Иванова Т.А., учитель математики

Г.Санкт-Петербург, ГБОУ СОШ №12

*

Метод математической

индукции

в школе

*

Метод математической индукции можно сравнить с

прогрессом. Мы начинаем с низшего, в результате

логического

мышления

приходим

к

высшему.

Человек всегда стремился к прогрессу, к умению

развивать

свою

мысль

логически,

а

значит,

сама

природа предначертала ему размышлять индуктивно

и

подкреплять

свою

мысль

доказательством,

п р о в е д ё н н ы м

п о

в с е м

п р а в и л а м

л о г и к и .

В настоящее время выросла область применения

метода математической индукции, но в школьной

программе ему, к сожалению, отводится мало

времени. А ведь это так важно - уметь размышлять

индуктивно.

*

Индукция – метод рассуждения, ведущий от частных примеров к

некоторому общему выводу (индукция – латинское слово, означающее

«наведение»).

Метод индукции в самом общем смысле состоит в переходе от

частных формулировок к формулировке универсальной.

Метод математической индукции применяется, когда хотят доказать,

что некоторое утверждение справедливо для всех натуральных чисел.

Математическая индукция— один из важнейших методов

доказательства в математике, основанный на аксиоме

(принципе) математической индукции.

*

Аксиома математической индукции

формулируется так:

1.Проверяется справедливость некоторого

утверждения при n = р

0

.

2.Предполагается, что это утверждение

верно при n = к, к ≥ р

0

.

3.Доказывается, что утверждение верно

при n=k+1.

Говоря об индукции вообще (т. е. не только в

математике), различают полную и неполную

индукцию.

Полная индукция — это умозаключение, в

котором на основе принадлежности каждому

элементу или каждой части класса

определенного признака делают вывод о его

принадлежности классу в целом.

Неполная индукция — это умозаключение, в

котором на основе принадлежности признака

некоторым элементам или частям класса делают

вывод о его принадлежности классу в целом.

*

Доказать, что 1+3+5+…+(2n-1)=n

2

.

Доказательство:

1.

Имеем n=1=1

2

. Следовательно, утверждение верно при n=1.

2.

Пусть k-любое натуральное число и пусть утверждение справедливо для n=k, т.е.

1+3+5+…+(2k-1)=k

2

.

Докажем, что тогда утверждение справедливо и для следующего натурального числа

n=k+1, т.е. что 1+3+5+…+(2k+1)=(k+1)

2

.

1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k

2

+(2k+1)=(k+1)

2

.

Итак, утверждение

1+3+5+…+(2n-1)=n

2

истинно для любого натурального

n

.

*

Задача

Доказать, что

при n



2.

19

)

8

7

(

3

2







n

n

Доказательство:

1. Проверим верность утверждения при n=2.

Следовательно, утверждение верно при n=2.

2. Пусть утверждение справедливо для n=k>2, т.е.

Докажем истинность утверждения для n=k+1, т.е. что

Итак, утверждение

истинно для любого натурального

n≥2

.

.

19

)

8

7

(

3

2







k

k

.

3

19

57

,

57

8

7

3

2

2

2













.

19

)

8

7

(

3

)

1

(

2

1











k

k





57

8

8

7

7

57

8

7

8

7

7

64

8

7

7

8

7

7

8

7

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

2

3

)

1

(

2

1



























































k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

19



19



*

Достоинством метода математической

индукции является его универсальность, так

как с помощью этого метода можно решить

многие задачи. А недостатком неполной

индукции является то, что порой она

приводит к ошибочным выводам.

Обобщив и систематизировав знания по

математической индукции, убедилась в

необходимости знаний по теме «Метод

математической индукции» в реальной

действительности. Кроме того, эти знания

повышают интерес к математике, как к науке.