Система работы учителя по подготовке к ЕГЭ

Учителя высшей категории Ульяновой Н.А.

Решение систем, содержащих два уравнения с двумя переменными второй степени весьма

трудная задача, но в некоторых случаях системы могут быть решены с помощью простых

и изящных приемов.

1.

Решить систему уравнений способом подстановки и графически.

Первый способ.

Решение:

(1)

- способом подстановки.

1) ху=-3;

2)

умножим обе части уравнения на

,получим:

пусть

и

0,тогда

по теореме, обратной теореме Виета, получим:

Если z =9,то

,

z =1, то

-3,-1,1,3 отличны от нуля, значит, они являются корнями уравнения

3) Если

то

то

то

то

Ответ:(3;-1), (-3;1), (-1;3), (1;-3)-решения системы (1).

Второй способ

- графическим способом.

Решение:

В одной системе координат построим графики уравнений:

и ху= -3.

-графиком этого уравнения является окружность с центром в точке (0;0) и

радиусом

.

В треугольнике АВС,

АВС =90°, АВ=1, ВС=3, АС=

.

Длину отрезка АС=

возьмем за радиус окружности

.

ху=3; у=

;

- графиком этого уравнения является гипербола, ветви которой

расположены во II и IV координатных углах.

х

-6

-3

-1

-0.5

0.5

1

3

6

у

0.5

1

3

6

-6

-3

-1

-0.5

Рисунок 1

Графики изображены на рисунке 1.

Графики

и

пересекаются в четырех точках (они обозначены буквами

А, В, С, Д), следовательно, данная система уравнений имеет четыре решения:

(3;-1), (-3;1), (-1;3), (1;-3).

Ответ: (3;-1), (-3;1), (-1;3), (1;-3).

Интересно заметить, что решения данной системы симметричны. Точки С и В и А и Д

симметричны относительно начала координат. Точки С и А и Д и В симметричны

относительно биссектрисы I и III координатных углов (прямой у=х), поэтому их

координаты “меняются местами”.

II. “Открытие” новых способов решения этой же системы.

Для решения этой системы есть более изящные и красивые способы.

Решить систему уравнений

Решение:

Третий способ

(1)

Система (1) “распадается” на две более простые системы:

(2)

(3)

Каждое решение системы (1) является решением хотя бы одной из систем (2) или (3).И

каждое решение системы (2) и (3) является решением системы (1).

Системы (2) и (3) является симметричными, решим каждую из них:

(1)

(2)

Пусть

и

корни уравнения

Пусть

и

корни уравнения

и

его корни,

Тогда (3;-1) и (-1;3)-

решения системы (1).

и

его корни,

Тогда (-3;1) и (1;-3)-

решения системы (2)

Для того чтобы понять содержательную сторону приведенного решения, обратимся к

графической иллюстрации. На рис.2 в одной системе координат показано графическое

решение систем.

Рисунок 2

и

Каждая прямая х+у =2 и х+у =-2 пересекает гиперболу ху=-3 в двух точках, а всего мы

имеем четыре точки пересечения (они обозначены буквами А, В, С, Д). Это те же точки,

которые получились при пересечение гиперболы и окружности (смотри рис.1).

Ответ: (3;-1), (-3;1), (-1;3), (1;-3).

Еще один способ решения данной системы

Решение:

Четвертый способ

Сложим почленно первое уравнение системы

сначала с уравнением 2ху=-6,а

затем с уравнением -2ху=6.Получим систему:

Из первого уравнения получаем, что

х+у=2 или х+у =-2.

Из второго уравнения получаем, что

х-у=4 или х-у=-4.

Рассматривая каждое уравнение первой строки совместно с каждым уравнение второй

строки приходим к четырем системам линейных уравнений:

Решив каждую из них получим следующие решения исходной системы:

(3;-1), (-3;1), (-1;3), (1;-3).

Решение проиллюстрировано графически на рис.3.

Рисунок 3

Теперь видно, что четыре прямые при попарном пересечении указывают те же самые

точки, которые получились при пересечении окружности и гиперболы (смотри рис.1).

Ответ: (3;-1), (-3;1), (-1;3), (1;-3).

И еще один из способов решения системы

Пятый способ

Данная система является симметричной и решается она очень красиво с помощью

введения новых переменных. Пусть

,

и учитывая, что

,получим:

Если u=-3, то

или

тогда получим:

и

Полученные системы тоже являются симметричными системами, которые мы уже решали.

Итак,(3;1), (-1;3), (-3;1),(1;-3)-решения данной системы.

Итак, рассмотрели пять различных способов решения одной и той же системы уравнений.

Каждый выбирает для себя способ, который ему больше всего понравится. Хочется

закончить словами Б.В.Гнеденко: “Ничто так не содействует усвоению предмета, как

действие с ним в разных ситуациях”.