Решаем текстовые задачи с удовольствием!

Математика проникает почти во все области деятельности человека, что положительно

сказывается на темпе роста научно-технического прогресса. Чтобы поступить в

технические ВУЗы, учащиеся должны успешно сдать экзамены. Математика является

одним из обязательных предметов при сдаче ОГЭ и ЕГЭ. Текстовые задачи включены в

варианты экзаменов, но рассматриваются они в основной школе недостаточно глубоко.

Со временем приобретѐнные знания и навыки при решении сюжетных задач теряются.

Исходя из этого, при подготовке к экзаменам необходимо рассмотреть классификацию

этих задач, систематизировать их и ликвидировать пробелы в знаниях учащихся.

Текстовые задачи можно условно классифицировать по типам:

I) Задачи на движение

1. Движение по прямолинейной трассе.

Основная формула s=vt, где s-путь, v-скорость, t-время. При решении задач на движение

при необходимости можно нарисовать схему, обязательно заполнить таблицу. При

заполнении таблицы пользуются правилом: одну из колонок таблицы заполняют

числовыми данными, в другой колонке появляются переменные, а третью колонку

заполняют, используя формулу. Особое внимание следует обратить на единицы

измерения. После того, как получен ответ, необходимо проверить его соответствие

условию задачи.

Пример: Из пункта А в пункт В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал

с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью

54 км/ч, а вторую половину пути- со скоростью на 7,5 км/ч большей скорости первого, в

результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите

скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

s

v(км/ч)

t(ч)

I автомобиль

1

х

II автомобиль

1/2

54

1/2

х+7,5

Весь путь можно принять за 1. Учитывая, что автомобили выехали и прибыли

одновременно составляем уравнение:

=

+

Решая уравнение, получаем, что

=60,

= - 9. За х км/ч принимали скорость первого

автомобиля, поэтому -9 не удовлетворяет условию задачи. В ответ нужно записать

скорость первого автомобиля.

Ответ: 60 км/ч.

2. Движение по круговой трассе.

Пример: Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 55 кругов по кольцевой

трассе протяженностью 3 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый

пришел раньше второго на 10 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика

(в км/ч), если известно, первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 20

минут?

10 минут =

ч=

ч; 20 минут =

ч=

ч; длина всей трассы 55·3=165 км

s(км)

v(км/ч)

t(ч)

s(км)

v(км/ч)

t(ч)

I

165

х

х

х

II

165

у

у

у

Составим систему двух уравнений с двумя переменными. Учитывая, что по условию

задачи стартовали гонщики одновременно, а на финиш первый пришел раньше второго на

10 минут, то

на

часа, а, из того, что первый гонщик в первый раз обогнал

второго на круг через 20 минут, можно сделать вывод, что

на 3 км.

–

=

х -

= 3

Решая систему уравнений с двумя неизвестными, получаем пары чисел (-90; -99); (99;90).

За х км/ч и у км/ч принимали скорости первого и второго гонщика соответственно,

поэтому пара (-90;-99) не удовлетворяет условию задачи. В ответ нужно выписать

скорость второго гонщика.

Ответ: 90 км/ч.

3. Движение по реке (с учетом течения реки)

=

+

=

-

Пример: Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 221 км и после

стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения реки, если скорость

теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч, стоянка длится 7 часов, а в пункт

отправления теплоход возвращается через 37 часов после отплытия из него. Ответ дайте в

км/ч.

Пусть х км/ч- скорость течения реки.

s(км)

v(км/ч)

t(ч)

по течению реки

221

15+х

против течения реки

221

15-х

По условию задачи стоянка теплохода длится 7 часов, обратно теплоход возвращается

через 37 часов, следовательно:

+7=37

=30

Решая уравнение, получаем, что

= -2,

=2. За х км/ч принимали скорость течения реки,

поэтому -2 не удовлетворяет условию задачи. В ответ нужно выписать скорость течения

реки.

Ответ: 2 км/ч.

4. Относительность движения

В задачах такого типа рассматривается движение одного объекта относительно другого.

Движение поездов относительно друг друга, поезда относительно платформы или

тоннеля. Можно выделить движение навстречу и движение вдогонку.

Движение навстречу:

+

=

+

)t

Движение вдогонку:

+

=

-

)t, где

Пример: По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют

пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 80 км/ч и 50

км/ч. Длина товарного поезда 1100 метров. Найдите длину пассажирского поезда, если

время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 3 минуты 6 секунд. Ответ

дайте в метрах.

Пусть длина пассажирского поезда - х метров.

Целесообразно вычислить отдельно

-

=80-50=30 (км/ч)=

(м/c)=

(м/c)

t= 3 минуты 6 скунд=186 секунд

Подставим в формулу: 1100+х=

186

Решая уравнение, получаем х = 450 метров, что соответствует условию задачи.

Ответ: 450 метров.

5. Средняя скорость движения

=

, где s-весь путь, t- все время движения

s =

+ …; t =

+ …

Пример: Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, вторую треть - со

скоростью 90 км/ч, а последнюю – со скоростью 72 км/ч. Найдите среднюю скорость

автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Весь путь можно принять за 1.

: 90=

;

: 60=

;

: 72=

(ч)

t =

=

=

=

:

= 72 (км/ч)

Ответ: 72 км/ч.

II) Задачи на работу

1. Работа

Основная формула А=vt, где А-работа, v-производительность (скорость работы), t- время.

Пример: Партию из 168 деталей первый рабочий изготавливает на 2 часа быстрее, чем

второй. Сколько деталей в час изготавливает первый рабочий, если известно, что он за час

делает на 2 детали больше.

A (дет.)

v(дет/ч)

t(ч)

I

168

х+2

II

168

х

По условию задачи первый рабочий изготавливает детали на 2 часа быстрее, чем второй,

следовательно,

на 2 часа.

-

= 2, обе части уравнения можно разделить на 2

-

=1

Решая уравнение, получаем, что

=12,

= - 14. За х дет/ч принимали

производительность второго рабочего, поэтому -14 не удовлетворяет условию задачи. В

ответ нужно выписать производительность первого рабочего, поэтому 12+2=14 (дет/ч).

Ответ: 14 дет/ч

2. Совместная работа

=

+

+…

Пример: Обе трубы наполняют бассейн за 6 часов, а первая труба – за 10 часов. За сколько

часов наполнит бассейн вторая труба?

A

v(л/ч)

t(ч)

I

1

10

II

1

х

вместе

1

6

Объем бассейна можно принять за 1. Используя формулу скорости для совместной

работы, составляем уравнение.

Решая уравнение, получаем х=15 часов, что соответствует условию задачи. В ответ нужно

выписать время работы второй трубы.

Ответ: 15 часов

III) Задачи на проценты

1. Проценты

Пример: Три брата решили купить новый телевизор и положили в копилку некоторые

суммы денег. Если бы первый положил в копилку сумму в 1,5 раза больше, то сумма в

копилке увеличилась бы на 19%. Если бы третий брат уменьшил свой вклад в 5 раз, то

сумма в копилке сократилась бы на 20%. Сколько процентов от общего вклада составляет

сумма, вложенная вторым братом?

Пусть х %, у %, z % - суммы денег, внесенные соответственно первым, вторым и третьим

братьями. Составим три уравнения с тремя неизвестными.

х + у + z = 100

1,5х + у + z = 100+19

х + у +

= 100-20

Решая систему уравнений, получаем х=38%, у=37%, z=25%, что соответствует условию

задачи.

В

ответ

нужно

выписать

количество

процентов

от

общего

вклада,

которое

составляет сумма, вложенная вторым братом.

Ответ: 37%.

2. Сложные проценты

S=

, где

- первоначальная величина, S- значение величины после

-ого

увеличения или снижения на р%.

Пример: Цена телевизора в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число

процентов

от

предыдущей

цены.

Определите,

на

сколько

процентов

каждый

год

уменьшается цена телевизора, если он был выставлен на продажу за 103 680 рублей, а

через 2 года был продан за 58 320 рублей?

Подставляем в формулу данные условия задачи:

58 320=103 680

, где р - неизвестная величина (в %)

Решая уравнение, получаем

=25,

= 175. За р% принимали уменьшение процентов от

предыдущей

цены,

поэтому

175

не

удовлетворяет

условию

задачи.

В

ответ

нужно

выписать - на сколько % каждый год уменьшается цена телевизора.

Ответ: 25%.

3. Смеси. Сплавы. Растворы.

+

=

+

1% =

Чтобы найти дробь от числа, нужно число умножить на данную дробь.

Если добавляется чистое вещество, то по нему задачу решать нельзя, нужно перейти к

другому элементу.

Пример: Имеются два сплава. Первый содержит 15% меди, второй -20% меди. Из двух

сплавов получили третий сплав массой 300 кг,

содержащий 18% меди. На сколько

килограммов масса второго сплава была больше массы первого?

+

=

х кг (300-х) кг 300 кг

х+

=

· 300

Решая уравнение, получаем х=120 кг, что соответствует условию задачи. Чтобы ответить

на вопрос задачи нужно 300-120=180 (кг), 180-120=60 (кг).

Ответ: 60 кг

Пример: Вишня содержит 89% влаги, а высушенная вишня 12%. Сколько килограммов

вишни требуется для получения 15 килограммов высушенной?

-

=

х кг вода 15 кг

Так как при сушке уходит чистая вода, то по воде задачу решать нельзя. Нужно перейти к

другому элементу (волокну, наполняющему вишню).

100-89=11 (%), 100-12=88 (%)

11%

-

=

88%

х кг вода 15 кг

х =

·15

Решая уравнение, получаем х=120 кг, что соответствует условию задачи.

Ответ: 120 кг

IV) Задачи на арифметическую прогрессию

=

+ d (n-1)

=

n

Пример:

Бригада

каменщиков

выкладывает

забор

длиной

280

метров,

ежедневно

увеличивая норму кладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый и

последний день в сумме бригада выложила 70 метров забора. Определите, за сколько дней

бригада каменщиков выложила весь забор.

То, что задача на арифметическую прогрессию, указывают слова о том, ежедневно норма

кладки увеличивается на одно и то же число метров.

=280,

+

=70.

Подставляем в формулу суммы арифметической прогрессии:

n=280, отсюда

n=8, что соответствует

условию задачи. В ответ нужно выписать

количество дней работы бригады каменщиков.

Ответ: 8 дней

Таким образом, систематизируя данный учебный материал, можно помочь учащимся

успешно подготовиться к экзаменам. Выстроенная вместе с выпускниками логическая

цепочка рассуждений, позволяющая составить математическую модель задачи, подводит

учащихся к решению текстовой и получению правильного ответа.

Список литературы:

1)

Математика.

Подготовка

к

ЕГЭ-2017.

Профильный

уровень.

40

тренировочных

вариантов по демоверсии 2017 года: учебно-методическое пособие/ под редакцией Ф.Ф.

Лысенко. С.Ю. Кулабухова. – Ростов -на- Дону: Легион, 2016, - 384 с.

2)

Математика.

Подготовка

к

ЕГЭ-2019.

Профильный

уровень.

40

тренировочных

вариантов по демоверсии 2019 года: учебно-методическое пособие/ под редакцией Ф.Ф.

Лысенко. С.Ю. Кулабухова. – Ростов -на- Дону: Легион, 2018, - 432 с.