
n
n
a
n
= 2
n
− 3,
n
= 0, 1, 2,
2, 5, 8, 11,
2
3
7, 2, − 3, − 8,
7
−5
a
1
d
a
2
=
a
1
+
d
;
a
3
=
a
2
+
d
= (
a
1
+
d
) +
d
=
a
1
+ 2
d
;
a
4
=
a
3
+
d
= (
a
1
+ 2
d
) +
d
=
a
1
+ 3
d
;
a
n
=
a
n
−1
+
d
=
a
1
+ (
n
− 1)
d
.
a
n
=
a
n
−1
+
a
n
+1
2
.
a
n
=
a
n
−
m
+
a
n
+
m
2
.
a
n
=
a
n
−
m
+
a
n
+
m
2
=
a
1
+ (
n
−
m
− 1)
d
+
a
1
+ (
n
+
m
− 1)
d
2
=
2
a
1
+ (
n
−
m
− 1 +
n
+
m
− 1)
d
2
=
=
2
a
1
+ 2(
n
− 1)
d
2
=
2
(
a
1
+ (
n
− 1)
d
)
2
=
a
1
+ (
n
− 1)
d
=
a
n
.
Аршак Сагателян
Сумма первых
членов арифметической прогрессии.
Сумму первых
членов арифметической прогрессии можно найти двумя способами:
Если мне необходимо найти, например, сумму с
-го члена по
-ый, то мне нужно будет посчитать:
Пример 1.
Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и
то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел
километров. Определите, сколько
километров прошел турист за третий день, если весь путь он прошел за
дней, а расстояние между
городами составляет
километров.
Решение:
В первый день турист прошел
км, во второй –
… , в последний –
км. Всего он прошел
км. Если каждый день турист проходил больше, чем в предыдущий день, на
км, то
Значит на третий день турист прошел:
км.
Ответ:
км.
4.3. Геометрическая последовательность.
Геометрическая прогрессия — это последовательность, в которой первый член не равен нулю, а каж-
дый последующий член равен произведению предыдущего члена на некоторое фиксированное ненулевое
число (называемое знаменателем геометрической прогрессии).
Например, последовательность
… является геометрической прогрессией с первым членом
и знаменателем
. Последовательность
… является геометрической прогрессией с первым
членом
и знаменателем
Последовательность
… является геометрической прогрес-
сией с первым членом
и знаменателем
Для задания геометрической прогрессии достаточно знать ее первый член и разность.
– первый член геометрической прогрессии,
– знаменатель прогрессии.
…
Геометрическая прогрессия называется возрастающей, если её знаменатель больше
, и убывающей,
если её знаменатель меньше
Свойство геометрической прогрессии.
Иначе говоря, каждый член геометрической прогрессии (начиная со второго) является средним геомет-
рическим соседних членов.
n
n
S
n
=
a
1
+
a
n
2
⋅
n
=
2
a
1
+ (
n
− 1)
d
2
⋅
n
.
5
10
S
10
−
S
5
10
6
120
a
1
= 10
a
2
a
6
S
n
= 120
d
S
n
=
2
a
1
+ (
n
− 1)
d
2
⋅
n
=
2 ⋅ 10 + (6 − 1)
d
2
⋅ 6 =
20 + 5
d
2
⋅ 6 = 3(20 + 5
d
) =
S
n
= 120.
3(20 + 5
d
) = 120 ⇒ 20 + 5
d
= 40 ⇒ 5
d
= 20 ⇒
d
= 4.
a
3
=
a
1
+ 2
d
= 10 + 2 ⋅ 4 = 18
18
2, 6, 18, 54,
2
3
40, 20, 10, 5,
40
0,5.
1, − 2, 4, − 8,
1
−2.
b
1
q
b
2
=
b
1
q
;
b
3
=
b
2
q
= (
b
1
q
) ⋅
q
=
b
1
q
2
;
b
4
=
b
3
q
= (
b
1
q
2
) ⋅
q
=
b
1
q
3
;
b
n
=
b
n
−1
q
=
b
1
q
n
−1
.
1
1.
b
2
n
=
b
n
−1
⋅
b
n
+1
.
Аршак Сагателян
Вообще говоря, вообще говоря, формулу можно обобщить: если какой-то член прогрессии стоит посе-
редине между другими двумя, то его можно задать как среднее геометрическое этих членов:
В самом деле:
Сумма первых
членов геометрической прогрессии.
Сумму первых
членов геометрической прогрессии можно найти двумя способами:
Пример 1.
Бизнесмен получил в 2021 году прибыль в размере
млн. рублей. Каждый следующий год его прибыль
увеличивалась на
по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал бизнесмен за
2024 год?
Решение:
Поскольку каждый год прибыль увеличивалась на
, т.е. была
, стала
, значит она уве-
личивалась в 4 раза по сравнению с предыдущим годом.
Ищем четвертый член геометрической прогрессии:
Таким образом, за 2024 год бизнесмен заработал
млн. руб.
Ответ:
млн. руб.
b
2
n
=
b
n
−
m
⋅
b
n
+
m
.
b
2
n
=
b
n
−
m
⋅
b
n
+
m
=
b
1
q
n
−
m
−1
⋅
b
1
q
n
+
m
−1
=
b
2
1
q
n
−
m
−1+
n
+
m
−1
=
b
2
1
q
2(
n
−1)
=
(
b
1
q
n
−1
)
2
=
b
2
n
.
n
n
S
n
=
b
1
⋅
q
n
− 1
q
− 1
=
b
n
q
−
b
1
q
− 1
.
5
300 %
300 %
x
x
+ 3
x
= 4
x
b
4
=
b
1
q
3
= 5 ⋅ 4
3
= 5 ⋅ 64 = 320.
320
320
Аршак Сагателян
Уравнения повышенной сложности.
В этой главе мы будем на примерах рассматривать методы решения более сложных тригонометриче-
ских уравнений и методы отбора корней.
1. Разложение левой части на множители
Предположим, что мы можем привести уравнений к такому виду, что в правой части уравнения сто-
ит нуль, а левую часть удаётся разложить на множители. Тогда раз произведение равно нулю, то
хотя бы один из множителей равен нулю, и мы последовательно рассматриваем случаи равенства нулю
каждого из множителей.
Пример 1.
Решить уравнение:
Решение:
Вынесем за скобки
Получим уравнение:
Произведение двух множителей равно нулю — значит, хотя бы один из них равен нулю. В результате
мы получаем два "простейших" тригонометрических уравнения, которые были рассмотрены ранее.
Ответ:
Пример 2.
Решить уравнение:
Решение: Перепишем это уравнение, воспользовавшись формулой синуса двойного угла.
Получаем:
Перенесём всё в одну часть и вынесем общий множитель за скобки, как в предыдущем номере:
Во втором уравнении решений нет, т.к. косинус не может принимать значений, лежащих вне отрезка
Ответ:
Замечание! Очень распространённая ошибка в таких ситуациях – сократить на
а не вынести за
скобки. Поступив так, мы потеряем часть решений — а именно, те значения x, для которых
Пример 3.
Решить уравнение:
Решение: Аналогично предыдущему номеру:
2 cos
2
x
+ cos
x
= 0.
cos
x
.
cos
x
⋅ (2 cos
x
+ 1) = 0.
cos
x
= 0 ⟹
x
=
π
2
+
π n
,
2 cos
x
+ 1 = 0 ⟹ cos
x
= −
1
2
⟹
x
=
±
2
π
3
+ 2
π n
,
n
∈ ℤ
x
=
π
2
+
π n
;
x
=
±
2
π
3
+ 2
π n
,
n
∈ ℤ .
sin 2
x
= 3 sin
x
.
sin 2
x
= 2 sin
x
⋅ cos
x
.
2 sin
x
⋅ cos
x
= 3 sin
x
⟹ sin
x
⋅ (2 cos
x
− 3) = 0.
2 sin
x
⋅ cos
x
= 3 sin
x
⟹ sin
x
⋅ (2 cos
x
− 3) = 0.
sin
x
= 0 ⟹
x
=
π n
,
n
∈ ℤ;
2 cos
x
− 3 = 0 ⟹ cos
x
=
3
2
.
[−1; 1] .
x
=
π n
,
n
∈ ℤ .
sin
x
,
sin
x
= 0.
sin 2
x
= 2 cos
2
x
.
2 sin
x
cos
x
= 2 cos
2
x
⟹ 2 cos
x
(sin
x
− cos
x
) = 0 ⟹ cos
x
(sin
x
− cos
x
) = 0.
Аршак Сагателян
Получим совокупность 2 уравнений:
Решение первого уравнения мы уже знаем. А вот второе называется однородным тригонометрическим
уравнением. Далее рассмотрим в общем виде как решать такие уравнения.
2. Однородные тригонометрические уравнения.
Однородное тригонометрическое уравнение первой степени – это уравнение вида:
где
Такие уравнения решаются либо делением всего уравнения на
либо делением всего уравнения на
В первом случае мы получим "простейшее" тригонометрическое уравнение относительно
во
втором случаем – относительно
Мы можем так делать, поскольку если мы возьмем
то получим
а значит
что невозможно одновременно, хотя бы в силу ос-
новного тригонометрического тождества. Значит в таких уравнениях
что позво-
ляет нам делить на них.
Разделив на
(обычно принято переходить к уравнению с тангенсом). Получим "простейшее" три-
гонометрическое уравнение относительно
Продолжим решение примера 3.
Ответ:
Однородное тригонометрическое уравнение второй степени – это уравнение вида:
где
Такие уравнения решаются либо делением всего уравнения на
Здесь косинус не равен нулю по
той же причине, что и в предыдущем случае. Получим уравнение, квадратное относительно тангенса:
Теперь обсудим как решать такие уравнения.
3. Уравнения, сводящиеся к квадратным.
Зачастую тригонометрическое уравнение можно свести к квадратному относительно некоторой три-
гонометрической функции, как например мы получили чуть выше в однородном тригонометрическом
уравнении второй степени. Такие номера решаются при помощи обычно замены данной тригономет-
рической функции на переменную
Пример 4.
Решить уравнение:
Решение: Разделим обе части уравнения на
cos
x
= 0 ⟹
x
=
π
2
+
π n
,
n
∈ ℤ;
sin
x
− cos
x
= 0.
a
cos
x
+
b
sin
x
= 0,
a
,
b
∈ ℝ,
a
≠ 0,
b
≠ 0.
cos
x
,
sin
x
.
tg
x
,
сtg
x
.
cos
x
= 0,
b
sin
x
= 0,
sin
x
= cos
x
= 0,
cos
x
≠ 0,
sin
x
≠ 0,
cos
x
tg
x
:
a
+
b
tg
x
= 0 ⟹
tg
x
= −
a
b
.
cos
x
= 0 ⟹
x
=
π
2
+
π n
,
n
∈ ℤ;
sin
x
− cos
x
= 0 ⟹
tg
x
= 1 ⟹
x
=
π
4
+
π n
,
n
∈ ℤ .
x
=
π
4
+
π n
;
x
=
π
2
+
π n
,
n
∈ ℤ .
a
sin
2
x
+
b
sin
x
cos
x
+
c
cos
2
x
= 0,
a
,
b
,
c
∈ ℝ,
a
≠ 0,
b
≠ 0,
c
≠ 0.
cos
2
x
≠ 0.
a
tg
2
x
+
b
tg
x
+
c
= 0.
t
.
sin
2
x
− 3 sin
x
cos
x
+ 2 cos
2
x
= 0.
cos
2
x
≠ 0.
tg
2
x
− 3
tg
x
+ 2 = 0.
Аршак Сагателян
Сделаем замену переменной
Получим уравнение:
Ответ:
Пример 5.
Решить уравнение:
Решение: Данное уравнение конечно можно решить просто расписав как совокупность двух уравнений:
Но в таком случае как мы видим нам приходится решать два уравнения, а дальше еще пытаться, если
получиться, объединить их ответы единой формулой. Давайте рассмотрим альтернативное решение,
а именно решение при помощи формулы понижения степени:
Тогда:
Мы видим, что получается тот же ответ, что и в первом случае, но более простыми операциями.
Ответ:
Пример 6.
Решить уравнение:
Решение: Распишем синус двойного угла и разделим обе части уравнения на
Обратим внимание, что это уравнение квадратное относительно
но нам сильно мешается
во втором слагаемом. Что же делать? Есть простое решение: представить
как
Мы получаем однородное уравнение второй степени, которое решается делением обеих частей уравне-
ния на
Сделаем замену переменной
Получим уравнение:
Ответ:
tg
x
=
t
.
t
2
− 3
t
+ 2 = 0.
[
t
= 1;
t
= 2;
⟹
[
tg
x
= 1;
tg
x
= 2;
⟹
x
=
π
4
+
π n
,
x
=
arctg
(2) +
π n
,
n
∈ ℤ .
x
=
π
4
+
π n
,
x
=
arctg
(2) +
π n
,
n
∈ ℤ .
cos
2
x
=
3
4
.
cos
x
=
3
2
;
cos
x
= −
3
2
.
⟹
x
=
±
π
6
+ 2
π n
;
x
=
±
5
π
6
+ 2
π n
;
n
∈ ℤ ⟹
x
=
±
π
6
+
π n
,
n
∈ ℤ
cos
2
x
=
1 + cos 2
x
2
.
1 + cos 2
x
2
=
3
4
⟹ 1 + cos 2
x
=
3
2
⟹ cos 2
x
=
1
2
⟹ 2
x
=
±
π
3
+ 2
π n
,
n
∈ ℤ ⟹
⟹
x
=
±
π
6
+
π n
,
n
∈ ℤ .
x
=
±
π
6
+
π n
,
n
∈ ℤ .
6 sin
2
x
+ sin 2
x
= 2.
2 :
6 sin
2
x
+ 2 sin
x
cos
x
− 2 = 0 ⟹ 3 sin
2
x
+ sin
x
cos
x
− 1 = 0.
sin
x
,
cos
x
1
cos
2
x
+ sin
2
x
:
3 sin
2
x
+ sin
x
cos
x
−
(
cos
2
x
+ sin
2
x
)
= 0.
cos
2
x
≠ 0.
2 sin
2
x
+ sin
x
cos
x
− cos
2
x
= 0 ⟹ 2
tg
2
x
−
tg
x
− 1 = 0.
tg
x
=
t
.
2
t
2
−
t
− 1 = 0 ⟹
t
= − 1;
t
=
1
2
;
⟹
tg
x
= − 1;
tg
x
=
1
2
;
⟹
x
= −
π
4
+
π n
,
x
=
arctg
(
1
2
)
+
π n
,
n
∈ ℤ .
x
= −
π
4
+
π n
;
x
=
arctg
(
1
2
)
+
π n
,
n
∈ ℤ .
Аршак Сагателян
4. Минимаксные задачи в тригонометрии.
Пусть имеется уравнение
где функции f и g могут быть устроены так, что это уравнение не решается обычными методами.
Тогда наша задача сводится к нахождению такого числа
что одна из функций, например
а другая
Тогда равенство
достигается только в том случае, когда одновременно
выполнены равенства:
А эта система уже решается стандартными приёмами.
Пример 7. (МГУ, ф-т почвоведения, 2001)
Решить уравнение:
Решение: Обратим внимание, что это уравнение имеет "смешанный" вид, что говорит нам о том,
что оно не решается стандартными методами. Перепишем уравнение следующим образом:
Заметим, что левая часть уравнения имеет следующие ограничения:
в то время как права часть имеет ограничения:
То есть мы получаем, что левая часть уравнения должна быть не меньше
а правая часть уравнения
не больше
Значит уравнение будет иметь решение только в том случае, когда обе части уравнения
равны
одновременно:
Такое возможно только при
решение системы будет:
Ответ:
5. Отбор корней.
Мы рассмотрим два способа отбора корней в тригонометрических уравнениях:
– при помощи тригонометрической окружности;
– методом подбора.
5.1. Тригонометрическая окружность.
Рассмотрим уравнение из примера 1:
Мы получили корни:
Давайте попробуем отобрать из них корни, лежащие на отрезке:
Поскольку мы попадаем в одну и ту же точку проходя полный оборот, нам нужно понять конкретное
значение точек, описывающие наше решение на нужном отрезке.
f
(
x
) =
g
(
x
),
A
,
f
(
x
) ≥
A
,
g
(
x
) ≤
A
.
f
(
x
) =
g
(
x
)
{
f
(
x
) =
A
;
g
(
x
) =
A
.
x
2
− cos
(
2
x
2
)
+ 1 = 0.
x
2
+ 1 = cos
(
2
x
2
)
.
x
2
≥ 0 ⟹
x
2
+ 1 ≥ 1,
−1 ≤ cos
2
(
2
x
2
)
≤ 1.
1,
1.
1
{
x
2
+ 1 = 1;
cos
2
(
2
x
2
)
= 1;
⟹
{
x
2
= 0;
cos
(
2
x
2
)
=
±
1;
⟹
{
x
= 0;
2
x
2
=
π n
.
n
= 0 ⟹
x
= 0.
x
= 0.
2 cos
2
x
+ cos
x
= 0.
x
=
π
2
+
π n
;
x
=
±
2
π
3
+ 2
π n
,
n
∈ ℤ .
[
−
5
π
2
; −
π
]
.
Аршак Сагателян
Выделим данный отрезок и отметим наши корни на окружности:
Точки которые лежать на стыке " и
" и
"
и
" четвертей найти довольно просто.
Эти точки:
и
Они лежат на нашем промежутке, поскольку его
границы включены в нужную нам область (квад-
ратные скобки).
Что касается точки лежащей в
четверти,
то она нас не интересует, потому что не попа-
дает в закрашенную область.
Остается определить лишь значение точки, ле-
жащей во
четверти.
Мы знаем, что корень
отстоит от крайне левой точки окружности на
то есть для того что-
бы попасть в интересующую нас точку, от точки
нам необходимо пройти
по часовой
стрелке (в отрицательном направлении). Значит наше искомое значение точки на нужном отрезке бу-
дет равняться
Ответ:
5.2. Метод подбора.
Рассмотрим тот же пример с корнями
и отрезком
Исследуем решение
Рассмотрим значение
при
Понятно, что значения
можем дальше не рассматри-
вать, поскольку
не попадает в наш отрезок, т.к. он больше наибольшего значения данного про-
межутка, а значит увеличивая
мы будем еще больше отдалятся от отрезка, увеличивая значение
корня.
Тогда рассмотрим значение
при
– тоже не подходит. Уменьшаем
еще.
Возьмем
– подходит. Проверим остальные
Возьмем
– подходит, и мы видим, что мы получили наименьшее возмож-
ное значение на промежутке, значит остальные
можно даже не рассматривать, они будут
давать корни, не входящие в наш отрезок.
Аналогичными рассуждениями ищем корни и для решения
Получим те же значения, что и первым способом:
I
I I
I I I
I X
−
5
π
2
−
3
π
2
.
I I I
I I
2
π
3
60
∘
,
−
π
,
60
∘
=
π
3
,
−
π
−
π
3
= −
4
π
3
.
x
= −
5
π
2
;
x
= −
3
π
2
;
x
= −
4
π
3
.
x
=
π
2
+
π n
;
x
=
±
2
π
3
+ 2
π n
,
n
∈ ℤ
[
−
5
π
2
; −
π
]
.
x
=
π
2
+
π n
,
n
∈ ℤ :
x
n
= 0 :
x
=
π
2
.
n
> 0
x
=
π
2
n
x
n
= − 1 :
x
=
π
2
−
π
= −
π
2
n
n
= − 2 :
x
=
π
2
− 2
π
= −
3
π
2
n
.
n
= − 3 :
x
=
π
2
− 3
π
= −
5
π
2
n
< − 2
x
=
±
2
π
3
+ 2
π n
,
n
∈ ℤ .
x
= −
5
π
2
;
x
= −
3
π
2
;
x
= −
4
π
3
.
Аршак Сагателян