Технологическая карта урока по учебному предмету «Алгебра и начала анализа»в 10-м классе

на тему «Тригонометрические уравнения. Подготовка к ЕГЭ»

Тип урока

Урок обобщения и систематизации знаний по теме «Тригонометрические уравнения»

Авторы УМК

А.Г. Мордкович и др.

Цели урока

1)деятельностная —формирование способности учащихся к осуществлению контрольной функции;

2)образовательная

—

контроль

и

самоконтроль

изученных

понятий:

тригонометрическое

уравнение,

корень

уравнения,

область

допустимых значений уравнения и алгоритм решения уравнения;

3)развивающая—формирование ключевых компетенций: информационных, учебно-познавательных, ценностно-смысловых; развитие



навыков самоконтроля, адекватной самооценки;



умения рассуждать, делать выводы;



логического мышления, внимания, памяти;



математической речи учащихся.

Планируемы

образовательные

результаты

(личностные,

метапредметные,

предметные)

Предметные: уметь решать тригонометрические уравнения.

Личностные: уметь осуществлять самооценку на основе критерия успешности учебной деятельности; осознавать ответственность за

общее дело; понимать причины успеха/неуспеха в учебной деятельности.

Метапредметные: регулятивные-уметь

определять

и

формулировать

цель

на

уроке

с

помощью

учителя;

проговаривать

последовательность действий на уроке; работать по коллективно составленному плану, оценивать правильность выполнения действия

на

уровне

адекватной

ретроспективной

оценки;

планировать

свои

действия

в

соответствии

с

поставленной

задачей;

вносить

необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учета характера сделанных ошибок; высказывать

свое предположение; коммуникативные – уметь оформлять свои мысли в устной форме; слушать и понимать речь других; совместно

договариваться о правилах поведения и общения и следовать им; уметь выражать свои мысли с достаточной полнотой и точностью;

познавательные - уметь ориентироваться в своей системе знаний(уметь отличать новое от уже известного); добывать новые знания;

уметь

осознанно

и

произвольно

строить

речевые

высказывания;

самостоятельно

создавать

алгоритмы

деятельности;

строить

логическую цепочку рассуждений.

Оборудование

Интерактивная доска,

доска, компьютер, мультимедийный проектор, карточки с индивидуальными заданиями. Листы контроля и

бланки ответов.

Образовательные

ресурсы



Учебник, задачник



Презентация « Тригонометрические уравнения. Подготовка к ЕГЭ»

Этапы урока.

Задачи этапов

урока

Деятельность учителя

Задания для учащихся, выполнение которых приведет к

достижению запланированных результатов

Деятельность

учащихся

Планируемые результаты

личностные

метапредметные

1

2

3

4

5

6

Организационно

-

м

отивационный

.

Цель.

Сообщить тему,

цели урока и

способы

деятельности.

Создать

благоприятный

психологический

настрой на

работу.

Приветствие

учащихся.

Итак, сегодня мы

завершаем изучение

большой темы

«Тригонометрические

уравнения», которая

обязательно входит в

задания ЕГЭ, и цель

нашего урока –

повторить и

систематизировать

полученные знания

по данной теме и

подготовиться к

контрольной работе и

успешной сдаче

экзамена.

Приветствие

учителя

С

амоопределе

ние

.

Ц

елеполагание,

планирование

учебного

сотрудничества

с

учителем и

сверстниками

Актуализация

практических и

теоретических

знаний

.

Предлагает

повторить некоторые

теоретические

вопросы по данной

теме.

(фронтальный опрос,

работа с

презентацией).

Принимают

активное

участие в

беседе,

отвечают на

поставленные

вопросы

Осуществляют

самооценку

Контролируют

правильность

ответов

обучающихся;

осуществляют

решение

учебной задачи

Цель.

Повторить

теоретический

материал,

актуализировать

опорны

е

знания

и способы

деятельности

Задает вопросы:



Что значит

решить

уравнение?



Какие

основные

методы

решения

уравнений?



Что надо знать

для решения

тригонометрич

еских

уравнений?

Решить

уравнение-

значит найти его

корни или

доказать, что их

нет.

Основные

методы:

-метод

разложения на

множители;

-метод замены

переменной;

-функционально-

графический

метод;

-Решение

простейших

тригонометричес

ких уравнений;

-формулы

преобразования

тригонометричес

ких выражений;

-Табличные

значения

тригонометричес

ких функций

Соединить

вопрос с верным

ответом

под

руководством

учителя

Предлагает повторить

необходимые для

урока сведения. Для

каждого варианта -

задания на слайде,

продолжить каждую

запись. Время

выполнения 3

минуты.

1 вариант

2 вариант

2 πn , n

∈

Z

−

cos2 x

cos

2

x

π

4

+

πn, n

∈

Z

−

cos x

−

cos x

sin

π

4

=

√

2

2

1

2

0

Ответы 2

варианта

−

π

2

+

2 πn , n

∈

Z

1

2

sin 2 x

1

cos 2 x

−

tgx

−

cos x

π

+

2 πn , n

∈

Z

−

1

√

3

2

1 . cos x

=

1, x

=

2 . sin

2

x

−

cos

2

x

=

3 . 1

−

sin

2

х

=

4 . tgx

=

1, x

=

5 . cos

(

π

+

x

)=

6 . sin

(

x

−

π

2

)=

7 . 2sin

π

8

cos

π

8

=

8. cos

(−

π

3

)=

9. sin

(−

π

)=

1 . sin x

=−

1, x

=

2 . sin xcos x

=

3 . cos

2

2 x

+

sin

2

2 x

=

4 . cos

2

х

−

sin

2

х

=

5 . ctg

(

π

2

+

x

)=

6 . cos

(

x

+

π

)=

7 . cos x

=−

1, x

=

8. sin

(−

π

2

)=

9. cos

(−

π

6

)=

Решение

простейших

тригонометрическ

их уравнений

Цель.

Повторить на

практике форму

записи решения

простейших

тригонометрическ

их уравнений и

основные

формулы

преобразования.

Предлагает решить

простейшие

уравнения в 1-й части

экзаменационной

работы, без умения

решать их не

справиться с более

сложными

уравнениями

.

- Выбрать вариант

ответа и указать

применяемую

формулу.

—Какие формулы

надо применить,

чтобы свести

следующие уравнения

к простейшим?

Ответ1)

Частный

случай.

Ответ 4)

Формула

двойного угла

для косинуса

Формула для

синуса

разности

аргументов.

Ответ 1)

Формулы

приведения.

Ответ 1)

Основная

формула

1+tg²х=

Ответ 2)

Формула

двойного угла

Понимают

причины

успеха/

неуспеха

в учебной

деятельности

Определять

последовательн

ость действий

для достижения

результата;

Осуществлять

учебные

действия по

намеченному

плану

- С какими

затруднениями

встретились?

Как их разрешили?

для синуса.

Выносим

косинус за

скобки. В

скобках синус

равен 1,5, что

за границами

области

значений.

Ответ 4)

Ответ 2).

Разложим на

множители.

Для выбора

корней

воспользуемся

окружностью.

Р а б о т а

в

группах.

Цель:

Повторить виды

уравнений и

методы их

решения

К л а с с

р а з б и т

н а

г р у п п ы

и з

5 - 7

человек.

В

каждой

группе

есть

ученик

-консультант.

Предлагает:

- К а ж д о й

г р у п п е

несколько уравнений.

Необходимо,

е с л и

возможно,

определить:



вид уравнений

;



метод,

который будет

использоватьс

я

в

решении

этих

уравнений.

Решить

уравнения

одно - два из них (по

в ы б о р у

г р у п п ы )

записать

на

доске

и

прокомментировать

решение.

Какие преобразования

надо сделать, чтобы

перейти к простейшему

уравнению?

Осуществляет

индивидуальный

контроль

1

группа Уравнения, решаемые алгебраическими

методами

(методом

разложения

на

множители,

методом введения новой переменной).

а

)

. 6 cos

2

−

73 cos x

−

5

=

0

б

)

. 5 sin2 x-sin x

=

0

в

)

. tgx

+

5 ctgx

=

6

г

)

. cos x

+

cos2 x

=−

1

д

)

. cos 2 x

+

sin

2

x

+

sin x

=

0, 25

Учащиеся

решают

уравнения

сначала в

тетрадях.

Представители

групп решают

уравнения на

доске,

комментируя

свои действия.

Обязательно

называется

метод решения

1.а) заменить

на

а, где аЄ [-1;1];

б) формула

двойного угла

для синуса,

выносим

за скобки;

в) заменить

ctgx

на

Дают оценку

деятельности

по ее

результатам,

(самооценка,

оценивание

результатов

деятельности

товарищей)

Планировать

свое действие в

соответствии с

поставленной

задачей,

оформлять

решение.

- Анализируют

и оценивают

выполненную

работу.

tgx, учесть ОДЗ

и решить

квадратное

уравнение

относительно

тангенса.;

г) применить

формулу

двойного угла

для косинуса и

решить

квадратное

уравнение

относительно

косинуса;

д) ) применить

формулу

двойного угла

для косинуса и

решить

квадратное

уравнение

относительно

синуса.

Какие преобразования

надо сделать, чтобы

перейти к простейшему

уравнению?

Осуществляет

индивидуальный

контроль

2 группа Однородные уравнения и сводимые к

ним.

а

)

. sin x

−

cos x

=

0

б

)

. sin

2

x

−

2 sin x cos x

−

cos

2

x

=

2

в

)

. sin

2

x

−

2 sin x cos x

=

3cos

2

x

г

)

. cos

2

x

+

√

3 sin x cos x

=

0

3 группа Неоднородные уравнения.

а

)

.

√

3

2

cos x

−

1

2

sin x

=

1

б

)

.

√

3 sin 2 x

+

cos2 x

=

1

в

)

. 3 sin x

−

4 cos x

=

5

г

)

. sin x

+

√

3 cos x

=

√

2

2. Так как

синус и

косинус не

могут

одновременно

равняться 0, то

делим левую и

правую часть

уравнения : а)

на

;

б) сведем

уравнение к

однородному,

умножив 2 на

+

=1, затем

приводим

подобные

слагаемые и

делим на;

в) переносим

все слагаемые

в левую часть

Какие преобразования

надо сделать, чтобы

перейти к простейшему

уравнению?

Осуществляет

индивидуальный

контроль

Какие преобразования

надо сделать, чтобы

перейти к простейшему

уравнению?

Осуществляет

индивидуальный

контроль

4 группа Уравнения, решаемые при помощи

преобразований, на основе формул преобразования

сумм в произведение, произведения в сумму,

понижения степени

.

а

)

. cos x cos

π

5

−

sin x sin

6 π

5

=−

√

2

2

б

)

. cos5 x

+

sin 6 x

−

cos 7 x

=

0

в

)

. sin x

⋅

cos 5 x

=−

sin 4 x

г

)

. cos

2

x

+

cos

2

2 x

+

cos

2

3 x

=

1,5

д

)

. sin

3

x cos x

−

sin x cos

3

x

=

√

2

8

уравнения и

делим на;

г) выносим

за

скобку и

приравниваем

каждый

множитель к

нулю.

3.При решении

уравнений

применяем

метод введения

вспомогательн

ого аргумента.

4. Для решения

уравнений

сначала

применяем

формулы

преобразования

сумм в

произведение,

произведения в

сумму,

понижения

степени.

а) в левой

части

уравнения

косинус

разности

, формула

приведения

б) формула

разности

косинусов и

затем

разложении на

множители;

в) формула

произведения

синуса и

косинуса, затем

формула

суммы синусов

и равенство

нулю

произведения

двух функций;

г) формулы

понижения

степени, суммы

косинусов и

разложение на

множители.

Получим

произведение

равное нулю;

д) выносим за

скобки, в

скобке получим

,

а затем

получим

формулу

двойного

аргумента и в

левой части .

°

Самостоятельно

е

р е ш е н и е

уравнений.

Цель:

Аргументирован

н ы й

в ы б о р

формул

преобразования

л е в о й

ч а с т и

уравнения

для

его решения.

- Предлагает выбрать

для самостоятельного

Анализируют

уравнения ,

Осуществляю

т самооценку

на основе

-

Определять

последовательн

р е ш е н и я не

менее

трех

уравнений

из

подходящего

для

вас

столбика.

В

итоге

решения

выработать

р е ком е н д а ц и и

п о

решению

тригонометрических

уравнений. Для этого

ответьте на вопросы:

- Какие действия вы

предпринимаете, если

п р и

р е ш е н и и

уравнения:

а) функции разные, но

аргумент общий;

б )

а р г у м е н т ы

функций

отличаются

в 2 раза; в 4 раза; в)

есть функции одного

аргумента

степени

выше первой;

Уравнение на «3»

1)

4 sin x

−

sin 2 x

=

0

;

2)

2 tgx

−

2ctgx

=

3

;

3)

3 cos 2 x

=

7 sin x

4)

8sin

2

2 x

+

cos2 x

+

1

=

0

;

5)

2 sin

2

x

+

3 cos

2

x

+

2 sin x

=

0

;

6)

2 sin

2

x

−

5 sin x cos x

+

3 cos

2

x

=

0

;

7)

4 sin x cos

(

π

2

−

x

)

+

4 sin

(

π

+

x

)

cos x

+

+

2 sin

(

3 π

2

−

x

)

cos

(

π

+

x

)

=

1

Уравнения на «4»

1)

cos4 x

+

2 cos

2

x

=

1

;

2)

5

(

1

+

cos x

)

=

2

+

sin

4

x

−

cos

4

x

;

Производят

отбор

уравнений для

решения,

Решают

уравнения

Оформляют в

тетради

решение.

Предлагают

формулы

преобразования

.

Самостоятельн

о выбирают

уравнения для

решения

-

Для

и

применяем

формулы 2-го

аргумента.

Сводим

функции к

одному

аргументу.

критерия

успешности

учебной

деятельности

ость действий

для достижения

результата;

Выдвигать

версии,

определять

средства

решения

уравнений,

планировать

деятельность

г )

к о г д а

м о ж н о

п р и м е н и т ь

м е т о д

вспомогательного

аргумента;

д) когда применяем

преобразования, на

основе формул

преобразования сумм

в произведение,

произведения в

сумму, понижения

степени?

За уравнения :

1-го столбика-«3»,

2-го столбика- «4»,

3-го столбика-«5»

3)

cos x

−

cos3 x

=

sin 2 x

;

4)

cos 2 x cos 6 x

−

sin 2 x sin 6 x

=−

√

2 sin 3 x cos 8 x

;

5)

6)

sin 2 x

+

sin

(

π

−

8 x

)

=

√

2 cos3 x

.

Уравнения на «5»

1)

1

+

sin 2 x

=

(

cos 3 x

+

sin 3 x

)

2

;

2)

sin

4

x

+

cos

4

x

=

sin 2 x

−

1

2

;

3)

cos

2

3 x

+

cos

2

4 x

+

cos

2

5 x

=

3

2

;

4)

1

2

(

cos 5 x

+

cos 7 x

)

−

cos

2

2 x

+

sin

2

3 x

=

0

;

5)

sin 2 x sin 6 x

=

cos x cos3 x

;

6)

cos2 x

=

√

2

(

cos x

−

sin x

)

.

- Применяем

формулы

приведения,

чтобы перейти

к одному

аргументу.

-Уравнения

решаем при

помощи

преобразовани

й, на основе

формул

преобразования

сумм в

произведение,

произведения в

сумму.

- Уравнения

решаем при

помощи

преобразовани

й, на основе

формул

преобразования

сумм в

произведение,

произведения в

сумму,

понижения

степени.

Решая

уравнения,

учащиеся

выдвигают

рекомендации,

которые

понадобились

им при

решении

уравнений

Домашнее

задание.

Составить тест из 5-7

уравнений разной

степени сложности.

Предложить к тесту

ответы.

Осознание

необходимости

работы

Выбирают

задание из

предложенных

учителем с

учетом

индивидуальны

х возможностей

Рефлексия.

Подходит к концу

наш урок, мне

кажется, что

сегодня многие из вас

сделали хоть

маленькое открытие,

кто-то решил без

ошибок, для кого-то

стали яснее методы

решения

- Мне хотелось, чтобы

в ы

п р о д о л ж и л и

Проводят

самооценку

своей

деятельности

на уроке.

-Анализируют и

оценивают

выполненную

работу

- Дают оценку

деятельности

по ее

результатам

,

предложение:

«Сегодня

я

на

уроке

хорошо понял(а)…»

«Сегодня

на

уроке

д л я

м е н я

б ы л о

важным…»

Варианты:



Классификаци

я уравнений.



Методы

решения

уравнений



Б е з

о ш и б о к

решения



Решать

уравнения

для

успешной

сдачи ЕГЭ



Усердие



Внимание



Приводить

м ы с л и

в

порядок.

- Спасибо.

До свидания

Учащиеся дают

ответы,

подводя итог

урока.

До свидания

Резюме

В ходе данного урока был реализован системно деятельностный подход. Каждый этап урока имел мотивацию и требовал напряженного труда

учащихся.

Вопросы

учителя

требовали

от

учащихся

анализа

своих

действий

и

систематизации

умений

и

навыков

по

решению

тригонометрических уравнений. В итоге урока под руководством учителя, при активном участии учащихся, были выработаны рекомендации

по решению тригонометрических уравнений.

Методические особенности данного урока:



система заданий от простого к сложному способствовала эффективному накоплению собственного личного опыта учащихся;



предлагаемые задания были разноуровневыми, что способствовало самостоятельному планированию своей деятельности;



итогом урока стали совместно выработанные рекомендации.