Алексеенко

Яна Михайловна

Все о четырехугольниках

Все о четырехугольниках

Решение задач

Решение задач

Параллелограмм

Параллелограмм

Параллелограмм

Параллелограмм – это четырехугольник,

у которого противолежащие стороны

параллельны

Свойства

Свойства

параллелограмма

параллелограмма

1.

1. Противолежащие стороны параллелограмма равны

2.

2. Противолежащие углы параллелограмма равны

3.

3. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой

пересечения делятся пополам

Утверждения, обратные свойствам

1-3

1-3, являются

признаками параллелограмма, т.е.

•

если противолежащие стороны четырёхугольника

равны, то этот четырёхугольник -

параллелограмм

параллелограмм

Свойства параллелограмма

Свойства параллелограмма

4

4. Сумма квадратов диагоналей

параллелограмма равна удвоенной

сумме квадратов его сторон.

т.е.

)

(

2

2

2

2

2

2

1

b

a

d

d







d

d

1

1

d

d

2

2

а

а

в

в

Прямоугольник, ромб, квадрат

Прямоугольник, ромб, квадрат

Прямоугольник

Прямоугольник - это параллелограмм, у

которого все углы прямые

Ромб

Ромб – это параллелограмм, у которого

все стороны равны.

Квадрат

Квадрат – это прямоугольник, у которого

все стороны равны.

Квадрат

Квадрат – это ромб, у которого все углы

прямые.

Свойства прямоугольника,

Свойства прямоугольника,

ромба и квадрата

ромба и квадрата

1.

1. Диагонали прямоугольника равны.

2.

2. Диагонали ромба пересекаются под

прямым углом.

3.

3. Диагонали ромба являются

биссектрисами его углов.

4.

4. Диагонали квадрата:

1) равны

2) пересекаются под прямым углом

3) являются биссектрисами его углов

Свойства прямоугольника,

Свойства прямоугольника,

ромба и квадрата

ромба и квадрата

5.

5. Для прямоугольника, ромба и

квадрата справедливы все свойства

параллелограмма.

Трапеция (определения)

Трапеция (определения)

•

Трапеция

Трапеция – это четырёхугольник, у которого две

стороны параллельны, а две другие стороны не

параллельны.

•

Основания трапеции

Основания трапеции – её параллельные стороны.

•

Боковые стороны трапеции

Боковые стороны трапеции – непараллельные,

противолежащие стороны трапеции

•

Высота трапеции

Высота трапеции – это отрезок перпендикуляра от

любой точки одного основания до её другого

основания(или его продолжения)

•

Средняя линия трапеции

Средняя линия трапеции – отрезок соединяющий

середины боковых сторон трапеции.

Виды трапеции

Виды трапеции

•

Равнобокая (равнобедренная)

Равнобокая (равнобедренная)

•

Прямоугольная

Прямоугольная

Свойства трапеции

Свойства трапеции

1.

1. Средняя линия трапеции параллельна

основаниям трапеции и равна их

полусумме.

2.

2. У равнобокой трапеции углы при

основании (верхнем и нижнем) равны.

2

b

a

MN





Свойства трапеции

Свойства трапеции

3.

3. Пусть

АВС

АВС

D

D – трапеция с основаниями

А

А

D

D и

ВС

ВС, точка

Е

Е- точка пересечения её

диагоналей.

Тогда

S

S

∆

∆

АВЕ

АВЕ

=

=

S

S

∆D

∆D

СЕ

СЕ

Данное свойство верно для любых

трапеций.

А

А

В

В

С

С

D

D

Е

Е

S

S

∆

∆

АВЕ

АВЕ

S

S

∆D

∆D

СЕ

СЕ

Свойства вписанных и описанных

Свойства вписанных и описанных

четырёхугольников

четырёхугольников

1.

1. Четырёхугольник можно вписать в

окружность тогда и только тогда, когда

сумма его противолежащих углов

равна 180°

А + С = В +

А + С = В +

D

D

= 180

= 180

°

°

А

А

В

В

С

С

D

D

Свойства вписанных и описанных

Свойства вписанных и описанных

четырёхугольников

четырёхугольников

2.

2. Четырёхугольник можно описать около

окружности тогда и только тогда, когда

суммы его противолежащих сторон

равны.

а + с = в +

а + с = в +

d

d

а

а

в

в

с

с

d

d

Свойства вписанных и описанных

Свойства вписанных и описанных

четырёхугольников

четырёхугольников

3.

3. Если четырёхугольник вписан в окружность,

то произведение его диагоналей равно сумме

произведений его противолежащих сторон.

АС

АС

·

·

В

В

D

D

= АВ

= АВ

·

·

С

С

D

D

+ А

+ А

D·

D·

ВС

ВС

А

А

В

В

С

С

D

D

Формулы площадей

Формулы площадей

четырёхугольников

четырёхугольников

Квадрат:

Квадрат:

а

а – сторона;

d

d – диагональ

S = a²

S = a²

S =1

S =1

/

/

2·d²

2·d²

Прямоугольник:

Прямоугольник:

а, в

а, в

– стороны;

– стороны;

d

d –

диагональ;

β

β – угол между диагоналями

S = a·

S = a·

в

в

S =1

S =1

/

/

2·d²

2·d²

·

Sin

Sin

β

β

а

а

d

d

а

а

в

в

β

β

d

d

Формулы площадей

Формулы площадей

четырёхугольников

четырёхугольников

Параллелограмм:

Параллелограмм:

а, в

а, в

– стороны;

– стороны;

α

α

– угол между сторонами;

– угол между сторонами;

d1

d1

и

и

d2

d2 –

диагонали

диагонали;

β

β –

угол между

угол между

диагоналями

диагоналями;

h

h

a

a

и

и

h

h

в

в

- высоты,

- высоты,

проведенные к сторонам

проведенные к сторонам

а

а

и

и

в

в

соответственно

соответственно

S =

S =

a

a

·

·

h

h

a

a

=

=

в

в

·

·

h

h

в

в

S =

S =

a·

a·

в

в

·Sin

·Sin

α

α

S =1

S =1

/

/

2·d

2·d

1

1

d

d

2

2

·

Sin

Sin

β

β

а

а

в

в

α

α

h

h

a

a

h

h

в

в

Формулы площадей

Формулы площадей

четырёхугольников

четырёхугольников

Ромб:

Ромб:

а

а

– сторона;

– сторона;

α

α

– угол между

– угол между

сторонами;

сторонами;

d1

d1

и

и

d2

d2 –

диагонали;

диагонали;

h

h

–

–

высота

высота

S = a·

S = a·

h

h

S = a²·Sin

S = a²·Sin

α

α

S =1

S =1

/

/

2·d

2·d

1

1

d

d

2

2

а

а

d

d

1

1

d

d

2

2

h

h

Формулы площадей

Формулы площадей

четырёхугольников

четырёхугольников

Трапеция:

Трапеция:

а, в

а, в

– основания;

– основания;

α

α

– угол между сторонами;

– угол между сторонами;

d

d

1

1

и

и

d

d

2

2

–

диагонали

диагонали;

β

β –

угол между

угол между

диагоналями

диагоналями;

h

h

– высота;

– высота;

m

m

–

–

средняя линия

средняя линия

S =

S =

m

m

·

·

h

h

S =1

S =1

/

/

2

2

·d

·d

1

1

d

d

2

2

·

Sin

Sin

β

β

S =1

S =1

/

/

2·

2·

(а+в)

(а+в)

·

·

h

h

в

в

а

а

h

h

m

m

d1

d1

d2

d2

β

β

Формулы площадей

Формулы площадей

четырёхугольников

четырёхугольников

Произвольный четырёхугольник:

Произвольный четырёхугольник:

d

d

1

1

и

и

d

d

2

2

–

диагонали

диагонали;

β

β –

угол между

угол между

диагоналями

диагоналями

S =1

S =1

/

/

2

2

·d

·d

1

1

d

d

2

2

·

Sin

Sin

β

β

d

d

1

1

d

d

2

2

β

β

Задачи

1.

Периметр квадрата равен 84. Найдите площадь

этого квадрата.

2.

Найдите площадь параллелограмма

изображенного на рисунке.

3.

В параллелограмме ABCD проведены биссектрисы

АМ и DK. Точки М и К разбивают сторону ВС на

отрезки ВМ,МК и КС. Найдите периметр

параллелограмма, если основания трапеции AMKD

равны 7 и 19.

1.

Найдите сторону AD четырехугольника

ABCD, если АВ=3, ВС=4, СD=5 и

известно, что в четырехугольник ABCD

можно вписать в окружность.

2.

Сторона ромба равна 9, а расстояние

от точки пересечения диагоналей

ромба до неё равно 1. Найдите

площадь ромба.

Задача 1

В параллелограмме

АВСD биссектриса

острого угла С

пересекает сторону

АВ в точке М.

Найдите

расстояние от В до

прямой СМ, если

СМ = 30, СВ = 17.

Задача 2

Найти боковую

сторону АВ

трапеции ABCD,

если углы АВС и

BCD равны

соответственно 60º

и 135º, а CD=24.

Домашнее задание

Задачи на 1 балл

1. В треугольнике ABC угол С равен 90˚, АВ = АС,

ВС=6. Найдите высоту СН. В ответ запишите, чему

равно СН.

2. Найдите площадь треугольника стороны которого

равны 11 и 14, а угол между ними равен 30˚

Задача на 2 балла

3. Найдите углы вписанного в окружность

четырехугольника, если три угла (в

последовательном порядке) относятся как 3 : 7 : 5.

В ответе укажите больший из них в градусах.

2

2

Спасибо за внимание!

Спасибо за внимание!