Методическая разработка урока.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ЭКОНОМИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ

КАК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

РЕАЛЬНЫХ СИТУАЦИЙ.

с. Знаменская Пестровка

2021 г.

Учитель математики Ванина Т.

Е.

Тема урока:

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ЭКОНОМИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ КАК

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РЕАЛЬНЫХ СИТУАЦИЙ.

( слайд № 1)

Без знания математики нельзя понять ни основ

современной техники и производства,

ни того, как учёные изучают

природные и социальные явления.

А.Н. Колмогоров

Цель урока :

(слайд № 2):

научить применять умения и знания по математике, полученные на

уроках для повышения эффективности, экономической оценки результатов

труда и определения путей его реализации; углубить знания по экономике.

Цели работы :

(слайд № 3).

1. Углубить знания по выбранному социально-экономическому профилю.

2. Составить словарь-справочник экономических терминов.

3. Материализовать полученные знания в процессе работы на пришкольном

участке для организации процесса производства овощей.

4. Использовать методы математики для повышения эффективности,

экономической оценки результатов труда и определения путей его реализации.

Ход урока:

1. Орг. Момент.

2. Вводное слово учителя.

Для овладения и управления современный производством и техникой нужна

серьёзная подготовка , включая активные знания по математике и экономики,

потому что многочисленные математические закономерности, изучаемые на уроках

математики, широко используются в организации, технологии, экономике

современного производства и производственных процессах.

Небольшое сообщение по связи между математикой и экономикой сделает

ученик.

3. Сообщение ученика: Математика и экономика (слайд № 4)

Математика и экономика – две на первый взгляд далёкие друг от друга

науки. Абстрактность одной и практицизм другой. Что здесь общего?

Взаимосвязь между этими науками, роль математических методов в анализе

экономических процессов, объектов и явлений были отмечены учёными, как

математиками, так и экономистами, ещё в 17 веке.

А в середине 18 века лейб-медик короля Людовика 15 Франсуа Кенэ

предложил количественную модель национальной экономики, которую он

назвал «Экономическая таблица». В первом фундаментальном труде по

политической экономики, знаменитой книге Адама Смита, которого

упоминает А.С. Пушкин в «Евгении Онегине», книге, которая имела название

«Исследование о природе и причинах богатства нации», можно при

внимательном чтении увидеть изложение некоторых математически строгих

закономерностей.

С решением экономических задач людям приходится встречаться с

различными ситуациями. Каждый человек время от времени оказывается в

ситуации, когда достижение некоторого результата может быть

осуществлено не единственным способом. В таких случаях приходится

отыскивать наилучший способ. Однако в различных ситуациях наилучшими

могут быть совершенно разные решения. Все зависит от выбранного или

заданного решения. (слайд №5) Пусть, например, ученик живёт далеко от

школы и может добраться до школы на трамвае за 30 минут или же часть

пути проехать в трамвае, а потом пересесть в троллейбусе и затратить при

этом всего 20 минут. Оценим оба решения. Второе решение будет лучшем,

если в школу требуется попасть за минимальное время, то есть оно лучшее

по критерию минимизации времени. По другому критерию – минимизации

стоимости – лучшим является первое решение. На практике «наилучший»

может быть выражено количественными критериями – минимум затрат,

минимум отклонений от нормы, максимум прибыли и т. д. Поэтому

возможна постановка математических задач отыскание оптимального

результата. Оптимальный результат находится не сразу, а в результате

процесса, называемого процессом оптимизации. В простейших случаях

переводят условие задачи на математический язык и получают

математическую модель.

Математические модели и производственные функции (слайд №6)

В настоящее время математику всё чаще и чаще называют наукой о

математических моделях. Математическое моделирование широко

применяется в изучении реального мира.

При создании математической модели исходят из реальной задачи.

Математическое моделирование осуществляется в три этапа. На первом

этапе уясняется ситуация, выявляются важные и второстепенные

характеристики, параметры, свойства, качества, связи и т.д. Затем

выбирается она из существующих математических моделей либо создаётся

новая математическая модель для описания изучаемого объекта.

Вводятся обозначения. Записываются ограничения, которым должны

удовлетворять переменные величины. Определяется цель – целевая

функция.

Необходимо математическую модель, похожую на прототип. Но на деле это

часто не достигается, т. к. не представляется возможным учесть и выразить

на языке математики все факторы, влияющие на изучаемое явление.

Поэтому математическая модель лишь приближённо его отображает, и

результаты моделирования тем достовернее, чем меньше погрешность,

допущенная при составлении модели.

На втором этапе выбирается способ её решения. После получения решения

происходит его сопоставление с реальностью. Здесь важно дать

качественную оценку количественных результатов, выявить источники

погрешностей и оценить их. Если полученные результаты подтверждаются

практикой, то модель можно применять и с её помощью строить прогнозы.

Если же ответы, полученные на основе модели, не соответствует

действительности, то модель не годится. Нужно создавать новую модель.

На третьем этапе нужно грамотно перевести результат решения

математической задачи на язык исходной задачи, умело распространить

найденное решение на решение других практических задач.

Создавая математическую модель, мы используем математические понятия.

4. Учитель. Спасибо. Для построения любой экономико-

математической модели основой являются производственные функции. На основе

анализа статистических данных было установлено, что спрос и предложение на

товар задаётся линейной функцией у = кх + в .

(слайд №7) Функцией спроса на данный товар называют сложившуюся на

определённый момент времени зависимость между ценой товара p (price -

прице) и величиной спроса на него q (quantity –квантиту)

Функцией предложения товара называют функцию, описывающую

сложившуюся на определённый момент времени зависимость между ценой

товара и количеством товара, предлагаемого к продаже.

Состояние равновесия на рынке характеризуют цена и количество, при

которых объём спроса на товар совпадает с величиной его предложения.

Задачи, с которыми приходится встречаться в экономике, и особенно в сфере

планирования производства, - это задачи на отыскание наиболее

выгодного варианта. В каждой из них требуется ответить на вопрос: как

распорядится предоставленными нам ограниченными ресурсами, чтобы

добиться наибольшего эффекта? До недавнего времени единственным

методом решения подобных задач была обыкновенная прикидка, решение

«на глаз» или же путём перебора всех возможных вариантов, и тогда

выбирался лучший вариант. Сейчас положение меняется. В последние

десятилетия сложность производства возросла в такой степени, что простой

перебор вариантов стал невозможен. Факторов, влияющих на решение,

оказалось так много, что количество вариантов стало исчисляться

миллиардами. В связи с этим возрос интерес к математическим методам

решения таких задач. Это задачи линейного программирования.

Для того чтобы решать математические задачи с экономическим

содержанием, нужно хорошо понимать смысл как математических, так и

экономических терминов. Краткий словарь-справочник и экономических

терминов лежит у вас на столе. (слайд № 8).- (слайд № 12).

Аренда – предоставление имущества во временное пользование на

договорных началах за определённое вознаграждение.

Благосостояние – обеспеченность населения страны необходимыми для

жизни материальными и духовными благами; характеризуется уровнем и

динамикой доходов, потреблением материальных благ, обеспеченностью

жильём, коммунальными, бытовыми, транспортными и др.услугами,

развитием просвещения, здравоохранения, культурным обслуживанием,

социальным обеспечением, продолжительностью рабочего дня и

свободного времени.

Заработанная плата – часть национального дохода, выраженного в

денежной форме, которая поступает в личное распоряжение граждан.

Заработанная плата выдаётся в соответствии с количеством и качеством

труда каждого работника.

Научная организация труда – осуществление на каждом рабочем месте, на

предприятии комплекса мероприятий, позволяющих наилучшим образом

соединить технику и людей, обеспечивающих наиболее эффективное

использование материальных и трудовых ресурсов, непрерывное

повышение производительности труда, способствующих сохранению

здоровья человека.

Норма – научно обоснованные плановые показатели, регламентирующие

максимально допустимые величины расхода материальных ресурсов и

рабочего времени на изготовление единицы продукции.

Прибыль – разница между затратами на производство изделия и ценой, по

которой это изделие реализуется.

Производительность труда – эффективность затрат труда. Она

выражается в количестве продукции, производимой работником в единицу

времени, или в величине затрат рабочего времени на изготовление единицы

продукции.

Рабочий день – установленное законом время суток, в течение которого

трудящийся работает на предприятии.

Себестоимость – все денежные затраты предприятия на изготовление и

реализацию продукции.

Тариф – цена, устанавливаемая за услуги.

Фонд заработной платы – планомерно выделяемая государством сумма

денежных средств, используемая для оплаты труда всех работников за

определённый период.

Фонд накопления – часть национального дохода, используемая для

дальнейшего развития экономики, обеспечения непрерывного развития

экономики, увеличения производственных фондов, увеличения

материальных ресурсов и создания требуемых материальных ресурсов.

Цена – денежная форма стоимости товара. Цена продукции включает в себя

её себестоимость, а также чистый доход, поступающий в распоряжение

предприятия.

Цена закупочная – цена, по которой государство закупает продукцию у

предприятий, населения.

Цена оптовая - цена, по которой предприятия в соответствии с планом

реализует свою продукцию.

Эффективность производства – важный экономический критерий,

который характеризуется соотношением между достигнутым результатом

производства и затратами различных ресурсов. Повысить эффективность

производства – это значит добиться наибольших хозяйственных результатов

при наименьших затратах материальных ресурсов и труда.

5. Решение задач.

Учитель: По мере решения задач мы будем использовать эти термины.

А теперь представим себе такую ситуацию: (слайд №13)

Средняя школа имеет на своей территории хозяйственные постройки,

учебно-опытный участок. Картофель выращивали на площади 11 соток,

капусту – на площади 4 сотки, овощи – на площади 3,5 сотки.

На выделенных участках был выращен достойный урожай капусты (850кг),

картофеля (1050кг), моркови (500кг), свёклы (300кг), яблок (150кг),

патиссонов, лука, чеснока.

Длительное время хранить выращенный урожай негде, поэтому приходится

часть овощей продавать. По какой цене и какую часть урожая нужно продать,

чтобы получить большую прибыль, необходимо правильно рассчитать.

Задача 1. (слайд №14)

Когда продавали капусту по цене 8р. за 1кг, то продали 800 кг. Когда

продавали капусту по цене 9р. за 1кг, то продали 650 кг капусты.

Определите, по какой цене нужно продавать капусту, чтобы продать весь

выращенный урожай, то есть 850 кг?

Решение:

На основе анализа статистических данных было установлено, что спрос на

товар задаётся линейной функцией: q = kp + b.

Пусть q (кг) – масса проданной капусты;

Р (р) – цена капусты.

Так как при р = 8 q = 800, а при р = 9 q = 650, то для нахождения k и b имеем

систему:

800 = 8k + b;

650 = 9k + b;

b = 800 - 8k;

650 = 9k + 800 - 8k;

b = 800 - 8k;

- 150 = k;

b = 800 – 8 · (- 150);

k = - 150;

b = 2000;

k = - 150.

Следовательно, спрос на капусту описывается следующей функцией

q = - 150р + 2000.

Теперь найдём, по какой цене следует продавать капусту, чтобы

реализовать весь урожай, то есть 850кг.

850 = - 150р + 2000, 150р = 2000 – 850, 150р = 1150, р ≈ 7,7 (р).

Ответ: капусту следует продавать по цене 7,7 р.

Учитель: Рассмотрим задачу,( слайд № 15) позволяющую оценить

возможные последствия и направления регулирования цен на рынке

товаров.

Задача 2.

На пришкольном участке выращен урожай картофеля 1000 кг. Если

продавать картофель по цене 25р. За 1кг, то его покупать не будут. Величина

спроса равна 0. Объём предложения 850 кг.

Близлежащее кафе сделало нам заказ. Оно может купить 500 кг

картофеля по цене 12р. Кроме того, при цене 12р. за 1кг рынок находится в

состоянии равновесия.

Определить, сколько картофеля можно продать, если его продавать по цене

15р. за 1кг, чтобы повысить равновесный курс.

Решение:

Так как по условию задачи спрос и предложение задаются линейными

функциями, то можно записать, что функция спроса имеет вид: q = k

1

p + b

1

, а

функция предложения q = k

2

p + b

2

, где рр. – цена, q кг – объём продаж.

Учитывая условия задачи, для нахождения значений k

1

, k

2

, b

1

, b

2

составим две

системы уравнений и решим их:(слайд № 16)

25 k

1

+ b

1

= 0 25 k

2

+ b

2

= 850

12 k

1

+ b

1

= 0 12 k

2

+ b

2

= 500

b

1

= 950 k

2

= 27

k

1

= - 38 b

2

= 175

q = -38р + 950 – функция спроса;

q = 27р + 175 – функция предложения.

Рассчитаем объём спроса и предложения при цене картофеля 15р. За 1кг.

Если р = 15, то величина предложения q = 27 * 15 + 175 = 580 (кг), а величина

спроса q = -38 * 15 +950 = 380 (кг).

Таким образом, величина предложения превышает спрос на 580 – 380 = 200

(кг).

Учитель: Какой вывод нужно сделать?Чтобы поднять цену картофеля с

12р. до 15р. за 1кг, нужно продать картофеля на 200 кг больше, чтобы

поднять равновесную цену. 500+200=700кг.

Учитель:

Давайте вместе разберём Задачу 3.(слайд №17) Картофель

выращивали на участке площадью 0,11 га и получили урожай 1050 кг; капусту

выращивали на участке площадью 0,035 га и получили урожай 850 кг.

Запишем эти данные в виде таблицы:

(слайд № 18)

Культура

Площадь (га)

Урожай (ц)

Урожайность

(ц∕га)

Картофель

0,11

10,5

95,5

Капуста

0,035

8,5

242

В следующем году планируется посадить картофель и капусту на участке

площадью 0,8 га.

На какой площади нужно посадить картофель и капусту, чтобы прибыль то

реализации полученного урожая была наибольшей? При этом всего

картофеля и капусты нужно вырастить не менее 10 ц. Площадь, занятая,

картофелем, должна составлять не менее 30% всей площади.

Цена картофеля 12р., поэтому прибыль от реализованного картофеля

составила 12 * 95,5 = 1146 (р./ц).

Цена капусты 8р., поэтому прибыль от реализации капусты составила 8 * 242

= 1936 (р./ц).

(слайд №19) Зафиксируем это тоже в таблице.

Культура

Площадь (га)

Урожайность

(ц∕га)

Прибыль

(р./ц)

Картофель

х

1

95,5

1146

Капуста

х

2

242

1936

По условию задачи составим математическую модель:

х

1

+ х

2

≤ 0,8;

95,5 х

1

+ 242 х

2

≥ 10;

х

1

≥ 0,3(х

1

+ х

2

);

х

1

≥ 0, х

2

≥ 0.

Прибыль вычисляется по формуле F(х) = 1146 х

1

+ 1936 х

2

.

Найдём, при каких значениях х

1

и х

2

эта функция принимает

наибольшее значение. Решим систему неравенств графически:

х

1

≤ 0,8 - х

2

х

1

≤ 0,8 - х

2

95,5 х

1

≥ 10 - 242 х

2

х

1

≥ 0,1 – 2,5 х

2

х

1

≥ 0,3х

1

+0,3х

2

х

1

≥ 0,4х

2

(3/7≈0,4)

х

1

≥ 0, х

2

≥ 0 х

1

≥ 0, х

2

≥ 0

Построим график функции у = F(х). Зададим у любое значение,

например 2286, получим: 2286 = 1146 х

1

+ 1936 х

2

. Графиком этого уравнения

является прямая. Зададим другое значение у и построим график полученного

уравнения. Графиком полученного уравнения тоже является прямая,

параллельная первой. Будем перемещать построенную прямую до тех пор,

пока эта прямая не займёт такое положение, что фигура, множество точек

которой удовлетворяет системе неравенств с этой прямой, будет иметь одну

общую точку и будет находиться ниже этой прямой.

Функция у = F(х) принимает наибольшее значение в точке А. Найдём

координаты этой точки, решив систему уравнений:

х

1

= 0,4х

2

х

1

= 0,8 – х

2

. 0,4х

2

=0,8 - х

2

; 0,4х

2

+х

2

= 0,8, 1,4х

2

= 0,8, х

2

= 0,57.

х

1

=0,8-0,57; х

1

= 0,23; х

2

= 0,57.

Учитель: Мы решили систему и получили, что наибольшую прибыль с

участка можно получить, если картофель посадить на участке площадью 0,23

га, а капусту посадить на участке площадью 0,57 га. Величина этой прибыли

равна

1146 * 0,23 + 1936 * 0,57 = 1367,1 (р).

(слайд № 20). (Готовый график рассматриваем вместе с учащимися.)

6. Вывод

Решая задачи с экономическим содержанием на пришкольном

участке, мы убедились, что математика, как фундаментальная наука и как

учебный предмет, требует от нас творческой деятельности. Чем больше

изучаешь математику, тем больше возникает потребность в поиске новых

знаний, рациональных способов решения практических задач.

(слайд № 21).Сегодня мы все работали на уроке, решили ряд

экономических задач. Спасибо вам за урок.