МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ КАДУЖСКОЙ ОБЛАСТИ

ГБПОУ КО

«Калужский кадетский многопрофильный техникум им. А.Т.

Карпова»

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА УРОКА

«КАСАТЕЛЬНАЯ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ»

Автор методической разработки:

Кулёмина Валентина Сергеевна,

преподаватель физики и математики

ГБПОУ КО «Клужский кадетский многопрофильный

техникум им. А.Т. Карпова»

г. Калуга

Тема урока: Касательная к графику функции

Цели урока:

формирование знаний студентов геометрического смысла производной,

уравнения касательной к графику функции;

вооружение ориентировочной основой действий при написании уравнения

касательной к кривой;

поэтапное формирование умственных действий на уроке;

воспитание трудолюбия, стремления к самообразованию.

Тип урока:

урок поэтапного формирования новых знаний и способов

действий.

Форма проведения урока: проблемно-иллюстративная.

Оборудование к уроку:

1.

Модель, демонстрирующая поведение секущей.

2.

Модель «спирали Архимеда».

3.

Видеоиллюстрации: «Радиотелескоп», «Электрон в магнитном поле»,

«Магнитное поле прямого тока», «Смачивающая и несмачивающая

жидкости», «Бетатрон».

4.

Дидактический материал «Касательная к графику функции».

План проведения урока.

I.

Актуализация знаний.

II.

Мотивация к изучению нового материала.

II.1

Историческая справка.

II.2

Проблемная ситуация.

III.

Вооружение студентов ориентировочной основой действий.

IV.

Подконтрольное оперирование.

V.

Внешнеречевая форма деятельности.

VI.

Внутриречевая форма деятельности.

VII.

Этап умственных действий. Мотивация.

VIII.

Подведение итогов урока. Домашнее задание

I.

Актуализация знаний.

С понятием касательной вы встречались на уроках физики.



Электрон в однородном магнитном поле движется по окружности, в

каждой точке которой скорость движения электрона направлена по

касательной к данной траектории.

Плоскость орбиты

электрона в

атоме. В

0

— индукция собственного магнитного поля, созданного орбитальным током I



Магнитные стрелки, расположенные в магнитном поле прямого тока

располагаются по касательной к линиям магнитной индукции.

Магнитное действие проводника с током в перпендикулярной плоскости:

а)на железные опилки;

б)

на магнитные стрелки



Рассмотрите расположение касательной к поверхности смачивающей и

несмачивающей жидкости.

Самостоятельная работа

№1

(вопросы самостоятельной работы записаны на

карточках, на обратной стороне карточек записаны слова Лейбница об Архимеде).

1.

В каких точках графиков функций нельзя провести касательные?

Категория 1

Категория 2

Категория 3

Категория 4

0

1

2

3

4

5

6



вод

а-

ст

екл

о

рт

ут

ь-

ст

екл

о

2.

Что называется приращением аргумента?

3.

Что называется приращением функции?

4.

Что называется производной функции?

5.

Функция является дифференцируемой, если …

6.

Назовите уравнение прямой.

7.

Чему равен коэффициент к?

8.

Найдите производную функции f(х)=х

2

в точке х

о

=2,5.

Ответ на последний вопрос – 5. Все слова высказывания Лейбница открыты

и расположены на спирали, заранее приготовленной модели.

«Читая сочинения Архимеда,

не перестаешь удивляться открытиям математиков».

Лейбниц.

II.

Мотивация к изучению нового материала.

2.1 Историческая справка

Способ построения касательных к кривым волновал еще древнегреческих

ученых. Архимед построил и записал касательную к спирали, как бы

предопределил спустя 2 тыс. лет открытие математического анализа – общий

метод отыскания касательной к любой кривой, который является заслугой

Лейбница. Открытие Архимеда имеет практическое значение. Ускоритель

заряженных частиц - бетатрон. Электроны ускоряются магнитным полем в

вакуумной камере и начинают свое движение по спирали, затем они

выпускаются из камеры по касательной к спирали. Поток электронов,

полученных с помощью бетатрона, применяется для облучения поверхностно

лежащих опухолей. Кроме того, если поток электронов затормозить

металлической пластиной, возникает жесткое рентгеновское излучение.

Глубоко проникающее рентгеновское излучение используется в медицине.

2.2 Проблемная ситуация

Радиотелескоп служит для приема радиоизлучений от звезд, космических

объектов. Составная часть радиотелескопа – параболическое зеркало. В

фокусе параболического зеркала собираются сигналы, идущие от звезд.

Касательная к параболе этого параболоида поможет определить нахождение

фокуса зеркала. А для этого необходимо знание общего вида уравнения

касательной к графику функции, умение записывать уравнение касательной.

Запишем уравнение касательной в т. х

о

к параболе.

Пусть f(x)=x

2

-1, x

0

=2. Касательная к кривой – это прямая, у= f(x

0

) + к(х-х

0

).

f(x

0

) найдем, подставив x

0

в формулу f(x)=x

2

-1. Как найти к - ?

III.

Вооружение студентов ориентировочной основой действий.

Демонстрация поведения секущей с использованием модели «Касательная к

графику функции».

у В

∆у

А

∆х

φ α

х

х

о

∆х х

Угловой коэффициент секущей

tg φ =

Δ y

Δ x

. Если

∆ х

0, то секущая вращается

вокруг точки А, стремясь занять положение касательной, т.е. предельное

положение. К чему стремится каждая часть равенства при

∆ х

0?

tgφ tgα,

Δ y

Δ x

f

΄΄

(x

0

); tgα = f

΄΄

(x

0

).

Угловой коэффициент касательной

к = f

΄΄

(x

0

) – геометричекий смысл

производной.

Производная

функции

в

точке

х

0

равна

угловому

коэффициенту касательной.

у= f(x

0

) + f

΄΄

(x

0

)(х-х

0

) – уравнение касательной к графику функции.

Вернемся к задаче.

f(x) = x

2

-1, x

0

=2.

ООД

1.

Из уравнения кривой найдем ординату точки касания, т.е. значение

функции в точке х

0.

2.

Найдем производную функции f

΄΄

(x).

3.

Вычислим значение производной в точке х

0.

4.

Подставив найденные значения в уравнение касательной у= f(x

0

) + f

΄΄

(x

0

)

(х-х

0

), получаем искомое уравнение.

Данный алгоритм позволит записать уравнение касательной к графику

функции:

1.

f (2) =2

2

-1=3.

2.

f

΄΄

(x) = (x

2

-1)΄=2х

3.

f

΄΄

(2)=2·2=4

4.

у= f(x

0

) + f

΄΄

(x

0

)(х-х

0

), получаем искомое уравнение:

у=3+4(х-2)=3+4х-8=4х-5; у=4х-5

.

Умение записывать уравнение касательной к графику функции позволит нам

определить фокус параболического зеркала.

IV.

Подконтрольное оперирование.

Работаем по алгоритму, контролируем каждый шаг.

Задача. Запишите уравнение касательной к графику функции

f(x)=x

3

-1 в

точке x

0

=4.

V.

Внешнеречевая форма деятельности.

Убираем алгоритм.

Самотоятельная работа №2.

Запишите уравнение касательной к графику функции

Вариант 1. f(x)=x

2

+1, x

0

=1.

Вариант 2. f(x)=2x

2

, x

0

=1

Студенты работают в парах, поочередно выполняют каждый свое задание,

объясняя свое решение товарищу, который при этом внимательно слушает,

по необходимости оказывает помощь или корректируют найденное решение.

VI.

Внутриречевая форма деятельности.

Задание.

а) Внимательно прочтите алгоритм написания касательной к графику

функции.

б) Выполните самостоятельную работу №3.

Самостоятельная работа №3.



Вставьте пропущенные слова в алгоритм нахождения касательной к

графику функции.

Вариант 1.

1.

Из уравнения кривой найдем … точки касания, т.е. значение функции в

точке …

.

2.

Найдем производную функции f

΄΄

(x).

3.

Вычислим значение …в точке х

0.

4.

Подставим найденные значения в уравнение касательной … , получаем… .

Вариант 2.

1.

Из уравнения …найдем ординату точки касания, т.е. …

2.

Найдем …функции f

΄΄

(x).

3.

Вычислим значение …в точке х

0.

4.

Подставим найденные значения в уравнение касательной … , получаем

искомое уравнение.

Вариант 3.

1.

Из уравнения кривой найдем… , т.е. значение функции в точке х

0.

2.

Найдем производную функции … .

3.

Вычислим значение …

.

4.

Подставим найденные значения в уравнение касательной … , получаем

искомое уравнение.

Мотивация.

В чистой математике существует так называемая теория катастроф, в

которой предсказание катастроф осуществляется с помощью построения

касательной к графику функции. Например, функция – это состояние

экономики, аргумент – предприимчивость населения.

VII.

Этап умственных действий.

Практическая работа «Касательная к графику функции».

№

Задание

1.

Постройте касательные к графику функции у=cos

x

в точках с

абциссами х

0

=-π/2; х

0

= 2π.

2.

Напишите уравнение касательной к графику функции у=cos

x

в точках

с абциссами х

0

=-π/2; х

0

= 2π.

3.

Ответьте на вопросы:

а) Чему равен угловой коэффициент касательной?

б) От чего зависит знак производной?

VIII.

Подведение итогов урока. Домашнее задание.

Что изучено на уроке? (

Геометрический смысл производной, формула

углового коэффициента касательной, уравнение касательной к графику функции.)

В чем заключается геометрический смысл производной?

Что означает математическая запись f(x

0

) -?

Что означает математическая запись f

΄΄

(x

0

) -?

Назовите уравнение касательной к графику функции.

§19, п.1.2 с.126-128, №255(а,б), №251(устно), выполнить отчет к ПР.

Самоанализ урока математики

«Касательная к графику функции»

Цели урока:

формирование знаний студентов геометрического смысла производной,

уравнения касательной к графику функции;

вооружение ориентировочной основой действий при написании уравнения

касательной к кривой;

поэтапное формирование умственных действий на уроке;

воспитание трудолюбия, стремления к самообразованию.

Тип урока:

урок поэтапного формирования новых знаний и способов

действий.

Форма проведения урока: проблемно-иллюстративная.

Урок сконструирован и проведен в соответствии с технологией П.Я.

Гальперина.

Деятельность преподавателя

Деятельность студентов

I.

Актуализация знаний.

Формулирует

для

студентов

систему

вопросов с целью повторения дидактических

единиц, опорных знаний к уроку;

использует межпредметные связи; обращает

внимание студентов на «спираль Архимеда».

Отвечают

на

вопросы

преподавателя;

выполняют

самостоятельную

работу

№1,

открывая

слова

высказывания

Лейбница

об

Архимеде.

II.

Мотивация к изучению нового

материала.

а) Сообщение об Архимеде, записавшем

уравнение касательной к спирали;

сообщение

о

Лейбнице,

который

сформулировал

общий

метод

отыскания

касательной к любой кривой;

сообщение о практическом использовании

открытия Архимеда.

б)

Преподаватель

предлагает

студентам

разрешить проблемную ситуацию.

Изучают

видеоиллюстрацию

радиотелескопа. Включаются в

процесс

разрешения

проблемной ситуации.

III.

Вооружение студентов

ориентировочной основой действий.

Организует

совместную

деятельность

по

разрешению

проблемной

ситуации.

Дает

ориентировочную основу действий (ООД).

Познавательная деятельность

( совместно с преподавателем

решают проблемную задачу).

IV.

Подконтрольное оперирование.

Познавательная

деятельность.

Направляющая, корректирующая.

Используя

опору,

алгоритм

действий

- один студент у

доски, остальные в тетрадях

записывают

уравнение

касательной

к

графику

заданной функции.

V.

Внешнеречевая

форма

деятельности.

Направляющая, корректирующая.

Работают в парах, выполняют

задание

самостоятельной

работы

№2

без

ООД,

контролируя друг друга.

VI.

Внутриречевая форма деятельности.

Котролирующая, оценивающая.

Мысленно

проговаривают

алгоритм.

Выполняют

самостоятельную работу №3.

VII.

Этап умственных действий.

Предлагает задание практической работы с

измененной

ситуацией.

Подчеркивает

значимость изучаемой темы, рассказывая о

способе предсказания катастроф.

Выполняют

практическую

работу.

VIII.

Подведение итогов урока. Домашнее

задание.

Подводит

итоги

урока,

комментирует

домашнее задание.

Называют отдельные элементы

урока.

Записывают домашнее задание,

выслушивают

комментарий

преподавателя.

Список литературы

Беспалько В.П.«Слагаемые педагогической технологии» М., Педагогика,

1989.

Кайнова С.А., Аменицкая А.А. «От стандартной системы обучения к гибкому

подходу»// Профессионал.-2000.- №6.

Кайнова С.А. Модульная система обучения//Профессионал.-2000.-№6

Касьянов В.А. Физика. 10 класс. – М.: Дрофа, 2004.

Касьянов В.А. Физика 11 класс. - М.: Дрофа, 2004.