ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА

Дисциплина: Математика

Профессия Организация перевозок на транспорте ( по видам)

Тема занятия

Геометрический и механический смысл производной.

Содержание темы

Геометрический смысл производной, механический смысл производной,понятие предела функции,

определение производной, формулы дифференцирования, правила дифференцирования

Тип занятия

Лекция, формирование новых знаний

Формы организации

учебной

деятельности

Интерактивный, словесный, наглядный, практический, репродуктивный методы обучения

Этапы

занятия

Деятельность преподавателя

Деятельность студента

Планируемы

е

образовател

ьные

результаты

Типы

оценочных

мероприятий

1. Организационный этап занятия

Создание

рабочей

обстановки,

актуализация

мотивов

учебной

деятельности

и

установок

на

восприятие,

осмысление

содержания

Приветствует

обучающихся,

проверяет

готовность

обучающихся

к

уроку, выслушивает дежурных группы о

причинах

отсутствия

на

занятии,

мотивирует на активную работу.

2 мин

Приветствуют преподавателя;

демонстрируют

готовность

к

активной

работе

на

занятии;

записывают тему занятия

Совместное обсуждение темы и

задач на урок

ОК 01, ОК

02, ОК 05

Фронтальный

опрос

Актуализация

содержания,

необходимого

для решения

задач

Вычислить: (15мин с проверкой)

1) 0,32 - 3 = - 2,68;

2) 5/12 - 8/15 + 1/6 =( 25-32+10) /60 =

3/60= 1/20= 0,05;

3)

√

17 ∙5

4

Х

√

17 ∙2

2

= 17

∙

25

∙

2 = 850;

4) tg

π

4

+ cos(arccos1) = 1 + 1 = 2;

5)sin

π

4

+ cos

3 π

4

=

√

2

2

+(-

√

2

2

) = 0.

-Сформулируйте определение

производной

- Сформулируйте алгоритм нахождения

производной

-Сформулируйте правила нахождения

производной

- Сформулируйте формулы

дифференцирования

-Приведите примеры

дифференцирования функций

( привести свои пять примеров и решить

их; листочки сдать) Выполняют задание

на листочках

-отвечают на вопрос преподавателя;

-

lim

n→ ∞

∆ y

∆ x

= k.

--алгоритм вывода производных

функций:

1) Зафиксируем точку Х и

зададим ей приращение

∆ Х

, Х +

∆ Х

.

2)Запишем приращение

функции при переходе от

фиксированной точки Х и точке

Х +

∆ Х

.

3)Предел отношения

приращения функции к

приращению аргумента при

ОК 01, ОК

02, ОК 04,

ОК 05

ПК 1.3

Фронтальный

опрос

Запишем тему урока.

Геометрический и механический смысл

производной

Видеоурок

«Геометрический смысл

производной» с комментариями

(15минут)

условии, что приращение

аргумента стремится к нулю

4) Предел отношения

приращения функции к

приращению аргумента при

условии, что приращение

аргумента стремится к нулю

- по таблице

- по таблице

Выполняют задание, сдают работу

- выполняют записи в тетради

Слушают лекцию

2. Основной этап занятия

Осмысление

содержания

30 мин

Запишем в чем заключается

Выполняют записи в тетради

ОК 01, ОК

Наблюдение

заданий

практической

работы,

последовател

ьности

выполнения

действий при

выполнении

заданий

геометрический смысл производной.

Геометрический смысл

производной. Если к графику

функции у=f(x) в точке с абсциссой

х

0

можно провести касательную, не

параллельную оси Оу, то значение

производной

f

'

(

х

0

) равно угловому

коэффициенту касательной у=kх +b,

то есть k =

f

'

(

х

0

).

Так как угловой коэффициент k = tg

α

, где

α

– угол наклона касательной

к оси Ох, то верно равенство

f

'

(

х

0

) =

tg

α

.

Уравнение касательной к графику

функции

у = f (x) в точке с абсциссой

х

0

имеет

вид

y= f(

x

0

) +

f

'

(

х

0

)( x -

х

0

).

Задача 1

Через точку графика функции f (x) =

−

1

2

х

2

+ 4х+7 с абсциссой

х

0

= 2

проведена касательная. Найдите

тангенс угла наклона этой

касательной к положительному

направлению оси абсцисс.

Варианты ответов:

Отвечают на вопросы преподавателя

Участие в беседе с преподавателем

Задача 1

Повторяют этапы решения задачи:

1)

Найти производную функцию;

2)

Найти значение производной

функции в точке.

Выполняют решение задачи.

Проверка решения

Исходя из геометрического смысла

производной , имеем : tg

α

=

f

'

(

х

0

), где

α

– угол наклона касательной к оси

Ох,

Найдем производную в

произвольной точке:

02, ОК 04,

ОК 05

ПК 1.3

Фронтальное

выполнение

практического

задания

1)

-1; 2) 2; 3) 6; 4) 17

Применим алгоритм составления

уравнения касательной к графику

функции у = f (x) .

Задача 2

Составить уравнение касательной к

графику функции f (x) = 1/х в точке

абсциссой

х

0

= 1.

1.Вычислим значение функции в

точке

х

0

= 1:

f (1) = 1/1 = 1.

2. Найдем производную функции

f

'

(

x

)

=

(

1

x

)

'

=

−

1

x

2

.

3.Найдем значение производной

функции в точке

f

'

(

x

)

=−

x

+

4

=−

1 x

+

4

.

Найдем значение производной

функции в точке

С абсциссой

х

0

= 2:

f

'

(

2

)

=−

1∙ 2

+

4

=

2.

Тогда тангенс угла наклона этой

касательной к оси абсцисс tg

α

=

f

'

(2)

=2.

Ответ: 2

Задача 2

Выполняют записи в тетради

1.Вычислим значение функции в

точке

х

0

= 1:

f (1) = 1/1 = 1.

2. Найдем производную функции

f

'

(

x

)

=

(

1

x

)

'

=

−

1

x

2

.

3.Найдем значение производной

функции в точке

f

'

(

1

)

=

−

1

1

2

= -1.

4.Подставим найденные числа f

(1) =1,

f

'

(

1

)

=−

1

,

х

0

= 1 в формулу

y= f(

x

0

) +

f

'

(

х

0

)( x -

х

0

).

f

'

(

1

)

=

−

1

1

2

= -1.

4.Подставим найденные числа f (1)

=1,

f

'

(

1

)

=−

1

,

х

0

= 1 в формулу y= f(

x

0

)

+

f

'

(

х

0

)( x -

х

0

).

У = 1 + (-1)( х –1) = 1 – ( х -1) = 1 – х

+1= -х +2 = 2 – х.

Ответ: у = 2 – х.

Запишем в чем заключается

физический смысл производной

Физический смысл производной.

Если материальная точка движется

прямолинейно по закону s

(

t

)

,

то

производная функции у = s(t)

выражает мгновенную скорость

материальной точки в момент

времени

t

0

, то есть

ν

=

S

'

(

t

0

)

.

Задача 3.

Тело движется прямолинейно, его

расстояние от начала отсчета

изменяется по закону

s

(

t

)

=

3 t

3

−

4 t

+

5

(

м

)

.Определите

мгновенную скорость тела через 2с

после начала движения.

Варианты ответов:

У = 1 + (-1)( х –1) = 1 – ( х -1) = 1

– х +1= -х +2 = 2 – х.

Ответ: у = 2 – х.

Отвечают на вопросы преподавателя

Задача 3.

Проговаривают этапы решения

задачи:

1)

Найти производную функцию;

2)

Найти значение производной

функции в точке.

Выполняют решение задачи.

Проверка решения:

Исходя из физического смысла

производной , найдем мгновенную

скорость тела в произвольный

момент времени t:

s

'

(

t

)

=

(

3 t

3

−

4 t

+

5

)

'

=

9 t

2

−

4

,

v

(

t

)

=

9 t

2

−

4

. Тогда через 2 секунды

после начала движения мгновенная

1)

32; 2) 21; 3) 36; 4) 30.

скорость равна

v

(

2

)

=

92

2

−

4

=

32

⋅

Ответ.1

Перенос

приобретённ

ых знаний и

их первичное

применение в

новых

условиях

с

целью

формировани

я

умений

(творческие,

проблемные

задачи,

ситуации)

Написать уравнение касательной к

графику функции

f

(

x

)

=

x

3

−

1, x

0

=−

1

(10 мин)

Самопроверка по образцу

( см. видеоурок 13.40)

ОК 01, ОК

02, ОК 04,

ОК 05

ПК 1.3

Наблюдение

Фронтальное

выполнение

практического

задания

Самостоятел

ьное

выполнение

заданий

в

соответствии

с инструкцией

Решение задач по вариантам

( работа в парах) 15 минут

Вариант 1

Материальная точка движется

прямолинейно по закону

Выполняют работу в тетради

15 минут.

Показывают решение

выполненного задания на доске.

Идет обсуждение

предложенного решения.

Верное решение записывают в

тетрадь.

ОК 01, ОК

02, ОК 04,

ОК 05

ПК 1.3

Наблюдение

Защита

выполненных

работ

Работа в

парах

s

(

t

)

=

t

3

−

13 t

2

2

+

2 t

+

4

. Найдите

момент времени

t

0

, в который

мгновенная скорость будет равна

12.

Вариант 2

Найдите абсциссу точки графика

функции

f

(

x

)

=

4 x

2

−

27 x

+

15

, в которой

касательная наклонена под углом

45

°

к оси абсцисс.

Вариант 1

Мгновенная скорость

материальной точки

ν

(

t

0

)

=

12

,

А производная закона

движения.

S

'

(

t

0

)

=

3 t

0

2

−

13 t

0

+

2

.Тогд

а

3 t

0

2

−

13 t

0

+

2

=12,

Т.е.

3 t

2

−

13 t

ϑ

−

10

=

0

.

Решим квадратное уравнение .

Корни уравнения

t

1

=

−

2

3

u t

2

=

5

.

.По смыслу задачи

t ≥ 0 , t

2

=

5

искомый момент времени.

Ответ.5

Вариант 2

Исходя из геометрического смысла

производной ,имеем : tg

α

=

f

'

(

х

0

), где

α

– угол наклона касательной к оси

Ох. Угловой коэффициент

касательной равен тангенсу угла

наклона касательной к оси абсцисс ,

т. е.

k

=

tg 45

0

=

1

.

Тогда

f

'

(

х

0

) = 1. Учитывая,

f

'

(

x

)

=

28 х

−

27 , получаем уравнение 28 х

−

27

=

1.

28 х

−

27

=

1.

28х = 1=27

28х=28

Вариант 3.

Составьте уравнение касательной к

графику функции f (x) =

x

2

в точке

абсциссой

х

0

= 3.

Х=28:28

Х=1

Ответ: 1.

Вариант 3

Составить уравнение

касательной к графику функции

f (x) =

х

2

в точке с абсциссой

х

0

=

3.

1.Вычислим значение функции в

точке

х

0

= 3:

f (3) =

3

2

=9

2. Найдем производную функции

f

'

(

x

)

=(

х

¿ ¿

2

)

'

=

2 х

¿

3.Найдем значение производной

функции в точке

f

'

(

3

)

=

2∙ 3

= 6.

4.Подставим найденные числа f

(3) =9,

f

'

(

3

)

=

6

,

х

0

= 3 в формулу

y= f(

x

0

) +

f

'

(

х

0

)( x -

х

0

).

У = 9 + 6( х –3) = 9 + 6х – 18 = 6х

- 9.

Ответ: у= 6х - 9.

Обобщение и

систематизац

Проводит закрепление материала( см

видеоурок)

Обучающиеся анализируют

выполненные задания , повторяют

ОК 01, ОК

02, ОК 04,

Защита

выполненных

ия

результатов

выполнения

Запишем формулы , необходимые для

выполнения заданий.

необходимые формулы

ОК 05

ПК 1.3

работ

3. Заключительный этап занятия

Подведение

итогов

работы;

фиксация

достижения

целей

(оценка

деятельности

обучающихся

);

определение

перспективы

дальнейшей

работы

Подводит итоги урока

Обучающиеся отвечают на вопросы

ОК 01, ОК

02, ОК 04,

ОК 05

ПК 1.3

Устный опрос,

диалог

Рефлексия

деятельности

Давайте подведем итог нашей работы.

Продолжите предложение

Я сегодня повторил и закрепил …

Я сегодня узнал….

Я научился……

Мне было интересно……

Теперь я смогу…

Особенно мне понравилось…

Я испытываю трудности…

Обучающиеся отвечают на вопросы.

ОК 03, ОК 06

Наблюдение,

анализ

рефлексии

Домашнее задание: составить уравнение касательной для функции у = х

2

точке с абсциссой

х

0

= 1.

Проводит инструктаж по выполнению домашнего задания