Конспект

урока по алгебре в 11 классе по теме

«Некоторые способы решения иррациональных

уравнений»

Фамилия, имя, отчество автора: Губанова Татьяна Фёдоровна

Квалификационная категория: Высшая

Место проживания: Краснодарский край, город Славянска-на-Кубани

Название учебного заведения: МБОУ СОШ №18

Урок в 11 классе по теме:

«Некоторые способы решения иррациональных уравнений»

Цитата урока: (выписана на доске)

«Знание только тогда – знание, когда оно добыто усилием собственной мысли,

а не памятью» - слова Л.Н. Толстого.

Цель:



обобщение знаний учеников по данной теме;



демонстрация различных методов решения иррациональных уравнений;



показ возможности решения иррациональных уравнений на основе

исследования;



формирование навыка самообразования, самоорганизации, умения

анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы;



воспитание самостоятельности, умения выслушивать других и умения

общаться в группе;



повышение интереса к предмету.

Форма проведения: семинарское занятие.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор.

Ход занятия:

Учитель:

Сегодня мы поговорим об иррациональных уравнениях.

На доске приведены примеры уравнений иррациональных и не являющихся

иррациональными.

4

)

х

1

3

−

5

=

0

3

)

x

+

√

x

=

2

2

)

х

√

7

=

11

+

х

1)

6

)

√

82

−

√

х

−

8

=

9

5

)

у

2

−

3 у

√

2

=

4

Назовите те уравнения, которые являются иррациональными.

Дайте определения иррационального уравнения.

Ответы учеников.(иррациональными являются уравнения 1), 3), 4), 6).

Определение иррационального уравнения:

Иррациональным

называют

уравнение,

в

котором

переменная

содержится под знаком радикала или под знаком возведения в дробную

степень.)

I. Учитель:

На предыдущих уроках

мы рассматривали решение иррациональных

уравнений методом возведения обеих частей уравнения в степень корня (в

основном в квадрат). При возведении частей уравнения в чётную степень мы

получаем уравнение-следствие, решение которого приводит иногда к появлению

посторонних корней. И тогда обязательной частью решения уравнения является

проверка корней или нахождение области определения уравнения.

Однако при решении иррациональных уравнений не всегда следует сразу

приступать к «слепому» применению известного алгоритма решения.

В заданиях Единого государственного экзамена имеется довольно много

уравнений, при решении которых необходимо выбрать такой способ решения,

который позволяет решить уравнения проще, быстрее. Поэтому необходимо знать

и другие методы решения иррациональных уравнений, с некоторыми из них мы

сегодня познакомимся.

При подготовке к уроку некоторые ученики получили листы-рекомендации,

в

которых

рассматриваются

основные

приёмы

решения

иррациональных

уравнений. Ребята ознакомились с предложенными решениями и подобрали свои

уравнения, решить которые предстоит нам на уроке.

II.Выступление учеников

1 ученик.

Решение иррационального уравнения методом возведения обеих частей

уравнения в степень корня.

х +

√

х

+

4

= 3х – 7

Решим данное уравнение традиционным способом – методом возведения

обеих частей в квадрат. Слагаемое, содержащее квадратный корень оставим в

левой части уравнения, а х перенесём в правую часть.

√

х

+

4

= 2х – 7

Возведём обе части уравнения в квадрат:

(

√

х

+

4

)

2

=

(

2 х

−

7

)

2

Получаем:

х + 4 = 4

х

2

– 28х + 49

Перенесём все члены уравнения в одну часть, получаем квадратное уравнение

4

х

2

– 29х + 45 = 0

Корни этого уравнения х = 5 и х = 2,25

Решая это уравнение мы возводили обе части уравнения в квадрат. При

возведении обеих частей уравнения в любую четную степень получается

уравнение, являющееся не равносильное данному, а являющееся следствием

исходного, следовательно, при этом возможно появление посторонних корней.

Поэтому необходимым условием решения является проверка корней.

Если х = 5, то

√

5

+

4

= 10 - 7

3 = 3 – верно

х = 5 – корень уравнения

Если х = 2,25, то

√

2,25

+

4

= 4,5 - 7

2,5 = - 2,5 – неверно

х = 2,25 посторонний корень

2

х

Ответ: х = 5

Предлагаю решить в классе уравнение:

2 ученик. Решение уравнения методом исследования области

определения уравнения.

Пусть дано уравнение:

√

11 х

+

3

-

√

2

−

х

=

√

9 х

+

7

–

√

х

−

2

Возведение обеих частей в квадрат приведёт нас к громоздким вычислениям и

трате времени на экзамене.

Воспользуемся

методом

исследования

области

допустимых

значений

заданного уравнения.

Область допустимых значений данного уравнения определяется системой

неравенств

:

{

11 х

+

3 ≥0

2

−

х ≥ 0

9 х

+

7 ≥0

х

−

2≥ 0

<=>

{

х ≥

−

3

11

х ≤ 2

х ≥

−

7

9

х ≥ 2

<=> х=2

Данное уравнение определено только при х = 2.

Проверим, является ли число 2 корнем уравнения:

√

22

+

3

-

√

2

−

2

=

√

18

+

7

–

√

2

−

2

5 = 5 – верно.

Ответ: х = 2.

Попробуйте решить уравнение:

2

√

1

−

х

2

= х - 2

3 ученик. Использование свойства монотонности функции.

Я хочу рассказать об уравнениях, решение которых основывается на

свойстве монотонности функций. Существуют теоремы:

Теорема 1. Пусть уравнение имеет вид:

f(x) = с, где f(x) –монотонно

возрастающая (убывающая) функция, а с – число, входящее область значений

функции f(x), тогда уравнение f(x) = с имеет единственный корень.

Теорема 2. Пусть уравнение имеет вид

f(x)= g(x),

где функции f(x) и g(x)

«встречно монотонны», т.е. f(x) возрастает, а g(x) убывает или наоборот, то

такое уравнение имеет не более одного корня.

Если удается заметить эти свойства функций в уравнении или привести

уравнение к таким видам, и при этом нетрудно угадать корень уравнения, то он и

будет единственным решением данного уравнения.

Пример для изучения

Пусть дано уравнение:

√

2

(

х

+

6

)

+

3

√

х

+

6

= 6

ОДЗ уравнения: х+6

≥

0; х

≥

−

6

Функции

у

1

=

√

2

(

х

+

6

)

и

у

2

=

3

√

х

+

6

являются возрастающими на

промежутке [- 6;

∞

¿

, поэтому функция у =

√

2

(

х

+

6

)

+

3

√

х

+

6

так же является

возрастающей на этом промежутке, и следовательно принимает любое значение,

в том числе и 6, только один раз. Значит, уравнение имеет единственный корень.

Найдём этот корень подбором.

х = 2.

Проверкой убеждаемся, что число 2 является корнем данного уравнения.

Ответ: х = 2.

Я предлагаю решить на уроке уравнение:

√

7 х

+

9

+

√

15 х

+

1

= 9 –

√

2 х

−

1

Это уравнение можно попытаться решить возведением обеих частей в

квадрат (трижды!). Однако при этом получится уравнение четвертой степени.

Попробуйте

использовать

свойства

монотонности

функций,

входящих

в

уравнение.

Ответ: х = 1

4 ученик Метод введения новой перменной.

Удобным средством решения иррациональных уравнений иногда является

метод введения новой переменной, или «метод замены». Метод обычно

применяется в случае, если в уравнении неоднократно встречается некоторое

выражение, зависящее от неизвестной величины. Тогда имеет смысл обозначить

это выражение какой-нибудь новой буквой и попытаться решить уравнение

сначала относительно введенной неизвестной, а потом уже найти исходную

неизвестную.

Пример для изучения:

Дано уравнение:

5

√

16 х

х

−

1

+

5

√

х

−

1

16 х

=

5

2

ОДЗ уравнения: х

≠1

х

≠ 0

Пусть

5

√

16 х

х

−

1

=

t

>

0

, тогда

5

√

х

−

1

16 х

=¿

1

t

Получаем уравнение t +

1

t

=

5

2

2 t

2

−

5 t

+

2

2t

=

0

2 t

2

−

5t

+

2

=

0

t

1

=

1

2

t

2

= 2

Тогда

5

√

16 х

х

−

1

=

1

2

или

5

√

16 х

х

−

1

=

2

Возведём обе части уравнения в 5-ю степень. При возведении обеих частей

уравнения в нечётную степень получаем уравнение, равносильное данному,

следовательно, не требуется проверка найденных корней. Получаем

16 х

х

−

1

=

1

32

; х =

−

1

512

16 х

х

−

1

=

32

; х = 2

Ответ: х =

−

1

512

; х = 2

В классе я предлагаю решить уравнение:

5 ученик Метод оценки частей уравнения

.

Рассмотрим уравнение:

49

+

√

х

2

−

3 х

−

28

+

4

√

х

2

−

7,5 х

+

3,5

= 14х -

х

2

Запишем уравнение в виде

√

х

2

−

3 х

−

28

+

4

√

х

2

−

7,5 х

+

3,5

= -(

х

2

−

14 х

+49)

√

х

2

−

3 х

−

28

+

4

√

х

2

−

7,5 х

+

3,5

= -

(

х

−

7

)

2

Так как левая часть данного уравнения неотрицательная, а

правая - неположительная при любых допустимых значениях x ,

то равенство возможно только в том случае, когда они обе части уравнения

равны нулю. Легко убедиться, что это возможно только при х = 7.

Для решения в классе предлагаю уравнение:

√

х

2

+

3 х

−

4

+

√

х

3

+

12 х

2

−

11 х

−

2

=

0

√

х

2

−

х

+

√

х

2

+

х

−

2

= 0

III. Работа учеников в группах.

После прослушивания выступающих начинается работа учеников в группах

по решению предложенных уравнений.

Учитель контролирует работу групп, даёт консультации.

IV . Домашнее задание № 1712 – 1719 (а) стр 253 задачника

V/ Итог урока:

рефлексия

Вопросы рефлексии:

Как вы считаете, насколько полезным было проведенное занятие?

Получены ли новые знания и умения?

Кратко опишите, какие моменты занятия вам особенно запомнились.

Каких моментов занятия вам хотелось бы избежать?

Какие трудности вы испытали при изучении материала, при ответе на вопросы, в

ходе решения заданий? Сумели ли вы их преодолеть? Если да, то как?

Опишите свои впечатления от проведенного занятия. Хотели бы вы в будущем

принимать участие в таких занятиях?

30.04.2021г