"Методы решения уравнений 9 класс"
серия уроков "Методы решения уравнений 9 класс"
Автор: Жебелева Марина Анатольевна, учитель математики, МБОУ Гимназия №16, г. Красноярск
В раздел основное общее образование
9 класс. Жебелева М.А.
Методы решения уравнений.
Урок 1
Цели : 1. Классифицировать виды уравнений, методы решения уравнений Мето ды реше ния урав нени й Метод разложение на множители (Виды разложений) Метод введения новой переменной Функционально - графический метод (виды графиков) Метод решения дробно-рациональных уравнений (отбор корней, ОДЗ) Методы решения уравнений содержащих модуль Аналитически Графически Методы решения уравнений содержащих параметр Аналитически Графически II метод: «Метод введения новой переменной» Переменная, которую надо заменить, явно видна Создать ситуацию для замены переменной 1. (x – 5) 4 – 3(x - 5) 2 – 4 =0 2. 9 1 2 1 7 2 2 x x x x III метод: «Функционально – графический» (Работа интерактивной доской) Перед тем как решать уравнения, связанные с данным методом, проведем устную работу:
Задание
: к названию функции найти ее аналитическую запись, внести формулу в таблицу. Название функции Аналитическая запись Ф у н к ц и и и и х г р а ф и к и Линейная функция Прямая пропорциональность Квадратичная функция Обратная пропорциональность Арифметический квадратный корень Окружность Кубическая парабола y=ax 2 +bx+c; y=kx: y=x 3 ; y= x k ; y=kx+m; y= x ; x 2 +y 2 =r 2
Задание: Стрелками соединить аналитическую запись движения и его
описание.
Формула движения Описание движения Преобразование графиков f(x) + a Движение вдоль оси ОХ вправо f(x) - a Сжатие к оси ОУ f(x + a) Движение вдоль оси ОY вниз f(x - a) Движение вдоль оси ОY вверх - f(x) Симметрия относительно оси ОХ f( -x) Растяжение от оси ОУ k f(x), если k 0 Движение вдоль оси ОХ влево k f(x), если 0 k 1 Симметрия относительно оси OY Задание: с помощью графиков определите, между какими целыми числами находится корень уравнения x = 3 - 2 1 x. 4 вид. Дробно рациональные уравнения - общий вид - алгоритм решения - отбор корней с учетом ОДЗ Задание: 1) 1 2 2 12 3 6 2 x x x 2) 2 4 2 15 5 1 12 x x x x Домашнее задание: Сделать мини конспект по теме: «Способы разложения на множители», где для каждого способа привести пример из 2 части ГИА. Сборник Кузнецовой.
Урок 2
Проверка домашнего задания. (Мини конспекты с решенными примерами.) (обсуждение) Цель: Рассмотреть методы решения уравнений содержащих модуль. Методы аналитический графический Абсолютной величиной (модулем) целого числа а называют число, которое, по определению, равно самому числу если а≥0, и числу, противоположному а, если а‹0 |а| = Нахождение решения уравнения, используя взаимное расположение графиков функций, входящих в уравнение.
Урок 3
Цель: Рассмотреть методы решения уравнений содержащих параметры.
Задания в классе:
Пример 1
: При каких значениях параметра а, уравнение |х 2 -2ах|=1 имеет три различных корня? ( правила раскрытия модуля)
Пример 2
: Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение ||х| + a - 9| = а 2 имеет ровно 3 корня. Если таких значений а более одного, в ответе укажите их произведение. (использовать графический метод)
Пример 3
: Найти все значения параметра , при каждом из которых корни уравнения больше 3. ( теоремы из Приложения 1 )
Пример 4:
Найдите все значения x , которые удовлетворяют неравенству (2а-1)х 2 <(а+1)х +3а при любом значении параметра a , принадлежащем промежутку ( 1; 2 .
Домашнее задание:
1. Для каждого значения решите систему: 2. Найдите все значения , при каждом из которых уравнение имеет ровно два различных корня. 3. Найдите все значения , при каждом из которых уравнение не имеет корней 4. Найдите все значения , при каждом из которых система имеет единственное решение
Итоговый урок по теме «Методы решения уравнений»
Задание 1: Из общего набора уравнений выписать в таблицу по 3 примера. Решить по одному уравнению на каждый метод. Разложением на множители Функционально графическим Введением новой переменной Дробно рациональные Уравнения, решаемые несколькими методами
Задание 2: Решить уравнение содержащее модуль, предварительно определив метод. а) б) Задание 3: =0 - при каких значениях параметра а число 1 находится между корнями квадратного уравнения -- при каких значениях параметра а уравнение имеет два положительных корня - при каких значениях параметра а уравнение имеет корни разных знаков. ПРИЛОЖЕНИЕ1: (раздаточный материал)
Теорема 1.
Пусть дан квадратный трехчлен f(x)=ax 2 +bx+c, a≠0, и некоторое действительное число d. Если для f(x) выполняются следующие условия: , то он имеет два действительных корня х 1 и х 2 , меньших числа d.
Теорема 2.
Пусть дан квадратный трехчлен f(x)=ax 2 +bx+c, a≠0, и некоторое действительное число d. Если для квадратного трехчлена f(x) выполняются следующие условия: , то он имеет два действительных корня х 1 и х 2 , больших числа d.
Следствие из Т. 1 и 2
Пусть даны два действительных числа d 1 и d 2 . Если для квадратного трехчлена f(x) выполняются следующие условия: , то он имеет два действительных корня х 1 и х 2 , принадлежащих промежутку (d 1 ;d 2 )
Теорема 3.
Пусть дано некоторое действительное число d. Если для квадратного трехчлена f(x) выполняется условие , то он имеет два действительных корня х 1 и х 2 , расположенных по разные стороны от числа d
Теорема 4.
Пусть даны два действительных числа d 1 и d 2 : d 1 < d 2 . Если для квадратного трехчлена f(x) выполняется условие , то квадратный трехчлен f(x) имеет два действительных корня, один из которых принадлежит промежутку (d 1 ;d 2 ), а другой не принадлежит промежутку [d 1 ;d 2 ] .
Теорема 5.
Пусть даны два действительных числа d 1 и d 2 : d 1 < d 2 . Если для квадратного трехчлена f(x) выполняются условия , то квадратный трехчлен f(x) имеет два действительных корня, один из которых меньше числа d 1 , а второй – больше числа d 2
Применяя теоремы 1-5, ученик может выписать только неравенства, следующие из
условий, не формулируя при этом сами теоремы. Дополняя геометрической
интерпретацией.
Методы решения уравнений.
Урок 1
Цели : 1. Классифицировать виды уравнений, методы решения уравнений Мето ды реше ния урав нени й Метод разложение на множители (Виды разложений) Метод введения новой переменной Функционально - графический метод (виды графиков) Метод решения дробно-рациональных уравнений (отбор корней, ОДЗ) Методы решения уравнений содержащих модуль Аналитически Графически Методы решения уравнений содержащих параметр Аналитически Графически II метод: «Метод введения новой переменной» Переменная, которую надо заменить, явно видна Создать ситуацию для замены переменной 1. (x – 5) 4 – 3(x - 5) 2 – 4 =0 2. 9 1 2 1 7 2 2 x x x x III метод: «Функционально – графический» (Работа интерактивной доской) Перед тем как решать уравнения, связанные с данным методом, проведем устную работу:
Задание
: к названию функции найти ее аналитическую запись, внести формулу в таблицу. Название функции Аналитическая запись Ф у н к ц и и и и х г р а ф и к и Линейная функция Прямая пропорциональность Квадратичная функция Обратная пропорциональность Арифметический квадратный корень Окружность Кубическая парабола y=ax 2 +bx+c; y=kx: y=x 3 ; y= x k ; y=kx+m; y= x ; x 2 +y 2 =r 2
Задание: Стрелками соединить аналитическую запись движения и его
описание.
Формула движения Описание движения Преобразование графиков f(x) + a Движение вдоль оси ОХ вправо f(x) - a Сжатие к оси ОУ f(x + a) Движение вдоль оси ОY вниз f(x - a) Движение вдоль оси ОY вверх - f(x) Симметрия относительно оси ОХ f( -x) Растяжение от оси ОУ k f(x), если k 0 Движение вдоль оси ОХ влево k f(x), если 0 k 1 Симметрия относительно оси OY Задание: с помощью графиков определите, между какими целыми числами находится корень уравнения x = 3 - 2 1 x. 4 вид. Дробно рациональные уравнения - общий вид - алгоритм решения - отбор корней с учетом ОДЗ Задание: 1) 1 2 2 12 3 6 2 x x x 2) 2 4 2 15 5 1 12 x x x x Домашнее задание: Сделать мини конспект по теме: «Способы разложения на множители», где для каждого способа привести пример из 2 части ГИА. Сборник Кузнецовой.
Урок 2
Проверка домашнего задания. (Мини конспекты с решенными примерами.) (обсуждение) Цель: Рассмотреть методы решения уравнений содержащих модуль. Методы аналитический графический Абсолютной величиной (модулем) целого числа а называют число, которое, по определению, равно самому числу если а≥0, и числу, противоположному а, если а‹0 |а| = Нахождение решения уравнения, используя взаимное расположение графиков функций, входящих в уравнение.
Урок 3
Цель: Рассмотреть методы решения уравнений содержащих параметры.
Задания в классе:
Пример 1
: При каких значениях параметра а, уравнение |х 2 -2ах|=1 имеет три различных корня? ( правила раскрытия модуля)
Пример 2
: Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение ||х| + a - 9| = а 2 имеет ровно 3 корня. Если таких значений а более одного, в ответе укажите их произведение. (использовать графический метод)
Пример 3
: Найти все значения параметра , при каждом из которых корни уравнения больше 3. ( теоремы из Приложения 1 )
Пример 4:
Найдите все значения x , которые удовлетворяют неравенству (2а-1)х 2 <(а+1)х +3а при любом значении параметра a , принадлежащем промежутку ( 1; 2 .
Домашнее задание:
1. Для каждого значения решите систему: 2. Найдите все значения , при каждом из которых уравнение имеет ровно два различных корня. 3. Найдите все значения , при каждом из которых уравнение не имеет корней 4. Найдите все значения , при каждом из которых система имеет единственное решение
Итоговый урок по теме «Методы решения уравнений»
Задание 1: Из общего набора уравнений выписать в таблицу по 3 примера. Решить по одному уравнению на каждый метод. Разложением на множители Функционально графическим Введением новой переменной Дробно рациональные Уравнения, решаемые несколькими методами
Задание 2: Решить уравнение содержащее модуль, предварительно определив метод. а) б) Задание 3: =0 - при каких значениях параметра а число 1 находится между корнями квадратного уравнения -- при каких значениях параметра а уравнение имеет два положительных корня - при каких значениях параметра а уравнение имеет корни разных знаков. ПРИЛОЖЕНИЕ1: (раздаточный материал)
Теорема 1.
Пусть дан квадратный трехчлен f(x)=ax 2 +bx+c, a≠0, и некоторое действительное число d. Если для f(x) выполняются следующие условия: , то он имеет два действительных корня х 1 и х 2 , меньших числа d.
Теорема 2.
Пусть дан квадратный трехчлен f(x)=ax 2 +bx+c, a≠0, и некоторое действительное число d. Если для квадратного трехчлена f(x) выполняются следующие условия: , то он имеет два действительных корня х 1 и х 2 , больших числа d.
Следствие из Т. 1 и 2
Пусть даны два действительных числа d 1 и d 2 . Если для квадратного трехчлена f(x) выполняются следующие условия: , то он имеет два действительных корня х 1 и х 2 , принадлежащих промежутку (d 1 ;d 2 )
Теорема 3.
Пусть дано некоторое действительное число d. Если для квадратного трехчлена f(x) выполняется условие , то он имеет два действительных корня х 1 и х 2 , расположенных по разные стороны от числа d
Теорема 4.
Пусть даны два действительных числа d 1 и d 2 : d 1 < d 2 . Если для квадратного трехчлена f(x) выполняется условие , то квадратный трехчлен f(x) имеет два действительных корня, один из которых принадлежит промежутку (d 1 ;d 2 ), а другой не принадлежит промежутку [d 1 ;d 2 ] .
Теорема 5.
Пусть даны два действительных числа d 1 и d 2 : d 1 < d 2 . Если для квадратного трехчлена f(x) выполняются условия , то квадратный трехчлен f(x) имеет два действительных корня, один из которых меньше числа d 1 , а второй – больше числа d 2
Применяя теоремы 1-5, ученик может выписать только неравенства, следующие из
условий, не формулируя при этом сами теоремы. Дополняя геометрической
интерпретацией.
В раздел основное общее образование