Функция одной переменной. Линейная и квадратичная

функция.

З а в и с и мо с т и

од н о й

п е р е ме н н о й

от

д ру го й

н а з ы в а ю т с я

функциональными зависимостями.

Зависимость переменной y от переменной x называется функцией, если

каждому

значению x

соответствует

единственное

значение y.

При

этом

используют запись y=f(x).

Переменную x называют независимой переменной или аргументом, а

переменную y – зависимой переменной. Говорят, что y является функцией от

x.

Значение y,

соответствующее

заданному

значению x,

называют

значением функции.

Все значения, которые принимает независимая переменная, образует

область определения функции; все значения, которая принимает зависимая

переменная, образуют множество значений функции.

Для

функции f

приняты

обозначения: D ( f ) –

область

определения

функции, E(f) – множество значений функции, f(x

0

) – значение функции в

точке x

0

.

Наиболее часто встречающиеся области определения функции – это

промежуток и отрезок.

Промежутком

( и л и интервалом)

называется

совокупность

всех

вещественных

чисел x,

заключенных

между

данными

числами a

и b,

исключая сами числа a и b: a<x<b.

Отрезком

( и л и сегментом)

называется

совокупность

вс ех

вещественных чисел x, заключенных между данными числами a и b, включая

сами числа a и b: a



x



b.

Промежуток обозначают символом (a, b), а отрезок – символом [a, b].

Если D(f)



R и E(f)



R, то функцию называют числовой.

Элементы

множества D(f) также называют значениями аргумента, а

соответствующие им элементы E(f) – значениями функции.

Если функция задана формулой и область определения функции не

указана,

то

считают,

что

область

определения

состоит

из

всех

значений

независимой переменной, при которых эта формула имеет смысл.

Например, область определения функции, заданной формулой

3

2





x

y

,

состоит из всех чисел, кроме числа -3.

Графиком

функции

называется

множество

всех

точек,

абсциссы

которых

равны

значениям

аргумента,

а

ординаты

–

соответствующим

значениям функции.

Основными

элементарными

функциями

называются

следующие

функции:

1)

линейная функция y=kx+b, где k



R, b



R;

2)

квадратичная функция y=ax

2

+bx+c, гда a, b, c



R;

3)

степенная функция y=x

a

, где a



R;

1

4)

показательная функция y=a

x

, где a>0, a



1;

5)

логарифмическая функция y=log

a

x, где a>0, a



1;

6)

тригонометрические функции y=cos(x), y=sin(x), y=tg(x), y=ctg(x);

7)

обратные

тригонометрические

функции y=arcsin(x)

, y=arcos(x),

y=arctg(x), y=arcctg(x).

Элементарными функциями называются функции, получающиеся из

основных

элементарных

функций

с

помощью

четырех

арифметических

действий

и

суперпозиций

(т.е.

формирования

сложных

функций),

примененных конечное число раз.

Способы задания функции

1.

Функция может быть задана аналитически в виде формулы

y=f(x),

гд е x

–

элемент

множества

значений

аргумента,

а

переменная y – соответствующее значение функции.

2.

Функция f полностью определяется заданием множества пар

(x;

f(x)),

где x

принимает

все

значения

из D(f),

а f(x)

–

соответствующие значения функции.

3.

Функция может быть задана графически. Графиком функции

y=f(x)

называется

изображение

на

координатной

плоскости

множество пар {(x; y)|y=f(x), где x



D(f)}.

Замечание:

не

всякое

множество

точек

координатной

плоскости

является графиком некоторой функции.

4.

Для

того,

чтобы

множество

точек

координатной

плоскости

являлось

графиком

некоторой

функции,

необходимо

и

достаточно,

чтобы

любая

прямая,

параллельная

оси Oy,

пересекалась с указанным графиком не более чем в одной

точке.

Монотонность функции

Функция f(x)

называется возрастающей в интервале (a,

b), если для

любых

двух

точек x

1

и x

2

из

указанного

интервала,

удовлетворяющих

неравенству x

2

> x

1

выполняется неравенство f(x

2

)>f(x

1

).

Функция f(x)

называется убывающей

в

интервале

(a,

b),

если

для

любых

двух

точек x

1

и x

2

из

указанного

интервала,

удовлетворяющих

неравенству x

2

>x

1

выполняется неравенство f(x

2

)<f(x

1

).

Функция,

только

возрастающая

или

только

убывающая

на

данном

числовом промежутке, называется монотонной на этом промежутке.

Пример. Доказать, что функция, заданная формулой f(x)=3x

2

, где x



0,

возрастающая.

Р е ш е н и е .

П у с т ь x

2

>x

1

,

г д е x

2

> 0

и x

1



0 .

Т о г д а

0

)

)(

(

3

)

(

3

3

3

)

(

)

(

1

2

1

2

2

1

2

2

2

1

2

2

1

2



















x

x

x

x

x

x

x

x

x

f

x

f

.

2

Итак,

из

неравенства x

2

>x

1



0

следует

неравенство f(x

2

)>f(x

1

),

т.е.

большему

значению

аргумента x



D(f)

соответствует

большее

значение

функции. Следовательно, функция f(x) возрастающая на промежутке [0;



).

Минимум и максимум функции

Значение f(x

0

)

называется максимумом

функции f(x), если при любом

достаточно

малом h>0

выполняются

условия f(x

0

-h)<f(x

0

)

и f(x

0

+h)<f(x

0

).

Точка x

0

называется в этом случае точкой максимума функции f(x).

Значение f(x

0

)

называется минимумом

функции f(x), если при любом

достаточно

малом h>0

выполняются

условия f(x

0

-h)>f(x

0

)

и f(x

0

+h)>f(x

0

).

Точка x

0

называется в этом случае точкой минимума функции f(x).

Максимум или минимум функции называется экстремумом функции.

Точка максимума или минимума функции называется точкой ее экстремума.

Четные и нечетные функции

Функция y=f(x)

называется четной, если она обладает следующими

двумя свойствами:

1)

область

определения

этой

функции

с им м е т рич на

относительно точки О (т.е. если точка a принадлежит области

определения,

то

точка

–a

также

принадлежит

области

определения);

2)

для любого значения x, принадлежащего области определения

этой функции, выполняется равенство f(x)=f(-x).

Функция y=f(x) называется нечетной, если:

1)

область

определения

этой

функции

симметрична

относительно

точки О;

2)

для любого значения x, принадлежащего области определения этой

функции, выполняется равенство f(-x)=-f(x).

Замечание:

не

всякая

функция

является

четной

или

нечетной.

Например,

каждая

из

функций y=12x+1, y=x

4

+x,

y=(x+3)

2

не является ни

четной, ни нечетной.

Пример.

Доказать,

что

функция y=3x+1 не является ни четной, ни

нечетной.

Доказательство.

Областью

определения

данной

функции y=3x+1

является вся координатная прямая, т.е. условие 1 в определении четной и

нечетной

функций

выполнено.

Чтобы

доказать,

что

функция y=3x+1 не

является четной, мы должны доказать, что условие 2 в определении четной

функции не выполнено, т.е. что существует (хотя бы одно) значение x, для

которого f(x)



f(-x).

Возьмем x=1.

Возьмем f(1)=4,

а f(-1)=-2,

т.е. f(1)



f(-1).

Таким образом, функция f(x) не является четной. Аналогично, так как f(-1)



-

f(1), то функция y=3x+1 не является нечетной.

3

Периодические функции

Функция f называется периодической, если существует такое число T



0, что при любом x из области определения функции числа x-T и x+T также

принадлежат

этой

области

и

выполняется

равенство f(x)=f(x-T)=f(x+T). В

этом случае число T называется периодом функции f.

Если T – период функции, то Tk, где k



Z, k



0, также период функции.

Следовательно, всякая периодическая функция имеет бесконечное множество

периодов. На практике обычно рассматривают наименьший положительный

период.

Значения периодической функции через промежуток, равный периоду,

повторяются. Это обстоятельство используется при построении графиков.

Промежутки знакопостоянства и корни функции

Числовые промежутки, на которых функция сохраняет свой знак (т.е.

остается

положительной

или

отрицательной),

называются промежутками

знакопостоянства функции.

О промежутках знакопостоянства функции легко судить по ее графику.

Рассмотрим, например, функцию y=x:

Здесь f(x)>0

при x



R

+

,

f(x)<0

при x



R

-

. В первом случае график

расположен выше оси Ox, во втором – ниже ее.

Значения аргумента x



D(f), при которых f(x)=0, называются корнями

( и л и нулями)

функции.

Значения

аргумента,

при

которых

функция

обращается в нуль, - это абсциссы точек пересечения графика функции с

осью Ox.

4

Геометрические преобразования графиков функций

Если

известен

график

функции y=f(x),

то

с

помощью

некоторых

преобразований плоскости (параллельного переноса, осевой и центральной

симметрии и т.п.) можно построить графики более сложных функций.

1.

График функции f(bx) получается сжатием графика f(x) в b раз

к оси Oy при b>1 или растяжением в

b

1

раз от этой оси Oy при 0<b<1.

2.

График

функции f(x+c) получается параллельным переносом

графика f(x)

в

отрицательном

направлении

оси Ox

на

|c|

при c>0

и

в

положительном направлении на |c| при c<0.

3.

График

функции af(x)

получается

растяжением

графика f(x)

вдоль оси Oy в a раз при a>1 и сжатием вдоль этой оси в

a

1

раз при 0<a<1.

4.

График

функции f(x)+k получается параллельным переносом

графика f(x)

в

положительном

направлении

оси Oy

н а k

при k>0

и

в

отрицательном направлении этой оси на |k| при k<0.

5.

Гр а ф и к

ф у н к ц и и y=f(-x)

получается

симметричным

отображением графика f(x) относительно оси Oy.

6.

Гр а ф и к

ф у н к ц и и y=-f(x)

получается

симметричным

отображением графика f(x) относительно оси Ox.

7.

График функции y=|f(x)| получается из графика функции y=f(x)

следующим

образом:

часть

графика y=f(x),

лежащая

над

о сью Ox,

сохраняется, часть его, лежащая под осью Ox, отображается симметрично

относительно оси Ox.

8.

График функции y=f(|x|) получается из графика функции y=f(x)

следующим

образом:

при

0



x

график y=f(x)

сохраняется,

а

при x<0

полученная часть графика отображается симметрично относительно оси Oy.

Рассмотрим линейную и квадратичную функцию более подробно.

Линейная функция

5

Линейная функция задается формулой вида y=kx+b, где k, b – заданные

числа и k



R, b



R. График линейной функции – прямая. Число k называется

угловым коэффициентом прямой и равно тангенсу угла наклона прямой к оси

абсцисс. Число b – ордината точки пересечения графика с осью Oy.

Для построения графика линейной функции достаточно построить две

точки графика, а затем с помощью линейки провести прямую через эти

точки.

При b=0 график функции y=kx – прямая, проходящая через начало

координат.

Свойства линейной функции



Область определения: R.



Множество значений: R при k ≠ 0 и {b} при k=0.



Четность, нечетность при:

1)

k ≠ 0, b ≠ 0 функция общего вида (ни четная, ни нечетная);

2)

k ≠ 0, b = 0 функция нечетная; при k = 0, b ≠ 0 функция

четная;

3)

k = 0, b = 0 функция тождественно равна нулю и является

одновременно четной и нечетной.



Нули, если:

1)

k ≠ 0, то y = 0 при

k

b

x





;

2)

k = 0, b ≠ 0, то нулей нет;

3)

k = 0, b = 0, то y = 0 при x



R.



Промежутки знакопостоянства:

φ

A(x

1,

y

1

)

B(x

2,

y

2

)

x

y

O

k=tgφ

b

6

1)

k>0, то y>0 при

k

b

x





, y<0 при

k

b

x





;

2)

k<0, y>0 при

k

b

x





, y<0 при

k

b

x





;

3)

k=0, b>0, то y>0 при x



R;

4)

k=0, b<0, то y<0 при x



R;

5)

k=0, b=0, то y=0 при x



R;



Промежутки

монотонности:

функция

на

всей

области

определения

при k>0

возрастает;

при k<0

убывает;

при k=0

постоянна.



Экстремумов нет

В декартовой системе координат уравнение прямой, проходящей через

точки A(x

1

, y

1

) и B(x

2

, y

2

) имеет вид

1

2

1

2

2

1

1

2

1

2

x

x

x

y

x

y

x

x

x

y

y

y













Две прямые, заданные своими уравнениями y=k

1

x+b

1

и y=k

2

x+b

2

a)

параллельны



k

1

= k

2

, b

1

≠ b

2

;

b)

перпендикулярны



k

1

k

2

= - 1;

c)

совпадают



k

1

= k

2

, b

1

= b

2

.

Пример. Дана функция y=2x+6. Исследовать функцию и построить ее

график.

1)

Область определения R;

2)

Область значений R;

3)

Т.к. k ≠ 0, b ≠ 0 (k=2, b=6)функция общего вида (ни четная, ни

нечетная);

4)

Нули функции: т.к. k=2, то y=0 при

3

2

6













k

b

x

;

5)

Промежутки

знакопостоянства: k>0,

то y>0

при

3

2

6













k

b

x

,

y<0 при

3









k

b

x

6)

Промежутки монотонности: т.к. k>0, то функция возрастает на

всей области определения;

7)

Экстремумов нет.

8)

Построим график функции по двум точкам A(-3;0) и B(0;6)

7

Квадратичная функция

Квадратичная функция имеет вид y=ax

2

+bx+c, где a, b, c



R и a≠0.

График

квадратичной

функции

–

парабола.

Прямая

a

b

x

2





-

ось

симметрии

параболы.

Вершина

(x

0

;

y

0

)

имеет

координаты

a

b

x

2

0





,

a

b

ac

c

bx

x

a

x

y

y

4

4

)

(

)

(

2

0

2

0

0

0













.

Число D=b

2

-4ac – дискриминант. Точки пересечения параболы с осью

абсцисс являются корнями квадратного уравнения ax

2

+bx+c=0.

Свойства квадратичной функции

A(-3;0)

B(0;6)

y=2x+6

x

y

O

8



Область определения: R;



Множество значений:

















;

4a

D

при a>0;



















a

D

4

;

при a<0.



Четность, нечетность: при b=0 функция четная; при b≠0 функция

ни четная, ни нечетная.



Нули:

При D>0

два

нуля

a

D

b

x

2

1







и

a

D

b

x

2

2







;

при D=0

один ноль

a

b

x

2





; при D<0 нулей нет.



Промежутки знакопостоянства, если:

1)

a>0 , D>0 ,

т о y>0

п р и

)

;

(

)

;

(

2

1









x

x

x

,

y<0

при

)

;

(

2

1

x

x

x



;

2)

a>0, D=0, то y>0 при

)

;

(

)

;

(

1

1









x

x

x

;

3)

a>0, D<0, то y>0 при всех

R

x



;

4)

a<0

, D>0 ,

т о y>0

п р и

)

;

(

1

2

x

x

x



,

y<0

п р и

)

;

(

)

;

(

1

2









x

x

x

;

5)

a<0, D=0, то y<0 при

)

;

(

)

;

(

1

1









x

x

x

;

6)

a<0, D<0, то y<0 при всех

R

x



;



Промежутки

монотонности:

функция

при a>0

возрастает

на

















;

2a

b

,

убывает

на



















a

b

2

;

;

п р и a<0

возрастает

на



















a

b

2

;

, убывает на

















;

2a

b

.



Экстремумы: если a>0, то

a

D

y

4

min





при

a

b

x

2





; если a<0, то

a

D

y

4

max





при

a

b

x

2





.

Пример. Исследовать функцию y=2x

2

+3x-2 и построить ее график

1)

Область

определения

R

x



.

Найдем

вершину

параболы

4

3

2

2

3

2

0















a

b

x

,

8

1

3

2

4

3

)

2

(

2

4

2

0

















y

;

2)

Область значений:

















;

8

1

3

;

3)

Т.к. b≠0, то функция ни четная, ни нечетная;

4)

Нули: 2x

2

+3x-2=0

4

5

3

4

25

3

4

)

2

(

2

4

9

3

2

2

,

1

































a

D

b

x

2

4

5

3

1











x

,

2

1

4

5

3

2









x

5)

Промежутки

знакопостоянства: a>0 , D>0 ,

т о y>0

при

)

;

(

)

;

(

2

1









x

x

x

, y<0 при

)

;

(

2

1

x

x

x



;

6)

Функция возрастает на

















;

4

3

и убывает на



















4

3

;

7)

Функция имеет минимум

8

1

3

min





y

при

4

3





x

9

График функции построить самостоятельно.

10