МБОУ « СОШ п. Новопушкинское» Энгельсского района

Учитель:

Харитонова Т.Е.

Предмет: алгебра и начала анализа

Класс» 10, общеобразовательный.

Учебник: « Алгебра и начала анализа 10-11» под ред. А.Н. Колмогорова

Тема:

Решение неравенств методом интервалов

Тип урока: урок закрепления и совершенствования знаний

Цели урока:



совершенствовать навыки применения метода интервалов при решении неравенств;



показать учащимся возможность применения метода интервалов при решении

неравенств различной сложности;



развитие навыков логического мышления, умения анализировать, преодолевать

трудности при решении математических задач, навыков самоконтроля, умения

пользоваться опорными знаниями для их применения в новой ситуации;



формирование навыков культуры общения, самостоятельности;



воспитывать ответственное отношение к учебному труду.

Ход урока

1.

Организационный момент

Предварительная организация класса, психологический настрой учащихся.

2.Постановка целей урока

(фронтальная работа с классом)

Задание: Найти область определения функции y =

√

x

2

+

x

+

2

49

−

x

2

.

-Что называется областью определения функции?

-При каких значениях аргумента данная функция существует?

-Как найти эти значения?

Таким образом, задача сводится к решению неравенства

x

2

+

x

+

2

49

−

x

2

≥0

-Как можно решить данное неравенство?

Рассмотреть различные варианты ответов учащихся. Остановить внимание на

применении метода интервалов. Повторить алгоритм решения неравенств методом

интервалов, без записи в тетрадях, устно.

1.Рассмотрим функцию f(х) =

х

2

+

х

+

2

49

−

х

2.Область определения функции D(f) = [-7;7]

3.Нули функции: х

2

+х+2 = 0, D<0. Как же быть ? Что делать дальше?

Если учащиеся не предложили верного решения, то с помощью наводящих вопросов

помочь им найти выход из создавшегося затруднения и подвести их к тому, что на этот

трехчлен можно разделить обе части неравенства, сохраняя знак неравенства.

Тогда решение исходного неравенства можно свести к более простому:

1

(

7

−

х

)

(

7

+

х

)

≥ 0

Так какова же область определения функции?

После завершения этого задания предложить учащимся самим сформулировать задачи

и цели урока.

Учителю обобщить предложенные варианты.

Значит, наша задача сегодня продолжить применение метода интервалов при решении

неравенств различной сложности, проверить можно ли данное упрощение

использовать при решении других неравенств.

3.Проверка домашнего задания .

У доски работают 3 учащихся (домашнее задание проверяется выборочно)

Задание: Решить неравенство.

а) х

2

(3-х)(х+2)>0

б)

x

2

−

3 х

−

4

х

−

4

≤ 0

в) (х-4) │5-3х│<0

4.Актуализация опорных знаний и умений учащихся

Работа выполняется одновременно с проверкой д/з

Цель: Вспомнить алгоритм решения неравенств методом интервалов и применить его

при решении следующих упражнений.

1) Назовите нули функции

а) f(х)= (х+3)(х-2)

б) f(х)=х

2

(х-8)

в) f(х)=(х-3)(х+1)(2-х)

г) f(х)=(7-х)(х-4)

2

2) Выберите те неравенства, при решении которых можно встретить соседние

интервалы с одинаковыми знаками.

Что заметили? (в корнях четной степени смена знака не произошла).

Всегда ли чередуются знаки функции на промежутках? Отчего это зависит?

(Нет, не всегда, это зависит от кратности корней, которые получаются в процессе

решения неравенства)

В дальнейшем мы проверим, подтвердиться ли это наблюдение при решении других

неравенств.

3) Решить неравенство: х

3

≤ х

Учащиеся предлагают применить метод интервалов. Устно, по заготовленному на

доске рисунку, находят решение данного неравенства: (-∞; -1]U[0; 1]

А я предлагаю такое решение (записано заранее на закрытой доске)

х

3

≤ х , (разделю обе части уравнения на х)

х

2

≤ 1

х

2

-1 ≤ 0

(х-1)(х+1) ≤ 0, х=1, х=-1

+

-

+

х

-1 1

Ответ: [-1;1]

Что не так? Предложить учащимся самим найти причину, по которой получили

разные решения.

Чаще всего учащиеся замечают, что при сокращении теряется одно из решений х=0. В

этом случае напомнить ,что х может быть любым числом как положительным, так и

отрицательным. И неравенство х

2

≤ 1 не эквивалентно неравенству х

2

≤ х. Таким

образом ,метод «сокращения» в данном случае не подходит. Давайте проверим ,в

каких случаях можно пользоваться сокращением. Рассмотреть решение примера из

домашнего задания : х

2

(3-х)(х+2)>0

Таким образом, и этот вопрос требует подтверждения, поэтому переходим к

следующему заданию.

5. Самостоятельная работа исследовательского характера

(работа по

группам)

В процессе решения учащиеся полученные результаты записывают в таблицу (каждый

учащийся получает задание на индивидуальных карточках).

Провести исследование при решении неравенств: проанализируйте смену знаков в

корнях различной кратности и возможность «сокращения». Сделайте выводы.

Задание для первой группы

Неравенство

Область

определения

Нули функции.

Схема и знаки.

Ответ

(х

2

+2)(3-х)

2

(7-х)(х+5)

3

≥0

(

х

−

3

)

2

(

х

−

2

)

х

3

(

х

+

1

)

4

(

х

+

5

)

>

0

(

х

2

−

4 х

+

6

)

(

х

−

2

) (

х

−

3

)

(

х

−

1

)

4

(

х

−

2

)

2

<

0

Задание для второй группы.

Неравенство

Область

определения

Нули функции.

Схема и знаки

Ответ

(2-х)(11+х)

3

(7-х)

4

(3-х)

6

≥0

(

х

−

1

)(

х

+

5

)

3

х

(

х

+

5

)

(

2

−

х

)

≥ 0

(

х

2

−

4 х

+

6

)

(

х

−

2

) (

х

−

3

)

(

х

−

1

)

4

(

х

−

2

)

2

<

0

Учащиеся обсуждают возникающие проблемы с членами своей группы, обращаются

по необходимости за помощью к учителю.

6.Проверка самостоятельной работы

Предусмотрена самопроверка и оценивание работы каждой группой. В случае

неправильного решения какого-либо неравенства ученик может воспользоваться

Листом верно выполненных заданий (Приложения 1 и2), исправляет ошибки,

письменные работы сдаются на проверку учителю.

От каждой группы у доски работают по два ученика – решить задания №2 и№3

Проверка и обсуждение полученных результатов.

Выводы:

- выражение, стоящее в четной степени не влияет на знак неравенства, но влияет на

решение и отбрасывать его нельзя без дополнительных ограничений.

- в корнях четной кратности смена знаков не произошла, а в корнях нечетной степени

кратности - знак меняется.

Проверить полученные выводы при решении неравенств из домашней работы.

Цель: качественная и количественная самооценка деятельности ученика при

выполнении самостоятельной работы

Критерии оценивания: «5» минус количество невыполненных заданий.

7.Формирование новых знаний

Подробно разобрать решение необязательного задания № 135 (в) ( решение неравенств

с модулем)

Рассмотреть разные способы решения неравенств с модулем, которые смогли

предложить учащиеся (по определению модуля, методом интервалов)

Предложить еще один. (х-4)|5-3х|<0

х – 4 <0

х<4 х

5-3Х≠0 х≠

5

3

5

3

4

Ответ: (-∞;

5

3

)U(

5

3

;4).

Данное решение основано на равносильности неравенств с модулем.

8.Домашнее задание

( предусматривает уровневую дифференциацию)

1уровень - задания репродуктивного характера .Тренажер Приложение 3.

2уровень- №249

Необязательное задание: №249 (б), №134(б), №135 (б)

Учащиеся сами определяют уровень своего домашнего задания в зависимости от

подготовленности по данной теме.

9.Подведение итогов. Рефлексия.

Чему вы научились на уроке?

Кому было неинтересно?

Какие возникли трудности?

Ваши пожелания.

Цель: самоанализ успехов и неудач учащихся на уроке.

Рассматриваются способы преодоления проблем и трудностей. Оценивание всей

работы учащихся на уроке.