Автор: Филиппова Татьяна Григорьевна
Должность: учитель математики
Учебное заведение: МБОУ "Томская СОШ"
Населённый пункт: п. Том, Ижемский район, Республика Коми
Наименование материала: Методическая разработка
Тема: Проектная и исследовательская деятельность в соответствии ФГОС
Раздел: полное образование
Приложение №1
Вавилонские клинописные таблички
Приложение №2
Египетский способ деления семи хлебов на 8 частей
Приложение №3
Задачи на аликвотные дроби
Задача №1
Старинная задача. Персидский крестьянин завещал трём своим сыновьям 17 вер-
блюдов, причём первый должен был получить 12 часть всех верблюдов, второй – 13 часть,
а третий – 19. Братья думали долго, но разделить наследство по завещанию отца так и не
смогли. Мимо на верблюде проезжал Ходжа Насреддин. Он предложил присоединить к
верблюдам ещё и своего и решить таким образом возникшую проблему. И действительно,
братья смогли разделить верблюдов так, как наказал отец, причём Ходжа Насреддин полу-
чил своего верблюда обратно. Сколько верблюдов досталось каждому сыну?
Решение.
1)
17118
+=
верблюдов всего;
2)
1
189
2
�
=
верблюдов получил первый сын;
3)
1
186
3
�
=
верблюдов получил второй сын;
4)
1
182
9
�
=
верблюдов получил третий сын;
5)
(
)
189621
-++=
верблюда вернули Ходже Насреддину.
Ответ . 9, 6, 2 верблюда.
Задача №2
Квадрат со стороной, равной 1, разделили пополам, затем одну его половину опять
разделили пополам, одну из получившихся половинок ещё раз разделили пополам и т.д.
(рис.1) Используя рисунок, докажите, что
111111
248163264
+++++
<
1
Рис.1
На сколько сумма аликвотных дробей, записанных в левой части неравенства, отли -
чается от 1?
Допустим теперь, что сумма в левой части неравенства, построенная по тому же за -
кону, содержит 100слагаемых. Будет ли неравенство по-прежнему верным?
Решение.
1111111
1
24816326464
��
-+++++=
��
��
.
Даже если сумма в левой части неравенства,
построенная по тому же закону, содержит 100слагае-
мых, неравенство по-прежнему будет верным.
Задача №3
Представьте в виде суммы аликвотных дробей следующую дробь:
а)
5
8
; б)
7
10
; в)
4
5
; г)
5
6
.
Решение.
а)
54111
88828
=+=+
; б)
75211
10101025
=+=+
; в)
4161042111
5202020202510
==++=++
; г)
53211
66623
=+=+
.
Ответ .
11
28
+
;
11
25
+
;
111
2510
++
.
Задача №4
Используя аликвотные дроби, покажите, как можно разделить три яблока между
четырьмя людьми, не разрезая каждое на 4 части.
Решение.
32111
44424
=+=+
.
Значит, два яблока надо разрезать на 2 части, а одно яблоко на 3 части.
Ответ. Каждому человеку достанется по половине и трети яблока.
Задача №5
Рассмотрите равенства:
311
424
=+
;
7111
8248
=++
;
151111
1624816
=+++
.
Подметьте закономерность и « сконструируйте» следующее равенство. Проверьте
себя, выполнив сложение дробей.
Решение.
Рассмотрим внимательно суммы аликвотных дробей:
311
424
=+
7111
8248
=++
151111
1624816
=+++
Знаменатели аликвотных дробей представляют собой степени числа 2: 2=2
1
,4= 2
2
,
8=2
3
,16=2
4
. Легко заметить, что следующий знаменатель 32=2
5
.
3111111
322481632
=++++
.
Ответ.
3111111
322481632
=++++
Задача № 6
Найдите значение суммы
11111111
612203042567290
+++++++
,
заменив каждое слагаемое разностью аликвотных дробей:
1111
62323
==-
�
,
1111
123434
==-
�
, … .
Решение.
11111111
612203042567290
+++++++
=
1111111111111111115142
233445566778899102101010105
-+-+-+-+-+-+-+-=-=-==
Ответ.
2
5
Задача №7
Не выполняя сложения дробей, объясните, почему верно равенство:
1111
4567
+++
>
1
2
.
Решение.
Чтобы доказать это равенство мы воспользовались кубиками из «Дома дробей».
На картинке видно, что длина дроби
1
2
меньше
1111
4567
+++
.
Приложение №4
Запись аликвотных дробей в виде десятичных
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
0,3
3
1
0,20
5
1
0,142857
7
1
0,1
9
1
0,09
11
1
0,076923
13
1
0,06
15
1
0,58823529...
17
1
0,05263157894...
19
1
0,047619
21
1
0,04347826086...
23
1
0,040
25
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
0,037
27
1
0,03448275862...
29
1
0,03225806451...
31
1
0,03
33
1
0,0285714
35
1
0,027
37
1
0,025641
39
1
0,02439
41
1
0,02325581395...
43
1
0,02
45
1
0,02127659574...
47
1
0,02040816326...
49
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
(
)
(
)
(
)
1
0,0196078313...
51
1
0,018867922452...
53
1
0,018
55
1
0,01754385964...
57
1
0,01694915254...
59
1
0,01639344262...
61
1
0,015873
63
1
0,0153846
65
1
0,01492537313...
67
1
0,01449275362...
69
1
0,01408450704...
71
1
0,
73
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
(
)
01369863
(
)
(
)
(
)
(
)
1
0,013
75
1
0,01287
77
1
0,01265822784...
79
1
0,012345679
81
1
0,01204819277...
83
1
0,01176470588...
85
1
0,01123595505...
87
1
0,01123595505...
89
1
0,010989
91
1
0,01075268817...
93
1
0,01052631578...
95
1
0,0103092
97
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
(
)
7835...
1
0,01
99
=
Приложение №5
Аликвотные дроби в цвете
1
2
0,5000...
(
)
0,50
1
3
0,333333...
(
)
0,3
1
4
0,25000...
(
)
0,250
1
5
0,2000
…
(
)
0,20
1
6
0,1666
…
(
)
0,16
1
7
0,142857142857
(
)
0,142857
1
8
0,1250000
…
(
)
0,1250
1
9
0,11111...
(
)
0,1
1
10
0,1000...
(
)
0,10
1
11
0,090909...
(
)
0,09
1
12
0,0833333...
(
)
0,83
1
13
0,
076923
076923
…
(
)
0,076923
1
14
0,00714285714285...
(
)
0,00714285
1
15
0.06666
(
)
0,06
1
16
0,0625000...
(
)
0,06250
1
17
0,58823529...
0,58823529...
1
18
0,05555...
(
)
0,05
1
19
0,05263157894...
0,05263157894...
1
20
0,05000...
(
)
0,050
1
21
0,
047619
047619
…
(
)
0,047619
1
22
0,04545...
(
)
0,45
1
23
0,04347826086...
0,04347826086...
1
24
0,0416666...
(
)
0,0416
1
25
0,04
(
)
0,040
Голубой цвет – период дроби равен нулю
Красный цвет - бесконечная десятичная периодическая дробь
Светло – розовый цвет – одна цифра в периоде
Жёлтый цвет – 6 цифр в периоде
Фиолетовый цвет – 2 цифры в периоде