Министерство образования и науки Челябинской области

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

«Троицкий технологический техникум»

КОМПЛЕКТ

контрольно-измерительных материалов

по учебной дисциплине ОУДБ.04 Математика: алгебра и начала математического

анализа; геометрия

по профессии:

35.01.13 Тракторист – машинист сельскохозяйственного производства

1

Разработчик: Орлова Ольга Васильевна преподаватель математики, высшей ква-

лификационной категории.

Рассмотрено на заседании цикловой методической комиссии общеобразователь-

ных дисциплин.

Протокол №_______ от «______»______________

2

Содержание

1. Паспорт ККИМ

1.1 Область применения

1.2 Система контроля и оценки результатов освоения учебной дисципли-

ны

1.3Организация контроля и оценки результатов освоения учебной дисци-

плины

2.Задания для контроля и оценки результатов освоения учебной дисципли-

ны

2.1Задания для текущего контроля

2.2Задания для промежуточной аттестации

3

1.

Паспорт комплекта контрольно-измерительных материалов

по

дисциплине: ОУДБ.04 Математика: алгебра и начала математического

анализа; геометрия.

1.1 Область применения

Комплект контрольно-измерительных материалов составлен на основе

программы учебной дисциплины ОУДБ.04 Математика: алгебра и начала

математического анализа; геометрия

по профессии:

35.01.13 Тракторист – машинист сельскохозяйственного производства

Комплект предназначен для оценки результатов обучения в соответ-

ствии с ФГОС.

1.

Результаты освоения содержания учебной дисциплины:



личностные

- сформированность представлений о математике как универсальном языке

науки, средстве моделирования явлений и процессов, идеях и методах мате-

матики;

-понимание значимости математики для научно-технического прогресса,

-сформированность отношения к математике как к части общечеловеческой

культуры через знакомство с историей развития математики, эволюцией мате-

матических идей;

-развитие логического мышления, пространственного воображения, алгорит-

мической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для бу-

дущей

профессиональной

деятельности,

для

продолжения

образования

и

самообразования;

-овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повсед-

невной жизни, для освоения смежных естественно-научных дисциплин и

дисциплин профессионального цикла, для получения образования в областях,

не требующих углубленной математической подготовки;

-готовность и способность к образованию, в том числе самообразованию, на

протяжении всей жизни; сознательное отношение к непрерывному образова-

4

нию как условию успешной профессиональной и общественной деятельно-

сти;

-готовность и способность к самостоятельной творческой и ответственной де-

ятельности;

-готовность к коллективной работе, сотрудничеству со сверстниками в об-

разовательной, общественно полезной, учебно-исследовательской, проектной

и других видах деятельности;

-отношение к профессиональной деятельности как возможности участия в

решении

личных,

общественных,

государственных,

общенациональных

проблем;



метапредметные

--умение самостоятельно определять цели деятельности и составлять планы

деятельности; самостоятельно осуществлять, контролировать и корректиро-

вать деятельность; использовать все возможные ресурсы для достижения по-

ставленных целей и реализации планов деятельности; выбирать успешные

стратегии в различных ситуациях;

-умение продуктивно общаться и взаимодействовать в процессе совместной

деятельности, учитывать позиции других участников деятельности, эффек-

тивно разрешать конфликты;

-владение навыками познавательной, учебно-исследовательской и проектной

деятельности, навыками разрешения проблем; способность и готовность к

самостоятельному поиску методов решения практических задач, применению

различных методов познания;

-готовность и способность к самостоятельной информационно-познаватель-

ной деятельности, включая умение ориентироваться в различных источниках

информации, критически оценивать и интерпретировать информацию, полу-

чаемую из различных источников;

-владение языковыми средствами: умение ясно, логично и точно излагать

свою точку зрения, использовать адекватные языковые средства;

-владение навыками познавательной рефлексии как осознания совершаемых

действий и мыслительных процессов, их результатов и оснований, границ

своего знания и незнания, новых познавательных задач и средств для их до-

стижения;

5

-целеустремленность в поисках и принятии решений, сообразительность и

интуиция, развитость пространственных представлений; способность вос-

принимать красоту и гармонию мира;



предметные

- сформированность представлений о математике как части мировой культу-

ры и месте математики в современной цивилизации, способах описания явле-

ний реального мира на математическом языке;

-сформированность представлений о математических понятиях как важней-

ших математических моделях, позволяющих описывать и изучать разные

процессы и явления; понимание возможности аксиоматического построения

математических теорий;

-владение методами доказательств и алгоритмов решения, умение их приме-

нять, проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;

-владение стандартными приемами решения рациональных и иррациональ-

ных,

показательных,

степенных,

тригонометрических

уравнений

и

нера-

венств, их систем; использование готовых компьютерных программ, в том

числе для поиска пути решения и иллюстрации решения уравнений и нера-

венств;

-сформированность представлений об основных понятиях математического

анализа и их свойствах, владение умением характеризовать поведение функ-

ций, использование полученных знаний для описания и анализа реальных за-

висимостей;

-владение основными понятиями о плоских и пространственных геометриче-

ских фигурах, их основных свойствах;

- сформированность умения распознавать геометрические фигуры на черте-

жах, моделях и в реальном мире; применение изученных свойств геометриче-

ских фигур и формул для решения геометрических задач и задач с практиче-

ским содержанием;

-сформированность представлений о процессах и явлениях, имеющих вероят-

ностный характер, статистических закономерностях в реальном мире, основ-

ных понятиях элементарной теории вероятностей; умений находить и оцени-

вать вероятности наступления событий в простейших практических ситуаци-

ях и основные характеристики случайных величин;

6

-владение навыками использования готовых компьютерных программ при ре-

шении задач.

7

2.

Содержание обучения

Показатели оценки результатов

№№ заданий для

проверки

Введение

Проверка уровня усвоения математиче-

ского материала курса основного об-

щего образования.

Задание 1

Тема 1.1 Развитие понятия о

числе

Выполнение арифметических действий

над числами, сочетая устные и пись-

менные приемы.

Задание 1

Задание 2

Задание 3

Задание 4

Тема 2.1 Корни и степени

Формулирование свойств степеней.

Преобразование числовых и буквен-

ных выражений, содержащих радика-

лы.

Вычисление степеней с рациональным

показателем.

Вычисление и сравнение корней.

Вычисление степеней с действитель-

ным показателем, сравнение степеней.

Преобразование числовых и буквен-

ных выражений, содержащих степени.

Решение иррациональных уравнений.

Задание 1

Задание 2

Задание 3

Задание 4

Задание 5

Тема 2.2 Логарифм. Логарифм

числа. Преобразование алге-

браических выражений

Формулирование свойств логарифмов.

Выполнение преобразований логариф-

мических выражений. Выполнение

преобразований выражений, связанных

со свойствами логарифмов.

Решение логарифмических уравнений

и неравенств.

Задание 1

Задание 2

Задание 3

Задание 4

Тема 3.1 Прямые и плоскости

в пространстве

Распознавание на чертежах и моделях

различных случаев взаимного располо-

жения прямых и плоскостей.

Применение признаков и свойств рас-

положения прямых и плоскостей при

решении задач. Анализ взаимного рас-

положения объектов в пространстве.

Изображение перпендикуляров и на-

клонных к плоскости, прямых, парал-

лельных

плоскостей, углов между прямой и

Задание 1

Задание 2

Задание 3

Задание 4

8

плоскостью.

Решение задач на вычисление геомет-

рических величин.

Тема 4.1 Комбинаторика

Применение формул для вычисления

размещений, перестановок и сочетаний

при решении задач. Решение практиче-

ских задач с использованием понятий и

правил комбинаторики.

Задание 1

Задание 2

Тема 5.1 Координаты и векто-

ры

Обобщение материала по теме: поня-

тие вектора в пространстве, декартовая

система координат в пространстве, вы-

числение расстояний между точками,

вычисление координат вектора в про-

странстве.

Применение векторов для вычисления

величин углов и расстояний, скалярно-

го произведения векторов.

Задание 1

Задание 2

Тема 6.2 Основные тригоно-

метрические тождества.

Преобразования простейших

тригонометрических выраже-

ний.

Обобщение и систематизация мате-

риал по теме «Основные тригономет-

рические тождества»

Задание 1

Задание 2

Тема 6.3 Тригонометрические

уравнения и неравенства.

Решение по формулам и тригонометри-

ческому кругу простейших тригоно-

метрических уравнений.

Применение общих методов решения

уравнений (приведение к линейному,

квадратному, метод разложения на

множители, замены переменной) при

решении тригонометрических уравне-

ний.

Задание 1

Задание 2

Тема 7.1 Функции. Свойства

функции. Обратные функции.

Определение, основные свойства числовых

функций, вычисление значений функции по

заданному значению аргумента, построе-

ние графиков изученных функций.

Задание 1

Задание 2

Тема 7.2 Степенные, показа-

тельные, логарифмические и

тригонометрические функ-

ции. Обратные тригономет-

рические функции.

Использование свойств функций для

сравнения значений степеней и лога-

рифмов.

Построение графиков степенных и ло-

гарифмических функций. Решение по-

казательных и логарифмических урав-

нений и неравенств.

Ознакомление с понятием непрерыв-

ной периодической функции, формули-

рование свойств синуса и косинуса,

построение их графиков. Выполнение

преобразования графиков.

Задание 1

Задание 2

Задание 3

Задание 4

Тема 8.1

Описание и характеристика различных

Задание 1

9

Многогранники.

видов многогранников, перечисление

их элементов и свойств.

Вычисление площадей поверхностей и

объемов многогранников.

Построение простейших сечений куба,

призмы, пирамиды.

Использование приобретенных знаний

для исследования и моделирования не-

сложных задач.

Изображение основных многогранни-

ков и выполнение рисунков

по условиям задач.

Задание 2

Тема 8.2

Тела вращения.

Изображение основных круглых тел и

выполнение рисунка по условию зада-

чи.

Решение задач на вычисление площа-

дей поверхности пространственных

тел и их объемов.

Решение задач на построение сечений,

вычисление длин, углов, площадей.

Применение свойств симметрии при

решении задач на тела вращения.

Задание 1

Задание 2

Тема 9.1

Последовательности. Произ-

водная.

Ознакомление с понятием числовой

последовательности, способами ее за-

дания, вычислениями ее членов.

Решение задач на применение форму-

лы суммы бесконечно убывающей гео-

метрической прогрессии

Формулирование механического и гео-

метрического смысла производной.

Составление уравнения касательной в

общем виде.

Усвоение правил дифференцирования,

таблицы производных элементарных

функций.

Проведение с помощью производной

исследования функции.

Применение производной для решения

задач на нахождение наибольшего,

наименьшего значения и на нахожде-

ние экстремума

Задание 1

Задание 2

Задание 3

Задание 4

Задание 5

Задание 6

Задание 7

Задание 8

Тема 10.1

Интеграл и его применение

Ознакомление с понятием интеграла и

первообразной.

Формулирование правила вычисления

первообразной и теоремы Ньютона—

Лейбница.

Решение задач на связь первообразной

и ее производной, вычисление перво-

образной для данной функции.

Решение задач на применение интегра-

Задание 1

Задание 2

Задание 3

10

ла для вычисления физических ве-

личин и площадей.

Тема 11

Элементы теории вероятно-

сти и математической стати-

стики

Формулирование классического опре-

деления вероятности, свойств вероят-

ности, теоремы о сумме вероятностей.

Решение задач на вычисление вероят-

ностей событий.

Решение практических задач на обра-

ботку числовых данных,

вычисление их характеристик.

Задание 1

Задание 2

Тема 12

Уравнения и неравенства.

Решение рациональных, иррациональ-

ных, показательных и тригонометриче-

ских уравнений и систем.

Использование свойств и графиков

функций для решения уравнений. Ре-

шение уравнений с применением всех

приемов (разложения на множители,

введения новых неизвестных, подста-

новки, графического метода).

Решение неравенств и систем нера-

венств с применением различных

способов.

Использование свойств и графиков

функций при решении неравенств.

Обобщение и систематизация мате-

риал по теме.

Задание 1

Задание 2

Задание 3

Задание 4

11

1.2 Система контроля и оценки результатов обучения

В соответствии с учебным планом по дисциплине, ОУДБ.04 Математика:

алгебра и начала математического анализа; геометрия, предусмотрен экзамен.

1.3 Организация контроля и оценки результатов обучения

Контроль результатов обучения осуществляется в

форме письменного

контроля на учебных занятиях.

Задания представлены в форме контрольных и самостоятельных работ, тестовых

заданий, математических диктантов.

Итоговая оценка по дисциплине выставляется на основании экзамена.

12

2.

Задания для контроля и оценки освоения программы учебной дисци-

плины ОУДБ.04 Математика: алгебра и начала математического анализа;

геометрия.

2.1 Задания для текущего контроля знаний.

Введение

Задание 1

Входной тест

Из четырех ответов выберите один правильный.

Вариант 1

1.

Вычислите:

5

−

1

4

5

+

0, 25

1)

5

1

4

2)

19

20

3)

1

1

21

4)

19

21

2.

Упростите выражение:

(

а

−

3

)⋅(

а

−

7

)−

2 а

⋅(

3 а

−

5

)

1)

−

4 а

2

−

16

2)

−

5 а

2

+

21

3)

−

5 а

2

+

16

4)

−

5 а

2

−

20 а

+

21

3.

Разложите на множители квадратный трехчлен:

2 х

2

−

3 х

−

2

1)

(

х

+

2

) (

2 х

+

1

)

2)

(

2 х

−

3

)(

х

−

2

)

3)

2 х

2

(

3 х

+

2

)

4)

(

х

−

2

) (

2 х

+

1

)

4.

Вычислите значение выражения:

(

27

⋅

3

−

4

)

2

13

1)

1

9

2)

9

3)

1

3

4)

1

27

5.

Выразите переменную r из формулы:

S

=

πr

2

1)

2)

r

=

√

S

−

π

3)

r

=

√

S

π

4)

r

=

(

S

π

)

2

6.

Решите уравнение:

2

−

3

(

х

+

2

)=

5

−

2 х

1)

−

9

2)

−

1

3)

9

4)

−

1

5

7.

Решите уравнение:

2 х

2

+

3 х

−

2

=

0

1)

(

4 ;

−

1

)

2)

(

2;

−

1

2

)

3)

(−

2;

1

2

)

4)

(−

4 ; 1

)

8.

Решите систему уравнений:

{

х

+

5 у

=

7

3 х

+

2 у

=−

5

1)

(−

3 ; 2

)

2)

(−

5 ; 1

)

3)

(

3 ;2

)

4)

(

1 ;5

)

9.

Решите неравенство:

2

(

3 х

−

7

)−

5 х

≤

3 х

−

11

1)

(−∞

;

−

3

2

]

2)

[

2

3

;

+∞)

3)

(−∞

; 3

)

4)

[−

3

2

;

+∞)

10.

Найдите область определения функции:

у

=

10 х

х

+

5

1)

(−∞

;

−

5

)∪(−

5 ;

+∞)

2)

(

0;

+∞)

3)

(−

5 ;

+∞)

4)

(−∞

;

−

5

]

14



S

r



Вариант 2

1.

Вычислите:

1

+

0, 125

1

−

1

8

1)

7

8

2)

63

64

3)

1

2

7

4)

1

1

7

2.

Упростите выражение:

(

х

−

2

)⋅(

х

+

4

)−

2 х

⋅(

1

+

х

)

1)

х

2

+

2 х

2)

−

х

2

−

8

3)

−

х

2

−

4

4)

2 х

−

8

3.

Разложите на множители квадратный трехчлен:

3 х

2

+

8 х

−

3

1)

3

(

х

+

3

)(

х

−

1

3

)

2)

(

х

−

3

)(

х

+

1

3

)

3)

(

х

+

6

)(

х

−

1

)

4)

(

х

−

3

)(

х

−

8

)

4.

Вычислите значение выражения:

16

⋅(

2

−

3

)

2

1)

1

4

2)

4

3)

−

4

4)

1

2

5.

Выразите переменную а из формулы:

S

=

а

⋅

h

2

1)

a

=

h

2 S

2)

a

=

S

2 h

3)

a

=

2 Sh

4)

a

=

2 S

h

6.

Решите уравнение:

3

−

5

(

х

+

1

)=

6

−

4 х

15

1)

−

8

2)

−

4

9

3)

3

1

2

4)

−

2

7.

Решите уравнение:

−

х

2

+

2 х

+

8

=

0

1)

(

2; 4

)

2)

(−

2; 4

)

3)

(

0;

−

2

)

4)

(−

4 ; 2

)

8.

Решите систему уравнений:

{

2 х

−

3 у

=

1

3 х

+

у

=

7

1)

(

1 ; 2

)

2)

(

2; 1

)

3)

(−

1;

−

2

)

4)

(−

2;

−

1

)

9.

Решите неравенство:

2 х

−

4

(

х

−

8

)≤

3 х

+

2

1)

(−∞

; 9

]

2)

[

6 ;

+∞)

3)

(−∞

; 6

)

4)

(

6;

+∞)

10.Найдите область определения функции:

у

=

5

2 х

−

6

1)

(

6;

+∞)

2)

(−∞

; 3

)∪(

3;

+∞)

3)

(

2;

+∞)

4)

(

3 ;

+∞)

Эталон ответа:

Задания

Варианты

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

4

2

4

1

3

1

3

1

4

1

2

3

2

1

1

4

1

2

2

2

2

Оценка за выполнение теста:

9-10 - правильных ответа – «5»;

7-8 правильных ответа – «4»;

16

5-6 правильных ответа – «3»;

менее 5 ответов - «2»;

Тема 1.1 Развитие понятия о числе

Задание 1

Из четырех ответов выберите один правильный.

Вариант 1.

1. Сколько существует натуральных чисел, меньших 100 и делящихся на 7?

А. 6. Б. 10. В. 14. Г. 21.

2. Сумма двух чётных чисел есть число…

А. чётное. Б. нечётное.

В.чётное или нечётное. Г.ни чётное, ни нечётное.

3. НОД (145, 87) равен…

А. 3. Б. 5. В. 29. Г.17.

Вариант 2.

1. Сколько существует натуральных чисел, меньших 100 и делящихся на 7?

А. 6. Б. 10. В. 14. Г. 21.

2. Сумма двух чётных чисел есть число…

А. чётное. Б. нечётное.

В.чётное или нечётное. Г.ни чётное, ни нечётное.

3. НОД (145, 87) равен…

А. 3. Б. 5. В. 29. Г.17.

4. Сколько существует простых чисел, меньших 70?

17

А. 19. Б. 21. В. 31. Г. 23.

Вариант 3.

1. Сколько существует натуральных чисел, меньших 100 и делящихся на 7?

А. 6. Б. 10. В. 14. Г. 21.

2. Сумма двух чётных чисел есть число…

А. чётное. Б. нечётное.

В.чётное или нечётное. Г.ни чётное, ни нечётное.

3. НОД (145, 87) равен…

А. 3. Б. 5. В. 29. Г.17.

4. Сколько существует простых чисел, меньших 70?

А. 19. Б. 21. В. 31. Г. 23.

5. Укажите корни уравнения

|

x

−

4

|=

18

.

А. 22; -14. Б. 10; 8. В. 2; -18. Г. 4; 6.

Эталон ответа

Вариант 1

1.

В

2.

А

3.

В

Вариант 2

1.

В

2.

А

3.

В

4.

А

18

Вариант 3

1.

В

2.

А

3.

В

4.

А

5.

А

Задание 2

Математический диктант

Записать: ответы.

1.

Отрезок 2;5 [ 2; 5]

2.

Отрезок -4;7 [-4; 7]

3.

Закрытый промежуток 0; 9 [0; 9]

4.

Открытый промежуток -5; 4 (-5; 4)

5.

Полуоткрытый промежуток 1; 8 (1; 8] или [1; 8)

6.

Промежуток 2< х < 6 (2; 6)

7.

Промежуток -4≤ х ≤ 4 [-4; 4]

8.

Промежуток 0< х ≤ 9 (0; 9]

9.

Промежуток 1≤ х < 5 [1; 5)

10.Промежуток -6< х ≤ 8 (-6; 8]

11.Нарисовать промежутки -2< х < 2

12.Нарисовать промежутки 1≤ х ≤ 14

13.Нарисовать промежутки -3≤ х < 5

14.Нарисовать промежутки -2< х ≤ 7

19

15.Нарисовать промежутки -6≤ х < 2 и 3 ≤ х ≤ 5

1.

За 8-11 правильных ответов – ставится оценка «3»;

2.

За 12-13 правильных ответов – ставится оценка «4»;

3.

За 14-15 правильных ответов – ставится оценка «5»;

Задание 3

Самостоятельная работа

Вариант 1

1.

Решите уравнение:

2 х

2

+

3 х

−

5

=

0

2.

Упростите выражение:

4 с

⋅(

с

−

2

)−(

с

−

4

)

2

3.

Решите уравнение:

х

+

9

3

−

х

5

=

1

4.

Решите неравенство:

6 х

−

5

⋅(

2 х

+

8

)>

14

+

2 x

5.

Вычислите:

2

1

4

⋅

(

4

15

+

0,9

)

−

1

6

⋅

2, 25

Вариант 2

1.

Решите уравнение:

5 х

2

−

7 х

+

2

=

0

2.

Упростите выражение:

3 а

⋅(

а

+

2

)−(

а

+

3

)

2

3.

Решите уравнение:

20

х

3

+

х

−

1

2

=

4

4.

Решите неравенство:

5 +>3 x

−

3

⋅(

4 х

+

5

)

5.

Вычислите:

1,8

⋅

(

5

6

−

0,7

)

−

1

4

5

: 7,5

Вариант 3

1.

Решите уравнение:

3 х

2

+

5 х

−

2

=

0

2.

Упростите выражение:

2 с

−

2 с

2

−

18

с

+

3

3.

Решите уравнение:

3 х

−

2

5

=

2

+

х

3

4.

Решите неравенство:

5 х

+

3

⋅(

х

+

8

)<

10

⋅(

x

−

1

)

5.

Вычислите:

3

1

5

⋅

1

7

8

−

(

0,6

−

1

15

)

:3,2

Вариант 4

1.

Решите уравнение:

2 х

2

−

7 х

+

3

=

0

2.

Упростите выражение:

21

a

2

a

2

−

1

−

a

a

+

1

3.

Решите уравнение:

х

−

4

2

−

х

−

1

5

=

3

4.

Решите неравенство:

2

⋅(

х

+

3

)+

3 x

>

7

⋅(

x

+

4

)

5.

Вычислите:

2

1

4

:

5

8

−

3,6

⋅

(

3

5

+

0,9

)

Эталон ответа:

Вариант 1

1.

(

−

5

2

; 1

)

2.

3 с

2

−

16

3.

-15

4.

(

−∞

;

−

9

)

5.

2

1

4

Вариант 2

1.

(

2

5

; 1

)

2.

3 а

2

−

9

3.

5

2

5

-15

22

4.

(

−

2 ;

+∞

)

5.

0

Вариант 3

1.

(

−

2 ;

1

3

)

2.

6

3.

4

4.

(

17 ;

+∞

)

5.

5

5

6

Вариант 4

1.

(

1

2

; 3

)

2.

а

а

2

−

1

3.

16

4.

(

−∞

;

−

11

)

5.

−

1,8

Задание 4

Самостоятельная работа

Вариант 1

1.

Записать в виде десятичной дроби:

8

11

2.

Записать в виде обыкновенной дроби: 1,(55)

3.

Вычислить:

7

36

∙ 9

+

8 ∙

11

32

+

9

10

∙

5

18

23

4.

Выяснить, каким числом (рациональным или иррациональным) являет-

ся числовое значение выражения:

(

√

27

−

2

) (

2

−

3

√

3

)

5.

Вычислить:

√

12 :

√

27

Вариант 2

1.

Записать в виде десятичной дроби:

−

3

4

2.

Записать в виде обыкновенной дроби: -0,(8)

3.

Вычислить:

0,364:

7

25

+

5

16

: 0,125

+

2

1

2

∙ 0,8

4.

Выяснить, каким числом (рациональным или иррациональным) являет-

ся числовое значение выражения:

(

5

√

3

+

√

27

)

:

√

3

5.

Вычислить:

√

50 :

√

8

Эталон ответа

Вариант 1

1.

0,(72)

2.

1

5

9

3.

4

3

4

4.

Иррациональное

5.

2

3

Вариант 2

1.

-0,75

2.

−

8

9

3.

5,8

4.

Рациональное

5.

5

2

24

Тема 2.1 Корни и степени.

Задание1

Математический диктант

Запишите свойства степени с действительным показателем.

Эталон ответа

Задание 2

Самостоятельная работа

Вариант – 1

1.

Вычислить:

3

√

27

;

7

√

−

8

7

;

25

2.

Вычислить:

5

√

32

+

3

√

−

216

;

3.

Упростить:

4

√

3 a

2

b

3

∙

4

√

27 a

2

b

;

4.

Вычислить:

4

√

54 ∙

4

√

120

4

√

5

;

5.

Упростить:

3

√

3

√

а

18

+

(

√

3

√

а

4

)

3

Вариант – 2

1.

Вычислить:

4

√

81

;

3

√

−

34

3

;

2.

Вычислить:

3

√

−

1000

−

1

2

4

√

256

3.

Упростить:

3

√

16 а

b

3

∙

3

√

1

2a

;

4.

Вычислить:

3

√

49 ∙

3

√

112

3

√

250

;

5.

Упростить:

(

❑

√

3

√

x

2

)

3

+

2

(

4

√

√

x

)

8

Вариант – 3

1.

Вычислить:

5

√

32

;

15

√

−

1

;

2.

Вычислить:

4

√

0,0016

+

3

√

0,001

;

3.

Упростить:

3

√

81 x

4

y

❑

÷

3

√

3 xy

4.

Вычислить:

4

√

32

4

√

2

+

6

√

27

2

−

√

3

√

64

;

5.

Упростить:

4

√

abc ∙

4

√

a

3

b

2

c ∙

4

√

b

5

c

2

Вариант – 4

1.

Вычислить:

3

√

125

;

5

√

−

2

5

;

26

2.

Вычислить:

1

3

4

√

81

−

4

√

625

3.

Упростить:

4

√

2 b

a

3

÷

4

√

a

8 b

3

;

4.

Вычислить:

3

√

3

3

8

+

4

√

18 ∙

4

√

4

1

2

−

√

√

256

;

5.

Упростить:

3

√

√

x

6

y

12

−

(

5

√

x y

2

)

5

Эталон ответа

Вариант 1

1.

3;-8

2.

-4

3.

3ab

4.

6

5.

2a

2

Вариант 2

1.

3;-34

2.

-12

3.

2

b

4.

2

4

5

5.

3x

Вариант 3

1.

2;-1

2.

0,3

3.

3x

4.

3

5.

ab

2

c

Вариант 4

1.

5;-2

27

2.

-4

3.

2b

a

4.

0,5

5.

0

Задание 3

Из четырех ответов выберите один правильный.

Вариант 1

А1. Упростите выражение:

(

b

5

6

)

3

¿

4

√

b

3

.

1)

b

13

4

2)

b

15

8

3) b 4)

b

23

6

А2.

Упростите выражение

√

2 а

5

⋅

√

18 а

2

.

1)

6 а

2

7

2) 6а

5

3)

а

2

7

4)

6 а

7

2

А3. Упростите выражение

4

√

3

√

m

5

√

√

m

. 1)

1

84

√

m

5

2) 1 3)

1

12

√

m

4)

1

60

√

m

А4. Упростите выражение:

4

⋅

6

√

4

√

2

4

√

8

⋅

3

√

4

.

1)

4

√

2

2) 2

√

2

3) -4

√

2

4)

1

4

√

2

А5. Упростите для отрицательного а выражение

3

√

54 а

2

1

3

¿

3

√

24 а

2

3

.

1) 6

а

2

3

2) 6а

3

√

6

3) 12а 4) 12

а

2

3

А6. Найдите значение выражения:

6

⋅

8

−

1

3

.

1) 12 2) 6 3) 3 4) –3

А7. Упростите выражение: b

-0,2

: b

-0,7

.

1)

b

2)

1

b

3) b

–0,9

4) b

2,7

28

А8. Найдите значение выражения:

(

2

5

3

⋅

3

−

1

3

−

3

5

3

¿

2

−

1

3

)

¿

3

√

6 .

1) -4 2) 9 3) -5 4) 5

А9. Упростите выражение: (а

-1,5

)

2

3

.

1) а 2) а

−

5

6

3) а

5

6

4)

1

a

А10. Сократите дробь:

x

33

−

1

x

33

+

x

22

+

x

11

.

1)

1

1

1

1

1

x

x

-

2)

1

1

1

1

1

x

x

+

3)

1

1

1

x

4)

1

1

1

1

1

x

x

-

А11. Укажите промежуток, которому принадлежит значение выражения

(

)

2

234.

-

1) (-2;0) 2) [1;2) 3) [0;1) 4) (2; 5)

А12. Найдите значение числового выражения

7171

822,7 - 4: 0,65

12363

��

-

�

��

��

1) 9,8 2)

5

9

6

3) -9,8 4)

5

9

6

-

Вариант 2

А1. Упростите выражение:

а

−

3

⋅

√

9 а

18

.

1) 3

√

а

2) 9а

15

3) 3а

12

4) 3а

6

А2. Упростите выражение

4

√

256 а

4

b

8

c

12

, если a

<

0, c

<

0.

1) 4аb

2

c

3

2) -4аb

2

c

3

3) 16аb

2

c

3

4) 2аb

2

c

3

А3. Упростите выражение

3

√

16 ab

12

:

3

√

2 a

4

b

9

.

1)

2b

a

2) 2ab 3) 2a

3

b 4) 2ab

3

А4. Упростите выражение

√

а

5

⋅

√

а

3

.

1)

а

15

2

2)

а

15

4

3)

а

4

4)

а

16

15

А5. Упростите выражение

(

3

√

b

−

2

)

2

⋅

b

3

(

3

√

b

)

2

. 1)

1

b

2)

1

√

b

3) b

4)

√

b

А6. Представьте данное выражение в виде степени:

у

1,7

⋅

у

2,8

⋅

у

−

1,5

.

1) у

-3

2) у

-7,14

3) у

3

4) у

6

29

А7. Найдите значение выражения:

(

36

3

125

2

)

1

6

.

1)

5

6

2) 1,2 3)

3

6

1 2 5

4)

6

2

5

А8. Вычислите: 4,7 - 8

1

3

·2

3

.

1) -11,3 2) 5,3 3) -7,3 4) 11,3

А9. Найдите значение выражения

(

0, 216

8

27

)

9

4

.

1) 0,36 2) 3,6 3) 0,6 4) 0,18

А10. Найдите значение выражения:

(

х

−

1

2

⋅

х

1

3

√

х

⋅

3

√

х

−

1

)

3

4

при х = 0,0625.

1) 0,5 2) 2 3) 4 4) 0,25

А11.Укажите промежуток, которому принадлежит значение выражения

(

)

2

422.

-

1) (0;2) 2) [2;4) 3) (-2;0] 4) (-4; -2]

А12. Найдите значение числового выражения

2 1 1

31,7:63,423,4:11,7105:3

3 3 3

��

---

��

��

1) - 0,1 2) – 1,1 3) - 0,9 4) -3,1

Эталон ответа:

Вариант

А1

А2

А3

А4

А5

А6

А7

А8

А9

А10

А11

А12

1

1

4

4

2

2

3

1

3

4

4

3

2

2

4

1

1

3

3

3

2

1

1

1

1

4

Задание 4

Самостоятельная работа

Вариант -1

Вычислить:

1)

(

1

7

)

−

8

⋅

(

1

7

)

7

30

2)

(

1

9

)

-2

+

0,1

−

2

3)

(

4

9

)

−

1

2

+

(

1

1

3

)

−

1

4)

(

1

27

⋅

125

−

1

)

−

1

3

5)

3

√

3

2

⋅

3

√

2

1

4

Вариант 2

Вычислить:

1)

(

1

3

)

12

⋅

(

1

3

)

−

15

2)

5

−

6

⋅

5

8

:125

3)

(

2

5

)

3

7

⋅

(

2

1

2

)

1

3

7

4)

27

2

3

+

9

−

1

5)

4

√

3

4

⋅

4

√

6

3

4

31

Вариант -3

Вычислить:

1)

4

−

7

:4

−

10

2)

36

−

1

⋅

(

1

6

)

−

4

3)

(

9

16

)

−

1

2

+

(

1

2

5

)

−

1

4)

(

2

10

27

)

−

2

3

⋅

(

3

4

)

2

5)

4

√

15

5

8

:

4

√

2

5

Вариант -4

Вычислить:

1)

(

1

5

)

−

9

:

(

1

5

)

−

8

2)

16

⋅

(

2

−

3

)

2

3)

(

3

4

)

5

8

⋅

(

1

1

3

)

1

5

8

32

4)

(

64

81

)

−

1

2

⋅

(

8

5

)

−

1

5)

3

√

11

1

4

:

3

√

3

1

3

Эталон ответа

Вариант 1

1.

7

2.

181

3.

9

4

4.

15

5.

3

2

Вариант 2

1.

27

2.

1

5

3.

5

2

4.

9

1

9

5.

3

2

Вариант 3

1.

64

2.

36

3.

43

21

4.

81

256

5.

5

2

33

Вариант 4

1.

5

2.

1

4

3.

4

3

4.

45

64

5.

3

2

Задание 5

Контрольная работа «Корни, степени, иррациональные уравнения»

Вариант 1

1.

Вычислить:

1)

2)

4

√

81

3)

8

1

3

(

1

2

)

4

4)

(

1

27

⋅

125

−

1

)

−

1

3

2.

Вычислить:

1)

1

3

4

√

81

−

4

√

625

2)

3

√

3

3

8

+

4

√

18 ∙

4

√

4

1

2

−

√

√

256

3.

Сравнить числа:

1)

(

1

5

)

0,2

и

(

1

5

)

1,2

2)

3

−

0,2

и

3

−

1,2

4.

Решить уравнение:

√

2

+

х

=

√

3 х

−

5

5.

Решить равнение:

х

+

1

=

√

1

−

х

Вариант 2

1.

Вычислить:

34

1

3

2

-













1)

8

1

3

2)

5

√

32

3)

5

1

4

⋅

5

−

1

4

5

2

4)

(

0, 01

)

−

2

:100

−

1

2

2.

Вычислить:

1)

4

√

0,0016

+

3

√

0,001

2)

4

√

32

4

√

2

+

6

√

27

2

−

√

3

√

64

3.

Сравнить числа:

1)

5

−

0,2

и

5

−

1,2

2)

(

1

2

)

2

и

(

1

2

)

5

4.

Решить уравнение:

√

х

−

8

=

√

4 х

+

2

5.

Решить уравнение:

12

−

х

=

√

х

Вариант 3

1.

Вычислить:

1)

(

9

4

)

−

2

2)

6

√

8

2

3)

7

7

3

⋅

7

−

4

3

7

2

4)

(

64

81

)

−

1

2

(

8

5

)

−

1

2.

Вычислить:

1)

3

√

−

1000

−

1

2

4

√

256

2)

3

√

49 ∙

3

√

112

3

√

250

3.

Сравнить числа:

1)

2

√

3

и

2

1,7

2)

(

1

7

)

3

и

(

1

7

)

2

¿ ¿ ¿

¿

¿ ¿

4.

Решить уравнение:

√

х

−

3

=

√

2 х

+

4

5.

Решить уравнение:

х

−

√

х

+

1

=

5

Вариант 4

1.

Вычислить:

35

1)

27

1

3

2)

8

√

16

2

3)

(

1

15

)

−

1

: 9

1

2

4)

(

2

10

27

)

−

2

3

(

3

4

)

2

2.

Вычислить:

1)

5

√

32

+

3

√

−

216

2)

4

√

54 ∙

4

√

120

4

√

5

3.

Сравнить числа:

1)

(

1

2

)

1,4

и

(

1

2

)

√

2

2)

4

−

2

и

4

−

5

¿ ¿ ¿

¿

¿ ¿

4.

Решить уравнение:

√

5

−

х

=

√

2 х

+

1

5.

Решить уравнение:

х

=

1

+

√

х

+

11

Эталон ответа:

Вариант 1

1.

Вычислить:

1)

(

2

3

)

−

1

=

3

2

2)

4

√

81

=

3

3)

8

1

3

(

1

2

)

4

=

1

8

4)

(

1

27

⋅

125

−

1

)

−

1

3

=

15

2.

Вычислить:

1)

1

3

4

√

81

−

4

√

625

=−

4

2)

3

√

3

3

8

+

4

√

18 ∙

4

√

4

1

2

−

√

√

256

=

1

2

3.

Сравнить числа:

1)

(

1

5

)

0,2

>

(

1

5

)

1,2

2)

3

−

0,2

>

3

−

1,2

4.

Решить уравнение:

√

2

+

х

=

√

3 х

−

5

,x=3,5

5.

Решить равнение:

х

+

1

=

√

1

−

х , x

=

0

Вариант 2

1.

Вычислить:

36

1)

8

1

3

=

2

2)

5

√

32

=

2

3)

5

1

4

⋅

5

−

1

4

5

2

=

1

25

4)

(

0, 01

)

−

2

:100

−

1

2

=

100000

2.

Вычислить:

1)

4

√

0,0016

+

3

√

0,001

=

0,3

2)

4

√

32

4

√

2

+

6

√

27

2

−

√

3

√

64

=

3

3.

Сравнить числа:

1)

5

−

0,2

>

5

−

1,2

2)

(

1

2

)

2

>

(

1

2

)

5

4.

Решить уравнение:

√

х

−

8

=

√

4 х

+

2 ,

∅

5.

Решить уравнение:

12

−

х

=

√

х , x

=

9

Вариант 3

1.

Вычислить:

1)

(

9

4

)

−

2

=

16

81

2)

6

√

8

2

=

2

3)

7

7

3

⋅

7

−

4

3

7

2

=

1

7

4)

(

64

81

)

−

1

2

(

8

5

)

−

1

=

45

64

2.

Вычислить:

1)

3

√

−

1000

−

1

2

4

√

256

=−

12

2)

3

√

49 ∙

3

√

112

3

√

250

=

2,8

3.

Сравнить числа:

1)

2

√

3

>

2

1,7

2)

(

1

7

)

3

<

(

1

7

)

2

¿ ¿ ¿

¿

¿ ¿

4.

Решить уравнение:

√

х

−

3

=

√

2 х

+

4 ,

∅

5.

Решить уравнение:

х

−

√

х

+

1

=

5 , x

=

8

Вариант 4

1.

Вычислить:

37

1)

27

1

3

=

3

2)

8

√

16

2

=

2

3)

(

1

15

)

−

1

:9

1

2

=

5

4)

(

2

10

27

)

−

2

3

(

3

4

)

2

=

81

256

2.

Вычислить:

1)

5

√

32

+

3

√

−

216

=-4

2)

4

√

54 ∙

4

√

120

4

√

5

=

6

3.

Сравнить числа:

1)

(

1

2

)

1,4

>

(

1

2

)

√

2

2)

4

−

2

>

4

−

5

¿ ¿ ¿

¿

¿ ¿

4.

Решить уравнение:

√

5

−

х

=

√

2 х

+

1 , x

=

4

3

5.

Решить уравнение:

х

=

1

+

√

х

+

11 , x

=

5

Тема 2.2

Логарифм. Логарифм числа. Преобразование алгебраических выраже-

ний.

Задание 1

Математический диктант

Приведите примеры на свойства логарифмов.

38

Эталон (примерных ) ответов

39

Задание12

Математический диктант

Вычислить: ответы

1.

2

3

8

2.

3

-2

1/9

3.

(1/2)

2

1/4

4.

105

0

1

5.

25

0,5

5

6.

log

2

8 3

7.

log

5

625 4

8.

log

3

1/9 -2

9.

lg 1000 3

10.lg 0,01 -2

Решить уравнения:

1.

3

х

= 9 х = 2

2.

2

х

= 16 х = 4

3.

5

х

= 0,25 х = -2

4.

log

2

х = -3 х = 1/8

5.

log

0,5

х = -2 х = 4

1.

8-11 правильных ответов – ставится оценка «3»;

2.

12-13 правильных ответов – ставится оценка «4»;

3.

14-15 правильных ответов – ставится оценка «5»;

Задание 3

Самостоятельная работа

40

Вариант 1

Вариант 2

Эталон ответа

Вариант 1

1.

а) 2; б) 1; в) 4

2.

7

3.

9

Вариант 2

1.

а) 1; б)

10

1

2

; в) 16

2.

2

3.

1

4

Задание 4

41

Контрольная работа по теме «Логарифмы. Логарифмические уравне-

ния»

Вариант 1

1)

Вычислить:

а) log

5

125;

б) lg 0,01;

2)

Вычислить:

а)

б)

3

2 log

3

7

в)

log

2

68

−

log

2

17

3)

Сравнить числа:

а)

log

1

5

7

и

log

1

5

5

б)

log

2

0,2

и

log

2

1,2

4)

Решить уравнение:

log

5

(

3 х

+

1

)=

2

5)

Решить уравнение:

ln

(

x

2

−

6 x

+

9

)=

ln 3

+

ln

(

x

+

3

)

Вариант 2

1)

Вычислить:

а) log

3

1;

б)

log

2

√

2

;

2)

Вычислить:

а)

3

−

log

3

18

б)

0,3

2 log

0,3

6

в)

log

2

15

−

log

2

15

16

3)

Сравнить числа:

а)

log

6

8

и

log

6

15

б)

log

0,2

3

и

log

0,2

2,5

42

3

log

2

2



4)

Решить уравнение:

log

1

2

(

7

−

8 x

)=−

2

5)

Решить уравнение:

log

3

(

x

+

2

)+

log

3

x

=

1

Вариант 3

1)

Вычислить:

а)

log

1

4

64

;

б)

log

27

9

;

2)

Вычислить:

а)

3

5 log

3

2

б)

8

log

2

5

в)

2 log

27

log

10

1000

3)

Сравнить числа:

а)

log

1

2

2,5

и

log

1

2

5

б)

log

2

√

5

2

и

log

2

√

3

2

4)

Решить уравнение:

lg

(

2

−

5 x

)=

1

5)

Решить уравнение:

log

2

(

1

−

х

)=

3

−

log

2

(

3

−

x

)

Вариант 4

1)

Вычислить:

а)

log

1

3

81

б)

log

4

1

16

;

43

2)

Вычислить:

а)

(

1

4

)

log

1

4

6

б)

(

1

6

)

−

log

6

4

в)

2 log

1

3

6

−

1

2

log

1

3

400

+

3 log

1

3

3

√

45

3)

Сравнить числа:

а)

log

2

0,8

и

log

2

1,5

б)

log

1

3

9

и

log

1

3

17

4)

Решить уравнение:

lg

(

х

2

−

2

)=

lg x

5)

Решить уравнение:

log

2

2

х

−

5 log

2

x

+

6

=

0

Эталон ответа:

Вариант 1

1)

Вычислить:

а) log

5

125=3;

б) lg 0,01=-2;

2)

Вычислить:

а)

2

−

log

2

3

=

1

3

б)

3

2 log

3

7

=

49

в)

log

2

68

−

log

2

17

=

2

3)

Сравнить числа:

а)

log

1

5

7

<

log

1

5

5

б)

log

2

0,2

<

log

2

1,2

4)

Решить уравнение:

44

log

5

(

3 х

+

1

)=

2, х

=

8

5)

Решить уравнение:

ln

(

x

2

−

6 x

+

9

)=

ln 3

+

ln

(

x

+

3

)

, x

=

0, x

=

9

Вариант 2

1)

Вычислить:

а) log

3

1=0;

б)

log

2

√

2

=

1

2

;

2)

Вычислить:

а)

3

−

log

3

18

=

1

18

б)

0,3

2 log

0,3

6

в)

log

2

15

−

log

2

15

16

3)

Сравнить числа:

а)

log

6

8

<

log

6

15

б)

log

0,2

3

<

log

0,2

2,5

4)

Решить уравнение:

log

1

2

(

7

−

8 x

)=−

2, х

=

3

8

5)

Решить уравнение:

log

3

(

x

+

2

)+

log

3

x

=

1, х

=

1

Вариант 3

1)

Вычислить:

а)

log

1

4

64

=−

3

;

б)

log

27

9

=

2

3

;

45

2)

Вычислить:

а)

3

5 log

3

2

=

32

б)

8

log

2

5

=

125

в)

2 log

27

log

10

1000

=

2

3

3)

Сравнить числа:

а)

log

1

2

2,5

>

log

1

2

5

б)

log

2

√

5

2

>

log

2

√

3

2

4)

Решить уравнение:

lg

(

2

−

5 x

)=

1, х

=−

1

2

5

5)

Решить уравнение:

log

2

(

1

−

х

)=

3

−

log

2

(

3

−

x

)

, х

=−

1

Вариант 4

1)

Вычислить:

а)

log

1

3

81

=−

4

б)

log

4

1

16

=−

2

;

2)

Вычислить:

а)

(

1

4

)

log

1

4

6

=

6

б)

(

1

6

)

−

log

6

4

=

4

в)

2 log

1

3

6

−

1

2

log

1

3

400

+

3 log

1

3

3

√

45

=−

4

3)

Сравнить числа:

а)

log

2

0,8

<

log

2

1,5

б)

log

1

3

9

>

log

1

3

17

46

4)

Решить уравнение:

lg

(

х

2

−

2

)=

lg x , х

=

2

5)

Решить уравнение:

log

2

2

х

−

5 log

2

x

+

6

=

0, х

=

8, х

=

4

Тема 3.1 Прямые и плоскости в пространстве.

Задание 1

Математический диктант.

1.Написать обозначение прямых.

2.Написать обозначение отрезков.

3.Написать обозначение лучей.

4.Написать обозначение углов.

5.Написать обозначение плоскостей.

6.Сколько плоскостей можно провести через одну прямую?

7.Сколько плоскостей можно провести через две параллельные прямые?

8.Сколько плоскостей можно провести через две пересекающиеся прямые?

9. Сколько плоскостей можно провести через две скрещивающиеся прямые?

10.Прямые а и в параллельны прямой с. Как расположены между собой пря-

мые а и в?

11.Две плоскости параллельны одной прямой. Параллельны ли они между со-

бой?

12.Плоскость α I I β, α пересекает γ по прямой а, β пересекает γ по прямой в.

Что можно сказать о прямых а и в?

13.У треугольника основание равно 18 см. Чему равна средняя линия ∆?

47

14.Стороны основания трапеции равны 12см и 7см. Чему равна средняя ли-

ния трапеции?

15.У данного четырехугольника противоположные стороны равны и парал-

лельны.

Диагонали равны 15см и 13 см. Является ли четырехугольник прямоугольни-

ком?

Эталон ответа

1.Написать обозначение прямых: (АВ, а, …)

2.Написать обозначение отрезков (АВ, СД, а, в, т…)

3.Написать обозначение лучей (МК, т…)

4.Написать обозначение углов ( АВС, 1, α, β, γ)

5.Написать обозначение плоскостей (α, β, γ, (АВС),…)

6.Сколько плоскостей можно провести через одну прямую? (бесчисл. множ-

во).

7.Сколько

плоскостей

можно

провести

через

две

параллельные

прямые?

(одну).

8.Сколько плоскостей можно провести через две пересекающиеся прямые?

(одну).

9. Сколько плоскостей можно провести через две скрещивающиеся прямые? (

0)

10.Прямые а и в параллельны прямой с. Как расположены между собой пря-

мые а и в? (параллельны)

11.Две плоскости параллельны одной прямой. Параллельны ли они между со-

бой? (и да, и нет)

12.Плоскость α I I β, α пересекает γ по прямой а, β пересекает γ по прямой в.

Что можно сказать о прямых а и в? (а параллельна в)

13.У треугольника основание равно 18 см. Чему равна средняя линия ∆? (9см)

14.Стороны основания трапеции равны 12см и 7см. Чему равна средняя ли-

ния трапеции? (9,5 см).

48

15.У данного четырехугольника противоположные стороны равны и парал-

лельны.

Диагонали равны 15см и 13 см. Является ли четырехугольник прямоугольни-

ком? (нет).

До 14-15 правильных ответов - ставится отметка «5».

До 11-13 правильных ответов - ставится отметка «4»

До 8-10 правильных ответов - ставится отметка «3»

Задание 2

Из четырех ответов выберите один правильный.

Вариант 1.

1. Точки A, B, C, D не лежат на одной плоскости. Выберите верное утвержде-

ние:

а) прямая AB параллельна прямой CD;

б) прямая AB пересекает прямую CD;

в) прямая AC пересекает BD;

г) прямая AC и BD – скрещивающиеся.

2. Сторона AB треугольника ABC принадлежит плоскости

, точка D , не

принадлежащая прямой AB, - проекция точки C на плоскость

. Точка T –

середина AB. Выберите верное утверждение:

а) прямые CT и AB не пересекаются;

б) прямые CT и AB параллельны;

в) прямые BT и AD пересекаются;

г) прямые AT и BD скрещивающиеся.

49

3. Через концы отрезка AB, не пересекающего плоскость

и точку C – сере-

дину этого отрезка, проведены параллельные прямые, пересекающие плос-

кость

в точках A

1

,B

1,

C

1

соответственно. Найдите длину отрез-

каCC

1

,если AA

1

=12 см, а BB

1

=6 см.

а) 6 см ; в)

см;

б) 9 см; г) другой ответ.

4. Плоскость

, параллельная стороне BC треугольника ABC, пересекает

стороны AB и AC в точках M и N соответственно. Найдите длину отрезкаBC,

если MN=6 см, а AM: MB=3:5.

а) 16 см; в) 12 см;

б) 4,8 см; г) другой ответ.

5. Точки M, N, P – параллельные проекции точек A, B, D на плоскость

,

причем точка D принадлежит отрезку AB .Найдите AB, если : MN=12 см,NP =

8 см, а BD =14 см.

а) 21 см; в) 24 см;

б) 28 см; г) другой ответ.

Вариант 2.

1.Точки A, B, C, D лежат в одной плоскости. Выберите утверждение, которое

не может быть верным:

а) прямая AB параллельна прямой CD;

б) прямая AB пересекает прямую CD;

в) прямая AC пересекает прямую BD;

г) прямая AC и BD – скрещивающиеся.

50

2. Сторона KM треугольника KMB принадлежит плоскости

, точка P , не

принадлежащая прямой KM, - проекция точки B на плоскость

.Точка N –

середина MB. Выберите неверное утверждение:

а) прямые MP и NP пересекаются;

б) прямые MB и NP пересекаются;

в) прямые KB и NP пересекаются;

г) прямые KP и NP пересекаются.

3. Через концы отрезка MN, не пересекающего плоскость

, и точку K – се-

редину этого отрезка проведены параллельные прямые, пересекающие плос-

кость

в точках M

1

, N

1

, K

1

соответственно. Найдите длину отрезкаNN

1

,

если MM

1

=16 см, а KK

1

=9см.

а) 12 см; в) 2 см;

б) 5 см; г) другой ответ.

4. Плоскость

, параллельная стороне NM треугольника NMK, пересекает

стороны MK и KN в точках D и B соответственно. Найдите длину отрезкаBD,

если MN=14 см, а NB:BK=4:3.

а) 2 см; в) 6 см;

б) 10,5 см; г) другой ответ.

5. Точки K, L, C – параллельные проекции точек P, R, M на плоскость

,

причем точка R принадлежит отрезку PM. Найдите PR, если: KC=18 см,LC=

6см, а PM= 24см.

а) 16 см; в) 12 см;

б) 18 см; г) другой ответ.

Эталон ответа

Вариант 1

51

1.

г

2.

в

3.

б

4.

а

5.

а

Вариант 2

1.

г

2.

в

3.

а

4.

в

5.

а

Задание 3

Из четырех ответов выберите один правильный.

Вариант 1.

1. Расстояние от некоторой точки до плоскости квадрата равно 4 см, а до каж-

дой из его вершин – 6 см. Найдите диагональ квадрата.

а) 4

см; в) 5

см;

б) 5 см; г)другой ответ.

2. Через вершину квадрата ABCD проведена прямая AM, перпендикулярная

его плоскости. Какое из данных утверждений неверно?

а) MA

BD; в) MB

CB;

б) MD

CD; г) MC

CB.

3. Найдите расстояние от середины отрезка AB, пересекающего плоскость

, до плоскости

, если расстояния от точек A и B до плоскости равны соот-

ветственно 7 см и 9 см.

а) 8 см; в) 4 см;

52

б) 1 см; г) другой ответ.

4. Точка A находится на расстоянии 3 см и 5 см от двух перпендикулярных

плоскостей

и

. Найдите расстояние от точки A до прямой пересечения

плоскостей

и

.

а)

см; в) 6 см;

б) 4 см; г) другой ответ.

5. Из вершины равностороннего треугольника ABC проведен перпендику-

ляр AK к плоскости треугольника. Точка D – середина стороныBC. Найдите

длину AK, если BC=

см, а KD=8 см.

а) 14 см; в) 7 см;

б) 12 см; г) другой ответ.

Вариант 2.

1. Расстояние от некоторой точки до плоскости квадрата равно 4 см, а до каж-

дой из его вершин – 6 см. Найдите диагональ квадрата.

а) 2

см; в) 5

см;

б) 6 см; г)другой ответ.

2. Через вершину прямоугольника ABCD проведена прямая AK, перпендику-

лярная его плоскости. Какое из данных утверждений неверно?

а) KA

AC; в) KB

CB;

б) KD

CD; г) KC

CB.

53

3. Найдите расстояние от середины отрезка AB, пересекающего плоскость

, до плоскости

, если расстояния от точек A и B до плоскости равны соот-

ветственно 10 см и 6 см.

а) 8 см; в) 2 см;

б) 4 см; г) другой ответ.

4. Точка A находится на расстоянии 1 см до одной из двух перпендикулярных

плоскостей. Найдите расстояние от точки A до второй плоскости, если рас-

стояние от A до прямой их пересечения равно

см.

а) 2 см; в) 1 см;

б)

см; г) другой ответ.

5. Из O -центра равностороннего треугольника ABC проведен перпендику-

ляр OK к плоскости треугольника. Найдите длину OK, еслиBC=6 см, а KC=4

см.

а) 2 см; в) 4 см;

б) 3 см; г) другой ответ.

Эталон ответа

Вариант 1.

1.

а

2.

г

3.

а

4.

б

5.

в

Вариант 2.

1.

б

2.

г

54

3.

а

4.

а

5.

а

Задание 4

Контрольная работа «Прямые и плоскости в пространстве»

Вариант 1

1.

По рисунку назовите плоскости, в которых лежат прямые:

EC, AC, DE, BC.

2.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

, плоскостям каких

граней перпендикулярны прямые: ВВ

1

, DC, A

1

D

1

.

3.

Ребро куба равно 6 см. Найти расстояние от точки пересечения диаго-

налей одной из граней до вершин противолежащей ей грани.

4.

Из вершины А прямоугольного треугольника АВС (угол С=90

о

), прове-

ден перпендикуляр AD к его плоскости. Найти расстояние от точки D

до катета ВС. Если ВС=6см, DВ=10см.

5.

Расстояние от стены завода до склада 4м. Цех завода расположен на

втором этаже на высоте 3,8м от уровня земли. Какой длины нужно по-

строить жёлоб для транспортировки готовой продукции из цеха в

склад, если высота приемной полки 0,8 м.

55

Вариант 2

1.

По рисунку назовите плоскости, в которых лежат прямые:

ЕР, AВ, DК, DB.

2.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

, плоскостям каких

граней перпендикулярны прямые: А

1

D

1

, АВ, A

1

В

1

.

3.

Ребро куба равно 8 см. Найти расстояние от точки пересечения диаго-

налей одной из граней до вершин противолежащей ей грани.

4.

Из вершины А прямоугольного треугольника АВС (угол С=90

о

), прове-

ден перпендикуляр AD к его плоскости. Найти расстояние от точки D

до катета ВС. Если ВС=7см, DВ=25см.

5.

Расстояние от стены завода до склада 8м. Цех завода расположен на

третьем этаже на высоте 7,2м от уровня земли. Какой длины нужно по-

строить жёлоб для транспортировки готовой продукции из цеха в

склад, если высота приемной полки 1,2 м.

Эталон ответа:

Вариант 1

1.

Ответ:

EC

∈

ABC , AC

∈

ACD , ABC , DE

∈

ABD ,BC

∈

BCD , ABC .

2.

Ответ : ВВ 1перпендикулярно ABCD , A 1 B1 C 1 D 1

DC перпендикулярно AA 1 D 1 D , BB 1C 1 C

A 1 D 1 перпендикулярно AA 1 B1 B , DD 1C 1 C

56

3.

Ответ:

3

√

6 см

4.

Ответ:8см.

5.

Ответ:5м.

Вариант 2

1.

Ответ:

E P

∈

ABD, AB

∈

ABC , ABD ,DK

∈

BCD , ADC , DB

∈

ABD ,BCD .

2.

Ответ : A 1 D 1перпендикулярно AA 1 B 1 B ,DD 1C 1C

AB перпендикулярно AA 1 D 1 D , BB 1C 1C

A 1 D 1 перпендикулярно AA 1 D 1 D ,BB 1 C 1C

3.

Ответ:4

√

6 см

4.

Ответ:24см.

5.

Ответ:10м.

Тема 4.1 Комбинаторика

Задание 1

Из четырех ответов выберите один правильный.

Вариант 1

А1. Сколькими способами могут разместиться 4 человека в салоне автобуса

на четырех свободных местах?

1) 4 2) 16 3) 24 4) 12

А2. Сколько существует вариантов выбора двух чисел из четырех?

1) 6 2) 4 3) 2 4) 8

А3. В шахматном турнире участвуют 9 человек. Каждый из них сыграл с каж-

дым по одной партии. Сколько всего партий было сыграно?

1) 36 2) 18 3) 72 4) 16

А4. Выберите число, на которое не делится число 30!

1) 108 2) 91 3) 72 4) 62

А5. Сколькими способами могут разместиться 3 человека в четырехместном

купе на свободных местах?

1) 36 2) 16 3) 24 4) 12

57

А6. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 без по-

вторений цифр?

1) 24 2) 36 3) 45 4) 60

Вариант 2

А1. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 без по-

вторений цифр?

1) 25 2) 120 3) 60 4) 50

А2. Сколько существует вариантов выбора двух чисел из шести?

1) 12 2) 16 3) 10 4) 15

А3. В шашечном турнире участвуют 8 человек. Каждый из них сыграл с каж-

дым по одной партии. Сколько всего партий было сыграно?

1) 36 2) 24 3) 28 4) 16

А4. Выберите число, на которое не делится число 20!

1) 76 2) 45 3) 46 4) 910

А5. Сколькими способами можно выбрать из восьми карандашей различного

цвета четыре карандаша?

1) 1680 2) 840 3) 420 4) 240

А6. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 без

повторений цифр?

1) 420 2) 360 3) 240 4) 180

Эталон ответа

Вариант

А1

А2

А3

А4

А5

А6

1

3

1

1

4

3

4

2

2

4

3

3

1

2

Задание 2

Самостоятельная работа по теме «Комбинаторика»

.

58

Ва-

ри-

ант

Вы-

чис-

лить

Упростить

Упростить

Вычислить

Вычис-

лить

Вычис-

лить

Решить задачу

Решить

уравнение

Решить за-

дачу

1

Р

5

6!∙7

k!∙(k+1)

26 !

25 !

A

5

2

С

7

2

На окружности отмечено 8 точек. Сколь-

ко различных выпуклых четырехугольни-

ков с вершинами, выбранными из этих

точек, можно построить?

Р

n

P

n

+

1

=

1

3

Имеются 5

тюльпанов

и 6 нарцис-

сов.

Сколькими

способами

можно со-

ставить бу-

кет из 3

тюльпанов

и 2 нарцис-

сов.

2

Р

7

10!∙11

(k-1)!∙k

32!

31!

A

4

2

С

8

2

Р

n

+

2

P

n

+

1

=

8

3

Р

9

15∙14!

(k-1)!∙k∙(k+1)

12!

10!

A

5

1

С

6

1

В помещении 15 ламп. Сколько существу-

ет вариантов его освещения, если од-

новременно должно светиться 13 ламп.

Р

n

P

n

−

2

=

20

4

Р

8

12∙11!

(k-2)!∙(k-1)∙k

14 !

12 !

A

4

1

С

7

1

Сколькими способами, для участия в кон-

ференции из 9 членов научного общества,

можно выбрать пятерых студентов?

Р

n

−

1

P

n

+

1

=

1

12

5

Р

4

8!∙9

(k-2)!∙(k-1)

5! ∙ 3!

7!

A

5

2

С

7

3

Р

n

P

n

+

1

=

2

5

6

Р

3

20!∙21

(k+1)!∙(k+2)

6 ! ∙ 4 !

8 !

A

10

3

С

8

3

Сколько различных аккордов, содержа-

щих 4 звука, можно образовать из 12 кла-

виш одной октавы?

Р

n

+

2

P

n

+

1

=

10

7

Р

6

19∙18!

(k-3)!∙(k-2)

10 !

8 ! ∙ 3!

A

8

3

С

9

8

Р

n

P

n

+

1

=

1

3

8

Р

5

13∙12!

(k-1)!∙k∙(k+1)

11 !

9 ! ∙ 2!

A

6

2

С

10

9

В помещении 16 ламп. Сколько существу-

ет вариантов его освещения, если од-

новременно должно светиться 14 ламп.

Р

n

+

2

P

n

+

1

=

8

В школь-

ном хоре 7

девочек и 4

мальчика.

Сколькими

способами

из состава

хора можно

выбрать для

участия в

районном

смотре 5 де-

вочек и 2

мальчика.

9

Р

7

5!∙6

(k+1)!∙(k+2) )∙(k+3)

27 !

26 !

A

5

3

С

16

15

Р

n

P

n

−

2

=

20

10

Р

9

23!∙24

k!∙(k+1)

34 !

33 !

A

7

3

С

9

8

На плоскости отмечено 16 точек, причем

никакие три из них не лежат на одной

прямой. Сколько различных отрезков

можно построить, соединяя эти точки по-

парно?

Р

n

−

1

P

n

+

1

=

1

12

11

Р

8

16∙15!

(k-1)!∙k

14 !

13 !

A

6

3

С

10

8

Р

n

P

n

+

1

=

2

5

12

Р

4

17∙16!

(k-2)!∙(k-1)∙k

5! ∙ 3!

6!

A

5

4

С

50

48

На окружности отмечено 10 точек. Сколь-

ко различных треугольников с вершина-

ми, выбранными из этих точек, можно

построить?

Р

n

+

2

P

n

+

1

=

10

13

Р

3

3!∙4

(k-2)!∙(k-1)

6 ! ∙ 4 !

8 !

A

7

5

С

40

38

Р

n

P

n

+

1

=

1

3

59

14

Р

6

24!∙25

(k+1)!∙(k+2)

10 !

8 ! ∙ 3!

A

6

4

С

70

2

На окружности отмечено 7 точек. Сколь-

ко различных выпуклых четырехугольни-

ков с вершинами, выбранными из этих

точек, можно построить?

Р

n

+

2

P

n

+

1

=

8

15

Р

5

11∙10!

(k-3)!∙(k-2)

11 !

9 ! ∙ 2!

A

8

5

С

60

2

Р

n

P

n

−

2

=

20

Эталон ответа:

Ва-

ри-

ант

Вы-

чис-

лить

Упростить

Упростить

Вычислить

Вычис-

лить

Вычис-

лить

Решить задачу

Решить

уравнение

Решить за-

дачу

1

120

7!

(k+1)!

26

20

21

Ответ: 70

n=2

Ответ: 150

2

5040

11!

K!

32

12

28

n=6

3

362880

15!

(k+1)!

132

5

6

Ответ: 105

n=5

4

40320

12!

K!

182

4

7

Ответ: 126

n=3

5

24

9!

(k-1)!

1/7

20

35

n=1,5

6

6

21!

(k+2)!

3/7

720

56

Ответ:495

n=8

7

720

19!

(k-2)!

15

336

9

n=2

8

120

13!

(k+1)!

55

30

10

Ответ:120

n=6

Ответ:126

9

5040

6!

(k+3)!

27

60

16

n=5

10

362880

24!

(k+1)!

34

210

9

Ответ:120

n=3

11

40320

16!

K!

14

120

45

n=1,5

12

24

17!

K!

1

5

1225

Ответ:80

n=8

13

6

4!

(k-1)!

3/7

2520

780

n=2

14

72

25!

(k+2)!

15

15

2415

Ответ:35

n=6

15

120

11!

(k-2)!

55

6720

1770

n=5

60

Тема 5.1 Координаты и векторы

Задание 1

Из четырех ответов выберите один правильный.

Вариант 1.

1.Какая из перечисленных точек лежит в YOZ:

а) A (0;1;1); в) C (-1;0;5);

б) B (1;2;0); г) D (1;1;2).

2. Точка M – середина отрезка AB. Найдите координаты точки B, если A(1;3;-

2), M (-2;4;5).

а) B (-5;5;12); в) B (-1;5;7);

б) B (3;5;8); г) другой ответ.

3. Катеты прямоугольного треугольника равны 5 см и 6 см . Найдите площадь

проекции этого треугольника на плоскость, если плоскость треугольника на-

клонена к плоскости проекции под углом 60

0

.

а) 7,5 см

2

; в) 30 см

2

;

б) 15 см

2

; г) другой ответ.

4. Из точки, отстоящей от плоскости на расстоянии 4, проведены две наклон-

ные к плоскости под углом 45

0

. Найдите длины наклонных.

а) 4

и 4

; в) 3 и 3;

б) 2

и 2

; г) другой ответ.

5. Угол между единичными векторами

и

равен 60

0

. Найдите абсолют-

ную величину вектора

+

.

61

а) 1; в)

;

б)

; г) другой ответ.

6. Найдите длину AM – медианы треугольника ABC, если A (1;2;3), B (6;3;6),

C (-2;5;2).

а)

; в) 3;

б) 2; г) другой ответ.

Вариант 2.

1.Какая из перечисленных точек лежит в XOZ:

а) A (0;-1;2); в) C (0;0;-1);

б) B (1;-2;0); г) D (1;1;3).

2. Точка M – середина отрезка AB. Найдите координаты точки M, если A(1;3;-

2), В(-5;7;8).

а) M (-2;5;5); в) M (3;5;5);

б) M (-2;5;3); г) другой ответ.

3. Сторона равностороннего треугольника равна 4 см . Найдите площадь

проекции этого треугольника на плоскость, если плоскость треугольника на-

клонена к плоскости проекции под углом 30

0

.

а) 6 см

2

; в) 12 см

2

;

б) 15 см

2

; г) другой ответ.

62

4. Из точки, отстоящей от плоскости на расстоянии 10, проведены две на-

клонные к плоскости под углом 60

0

. Найдите сумму длин наклонных.

а)

в)

б) 10

; г) другой ответ.

5. Угол между единичными векторами

и

равен 60

0

. Найдите абсолют-

ную величину вектора 2

+

.

а)

; в)

;

б)

; г) другой ответ.

6. Найдите длину CK – медианы треугольника ABC, если A (1;2;1), B (-

3;6;3), C (-5;2;1).

а) 2

; в)

√

21

;

б) 2; г) другой ответ.

Эталон ответа

Вариант 1

1.

а

2.

а

3.

б

4.

а

5.

б

6.

а

Вариант 2

1.

в

2.

б

3.

а

63

4.

а

5.

а

6.

в

Задание 2

Контрольная работа по теме: Координаты и векторы.

Задание:

1.

Найти координаты векторов

АВ ,

→

ВС

→

, СА

→

.

2.

Найти длины векторов

|

АВ

|

→

,

|

ВС

|

→

,

|

СА

|

→

.

3.

Найти периметр треугольника ∆АВС.

4.

Найти скалярное произведение векторов

АВ

⋅¿

→

ВС

→

¿

.

5.

Найти косинус угла В (

cos B

)

6.

Найти координаты точки М – середины отрезка

|

ВС

|

7.

Найти длину медианы

|

АM

|

→

Вари-

ант

Координаты вершин треугольника

АВС

1

А(2;3;1) В(4;-1;0) С(-2;-2;0)

2

А(3;2;0) В(3;-3;1) С(-2;-1;0)

3

А(3;4;1) В(1;-1;1) С(-4;4;1)

4

А(2;4;0) В(4;-3;0) С(-2;-4;1)

Эталон ответа

Вариант 1

64

1.

⃗

AB

{

2;

−

4 ;

−

1

}

,

⃗

BC

{

−

6 ;

−

1 ; 0

}

,

⃗

CA

{

4 ;5; 1

}

2.

|

АВ

|

→

=

√

21

,

|

ВС

|

→

=

√

37

,

|

СА

|

→

=

√

42

3.

P

∆АВС

=

√

21

+

√

37

+

√

42

4.

АВ

⋅¿

→

ВС

→

==

−

8

¿

5.

cos B

=

−

8

∙

6.

M(1;-1,5;0)

7.

|

АM

|

→

=

√

22, 25

Вариант 2

1.

⃗

AB

{

0 ;

−

5 ; 1

}

,

⃗

BC

{

−

5 ; 2;

−

1

}

,

⃗

CA

{

5 ; 3; 0

}

2.

|

АВ

|

→

=

√

26

,

|

ВС

|

→

=

√

30

,

|

СА

|

→

=

√

34

3.

P

∆АВС

=

√

26

+

√

30

+

√

34

4.

АВ

⋅¿

→

ВС

→

==

−

11

¿

5.

cos B

=

−

11

∙

6.

M(0,5;-2;0,5)

7.

|

АM

|

→

=

√

22,5

Вариант 3

1.

⃗

AB

{

−

2 ;

−

5 ; 0

}

,

⃗

BC

{

−

5 ;5 ;0

}

,

⃗

CA

{

7 ; 0 ; 0

}

2.

|

АВ

|

→

=

√

29

,

|

ВС

|

→

=

5

√

2

,

|

СА

|

→

=

7

3.

P

∆АВС

=

√

29

+

5

√

2

+7

4.

АВ

⋅¿

→

ВС

→

==

−

15

¿

5.

cos B

=

−

3

√

58 ∙

6.

M(-1,5;1,5;1)

7.

|

АM

|

→

=

√

26 ,5

65

Вариант 4

1.

⃗

AB

{

2;

−

7 ; 0

}

,

⃗

BC

{

−

6 ;

−

1;1

}

,

⃗

CA

{

4 ; 8 ;

−

1

}

2.

|

АВ

|

→

=

√

53

,

|

ВС

|

→

=

√

38

,

|

СА

|

→

=

9

3.

P

∆АВС

=

√

53

+

√

38

+9

4.

АВ

⋅¿

→

ВС

→

==

−

5

¿

5.

cos B

=

−

5

√

53 ∙

√

38

6.

M(1;-3,5;0,5)

7.

|

АM

|

→

=

√

57 ,5

Тема 6.2 Основные тригонометрические тождества. Преобразования про-

стейших тригонометрических выражений.

Задание 1

Из четырех ответов выберите один правильный.

Вариант 1

А1. Найдите значение выражения: tg 210

o

1)

3

3

2)

2

2

3) 1 4) –1

А2. Вычислите:

0

2

0

2 1 5

1 1 5

t

g

t

g

-

1)

3

2)

2

2

3) 0,5 4)

3

3

А3. Вычислите:

0000

cos58cos32sin58sin32

-

1)

3

2

2) 0,5 3)

0,52

4) 0

А4. Упростите выражение:

(

)

3

3

c o s

2

t

g

х

x

p



+

��

+

��

��

1)

1

c o sx

2)

1

s i nх

3)

s i nх

4) 1

66

А5. Упростите выражение:

sin2

s i n

sin2

ap

a

a

��

-+

��

��

.

1)

3cos

a

2)

c o s

a

3) 0; 4)

2cossin

aa

-

.

А6. Вычислите:

0

0

0

0

sin30cos300

2sin15cos15

+

1) 0 2) -1 3) 2 4) 1

А7. Найдите значение выражения:

(

)

2020

0

0

2cos60sin60

cos120sin150

-

-

1) 1 2) 2 3) 0 4) -1

А8. Упростите выражение:

1sin2

sincos

a

aa

-

-

.

1)

c o s

a

2)

sincos

aa

-

3)

s i n

a

; 4)

sincos

aa

+

А9. Найдите значение выражения:

sin2cos2

, 0 , 5

sin2cos2

еслиtg

aa

a

aa

-



+

1)

1

7

-

2) 7 3) -7 4)

1

7

А10. Найдите значение выражения:

8

,sin,0

2 1 7

t

g

еслиctg

a

aa

=<

1) 0,25 2) 4 или 0,25 3) -0,25 4) 4

Вариант 2

А1. Упростите выражение 7cos

2

a

– 5+7sin

2

a

.

1) 1 + cos

2

a

; 2) 2; 3) –12; 4) 12.

А2. Найдите значения выражения cos

2

α - sin

2

α , если tgα=2.

67

1) 1; 2) -1; 3)

−

1

3

; 4)

−

3

5

.

А3. Упростите выражение 6,8 + 2cos

2

x, если sinx =

1

2

.

1) 8,3; 2) 7,8; 3) 6,8; 4) 9,3.

А4. Вычислите:

6sin15

о

cos15

о

2cos

2

15

о

-1

1) 3

√

3

; 2) 3; 3) 1,5

√

2

; 4)

√

3

.

А5. Упростите выражение 6cos

2

a

– 5 –3cos2

a

.

1) 1; 2) 2; 3) –2; 4) –5.

А6. Упростите выражение

3 cos

2

α

+

3

ctg

2

α

+

1

−

22,4 .

1) -20,6; 2) -16,4; 3) -19,4; 4) 6cos

2

α-22,4.

А7. Упростите выражение 7,4 - tg

2

α, если cosα=

1

3

.

1) 17,4; 2) 4,4; 3) -0,6; 4) -2,6.

А8. Упростите выражение

2

1

−

sin

2

x

, если tg x = 4.

1) 5; 2) 10; 3) 17; 4) 34.

А9. Найдите значение выражения

sinα·cos

(

π

2

−

α

)

-2sin

(

3 π

2

−

α

)

+cosα·sin

(

π

2

−

α

)

при α =

π

6

.

1)

√

3

; 2) 1+

√

3

; 3)

√

3

2

; 4)

1

2

.

А10. Упростите выражение:

2 tg α

⋅

2

√

1

sin

2

α

−

1

, если

α

∈

(

0 ;

π

2

)

.

68

1)

2

;

2) 4

;

3) 1; 4) 2tg

2

α

.

Эталон ответа

Вари-

ант

А1

А2

А3

А4

А5

А6

А7

А8

А9

А10

1

1

4

4

1

2

2

2

2

4

4

2

2

4

1

4

3

3

3

4

2

2

Задание 2

Контрольная работа по теме: “Тригонометрические функции”

Вариант 1

1.

Вычислить

sin α

, если

cosα

=−

4

5

и

π

2

<

α

<

π

2.

Найти значение выражения:

sin

8 π

3

3.

Упростить выражение:

cos

2

(

π

−

α

)−

cos

2

(

π

2

−

α

)

4.

Вычислить:

tg 15

0

5.

Упростить выражение:

tg

2

α

+

sin

2

α

+

cos

2

α

Вариант 2

1.

Вычислить

cosα

, если

sin α

=

8

17

и

π

2

<

α

<

π

69

2.

Найти значение выражения:

tg

8 π

6

3.

Упростить выражение:

sin

(

3 π

2

−

α

)

cos

(

π

2

+

α

)

tg

(

π

−

α

)

4.

Вычислить:

sin 15

0

5.

Упростить выражение:

(

ctgα

+

tgα

)

∙ cosα ∙ sinα

Вариант 3

1.

Вычислить

sin α

, если

cosα

=−

5

13

и

π

2

<

α

<

π

2.

Найти значение выражения:

cos

15 π

4

3.

Упростить выражение:

sin

(

π

+

α

)

cos

(

π

−

α

)

ctg

(

π

+

α

)

4.

Вычислить:

cos75

0

5.

Упростить выражение:

1

−

cos

2

α

1

−

sin

2

α

Вариант 4

1.

Вычислить

cosα

, если

tg α

=

3

и

π

<

α

<

3 π

2

2.

Найти значение выражения:

ctg

11 π

6

70

3.

Упростить выражение:

cos

(

π

+

α

)−

tg

2

(

π

2

−

α

)

+

sin

(

π

2

+

α

)

4.

Вычислить:

tg 75

0

5.

Упростить выражение:

sinα ∙ ctgα

Эталон ответа:

Вариант 1

1.

sin α

=

3

5

,

2.

sin

8 π

3

=

√

3

2

3.

cos

2

(

π

−

α

)−

cos

2

(

π

2

−

α

)

=

cos

2

α

−

sin

2

α

4.

Вычислить:

tg 15

0

=

√

3

−

1

√

3

+

1

5.

Упростить выражение:

tg

2

α

+

sin

2

α

+

cos

2

α

=

1

❑

Вариант 2

1.

cosα

=−

15

17

,

2.

tg

8 π

6

=

√

3

71

3.

sin

(

3 π

2

−

α

)

cos

(

π

2

+

α

)

tg

(

π

−

α

)

=−

cos

2

α

4.

sin 15

0

=

√

6

−

√

2

4

5.

(

ctgα

+

tgα

)

∙ cosα ∙ sinα

=

1

Вариант 3

1.

sin α

=

12

13

,

2.

cos

15 π

4

=

√

2

2

3.

sin

(

π

+

α

)

cos

(

π

−

α

)

ctg

(

π

+

α

)

=

sin

2

α

4.

cos75

0

=

√

6

−

√

2

4

5.

1

−

cos

2

α

1

−

sin

2

α

=

tg

2

α

Вариант 4

1.

cosα

=−

1

√

10

,

2.

ctg

11π

6

=−

√

3

3.

cos

(

π

+

α

)−

tg

2

(

π

2

−

α

)

+

sin

(

π

2

+

α

)

=−

ctg

2

α

72

4.

tg 75

0

=

√

3

+

3

3

−

√

3

5.

sinα ∙ ctgα

=

cosα

Тема 6.3 Тригонометрические уравнения и неравенства.

Задание 1

Математический диктант

Вариант 1

1. Каково будет решение уравнения соs х = а при | а │ > 1?

2. При каком значении а уравнение cos x = а имеет решение?

3. Какой формулой выражается это решение?

4. На какой оси откладывается значение а при решении уравнения cos x = а?

5. В каком промежутке находится агссоs а?

6. В каком промежутке находится значение а?

7. Каким будет решение уравнения cos x = 1?

8. Каким будет решение уравнения cos x = - 1?

9. Каким будет решение уравнения cos x = 0?

10. Чему равняется агссоs (-а)?

11. В каком промежутке находится arctg a?

12. Какой формулой выражается решение уравнения tgx = a?

13. Чему равняется arctg (- a)?

73

Вариант 2

1. Каково будет решение уравнения sin x = а при | а | > 1?

2. При каком значении а уравнение sin x = а имеет решение?

3. Какой формулой выражается это решение?

4. На какой оси откладывается значение а при решении уравнения sin x = a?

5. В каком промежутке находится acrsin a?

6. В каком промежутке находится значение а?

7. Каким будет решение уравнения sin x = 1?

8. Каким будет решение уравнения sin x = - 1?

9. Каким будет решение уравнения sin x = 0?

10. Чему равняется arcsin (- a)?

11. В каком промежутке находится arcctg a?

12. Какой формулой выражается решение уравнения ctg x = a?

13. Чему равняется arcctg (- a)?

Эталон ответа:

Вариант 1

Вариант 2

1

нет решений

нет решений

74

2

│а│≤ 1

│а│≤ 1

3

x=

+ arccos a + 2 πn, n є N

x= (- 1)n arcsin a + πn, n є N

4

на оси Ох

на оси Оу

5

6

7

x = 2 πn, n є N

x = π/2 + 2 πn, n є N

8

x = π + 2 πn, n є N

x = - π/2 + 2 πn, n є N

9

x = π/2 + πn, n є N

x = πn, n є N

10 π ─ arccos a

- arcsin a

11

12 x = arctg a + πn, n є N

x = arcctg a + πn, n є N

13 - arctg a

π - arcctg a

75

Задание 2

Контрольная работа «Тригонометрические уравнения»

Вариант 1

Решите уравнения:

1.

sin 7 x

=−

1

2

2.

tg

(

3 x

+

2

)=

√

3

3.

(

sin x

−

1

)⋅(

tgx

+

√

3

)=

0

4.

cos

2

x

−

2 cos x

=

0

5.

sin 5 x

=

sin x

Вариант 2

Решите уравнения:

1.

cos6 x

=

1

2.

tg

(

2 x

−

1

)=−

1

3.

(

1

+

2 sin x

)⋅(

tgx

−

2

)=

0

4.

tg

2

x

+

3 tgx

=

0

5.

cos4 x

+

cos x

=

0

76

Вариант 3

Решите уравнения:

1.

sin 3 x

=−

√

3

2

2.

cos

(

4 x

−

π

6

)

=

0

3.

(

tgx

−

4

)⋅(

tg

x

2

−

1

)=

0

4.

tg

2

x

=

1

5.

sin 10 x

=−

sin 2 x

Вариант 4

Решите уравнения:

1.

tg 4 x

=−

1

√

3

2.

sin

(

3 x

−

4

)

=

√

2

2

3.

(

2cos x

−

1

)⋅(

tgx

−

3

)=

0

4.

3 tg

2

x

+

2tgx

−

1

=

0

5.

cos8 x

−

cos2 x

=

0

Эталон ответа

77

Вариант 1

1.

x

=

(

−

1

)

n

+

1

π

42

+

πn

7

2.

x

=

π

9

−

2

3

+

πn

3

3.

x

=

π

2

+

2 πn

4.

x

=

π

2

+

πn

5.

x

=

π

6

+

πn

3

; x

=

πn

2

Вариант 2

1.

x

=

πn

3

2.

x

=

−

π

8

+

1

2

+

πn

2

3.

x

=

(

−

1

)

n

+

1

π

6

+

πn ; x

=

arctg 2

+

πn

4.

x

=

πn; x

=−

arctg 3

+

πn

5.

x

=

π

5

+

2 πn

5

; x

=

π

3

+

2 π n

3

Вариант 3

1.

x

=

(

−

1

)

n

+

1

π

9

+

πn

3

2.

x

=

π

6

+

πn

4

3.

x

=

π

2

+

2 πn ; x

=

arctg 4

+

πn

4.

x

=

±

π

4

+

πn

5.

x

=

π

8

+

πn

4

; x

=

πn

6

78

Вариант 4

1.

x

=

−

π

24

+

πn

4

2.

x

=

(

−

1

)

n

π

12

+

4

3

+

πn

4

3.

x

=

±

π

3

+

2 πn ; x

=

arctg 3

+

πn

4.

x

=

−

π

4

+

πn ; x

=

arctg

1

3

+

πn

5.

x

=

πn

3

; x

=

πn

5

Тема 7.1 Функции. Свойства функции. Обратные функции.

Задание 1

Выберите из четырех ответов один правильный.

Вариант 1

1. Найдите область определения функции

f

(

x

)

=

1

x

3

.

А.

(

−∞

; 0

)

. Б.

(

0 ;

+∞

)

. В.

(

−∞

; 0

)

∪

(

0 ;

+∞

)

. Г.

R

.

2. Найдите область определения функции

f

(

x

)

=

1

x

4

.

А.

(

−∞

; 0

)

. Б.

(

−∞

; 0

)

∪

(

0 ;

+∞

)

. В.

(

0 ;

+∞

)

. Г.

R

.

3. Найдите нули функции

y

=

x

4

−

3 x

3

А. 0. Б. 3. В. 0; 3. Г.0; -3.

4. Укажите область значений функции, заданной графиком:

79

А. [2;4] . Б. [-2;-1] . В. [-1;3] . Г. [-2;4] .

Вариант 2

1. Найдите область определения функции

f

(

x

)

=

1

x

3

.

А.

(

−∞

; 0

)

. Б.

(

0 ;

+∞

)

. В.

(

−∞

; 0

)

∪

(

0 ;

+∞

)

. Г.

R

.

2. Найдите область определения функции

f

(

x

)

=

1

x

4

.

А.

(

−∞

; 0

)

. Б.

(

−∞

; 0

)

∪

(

0 ;

+∞

)

. В.

(

0 ;

+∞

)

. Г.

R

.

3. Найдите нули функции

y

=

x

4

−

3 x

3

А. 0. Б. 3. В. 0; 3. Г.0; -3.

4. Укажите область значений функции, заданной графиком:

А. [2;4] . Б. [-2;-1] . В. [-1;3] . Г. [-2;4] .

5. Укажите область значений функции, заданной графиком:

А. [-3;4]. Б. [-3;2)U(2;4]. В. [-2;3]. Г. [-2;1)U(1;3].

80

6. По графику, изображённому на рисунке, найдите промежутки, в которых

функция

принимает отрицательные значения.

А. (-1; 0).

Б.

(

−

1 ;1

)

∪

(

1;

+∞

)

.

В.

(

−

1 ;

+∞

)

.

Г.

(

−∞

;

−

1

)

.

Эталон ответа.

Вари-

ант

1

2

3

4

5

6

1

В

Б

В

В

2

В

Б

В

В

В

Б

Задание 2

Контрольная работа «Функции, их свойства и графики».

Вариант 1

1.

Найдите

f

(

3

)

, f

(

1

2

)

если

a)

f

(

x

)

=

x

3

; б)

f

(

x

)

=

3

x

−

1

2.

Найдите область определения следующих функций:

а)

y

=

x

3

−

x

+

4

; б)

y

=

7

5 x

−

3

;

3.

Установите, какие из данных функций четные, какие нечетные:

а)

f

(

x

)

=

x

2

+

1

б)

f

(

x

)

=

3 x

−

2

4.

Найти функцию обратную к данной:

a)

y

=

1

−

3 x

б)

y

=

2 x

x

+

4

5.

Построить график функции:

y

=

(

x

−

4

)

2

81

Вариант 2

1.

Найдите

f

(

4

)

, f

(

1

3

)

если

a)

f

(

x

)

=

2 x

2

; б)

f

(

x

)

=

2

x

−

3

2.

Найдите область определения следующих функций:

а)

y

=

2 x

2

+

x

+

1

; б)

y

=

3

x

+

4

;

3.

Установите, какие из данных функций четные, какие нечетные:

а)

f

(

x

)

=

2 x

2

+

2

б)

f

(

x

)

=

x

−

5

4.

Найти функцию обратную к данной:

a)

y

=

5 x

+

1

б)

y

=

2 x

−

1

x

+

2

5.

Построить график функции:

y

=

3 х

2

+

1

Вариант 3

1.

Найдите

f

(

−

1

)

, f

(

1

2

)

если

a)

f

(

x

)

=

2 x

3

; б)

f

(

x

)

=

х

x

−

1

2.

Найдите область определения следующих функций:

а)

y

=

x

3

+

х

−

4

; б)

y

=

√

2 х

−

5

;

3.

Установите, какие из данных функций четные, какие нечетные:

а)

f

(

x

)

=

x

3

+

x

б)

f

(

x

)

=

3 x

+

7

4.

Найти функцию обратную к данной:

a)

y

=

3 x

−

7

б)

y

=

2 x

−

2

x

+

1

5.

Построить график функции:

y

=

(

x

+

3

)

2

Вариант 4

1.

Найдите

f

(

−

2

)

, f

(

1

2

)

если

a)

f

(

x

)

=

3 x

3

+

1

; б)

f

(

x

)

=

4

x

+

2

1.

Найдите область определения следующих функций:

82

а)

y

=

x

3

−

x

+

8

; б)

y

=

√

7 х

−

2

;

2.

Установите, какие из данных функций четные, какие нечетные:

а)

f

(

x

)

=−

x

2

+

1

б)

f

(

x

)

=

2 x

+

4

3.

Найти функцию обратную к данной:

a)

y

=

2 x

−

1

б)

y

=

x

2

−

x

4.

Построить график функции:

y

=−

х

2

+

1

Эталон ответа:

Вариант 1

1.

a)

f

(

3

)

=

27 ; f

(

1

2

)

=

1

8

; б)

f

(

3

)

=

3

2

; f

(

1

2

)

=−

6

2.

а)

D

(

y

)

=(−

∞;

+

∞

)

; б)

D

(

y

)=(−

∞ ;

3

5

)

∪

(

3

5

;

+

∞

)

3.

а) четная б) общего вида

4.

a)

y

=

1

−

x

3

б)

y

=

4 x

2

−

x

5.

график функции:

y

=

(

x

−

4

)

2

Вариант 2

83

1.

a)

f

(

4

)

=

32 ; f

(

1

3

)

=

2

9

; б)

f

(

4

)

=

2 ; f

(

1

3

)

=

−

3

4

2.

а)

D

(

y

)

=(−

∞;

+

∞

)

; б)

D

(

y

)=(−

∞ ;

−

4

)

∪

(−

4 ;

+

∞

)

3.

а) четная б) общего вида

4.

a)

y

=

x

−

1

5

б)

y

=

2 x

+

1

2

−

x

5.

график функции:

y

=

3 х

2

+

1

Вариант 3

1.

a)

f

(

−

1

)

=−

2 ; f

(

1

2

)

=

1

4

; б)

f

(

−

1

)

−

не сущ . ; f

(

1

2

)

=−

1

2.

а)

D

(

y

)

=(−

∞;

+

∞

)

; б)

D

(

y

)

=¿

3.

а) нечетная б) общего вида

4.

a)

y

=

x

+

7

3

б)

y

=

x

+

2

2

−

x

5.

график функции:

y

=

(

x

+

3

)

2

84

Вариант 4

1.

a)

f

(

−

2

)

=−

23 ; f

(

1

2

)

=

1

3

8

; б)

f

(

−

2

)

−

не сущ . ; f

(

1

2

)

=

1

3

5

2.

а)

D

(

y

)

=(−

∞;

+

∞

)

; б)

D

(

y

)

=¿

3.

а) четная б) общего вида

4.

a)

y

=

x

+

1

2

б)

y

=

2 x

1

+

x

5.

график функции:

y

=−

х

2

+

1

Тема 7.2 Степенные, показательные, логарифмические и тригонометри-

ческие функции. Обратные тригонометрические функции.

Задание 1

Из четырех ответов выберите один правильный.

85

Вариант 1

А1. Найдите значение выражения:

6

⋅

8

−

1

3

.

1) 12; 2) 6; 3) 3; 4) –3.

А2. Представьте данное выражение в виде степени:

у

1,7

⋅

у

2,8

⋅

у

−

1,5

.

1) у

-3

; 2) у

-7,14

; 3) у

3

; 4) у

6

.

А3. Упростите выражение: (а

-1,5

)

2

3

.

1) а; 2) а

−

5

6

; 3) а

5

6

; 4)

1

a

.

АА4. Упростите выражение: b

-0,2

: b

-0,7

.

1)

√

b ;

2)

1

√

b

;

3) b

–0,9

; 4) b

2/7

.

А5. На каком из рисунков изображен график функции y = x

-2

?

1)

у

2)

у

3)

у

4)

у

1 1 1 1

х

0 1 х 0 1 х 0 1 х 0 1

А6.Укажите рисунок, на котором изображен график нечетной функции

1)

у

2)

у

3)

у

4)

у

1 1 1 1

0 1 х 0 1 х 0 1 х 0

х

А7. Найдите сумму корней уравнения х +1 =

√

7 х

−

5

.

1) –1; 2) 1; 3) 4; 4)5.

А8. График какой функции изображен на рисунке?

1)

у

=

3

√

х

3)

у

=

х

1

2

2)

у

=

х

1

3

4)

у

=

х

−

1

3

86

0

2

4

6

8

10

2

4

x

x

А9. Какова область определения функции у = х

-6

?

1) (0; +

¥

); 2) (-

¥

; 0)

È

(0; +

¥

); 3) (-

¥

; 0); 4) х – любое

число.

А10. Укажите множество значений функции

у

=

х

√

5

.

1) (0; +

¥

); 2) (0;

√

5

); 3) (-

¥

; 0); 4) (-

¥

; +

¥

).

Вариант 2

А1. Найдите значение выражения:

0, 008

4

3

.

1) 0,016; 2) 0,0016; 3) 0,2; 4) 0,04.

А2. Упростите выражение: (х

-2,5

)

−

2

5

.

1) х

–2,9

; 2) х

–2,1

; 3) х; 4)

1

х

.

А3. Упростите выражение: d

1,8

: d

-2

.

1) d

-0,9

; 2) d

3,8

; 3) d

–0,2

; 4) d

0,2

.

А4. Найдите значение выражения:

(

√

2

)

4

3

⋅

(

√

2

)

1

3

¿

(

√

2

)

7

3

.

1) 4; 2) 2; 3)

√

2

; 4) 2

√

2

.

А5. На каком из рисунков изображен график функции у = х

4

?

1) 2) 3)

4)

у у у у

1 1 1 1

0 1 х 0 1 х 0 1 х 0 1 х

А6. Укажите рисунок, на котором изображен график нечетной функции.

1)

у

2)

у

3)

у

4)

у

1 1 1 1

0 1 х 1 х 0 1 х 0 1

х

А7. Найдите корни уравнения

х

+

1

=

√

−

3 х

+

25

.

1) 3; 2) -3 и 8; 3) -3; 4)8.

А8. График какой функции изображен на рисунке?

87

2

0

2

8

6

4

2

2

4

6

8

x

3

x

1)

у

=

3

√

х

2)

у

=

х

1

3

3)

у

=

х

3

4)

у

=

х

−

3

А9. Какова область определения функции

у

=

х

−

1

3

?

1) (0; +

¥

); 2) [0; +

¥

); 3) (-

¥

; 0]; 4) (-

¥

; 0)

È

(0; +

¥

)

А10. Укажите множество значений функции

у

=

х

7

.

1) (0; +

¥

); 2) (0;

7

); 3) (-

¥

; 0); 4) (-

¥

; +

¥

).

Эталон ответа

Вари-

ант

А1

А2

А3

А4

А5

А6

А7

А8

А9

А10

1

3

3

4

1

1

1

4

3

2

1

2

1

2

1

2

2

1

3

3

2

2

Задание 2

Из четырех ответов выберите один правильный.

Вариант 1

А1. Найдите область определения функции

у

=

0,4

х

2

−

х

.

1)( 0; 1); 2) (-

¥

; +

¥

); 3) (-

¥

;0]

È

[1; +

¥

); 4) (-

¥

;0)

È

(1; +

¥

).

А2. График какой функции изображен на рисунке?

1) у = 2

х-1,5

2) у = 2

х

– 2

3) у = 2

х

– 3 4) у = 2

-х

– 2

А3. Найдите множество значений функции

у

=

√

4

х

−

1.

1) (-

¥

; 0) 2) (0; +

¥

) 3) (-1; +

¥

) 4) [0; +

¥

)

А4. Найдите область определения функции

2

4

5

õ

ó

+

=

.

88

1)( -

¥

; -4) 2) (-

¥

; +

¥

) 3) (-

¥

;-4)

È

(-4; +

¥

) 4) (-

¥

;-4)

È

(2; +

¥

)

А5. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

(

1

27

)

0,5 х

−

1

=

9 .

1) [-2; -1) 2) [-1; 1) 3) [1; 3) 4) [3; 5)

А6. Найдите область определения функции

у

=

√

0, 25

−

(

2

−

2

)

х

+

1

.

1)(-

¥

; 0) 2) (-

¥

; +

¥

) 3) (-

¥

;-2] 4) [0; +

¥

)

А7. Найдите сумму корней уравнения 64

х

-17·8

х

+16=0.

1)

1

1

3

2)

−

2

3

3) 5 4) 8

А8. График какой функции изображен на рисунке?

1) у = -2

х

2) у = 2

х

3) у = 2

-х

4) у = -2

-х

А9. Решите неравенство 5

х-1

> 0,2.

1) (-

¥

; 1) 2) (0; +

¥

) 3) (-

¥

; 0) 4) (1; 0]

А10. Решите неравенство

(

1

2

)

х

+

2

≥ 4.

1) (-

¥

; -4) 2) (-4; +

¥

) 3) (-

¥

;-4] 4) [4; +

¥

)

Вариант 2

А1. Найдите область определения функции

2

2

4

3

õ

ó

+

=

.

1)( 0; 1) 2) (-

¥

; +

¥

) 3) (-

¥

;0]

È

[1; +

¥

) 4) (-

¥

;0)

È

(1; +

¥

)

89

А2. График какой функции изображен на рисунке?

1) у = 2

х-2

2) у = 3

х

– 2

3) у = 3

х

+2 4) у = 3

х-2

А3. Найдите множество значений функции у=2

х

– 2.

1)

(0; +

¥

) 2) [-2; +

¥

) 3) (-2; +

¥

) 4) (-

¥

; -2)

А4. Найдите область определения функции

у

=

0,4

2

3

−

х

.

1)( -

¥

; 3) 2) (-

¥

; +

¥

) 3) (-

¥

;2]

È

[3; +

¥

) 4) (-

¥

;3)

È

(3; +

¥

)

А5. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

1

1

2220

х

х

-+

+=

.

1) (0; 1) 2) (4; 6) 3) (2; 4) 4) (1; 3)

А6. Найдите область определения функции

у

=

√

1

2

−

(

0,5

)

1

−

х

.

1) (-

¥

; 0] 2) (-

¥

; +

¥

) 3) (-

¥

; 1] 4) (0; +

¥

)

А7. Найдите сумму корней уравнения

253051250

х

х

-

�

+

1)

1

5

5

2) 30 3) 5 4) 3

А8. График какой функции изображен на рисунке?

1) у = -3

х

2) у = 3

-х

3) у = 3

х

4) у = -3

-х

А9. Решите неравенство 0,2

х-2

> 5.

1) (-

¥

; 2) 2) (1; +

¥

) 3) (-

¥

; 1) 4) (-

¥

; 0]

А10. Решите неравенство

0,2

⋅

2

х

−

4

≥

0,4 .

1) (-

¥

; -5) 2) (-5; +

¥

) 3) (-

¥

; 5] 4) [5; +

¥

)

Эталон ответа

Вари-

ант

А1

А2

А3

А4

А5

А6

А7

А8

А9

А10

90

1

2

3

4

3

2

4

1

3

2

3

2

2

4

3

4

3

1

4

2

3

4

Задание 3

Из четырех ответов выберите один правильный.

Вариант 1

А1. Вычислите

5

1

l o g

6 2 5

.

1)-4; 2) -5; 3) 5; 4) 4.

А2. Вычислите log

20

100 + log

20

16 + log

20

5.

1) log

20

121; 2) 4; 3) 3; 4) 20.

А3. Вычислите

6

6

1

loglog9

2

4

-

.

1) 3; 2) log

6

24; 3) -3; 4) 2.

А4. Решите уравнение log

1,5

(x-1)=2.

1) 1; 2) 4; 3) 3,25; 4) 1,25.

А5. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения log

2

(х –

1)

3

=6

1) (0;6); 2) [-6;0); 3) [18;26]; 4) (26; 30).

А6. Найдите сумму корней уравнения log

3

(1-x

2

)=log

3

(2x(x+1)).

1)

−

2

3

; 2)

1

3

; 3)

1

4

; 4) 4.

А7. Решите неравенство log

0,25

(2 –0,5x) > -1.

1)(-4; 0); 2) (-4; +

¥

); 3) (-

¥

;-4); 4) (-4; 4).

А8. Решите неравенство log

1

2

(1 –0,5x) ≤ -1.

1)(-

¥

; -2); 2) (-2; +

¥

); 3) (-

¥

;-2]; 4) [-2; +

¥

).

А9. Решите неравенство

(

1

2

)

х

+

2

≥ 4.

1) (-

¥

; -4); 2) (-4; +

¥

); 3) (-

¥

;-4]; 4) [4; +

¥

).

А10. На одном из рисунков изображен график функции у = lnх. Укажите этот

рисунок.

1) у 2) у 3) у 4) у

1 1 1 1

0 1 х 0 1 х 0 1 х 0 1

х

91

А11. График какой функции изображен на рисунке?

1)

(

)

3

log2

y

x

=+

; 2)

(

)

3

log2

y

x

-

3)

(

)

3

log2

y

x

=-

4)

(

)

2

log2

y

õ

+

.

А12.Какая функция является убывающей?

1) у=2

х

; 2) у= log

1,15

х; 3) у= log

0, 5

х; 4)

3

2

l o g

у

х

=

.

Вариант 2

А1. Вычислите: log

7

343.

1) 7; 2) 49; 3) 4; 4) 3.

А2. Вычислите: log

7

2058 – log

7

6.

1) 7; 2) log

7

2052; 3) 4; 4) 3.

А3. Вычислите:

log

11

3

√

121

.

1)

1

3

; 2) 2; 3)

2

3

; 4) 6.

А4. Решите уравнение log

2

(x-1)=3.

1) 9; 2) 8; 3) 4; 4) 10.

А5. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

log

0,3

(13+2x)=log

0,3

(1-x).

1) (0; 1); 2) (-2; 0); 3) (-6; -2); 4) (1; 3).

А6. Найдите сумму корней уравнения lg(5х-6)=2lgx.

1) 5; 2) 2; 3) 1; 4) 12.

А7. Решите неравенство log

0,5

(1-0,5x) >-3.

1)(-

¥

; 2); 2) [-14; 2]; 3) (-14;2); 4) (-14; +

¥

).

А8. Найдите число целых решений неравенства log

5

(5 –2x) < 1.

1) 2; 2) 3; 3) 1; 4) 4.

А9. Решите неравенство

(

1

2

)

х

+

2

≥ 4.

1) (-

¥

; -4); 2) (-4; +

¥

); 3) (-

¥

;-4]; 4) [4; +

¥

).

А10. На каком из рисунков изображен график функции

у

=

log

1

2

x

?

1)

у

2)

у

3)

у

4)

у

1 1 1 1

92

0 1 х 0 1 х 0 1 х 0 1

х

А11. График какой функции изображен на рисунке?

1) )

1

2

х

у

��



��

��

; 2)

2

l o g

у

x



;

3)

0 , 2

l o g

у

x



; 4)

1

2

l o g

у

x



.

А12.Какая функция является убывающей?

1) у=0,2

х

; 2) у= log

1,1

х; 3) у= - log

0, 5

х; 4)

5

4

l o g

у

х

=

.

Эталон ответа

Вари-

ант

А1

А2

А3

А4

А5

А6

А7

А8

А9

А10

А11

А12

1

1

3

3

3

1

2

4

3

3

2

1

3

2

4

4

3

1

3

1

3

1

3

4

4

1

Задание 4

Контрольная работа по теме: «Степенные, показательные, логарифми-

ческие и тригонометрические функции».

Вариант 1

1.

Найдите область определения функции

.

2.

Схематически изобразите график функции

и перечислите её

основные свойства.

93

3.

Найдите значение аргумента х, при котором функция

y

=

2

x

принима-

ет заданное значение:

а) 16; б)

8

√

2

; в)

1

√

2

; г)

1

32

√

2

4.

Постройте (схематично) график функции:

а)

y

=

log

0,3

x

; б)

y

=

lg x

5.

Постройте график функции:

y

=

2 sinx

−

1

Вариант 2

1.

Найдите область определения функции

2.

Схематически изобразите график функции

и перечислите её

основные свойства.

3.

Найдите значение аргумента х, при котором функция

y

=

(

1

5

)

x

прини-

мает заданное значение:

а)

1

25

; б)

125

; в)

1

25

√

5

; г)

625

√

5

4.

Постройте (схематично) график функции:

a.

а)

y

=

log

4

x

; б)

y

=

log

1

2

x

5.

Постройте график функции:

y

=−

2 cosx

+

1

Эталон ответа:

94

Вариант 1

1.

D

(

y

)

=¿

2.

3. а) x=4; б)

x

=

3

1

2

; в)

x

=

−

1

2

; г)

x

=−

5

1

2

4.а)

б)

5.

Вариант 2

1.

D

(

y

)

=(−

∞;

+

∞

)

95

2.

3. . а) x=2; б)

x

=−

3

; в)

x

=

2

1

2

; г)

x

=−

4

1

2

4. а)

б)

5.

96

Тема 8.1 Многогранники.

Задание 1

Самостоятельная работа по теме «Параллелепипед».

Вариант 1

1.Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны:

а) 2,1,3

б) 3, √2, 5

2.Чему равна полная поверхность параллелепипеда, если три грани имеют площа-

ди: 2м

2

, 4м

2

, 6м

2

.

3.В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 3 см и 4 см. Диаго-

наль параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45

О

. Найдите боко-

вое ребро параллелепипеда.

4.Ребро куба равно 3 дм. Найдите площадь диагонального сечения.

5.Через два противолежащих ребра куба проведено сечение, площадь которого рав-

на 16√2 см

2

. Найдите ребро куба и его диагональ.

Вариант 2

1.Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны:

а) 1,3,3

б) 1,4, √7

2.Чему равна полная поверхность параллелепипеда, если три грани имеют площа-

ди: 1м

2

, 2м

2

, 4м

2

.

3.В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 5 см и 6 см. Диаго-

наль параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45

О

. Найдите боко-

вое ребро параллелепипеда.

4.Ребро куба равно 4 дм. Найдите площадь диагонального сечения.

5.Через два противолежащих ребра куба проведено сечение, площадь которого рав-

на 24√2 см

2

. Найдите ребро куба и его диагональ.

Вариант 3

1.Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны:

а) 2,2,1

б) 2,3, √5

2.Чему равна полная поверхность параллелепипеда, если три грани имеют площа-

ди: 3м

2

, 5м

2

, 1м

2

.

3.В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 7 см и 8 см. Диаго-

наль параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45

О

. Найдите боко-

вое ребро параллелепипеда.

4.Ребро куба равно 5 дм. Найдите площадь диагонального сечения.

5.Через два противолежащих ребра куба проведено сечение, площадь которого рав-

на 10√2 см

2

. Найдите ребро куба и его диагональ.

Вариант 4

1.Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны:

а) 3,1,4

б) 3,4, √3

2.Чему равна полная поверхность параллелепипеда, если три грани имеют площа-

ди: 7м

2

, 1м

2

, 1м

2

.

3.В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 5 см и 4 см. Диаго-

наль параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45

О

. Найдите боко-

вое ребро параллелепипеда.

4.Ребро куба равно 6 дм. Найдите площадь диагонального сечения.

5.Через два противолежащих ребра куба проведено сечение, площадь которого рав-

на 28√2 см

2

. Найдите ребро куба и его диагональ.

98

Эталон ответа:

Вариант 1

1.а)

√

14 б

¿

6

2.24

3.5

4.

9

√

2

5. а

=

4 ;d

=

4

√

3

Вариант 2

1.а)

√

19 б

¿

2

√

6

2.14

3.

√

61

4.16

√

2

5. а

=

2

√

6 ;d

=

6

√

2

Вариант 3

99

1.а)3

б

¿

3

√

2

2.18

3.

√

113

4.

25

√

2

5. а

=

√

10 ;d

=

√

30

Вариант 4

1.а)

√

26 б

¿

2

√

7

2.18

3.

√

41

4.36

√

2

5. а

=

2

√

7 ; d

=

2

√

21

Задание 2

Контрольная работа по теме: “Многогранники”.

Вариант 1

1.

1.Найдите площадь полной поверхности правильной четырехуголь-

ной призмы, если сторона основания равна 10 см, а высота 8 см.

2.

2.Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной

пирамиды, если сторона основания равна 5 дм, а апофема 3,5 дм.

100

3.

Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с

катетами 6см и 5 см, а ребро равно 10

1

3

см. Найдите объём приз-

мы.

4.

Диагональ основания правильной четырехугольной пирамиды рав-

на 10см, а высота 7,5 см. Найдите объём пирамиды.

5.

По условию задачи 3 найдите площадь боковой поверхности приз-

мы.

Вариант 2

1.

Найдите площадь полной поверхности правильной четырехуголь-

ной призмы, если сторона основания равна 12 см, а высота 15 см.

2.

Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной

пирамиды, если сторона основания равна 7 дм, а апофема 10,4 дм.

3.

Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с

катетами 3см и 4 см, а ребро равно 8

1

3

см. Найдите объём приз-

мы.

4.

Диагональ основания правильной четырехугольной пирамиды рав-

на 8см, а высота 9,4 см. Найдите объём пирамиды.

5.

По условию задачи 3 найдите площадь боковой поверхности приз-

мы.

Вариант 3

1.

Найдите площадь полной поверхности правильной четырехуголь-

ной призмы, если сторона основания равна 20 см, а высота 5 см.

2.

Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной

пирамиды, если сторона основания равна 3 дм, а апофема 6,5 дм.

3.

Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с

катетами 7см и 2 см, а ребро равно 7

2

3

см. Найдите объём приз-

мы.

4.

Диагональ основания правильной четырехугольной пирамиды рав-

на 4см, а высота 6,5 см. Найдите объём пирамиды.

101

5.

По условию задачи 3 найдите площадь боковой поверхности приз-

мы.

Вариант 4

1.

Найдите площадь полной поверхности правильной четырехуголь-

ной призмы, если сторона основания равна 14 см, а высота 7 см.

2.

Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной

пирамиды, если сторона основания равна 11 дм, а апофема 7,2 дм.

3.

Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с

катетами 5см и 3 см, а ребро равно 6

2

3

см. Найдите объём приз-

мы.

4.

Диагональ основания правильной четырехугольной пирамиды рав-

на 12см, а высота 10,4 см. Найдите объём пирамиды.

5.

По условию задачи 3 найдите площадь боковой поверхности приз-

мы.

Эталон ответа:

Вариант 1

1.

520 см

2

2.

26,25 дм

2

3.

155 см

3

4.

125 см

3

5.

194,3 см

2

Вариант 2

1.

1008 см

2

2.

109,2 дм

2

3.

50 см

3

4.

100

4

15

см

3

5.

100 см

2

Вариант 3

102

1.

1200 см

2

2.

29,25 дм

2

3.

53

2

3

см

3

4.

17

1

3

см

3

5.

124,8 см

2

Вариант 4

1.

784 см

2

2.

118,8 дм

2

3.

50 см

3

4.

249

3

5

см

3

5.

92см

2

Тема 8.2 Тела вращения.

Задание 1

Тест для рубежного контроля усвоения учебного материала по темам: ци-

линдр, площадь поверхности цилиндра, конус, площадь поверхности конуса в

электронной оболочке «Тестик».

1.

Площадь полной поверхности цилиндра равна:(2)

1)

π R

2

+

πRH

;

2)

2 πR

(

R

+

H

)

;

3)

πR

(

R

+

H

)

;

4)

2 π R

2

;

2.

Площадь боковой поверхности конуса равна:(4)

103

1)

2 πRl

;

2)

π R

2

l

;

3)

πR

(

l

+

R

)

;

4)

πRl

;

3.

Разверткой боковой поверхности цилиндра является:(2)

1)

Круг;

2)

Прямоугольник;

3)

Параллелограмм;

4)

Трапеция;

4.

Площадь полной поверхности усеченного конуса равна:(2)

1)

π R R

1

l

+

π R

2

+

π R

1

2

;

2)

π

(

R

+

R

1

)

l

+

π R

2

+

π R

1

2

;

3)

π R R

1

l

+

πR

+

π R

1

2

;

4)

π

(

R

+

R

1

)

l

+

π

(

R

+

R

1

)

2

;

5.

Осевым сечением прямого кругового конуса является:(2)

1)

Прямоугольный треугольник;

2)

Равнобедренный треугольник;

3)

Круг;

4)

Трапеция;

6.

Площадь прямоугольника со сторонами а и b равна:(4)

1)

а + b;

2)

2а + 2b;

3)

а

2

+ b

2

;

104

4)

а b;

7.

На рисунке представлен треугольник с высотой 3 и основанием 8. Чему равна

его площадь?(2)

1)

24;

2)

12;

3)

11;

4)

5,5;

8.

Площадь основания цилиндра радиуса 9 равна:(3)

1)

18π;

2)

9π;

3)

81π;

4)

81;

9.

Площадь осевого сечения конуса радиуса 5 и высотой 4 равна:(1)

1)

10;

2)

9;

3)

4,5;

4)

20;

10.Чему

равна

площадь

боковой

поверхности

цилиндра,

если

радиус

равен 4 , а образующая цилиндра равна 7?(4)

1)

28π;

2)

11π;

3)

8;

4)

56π;

11. Площадь боковой поверхности цилиндра равна:(1)

1)

2 πRH

;

105

2)

π R

2

;

3)

πRH ;

4)

2 πR

+

π R

2

;

12.Площадь полной поверхности конуса равна:(4)

1)

2 πRl

;

2)

π R

2

+

πl

;

3)

π R

2

(

l

+

R

)

;

4)

πR

(

l

+

R

)

;

13.Разверткой боковой поверхности конуса является:(3)

5)

Равнобедренный треугольник;

6)

Прямоугольный треугольник;

7)

Круговой сектор;

8)

Круг;

14.Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна:(1)

1)

π

(

R

+

R

1

)

l

;

2)

π R R

1

l

;

3)

2 π R R

1

l

;

4)

2 π R

2

R

1

2

l

;

15.Осевым сечением прямого кругового цилиндра является:(4)

1)

Круг;

2)

Треугольник;

3)

Параллелограмм;

4)

Прямоугольник;

16.Площадь круга, радиуса R равна:(3)

106

1)

2 π R

;

2)

2 π R

2

;

3)

π R

2

;

4)

π R

;

17.Площадь треугольника с высотой h и основанием a равна:(4)

1)

ah;

2)

a+h;

3)

a

2

h;

4)

ah/2;

18. Площадь прямоугольника со сторонами 2 и 8 равна:(3)

1)

10;

2)

20;

3)

16;

4)

68;

19.Площадь основания конуса радиуса 7 равна:(4)

1)

49;

2)

14π;

3)

14;

4)

49π;

20.Площадь осевого сечения цилиндра радиуса 4 и высотой 7 равна:(2)

1)

28;

2)

56;

3)

11;

4)

22;

107

Эталон ответа:

Зада-

ние

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Ответ

2

4

2

2

2

4

2

3

1

4

Зада-

ние

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Ответ

1

4

3

1

4

3

4

3

4

2

Критерии оценивания: 18-20 (верно) – «5»; 14-17 (верно) – «4»; 10-13 (верно)

–«3»

Задание 2

Контрольная работа «Тела вращения».

Вариант 1

1.

Высота цилиндра 6 см, радиус 5 см. Найдите площадь осевого сечения.

2.

Диаметр цилиндра 12 дм, высота 7дм. Найдите площадь полной поверхности ци-

линдра.

3.

Радиус конуса 1,5 м, высота 4 м. Найдите объём конуса.

4.

Осевое сечение цилиндра квадрат, площадь которого равна 9 см

2

. Найдите пло-

щадь основания цилиндра.

5.

Осевое сечение конуса правильный треугольник со стороной 7 см. Найдите пло-

щадь полной поверхности конуса.

108

Вариант 2

1.

Высота конуса равна 3 см, радиус 2 см. Найдите площадь осевого сечения кону-

са.

2.

Образующая конуса равна 4 дм, диаметр 6дм.Найдите площадь полной поверх-

ности конуса.

3.

Высота цилиндра равна 8м, радиус 2,5 м. Найдите объём цилиндра.

4.

Осевое сечение цилиндра квадрат, диагональ которого равна 8 см. Найдите пло-

щадь основания цилиндра.

5.

Образующая конуса 18 см и наклонена к плоскости основания под углом 60

0

.

Найдите объём конуса.

Вариант 3

1.

Высота цилиндра 4 дм, диаметр 6 дм. Найдите площадь полной поверхности ци-

линдра.

2.

Высота цилиндра равна 12 см, радиус 7см. Найдите площадь осевого сечения ци-

линдра.

3.

Радиус конуса 2,4 м, высота 11 м. Найдите объём конуса.

4.

Осевое сечение конуса правильный треугольник со стороной 12 см. Найдите пло-

щадь осевого сечения.

5.

Осевое сечение цилиндра квадрат, площадь которого равна 25 см

2

. Найдите

объём цилиндра.

Вариант 4

1.

Диаметр конуса равен 8 см, образующая 7 см. Найдите площадь полной поверх-

ности конуса.

2.

Радиус конуса 4 дм, высота 11 дм. Найдите площадь осевого сечения конуса.

3.

Высота цилиндра равна 9 м, радиус 2,8 м. Найдите объём цилиндра.

4.

Осевое сечение цилиндра квадрат, диагональ которого равна 12 см. Найдите пло-

щадь основания цилиндра.

5.

Образующая конуса 10 см, наклонена к плоскости основания под углом 60

0

.

Найдите объём конуса.

109

Эталон ответа:

Вариант 1

1.

60 см

2

2.

165 π дм

2

3.

3 π м

3

4.

2,25 π см

2

5.

48 π см

2

Вариант 2

1.

6 см

2

2.

21 π дм

2

3.

50 π м

3

4.

8 π см

2

5.

243

√

3 π см

3

Вариант 3

1.

42 дм

2

2.

168 см

2

3.

21,12 π м

3

4.

36

√

3 см

2

5.

31,25 π см

3

Вариант 4

1.

44 π см

2

2.

44 дм

2

3.

70,56 π м

3

4.

18 π см

2

5.

125

√

3 π

3

см

3

Тема 9.1Последовательности. Производная.

Задание1

110

Самостоятельная работа по теме «Числовые последовательности и их свой-

ства».

Вариант 1

1.

Выпишите первые шесть членов последовательности.

a

n

=

2 n

−

1

n

2

+

1

2.

Найдите первые пять членов последовательности, если

a

1

=

3 ; a

n

+

1

=

2a

n

+

3

3.

Изобразите геометрически последовательность (двумя способами), заданную

общим членом:

a

n

=

2

n

+

1

4.

Найдите предел

lim

n

→∞

7 n

−

1

2

+

3 n

5.

Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:

(

2

3

;

1

2

;

3

8

; . . .

)

Вариант 2

1.

Выпишите первые шесть членов последовательности.

a

n

=

n

2

n

2.

Найдите первые пять членов последовательности, если

a

1

=−

2; a

n

+

1

=

a

n

−

3

3.

Изобразите геометрически последовательность (двумя способами), заданную

общим членом:

a

n

=

(

−

1

)

n

+

1

2

n

111

4.

Найдите предел

lim

n

→∞

n

2

−

1

2 n

+

n

2

5.

Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:

(

1;

1

2

;

1

4

; . . .

)

Вариант 3

1.

Выпишите первые шесть членов последовательности.

a

n

=

(−

1

)

n

3 n

2.

Найдите первые пять членов последовательности, если

a

1

=

1 ; a

n

+

1

=

a

n

+

1

2

3.

Изобразите геометрически последовательность (двумя способами), заданную

общим членом:

a

n

=

n

+

1

n

4.

Найдите предел

lim

n

→∞

4

−

n

3

2 n

3

+

n

2

−

1

5.

Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:

a

2

=

5

3

; q

=

2

3

Вариант 4

1.

Выпишите первые шесть членов последовательности.

a

n

=

2

n

+

1

n

2.

Найдите первые пять членов последовательности, если

a

1

=

1

2

; a

n

+

1

=

3 a

n

112

3.

Изобразите геометрически последовательность (двумя способами), заданную

общим членом:

a

n

=

4

n

2

4.

Найдите предел

lim

n

→∞

7 n

2

+

2n

−

4

1

−

n

2

5.

Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:

a

2

=−

5

9

; q

=−

1

9

Эталон ответа:

Вариант 1

1

2

;

3

5

;

5

10

;

7

17

;

9

26

;

11

37

;…

3 ;9 ;21 ;45 ; 93; …

1 ;

2

3 ;

;

2

4

;

2

5

;

2

6

;

2

7

; …

Вариант 2

1

2

;

2

4

;

3

8

;

4

16

;

5

32

;

6

64

; …

−

2;

−

5;

−

8 ;

−

11 ;

−

14 ;…

2 ;

−

1 ;

2

3

;

−

2

4

;

2

5

;…

113

Вариант 3

-

1

3

;

1

6

;

−

1

9

;

1

12

;

−

1

15

;

1

18

; …

3

2

;

4

2

;

5

2

;

6

2

;

7

2

;…

2

1;

;

3

2

;

4

3

;

5

4

;

6

5

;…

Вариант 4

3;4,5;8

1

3

; 16,25; 32,2; …

1

2

;

3

2

;

9

2

;

27

2

;

81

2

;…

4 ; 1;

4

9

;

1

4

;

4

25

;

1

9

;…

114

Задание 2

Математический диктант по теме «Производные основных элементарных

функций. Правила вычисления производных».

Сформулируйте правила дифференцирования и запишите производные основных

элементарных функций:

c

'

=

(

x

α

)

'

=

(

kx

+

b

)

'

=

(

a

x

)

'

=

(

e

x

)

'

=

(

log

a

x

)

'

=

(

ln x

)

'

=

(

sin x

)

'

=

(

cos x

)

'

=

(

tgx {

)

'

= ¿

(

ctgx {

)

'

=¿

ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

(

cu {

)

'

= ¿

(

u

+

v

)

'

=

(

u

−

v

)

'

=

(

uv {

)

'

= ¿

(

u

v

)

′

=

Эталон ответов:

c

'

=

0

(

x

к

)

'

=

к

⋅

х

к

−

1

(

kx

+

b

)

'

=

k

(

a

x

)

'

=

a

x

ln a

(

e

x

)

'

=

e

x

(

log

a

x

)

'

=

1

x ln a

(

ln x

)

'

=

1

x

115

(

sin x

)

'

=

(

cos x

)

'

=

(

tgx {

)

'

= ¿

(

ctgx {

)

'

=−

1

sin

2

x

¿

ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

(

cu {

)

'

=

cu '

¿

(

u

+

v

)

'

=

u'

+

v '

(

u

−

v

)

'

=

u '

−

v '

(

uv {

)

'

=

u ' v

+

uv '

¿

(

u

v

)

′

=

u ' v

−

uv '

v

2

116

Задание 3

Математический диктант пот теме «Производные основных элементарных

функций».

Найти производные следующих функций:

1.f (х) = 3х

2

2.f (х) = 8х

3.f (х) = 9х

7

4.f (х) = 1,5 х

2

+ 2,5 х

4

5.f (х) = 8 х

-3

6.f (х) = - 4 х

5

7.f (х) = 2/3 х

3

8.f (х) = 5 sinх

9.f (х) = 2 cosх

10.f (х) = 9 sin 2х

11.f (х) = 6 cos 4х

12.f (х) = 4 х

2

в точке х

0

= 1

13.f (х) = 5х

2

в точке х

0

= -1

Эталон ответа:

1. 6х

2. 8

3. 63х

6

4. 3х + 10х

3

5. (-24 х

-2

6. - 20х

4

7. 2х

2

8. 5 cosх

9. (- 2 sinх

10. 18 cos 2х

11. - 24 sin 4х

12. 8

13. -10

7-9 правильных ответов – ставится оценка «3»;

10-11 правильных ответов – ставится оценка «4»;

12-13 правильных ответов – ставится оценка «5»;

Задание 4

Самостоятельная работа по теме «Производная сложной функции»

Вариант 1

А1. Найдите производную функции:

(

)

4

2

2

)23;)sin;)sin3cos;)cos4

3

ахбxвxxгx

х

p

��

----

��

��

.

А2. Найдите значение производной функции

0

(

)

0 ,

5 s

i

n 2 в точке

6 1 2

f

x

x

х



��

+

��

��

.

В1. Найдите производную функции:

4

2

)sin;)3sin;)cos

ахxбxtgxвx

+

.

Вариант 2

А1. Найдите производную функции:

(

)

5

)57;)cos;)2cos;)sin3

4

ахбхxвtgxxгx



��

+---

��

��

.

А2. Найдите значение производной функции

0

(

)

0 ,

5 c

o s

3 в точке

6

9

f

x

x

х



��

-

��

��

.

В1. Найдите производную функции:

3 2 2

)2cos;)sin;)12

ахxбxctgxвx

--

.

Эталон ответа:

Вариант 1

А1.

а

¿−

12

(

2

−

3 х

)

3

; б

¿−

4 x

−

3

−

cosx ; в

¿

cosx

+

3 sinx ; г

¿−

4 sin

(

4 x

−

π

3

)

А2

.

1

2

В1.

а

¿

4 x

3

∙ sinx

+

x

4

∙ cosx ; б

¿

3 sin 2 x

+

1

cos

2

x

; в

¿

sinx

2

√

cosx

Вариант 2

А1.

а

¿

25

(

5 х

+

7

)

4

; б

¿

1

2

√

х

+

sinx ; в

¿

1

cos

2

x

+

2 sinx ; г

¿

3cos

(

3 x

−

π

4

)

А2

.

−

0,75

В1.

а

¿

6 x

2

∙ co sx

−

2 x

3

∙ sinx ; б

¿

sin 2 x

+

1

sin

2

x

; в

¿−

2 x

√

1

−

2 x

2

Задание 5

Контрольная работа (тест) по теме «Производная функции».

Из четырех ответов выберите один правильный.

Вариант 1

А1. Найдите производную функции

3

4

у

х

=

.

1) 12х

2

2) 12х 3) 4х

2

4) 12х

3

А2. Найдите производную функции

6 1 1

у

х

-

.

1) -5

2) 11 3) 6

4) 6х

А3. Найдите производную функции

1

х

у

х

-



.

1)

2

1

х

-

2)

2

1

х

х

-

3)

2

2

1

х

х

+

4)

2

1

х

А4. Найдите производную функции

s i n

у х x



.

1)

sincos

x x x

-

2)

sincos

x x x

+

3)

c o sx

4)

c o s

x x x

+

А5. Найдите производную функции

2

0

s i n

в точке

ухxx

p

+

.

1)

2

1

p

-

2)

2

1

p

+

3)

2

1



-

4)

2

p

А6. Найдите производную функции

s i n

х

у е x

-

.

2

2

1

1)cos2)cos3)cos4)cos

2

хххx

уеxуеxуеxуеx

����

+---

А7. Найдите производную функции

(

)

sin32

у

х

=+

.

1)

(

)

cos32х

+

2)

(

)

3cos32х

-+

3)

(

)

3cos32 х

+

4)

(

)

cos32х

-+

А8. Найдите производную функции

3

lnln4

у х x



�

+

2

2

1

3

4

хlnxx

�

++

2)

2

2

3хlnxx

�

+

3)

3х

4)

2

3

3хlnxx

�

+

А9. Вычислите значение производной функции

(

)

1

4

2

4

уtgx

p



-+

в точке

0

4

х

p



. 1) 2 2)

4

p

3) 4 4)

2

p

А10. Найдите производную функции

2

c o s

у х x



.

1)

2sin

х

x

2)

2sin

х

x

-

3)

2

2cossin

хxхx

+

4)

2

2cossin

хxхx

-

В1. Вычислите значение производной функции

1423

у

x

=-

в точке х

о

= 26.

В2. Найдите значение х, при которых производная функции

2

2

х

у

х

-



равна 0.

Вариант 2

А1. Найдите производную функции

6

1

3

у

х



.

1)

6

2х

2)

5

2х

3)

5

1

3

х

4)

5

6х

А2. Найдите производную функции

1 2 5

у

х

-

.

1) 7

2) 12 3) -5

4) -5х

А3. Найдите производную функции

3

х

у

х

+



.

1)

2

3

х

2)

2

2

3

х

х

-

3)

2

3

х

-

4)

3

х

-

А4. Найдите производную функции

3

4

х

у х e

-

+

.

1)

2

1

2

х

у х e

-

�

+

2)

2

1

2

х

у х e

-

�

-

3)

4

х

у х e

-

�

-

4)

2

1

1

2

х

уххe

--

�

-

А5. Найдите производную функции

2

0

c o s

в точке

2

ухxx



+

.

1)

2

1

p

-

2)

1

p

+

3)

1

2



-

4)

1



-

А6. Вычислите значение производной функции

3

2

5

3

3

2

х

х

у

x

-+

в точке х

о

=2.

1) 13 2) 3 3) 8 4) 27

А7. Найдите производную функции

(

)

cos52

у

х

-

.

1)

(

)

2sin52 х

--

2)

(

)

5sin52 х

--

3)

(

)

5sin52 х

-

4)

(

)

sin52х

-

А8. Вычислите значение производной функции

3

у

х

х

-

в точке

0

1

4

х



.

1) -47 2) -49 3) 47 4) 11,5

А9. Вычислите значение производной функции

(

)

1

2

усtgx

p

++

в точке

0

4

х

p

-

. 1) 2 2) -1 3) -2 4)

1

2

-

А10. Найдите производную функции

4

lnln3

у х x

-

.

1)

3

3

1

4 l n

3

х x x

+-

2)

3

3

4 l n

x x x

-

3)

3

3

4 l n

x x x

+

4)

4

1

l

n

x

x

x

+

В1. Вычислите значение производной функции

3043

у

x

=-

в точке х

о

= -7.

В2. Найдите значение х, при которых производная функции

2

2

х

у

х

+



равна 0.

Эталон ответа:

Вариант

А1

А2

А3

А4

А5

А6

А7

А8

А9

А10

В1

В2

1

1

3

4

2

3

2

3

2

1

4

2

4

2

2

3

3

2

4

1

2

2

3

3

-9

-4

Задание 6

Тест по теме «Геометрический и физический смысл производной».

Из четырех ответов выберите один правильный.

1. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции

f(x) = 3 +2x –x

2

в его точке с абсциссой х

0

= 1.

1) 1; 2) –2; 3) 0; 4) 4.

2. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции

f(x) = x

5

–5x

2

-3 в его точке с абсциссой х

0

= -1.

1) 15; 2) 12; 3) 11; 4) 7.

3. Через точку графика функции у=х

3

+2log

e

х

2

с абсциссой х

о

=2 проведена

касательная. Найдите тангенс угла наклона этой касательной к оси абсцисс.

1) 11; 2) 12; 3) 13; 4) 14.

4. Через точку графика функции

у

=

log

e

x

2

2

+

e

x

−

x

с абсциссой х

о

=1 проведена

касательная. Найдите тангенс угла наклона этой касательной к оси абсцисс.

1) е

х

+1; 2) е

х

-1; 3)

е

−

1

2

; 4)е -

1

2

.

5. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции f(x)=5x

2

+3x-1

в точке с абсциссой х

о

=0,2.

1) 5; 2) -0,2; 3)

3

5

; 4) 53.

6. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции

f(x) = 9x –4x

3

в его точке с абсциссой х

0

= 1.

1) -3; 2) 0; 3) 3; 4) 5.

7. Через точку графика функции

у

=

sin

(

3 x

+

6

)

3

+

x

3

2

с абсциссой х

о

= -2 про-

ведена касательная. Найдите тангенс угла наклона этой касательной к оси аб-

сцисс.

1) 7; 2) -3; 3) -5; 4) -9

8.Через точку графика функции у= х+ lnx+

1

х

с абсциссой х

о

=2 проведена каса-

тельная. Найдите тангенс угла наклона этой касательной к оси абсцисс.

1) 2

1

4

; 2) 1

1

4

; 3) 1

3

4

; 4)

3

4

.

9.Через точку графика функции у=2ln

х

2

+tg(x+2) с абсциссой х

о

= -2 проведена

касательная. Найдите тангенс угла наклона этой касательной к оси абсцисс.

1)

1

2

; 2) -1;; 3) -

1

2

; 4) 0.

10. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции

f(x) =

х

х

−

1

в точке х

0

= 0.

1) 1; 2) 0; 3) 0,5; 4) –1.

ЕГЭ

−

2006

11. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции

f(x) = e

x

+2x в точке х

0

= 0.

1) 3; 2) 0; 3) 2; 4) e +2.

12.При движении тела по прямой расстояние S (в метрах) от начальной точки из-

меняется по закону S(t)=t

3

- t

2

+5t+1 (t –время движения в секундах). Найти ско-

рость (м/с) тела через 3 секунды после начала движения.

1) 26; 2) 24; 3) 16; 4) 30.

13. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции

f(x) = х

3

- х

4

+17x+8 в точке х

0

= -3.

1) -151; 2) 152; 3) -64; 4) 52.

14. При движении тела по прямой расстояние (в метрах) от начальной точки изме-

няется по закону

s

(

t

)=

t

3

3

−

4 t

2

+

7 t

+

2

( t – время движения в секундах). Через

сколько секунд после начала движения тело сделает вторую мгновенную останов-

ку (V

мгн

=0) ?

1) 1; 2) 7; 3) 5; 4) 8.

15. При движении тела по прямой расстояние (в метрах) от начальной точки изме-

няется по закону

4

3

2

( ) 1

4

3

t

t

s t

t

=-++

( t – время движения в секундах). Найти

скорость тела (м/с) через 4 секунды после начала движения.

1) 18 2) 72 3) 56 4) 48

Эталон ответа:

Задание 7

Тест по теме «Применение производной к исследованию функции».

Из четырех ответов выберите один правильный.

Вариант 1

А1. Укажите промежуток, на котором функция

2

()547

f

x

х

х

=--

только воз-

растает.

№ во-

проса

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Ответ

3

1

2

4

1

1

1

2

4

4

1

1

2

2

3

1)

(

)

1

;

-+

�

2)

(

)

6 ; 0

-

3)

(

)

1;12

4)

[

)

0

;

+

�

А2. Укажите промежуток, на котором функция

3

2

1

9

()83

3

2

f

x

х х х

-+-

убыва-

ет.

1)

(

]

;

1

-

�

2)

[

]

1 ; 8

3)

[

)

1

;

+

�

4)

[

]

0 ; 8

А3. На рисунке изображен график функции

(

)

у f x

=

.

Сколько точек минимума имеет функция?

1) 4 2) 5 3) 2 4) 1

А4. Найдите точку максимума функции

2

()3125

f

x

х

х

-+-

.

1) -4 2) -2 3) 4 4) 2

А5. Сколько критических точек имеет функция

3

2

()225

f

x

х х х

+-+

?

1) 2 2) 1 3) 4 4) 3

А6. На рисунке изображен график производной у =

f ´

(x).

Найдите точку максимума функции у =f(x).

1) 1 2) 3 3) 2 4) -2

А7. Найдите точку минимума функции

y

=

2 x

3

3

−

3 x

2

2

−

2 x

+

1

11

24

.

1) -2 2) -0,5 3) 0,5 4) 2

А8. График функции у=f(x) изображен на рисунке. Укажи-

те наибольшее значение этой функции на отрезке

[

]

;

a

b

1) 2 2) 3 3) 4 4) 6

А9. Найдите наименьшее значение функции

у

=

х

3

3

−

2 х

2

+

3 х

+

2

3

на отрезке

[

]

0 ; 4

. 1)

2

3

2) 3 3) 1 4) -

2

3

А10. Найдите наименьшее значение функции у=2sin

(

х

+

π

3

)

-1.

1) -1; 2) -3; 3) -2; 4) -

π

3

.

Вариант 2

А1. Укажите промежуток, на котором функция

2

()547

f

x

х

х

=--

только убыва-

ет.

1)

(

)

1

;

-+

�

2)

(

)

6 ; 0

-

3)

(

)

1;12

4)

[

)

0

;

+

�

А2. Укажите промежуток, на котором функция

3

2

1

9

( ) 8

3

2

f

x

х х х

---

возрастает.

1)

(

]

;

1

-

�

-

2)

[

]

1 ; 8

3)

[

]

1 ; 8

-

4)

[

]

8 ; 1

--

А3. На рисунке изображен график функции

(

)

у f x

=

.

Сколько точек минимума имеет функция?

1) 5 2) 3 3) 2 4) 1

А4. Найдите точку максимума функции

2

()3189

f

x

х

х

+-

.

1) -3 2) -2 3) 3 4) 2

А5. Сколько критических точек имеет функция

1

(

)

f

xх

х

+

?

1) 2 2) 1 3) 4 4) 3

А6. На рисунке изображен график производной у =

f ´

(x).

Найдите точку минимума функции у =f(x).

1) 1 2) 3 3) -4 4) -2

А7. Найдите точку максимума функции

y

=

2 x

3

3

−

3 x

2

2

−

2 x

+

1

11

24

.

1) -2 2) -0,5 3) 0,5 4) 2

А8. График функции у=f(x) изображен на рисунке. Укажи-

те наименьшее значение этой функции на отрезке

[

]

;

a

b

1) 2 2) -2 3) -4 4) 6

А9. Найдите наибольшее значение функции

у

=

х

3

3

−

2 х

2

+

3 х

+

2

3

на отрезке

[

]

0 ; 4

. 1)

2

3

2) 3 3) 2 4)

4

А10. Найдите наибольшее значение функции у=2sin

(

х

+

π

3

)

-1.

1) 1 2) 3 3) 2 4)

π

3

Эталон ответа:

Вариант

А1

А2

А3

А4

А5

А6

А7

А8

А9

А10

1

3

2

1

4

1

2

4

3

1

2

2

2

4

2

1

4

4

2

2

3

1

Задание 8

Контрольная работа «Применение производной к исследованию функции».

ВАРИАНТ 1

1.

Найти интервалы возрастания и убывания функции:

y

=

x

2

−

x

2.

Дана функция

y

=

x

3

−

3 x

2

+

4

. Найти экстремумы.

3.

Найти скорость и ускорение в указанный момент времени для точки, дви-

жущейся прямолинейно, если движение точки задано уравнением:

s

=

t

3

+

5 t

2

+

4, t

=

2

4.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции

f

(

x

)=

2 x

3

+

3 x

2

−

36 x

на отрезке

[-4;3]

ВАРИАНТ 2

1.

Найти интервалы возрастания и убывания функции:

y

=

x

2

+

2 x

2.

Дана функция

y

=

2

+

3 x

−

x

3

. Найти экстремумы.

3.

Найти скорость и ускорение в указанный момент времени для точки, движу-

щейся прямолинейно, если движение точки задано уравнением:

s

=

4 t

3

+

t

2

−

14 , t

=

2

4.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции

f

(

x

)=

2 х

3

на отрезке

[

−

2 ;2

]

ВАРИАНТ 3

1.

Найти интервалы возрастания и убывания функции:

y

=

x

2

−

3 x

2.

Дана функция

y

=−

x

3

+

4 x

2

−

4 х

. Найти экстремумы.

3.

Найти скорость и ускорение в указанный момент времени для точки,

движущейся прямолинейно, если движение точки задано уравнением:

s

=

t

2

+

11 t

+

30 , t

=

3

4.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции

f

(

x

)=

x

4

−

8 x

2

+

5

на отрезке

[-3;2]

ВАРИАНТ 4

1.

Найти интервалы возрастания и убывания функции:

y

=

x

2

+

4 x

2.

Дана функция

y

=

x

3

+

6 x

2

+

9 х

. Найти экстремумы.

3.

Найти скорость и ускорение в указанный момент времени для точки, движу-

щейся прямолинейно, если движение точки задано уравнением:

s

=

2t

3

+

t

2

−

4, t

=

4

4.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции

f

(

x

)=

x

3

−

3

на отрезке

[-2;3]

Эталон ответа:

ВАРИАНТ 1

1.

Убывает на

(

−

∞ ;

1

2

)

; возрастает на

(

1

2

;

+

∞

)

2.

y

max

(

0

)

=

4 ; y

min

(

2

)

=

0

3.

V

=

32; a

=

22

4.

f

наиб

(

−

3

)

=

81; f

наим

(

2

)

=−

44

ВАРИАНТ 2

1.

Убывает на

(

−

∞ ;

−

1

)

; возрастает на

(

−

1 ;

+

∞

)

2.

y

max

(

1

)

=

4 ; y

min

(

−

1

)

=

0

3.

V

=

52; a

=

50

4.

f

наиб

(

2

)

=

16 ; f

наим

(

−

2

)

=−

16

ВАРИАНТ 3

1.

Убывает на

(

−

∞ ; 1,5

)

; возрастает на

(

1,5 ;

+

∞

)

2.

y

max

(

2

)

=

0 ; y

min

(

2

3

)

=−

1

5

27

3.

V

=

17 ; a

=

2

4.

f

наиб

(

−

3

)

=

14 ; f

наим

(

−

2

)

=

f

❑

(

2

)

=−

27

ВАРИАНТ 4

1.

Убывает на

(

−

∞ ;

−

2

)

; возрастает на

(

−

2 ;

+

∞

)

2.

y

max

(

−

3

)

=

0 ; y

min

(

−

1

)

=−

4

3.

V

=

104 ;a

=

50

4.

f

наиб

(

3

)

=

24 ; f

наим

(

−

2

)

=−

11

Тема 10.1 Интеграл и его применение

Задание 1

Самостоятельная работа по теме «Определение и основное свойство первооб-

разной»

Вариант 1

А1. Найдите одну из первообразных для функции f на R:

5

)()2;)()1245;)()sin;)()5

аfxхбfxхвfxxгfx

==-==-

.

А2. Найдите общий вид первообразных для функции f :

5

3

1

)()12)()2;)()cos1

аfxхбfxвfxx

x

+-

.

В1. Для функции

3

5

у

x

+

найдите первообразную, график которой проходит

через точку

(

)

3;35

M

.

В2. Для функции

2cos

у x x

-

найдите первообразную, график которой прохо-

дит через точку

2

;

6 3 6

M



��

��

��

.

Вариант 2

А1. Найдите одну из первообразных для функции f на R:

4

)()4;)()15;)()cos;)()3

аfxхбfxхxвfxxгfx

==+==-

.

А2. Найдите общий вид первообразных для функции f :

6

4

1

)()14)()1;)()2sin

аfxхбfxвfxx

x

++

.

В1. Для функции

3

4

у x x

-

найдите первообразную, график которой прохо-

дит

через точку

(

)

2;24

M

.

В2. Для функции

4cos

у

x

+

найдите первообразную, график которой прохо-

дит через точку

;

6

M

p



��

��

��

.

Эталон ответа

Вариант 1

А1 .

a

¿

x

2

; б

¿

2 x

6

−

45 x ; в

¿−

cosx ; г

¿−

5 x

A2.

a

¿

2 x

6

+

C ; б

¿−

1

2 x

2

+

2 x

+

C ; в

¿

sinx

−

x

+

C

B1.

x

4

4

+

5 x

−

1

4

В2.

x

2

−

sinx

+

1

2

Вариант 2

А1 .

a

¿

2 x

2

; б

¿

3 x

5

+

x

2

2

; в

¿

sinx ; г

¿−

3 x

A2.

a

¿

2 x

7

+

C ; б

¿

x

−

1

3 x

3

+

C ;в

¿

2 x

−

cos x

+

C

B1.

x

4

4

−

2 x

2

+

28

В2.

4 x

+

sinx

+

π

3

−

1

2

Задание 2

Тест «Первообразная и определенный интеграл»

Из четырех ответов выберите один правильный.

Вариант 1

А1. Выберите первообразную для функции

()41

f

x

х

-

.

1)

2

()16

F

x

х

x

-

2)

2

( ) 2

F

x

х



3)

2

()21

F

x

х

x

-+

4)

2

()16

F

x

х



А2. Какая из данных функций не является первообразной для функции

()sin2

f x x

=

?

1)

1

()cos2

2

F x x

=-

2)

1

()2cos2

2

F x x

-

3)

()2cos2

F x x

=-

4)

1

()4cos2

2

F x x

-

А3. Найдите общий вид первообразных для функции

( ) 5

f

x

-

.

1)

5x

C

-+

2)

5x

-

3)

5

C

-+

4)

5x

C

+

А4. Вычислите интеграл

0

c o sx d x



�

. 1)



2)

0

3)

1

4)

2

А5. Вычислите интеграл

1

6

1

x d x

-

�

. 1)

2

7

2)

0

3)

1

7

4)

1

А6. Вычислите интеграл

2

2

1

2

4

d

x

x

�

. 1)

9

2)

7

-

3)

8

4)

7

А7. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями

sin,0,0,

уxyxx

p

====

.

1)



2)

0

3)

1

4)

2

А8. Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке 1.

1)

2

3

2)

4

3

3)

1

4)

5

3

Рис. 1

А9. Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке 2.

1)

7

3

2)

1

0

3

3)

9

2

4)

7

2

Рис.2

А10. Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке 3.

1)

2

6

3

2)

2

5

3

3)

8

4)

2

9

3

Рис.3

Вариант 2

А1. Выберите первообразную для функции

( ) 2

f

x

х

-

.

1)

2

()22

F

x

х

х

-

2)

2

()0,521

F

x

х

х

-++

3)

2

( ) 2

F

x

х

-

4)

2

()0,5

F

x

х

-

А2. Какая из данных функций не является первообразной для функции

()cos3

f x x

=

?

1)

1

()2sin3

3

F x x

+

2)

1

()sin3

3

F x x

=

3)

1

()2sin3

3

F x x

-

4)

1

()4sin3

3

F x x

+

А3. Найдите общий вид первообразных для функции

( ) 5

f

x

-

.

1)

5x

C

-+

2)

5x

-

3)

5

C

-+

4)

5x

C

+

А4. Вычислите интеграл

2

0

s i nx d x

p

�

. 1)

2

p

2)

0

3)

1

4)

2

А5. Вычислите интеграл

0

5

1

x d x

-

�

. 1)

1

6

-

2)

5

6

3)

1

6

4)

1

-

А6. Вычислите интеграл

2

3

1

1

6

d

x

x

�

. 1)

1

1

4

2)

1

5

4

3)

1

3

4

4)

1

7

4

А7. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями

cos,0,0,

2

уxyxx





.

1)



2)

0

3)

1

4)

2

А8. Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке 1.

1)

5

3

2)

3

3)

7

2

4)

7

3

Рис.1

А9. Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке 2.

1)

7

3

2)

1

0

3

3)

7

2

4)

9

2

Рис. 2

А10. Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке 3.

1)

2

5

3

2)

2

6

3

3)

2

9

3

4)

8

Рис. 3

Эталон ответа:

Вариант

А1

А2

А3

А4

А5

А6

А7

А8

А9

А10

1

3

3

1

2

1

4

4

2

3

1

2

2

3

3

4

1

2

3

4

4

2

Задание 3

Контрольная работа «Интеграл и его применение»

№

ва

р

Вычислить определенный

интеграл

Найти площадь фигуры, ограничен-

ной линиями

Найти путь за

промежуток

времени

1

∫

−

1

1

(

x

3

+

2 x

)

dx

∫

π

2 π

cos xdx

y

=

x

2

, y

=

0,

x

=−

1, x

=

1

y

=

x

2

+

1, y

=

x

+

1

V

(

t

)=

3t

2

+

1,

t

1

=

0, t

2

=

4

2

∫

−

2

2

(

x

2

+

2 x

)

dx

∫

−

π

0

sin xdx

y

=

x

3

, y

=

0,

x

=−

2, x

=

0

y

=

x

2

+

2, y

=

2 x

+

2

V

(

t

)=

2t

2

+

t ,

t

1

=

1, t

2

=

3

3

∫

−

1

2

(

x

3

+

x

)

dx

∫

1

3

x

2

dx

y

=

x

2

, y

=

0,

x

=−

2, x

=

1

y

=

x

2

+

1, y

=

3

−

x

V

(

t

)=

3t

2

+

3,

t

1

=

0, t

2

=

3

4

∫

−

1

2

(

x

2

−

x

)

dx

∫

0

2

x

2

2

dx

y

=

x

3

, y

=

0,

x

=−

1, x

=

2

y

=

x

2

, y

=

2 x

V

(

t

)=

t

2

+

t ,

t

1

=

1, t

2

=

3

5

∫

1

2

(

x

3

+

1

)

dx

∫

−

π

π

cos xdx

y

=

x

2

, y

=

0,

x

=

2, x

=

4

y

=

x

2

, y

=

x

+

2

V

(

t

)=

4 t

2

t

1

=

0, t

2

=

2

6

∫

−

1

1

(

x

2

−

1

)

dx

∫

π

2

π

sin xdx

y

=

x

3

, y

=

0,

x

=−

1, x

=

3

y

=

x

2

, y

=

3 x

V

(

t

)=

t

2

+

2 t ,

t

1

=

1, t

2

=

2

7

∫

1

2

(

2 x

3

+

1

)

dx

∫

1

2

x

3

dx

y

=

x

2

, y

=

0,

x

=−

3, x

=

4

y

=

x

2

, y

=

2 x

+

3

V

(

t

)=

4 t

2

+

2

t

1

=

1, t

2

=

2

8

∫

−

1

1

(

x

2

−

5

)

dx

∫

0

1

x

2

3

dx

y

=

x

3

, y

=

0,

x

=

0, x

=

3

y

=−

x

2

+

2,

и

осью ОХ

V

(

t

)=

t

2

+

3 t ,

t

1

=

0, t

2

=

2

9

∫

0

2

(

3 x

3

+

1

)

dx

∫

π

6

π

cos xdx

y

=

x

2

, y

=

0,

x

=−

3, x

=

0

y

=

x

2

, y

=

3

−

x

V

(

t

)=

4 t

2

+

1

t

1

=

1, t

2

=

4

10

∫

−

2

1

(

x

2

−

4

)

dx

∫

π

4

π

sin xdx

y

=

x

3

, y

=

0,

x

=

0, x

=

2

y

=−

x

2

+

1,

и

осью ОХ

V

(

t

)=

t

2

+

3 t ,

t

1

=

1, t

2

=

2

Эталон ответа:

№

ва

р

Вычислить определенный

интеграл

Найти площадь фигуры, ограничен-

ной линиями

Найти путь за

промежуток

времени

ответ

ответ

ответ

ответ

ответ

1

0

0

2/3

1/6

68

2

5

1

3

-2

4

1

1

3

21

1

3

3

5

1

4

2

3

4

1

2

36

4

1

1

2

4/3

3

3

4

1

1

3

12,6

5

6

3

4

0

18

2

3

4

1

2

10

2

3

6

−

1

1

3

1

20,5

4

1

2

5

1

3

7

8

1

2

1/2

30

1

3

9

11

1

3

8

−

9

1

3

1/9

20

1

4

8

√

2

3

18

2

3

9

14

-1/2

9

7,8

12

2

3

10

-9

√

2

2

4

1

1

3

6

5

6

Тема 11 Элементы теории вероятности и математической статистики.

Задание 1

Тест на тему «Элементы теории вероятностей»

Из четырех ответов выберите один правильный.

1.Указать верное определение. Суммой двух событий называется:

а ) Новое событие, состоящее в том, что происходят оба события одновременно;

б ) Новое событие, состоящее в том, что происходит или первое, или второе, или

оба вместе; +

в ) Новое событие, состоящее в том, что происходит одно но не происходит дру-

гое.

2.Указать верное определение. Произведением двух событий называется:

а ) Новое событие, состоящее в том, что происходят оба события одновременно; +

б ) Новое событие, состоящее в том, что происходит или первое, или второе, или

оба вместе;

в ) Новое событие, состоящее в том, что происходит одно но не происходит дру-

гое.

3.Указать верное определение. Вероятностью события называется:

а ) Произведение числа исходов, благоприятствующих появлению события на об-

щее число исходов;

б ) Сумма числа исходов, благоприятствующих появлению события и общего чис-

ла исходов;

в ) Отношение числа исходов, благоприятствующих появлению события к общему

числу исходов; +

4.Указать верное утверждение. Вероятность невозможного события:

а ) больше нуля и меньше единицы;

б ) равна нулю; +

в ) равна единице;

5.Указать верное утверждение. Вероятность достоверного события:

а ) больше нуля и меньше единицы;

б ) равна нулю;

в ) равна единице; +

6.Указать верное свойство. Вероятность случайного события:

а ) больше нуля и меньше единицы; +

б ) равна нулю;

в ) равна единице;

7.Указать правильное утверждение:

а ) Вероятность суммы событий равна сумме вероятностей этих событий;

б ) Вероятность суммы независимых событий равна сумме вероятностей этих со-

бытий;

в ) Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих

событий; +

8.Указать правильное утверждение:

а ) Вероятность произведения событий равна произведению вероятностей этих со-

бытий;

б ) Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероят-

ностей этих событий; +

в ) Вероятность произведения несовместных событий равна произведению вероят-

ностей этих событий.

Эталон ответа:

1.

б

2.

а

3.

в

4.

б

5.

в

6.

а

7.

в

8.

б

Задание 2

Самостоятельная работа на тему «Элементы теории вероятностей и матема-

тической статистики».

1 вариант

Уровень А.

А1. Для каждого из описанных событий определите, каким оно является: невоз-

можным, достоверным или случайным:

1) завтра будет хорошая погода;

2) в январе в городе пойдет снег;

3) в 12 часов в городе идет дождь, а через 24 часа будет светить солнце;

4) на день рождения вам подарят говорящего крокодила;

5) круглая отличница получит двойку;

6) камень, брошенный в воду утонет.

А2. Определите моду, среднее арифметическое и размах ряда: 5, 6, 11, 11, – 1.

А3. Какова вероятность того, что задуманное двузначное число делится на 3 или

делится на 2? Определите вид события.

а) сложение событий;

б) произведение событий.

А4. На стол бросают два игральных тетраэдра (серый и белый), на гранях каждого

из которых точками обозначены числа от 1 до 4. Сколько различных пар чисел мо-

жет появиться на гранях этих тетраэдров, соприкасающихся с поверхностью сто-

ла?

А5. Из 10 первых натуральных чисел случайно выбираются 2 числа. Вычислите

вероятности

следующих событий:

а) одно из выбранных чисел – двойка; б) оба числа нечетные.

Уровень В.

В6. В бригаде 4 женщины и 3 мужчины. Среди членов бригады разыгрываются 4

билета в театр. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажется

2 женщины и 2 мужчины?

В7. На каждой карточке написана одна из букв к, л, м, н, о, п. Четыре карточки

наугад выкладывают одну за другой в ряд. Какова вероятность, что при выклады-

вании получится слово «клоп»?

Уровень С.

С8. Найдите вероятность того, что случайным образом выбранное двузначное

число при делении на 11 дает в остатке 10.

2 вариант

Уровень А.

А1. Для каждого из описанных событий определите, каким оно является: невоз-

можным, достоверным или случайным:

1) вы выходите на улицу, а навстречу идет слон;

2) вас пригласят лететь на Луну;

3) черепаха научится говорить;

4) выпадет желтый снег;

5) вы не выиграете, участвуя в беспроигрышной лотерее;

6) после четверга будет пятница.

А2. Определите моду, среднее арифметическое и размах ряда:15, 4, 12, – 3, 15.

А3. Какова вероятность того, что первое из задуманных двузначных чисел делится

на 2, а второе – делится на 5? Определите вид события.

а) сложение событий;

б) произведение событий.

А4. Из коробки, содержащей 8 мелков различных цветов, Гена и Таня берут по од-

ному мелку. Сколько существует различных вариантов такого выбора двух мел-

ков?

А5. Из 10 первых натуральных чисел случайно выбираются 2 числа. Вычислите

вероятности

следующих событий:

а) одно из выбранных чисел – единица; б) оба числа четные.

Уровень В.

В6. В урне 6 белых и 4 черных шара. Из этой урны наудачу извлекли 5 шаров. Ка-

кова вероятность того, что 2 из них белые, а 3 черные?

В7. На каждой карточке написана одна из букв р, с, т, у, л, х. Четыре карточки нау-

гад выкладывают одну за другой в ряд. Какова вероятность, что при выкладыва-

нии получится слово «стул»?

Уровень С.

С8. Найдите вероятность того, что случайным образом выбранное двузначное

число при делении на 13 дает в остатке 5.

Эталон ответа:

1 Вариант

2 Вариант

А1случ; 2) достов; 3) случ; 4)невозм; 5)

случ; 6) достов.

невоз; 2) случ; 3) невоз; 4) случ; 5)

невоз; 6) достов.

А2мода равна 11; размах 12; ср. ариф.

6,4;

мода равна 15; размах 18; ср. ариф.

8,6;

А3а

б

А416

56

А5

а) 0,2; б)

а) 0,2; б)

В6

В7

С80,1

Тема 12 Уравнения и неравенства.

Задание 1

Тест на тему «Общие методы решения уравнений»

Из четырех ответов выберите один правильный.

Вариант 1

1. Найдите сумму корней уравнения: 4х

2

-х-12=0.

1) -0,25; 2) корней нет; 3) 0,25; 4) 12.

2. Сколько корней имеет уравнение: х

4

+9х

2

+4=0.

1) 2; 2) ни одного; 3) 4; 4) 1.

3. Найдите произведение корней уравнения: (3х+1)(2х

2

+х-3)=0.

1) -0,5; 2) 1; 3) 0,5; 4) 5.

4. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

√

5 х

−

1

=

12 .

1) (-30;0); 2) (0;30); 3) (30;100) ; 4)(100;+

∞

) .

5. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

√

8

−

х

=

х

−

2 .

1) (-

∞

;0); 2) (0; 5); 3) (5; 50); 4) (50;100) .

6. Сколько корней имеет уравнение

√

2 х

4

+

194

=

х

2

+

13 .

1) 4; 2) 2; 3) 1; 4) ни одного.

7. Решите уравнение:

4

⋅

2

х

=

1 .

1) 2; 2) -2; 3)

1

2

; 4) -

1

2

.

8. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения 2

х-1

+2

х+1

=20.

1) (0; 1); 2) (4; 6); 3) (2; 4); 4) (1; 3).

9. Найдите сумму корней уравнения 64

х

-17·8

х

+16=0.

1)

1

1

3

; 2)

1

3

; 3) 5; 4) 17.

10. Найдите сумму корней уравнения lg(5х-6)=2lgx.

1) 5; 2) 2; 3) 1; 4) 12.

11. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

log

0,3

(3-2x)=log

0,3

x.

1) (-1; 2); 2) (4; 6); 3) (2; 4); 4) (-2; -1).

12. Найдите решение (х

о

; у

о

) системы уравнений

ln

(

х

−

5 у

+

1

)=

0,

lg 2 x

−

lg y

=

1

¿

{

¿ ¿ ¿

¿

и вычислите значение частного

x

0

y

0

.

1) 3; 2) 5; 3) 2; 4) 1.

13. Решите уравнение

2 sin 2 x

⋅

cos 2 x

−

1

=

0 .

1

)

π

8

+

1

2

πk , k

∈

Z ;

2

)

π

8

;

3

)

π

2

+

2 πk ,

k

∈

Z ;

4

)

π

2

+

2 πk ,

k

∈

Z .

14. Решите уравнение sinx +

√

3

cosx = 0.

1

)

π

6

+

2 πk , k

∈

Z ;

2

)±

π

6

+

2 πk , k

∈

Z ;

3

)

π

3

+

πk ,

k

∈

Z ;

4

) −

π

3

+

πk ,

k

∈

Z .

15. Решите уравнение: cos

2

x – sin

2

x = 0,5.

1

) ±

π

3

+

πk , k

∈

Z ;

2

)±

π

3

+

2 πk , k

∈

Z ;

3

) ±

π

6

+

πk ,

k

∈

Z ;

4

) ±

π

6

+

2 πk ,

k

∈

Z .

Вариант 2

1. Найдите сумму корней уравнения х

3

+2х

2

- 9х –18 = 0.

1) -2; 2) -8; 3) 2; 4) 8.

2. Найдите сумму корней уравнения

2

2310

х

х

-+=

1) 3; 2) -3; 3) 1,5; 4) -1,5.

3. Найдите произведение корней уравнения: (2х+1)(х

2

+9х+8)=0.

1) -0,5; 2) 4; 3) 8; 4) -4.

4. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

215.

х

+

1) (-30;0); 2) (0;30); 3) (30;100) ; 4)(100;+

∞

) .

5. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

1 1 1 х

х

++

1) (-

∞

;0); 2) (0; 4); 3) (4; 50); 4) (50;100) .

6. Сколько корней имеет уравнение

225.

х

х

--

1) 4; 2) 2; 3) 1; 4) ни одного.

7. Решите уравнение:

2731.

х

�



1) -3; 2) 3; 3)

1

3

; 4)

1

3

-

.

8. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

1

47444.

х

х

-

+

�



1) (0; 1); 2) (4; 6); 3) (2; 4); 4) (1; 3).

9. Найдите сумму корней уравнения 25

х

-6·5

х

+5=0.

1) 1; 2) 0,2; 3) 5; 4) 25.

10. Найдите сумму корней уравнения lg(3х-2)=2lgx.

1) 5; 2) 3; 3) 1; 4) 2.

11. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

log

0,3

(3-x)=log

0,3

x.

1) (-1; 2); 2) (4; 6); 3) (2; 4); 4) (-2; -1).

12. Найдите решение (х

о

; у

о

) системы уравнений

ln(32)0,

lg5lg1

х

у

x

y

-+

�

�

-

�

и вычислите значение произведения

0

0

x

y

�

1) 3; 2) 5; 3) 2; 4) 1.

13. Решите уравнение

sin x

+

1

2

=

0

.

1)

π

6

+

2 πn , n

∈

Z ;

2) (-1)

n

π

6

+

πn , n

∈

Z ;

3)

(−

1

)

n

+

1

π

6

+

πn , n

∈

Z ;

4)

π

6

+

πn , n

∈

Z .

14. Решите уравнение ctg

2

x = 3.

1)

±

π

6

+

πn , n

∈

Z ;

2)

±

π

3

+

πn , n

∈

Z ;

3)

π

6

+

πn , n

∈

Z ;

4)

π

3

+

πn , n

∈

Z .

15. Решите уравнение sinx – sin

2

x = cos

2

х.

1) х=

π

2

+2



k, k

Î

Z; 2) х=2



k, k

Î

Z; 3) х=



k, k

Î

Z; 4) х=

π

2

+



k, k

Î

Z.

Эталон ответа:

Вари-

ант

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

1

3

2

3

2

2

1

2

3

1

1

1

2

1

4

3

2

3

3

4

2

3

4

1

4

3

1

1

3

3

1

1

Задание 2

Тест на тему «Решение неравенств с одной переменной»

1.

На рисунке изображены графики функций

y=f(x) и y=g(x), заданных на промежутке [-3;6].

Укажите те значения х, для которых выполняет-

ся неравенство

( ) ( )

fxgx

�

.

1) [-3;-1]

�

[1;6] 2) [-1;1]

3) [-3;2]

�

[2;6] 4) [-2;2]

2. На рисунке изображены графики функций y = f (x) и y = g (x), заданных на

промежутке

[-4;5]. Укажите те значения х, для которых выполняется неравен-

ство f (x) < g (x).

y

1) (-4; -3)

¿

(3;5) 2) [-3; 3]

3) (-1; 2) 4) (-3; 3)

1

0

1 x

3. На рисунке изображены графики функций y = f (x) и y = g (x), заданных на

промежутке

[-5;5]. Укажите те значения х, для которых выполняется неравен-

ство f (x) < g (x).

y

1) (-5; -3)

¿

(2;5) 2) [-3; 2]

3) (-2; 0) 4) (-3; 2)

1

0

1 x

4. На рисунке изображен график функции

y

y = g (x), заданный на промежутке

[-5;4].

Укажите те значения х, для которых

выполняется неравенство g (x) < 0.

1

1) (-5; -4)

¿

(3;4) 2) [-2; 0]

0

1 x

3) (-4; 3) 4) (-2; 0)

у

=

g

(

x

)

у

=

f

(

x

)

у

=

g

(

x

)

у

=

f

(

x

)

у

=

g

(

x

)

5. На рисунке изображен график функции

y

y = g (x), заданный на промежутке

[-5;5].

Укажите те значения х, для которых

выполняется неравенство g (x)

¿

2.

1

1) [-5; -3]

¿

[4;5] 2) [-2; 3]

0

1 x

3) [-3; 4] 4) (-2; 3)

6. На рисунке изображен график функции

y

y = g (x), заданный на промежутке

[-5;4].

Укажите те значения х, для которых

выполняется неравенство g (x)

¿

х.

1

1) [-5; -2]

¿

[3;4] 2) [-2; 3]

0

1 x

3) [-4; -2]

¿

[3;4] 4) [-5; -3]

¿

[2;4]

7. На рисунке изображен график функции

y

y = g (x), заданный на промежутке

[-5;4].

Укажите те значения х, для которых

выполняется неравенство g (x)

¿

-2.

1

1) [-5; -2]

¿

[1;4] 2) [-3,5; 0]

0

1 x

3) [-2; 1] 4) [-5; -3]

¿

[2;4]

8. На рисунке изображенs графикb функций

y

y = f (x) и y = g (x), заданный на промежутке

[-5;6]. Укажите те значения х, для которых

выполняется неравенство g (x)

¿

f (x)

1

1) [-5; 0] 2) [-5; 2]

0

1 x

3) [-2; 2] 4) [2; 6]

у

=

g

(

x

)

у

=

g

(

x

)

у

=

g

(

x

)

у

=

g

(

x

)

у

=

f

(

x

)

9.

На рисунке изображены графики функций

y=f(x) и y=g(x), заданных на промежутке [-

4;6]. Укажите те значения х, для которых вы-

полняется неравенство

( ) ( )

fxgx

�

.

1) [0;5] 2) [-4;0]

�

[5;6]

3) [-4;1] 4) [-4;-1]

�

[1;3]

10.

На рисунке изображены графики функций

y=f(x) и y=g(x), заданных на промежутке [-

6;6]. Укажите те значения х, для которых вы-

полняется неравенство

( ) ( )

fxgx

�

.

1) [-6-35] 2) [-6;-3]

�

[0;2]

3) [-3;6] 4) [-2;0]

�

[2;6]

11.

На рисунке изображены графики функций

y=f(x, заданной на промежутке [-6;5]. Решите

неравенство

( ) 2

f

x

<

.

1) [-4;5] 2) [-6;-5)

�

(-2;4]

3) [-6;-5]

�

[-2;4) 4) [-6;-5)

�

(-2;4)

12.

На рисунке изображены графики функций

y=f(x, заданной на промежутке [-6;7]. Решите

неравенство

()10

f

x

-

�

.

1) [-6;-3]

�

[-1;-2] 2) [-3;-1]

3) [-6;-3]

�

(-1;-2) 4) (-3;-1)

13.

На рисунке изображены графики функций

y=f(x) и y=g(x), заданных на промежутке [-4;5].

Укажите те значения х, для которых выполняет-

ся неравенство

( ) ( )

gxfx

�

.

1) [-4;-3]

�

[-2;1] 2) [-3;-2]

�

[1;3]

3) [-4;-3]

�

[-2;1]

�

{3} 4) [1;3]

�

[3;5]

14.

На рисунке изображены графики функций

y=f(x) и y=g(x), заданных на промежутке [-7;8].

Укажите те значения х, для которых выполняет-

ся неравенство

( ) ( )

gxfx

>

.

1) [-5;7] 2) [-5;2]

3) (2;7) 4) (-5;2)

15.

На рисунке изображены графики функций

y=f(x) и y=g(x), заданных на промежутке [-7;6].

Укажите те значения х, для которых выполняет-

ся неравенство

( ) ( )

gxfx

>

.

1) [-4; 0]

�

[2;4] 2) (-7; -4)

�

(0;2)

�

(4;6)

3) (-4; 0)

�

(2;4) 4) (-4;4)

16.

На рисунке изображены графики функций

y=f(x) и y=g(x), заданных на промежутке [-7;7].

Укажите те значения х, для которых выполняет-

ся неравенство

( ) ( )

fxgx

<

.

1) (-6;5) 2) (-6;-1)

�

(-1;5)

3) [-6;-1]

�

[-1;5] 4) (-7;-6)

�

(5;7)

17.

На рисунке изображены графики функций

y=f(x) и y=g(x), заданных на промежутке [-7;7].

Укажите те значения х, для которых выполняет-

ся неравенство

( ) ( )

gxfx

�

.

1) (-6;5) 2) (-6;-1)

�

(-1;5)

3) [-6;-1]

�

[-1;5] 4) [-7;-6)

�

(5;7]

18.

На рисунке изображен график функции

y=f(x), заданной на промежутке [-7;4]. Укажите

те значения х, для которых выполняется нера-

венство

( ) 0

f

xх

-<

.

1) (-4; 3) 2) (-4; 4)

3) [-7;-4)

�

(3;4] 4) (-7; 4)

19.

На рисунке изображен график функции

y=f(x), заданной на промежутке [-7;4]. Укажите

те значения х, для которых выполняется нера-

венство

(

)

f

x

х

�

-

.

1) [-4;3] 2) [1; 4)

3) [1;4] 4) (-7; 1]

20.

На рисунке изображен график функции

y=f(x), заданной на промежутке [-7;4]. Укажите

те значения х, для которых выполняется нера-

венство

( ) 3

f

x

�

.

1) [4;6] 2) {-5}

�

[4; 6]

3) [-5;6] 4) {-5}

�

(4; 6)

Эталон ответа:

№ во-

проса

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

Ответ

2

4

4

3

2

1

3

2

2

3

4

1

3

4

3

2

№ вопро-

са

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

Ответ

1

1

3

2

Задание 3

Самостоятельная работа «Решение уравнений и неравенств»

1.

6

х

2

=

36

2.

2

⋅

3

х

+

1

−

4

⋅

3

х

−

2

=

150

3.

2

2 у

−

12

⋅

2

у

+

32

=

0

4.

16

−

3 х

<

8

5.

(

3

7

)

3 x

−

7

>

(

7

3

)

7 x

−

3

Вариант 2

1.

3

x

⋅

9

x

=

81

2.

7

x

+

2

+

4

⋅

7

x

−

1

=

347

3.

3

2 x

−

8

⋅

3

x

−

9

=

0

4.

3

6

−

x

>

1

5.

(

1

3

)

2 x

−

1

≥

81

Вариант 3

1.

7

2 x

=

49

2.

6

y

+

6

y

+

1

=

252

3.

3

2 x

+

5

=

3

x

+

2

+

2

4.

5

1

2

x

−

1

≥

(

1

5

)

3

5.

(

2

3

)

2 x

+

5

<

(

27

8

)

x

+

1

Вариант 4

1.

√

5

x

=

625

2.

5

2 x

+

1

+

2

⋅

5

2 x

+

5

2 x

−

1

=

900

3.

4.

4

3 х

+

4

<

64

5.

(

1

125

)

1

3

x

+

3

≥

25

Эталон ответа:

Вариант 1

1.

4

2.

3

810

9

3

1

2



+



+

x

x

3.

2;3

4.

x>-1/4

5.

x<1

Вариант 2

1.

4/3

2.

1

3.

2

4.

x<6

5.

x<=-3/2

Вариант 3

1.

1

2.

2

3.

-2

4.

x>=-4

5.

x>-8/5

Вариант 4

1.

8

2.

3/2

3.

2

4.

x<-1/3

5.

x<=-11

Задание 4

Контрольная работа «Уравнения и неравенства»

Вариант 1

1.

Решить уравнение :

√

6 x

−

11

=

x

−

1

2.

Решить уравнение

: log

2

3

(

7 x

+

9

)

−

log

2

3

(

8

−

x

)

=1

3.

Решить уравнение:

5

x

+

4

=

5

2 x

+

1

4.

Решить уравнение:

2 cos

2

x

−

7 cosx

−

4

=

0

5.

Решить неравенство:

(

7

9

)

2 x

2

−

3 x

≥

9

7

❑

Вариант 2

1.

Решить уравнение:

x

+

3

=

√

2 x

+

9

2.

Решить уравнение:

: log

1,2

(

3 x

−

1

)

+

log

1,2

(

3 x

+

1

)

=

log

1,2

8

3.

Решить уравнение:

7

2x

+

1

−

50 ∙ 7

x

=−

7

4.

Решить уравнение:

4 sin

2

x

+

4

=

17 sinx

5.

Решить неравенство:

(

2

2

3

)

6 x

2

+

x

≤7

1

9

Эталон ответа:

Вариант 1

1.

2;6

2.

-11/23

3.

0

4.

∓

2 π

3

+

2 πn

5.

1

2

≤ x ≤ 1

Вариант 2

1.

0

2.

1

3.

-1;1

4.

(

−

1

)

n

arcsin

1

4

+

πn

5.

−

2

3

≤ x ≤

1

2

2.2 Задания для промежуточной аттестации