ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА УРОКЕ.

Тихонова Анастасия Алексеевна

Учитель математики, Муниципальное бюджетное

общеобразовательное учреждение «Лицей №78 «Фарватер» Приволжского

района г. Казань

Одна из важнейших задач, решаемых школой на современном этапе, –

развитие у учащихся способностей самостоятельно решать жизненно важные

задачи.

В результате изучения предметной области «Математика» обучающиеся

развивают логическое и математическое мышление, получают представление о

математических моделях; овладевают математическими рассуждениями; учатся

применять математические знания при решении различных задач и оценивать

полученные

результаты;

овладевают

умениями

решения

учебных

задач;

развивают математическую интуицию; получают представление об основных

информационных процессах в реальных ситуациях.

В

условиях

перехода

к

рыночной

экономике

особую

актуальность

приобретает формирование у учащихся, в первую очередь, экономического

мышления,

обеспечивающего

понимание

сущности

происходящих

экономических процессов. Термины: предпринимательство, бизнес, банковский

кредит,

транш,

реструктуризация,

рефинансирование

и

прочие

вошли

в

лексикон

обычных

людей,

далёких

от

«большой»

экономики.

Проблемы

стремительно

развивающегося

рынка

касаются

каждого

из

нас,

они

демонстрируют

нам,

что

основу

нашей

жизни

составляют

экономические

отношения, вызывают потребность в экономических знаниях, и как следствие,

интерес к законам экономики и реалиям экономических отношений.

Под

экономической

составляющей

школьного

курса

математики

мы

подразумеваем совокупность простейших экономических понятий, их свойства

и специально подобранный набор задач, имеющих реальное экономическое

содержание,

которые

решаются

на

основании

математического

содержания

программ соответствующих классов, начиная с 5-го и до 11-го, что и сможет

обе спечить

непрерывную

экономиче скую

линию

в

м ат е м ат и ке

общеобразовательной школы.

Математическая

экономика (эконометрика,

экономико-математическое

моделирование) — сфера научной и практической деятельности, целью которой

является математически формализованное описание экономических объектов,

процессов и явлений. Основная цель экономики – это обеспечение общества

предметами

потребления.

Экономика

состоит

из

хозяйственных

единиц:

предприятия,

фирмы,

банки

и

т.д.

Надсистемой

национальной

экономики

является

природа,

общество

и

мировая

экономика.

Подсистема

состоит

из

следующих частей: производственная сфера и финансово-кредитная.

Математическая модель составляется с целью проведения определенного

эксперимента

с

конкретными

условиям

и

ожидаемыми

результатами.

Происходит

процесс

формализации

задачи

как

математической.

В

данном

случае математика способствует проведению количественного анализа модели,

помогает

предсказать

ее

поведение

в

определенных

условиях

и

дает

рекомендации по выбору наилучшего варианта решения.

Более

подробно

остановимся

на задачах

финансовой

сферы. Задачи

финансовой математики представляют в настоящее время интерес не только для

будущих финансистов и экономистов, но и для всех людей. В жизни каждый из

нас ежедневно встречается с ценами на товары и услуги. С такими задачами

приходится иметь дело при оформлении в банке сберегательного вклада или

кредита, покупке товара в рассрочку, при выплате пени, налогов, страхования. И

именно

школьная

математика

в

ответе

за

то,

чтобы

эти

встречи

не

оборачивались для людей финансовыми потерями.

Задача 1.

31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под

10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следую-

щего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увели-

чивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определённую сумму еже-

годного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей

выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?

Решение:

Пусть сумма кредита равна a, ежегодный платеж равен x рублей, а годовые

составляют k %.

Тогда

31

декабря

каждого

года

оставшаяся

сумма

долга

умножается на коэффициент

m

=

100

+

k

100

=

1

+

0 . 01k ,

где за 100% принимаем сумму долга.

После первой выплаты сумма долга составит: a

1

=am−x.

После второй выплаты сумма долга составит:

a

2

=a

1

m−x=(am−x)m−x=am

2

−xm−x=am

2

−(1+m)x.

После третьей выплаты сумма оставшегося долга:

a

3

=a

2

m−x=(am

2

−(1+m)x)m−x=am

3

−(1+m+m

2

)x=

¿

am

3

−

m

3

−

1

m

−

1

x

По условию тремя выплатами Сергей должен погасить кредит полностью,

поэтому после третьей выплаты сумма долга будет равна нулю:

am

3

−

m

3

−

1

m

−

1

x

=

0,

am

3

=

m

3

−

1

m

−

1

x ,

am

3

m

−

1

m

3

−

1

=

x

31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под

10% годовых

m

=

100

+

k

100

=

1

+

0 . 01k

=

1

+

0 . 01

∗

10

=

1

+

0. 1

=

1 .1

При a = 9 930 000 и m = 1,1 получаем:

x

=

a m

3

m

−

1

m

3

−

1

=

9930000

∗

1.1

3

∗

1.1

−

1

1.1

3

−

1

=

9930000

∗

1.1

3

∗

0.1

0.331

=¿

=3 993 000 руб.

Ответ: 3 993 000 рублей.

Задача 2

Дмитрий взял кредит в банке на сумму 270 200 рублей. Схема выплата

кредита

такова:

в

конце

каждого

года

банк

увеличивает

на

10

процентов

оставшуюся сумму долга, а затем Дмитрий переводит в банк свой очередной

платеж. Известно, что Дмитрий погасил кредит за три года, причем каждый его

следующий

платеж

был

ровно

втрое

больше

предыдущего.

Какую

сумму

Дмитрий заплатил в первый раз? Ответ дайте в рублях.

Решение:

Пусть S = 270 200 рублей — величина кредита, а х (руб.) — первый платеж

Дмитрия.

Тогда

оставшиеся

два

платежа

составляли

3x и

9x рублей

соответственно.

В конце первого года долг Дмитрия после его платежа составлял (1.1S-

x) руб.; в конце второго года — ((1.1S-x)1.1-3x)

руб., а в конце третьего —

(((1.1S-x)1.1-3x)1.1-9x) руб., что составило 0 рублей, так как за три года кредит

был погашен полностью. Далее имеем:

((1.1S - x)1.1 - 3x)1.1 - 9x = 0

(1.21S - 1.1x - 3x)1.1 - 9x=0

1.331S – 1.21x – 3.3x – 9x = 0

1.331S – 13.51x = 0

x= (1.331S) / 13.51

Подставляя в это выражение S = 270 200 получаем^

x = (1.331*270200) / 13.51 = 26 620 рублей.

О т ве т : 26 620 руб.

Задача 3

31 декабря 2014 года Валерий взял в банке 1000000 рублей в кредит. Схема

выплаты

кредита

следующая.

31

декабря

каждого

следующего

года

банк

начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, затем Валерий переводит в

банк очередной транш. Валерий выплатил кредит за два транша, то есть за два

года. В первый раз Валерий перевел в банк 660000 рублей, во второй раз –

484000 рублей. Под какой процент банк выдал кредит Валерию?

Решение.

Пусть а - процентная ставка по кредиту.

В конце первого года долг составит:

1000000 ∙ (1 + 0,01∙ а) – 660000 = 340000 + 10000∙а

В конце второго года долг составит:

(340000 + 10000∙а) ∙ (1 + 0,01∙а) – 484000.

По условию задачи кредит будет погашен за два года.

Составляем уравнение:

(340000 + 10000∙а) ∙ (1 + 0,01∙а) – 484000 = 0;

а

2

+ 134∙а – 1440 = 0

Решая квадратное уравнение, получаем, что а = 10.

Ответ: 10%

Задача 4

Фермер получил кредит в банке под определенный процент годовых. Через

год фермер в счет погашения кредита вернул в банк ¾ от всей суммы, которую

он

должен

был

банку

к

этому

времени,

а

еще

через

год

в

счет

полного

погашения кредита он внес в банк сумму на 21% превышающую величину

полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?

Решение:

Пусть фермер взял кредит S руб. под p% годовых.

Через год он должен банку S(1+0,01р) руб.

Через год фермер в счет погашения кредита вернул в банк ¾ от всей

суммы, которую он должен был банку к этому времени, следовательно, ему

осталось вернуть 0,25 S(1+0,01р) руб.

Еще через год он должен банку

(0,25 S(1+0,01р)) (1+0,01р) =0,25S(1+0,01р)

2

руб.

В

счет

полного

погашения

кредита

он

внес

в

банк

сумму

на

21%

превышающую величину полученного кредита, то есть внес 1,21 S руб.

Получили уравнение: 0,25S(1+0,01р)

2

=1,21 S.

(1+0,01р)

2

=4,84

1+0,01р=2,2

p=120%

Ответ: 120 % годовых.

Литература

1.

Пучков Н. П., Денисова А. Л., Щербакова А. В., Математика в экономике:

Учебное пособие. Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2002. 80 с.

2.

Международный научный журнал; «Молодой ученый», №10 (116), 2016.

108 с.

3.

Образовательный портал «Решу ЕГЭ».