Как же это решить…

Как же это решить…

геометрические задания с

треугольниками

из 1 части ОГЭ (9 класс)

Разработано учителем математики

Разработано учителем математики

Геометрия полна

Геометрия полна

приключений,

приключений,

потому что за каждой

потому что за каждой

задачей скрывается

задачей скрывается

приключение мысли.

приключение мысли.

Решить задачу

Решить задачу

– это значит

– это значит

пережить приключение.

пережить приключение.

В. Произволов

В. Произволов

№

№

2.3.8

2.3.8

В

В

∆АВС проведена высота СН,

∆АВС проведена высота СН,

которая делит угол С на два угла, величины

которая делит угол С на два угла, величины

которых 47

которых 47

°

°

и 71

и 71

°

°

.Найдите наименьший из двух

.Найдите наименьший из двух

оставшихся углов треугольника.

оставшихся углов треугольника.

Решение.

Решение.

Почему угол В

наименьший из

оставшихся?

Т.к. СН- высота, то

∆НСВ –прямоугольный,

‹В = 90º - 71º = 19º

Ответ: 19

А

В

С

Н

?

1

2

47º

71º

№

№

2.3.9.

2.3.9.

В прямоугольном треугольнике угол

В прямоугольном треугольнике угол

между биссектрисой и медианой,

между биссектрисой и медианой,

проведенными из вершины прямого угла, равен

проведенными из вершины прямого угла, равен

13

13

°

°

.Найдите больший из острых углов

.Найдите больший из острых углов

треугольника.

треугольника.

‹1= 13º

Решение.

Т.к. СМ – медиана, то

∆СМВ- равнобедрен.

И ‹3=‹4

Т.к. СК биссектриса, то

‹2=45º, тогда

‹3=‹2-‹1=45º-13º=32º

=> и ‹4=32º

Значит ‹А=90º-32º=58º

Ответ: 58

1

2

?

3

4

А

В

С

к

м

№

№

2.3.10

2.3.10

В прямоугольном треугольнике угол

В прямоугольном треугольнике угол

между высотой и медианой, проведенными из

между высотой и медианой, проведенными из

вершины прямого угла, равен 14

вершины прямого угла, равен 14

°

°

.Найдите

.Найдите

меньший из острых углов треугольника.

меньший из острых углов треугольника.

Решение.

Решение.

Т.к. СК – высота, то ∆КСМ –

прямоуг.

‹3- внешний угол

треугольника КСМ =>

‹3=90º+14º=104º.

Т.к. СМ –медиана, то ∆СМВ-

равнобедрен-ный =>

‹1=‹2=(180º-104º) : 2=

=76º : 2= 38º

Ответ: 38

А

В

С

К

М

1

2

3

?

‹КСМ = 14º

№

№

2.3.11

2.3.11

В

В

∆АВС проведены биссектрисы

∆АВС проведены биссектрисы АN

и ВL, которые пересекаются в точке О. Угол АОВ

равен 98°. Найдите внешний угол при вершине С.

Ответ: 164

Решение.

Решение.

Т.к. АN-биссектриса,то ‹1=‹2

Т.к. ВL-биссектриса,то ‹3=‹4

Т.к. ‹5-внешний угол ∆АВС,

то ‹5 = ‹А+‹В =

=(‹1+‹2)+(‹3+‹4)=‹1+‹2+‹3+‹4

‹ВОN= 180º-98º=82º, но

‹ВОN- внешний угол ∆АОВ

=> ‹ВОN=‹1+‹3=82º.

Значит и ‹2+‹4 = 82º.

Тогда ‹5 = ‹1+‹2+‹3+‹4=

=82º·2 = 164º

А

В

С

N

L

O

98º

1

2

3 4

5?

№

№

2.3.12.

2.3.12.

В

В

∆АВС проведены биссектрисы

∆АВС проведены биссектрисы

АН и ВК, которые пересекаются в точке О. Угол

АОВ равен 104°. Найдите угол С.

Ответ: 76

Т.к. ‹АОВ=104º, то ‹ВОН=

=180º-104º=76º,

но ‹ВОН-внешний угол

∆АОВ и => ‹ВОН=‹1+‹2

=76º,

Т.к. АН-высота, то ∆ВОН-

прямоугольный и

‹4 = 90º-76º=14º

Т.к. ВК - высота, то ∆АОК-

прямоугольный и

‹3 = 90º-76º=14º

Тогда ‹С= 180º- (‹А + ‹В)=

=180º- (‹1+‹3+‹2+‹4)=

=180º- (76º+14º+14º)=

= 180º- (104º) = 76º

А

В

С

Н

К

О

104º

1

2

3

4

?

76º

№

№

2.3.13.

2.3.13.

Один из углов прямоугольного

Один из углов прямоугольного

треугольника равен 15

треугольника равен 15

°

°

. Найдите угол между

. Найдите угол между

биссектрисой и медианой, проведенными из

биссектрисой и медианой, проведенными из

вершины прямого угла.

вершины прямого угла.

Ответ: 30

Ответ: 30

Решение.

Решение.

Т.к. СМ- медиана, то ∆СМВ-

равнобедренный и

‹МСВ =‹МВС=15º

Т.к. СН- биссктриса,то

‹НСВ=45º.

Тогда ‹НСВ=

=45º-15º=30º

15º

45º

15º

?

С

Н

М

А

В

№

№

2.3.14.

2.3.14.

В

В

∆АВС О- центр описанной

∆АВС О- центр описанной

окружности. Угол АВО равен 19

окружности. Угол АВО равен 19

°

°

, а угол САО

, а угол САО

равен 38

равен 38

°

°

. Найдите угол ВОС.

. Найдите угол ВОС.

Ответ: 114

Решение.

Решение.

Т.к. ∆АВС вписан в

окружность, то АО=ОВ=ОС

как радиусы.

Тогда ∆АОВ – равнобедр. то

‹1=19º, а ‹АОВ =

= 180º-19º·2=142º

Т.к. ∆АОС- равнобедр., то

‹2=38º, а ‹АОС =

= 180º-2·38º=104º. Значит

‹ВОС= 360º-(142º+104º)=

=360º-246º = 114º

о

А

В

С

?

38º

19º

1

2

2.4.9.

Периметр треугольника равен 4, а радиус

описанной окружности равен 1/3. Найдите его

площадь.

Решение.

Решение.

1)

Внесём обозначения:

а;в;с; S1; S2; S3; S4;

S5; S6.

2)

S1= S2, т.к.

треугольники равны по

двум сторонам и углу

между ними.

Аналогично S3= S4 и

S5= S6

3)

Sобщ.= 2S

1

+2S

3

+2S

5

=

=2(S

1

+S

3

+S

5

)

4)

S

1

=1/2а·r; S

3

=1/2в·r;

S

4

=1/2с·r, тогда

r

r

r

а

а

в

в

с

с

S

1

S

2

S

3

S

4

S

5

S

6

продолжение:

Sобщ.= 2S

1

+2S

3

+2S

5

= =2(S

1

+S

3

+S

5

)=

=2(1/2а·r+1/2в·r+1/2с·r)=2·1/2·r(а+в+с)

= r·(а+в+с).

Знаем, что Р=а+в+в+с+с+а=

=2а+2в+2с=2(а+в+с)=4 =>

(а+в+с) = 4:2=2. Тогда

Sобщ.= r·(а+в+с)=1/3·2=2/3.

Ответ: 2/3

Решите самостоятельно

Решите самостоятельно

2.4.10.

2.4.10. Периметр треугольника равен 30, а

радиус вписанной окружности равен 2.

Найдите площадь треугольника. Ответ

дайте в градусах.

Ответ: 30

2.2.7. В треугольник АВС вписана

окружность, которая касается сторону

АВ в точке С

1

, сторону ВС в точке А

1

,

сторону СА в точке В

1

. Найдите

периметр треугольника, если АС

1

=3,

ВА

1

=5, СВ

1

=2.

Ответ: 20